章末复习(二) 一元二次方程1
北师大版数学九年级上册：第二章 一元二次方程 章末练习(含答案)
第二章一元二次方程章末练习一、选择题1.一元二次方程x(x-2)=x-2的解是()A.x1=x2=0B.x1=x2=1C.x1=0,x2=2D.x1=1,x2=22.关于x的一元二次方程x2+(k-3)x+1-k=0的根的情况,下列说法正确的是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定3.关于x的方程kx2-6x+9=0有实数根,k的取值范围是()A.k<1且k≠0B.k<1C.k≤1且k≠0D.k≤14.关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根α,β,且α2+β2=12,那么m的值为()A.-1B.-4C.-4或1D.-1或45.某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计图如图2-Y-1所示.设从2月份到4月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程()图2-Y-1A.180(1-x)2=461B.180(1+x)2=461C.368(1-x)2=442D.368(1+x)2=4426.某年级举办篮球友谊赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共要比赛36场,则参加此次比赛的球队数是()A.6B.7C.8D.97.若菱形ABCD的一条对角线长为8,边CD的长是方程x2-10x+24=0的一个根,则该菱形ABCD的周长为()A.16B.24C.16或24D.48二、填空题8.关于x的一元二次方程(k+2)x2+6x+k2+k-2=0有一个根是0,则k的值是.9.如果关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根,那么实数k的值是.10.在解一元二次方程x2+bx+c=0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1=2,x2=3;小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=5.请你写出正确的一元二次方程:.11有一人患了流感,经过两轮传染后,共有121人患了流感,每轮传染中平均每人传染了个人.三、解答题12.解下列方程:(1) x2-2x-3=0;(2)x2-5x+6=0;(3) 2x2-5x+3=0.13.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m-2=0.(1)求证:无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程有两个实数根x1,x2,且x1+x2+3x1x2=1,求m的值.14.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间,前六天的总营业额为450万元,第七天的营业额是前六天总营业额的12%.(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额;(2)去年,该商店7月份的营业额为350万元,8,9月份营业额的月增长率相同,“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等.求该商店去年8,9月份营业额的月增长率.15.列方程(组)解应用题某驻村工作队,为带动群众增收致富,巩固脱贫攻坚成效,决定在该村山脚下,围一块面积为600 m2的矩形试验茶园,便于成功后大面积推广.如图2-Y-2所示,茶园一面靠墙,墙长35 m,另外三面用69 m长的篱笆围成,其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽.图2-Y-216.安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果,计划以每千克60元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果的销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系,其图象如图2-Y-3所示.(1)求y与x之间的函数表达式(不要求写自变量的取值范围);(2)商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价多少元?图2-Y-3详解详析1.D2.A[解析] ∵Δ=(k-3)2-4(1-k)=k2-6k+9-4+4k=k2-2k+5=(k-1)2+4>0,∴方程总有两个不相等的实数根.故选A.3.D[解析] 当k=0时,方程是一元一次方程,有实数根;当k≠0时,方程是一元二次方程,根据题意,得Δ≥0,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-4k×9≥0,解得k≤1.综上k的取值范围是k≤1.故选D.4.A[解析] ∵关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根α,β,∴Δ=[2(m-1)]2-4×1×(m2-m)=-4m+4≥0,α+β=-2(m-1),α·β=m2-m,∴m≤1,α2+β2=(α+β)2-2α·β=[-2(m-1)]2-2(m2-m)=12,即m2-3m-4=0,解m2-3m-4=0,得m=-1或m=4(舍去).故选A.5.B[解析] 从2月份到4月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程为180(1+x)2=461.故选B.x(x-1)=36,化简,得x2-x-72=0,6.D[解析] 设参加此次比赛的球队数为x.根据题意得12解得x1=9,x2=-8(舍去),∴参加此次比赛的球队数是9.故选D.7.B[解析] 如图所示:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD.∵x2-10x+24=0,因式分解得(x-4)(x-6)=0,解得x1=4,x2=6.分两种情况:①当CD=AD=4时,4+4=8,不能构成三角形,不合题意;②当CD=AD=6时,6+6>8,能构成三角形,符合题意.∴菱形ABCD的周长=4CD=24.故选B.8.1 [解析] 把x=0代入方程得k 2+k-2=0,(k-1)(k+2)=0, 可得k-1=0或k+2=0, 解得k=1或k=-2.当k=-2时,k+2=0,此时方程不是一元二次方程,舍去;则k 的值为1.故答案为1. 9.94[解析] 根据题意得Δ=(-3)2-4k=0,解得k=94.故答案为94.10.x 2-6x+6=0 [解析] 根据题意得2×3=c ,1+5=-b ,解得b=-6,c=6,所以正确的一元二次方程为x 2-6x+6=0.故答案为x 2-6x+6=0.11.10 [解析] 设每轮传染中平均每人传染了x 个人.依题意,得1+x+x (1+x )=121, 即(1+x )2=121,解得x 1=10,x 2=-12(舍去).故每轮传染中平均每人传染了10个人. 12.解:(1)原方程可以变形为(x-3)(x+1)=0, x-3=0或x+1=0,∴x 1=3,x 2=-1. (2)∵x 2-5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0, 则x-2=0或x-3=0,解得x 1=2,x 2=3. (3)这里a=2,b=-5,c=3, 则Δ=(-5)2-4×2×3=1>0, ∴x=5±√12×2,∴x 1=32,x 2=1.13.解:(1)证明:∵Δ=(2m+1)2-4×1×(m-2) =4m 2+4m+1-4m+8 =4m 2+9>0,∴无论m 取何值,此方程总有两个不相等的实数根. (2)由根与系数的关系,得{x 1+x 2=-(2m +1),x 1x 2=m -2.由x 1+x 2+3x 1x 2=1,得-(2m+1)+3(m-2)=1,解得m=8. 14.解:(1)450+450×12%=504(万元).答:该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元. (2)设该商店去年8,9月份营业额的月增长率为x. 依题意,得350(1+x )2=504,解得x 1=0.2=20%,x 2=-2.2(不合题意,舍去).答:该商店去年8,9月份营业额的月增长率为20%.15.解:设茶园垂直于墙的一边长为x m,则其邻边的长度为(69+1-2x )m .根据题意,得 x (70-2x )=600, 整理,得x 2-35x+300=0, 解得x 1=15,x 2=20,当x=15时,70-2x=40>35,不符合题意舍去; 当x=20时,70-2x=30,符合题意. 答:这个茶园的长和宽分别为30 m,20 m . 16.解:(1)设y 与x 之间的函数表达式为y=kx+b. 由题意,得当x=2时,y=120;当x=4时,y=140, ∴{2k +b =120,4k +b =140,解得{k =10,b =100,∴y 与x 之间的函数表达式为y=10x+100. (2)由题意得(60-40-x )(10x+100)=2090, 整理,得x 2-10x+9=0, 解得x 1=1,x 2=9.∵让顾客得到更大的实惠,∴x=9.答:商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价9元.。
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程复习课件
5. 解下列方程： x2－2x=0；
解：分解因式得： x(x-2)=0 x=0或x-2=0 x1=0,x2=2
x2－2x+2=0. 解：x2-2x+1=-1
(x-1)2=-1 方程无解
6. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产 品,据市场分析，若以每千克50元销售，一个月能 售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少 10kg，针对这种水产品情况，商店想在月销售成 本不超过10000元的情况下，使得月销售利润到达 8000元，销售单价应为多少?
一个未知数
一 概念 最高次是2
元
整式方程
二
次 一般情势： ax2 + bx + c =0(a≠0)
方
程
二次项系数
常数项
一次项系数
Δ>0,方程有两个不等的实数根
根的判别式Δ=b2-4ac Δ=0,方程有两个相等的实数根
Δ<0,方程无实数根
根
b
根与系数的x1 x2 a
因式分解法： 若A·B=0，则A=0或B=0
方案设计问题
数字问题
随堂演练
1.方程(2x＋1)(x－3)=x2+1化成一般情势为
，
二次x2项-5x系-4数=0、一次项系数和常数项分别是
.
2. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同1，时-加5，上-44的
是（ ）
A.x2－C2x=5
B.2x2－4x=5
C.x2+4x=5
D.x2+2x=5
3. 一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72 张，则这个小组共有（ C） A.12人 B.18人 C.9人 D.10人
4. 某超市一月份的营业额为200万元,一、二、三月份的 总营业额为1000万元,设平均每月营业额的增长率为x, 则由题意列方程为（ D ） A.200+200×2x=1000 B.200(1+x)2=1000 C.200+200×3x=1000 D.200［1+(1+x)+(1+x)2］=1000
第二章 一元二次函数、方程和不等式复习课-(新教材人教版必修第一册)(21张PPT)
＜m}，则 m＝________.
