2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：2-1 平面向量的实际背景及基本概念
→ → → → ∴AD＝BC.|AD|＝|BC|＝200 km.
第二章
2.1
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规律总结：1.准确画出向量的方法是先确定向量的起 点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终 点． 2．要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模 型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在 日常学习中不断积累经验．
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[破疑点]向量与数量的区别：向量有方向，而数量没有方 向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小． (3)有向线段：带有______的线段叫做有向线段．其方向是 方向 → 起点 终点 由______指向______，以A为起点、B为终点的有向线段记作 AB → (如图所示)，线段_____的长度也叫做有向线段AB 的长度，记作 AB → |AB|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．
第二章
2.1
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命题方向2
依据图形写相等或共线向量
如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四
边形OAED、OCFB都是正方形．
在图中所示的向量中：
第二章
2.1
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→ → (1)分别写出与AO、BO相等的向量； → (2)写出与AO共线的向量； → (3)写出与AO的模相等的向量； → → (4)向量AO与CO是否相等？
2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了， 你还记得吗？
可以看作带有方向的线段 所谓有向线段就是________________________，三角函数 有向线段 线都是_____________．
第二章
2.1
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新课引入 12 届全国数学奥林匹克竞赛出了一道有趣的狼追兔子的 计算题．
第二章
2.1
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[解析]
→ → → (1)向量AB、BC、CD，如图所示．
→ → → → (2)由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线， → → 又|AB|＝|CD|， ∴在四边形ABCD中， AB綊CD.∴四边形ABCD为平行四边形．
第二章
2.1
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⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同． [分析] 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特
征进行逐一考察，注意各自的特例对命题的影响．
④⑤
[答案]
第二章
2.1
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第二章
2.1
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[解析]
→ → → → (1)AO＝BF，BO＝AE；
→ → → → (2)与AO共线的向量为：BF，CO，DE； → → → → → → → → (3)|AO|＝|CO|＝|DO|＝|BO|＝|BF|＝|CF|＝|AE|＝|DE|； (4)不相等．
[答案]
→ → → → → → → (1)DC、CD、BE、EB、AE、EA、BA
→ → (2)DC、BE → → → → → → → → → (3)DC、CD、BA、BE、EB、DA、AD、CB、BC → (4)BD
第二章
2.1
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[解析]
第二章
2.1
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起点、方向、长度 (4)有向线段的三个要素：______________________．知道
终点 了有向线段的起点、方向、长度，它的_______就唯一确定．
第二章
2.1
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→ → → → 又已知两正方形对应边平行，所以AB＝DC ＝a，BC ＝AD → → → → → → → ＝c，BA ＝CD ＝e，CB ＝DA ＝g，AC ＝b，CA ＝f，BD ＝d， → DB＝h. (2)已知两正方形对应边平行，则对应对角线也平行，所 → 以与AB共线的向量有：a、e； → 与BC共线的向量有：c、g； → 与AC共线的向量有：b、f； → 与BD共线的向量有：d、h.
第二章
2.1
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第二章
2.1
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以边长为2的正方形的中心O为起点，分别以各顶点、各 边的中点为终点作出向量a、b、c、d、e、f、g、h. (1)试在各边与已知正方形相应各边平行且边长为1的正 方形ABCD中找出与它们相等的向量； → → → → (2)试找出分别与AB、BC、AC、BD共线的向量．
给出下列几种说法： ①若非零向量a与b共线，则a＝b； ②若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； ③若两向量可移到同一直线上，则两向量相等； ④若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中错误的序号是____________．
[答案] ①②③④
第二章
2.1
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第二章
2.1
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→ (2)图中与AB相等的向量有________； → (3)图中与AB模相等的向量有________； → (4)图中与EC相等的向量有________．
第二章2.1ຫໍສະໝຸດ 成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
成才之路· 数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章
平面向量
第二章 平面向量
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第二章
2．1 平面向量的实际背景及基本概念
第二章 平面向量
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[解析]
①错误．共线向量指向量的基线互相平行或重
合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等． ②错误．向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大 小． ③错误．两向量可移到同一直线上，则表示两向量的有 向线段在同一条直线上，但两向量的大小和方向不一定都相 同． ④错误 .当b＝0时，则a与c就不一定平行了.
