(完整)高中数列求和方法集锦
高考数学 数列求和的8种常用方法(最全)
一
1.等差数列求和公式：
Sn(a1an)nan(n1)d
n212
特别地，当前n项的个数为奇数时，S2k1(2k1)ak1，即前n项和为中间项乘以项数。这个公
式在很多时候可以简化运算；2.等比数列求和公式：
（1）q1，Snna1；
a11qn
（2）q1，Sn
1q
，特别要注意对公比的讨论；
c
项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.适用于
，其中a
an
n
n1
是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。其基本方法是
anfn1fn.常见裂项公式：
（1）1
11，1
1(1
1)；1
1(1
)（an的公差为d）；
n(n1)
nn1
n(nk)
knnk
anan1
dan
2n2n1
………………………②（设制错位）
①－②得，(11)S
2n
22
222
22
2324
2
2n
2n2n1
（错位相减）
21
2n
∴Sn
4n2
2n1
2n12n1
四.裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。这是分解
与组合思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通
2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89
∴S＝44.5
例4函数fxx，求
1x
f1f2
2012
2011
2
数列求和的七种基本方法
数列求和的七种基本方法在数学中，数列是一系列按一定规律排列的数值，求和则是将数列中的所有数值相加的运算。
数列求和是数学中非常重要的一部分，它不仅在数学中具有广泛的应用，也在其他学科如物理学、经济学等中发挥着重要的作用。
在数列求和问题中，有许多种基本的方法可以帮助我们解决问题。
一、综合物理方法（高中物理方法）：物理学中，我们经常遇到等差数列求和的问题，例如计算平均速度。
我们可以利用物理公式来求解数列的和。
假设一个运动物体在时间t内以a的加速度匀加速运动，初速度为v0，则末速度v= at + v0。
利用等差数列的思想，将时间划分为无穷小时间片段dt，则位移ds= (at + v0)dt。
将位移累加起来，即可得到整个时间段内的位移S。
我们可以通过对时间积分求和来解决这个问题。
二、找到规律在数列求和的问题中，我们常常需要根据数列的规律来进行求和。
数列的规律可以通过观察数列的前几项，并进行逻辑推理来得出。
有时，根据数列的规律，我们可以将数列拆分成若干个简单的数列，从而方便我们进行求和。
例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，我们可以将其拆分为两个数列，一个是由首项、末项构成的数列(an = a1 + (n-1)d)，另一个是由末项、首项构成的数列(a1 = an - (n-1)d)。
我们可以对这两个数列进行求和，然后将结果相加，即可得到等差数列的和。
同样地，对于等比数列an = a1 * q^(n-1)，我们可以将其拆分为两个数列，一个是由首项、末项构成的数列(an = a1 * q^(n-1))，另一个是由末项、首项构成的数列(a1 = an / q^(n-1))。
我们可以对这两个数列进行求和，然后将结果相加，即可得到等比数列的和。
三、利用前缀和前缀和也叫做累加和，是指从数列的第一项开始，逐项进行求和，得到的数列。
求和前缀和的过程可以通过递推公式来表示。
对于一个数列{a1, a2, a3, ..., an}，它的前缀和表示为{S1, S2, S3, ..., Sn}，其中Si表示数列的前i项的和。
数列求和公式七个方法
数列求和公式七个方法数列求和是数学中的一个重要概念，常用于计算数列中各项之和。
数列求和公式有多种方法，下面将介绍七种常见的求和公式方法。
方法一：等差数列求和公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
等差数列求和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
方法二：等比数列求和公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比都相等的数列。
等比数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
等比数列求和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
方法三：斐波那契数列求和公式斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
斐波那契数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
斐波那契数列求和公式为Sn=f(n+2)-1，其中Sn表示数列的和，f表示斐波那契数列。
方法四：调和数列求和公式调和数列是指数列中每一项的倒数是一个调和级数的一项。
调和数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
调和数列求和公式为Sn=1+1/2+1/3+...+1/n，即Sn=Hn，其中Hn表示调和级数的n项和。
方法五：等差数列求和差分公式通过差分公式，我们可以得到等差数列的求和公式。
差分公式是指数列中相邻两项之差等于同一个常数d。
等差数列求和差分公式为Sn=[(a1+an)/2]n，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
方法六：等比数列求和差分公式通过差分公式，我们可以得到等比数列的求和公式。
差分公式是指数列中相邻两项之比等于同一个常数q。
等比数列求和差分公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