根，
m>1， 且m>1⇒1＋m＝6a，
1·m＝a
⇒ma＝＝22.， ]
不等式恒成立问题 【例4】 (1)若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}都 成立，则实数m的取值范围是________． (2)对任意－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零， 求x的取值范围．
c＜a 对于C： b2≥0⇒cb2≤ab2 cb2＜ab2，C错，即C不一定成立． 对于D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D正确，选C.]
不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判 断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对， 不适合的一定错，故特例只能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩 下的就是正确答案了.
数学（人教版） 必修第一册
第二章 一元二次函数、方 程和不等式
章末复习课
不等式的性质
【例 1】 如果 a，b，c 满足 c＜b＜a 且 ac＜0，则以下列选项中不
一定成立的是( ) A．ab＞ac C．cb2＜ab2
B．c(b－a)＞0 D．ac(a－c)＜0
C [c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0. 对于A： ba＞＞c0⇒ab＞ac，A正确． 对于B： bc＜＜0a⇒b－a＜0⇒c·(b－a)＞0，B正确．
5．若不等式 ax2－2x＋2>0 对于满足 1<x<4 的一切实数 x 恒成立，求 实数 a 的取值范围．
[解] ∵1<x<4， ∴不等式 ax2－2x＋2>0 可化为 a>2xx－2 2. 令 y＝2xx－2 2，且 1<x<4， 则 y＝2xx－2 2＝－21x－122＋12≤12，
人教版九年级数学-一元二次方程全章知识点专题复习(含答案)
一元二次方程全章知识点专题复习【课标要点】1. 理解一元二次方程定义；2. 会解一元二次方程；3. 会根据根的判别式24b ac -判断一元二次方程的根的情况； 4. 会列一元二次方程解决实际问题.⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩解法根的判别式一元二次方程二次三项式的分解因式根与系数的关系实际应用问题第1讲 一元二次方程的概念【知识要点】1、一元二次方程的一般形式：200),,,ax bx c a a b c ++=≠（其中是常数. 2、在一般式中，当b ＝0时，则有220c 00ax c ax bx +=+=或当＝时，则有，这两种情况都是一元二次方程.【典型例题】 例1判断下列关于x 的方程是不是一元二次方程.22222222213;(2)50;(3)235;(5)2(3)21;511(6)33;(7)2;(8)()10;(9)40:1(10)0.(0)x x x xy x x x x x x x x abx a b x x x x px qx m p =-=--==-=+++=-=+++=-+=+++=≠（） 分析：一元二次方程，必须满足：（1）整式方程；（2）含有一个未知数，并且最高次数是2.解：方程（1）、（6）、（7）的左边是分式，不属于整式方程，方程（3）含有两个未知数，方程（4）的左边不是整式，方程（5）经整理候，得－6x ＝1，方程（8）中未确定ab≠0，因此，只有（2）、（9）、（10）是一元二次方程.例2方程25)(3)(3)50.m m m x m x ---+-+=（（1） m 为何值时，此方程为一元二次方程？ （2） m 为何值时，此方程为一元一次方程？分析：形如0nax bx c ++=的方程，当n ＝2且a≠0时为一元二次方程；当a ＝0时且b≠0时为一元二次方程.解：（1）当m －2＝2时，m ＝4，这时5)(3)0.m m --≠（当m ＝4时，此方程为一元二次方程.（2）5)(3)0,20,2m 30m m m m --=->-≠当（为自然数，且－时，方程为一元一次方程.由5)(3)0m 5m 3m m m --=≠（得＝或＝，又因为3，∴当m ＝5时，此方程为一元一次方程.例3 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用了新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2填，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还应再增加多少米？（只需列出方程，并整理成一般一元二次方程形式.）分析：根据题意本题有两个关系式：一是计划每天加固的长度比原计划增加了20米，而是实际完成工程任务所需时间比原计划缩短2天，由时间关系列出方程.解：设现在计划每天加固河堤x 米，则原来计划每天加固河堤（x －20）米.根据题意德22402240220x x-=-，整理，得 22022400x x --=【知识运用】 一、选择题1．一元二次方程得一般形式是（ ）A.20x bx c ++= `B.20ax bx c ++=C. 20()ax bx c a o ++== D.以上都不对 2．下列方程为一元二次方程的有（ ）A.21102x x-+= B. 252ax bx c +=C.()219x -=D.x+y=03.关于x 的方程232232(m n m x mx m x nx px q +=+-+≠其中），经化简整理，化为200)ax bx c a ++=≠（的形式后，二次项系数、一次项系数及常数项分别是（ ）A.m －n ，p ，qB. m －n ，－p ，qC.m －n ，－p ，－qD.m －n ，p ，－q4．将一元二次方程21x 2x 302-+=－的二次项系数变为正整数，且使方程的根不变的是（ ）A. 2x 2x 30+=－ B. 2x x 60+=－4C 2x x 60=－4－D 2x x 60-=+4二、填空题5．方程24x 0=是_____元______次方程，二次项系数是______，一次项系数是____，常数项是_______.6.当m__________时，方程2m-1)x 21)x 0m m -+=（－(不是关于x 的一元二次方程；当m___________时，上述方程才是关于x 的一元二次方程；7.若方程22x 3x 1k x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是_________; 三、解答题 8．若方程1(3)x230k k x --+-=是关于x 的一元二次方程，求k 的值.9．若关于x 的一元二次方程22(a-1)x +x+a 10-=的一个根是0，求a 的值.10．某大学改善校园环境，计划在一块长80米，宽60米的矩形场地中央建一矩形网球场，网球场占地面积为3500平方米，四周为宽度相等的步行道，求步行道的宽度，根据题意列出泛称，并将其化为一般形式.第2讲 配方法【知识要点】1、直接开平方法解一元二次方程：将方程化成()2b(0)x a b +=≥的形式，则x＝0)a b -±≥.2、配方法解一元二次方程：利用公式222a 2()ab b a b ±+=±，把一元二次方程转化为2()(0)x a b b +=≥，再利用直接开平方法解方程.【典型例题】例1 用配方法解关于x 的一元二次方程： x 0px q ++=2分析：配方法解一元二次方程，关键要搞清配方的目的是什么，即配方要使方程能运用直接开平方法解决，该题是一种字母系数的一元二次方程，故可按上述步骤进行求解，先将其整理成一般形式，二次项系数化为1.因二次项系数为1，所以移项得2x x p q +=-，方程两边配方，然后利用完全平方公式，直接开平方法解出方程.解：22221212x ,x (),244qx ,244q p 400,4x (2)p 40x 23p 40px q p p px q p p p q x pq x q +=-++=-+--->>---<222222移项，得配方，得整理，得（+）＝（1）当时，方程两边直接开平方，得当＝时，＝＝；（）当时,原方程无实数解.例2 用配方法解方程（1）2x 6x 50+-=； （2）24x 7x 20-+=分析：方程经过移项，配方后变为形如2().ax b c +=的方程 解：（1）（2）移项，得24x 7x 2-=-化二次项系数为1，例3 试证：不论x 为何实数，多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 分析：比较两个代数式大小通常用做差的方法. 解：∴多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 【知识运用】 一、选择题1． 已知代数式2224x 228x 5x x +-+-的值为3，则代数式的值为（ ） A.5B. －5C. 5或－5D.02．将二次三项式22x 4x 6-+进行配方，正确的结果是（ ）A.24-2（x-1） B.24+2（x-1）C.22-2（x-2）D. 22+2（x-2） 3．方程2(1)9x +=的解是（ ） A.2x =B. 4x =-C. 122,4x x ==-D. 122,4x x =-=221265,6959,314333x x x x x x x +=++=+=∴+=∴=-+=--2移项，得配方，得即（x ＋）2222127717x ()()48287177x x 864877x x 88x x x -+=-+-∴-∴--∴得即（）＝，＝＝＝4242424222224242(241)(24)23(21)2(1)2x (1)20(241)(24)0x x x x x x x x x x x x x x -----=-+=-++=-+-+>----->对于任何实数，总有即4.已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，则代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（ ） A.4 B.3C. 2D. 1二、填空题5．224___9(___3)x -+=-6．将二次三项式2x 2x 2--进行配方，其结果等于__________.7.已知m 是方程2x x 20--=的一个根，则代数式2m m -的值等于______. 三、解答题8．用配方法解下列方程2(1)2360;x x --= 221(2)20;33y y --=2(3)0.40.81;x x -= 2(4)1)0;y y ++=9.用配方法证明21074x x -+-的值恒小于0.10.来自信息产业部的统计数字显示，2019年1月至4月份我国手机产量为4000万台，相当于2018年全年手机产量的80％，预计到2020年年底收机产量将达到9800万台，试求这两年手机产量平均每年的增长率.第3讲公式法【知识要点】1．公式法：一般地，对于一元二次方程221200),b 4ac 0x ax bx c a ++=≠≥，（当－时， 2．2b 4ac 0≥V 当=－，方程可用公式法求解；当2b 4ac 0<V 当=－时，方程无解.【典型例题】例1 用公式法解下列方程21x 100-+=（） 2(2)221x x +=(3)(1)(1)x x +-=分析：首先把每个方程化成一般式，确定a 、b 、c 的值，在2b 4ac 0≥－的前提下，代入求根公式求出方程的根.解：2221222212(2)2210,2,2,1,424?2?(1122(3)10,1,2,1,44?1?(2(4)x x a b c b ac x x x a b c b ac x x +-====--=-±∴=⨯-+-∴===--===-=--=-±∴==⨯∴==Q 移项，得-1)=12>0,-2x=22原方程可化为（-1)=12>0,-（x=222221210,1,1,1,414?1?(x x a b c b ac x x +-====--=-∴=∴===Q 将原方程可化为-1)=5>0,x例2 阅读下面一段材料，并解答问题.22(1)1,4,10,4(411080,(212x x a b c b ac x ==-=-=-⨯⨯>--∴===⨯∴=Q 1=2－＝22220(0)40,4200(0,,,)ax bx c a x b ac b ac b x aa ax bx c a abc ++=≠=-≥--∆=≠∆≥++=≠ 我们知道由一元二次方程运用配方法得其求根公式由平方根的意义知:当时即负数,没有平方根,故代数式就决定了方程根的情况,称它为一元二次方程根的判别式,用记号“”表示,故公式符合条件且0,方可用于求实数根.