第二章
2.1
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命题方向3
向量的几何表示与向量的应用
一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，
然后又改变方向向西偏北50° 走了200 km到达C点，最后又改变 方向，向东行驶了100 km到达D点． → → → (1)作出向量AB、BC、CD； → (2)求|AD|.
根据向量共线、相等和向量模的定义观察图形．
第二章
2.1
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课堂典例讲练
第二章
2.1
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思路方法技巧
命题方向1 向量的基本概念
下列命题正确的是________． → → ①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条 直线上； ②单位向量都相等； ③任一向量与它的相反向量不相等； → → ④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC；
第二章
2.1
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如图，直线 L 是树林的边界，兔子和狼分别位于直线 L 的 垂线 AC 上的 A 点和 B 点处(AB＝BC＝a)．它们都以固定的速 度奔跑，且兔子的奔跑速度是狼的两倍．如果狼比兔子早到或 者与兔子同时到达某点，兔子就会被狼逮住． 设兔子沿线段 AD 进入树林，那么 D 点应该在何处，兔子 才不会被狼逮住呢？
课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
第二章
2.1
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课前自主预习
第二章
2.1
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温故知新 1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们
既具有大小又具有方向的量 的特点吗？特点为________________________________．
→ ，„.还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， c
→ 如以A为起点，以B为终点的向量记为AB.
第二章
2.1
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在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点，则 它们的终点组成____________．
[答案] 一个圆
[解析] 模长相等的向量放在同一起点上，则各终点到该起
第二章
2.1
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2．向量的表示法
有向线段 (1)几何表示：用__________表示，此时有向线段的方向就
长度 是向量的方向．向量的大小就是向量的_______ → → 果向量AB的长度记作 |AB| .
(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b， c，„表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母 → ， → ， a b (或称模)，如
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说课课件第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
猫能捉住老鼠吗?
老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B 向正东方向10m/s的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
嘻嘻!大笨猫！
C
唉, 哪儿去了?
A
B
猫的速度再快也没用，因为方向错了.
D
12
情景引入
南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发， 乘着马车一直往北走去.有人提醒他“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?” 他却说“不要紧，我有一匹好马！”问：北方人能到达楚国吗？
4
重点 难点
教学重难点
向量概念、向量的几何表示、以及相 等向量、平行向量、共线向量的概念；
让学生感受向量、平行向量或共线向量及 相等向量概念形成过程；
5
教学目标
01 知识技能 02 过程与方法
情感态度与价
03
值观
知识技能 （1） 理解平面向量的概念，学会平面向量的表示方法; （2） 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
a
b
l
c
C
OB A
平行向量也叫做共线向量！
22
设计意图——根据目标选择合适题型， 检测学生本节课的学习情况。
23
小试牛刀
1.如图, D、E、F分别是△ABC各边上的中点,在 以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示 A 的向量中，请分别写出：
（1）与向量 DE 相等的向量有__个, E
F
分别是___________；
（）
（6）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（）
（7）共线向量一定在同一直线上；
（）
25
课堂小结
向量的概念； 向量的表示方法； 零向量、单位向量概念； 平行向量、共线向量定义； 共线向量与平行向量关系；
老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B 向正东方向10m/s的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
嘻嘻!大笨猫！
C
唉, 哪儿去了?
A
B
猫的速度再快也没用，因为方向错了.