方法七：等差数列求和公式（倍差法）倍差法是一种基于等差数列的求和方法。
高中数列求和方法大汇总
高中数列求和方法大汇总1利用公式法进行数列求和等差、等比数列的求和，直接运用前 n 项和公式或运用等差、等比数列的性质，此部分是基础，也是重点．利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法．(1) 等差数列求和公式：n S =2)(1n a a n +=d n n na 2)1(1-+(2)等比数列求和公式：n S =()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠--=--=111)1()1(111q q qa a qq a q na n n(3)n S =∑=nk k 12=()12)1(61++n n n(4)n S =∑=nk k 13=()2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n n例1 设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足:2322a a + = 2524a a +,7S = 7,求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ．解 设公差为d ，依题意有：2522a a -=2324a a -由性质得:()343a a d +- = ()34a a d +因为0≠d ，所以34a a += 0，即0521=+d a ， 又由7S = 7得：726771=⨯+d a 解得： 51-=a ，2=d所以{}n a 的通项公式为：72-=n a n 故所求的前n 项和为：n S =()[]nn n n 627252-=⋅-+-评注 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。
例2 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列 （1）求{}n a 的公比q ；（2）若331=-a a ，求n S ． 解 （1）依题意有()()2111112q a q a a q a a a ++=++ 由于01≠a ，故 022=+q q又0≠q ，从而21-=q（2）由已知可得:321211=⎪⎭⎫⎝⎛--a a故: 41=a从而n S =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯nn 211382112114 评注 在数列求和中，以下三个性质经常用到：（1）在等差数列中，若()*,,,N q p n m qp n m ∈+=+，则有：q p n m a a a a +=+；（2）在等差数列中，若A S n =,B S S n n =-2,C S S n n =-23,则有： A 、B 、C 成等差数列；（3）在等比数列中，若A S n =,B S S n n =-2,C S S n n =-23,则有：A 、B 、C 成等比数列．2裂项相消法顾名思义，“裂项相消法”就是把数列的项拆成几项，使拆裂后的项相互之间出现一些互为相反数的部分，求和时这些互为相反数的部分就能互相抵消，从而达到求和的目的．例3 求数列311⨯，531⨯，751⨯，531⨯，…()()12121+-n n ，…的前n 项和． 解 因为：n a =()()12121+-n n =⎪⎭⎫⎝⎛+--12112121n n所求的和：．nS =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛---++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211211213217151513131121n n n n =21⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1211n =12+n n例4 求和：n S =3211⨯⨯+4321⨯⨯+++⨯⨯ 5431()()211+⨯+⨯n n n解 因为()()211+⨯+⨯k k k =21()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+21111k k k k所以： nS =21()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯21111431321321211n n n n =21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-21121n n = 462322+++n n nn评注 观察相消项的规律是求和的关键，要搞清楚哪些项是合并了，哪些项未合并，并且这类裂项分解往往要对数列的通项进行较大幅度的变形，有的是隔项相消，技巧要求较高．3错位相减法这种方法是把原数列的钱n 项和乘以一个因数作为辅助数列，然后把它与原数列相减而得到一个关于n s 的关系式，接着解这个关系式，进而求的n s 的值．能用错位相减法求和的数列通常是项数相同的一个等差数列和一个等比数列对应项的积组成的相减前在原求和等式的两边同乘以等比数列的公比，两式相减后能组成一个新的等比数列，以便用等比数列求和公式求和．例5 求和：n S =21+43+n n 21285-++ ． 解 因为：n S = 21+43+n n 21285-++ (1)所以：21n S = 41+83+1212165+-++n n (2)由（1）—（2），得：21n S = 21+1212221628242+--⎪⎭⎫ ⎝⎛++++n n n =21+12122116181412+--⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯n n n 再利用等比数列的求和公式得：21n S = 21+11212211211412+----⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⨯n n n= 112122123+----n n n故：n S = nn 2323+-评注 （1）相减后各项的符号；（2）中间成等比数列部分的项数；（3）最后n S 的表达式 ．