导数题型总结

导数题型总结————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：导数题型总结一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下步骤进行解决: 第一步：令''()0()0f x f x ><或者求出函数的单调区间; 第二步：根据第一步求出函数的极大值,极小值和最大值；至于不等式恒成立,则要分离变量或者变更主元。

例１:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间Ｄ上，()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数,4323()1262x mx x f x =-- (1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求ｍ的取值范围;(2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值．解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32()332x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1)()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x <(0)0302(3)09330g m g m <-<⎧⎧⇒⇒>⎨⎨<--<⎩⎩解法二:分离变量法：∵ 当0x =时, 2()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时， 2()30g x x mx =--<恒成立等价于233x m x x x->=-的最大值（03x <≤)恒成立, 而3()h x x x=-(03x <≤)是增函数,则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2()30g x x mx =--< 恒成立 等价于2()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立(视为关于m 的一次函数最值问题）22(2)023011(2)0230F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩2b a ∴-=例２：设函数),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= (Ⅰ)求函数ｆ（ｘ）的单调区间和极值;（Ⅱ)若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立,求ａ的取值范围. 解:（Ⅰ)01a <<令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---为(ａ，3a ） 令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（-∞，a )和(3a ，＋∞）∴当x ＝a 时，)(x f 极小值=;433b a +-当ｘ＝3ａ时,)(x f 极大值＝b. ﻩ （Ⅱ)由|)(x f '｜≤a ，得:对任意的],2,1[++∈a a x 2243a x ax a a -≤-+≤恒成立①则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a g x a≤⎧⎨≥-⎩ 22()43g x x ax a =-+的对称轴2x a =01,a << 12a a a a +>+=(放缩法)即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。

22()43[1,2]g x x ax a a a =-+++在上是增函数．max min ()(2)2 1.()(1)4 4.g x g a a g x g a a =+=-+=+=-+∴于是,对任意]2,1[++∈a a x ,不等式①恒成立，等价于(2)44,41.(1)215g a a a a g a a a+=-+≤⎧≤≤⎨+=-+≥-⎩解得 又,10<<a ∴.154<≤a 点评:重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间）与定义域的关系例3：已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-，326()(1)3(0)2t g x x x t x t -=+-++> (Ⅰ)求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

2x a=[]1,2a a ++解:（Ⅰ)/2()32f x x ax =+∴/(1)31f b a ⎧=-⎨=+⎩, 解得32a b =-⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由(Ⅰ）知,()f x 在[1,0]-上单调递增,在[0,2]上单调递减,在[2,4]上单调递减 又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16f f f f -=-==-= ∴()f x 的值域是[4,16]- (Ⅲ)令2()()()(1)3[1,4]2t h x f x g x x t x x =-=-++-∈思路1:要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2(2)26t x x x -≥- 分离变量 思路2:二次函数区间最值二、参数问题1、题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1:转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型解法2:利用子区间(即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集；例４：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(21121)(23++++=． (Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数,求)(x f 的极大值和极小值； (Ⅱ)如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数,求a 的取值范围.解：)14()1(41)(2++++='a x a x x f . （Ⅰ)∵ ()f x '是偶函数,∴ 1-=a . 此时x x x f 3121)(3-=,341)(2-='x x f ， 令0)(='x f ，解得：32±=x ． 列表如下：x(－∞,-23)-23 (-２3,23)23 (２3,+∞))(x f ' + ０ - 0 + )(x f递增极大值递减极小值递增可知：()f x 的极大值为34)32(=-f ， ()f x 的极小值为34)32(-=f . (Ⅱ）∵函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数,∴21()(1)(41)04f x x a x a '=++++≥,在给定区间Ｒ上恒成立 判别式法 则221(1)4(41)204a a a a ∆=+-⋅⋅+=-≤， 解得:02a ≤≤．综上，a 的取值范围是}20{≤≤a a . 例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间;（II ）若()f x 在［0，1]上单调递增,求a 的取值范围。

子集思想解:（I ）2()(2)1(1)(1).f x x a x a x x a '=+-+-=++-1、20,()(1)0,a f x x '==+≥当时恒成立当且仅当1x =-时取“＝”号，()(,)f x -∞+∞在单调递增。

2、12120,()0,1,1,,a f x x x a x x '>==-=-<当时由得且 单调增区间：(,1),(1,)a -∞--+∞ 单调增区间：(1,1)a --(I Ｉ）当()[0,1],f x 在上单调递增 则[]0,1是上述增区间的子集：1、0a =时，()(,)f x -∞+∞在单调递增 符合题意2、[]()0,11,a ⊆-+∞，10a ∴-≤ 1a ∴≤ 综上,a 的取值范围是[0，1]。

2、题型二:根的个数问题题1 函数f(x ）与g(x ）（或与x 轴）的交点，即方程根的个数问题 解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与０的关系； 第三步:解不等式（组)即可。

例6、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(,且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．（1） 求实数k 的取值范围；（2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点,求实数k 的取值范围.解:(１)由题意x k x x f )1()(2+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数,∴0)1()(2>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立(分离变量法)即x k <+1恒成立,又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k(2)设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1)知1≤k ,①当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ,)(x h 在Ｒ上递增,显然不合题意… ②当1<k 时，)(x h ,)(x h '随x 的变化情况如下表:x),(k -∞k )1,(k1),1(+∞)(x h ' +— 0+)(x h↗极大值312623-+-k k ↘极小值21-k ↗由于021<-k ，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根,故需0312623>-+-k k ,即0)22)(1(2<---k k k ∴⎩⎨⎧>--<02212k k k ,解得31-<k 综上，所求k 的取值范围为31-<k。