此外,若均为整数应当222121242,(1)10,:4,?,,?:,b ac b a k x x k x k x x x x k ∆=-∆--+++==∆≥注意当是完全平方时,方程根为有理根;当是完全平方且(是的整数倍时方程的根为整数根. 根据上面得出的结论,请你解答下列问题: 已知关于的方程试求 ⑴为何值时方程有两个实数根 ⑵若方程的两个实数根满足则为何值 分析根据上面材料分析当0时方程有实数根,从而确定k 的取值,对[]1222121121212121.:(1),1)4(1)043230.2(2)0,,0,2k-3=0,35k=,0,240,010,10,,x x k k k k x x x x x x x x x x x k k x =∆≥+-+≥-≥∴≥=≥=∆===><-=+=∴+==-∆≥Q 1于⑵中需分类讨论 解方程有实数根故0,即-( 化简得时方程有两个实数根由①当时此时即符合要求.②当x 时即与相矛盾故舍去k=-13综上可知:当k=时有22x = 例3 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米 的三级污水处理池(平面图如右图),由于地形限制,三级水库处理 池的长、宽都不能超过16米,如果池的外围墙建造单价为每米 400元,中间两条间隔墙单价为每米300元,池底建造单价为每平 方米80元.(池墙的厚度忽略不计)(1) 当三级污水处理池的总造价为47200元时,求池长x;(2) 如果规定总造价越低就越合算那么根据题目提供的信息以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算?请说明理由.分析：可根据三级污水处理池的总造价为47200元列方程.ADBC隔墙隔墙x21212400400:(1)400(2)3002008047200,4007008002008047200,393500,14,25,,14,25,2516(,)10014,16.7x x xx xx x x x x x ⨯++⨯+⨯=⨯++⨯=-+=====><∴ 解由题意得即有 化简得 解得经检验都是原方程的根但米米不符合题意舍去 当池长为米时池宽为米米符合题意 当三级污水处理池的总造价为47200(2)1612.5164007008001620080463004720016<⨯⨯++⨯=<∴元时,池长为14米.当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算. 当池长为米时,池宽为米米,故池长为16米符合题意,这时总造价为当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算.【知识应用】 一、选择题22222401)53200,0,0,x x k k m x x m m m n x mx n n m n --=-++-+=++=≠+1.方程2有两个相等的实数根,则的值为( )A.-1 B.-2 C.1 D.22.若一元二次方程(的常数项为则为( )A.1 B.2 C.1或2 D.53.若是方程的根则的值为( )1A. B.1 C.222235020,______.6.610_______.7.x x x mx m x x x --=++=--=1- D.-124.不解方程,判断方程2的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定二、填空题5.已知的一个根则方程的另一个根是_____,的值是方程3的两根之和是方程22230530______.x x x --=++=与方程2的公共解是三、解答题,28.已知直角三角形的一条直角边比另一条直角边长2cm,且面积为24cm 求直角三角形的周长.21)(4)240,10,.k x k x k k k +++-+=+≠9.已知方程(有零根其中求的值2210.2)0,a a x ax b x a --++=要使(是关于的一元二次方程求的取值范围.第4讲 分解因式法【知识要点】112212121212a xb a x b b b a a x x a a ++≠=-=- 1. 分解因式法:把一个一元一次方:程整理为:()()=0的(0)的形式，方程的解为：；；. 2.注意(1)方程一边一定化为0；（2）常用的方法：①提公因式法；②运用公式法③十字相乘法.【典型例题】260;x x -=例1 用因式分解法解下列方程. (1):(1),,(2),(5)(5),,.x x --分析方程的右边是零左边可以用提公因式法分解方程不要去掉括号更不要两边同时除以或要先移项使方程右边为零212212:60,(6)0,060,0, 6.(2)3(5)2(5)0,(5)[3(5)2]0,(5)(133)0,501330,135,.3x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=∴=-=∴==---=---=--=∴-=-=∴==解(1)即或原方程可变形为 即或 2(2)3(5)2(5)x x -=-例2 用公式法因式分解式解下列方程.2222(4)(43)(2)49(3)16(6)x x x x -=--=+ (1)3221222(1)(2)(1)(4)(43)0[(4)(43)][(4)(43)]0(77)(1)0,770101, 1.(2)7(3)][4(6)]0,7(3)4(6)][7(3)4(x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴-+----=∴---=∴-=--=∴==---+=-++--分析:方程先移项再利用因式分解法来解,方程移项后也能因式分解.解:移项,得333或 原方程化为[ [126)]0,(113)(345)0,3,15.11x x x x +=+-=∴=-=化简为,1).x x x x +-例3 为解决新疆农牧民出行难的问题今年是新疆投资公路建设力度最大、最多的一年，某公路修筑队接受了改建农村公路96千米的任务，为了尽量减少施工带来的交通不便，实际施工时每天比计划多修1千米，结果提前16天完成任务，问原计划每天修多少千米？分析：如果把修路队原来计划每天修（千米），则实际每天修路是(千米,工作任务可根据工作时间=列方程工作效率解:设原计划每天修路千米,由题意得962129616160(3)(2)03(),2:x x x x x x x =++-=∴+-=∴=-= 化简整理得舍去答原计划每天修2千米.【知识运用】1212121212121200550505244552A. B.4C.,4D.,4225(1)(2)034,A B x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -======-==--======+-===-一、选择题1.一元二次方（5）＝0的两个根为（ ）A.，B.，C.，D.，2.方程（）＝5（）的根为（ ）3.方程的根是，则这个方程为（ ）.-1,2 .12C D 34,A.(3)(4)0B.(3)(4)0C.(3)(4)0D.(3)(4)0x x x x x x x x x x ==--+=+-=++=--=1,-2 .0,-1,2 .0,1,-24.已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（ ）22225123,_____.4_____,.5147.235(23)201(21);(2)(5)59.,3,x x x x x x x x x x y x x x +-+=-=+-++++=-=-=2二、填空题:5.若与的值相等则6.当时代数式的值为零用分解因式法解方程:2()的解是_____.三、解答题8.用适当的方法解方程.1(1)2有一个直角三角形它的边长恰是个连续整数这个三角形的三边长是多少?10.有一个两位数,它的十位数字和个位数字的和是5,把这个两位数的十位数字和个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736,求原来的两位数.第5讲 一元二次方程【知识要点】 1、黄金分割：如,图若点C 把线段分成两条线段AB 和BC ，且满足AC BCAB AC=则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.2、列方程解应用题的基本步骤可归纳为：审（审题）；设（设未知数）；列（列方程）解（解方程）；答（答案）.3、列方程解应用题的关键是找出存在的相等关系 【典型例题】例1 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到五月份营业额的平均增长率.分析：本题属于平均增长率问题，由已知可设月平均增长率为x ，那么3月份的营业额为400（1＋10％）（1＋x ），5月份营业额为400（1＋10％）（1＋x ）2.解：设平均月增长率为x ，由题意得400（1＋10％）（1＋x ）2＝633.6 整理得：（1＋x ）2＝633.61 1.2440x ∴+=± 0.2x ∴= 所以平均月增长率为20％.例2 一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？分析：这类问题的 特点是挖蕖所占用土地面积只与挖蕖的条数、渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把沿东西和南北方向挖的渠道移动到一起，那ABC么剩余可耕的长方形土地的长为（162－2x ）米，宽为（64－4x ）米.解：设水渠应挖x 米宽，以题意，得（162－2x ）（64－4x ）＝9600化简，297960x x -+=解得11x =,296x =（舍去）答：水渠应挖1米宽. 【知识运用】 一、选择题1． 某商店十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，平均每月增长的百分率是( ) A ．20% B ．.12％ C ．22％ D.10％2． 从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2,则原来的正方形铁皮的面积是（ ）A. 9cm 2B.68cm 2C. 8cm 2D. 64cm 23．有一个两位数，它的数字和等于14，交换数字位置后，得到新的两位数比原来的两位数大18，则原来的两位数是（ ）A ．68 B.86 C.－68 D.－864．随着通讯市场竞争日益激烈，某通讯公司的收集市话收费标准按原标准每分钟降低了a 院后，再次下降25％，现在的收费标准是每分钟b 元，则原收费标准是每分钟（ ） A. 5(1)4b -元 B. 5()4b a +元 C. 3()4b a +元 D 4()3b a +元. 二、填空题5．三个连续偶数，较小的两个数的平方和等于较大的数的平方，则这三个数为________. 6．一个两位数，它的数字之和为9，如果十位数字为a ，那么这个两位数是________;b 把这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，则这个数与原数的差为________. 7.某种手表的成本在两年内以100元降低到81元，那么平均每年降低成本的百分率是_____. 三、解答题8．某工厂计划用两个月把产量提高21％，如果每月比上个月提高的百分数相同，求这个百分数.9．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支出1000元用来购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行.若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率.10．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件.问售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润.第1讲一、1．C 2.C 3.D 4.D 二、5．一、二，4，0，0 6.m=1,m ≠1 7.222a ab b --三、8.根据题意的1230k k ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩①②由①得k －1=－2解得k=3或k=－1,由②得k ≠3,所以k=－19.由于方程的解使方程的左右两边相等，故将方程的解代入原方程后得到关于a 得方程，求出a 得值，但是需要满足原一元二次方程的二次项系数不为零，故只取a=－1. 10．设步行道的宽度为x 米，根据题意得（80－2x ）.(60－2x)=3500整理，得方程的一般形式为703250x -+=2x 第2讲一、1．A 2.B 3.C 4.B二、5．12x,2x ；6.2(1)3x --；7.22m m -=三、8．121233(1)(2)2,31342x y y y y ±±==-==-=--2（）x=29．