例6 设0≠a ，求数列a 、23a 、35a 、47a 、… 、()n a n 12-、… 的前n 项和．解 若1=a ，n S = ()127531-+++++n =()[]2121n n ⨯-+= 2n若1≠a ，n S = ()n a n a a a 125332-++++ (1)此时，该数列可以看作是等差数列1、3、5、7、… 、()12-n 与等比数列a 、2a 、3a 、… 、n a 的积构成的数列，且公比a q =．等式两边同乘以 a ，有：a n S = ()14321253+-++++n a n a a a ………………………（2） 由（1）—（2），得：()a -1n S = ()1432122222+--+++++n n a n a a a a a 所以：()a -1n S = ()()1432122+--+++++n n a n a a a a a= ()()11212112+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+n n a n a a a a化简整理得： n S =()()()221211212a a n a n a a n n --++-+++．评注 这个数列的每一项都含有a ，而a 等于1或不等于1对数列求和的方法有本质上的不同，所以解题是要讨论，切忌漏写．4数学归纳法．这种方法是求出{}n a 的前n 项之和，即先求出1S 、2S 、3S 的值，再通过观察发现规律，从而归纳、猜想得出n s ，并用数学归纳法加以证明．例7 已知数列{}n a 的各项为：()11+a a 、()()211++a a 、…、()()n a n a +-+11、…．其中a 是大于0的常数，记数列{}n a 的前n 项之和是n S ，计算1S 、2S 、3S 的值，由此推算出n S 的公式，并用数学归纳法加以证明． 解 1S = 1a =()11+a a2S = 21a a +=()()()21111++++a a a a = ()22+a a3S = 32a S += ()()()32122++++a a a a = ()33+a a由此猜想： n S =()n a a n+用数学归纳法证明如下： 当1=n 时，命题显然成立； 设当k n =时，命题成立，即：k S = ()k a a k+当1+=k n 时，1+k S = 1++k k a S =()()()11+++++k a k a k a a k=()11+++k a a k这就证明了1+=k n 时，命题成立，从而命题对所有的自然数n 都成立． 例8 设数列{}n a 的前n 项之和为n S ，且满足：()n n na s +3 = n a 21+，求n S ． 解 因为：1S = 1a ，由()n n na s +3 = n a 21+ 得：()113s s + = 121s +所以：1S =41， 而：2a = 12S S -所以：()[]12223S S S -+ = ()1221S S -+, 得：2S =72 同理求得：3S = 103 由此猜想： n S =13+n n用数学归纳法证明如下： 当1=n 时，命题显然成立； 设当k n =时，命题成立，即：k S = 13+k k当1+=k n 时，由题设有：()[]1113++++k K a k S = 121++k a所以：1+k a = 1++k k a S 从而：1+k S =13311+-+k S k=1331131+-+++k S k k k 由此求得：1+k S =()1131+++k k这就证明了1+=k n 时，命题成立，从而命题对所有的自然数n 都成立．评注 （1）运用数学归纳法的思想是“先猜想、后证明”，对思维能力有较高要求；（2）运用数学归纳法的关键是“由当k n =时成立，如何过渡与转换为当1+=k n 时也成立.”5倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒叙），再把它与原数列相加，从而得到n 个()n a a +1．能用这个方法的数列的特点是：在一个数列中与首末两端“等距离”的两项之和（或“系数”之和），等于首末两项之和（等于首末两项“系数”之和）．例9 设数列{}n a 是等差数列，求证：nnn n n C a C a C a a 123121+++++ = ()1112-++n n a a ． 解 设S = nnn n n C a C a C a a 123121+++++ ……………………………（1） 将上式倒写，得：S = 11211a C a C a C a n n n n n n n ++++-+ 又因为：m n C = m n n C - ，所以：S = n nn n n n n n C a C a C a C a 112101++++-+ ………………………（2） 由（1）+（2），得：2S = ()()()()n nn n n n n n n C a a C a a C a a C a a 1121312011+++++++++-+ 因为：{}n a 是等差数列所以：11++n a a = n a a +2 = 13-+n a a = …所以：2S = ()()nnn n n n C C C C a a ++++++ 31011 = ()n n a a 211⋅++ 即： S = ()1112-+⋅+n n a a故：n nn n n C a C a C a a 123121+++++ = ()1112-++n n a a ． 评注 n nn n n C C C C ++++ 310 = n 2． 例10 已知函数()x f =241+x ，求： n S = ()()11210f n n f n f n f f +⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+ ． 