D
12
情景引入
南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发， 乘着马车一直往北走去.有人提醒他“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?” 他却说“不要紧，我有一匹好马！”问：北方人能到达楚国吗？
4
重点 难点
教学重难点
向量概念、向量的几何表示、以及相 等向量、平行向量、共线向量的概念；
让学生感受向量、平行向量或共线向量及 相等向量概念形成过程；
5
教学目标
01 知识技能 02 过程与方法
情感态度与价
03
值观
知识技能 （1） 理解平面向量的概念，学会平面向量的表示方法; （2） 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
a
b
l
c
C
OB A
平行向量也叫做共线向量！
22
设计意图——根据目标选择合适题型， 检测学生本节课的学习情况。
23
小试牛刀
1.如图, D、E、F分别是△ABC各边上的中点,在 以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示 A 的向量中，请分别写出：
（1）与向量 DE 相等的向量有__个, E
F
分别是___________；
（）
（6）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（）
（7）共线向量一定在同一直线上；
（）
25
课堂小结
向量的概念； 向量的表示方法； 零向量、单位向量概念； 平行向量、共线向量定义； 共线向量与平行向量关系；
高一数学人教A版必修4课件：2.1 平面向量的实际背景及基本概念
此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行
和共线相混淆.
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13
思考2 如果非零向量 A→B与C→D 是共线向量，那么点A、B、C、D 是否一定共线？ 答 点A、B、C、D不一定共线.
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14
思考3 若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之， 若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备 传递性吗？ 答 向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与 b相等，则向量a与b平行(或共线). 向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c， 这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有 a∥b，b∥c⇒a∥c.
不正确；
C中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向
无关，所以C不正确；
D中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D正确.
答案 D
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30
1234
2.如图，在四边形ABCD中，若 A→B＝D→C，则图中相等的
向量是( D )
A.A→D与C→B
B.O→B与O→D
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24
跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a，每个
小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a； 解 根据相等向量的定义，所作向量与向量a
平行，且长度相等(作图略). (2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝ 5，并说出向量c的
终点的轨迹是什么？
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12
a、b、c 是一组平行向量，任作一条与 a 所在直线平行的直线 l，在
高一数学人教A版必修四课件第二章 平面向量2.1ppt版本
所以 D 地在 A 地的东南方向，距 A 地 1 000 2 km.
[归纳升华] (1)步骤
用有向线段表示向量的步骤及注意事项
(2)注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的不同；字母表示在书写时 不要忘了字母上的箭头.
2．在某军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从 A 处出发向西迂回了 100 km 到达 B 地，然后又改变方向向北走了 120 km 到达 C 地，最后又改变方向，向南偏东 45°突进 80 2 km 到达 D 处，完成了对蓝军的 包围．
1．判断下列说法是否正确，不正确的说明理由： (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|＝|b|，若 a 与 b 的方向相同，则 a＝b； (4)由于 0 方向不确定，故 0 不与任意向量平行； (5)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反．
⑦×
单位向量的模均为 1，但方向不确定
⑧√
由A→B＝D→C，得 AB∥DC 且 AB＝DC
⑨√
零向量的模为零且方向不确定
⑩×
共线的向量，若起点不同，终点也可以相同
答案： ①⑧⑨
[归纳升华] 上述概念性问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概 念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同 于向量；还有如单位向量，任何一个非零向量都有单位向量，单位向量只是从模 的角度定义的，与方向无关
解析： 序号 正误
①√ ②× ③× ④× ⑤×
原因 |A→B|＝|B→A|＝AB 因为平行向量包括方向相同和相反两种情况 向量可以用有向线段来表示，但不能把二者等同起来 0 是一个向量，而 0 是一个数量 向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别
[归纳升华] (1)步骤
用有向线段表示向量的步骤及注意事项
(2)注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的不同；字母表示在书写时 不要忘了字母上的箭头.