2711110)002040x --<原式配方得－（ 2210740,10740x x x x +-=+-即－故－的值恒小于 10．设这两年手机产量平均每年的增长率为x ，根据题意得2124000212(1)980040%,8055x x x +====-解得％（舍去） 第3讲一、1．B 2..B 3.D 4.A 二、5．24-- 6.2 7.x=－1三、8．设直角三角形的较短的直角边长为xcm ，则较长的直角边长为（x+2）cm.根据题意得：2001)0(4)02402x x k k k k =∴=+⨯++⨯-+=∴=Q 方程有零根即将代入方程得，（2121(2)24248026,8()2810x x x x x x x +=∴+-===-∴+=∴∴解得不符合题意舍去较长直角边为直角三角形的周长为6＋8＋10＝24（cm ）9． 10．要使方程是x 的一元二次方程，则由一元二次方程的定义.有220,2,1a a a a x --≠∴≠≠-且时该方程时关于的一元二次方程第4讲一、1．C 2.A 3.C 4.C 二、5.－ 1或4 6.x ＝－27.260,y y x +-==三、8.（1）y＝12±（2）121x x 5==- 9. 3，4，5 10. 32，23第5讲一、1．C 2.A 3.B 4.D 二、5. 7,6,8 6.9a+9,81－18a 7.10%三、8.设每月提高的百分率为x,原产量为a ，以题意得a(1+x)2=a(1+21%)220(1) 1.210.110% 2.1(10a x x ≠∴+====-∴Q 1解得x 舍去）为％9.设此种存款的年利率为x ，由题意得： 【2000（1＋x ）－1000】(1+x)=1320 所以年利率为10％10．设此种商品的售价为x 元，商品所赚利润s 最大.2210.(20010)2040020(10)20000.5102000.x s x x x s x x s -=-⨯=-+∴=--+∴=当时，取最大值。
【一元二次方程】全章复习(原创精品)适合章末、期中、期末、中考复习用
《一元二次方程 》 复习课时间： 学生：一、【自主自查】1．关于x 的方程221(1)50a a a xx --++-=是一元二次方程，则a =__________.2．方程20x x -=的解是______________；方程2(3)5(3)x x x -=-的解是______________。
3．如果1x =-是方程210x mx +-=的一个根，那么m 的值为______________。
4．填上适当的数，使等式成立：+-x x 52＝x (－ 2)． 5．当x = 时，代数式23x x -比代数式221x x --的值大2 ．6．若22340a ab b --=（0≠b ）,则ab=_________。
7．如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 。
8．解下列方程：（1）23(21)12x += （2）223(2)4x x -=-9．先用配方法说明：不论x 取何值，代数式257x x -+的值总大于0。
再求出当x 取何值时，代数式257x x -+的值最小？最小是多少？10．某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？二、【自主梳理】（知识、方法、易错）——思维导图三、【试题练析】（课堂完成）1．若t 是一元二次方程20(0)++=≠ax bx c a 的根，则判别式Δ24b ac =-和完全平方式2(2)M at b =+的大小关系是 。
2．已知关于x 的一元二次方程210x kx +-=。
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设的方程有两根分别为12,x x ，且满足1212x x x x +=⋅ 求k 的值。
3．将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。
专题01 一元二次方程章末重难点题型(举一反三)(解析版)
专题01 一元二次方程章末重难点题型【举一反三】 【考点1 一元二次方程的概念】【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
【例1】（2018秋•茂名期中）下面关于x 的方程中：①220ax x ++=；②223(9)(1)1x x --+=；③13x x+=；④22(1)0a a x a ++-=； ⑤11x x +=-．一元二次方程的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【答案】解：①ax 2+x +2＝0，当a ＝0时，该方程属于一元一次方程，故错误；②3（x ﹣9）2﹣（x +1）2＝1、④（a 2+a +1）x 2﹣a ＝0符合一元二次方程的定义，故正确；③x +3＝属于分式方程，故错误；⑤＝x ﹣1属于无理方程，故错误；故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．【变式1-1】（2018秋•准格尔旗期中）关于x 的方程2(1)320a x x --+=是一元二次方程，则( )A ．0a >B ．0a ≠C ．1a ≠D ．1a =【分析】根据“关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣3x +2＝0是一元二次方程”，得到二次项系数a ﹣1≠0，解之即可．【答案】解：∵关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣3x +2＝0是一元二次方程，∴a ﹣1≠0，a ≠1，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．【变式1-2】（2018秋•汨罗市期中）方程||(2)4310m m x x m ++++=是关于x 的一元二次方程，则()A ．2m =±B ．2m =C ．2m =-D ．2m ≠±【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【答案】解：由题意得：|m |＝2且m +2≠0，由解得得m ＝±2且m ≠﹣2，∴m ＝2．故选：B ．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx +c ＝0（且a ≠0）．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．【变式1-3】（2018春•杭州期中）已知关于x 的方程21(1)230mm x x +++-=是一元二次方程，则m 的值为() A ．1 B ．1- C ．1± D ．不能确定【分析】直接利用一元二次方程的定义得出关于m 的等式，进而得出答案．【答案】解：∵关于x 的方程（m +1）x+2x ﹣3＝0是一元二次方程，∴m +1≠0，m 2+1＝2，解得：m ＝1．故选：A ． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，注意二次项系数不能为零是解题关键．【考点2 一元二次方程的解】【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.【例2】（2018秋•金牛区校级期中）如果关于x 的一元二次方程22(3)390m x x m -++-=有一个解是0，那么m 的值是( )A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-【分析】把x ＝0代入方程（m ﹣3）x 2+3x +m 2﹣9＝0中，解关于m 的一元二次方程，注意m 的取值不能使原方程对二次项系数为0．【答案】解：把x ＝0代入方程（m ﹣3）x 2+3x +m 2﹣9＝0中，得m 2﹣9＝0，解得m ＝﹣3或3，当m ＝3时，原方程二次项系数m ﹣3＝0，舍去，故选：B ．【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．【变式2-1】（2019春•岱岳区期中）已知m 是方程2210x x --=的一个根，则代数式2242019m m -+的值为( )A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m 2﹣2m ＝1，再把2m 2﹣4m +2019表示为2（m 2﹣2m ）+2019，然后利用总体代入的方法计算．【答案】解：∵m 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的一个根，∴m 2﹣2m ﹣1＝0，∴m 2﹣2m ＝1，∴2m 2﹣4m +2019＝2（m 2﹣2m ）+2019＝2×1+2019＝2021．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了总体代入的计算方法．【变式2-2】（2019春•蚌埠期中）若方程20(0)ax bx c a ++=≠中，a ，b ，c 满足0a b c ++=和0a b c -+=，则方程的根是( )A ．1，0B ．1-，0C ．1，1-D ．无法确定【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．【答案】解：在这个式子中，如果把x ＝1代入方程，左边就变成a +b +c ，又由已知a +b +c ＝0可知：当x ＝1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．故选：C ．【点睛】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．【变式2-3】（2018秋•桐梓县期中）m 是方程210x x +-=的根，则式子3222018m m ++的值为( )A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020【分析】由m 是方程的根，可得m 2+m ＝1，变形m 3+2m 2+2018为m 3+m 2+m 2+2018，然后整体代入得结果【答案】解：∵m 是方程x 2+x ﹣1＝0的根，∴m 2+m ＝1∵m 3+2m 2+2018＝m 3+m 2+m 2+2018＝m （m 2+m ）+m 2+2018＝m +m 2+2018＝1+2018＝2019．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义及整体代入的思想，解决本题的关键是利用根的定义得关于m 的等式，变形m 3+2m 2+2018后整体代入．【考点3 用指定方法解一元二次方程】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤.【例3】（2018秋•镇原县期中）用指定的方法解下列方程：（1）24(1)360x --=（直接开平方法）（2）22510x x -+= （配方法）（3）(1)(2)4x x +-=（公式法）（4）2(1)(1)0x x x +-+=（因式分解法）【分析】（1）方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解；（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；（3）方程整理为一般形式，找出a ，b ，c 的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解；（4）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【答案】解：（1）方程变形得：（x ﹣1）2＝9，开方得：x ﹣1＝3或x ﹣1＝﹣3，解得：x 1＝4，x 2＝﹣2；（2）方程变形得：x 2﹣x ＝﹣，配方得：x 2﹣x +＝（x ﹣）2＝，开方得：x ﹣＝±， 则x 1＝，x 2＝； （3）方程整理得：x 2﹣x ﹣6＝0，这里a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣6，∵△＝1+24＝25，∴x ＝，则x 1＝3，x 2＝﹣2；（4）分解因式得：（x +1）（2﹣x ）＝0，解得：x 1＝﹣1，x 2＝2．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．【变式3-1】（2019秋•上栗县校级月考）按指定的方法解下列方程：（1）2670x x --=（配方法）（2）226(3)x x -=-（因式分解法）（3）23410x x -+=（公式法）（4）25(1)10x +=（直接开平方法）【分析】（1）利用配方法解出方程；（2）利用因式分解法解出方程；（3）利用公式法解出方程；（4）利用直接开平方法解出方程．