解 可证当21x x + = 1时，()()21x f x f + =21因为： n S = ()()11210f n n f n f n f f +⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+ (1)将上式倒写，得：n S = ()()01211f n f n n f n n f f +⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ …………（2）由（1）+（2），得： 2S=()()[]()()[]01221110f f n n f n f n n f n f f f +++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++ =()211212121212121个+++++++n =21+n 所以：n S = 41+n 例11 设221)(+=x x f ，利用本文中推导等差数列前n 项和公式的方法，求：()()()()6504)5(f f f f f +++++-+- 的值.解： ∵221)(+=x x f ，∴xxxx f 2222221)1(1⋅+=+=--=xx22221+⋅，∴22222211)1()(=+⋅+=-+xxx f x f ， 设 S = ()()()()6504)5(f f f f f +++++-+- …………………（1）将上式倒写，得：S = ()()()()5405)6(-+-+++++f f f f f ………………（2）由（1）+（2），得：S 2 = ()[]()()[]()()[]65546)5(f f f f f f +-+++-++- = 26∴S = ()()()()6504)5(f f f f f +++++-+- = 23.点评 使用“倒序相加法”求和的题型特征是“与首末两端距离相等的两项的和都相等”. 本题中，倒序相加后，对应项的和中自变量的和都等于1，故需探求()()x f x f -+1的值.6并项求和法将数列的相邻两项（或若干项）合并一项（或一组）得到一个新的、容易求和的数列，然后再求整个数列的前n 项和．例12 （1）求1002－992+982－972+…+22－12的值（2）求数列1，21，21，31，31，31，41，41，41，41…前100项的和解 （1）1002－992+982－972+…+22－12=（100+99）（100-99）+（98-97）（98-97）+…+(2+1)(2－1) = (100+99)+(98+97)+…+(2+1) =2)1100(100+⨯= 5050（2）根据21有2项，31有3项，41有4项，项数和1+2+3+…+14=105，则最后一项为141，且141有9项，100S = 1+(21+21)+(31+31+31)+(41+41+41+41)+…+(141+141+…+141) = 1+1+1+1+…+1+9×141= 131497拆项重组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但经细心观察，仔细分析之后发现：若将这数列中的每一项都两项之和，再重新组合，它就可以分成几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可，这种方法就称为拆项重组法．例13 求数列211、413、815、1617、……的前n 项和n S ．解 因为：211 = 211+． 413 = 413+815 = 815+ 1617 = 1617+ …… ()n n 2112- = ()n n 2112+-所以：n S = ()n n 21121617815413211-+++++= ()⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-+++++n n 21161814121127531= 211211212-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+nn= nn 2112-+ 例14求和：⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 21814121814121341212211解 括号中式子的通向公式是： n a = n n 21814121+++++= 21121121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+n n= ()n n 211-+ 所以所求的和：n S = ()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+++++n n 218141211432=()[]21121121212-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯++nn n= 1212322-++nn n ． 评注 先研究通项，抓住特点，确定拆项方法，将数列通过拆项重组，转化为等差、等比或熟悉的数列，然后求和．8通项分析法对数列的通项不是很明确的数列，就应先对其通项求和或变形，进行分析，从而决定使用哪种方法求和．例15 已知数列{}n a 的通项n a = n n n n n +-++23412，求此数列的前n 项和． 解 因为： n a = n n n n n +-++23412= ()()nn n n n n n n +-+++22221= ()112+-+n n n n ．所以：n S = ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+113212*********n n n n=()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⨯-+++++++++112113213212222n n n n = ()()()⎪⎭⎫⎝⎛+--++++111216121n n n n n n=()()111321++-++n n n n例16 已知数列{}n a 中，1a = 1，2a = 1+2+1，3a = 122212++++ 4a = 1222221232++++++，…，求数列{}n a 的前n 项和． 