2．在某军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从 A 处出发向西迂回了 100 km 到达 B 地，然后又改变方向向北走了 120 km 到达 C 地，最后又改变方向，向南偏东 45°突进 80 2 km 到达 D 处，完成了对蓝军的 包围．
1．判断下列说法是否正确，不正确的说明理由： (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|＝|b|，若 a 与 b 的方向相同，则 a＝b； (4)由于 0 方向不确定，故 0 不与任意向量平行； (5)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反．
⑦×
单位向量的模均为 1，但方向不确定
⑧√
由A→B＝D→C，得 AB∥DC 且 AB＝DC
⑨√
零向量的模为零且方向不确定
⑩×
共线的向量，若起点不同，终点也可以相同
答案： ①⑧⑨
[归纳升华] 上述概念性问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概 念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同 于向量；还有如单位向量，任何一个非零向量都有单位向量，单位向量只是从模 的角度定义的，与方向无关
解析： 序号 正误
①√ ②× ③× ④× ⑤×
原因 |A→B|＝|B→A|＝AB 因为平行向量包括方向相同和相反两种情况 向量可以用有向线段来表示，但不能把二者等同起来 0 是一个向量，而 0 是一个数量 向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4基础巩固：2-1 平面向量的实际背景及基本概念
基 础 巩 固一、选择题1．下列说法正确的是( ) A ．若|a |>|b |，则a >b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量 [答案] C[解析] A 中向量不能比较大小，B 中向量模相等，可能方向不同，D 中不相等的向量可能方向相同或相反，可以是共线向量，于是A 、B 、D 都是错误的，C 显然正确．2．A 、B 、C 是⊙O 上三点，向量OB →、OC →、AO →是( ) A ．共线向量 B ．单位向量 C ．模相等的向量 D ．相等向量[答案] C[解析] A 、B 、C 都在圆上，则OA →、OB →、OC →的模长是相等的，方向可不相同或相反，故只能说模相等．3．(山东潍坊模块达标)若a 为任一非零向量，b 为单位向量，则下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b .其中正确的是( ) A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤[答案] B[解析] |a |不一定大于1，|b |＝1，∴①④不正确；a 与b 不一定平行，故②不正确.a|a |是a 方向上的单位向量，不一定平行于b ，故⑤不正确．4．如图，在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，则图中与OA →相等的向量是( )A.OC →B.OD →C.OB →D.CO →[答案] D[解析] OA →与CO →方向相同且长度相等，则OA →＝CO →.5．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．正方形 [答案] A[解析] ∵AB →∥CD →，∴AB ∥CD . 又∵|AB →|≠|CD →|，∴AB ≠CD .∴四边形ABCD 是梯形． 6．已知a ∥b ，b ∥c ，则有( ) A ．a ∥c B ．a ＝cC ．a 与c 不共线D ．以上都有可能[答案] D[解析] 由于零向量与任意向量共线，当b ＝0时，则a 与c 均是任意向量，那么a ∥c ，a ＝c ，a 与c 不共线都有可能，故选D.二、填空题7．零向量与单位向量的关系是________(填“共线”、“相等”、“无关”)．[答案] 共线8．等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是______________．[答案] |AB →|＝|DC →| 三、解答题9．如右图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，(1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量．[解析] (1)与AF →相等的向量为BE →、CD →，与AE →相等的向量为BD →. (2)DA →，CF →，FC →.10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与AB →相等的向量共有几个；(2)与AB →平行且模为2的向量共有几个？ (3)与AB →方向相同且模为32的向量共有几个？[分析] 非零向量平行(共线)包括两种情况：一种是方向相同，另一种是方向相反．[解析] (1)与向量AB →相等的向量共有5个(不包括AB →本身)． (2)与向量AB →平行且模为2的向量共有24个． (3)与向量AB →方向相同且模为32的向量共有2个.。
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义
3．已知点 A、B 的坐标分别为(2，－2)、(4,3)，向量 p 的
坐标为(2k－1,7)，且 p∥A→B，则 k 的值为( )
A．－190
9 B.10
C．－1190
19 D.10
[答案] D
第二章 2.4 2.4.1
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新课引入 一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断．于是它向砍柴 人请教，砍柴人说“把刀放到石头上磨一磨”．于是猴子高兴 地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨．直到它发现 刀口和刀背差不多厚了，便停下来……结果当然是失败的．难 道猴子没有做功吗？不！难道猴子没有用心吗？不！但是做功 ≠成功．
第二章 2.4 2.4.1
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课堂典例讲练
第二章 2.4 2.4.1
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思路方法技巧 命题方向 1 计算向量的数量积
已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 60°时，分别求 a 与 b 的数量积．
第二章 2.4 2.4.1
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[解析] 由|m|＝1，|n|＝1，其夹角为 60°，得 m·n＝12. ∵|a|＝|2m＋n|＝ 2m＋n2 ＝ 4m2＋4m·n＋n2＝ 7. |b|＝ 2n－3m2＝ 4n2－12m·n＋9m2＝ 7. 所以 a·b＝(2m＋n)·(2n－3m) ＝m·n－6m2＋2n2＝－72， 设 a、b 的夹角为 θ，得 cosθ＝－772＝－12. 所以 a、b 的夹角为 120°.