【答案】解：（1）x 2﹣6x ﹣7＝0x 2﹣6x +9＝7+9（x ﹣3）2＝16x ﹣3＝±4x 1＝7，x 2＝﹣1；（2）2x ﹣6＝（x ﹣3）2（x ﹣3）（x ﹣3﹣2）＝0x 1＝3，x 2＝5；（3）3x 2﹣4x +1＝0x ＝x 1＝1，x 2＝；（4）5（x +1）2＝10x +1＝±x 1＝﹣1，x 2＝﹣﹣1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．【变式3-2】（2019秋•来宾期中）按指定的方法解下列方程：（1）21(21)3202x --=（直接开平方法） （2）23410x x ++=（配方法）（3）270x x --=（公式法） （4）2133x x -=-（因式分解法）【分析】（1）移项，整理，利用直接开平方法求得方程的解即可；（2）利用配方法解方程求得答案；（3）利用公式法，首先判别式△的值，继而求得答案；（4）利用因式分解法求得方程的解即可． 【答案】解：（1））（2x ﹣1）2﹣32＝0整理，得（2x ﹣1）2＝64，2x ﹣1＝±8， 解得：x 1＝，x 2＝﹣；（2）3x 2+4x +1＝03x 2+4x ＝﹣1，x 2+x ＝﹣，x 2+x +＝﹣+，（x +）2＝x +＝±，解得：x 1＝﹣，x 2＝﹣1；（3）x 2﹣x ﹣7＝0b 2﹣4ac ＝（﹣1）2﹣4×（﹣7）＝29，x ＝， 解得：x 1＝，x 2＝；（4）x 2﹣1＝3x ﹣3，x 2﹣1﹣3x +3＝0，（x +1）（x ﹣1）﹣3（x ﹣1）＝0，（x ﹣1）（x +1﹣3）＝0，x ﹣1＝0，x ﹣2＝0，解得：x 1＝1，x 2＝2．【点睛】本题考查了利用解一元二次方程，解此题的关键是能根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程．【变式3-3】（2019秋•泰州月考）按照指定方法解下列方程：（1）2(21)9x -= （用直接开平方法）（2）22980x x -+= （用配方法）（3）2230x x --= （用求根公式法）（4）7(52)6(52)x x x +=+（用因式分解法）【分析】（1）直接利用开平方法解方程；（2）先变形为x 2﹣x ＝﹣4，然后利用配方法解方程；（3）利用求根公式法解方程；（4）先移项得到7x （5x +2）﹣6（5x +2）＝0，然后利用因式分解法解方程．【答案】解：（1）2x ﹣1＝±3，所以x 1＝2，x 2＝﹣1；（2）x 2﹣x ＝﹣4，x 2﹣x +＝﹣4+， （x ﹣）2＝，x ﹣＝±，所以x 1＝+，x 2＝﹣；（3）△＝（﹣2）2﹣4×（﹣3）＝16，x ＝，所以x 1＝3，x 2＝﹣1；（4）7x （5x +2）﹣6（5x +2）＝0，（5x +2）（7x ﹣6）＝0，5x +2＝0或7x ﹣6＝0，所以x 1＝﹣，x 2＝．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法、配方法和公式法解一元二次方程．【考点4 一元二次方程根的判别式】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握根的判别式：当①b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根；③b 2-4ac ＜0时，方程无实数根，反之亦成立.【例4】（2019春•阜阳期中）已知关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10a x a x a ---++=有两个实数根．（1）求a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若a 为最大的正整数，求此时方程的根．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，结合一元二次方程的定义可得a 的范围；（2）将a 的值代入得出方程，解之可得．【答案】解：（1）由题意知△≥0，即4（a ﹣1）2﹣4（a ﹣2）（a +1）≥0，解得：a ≤3，∴a ≤3且a ≠2；（2）由题意知a ＝3，则方程为x 2﹣4x +4＝0，解得：x 1＝x 2＝2．【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 的关系是解答此题的关键．【变式4-1】关于x 的一元二次方程为22(2)0x x m m --+=（1）求证：无论m 为何实数，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正数．【分析】（1）先计算判别式的值，利用配方法得到△＝4（m +1）2，然后证明△≥0即可；（2）利用求根公式解方程得到x 1＝m +2，x 2＝﹣m ，则m +2＞0且﹣m ＞0，解得﹣2＜m ＜0，然后找出此范围内的整数即可．【答案】（1）证明：△＝（﹣2）2﹣4×[﹣m （m +2）]＝4m 2+8m +4＝4（m +1）2，∵4（m +1）2≥0，∴△≥0，∴无论m 为何实数，方程总有实数根；（2）解：x ＝＝1±（m +1），所以x 1＝m +2，x 2＝﹣m ，根据题意得m +2＞0且﹣m ＞0，所以﹣2＜m ＜0，所以整数m 为﹣1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．【变式4-2】（2019春•西湖区校级期中）已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：方程222222()0a x a c b x c -+-+=没有实数根．【分析】求出△，然后对△进行因式分解，利用三角形三边的关系可证明△＜0，因此得到答案．【答案】解：∵a ，b ，c 为△ABC 的三边长，∴a 2≠0．∴△＝（a 2+c 2﹣b 2）2﹣4a 2c 2＝（a 2+c 2﹣b 2+2ac ）（a 2+c 2﹣b 2﹣2ac ）＝[（a +c ）2﹣b 2][（a ﹣c ）2﹣b 2]，＝（a +b +c ）（a +c ﹣b ）（a ﹣c +b ）（a ﹣c ﹣b ），又∵三角形任意两边之和大于第三边，∴a +b +c ＞0，a +c ﹣b ＞0，a ﹣c +b ＞0，a ﹣c ﹣b ＜0．∴（a +b +c ）（a +c ﹣b ）（a ﹣c +b ）（a ﹣c ﹣b ）＜0．∴△＜0．∴原方程没有实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了因式分解和三角形的三边关系．【变式4-3】（2018秋•宜昌期末）已知228160(0)x x m m -+-=≠是关于x 的一元二次方程（1）证明：此方程总有两个不相等的实数根；（2）若等腰ABC ∆的一边长6a =，另两边长b 、c 是该方程的两个实数根，求ABC ∆的面积．【分析】（1）计算判别式的值得到△＝4m 2，从而得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x ＝4±m ，即b ＝4+m ，c ＝4﹣m ，讨论：当b ＝a ＝6时，即4+m ＝6，解得m ＝2，利用勾股定理计算出底边上的高，然后计算△ABC 的面积；当c ＝a 时，即4﹣m ＝6，解得m ＝﹣2，即a ＝c ＝6，b ＝2，利用同样方法计算△ABC 的面积．【答案】（1）证明：△＝（﹣8）2﹣4×（16﹣m 2）＝4m 2，∵m ≠0，∴m 2＞0，∴△＞0，∴此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵x ＝4±m ，即b ＝4+m ，c ＝4﹣m ，当b ＝a 时，4+m ＝6，解得m ＝2，即a ＝b ＝6，c ＝2，底边上的高为＝，所以△ABC 的面积＝×2×＝；当c ＝a 时，4﹣m ＝6，解得m ＝﹣2，即a ＝c ＝6，b ＝2，底边上的高为＝，所以△ABC 的面积＝×2×＝，即△ABC 的面积为． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．【考点5 一元二次方程根与系数的关系】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积，并且能够灵活运用所学 知识对代数式进行变形得到两根之和与两根之积的形式，代入即可求值.【例5】（2018秋•江汉区月考）已知1x ，2x 是方程23350x x --=的两个根，不解方程，求下列代数式的值；（1）2212x x +（2）1211x x + 【分析】（1）将所求的代数式进行变形处理：x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2．（2）根据异分母分式的加法法则进行变形处理，代入求值即可．【答案】解：∵x 1，x 2是方程3x 2﹣3x ﹣5＝0的两个根，∴x 1+x 2＝1，x 1•x 2＝﹣．（1）x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝12+2×＝．（2）＝＝＝﹣． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．【变式5-1】（2018秋•北湖区校级月考）已知m ，n 是方程220140x x --=的两个实数根，求下列代数式的值．（1）22015m m -+；（2）22014()(1)m m m m--+； （3）222014m m n --+．【分析】根据根与系数的关系可得：m +n ＝1，mn ＝﹣2014，m 2﹣m ＝2014．（1）将m 2﹣m ＝2014代入m 2﹣m +2015中，即可求出结论；（2）将m +n ＝1，mn ＝﹣2014，m 2﹣m ＝2014代入（m 2﹣m ）（m ﹣+1）＝（m 2﹣m ）×（m +n +1）中，即可求出结论；（3）将m +n ＝1，m 2﹣m ＝2014代入m 2﹣2m ﹣n +2014＝（m 2﹣m ）﹣（m +n ）+2014中，即可求出结论．【答案】解：∵m ，n 是方程x 2﹣x ﹣2014＝0的两个实数根，∴m +n ＝1，mn ＝﹣2014，m 2﹣m ＝2014．（1）m 2﹣m +2015＝2014+2015＝4029；（2）（m 2﹣m ）（m ﹣+1）＝（m 2﹣m ）×（m +n +1）＝2014×2＝4028； （3）m 2﹣2m ﹣n +2014＝（m 2﹣m ）﹣（m +n ）+2014＝2014﹣1+2014＝4027．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的化简求值，解题的关键是：（1）利用根与系数的关系找出m 2﹣m ＝2014；（2）将（m 2﹣m ）（m ﹣+1）变形为（m 2﹣m ）×（m +n +1）；（3）将m 2﹣2m﹣n +2014变形为（m 2﹣m ）﹣（m +n ）+2014．【变式5-2】（2018秋•江都区校级月考）已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程24410kx kx k +++=的两个实根，是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【分析】由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x 1+x 2＝﹣1，x 1x 2＝，然后把x 1+x 2、x 1x 2代入（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝﹣中，进而可求k 的值；【答案】解：不存在，理由：假设成立，∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2+4kx +k +1＝0的两个实根，∴△＝16k 2﹣4×4k （k +1）＝﹣16k ≥0，且k ≠0∴k ＜0， ∵x 1、x 2是一元二次方程4kx 2﹣4kx +k +1＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝﹣1，x 1x 2＝， ∴（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝2x 12﹣4x 1x 2﹣x 1x 2+2x 22＝2（x 1+x 2）2﹣9x 1x 2＝2×（﹣1）2﹣9×＝2﹣，∵（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝﹣，∴2﹣＝﹣，∴k ＝，∵k ＜0， ∴不存在这样k 的值，使（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝﹣成立【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关系．