解 因为： n a = 122222212212+++++++++-- n n = ()()12222222123212++++++++++--- n n n= 212121211--+---n n = ()()12121-+--n n = 2231-⋅-n所以：n S = ()()()()22322322321312-⨯++-⨯+-⨯+-⨯-n ． = ()n n 22221312-++++⨯-= n n221213-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯ = 3223--⋅n n评注 数列的通项公式反映了一个数列的特点，充分研究数列的通项公式，常常对求和是十分有用的．9构造等式法这种方法是指构造一个含有未知数的等式，然后令这个未知数分别等于1、2、3、…、n ，于是得到n 个等式，接着将这n 等式相加，与数列和无关的项能小区，而剩下的就是所求数列的和或能组成等差数列或等比数列，进而求出所求的n S ．此法适用于求由自然数的幂构成的数列的前n 项和．例17 求数列21，22，23，…，2n 的前n 项和．解 因为：()31+m = 13323+++m m m 所以：()331m m -+ = 1332++m m 依次令m = 1、2、3、…、n ，得： 3312- = 113132+⨯+⨯， 3323- = 123232+⨯+⨯， 3334- = 133332+⨯+⨯， ……()331n n -+ = 1332++n n 将上面n 个等式相加得：()3311-+n = ()()n n n ++++++++++ 321332132222 由此解得：2222321n ++++ =()()6121++n n n评注 这个结论是前n 个自然数的平方和公式，它具有便于记忆的特征，又有一定的实用价值，应注意记忆及应用．10导数求和法通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维，由求导公式()'n x = 1-n nx ，可联想到它们是另外一个和式的导数．关键要抓住数列通项的结构特征．例18 求和：（1）n S = ()032112≠++++-x nx x x n ；（2）n S = ()*32132N n nC C C C nnn n n ∈++++ ．解 (1) 当1=x 时，n S = n ++++ 321 = ()121+n n ；当1≠x 时，nx x x x ++++ 32= xx x n --+11两边都是关于x 的函数，求导得：()'32n x x x x ++++ = '11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x n由此有 ：12321-++++n nxx x =()()21111x nx x n n n -++-+即：n S = 12321-++++n nxx x =()()21111x nx x n n n -++-+．（2）因为：()n x +1 = nn n n n x C x C x C ++++ 2211 两边都是关于x 的函数，所以：求导得：()11-+n x n = 1232132-++++n n n n n n x nC x C x C C令1=x ，得：12-⋅n n = n nn n n nC C C C ++++ 32132 即：n S = n nn n n nC C C C ++++ 32132 = 12-⋅n n ． 评注 本题的解题思路是建立在敏锐的洞察式子特征的基础上的，联想熟悉的函数关系式，并求导和赋值，又隐去了函数的表象，难度较高，技巧性强．同样的思路和方法可借下面一道题：变式 求()*32)1(3221N n nC n C C n nn n ∈-++⨯⨯+⨯⨯ 的值。
数列求和的八种方法及题型
数列求和的八种方法及题型1、抽象加法法：把等差数列的元素抽象为某一个相同的数值（称为项数，式子为S），通过加法求出所求等差数列的和。
例题：这样一个等差数列：2、4、6、8……100，求这一数列的和是多少？答案：抽象加法法：元素个数n = 99，公差d = 2，首项a = 2。
由公式S=n*（a+l）/2可得：S = 99*（2+100）/2 = 99*102/2 = 4950。
2、数值加法法：直接对元素逐一加法求和。
例题：计算这一等差数列的和：1、3、5、7……99？答案：数值加法法：元素个数n = 49，即：1+3+5+7+...+99=49*100/2=4900。
3、改编组合法：将数列改编为组合形式，将大式化简，从这个组合计算其和。
例题：求这一等差数列的和：2、5、8、11……99？答案：改编组合法：元素个数n = 48，公差d = 3，首项a = 2。
将其转换为组合：2+48d ，即2+(48*3)=150，由公式S=n*（a+l）/2可得：S = 48*（2+150）/2 = 48*152/2 = 7344。
4、数表法：把数列列成表，统计其和。
例题：求这一等差数列的和：3、5、7、9……99？答案：数表法：数列：3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99和：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+ 45+47+49+51+53+55+57+59+61+63+65+67+69+71+73+75+77+79+81+83 +85+87+89+91+93+95+97+99=24505、立方法：一种特殊情形——这一数列两个元素的值等于这两个元素之间的位数的立方和。
数列求和的8种常用方法
数列求和的8种常用方法数列求和是数学中非常常见的问题，它的解法有很多种。
下面我将介绍8种常用的方法来求解数列的和，让我们一起来看看吧。
一、等差数列求和公式对于等差数列$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