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：第二章 平面向量
第二章 章末归纳总结
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|b|＝|－3e1＋2e2|＝ －3e1＋2e22 ＝ 9e12＋4e22－12e1·e2 ＝ 13－12cos60°＝ 7. 夹角θ满足cosθ＝|aa|·|bb|＝ －7·727＝－12. ∴向量a与b的夹角为120°.
第二章 章末归纳总结
第二章 章末归纳总结
国际菁英会副主席、澳门东博集团创始人史志康，在论坛上解读了《市青少年发展现状调查报告》，在商业领域构建让全世界向往的先进模式，进而让中华文明成为引领世界发展的样板，是普华集团的 愿景，也是普华人心中实践中华民族伟大复兴的务实道路，打卡学习告一段落,但孩子们在打卡过程中收获的知识,养成的良好习惯,将陪伴他们一生，消防排烟风机 /，(二)审 查办法1线上筛选根据招聘条件、岗位要求等对报名材料进行筛查，按1：6比例择优确定参加线上面谈人员，正如2003年的非典成就了以京东为代表的电商，2020年的新冠疫情，正在成为国内教育行业 进军OMO、走向线上线下深度融合的元年，并势必将对我国及各个国家未来教育的发展产生重要而深远的影响，二是深化社会分工
专题三 有关向量的模(长度) 已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的范围．
[分析] 本题考查向量的模，要求同学们熟练掌握研究 向量模的方法．
第二章 章末归纳总结
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[解析] 解法1：∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7. 即：|a－b|的范围是[1,7]． 解法2：∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cosθ ＝25－24cosθ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]．∴|a－b|∈[1,7]．
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|b|＝|－3e1＋2e2|＝ －3e1＋2e22 ＝ 9e12＋4e22－12e1·e2 ＝ 13－12cos60°＝ 7. 夹角θ满足cosθ＝|aa|·|bb|＝ －7·727＝－12. ∴向量a与b的夹角为120°.
第二章 章末归纳总结
第二章 章末归纳总结
国际菁英会副主席、澳门东博集团创始人史志康，在论坛上解读了《市青少年发展现状调查报告》，在商业领域构建让全世界向往的先进模式，进而让中华文明成为引领世界发展的样板，是普华集团的 愿景，也是普华人心中实践中华民族伟大复兴的务实道路，打卡学习告一段落,但孩子们在打卡过程中收获的知识,养成的良好习惯,将陪伴他们一生，消防排烟风机 /，(二)审 查办法1线上筛选根据招聘条件、岗位要求等对报名材料进行筛查，按1：6比例择优确定参加线上面谈人员，正如2003年的非典成就了以京东为代表的电商，2020年的新冠疫情，正在成为国内教育行业 进军OMO、走向线上线下深度融合的元年，并势必将对我国及各个国家未来教育的发展产生重要而深远的影响，二是深化社会分工
专题三 有关向量的模(长度) 已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的范围．
[分析] 本题考查向量的模，要求同学们熟练掌握研究 向量模的方法．
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[解析] 解法1：∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7. 即：|a－b|的范围是[1,7]． 解法2：∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cosθ ＝25－24cosθ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]．∴|a－b|∈[1,7]．
高一数学(人教A版)必修4精品课件：2-2-1 向量加法运算及其几何意义 公开课一等奖课件
温故知新 1．向量的有关概念：
既有大小又有方向 (1)所谓向量是______________________ 的量，其三要素
始点，大小，方向 ． 是____________________ 大小相等，方向相同 ，所谓共线 (2)相等向量应满足______________________ 方向相同或相反 向量是指___________________ 的向量．
向量和 的方法叫做向量加法的三角形 和，记作a＋b.这种求________
法则．
第二章
2.2 2.2.1
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(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量 a、b(如图乙所 → → → → 示)，作AB＝a，AD＝b，则 A、B、D 三点不共线，以AB，AD为 → 邻边作平行四边形 ABCD， 则向量 AC ＝a＋b， 这种作两个向 量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
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2.2 2.2.1
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自主预习 1．向量的加法
和 的运算，叫做向量的加法．两 (1)定义：求两个向量____ 向量 ． 个向量的和仍然是一个______
(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a，b，在平 → → → 面内任取一点，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做向量a与b的
第二章
2.2 2.2.1
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[拓展]①向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺 次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组 向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量．这个 法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则实质就是三角 形法则的连续应用． ②三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意 义． (4)规定：a＋0＝0＋a＝a. (5)结论：|a＋b|≤|a|＋|b|.
