从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧

从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧
题：设湖岸MN 是一条直线，有一小船自岸边的A 点沿与湖岸成α＝15°角的方向匀速向湖中驶去，有一个人自A 点同时出发，，他先沿岸走一段再入水中游泳去追小船.已知人在岸上走的速度为v1 =4m/s ，在水中游泳的速度为v2＝2m/s ，试求小船的速度至多为多大时，这人才能追上小船？
方法1：微元法 如图，设人在D 点入水并在B 点刚好能追上小船，这表明：此时人追上小船所用时间最少，对应的小船速度最大.
D 点两侧各有入水点C 和
E ，使得在该处入水追船所用时间相等.
现设C 、E 是D 点两侧附近无限靠近D 点的两点，并设分别从C 、E 点入水追小船所用总时间相等.
现在BC 段截取BF=BE ，那么∠BFE ＝90°.
由于从C 、E 点入水追小船所用总时间相等，所以，人在CE 段走与在CF 段游泳所用时间相等.
于是
因为C 、E 两点无限靠近D 点，所以∠BDN ＝θ＝60°，作BK ⊥BD 交MN 于K ，于是DK=2BD. 又因为v1=2v2,则人游DK 段与走DK 段所用时间相等.所以人自出发经D 点再到B 点与人由A 点一直走到K 点所用时间相同，并都等于小船从A 到B 所用的最少时间.
即有
在⊿ABK 中，用正弦定理可得：
那么
方法2：类比法
设想MN 为甲和乙两种介质的分界面，光在甲中的速度为v1，在乙中的速度为v2，据费马原理可知，B →D →A 是光从B 传到A 费时最少的路径，而β是临界角. 这可类比本题人从A 经D 到B 的追船情况.
由此得： 下面解法与方法1相同.最后可得：
方法3：图解法
如图，设人开始运动就一直游泳，那么他能到达的区域是以A 为圆心、以v2t 为半径的半圆中的任何一点，若他一直沿湖岸走，那么他在t 时间内可以到达AK ＝v1t 中的任何一点，若他先沿岸走一段再入水追船，那么 他可以在t 时间内到达图中⊿AEF 中的任何一点.所以，他若能追上船，船也必须在t 时间内到达这区域.由于题设小船沿α角的方向运动，所以沿此方向的直线与EK 线的交点B 是船以最大速度运动且又能被人追上的地点.
在Rt ⊿AEK 中，因为AK=2AE ，所以∠AKE ＝30°， 于是，∠ABK ＝180 °－15 °－ 30°＝135°
在⊿ABK 中,据正弦定理得：
而
所以：
方法4：矢量图解法 设人先沿岸走一段，再入水追船，以船为参考系，由于人和船是同时由A 点出发的，则人在沿岸走时，
船看到人正在由船所在位置逐渐“离去”，离去的相对速度u 1为： 要人能追上船，即人能回到船上，则其返回的相对速度u 2必须沿u 1的反方向，返回的相对速度u 2为： 作图：（1）以MN 线上的A 点为起点作矢量v 1得K 点； （2）以A 点为圆心，以v2的大小为半径作圆;
（3）作直线AC ，使它与MN 线的夹角为α＝15°； 设K 点与圆上的任一点E 的连线与AC 线的交点为B ，则AB 表示船速，BK 表示人相对船的“离开”速度u 1，而BE 表示人相对船的“返回”速度u 2.
显然，当KE 与圆相切时，AB 线最长，表示船速最大，由此有作图步骤: （4）作KE 与圆相切于E 点，并与AC 相交于B 点.
由于AK=AE ，所以，∠AKF ＝30°， ∠ABE ＝45°. 因而⊿ABE 为等腰直角三角形，那么
21v CF v CE =2
1
cos ==CE CF θ︒
=60θ1
max v AK
v AB =21
135sin 30sin =︒︒=AK AB )/(2222211max
s m v v v ===︒
==30arcsin 1
2v v β)/(22max s m v =21
135sin 30sin =︒︒=AK AB 1
max
1max v v t v t v AK AB ==)/(2222
2
11max
s m v v v ===v
v u
-=11v v u -=22)/(2222max s m v v ==
方法5：等效法
设人在B 点追上船，则人到达B 点可能有很多途径，如A →C →B ，A →D →B,A →E →B 等,这些途径中耗时最少的途径对应着允许的最大船速，作∠NAP ＝30°，并分别作CK,DH,EF 垂直AP ，其中设BDH 为直线，又设想MN 线下方也变成湖水区域，则因为AC=2CK,所以人由K 点游泳到C 点所用时间与人在岸上走由A 点到C 点所用时间是相等的. 故人按题设情况经路径A →C →B 所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径K →C →B 所用时间相等，同理，人按题设情况经路径A →D →B 所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径H →D →B 所用时间相等，人按题设情况经路径A →E →B 所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径F →E →B 所用时间相等，显然，在这些途径中，因为HDB 是直线，因此所用时间最少.