二、等比数列求和公式对于等比数列$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用等比数列求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1或者当q=1时，$S=a_1n$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
三、几何级数求和公式对于几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用几何级数求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1四、等差数列-等比数列混合求和公式对于等差数列-等比数列混合数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列-等比数列混合求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} + \frac{n(n-1)d}{2}q^{(n-2)}$，其中q≠1五、反比例数列求和公式对于反比例数列$s_n = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}$，其中$a_1$表示第一个数，我们可以利用反比例数列求和公式求解：$S = \frac{n}{a_1}$六、算术-几何级数求和公式对于算术-几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差$S = \frac{a_1}{1-q} + \frac{d}{(1-q)^2}$，其中q≠1七、差分数列求和公式对于差分数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1+ (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用差分数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
数列的求和_涵盖所有高中数列求和的方法
数列的求和（一）主要知识：1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论）2．公式法：222221(1)(21)1236n k n n n k n =++=++++=∑ 2333331(1)1232n k n n k n =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑ 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ；1111()(2)22n n n n =-++121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。
7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；3．转化思想的运用；（三）例题分析1．公式法、分组求和例1．求和：①个n n S 111111111++++=②22222)1()1(1(n n n xx x x x x S ++++++= ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和nS 思路分析：通过分组，直接用公式求和。
解：①)110(9110101011112-=++++==k kk k a 个])101010[(91)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-= 8110910]9)110(10[911--=--=+n n n n②)21()21()21(224422+++++++++=n n n x x x x x x S n xx x x x x n n 2)111()(242242++++++++= （1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222+-+-=+--+--=+---（2）当nS x n 4,1=±=时③k k k k k k k k k k a k 23252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-=-+-+++++-= 2)1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-++⋅=+++-+++=+++=n n n n n n n a a a S n n )25)(1(61-+=n n n 总结：运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11≠=q q 或讨论。
高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧
高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧我们不要关心求数列n项和的问题会不会在高考题或有关考试题中出现，当然出现的机会确是很高的。
关键的是通过学习和探讨求数列前n项和的方法去领悟学习和思考的方法。
几种求和的方法把数学变形和分析、归纳总结、化繁为简、化难为易等思想融合在一起，使思维得到一次系统的训练和提高。
头脑的开化和思维的提升才是学习的主要目的。
求数列前n项的和，通常有下列七种方法和技巧。
一、利用等差数列和等比数列的求和公式例1、求数列例2、求数列5, 55，555，5555，…，，……的前项和。
解：∵∴二、用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式的方法是倒序相加法。
这个方法可以类推到一般，只要前n项具有与两端等距离项的和相等的数列这种特征都可用这种方法求和。