【变式5-3】（2018秋•龙湖区校级月考）已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程222(1)50x m x m -+++=的两实数根，且1x ，2x 恰好是ABC ∆另外两边的边长，已知等腰ABC ∆的一边长为7，求这个三角形的周长．【分析】分类讨论：若x 1＝7时，把x ＝7代入方程得49﹣14（m +1）+m 2+5＝0，解得m 1＝10，m 2＝4，当m ＝10时，由根与系数的关系得x 1+x 2＝2（m +1）＝22，解得x 2＝15，根据三角形三边的关系，m ＝10舍去；当m ＝4时，x 1+x 2＝2（m +1）＝10，解得x 2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；若x 1＝x 2，则m ＝2，方程化为x 2﹣6x +9＝0，解得x 1＝x 2＝3，根据三角形三边的关系，m ＝2舍去．【答案】解：∵x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，而等腰△ABC 的一边长为7，∴x ＝7必是一元二次方程x 2﹣2（m +1）x +m 2+5＝0的一个解，把x ＝7代入方程得49﹣14（m +1）+m 2+5＝0，整理得m 2﹣14m +40＝0，解得m 1＝10，m 2＝4，当m ＝10时，x 1+x 2＝2（m +1）＝22，解得x 2＝15，而7+7＜15，故舍去；当m ＝4时，x 1+x 2＝2（m +1）＝10，解得x 2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；若x 1＝x 2，则m ＝2，方程化为x 2﹣6x +9＝0，解得x 1＝x 2＝3，则3+3＜7，故舍去，所以这个三角形的周长为17．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，根的判别式，等腰三角形的性质以及三角形三边的关系，难度适中．【考点6 有关一元二次方程传播问题】【方法点拨】解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。
高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习教学案第一册数学教学案
第2章一元二次函数、方程和不等式知识系统整合规律方法收藏1．比较数(式)的大小依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式．步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．2．利用基本不等式证明不等式(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”．(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．3．利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等．即：①x，y都是正数．②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)．③x与y必须能够相等(等号能够取到)．(2)构造定值条件的常用技巧①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．4．解一元二次不等式的步骤当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下：(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图；(3)由图象写出不等式的解集．特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况．(2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a 转变为－a 再进行求解．5．一元二次不等式的实际应用不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤是：(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题． (2)简化假设：精选问题中的关键变量． (3)列出关系式：建立变量间的不等关系式． (4)求解：运用数学知识解相应不等式．(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题的答案．学科思想培优一、常数代换法[典例1] 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41＋y 的最小值为( )A ．5 B.143 C.92D ．2解析 因为x ＋y ＝1，所以x ＋(1＋y )＝2，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝[x ＋(1＋y )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝4x 1＋y ＋1＋yx＋5≥24x 1＋y ·1＋y x ＋5＝9，所以1x ＋41＋y ≥92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x 1＋y ＝1＋y x ，x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝13时，等号成立，因此1x ＋41＋y 的最小值为92.故选C.答案 C 二、消元法[典例2] 设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为________．解析 解法一：由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，故y 2xz ＝(x ＋3z )24xz ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋x z ＋9z x ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2x z ·9z x ＝3， 当且仅当x ＝y ＝3z 时取等号，即y 2xz 的最小值为3.解法二：由x －2y ＋3z ＝0，得x ＝2y －3z ，x y＝2－3zy＞0.y 2xz ＝y 2(2y －3z )z ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3z y ·3z y ≥3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫2－3z y ＋3z y 2＝3.当且仅当x ＝y ＝3z 时取等号，即y2xz 的最小值为3.答案 3 三、配凑法1．从和或积为定值的角度入手配凑某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值，在不等式的变形中，配凑出这些定值，可使问题巧妙获解．常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等常规运算和技巧．[典例3] 设x >0，y >0，x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．解 ∵x >0，y >0，x 2与y 22的和为定值，∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝2x 2·1＋y 22≤2·x 2＋1＋y 222＝2·x 2＋y 22＋122＝324，当且仅当x 2＝1＋y 22，即x ＝32，y ＝22时取等号，即x 1＋y 2的最大值为324.[典例4] 已知x ，y ，z 为正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，求(x ＋y )(y ＋z )的最小值． 解 由条件得x ＋y ＋z ＝1xyz，则(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝y (x ＋y ＋z )＋xz ＝y ·1xyz ＋xz ＝1xz ＋xz ≥2，当且仅当1xz＝xz ，即xz ＝1时取等号，故(x ＋y )(y ＋z )的最小值为2.[典例5] 设a 1，a 2，a 3，…，a n 均为正实数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .证明 为了约去a 2k a k ＋1中的分母，可考虑配上一项a k ＋1，于是有a 21a 2＋a 2≥2a 1，a 22a 3＋a 3≥2a 2，…，a 2n －1a n ＋a n ≥2a n －1，a 2na 1＋a 1≥2a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时取等号．以上不等式相加，化简，可得原不等式成立．2．从取等号的条件入手配凑在题中约束条件下，各变元将取某个特定值，这就提示我们可考虑用这些值来进行配凑． [典例6] 设a ，b ，c ＞0，a ＋b ＋c ＝1，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值． 解2·3a ＋1≤2＋3a ＋12＝3a ＋32，2·3b ＋1≤3b ＋32，2·3c ＋1≤3c ＋32.以上三式相加，并利用a ＋b ＋c ＝1，得2(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)≤6，故3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为3 2.四、判别式法在“三个二次”问题中的应用一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切，习惯上称为“三个二次”问题．根据判别式法在解一元二次方程中的作用，可见判别式法在“三个二次”问题中的重要性．1．求变量的取值范围[典例7] 不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立． ①若m 2－2m －3＝0，则m ＝－1或m ＝3.当m ＝－1时，不符合题意；当m ＝3时，符合题意．②若m 2－2m －3≠0，设y ＝(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立． 则m 2－2m －3<0，Δ＝b 2－4ac ＝5m 2－14m －3<0， 解得－15<m <3.故实数m 的取值范围是－15<m <3.2．求最值[典例8] 已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＋ab ＝30，试求实数a ，b 为何值时，ab 取得最大值．解 构造关于a 的二次方程，应用“判别式法”．设ab ＝y ， ①由已知得a ＋2b ＋y ＝30. ②由①②消去b ，整理得a 2＋(y －30)a ＋2y ＝0， ③对于③，由Δ＝(y －30)2－4×2y ≥0，即y 2－68y ＋900≥0，解得y ≤18或y ≥50，又y ＝ab ＜30，故舍去y ≥50，得y ≤18.把y ＝18代入③(注意此时Δ＝0)，得a 2－12a ＋36＝0，即a ＝6，从而b ＝3.故当a ＝6，b ＝3时，ab 取得最大值18.3．证明不等式[典例9] 已知x ，y ∈R ，证明：2x 2＋2xy ＋y 2－4x ＋5>0恒成立．证明 不等式可变形为y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5>0，将不等式左边看作关于y 的二次函数，令z ＝y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5，则关于y 的一元二次方程y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5＝0的根的判别式Δ＝4x 2－4(2x 2－4x ＋5)＝－4(x －2)2－4<0，即Δ<0.则对于二次函数z ＝y 2＋2xy ＋2x2－4x ＋5，其图象开口向上，且在x 轴上方，所以z >0恒成立，即2x 2＋2xy ＋y 2－4x ＋5>0恒成立．五、含变量的不等式恒成立问题[典例10] 对于满足0≤p ≤4的一切实数，不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3恒成立，试求x 的取值范围．解 原不等式可化为x 2＋px －4x －p ＋3＞0， 令y ＝x 2＋px －4x －p ＋3 ＝(x －1)p ＋(x 2－4x ＋3)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0(p ＝0)，4(x －1)＋x 2－4x ＋3＞0(p ＝4)，解得x ＞3或x ＜－1.故x 的取值范围是x <－1或x >3.。