由以上分析可知，人沿等效途径HDB 游泳就费时最少地刚好追上船，这对应着最大船速，设为vmax ，
则有
因为⊿AHB 是等腰直角三角形，所以
故得
方法6：极值法（利用三角函数）
如图，设人沿岸走到D 点时，船航行到C 点，此时人入水游泳就刚好能在B 点追上船.
在⊿ACD 中应用正弦定理得
又设此时船速为v ，人由A 点走到D 点耗时为t ，则
由以上两式得
又在⊿CDB 中应用正弦定理得
设人游过DB 段所用时间为t ’,则
由以上两式得
由（1）、（2）式，并注意v 1=2v 2，可得
又由于 ， 要v 尽可能大，即需AC/AD 尽可能大，而θ越大，则AC 越大，由于α为恒量，则θ
越大，则θ－α也越大，且（θ－α）为锐角，则sin （θ－α）随（θ－α）增大而增大，故得sin （θ－α）最大时，θ最大，由（3）式可见，当sin （θ＋β）＝1时，sin （θ－α）有最大值为1/2，此时
对应的θ值为450，此时得β=450，于是⊿CDB 是等腰直角三角形，则有
所以：
方法7：极值法（利用一元二次函数判别式） 如图，设船出发后经时间t 被人追上.则船的位移为s=v t ，又设人在岸上走用时为kt （0<k<1)，位移为s1=k v 1t,人在湖中游用时为(1－k)t （0<k<1)，位移为s2=(1-k)v 2t.
那么，据余弦定理有：
把s 、s1、s2的表达式及v 1、v 2的值代入并整理可得 于是有
要这方程有实数解，其判别式⊿应满足：
由此可解得： 或
由本题的物理情景可知只能取： 方法8：极值法（利用一元二次函数判别式）
如图，设人在岸上D 处入水追船，运动方向与湖岸成θ角,并在B 点处追上船，这人由A →D →B 用时为t .则
上式表明：t 与θ有关，且在d 、L 、v 1、v 2一定时，由θ决定,研究函数 两边平方得：
整理后得：
此方程有实数解的条件是：判别式⊿≧0，即有 由此解得： 所以：
由（3）、（4）式得：
这表明当θ＝60°时，函数y 有最小值，由（1）式知此时t 有最小值,对应的船速有最大值.
2max v BH v AB =
BH AB 2=)/(2222max s m v v ==AC
AD
=--)sin()sin(αθθπvt AC t v AD ==,1BC
BD
=--)sin(sin βθπθt v CB t v BD '='=,2)2()sin(sin 2v
v
=+βθθ)1()sin(sin 1v
v
=-αθθ)3()
sin(2)sin(αθβθ-=+1
v v
AD AC =22max
==BD
BC
v v )/(2222max s m v v ==αcos 212122
2ss s s s -+=︒-+=-15cos 816)1(4222kv v k k 2
213432230cos 115cos +=+=︒+=︒0)4(]8)26(2[1222=-+-+-v k v k 0)4(48]8)26(2[2
2≥---+=∆v v 22≤v )13(22+≥v )/(22max s m v =θ
θsin cot 21v d
v d L t +-=)1()sin cos sin 1(121d v v v L θθθ-+=)2(sin cos sin 11
2θ
θ
θv v y -=θθθ2222122221212
sin cos cos 2v v v v v v y +-=)3()
cos 1(cos cos 222
22122
22121θθθ-+-=v v v v v v 0)1(cos 2cos )(2
22212122222212=-+-+v y v v v v v v y θθ0)1()(442
222122222122221≥-+-v y v v v v y v v 222122212v v v v y -≥)4(22212
2212min v v v v y -=2
1cos 12==
v v θ︒=60θ)315(cot )3132(15cot 1
1
2
1
min +︒=-+︒=v d v
v v d t )315(cot 15sin sin 1min min max +︒︒=
==v t d t AB v θ。