例3、已知是等差数列，求和。
解：∵①即②由①+②，得：∵∴由等差数列的性质，易得：故于是三、利用错位相减法错位相减法是一种常用的数列求和方法，主要应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
形如，其中为等差数列，为等比数列，公比为q；列出，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即；然后错一位，两式相减即可。
例4、求数列的前n求和(x≠0，x≠1)。
解：设①则②由①-②，得：于是四、用化差相减法适用于分式形式的通项公式，基本原理是把一项拆成两个或多个的差的形式，即，然后累加时中间的许多项可以抵消。
裂项凑错位相加特征，注意前后式子相等，如果不相等就要乘以一个系数。
常用公式：，，，（a≠0），例5、求数列的前n求和。
解：例6、求数列。
解：∵∴基本原理点拨：代数式变形凑相消特征：，由此可联想求更高次方幂的n项和。
如：至此，一般规律就出现了，通过变形整理便可求出的n 项的和，以此类推，求n次方幂的问题就能彻底解决。
从而五、利用组合数求和公式法利用这个组合数公式，求某些特殊数列的前n和颇为方便。
因为，则。
例7、求数列解：∵，∴例8、求数列。
解：∵。
∴，六、用数学归纳法例9、求数列的前n项和。
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数列求和的常用方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。
在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。
数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。
下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。
第一类：公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
1、等差数列的前n 项和公式2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n3、常用几个数列的求和公式（1）、)1(213211+=+⋯+++==∑=n n n k S n k n （2）、)12)(1(61321222212++=+⋯+++==∑=n n n n kS n k n （3）、2333313)]1(21[321+=+⋯+++==∑=n n n k S n k n 第二类：乘公比错项相减（等差⨯等比）这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ⨯的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。
例1：求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。
解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0Ⅱ、若q =1，则)1(21321+=+⋯+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1，则12321-+⋯+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +⋯+++=3232 ②①式—②式：n n n nq q q q q S q -+⋯++++=--1321)1(⇒)1(11132n n n nq q q q q qS -+⋯++++-=- ⇒)11(11n nn nq qq q S ----= ⇒qnq q q S nn n ----=1)1(12 综上所述：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠≠----=+==)10(1)1(1)1)(1(21)0(02q q q nq q q q n n q S nn n 且 解析：数列}{1-n nq 是由数列{}n 与{}1-n q 对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。
第三类：裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：1、乘积形式，如：（1）、111)1(1+-=+=n n n n a n （2）、)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （3）、])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n （4）、n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 2、根式形式，如：n n n n a n -+=++=111例2：求数列211⨯，321⨯，431⨯，…，)1(1+n n ，…的前n 项和n S 解：∵)1(1+n n =111+-n n111313121211+-+⋯++-+-=n n S n ⇒111+-=n S n 例3：求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和n S 解：由于：)2(1+n n =211(21+-n n ） 则：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅⋅⋅+-+-=)211()4121()311(21n n S n ⇒ )2111211(21+-+--=n n S n ⇒ 42122143+-+-=n n S n 解析：要先观察通项类型，在裂项求和时候，尤其要注意：究竟是像例2一样剩下首尾两项，还是像例3一样剩下四项。
第四类：倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +。