高中数学二次函数与一元二次方程、不等式 章末复习
章末复习一、不等式性质的应用1．不等式的性质常用来比较大小和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解．2．掌握不等式的性质，重点提升数学抽象和数学运算素养． 例1 下列结论正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a 2>b 2，则a >bC ．若a >b ，c <0，则a ＋c <b ＋cD ．若a <b ，则a <b 答案 D解析 选项A 中，当c ＝0时不符，所以A 项错；选项B 中，当a ＝－2，b ＝－1时，符合a 2>b 2，不满足a >b ，B 项错； 选项C 中，a ＋c >b ＋c ，所以C 项错；选项D 中，因为0≤a <b ，由不等式的可乘方性，(a )2<(b )2，即a <b .故选D. 反思感悟 利用特殊值进行排除更直接，有利于提高解题速度． 跟踪训练1 设a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋1a ≥2B ．a 2＋b 2≥2abC ．a ＋b ＋1a ＋b ≥2D.1a ＋1b ≥2＋2a ＋b答案 D解析 可采用排除法或特殊值法．(特殊值法)令a ＝b ＝1， 则1a ＋1b ＝2,2＋2a ＋b＝3，故D 不正确．二、解不等式1．对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． 2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 3．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 例2 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0(a ∈R )． 解 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.当a <0时，a <a 2，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当a ＝0时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当0<a <1时，a 2<a ，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝1时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠1}； 当a >1时，a <a 2，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；综上所述，当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}．反思感悟 对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．跟踪训练2 若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2， (1)求a 的值；(2)求不等式1－axx ＋1>a ＋5的解集．解 (1)依题意，可得ax 2＋5x －2＝0的两个实数根为12和2，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧12×2＝－2a，12＋2＝－5a ，解得a ＝－2.(2)将a ＝－2代入不等式，得1＋2x x ＋1>3，即1＋2xx ＋1－3>0， 整理得－(x ＋2)x ＋1>0，即(x ＋1)(x ＋2)<0，解得－2<x <－1，则不等式的解集为{x |－2<x <－1}．三、基本不等式的应用1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现．2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养． 例3 (1)已知2a ＋b ＝1，a >0，b >0，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．2 2B ．3－2 2C ．3＋2 2D ．3＋ 2答案 C解析 1a ＋1b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2ab＝3＋2 2. 当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋1b的最小值是3＋2 2. (2)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．6－4 2D ．6＋4 2答案 D解析 1a ＋1b ＋1c ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c ) ＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2bc≥4＋22b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·2b c＝6＋42，当且仅当2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2bc ，即a ＝c ＝1－22，b ＝2－12时，等号成立． 反思感悟 (1)注意寻求已知条件与目标函数之间的联系．(2)利用添项和拆项的配凑方法，使积(或和)产生定值．特别注意“1”的代换．跟踪训练3 已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．解 因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当ay x ＝bx y ，即yx＝ba时，等号成立， 所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18， 又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根， 所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2. 四、不等式在实际问题中的应用不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养．例4 某厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是50⎝⎛⎭⎫5x －3x ＋1元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于1 500元，求x 的取值范围；(2)要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．解 (1)根据题意， 有100⎝⎛⎭⎫5x －3x ＋1≥1 500， 即5x 2－14x －3≥0，得x ≥3或x ≤－15，又1≤x ≤10，所以3≤x ≤10.(2)设生产480千克该产品获得的利润为u 元， 则u ＝24 000⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2，1≤x ≤10， 记y ＝－3x 2＋1x ＋5(1≤x ≤10)，则y ＝－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋112＋5(1≤x ≤10)， 当x ＝6时，y 取得最大值6112，此时u ＝24 000×6112＝122 000，故该厂以6千克/时的速度生产480千克该产品可获得最大利润122 000元．反思感悟 认识数学模型在科学、社会工程等诸多领域的作用，提升应用能力、实践能力，是数学建模核心素养的培养目标之一．跟踪训练4 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x (x >1)，写出公园ABCD 所占面积S 与x 的关系式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？解 (1)设休闲区的宽B 1C 1为a 米，则长A 1B 1为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x .则S ＝(a ＋8)(ax ＋20) ＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160 ＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)． (2)8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．1．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >－1}答案 B解析 方法一 由题设条件知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根．由一元二次方程根与系数的关系，知⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，－1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.则2x 2＋bx ＋a <0的解集即为2x 2＋x －1<0的解集，是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12. 方法二 由题设条件知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根． 分别把x ＝－1,2代入方程ax 2＋bx ＋2＝0中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝0，4a ＋2b ＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.则2x 2＋x －1<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12. 2．设a >0，b >0，则以下不等式中不恒成立的是( ) A ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 B ．a 3＋b 3>2ab 2 C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2b D.|a －b |≥a －b答案 B解析 当a ＝b 时，a 3＋b 3＝2ab 2， 故a 3＋b 3>2ab 2不恒成立，故选B.3．若不等式x 2＋ax ＋1≥0在0<x ≤2上恒成立，则a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－52 D ．－3答案 B解析 ∵x 2＋ax ＋1≥0在0<x ≤2上恒成立， ∴ax ≥－x 2－1在0<x ≤2上恒成立．∴a ≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max ，0<x ≤2， ∵x ＋1x ≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝1时取“＝”， ∴a ≥－2，故选B.4．已知y ＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.答案 36解析 y ＝4x ＋ax≥24x ·ax＝4a (x >0，a >0)， 当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立，此时y min ＝4a .又由已知x ＝3时，y min ＝4a .∴a2＝3，即a ＝36. 5．已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为{x |x 1<x <x 2}，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是________． 答案433解析 由题意，可知x 1，x 2是方程x 2－4ax ＋3a 2＝0的两个根，则x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，所以x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a ≥433，当且仅当a ＝36时，等号成立．。