例4：若函数)(x f 对任意R x ∈都有2)1()(=-+x f x f 。
（1）)1()1()2()1()0(f n n f n f n f f a n +-+⋯+++=，数列}{n a 是等差数列吗？是证明你的结论； （2）求数列}1{1+⨯n n a a 的的前n 项和n T 。
解：（1）、)1()1()2()1()0(f nn f n f n f f a n +-+⋯+++=（倒序相加） ⇒)0()1()2()1()1(f nf n n f n n f f a n ++⋯+-+-+= 1221101=⋯=-+=-+=+nn n n n n 则，由条件：对任意R x ∈都有2)1()(=-+x f x f 。
⇒）（1222222+=+⋯+++=n a n ⇒1+=n a n ⇒21+=+n a n⇒11=-+n n a a从而：数列}{n a 是1,21==d a 的等差数列。
（2）、2111)2)(1(111+-+=++=⨯+n n n n a a n n ⇒n T =)2(11541431321+⨯++⋯+⨯+⨯+⨯n n ）（ ⇒n T =422121211141313121+=+-=+-++⋯+-+-n n n n n 故：n T =42+n n 解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。
此例题不仅利用了倒序相加法，还利用了裂项相消法。
在数列问题中，要学会灵活应用不同的方法加以求解。
第五类：分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
例5：求数列{)1(1+n n +12-⨯n n }的前n 项和n S 解：令1)n(n 1 +=n a 12-⨯=n n n b )()()()(332211n n n b a b a b a b a S ++⋯++++++=⇒)()(321321n n n b b b b a a a a S +⋯+++++⋯+++= ⇒)223221()111313121211(12-⨯+⋯+⨯+⨯+++-+⋯++-+-=n n n n n S ⇒)223221()111(12-⨯+⋯+⨯+⨯+++-=n n n n S 令12223221-⨯+⋯+⨯+⨯+=n n n T ①n n n T 223222232⨯+⋯+⨯+⨯+= ②①式—②式：n n n n T 222221)21(132⨯-+⋯++++=--⇒)222221(132n n n n T ⨯-+⋯++++-=- ⇒)22121(n nn n T ⨯----= ⇒12)1(+⨯-=n n n T 故：n n n n n n n S 2)1(11212)1()111(⨯-++-=+⨯-++-=例6：求数列{2)1(n n x x +}的前n 项和n S 分析：将2)1(n n n x x a +=用完全平方和公式展开，再将其分为几个数列的和进行求解。
解：2)1(n n n x x a +==22)1(12)(n n n n x x x x +⨯⨯+=n n x x 2212++=nn x x 22)1(2++])1(2[])1(2[])1(2[224422n n n x x x x x x S +++⋯++++++= ⇒])1()1()1[()222()(242242nn n x x x x x x S +⋯++++⋯++++⋯++=（首项2x ，公比2x 等比数列） （常数列） （首项2)1(x ，公比2)1(x 等比数列）Ⅰ、令nn x x x T 242+⋯++=①1=x 时，nn x x x T 242+⋯++==n =+⋯++111②1≠x 时，nn x x x T 242+⋯++= =1122222222--=-⨯-+x x x x x x x n nⅡ、令n M n 2222=+⋯++= Ⅲ、令nn x x x G 242)1()1()1(+⋯++=①1=x 时，n x x x G nn =+⋯++=+⋯++=111)1()1()1(242②1≠x 时，nn x x x G 242)1()1()1(+⋯++= =2222)1(1)1()1()1(x x x x n -⨯-=22222111x x x x n --+=222222221x x xx x x n n -⨯-++ =122222222-⨯⨯-++x x x x x x n n =)1()1(22222-⨯⨯-⨯x x x x x n n=)1(1222--x x x n n综上所述：①1=x 时，n n n n G M T S n n n n 42=++=++=②1≠x 时，)1(1212222222--++--=++=+x x x n x x x G M T S n n n n n n n 这个题，除了注意分组求和外，还要注意分类讨论思想的应用。
第六类：拆项求和法在这类方法中，我们先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和。
例7：求数列9，99，999，… 的前n 项和n S分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式110-=n n a 可转化为一个等比数列与一个常数列。
分别求和后再相加。
解：由于：110-=n n a则：⋯+++=99999n S⇒)110()110()110()110(321-+⋯+-+-+-=n n S⇒)1111()10101010(321+⋯+++-+⋯+++=n n S ⇒n S n n --⨯-=101101010 ⇒n S n n --=+910101 例8：n S =n n 21813412211+⋅⋅⋅+++ 解：由于：n n n n n a 2121+== 则：n S =)21814121()321(n n +⋅⋅⋅+++++⋯+++（等差+等比，利用公式求和） =211))21(1(21)1(21--++n n n =n n n )21(1)1(21-++ 解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。