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章末复习(二) 一元二次方程基础题知识点1 一元二次方程的概念及解 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．x 2＋2x －y ＝3 B.3x －1x 2＝23 C ．(3x 2－1)2－3＝0D.5x 2－8＝ 32．方程x 2－4x －7＝0必有一个解满足( ) A ．－1＜x ＜0 B ．－2＜x ＜－1 C ．0＜x ＜3 D ．3＜x ＜432＋2x －10＝0的一个近似解为x ≈________．(结果精确到0.1)4.已知x ＝－1是关于x 的方程－2x －ax ＋a ＝0的一个根，求a 的值．知识点2 解一元二次方程5．用配方法解方程x 2＋10x ＋9＝0，配方后可得( ) A ．(x ＋5)2＝16 B ．(x ＋5)2＝1 C ．(x ＋10)2＝91 D ．(x ＋10)2＝1096．方程(x －5)(x ＋2)＝1的解为( ) A ．5 B ．－2C ．5和－2D ．以上结论都不对 7．用恰当的方法解下列一元二次方程： (1)x 2－10x ＋25＝7；(2)x 2－5x ＋2＝0；(3)(x＋2)(x－1)＝2－2x；(4)(2x＋3)2＝x2－6x＋9.知识点3一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系8．(滨州中考)一元二次方程4x2＋1＝4x的根的情况是( )A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根9．(荆门中考)已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的两个实数根为x1，x2，若x21＋x22＝4，则m的值为________．10．已知m，n是一元二次方程x2－2x－2 019＝0的两根，求(m＋1)(n＋1)的值．知识点4一元二次方程的应用11．要用一条长24 cm的铁丝围成一个斜边长是10 cm的直角三角形，则两直角边的长分别为( )A．4 cm，8 cm B．6 cm，8 cmC．4 cm，10 cm D．7 cm，7 cm12．为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2013年用于绿化的投资是20万元，2015年用于绿化的投资是25万元，求这两年绿化投资的平均增长率，设这两年绿化投资的平均增长率为x，根据题意所列的方程为________________．13．在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画(如图1)的四周镶上宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图2)，使整个挂图的面积是80平方分米，设金色纸边宽为x分米，可列方程为____________．14．滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．解：设应邀请x支球队参赛，则每队共打________场比赛，比赛总场数用代数式表示为________．根据题意，可列出方程________________．整理，得______________．解这个方程，得______________．合乎实际意义的解为________．答：应邀请________支球队参赛．15．如图，小明将一根长为1.4米的竹条截为两段，并互相垂直固定，作为风筝的龙骨，制作成了一个面积为0.24米2的风筝，请你计算一下将竹条截成长度分别为多少的两段？中档题16．对于方程(x－1)(x－2)＝x－2，下面给出的说法不正确的是( )A．与方程x2＋4＝4x的解相同B．两边都除以x－2，得x－1＝1，可以解得x＝2C．方程有两个相等的实数根D．移项、分解因式，得(x－2)2＝0，可以解得x1＝x2＝217．用一条长为60 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为( )A．240 B．225 C．60 D．3018．如果关于x的方程x2－ax＋a2－3＝0至少有一个正根，则实数a的取值范围是( )A．－2＜a＜2 B.3＜a≤2C．－3＜a≤2 D．－3≤a≤219．当m＝________时，关于x的方程(m－2)xm2－2＋2x－1＝0是一元二次方程．20．(台州中考)关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是________(填序号)．21．用恰当的方法解下列一元二次方程：(1)3x2－6x＋2＝0；(2)x2－2(x＋4)＝0；(3)x2－1＝4(x＋1)．22．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2－4x＋5m＝mx＋5与x2＋2x＋m－1＝0互为“友好方程”，求m的值．23．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；(2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？24．(梅州中考)已知关于x的方程x2＋2x＋a－2＝0.(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；(2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．25．如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝7 cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1 cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2 cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4 cm2?综合题26．实验与操作：小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为4 cm的正方体．(1)如图1所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为 1 cm的正方形孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为________cm2；(2)如果在第(1)题打孔后，再在正面中心位置(如图2所示)从前到后打一个边长为1 cm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为________cm2；(3)如果把(1)、(2)中的边长为1 cm的通孔均改为边长为a cm(a≠1)的通孔，能否使橡皮泥块的表面积为118 cm2？如果能，求出a，如果不能，请说明理由．参考答案基础题1．D 2.B 3.－4.34.把x ＝－1代入－2x 2－ax ＋a 2＝0，得－2×(－1)2－(－1)a ＋a 2＝0， 整理，得a 2＋a －2＝0.解得a 1＝－2，a 2＝1.∴a 的值为－2或1.5.A6.D7.(1)(x －5)2＝7，x －5＝±7，∴x 1＝5＋7，x 2＝5－7. (2)a ＝1，b ＝－5，c ＝2，∵Δ＝25－8＝17＞0，∴x ＝5±172.∴x 1＝5＋172，x 2＝5－172.(3)(x ＋2)(x －1)＋2(x －1)＝0，(x －1)(x ＋4)＝0， ∴x －1＝0或x ＋4＝0.∴x 1＝1，x 2＝－4.(4)∵(2x ＋3)2＝(x －3)2，∴2x ＋3＝x －3或2x ＋3＝3－x.解得x 1＝－6，x 2＝0. 8.C 9.－1或－310.根据题意得m ＋n ＝2，mn ＝－2 019，原式＝mn ＋m ＋n ＋1＝－2 019＋2＋1＝－2 016.11.B 12.20(1＋x)2＝25 13.(2x ＋6)(2x ＋8)＝80 14.(x －1) 12x(x －1) 12x(x －1)＝28 12x 2－12x ＝28 x 1＝8，x 2＝－7 x ＝8 815.设将竹条截成长度分别为x 米和(1.4－x)米的两段，根据题意得12x(1.4－x)＝0.24，解得x 1＝0.6，x 2＝0.8.当x 1＝0.6时，1－x ＝0.8；当x 2＝0.8时，1－x ＝0.6.答：将竹条截成长度分别为0.6米和0.8米的两段． 中档题16．B 17.A 18.C 19.－2 20.①③21.(1)∵b 2－4ac ＝(－6)2－4×3×2＝12，∴x ＝6±122×3.∴x 1＝3＋33，x 2＝3－33.(2)x 2－2x －8＝0，x 2－2x ＝8，x 2－2x ＋1＝9，∴(x －1)2＝9.∴x －1＝±3.∴x 1＝－2，x 2＝4. (3)移项，得(x ＋1)(x －1)－4(x ＋1)＝0.分解因式，得(x ＋1)(x －1－4)＝0.∴x ＋1＝0或x －1－4＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5. 22.x 2－4x ＋5m ＝mx ＋5，整理，得x 2－(4＋m)x ＋5(m －1)＝0. 分解因式，得(x －5)[x －(m －1)]＝0.解得x 1＝5，x 2＝m －1. 当x ＝5时，25＋52＋m －1＝0，解得m ＝－24－5 2.∴m －1＝－25－52，此时方程x 2＋2x ＋m －1＝0为x 2＋2x －25－52＝0. 解得x 1＝5，x 2＝－5－ 2.∵－5－2≠－25－52，∴m ＝－24－52符合题意．当x ＝m －1时，(m －1)2＋2(m －1)＋m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－ 2.当m ＝1时，m －1＝0，此时方程x 2＋2x ＋m －1＝0为x 2＋2x ＝0.解得x 1＝－2，x 2＝0.∵－2≠5，∴m ＝1符合题意．当m ＝－2时，m －1＝－2－1，此时方程x 2＋2x ＋m －1＝0为x 2＋2x －2－1＝0.解得x 1＝1，x 2＝2－1.∵1≠5，∴m ＝－2符合题意．所以m 的值为－24－52或1或－ 2.23.(1)设每次降价的百分率为x ，由题意，得40×(1－x)2＝32.4.解得x 1＝10%，x 2＝190%(不符合题意，舍去)．答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率为10%.(2)设每件商品应降价y 元，由题意，得(40－30－y)(y0.5×4＋48)＝512.解得y 1＝y 2＝2.答：每天要想获得512元的利润，每件应降价2元． 24.(1)∵b 2－4ac ＝22－4×1×(a －2)＝12－4a ＞0，解得a ＜3. ∴a 的取值范围是a ＜3.(2)设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 1＝－2，1·x 1＝a －2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，x 1＝－3.则a 的值是－1，该方程的另一根为－3.25.过点Q 作QE ⊥PB 于E ，则∠QEB ＝90°.∵∠ABC ＝30°，∴QE ＝12QB.∴S △PQB ＝12PB ·QE.设经过t 秒后△PBQ 的面积等于4 cm 2，则PB ＝6－t ，QB ＝2t ，QE ＝t.根据题意，得12(6－t)·t ＝4，即t 2－6t ＋8＝0.解得t 1＝2，t 2＝4.当t ＝4时，2t ＝8，8＞7，不合题意，舍去，所以t ＝2.答：经过2秒后△PBQ 的面积等于4 cm 2. 综合题 26．(1)110 (2)118 (3)能使橡皮泥块的表面积为118 cm 2，理由：∵S 1＝96－2a 2＋4a ×4，S 2＝S 1－4a 2＋4×4a －4a 2，∴96－2a 2＋16a －8a 2＋16a ＝118.解得a 1＝115，a 2＝1.∵a ≠1，115＜4，∴当边长改为115cm 时，表面积为118 cm 2.。