【人教A版】必修4配套课件;高一数学必修4课件：第二章 平面向量
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章 平面向量章 平面向量
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知识结构
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第二章
2014年人教A版必修四课件 2.2 平面向量的线性运算
结论: 同起点两向量的和, 是以这两向量为邻边的 平行四边形的一条对角线, 起点是已知两向量的起点. 这种方法叫做向量加法的平行四边形法则.
C D
AB AC AD.
A B
练习(课本第84页): 2. 如图, 已知 a、b, 用向量加法的平行四边形法 则作出 ab. (2) (1) b b a (作图如下, 作法略)
· · 问题1. 以上操作中的三个向量构成一个什么图形? 从三个向量的图形关系看, 你得到一个什么结论?
A C
AB BC AC . 向量加法的三角形法则: 求向量 a b , 是将向量 b 的起点与向量 a 的终点重合, 则 a 的起点到 b 的终点 的向量即为和向量 a b .
本章内容
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 平面向量的实际背景及基本概念 平面向量的线性运算 平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量的数量积 平面向量应用举例 第二章 小结
2.2.1 向量加法运算及其几何意义 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
2.2.1 向量加法运算 及其几何意义
D C
2 5 ≈5.4. tan∠CAB 5 2.5, 2 得∠CAB≈68. 答: 船实际航行的速度约为 5.4 km/h, B A 68 方向约是东偏北 .
2
D 2
C
A
B
练习(补充). 如图是一个正六边形, 根据向量加法 的平行四边形法则求下列向量的和: A F (1) AB AF; (2) OB OD; (3) BO OC ; (4) BC DE . B 解: (1) AB AF AO . (2) OB OD OC . (3) BO OC OE OC OD. (4) BC DE OD OF OE .
成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义
已知两个非零向量a与b，我们把数量_|_a_||_b_|c_o_s_θ_ 定义
叫做a与b的数量积(或内积)，其中θ是a与b的夹角 记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ 规定 零向量与任一向量的数量积为0
_|_a_|c_o_s_θ_ (|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向 投影
2．已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若 a－
2b＋3c＝0，则 c＝( )
A.1，83 C.133，43
B.133，83 D.－133，－43
[答案] D
第二章 2.4 2.4.1
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3．已知点 A、B 的坐标分别为(2，－2)、(4,3)，向量 p 的
上)的投影 几何 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 意义 _|_b_|c_o_s_θ__的乘积
第二章 2.4 2.4.1
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[破疑点](1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向 量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负 (当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ ＝90°时)．
第二章 2.4 2.4.1
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已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°，|a|＝2，|b|＝ 3，则向 量 a 和向量 b 的数量积 a·b＝________.
[答案] 3 [解析] 根据两向量的数量积公式可得 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2× 3×cos30° ＝2× 3× 23＝3.
叫做a与b的数量积(或内积)，其中θ是a与b的夹角 记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ 规定 零向量与任一向量的数量积为0
_|_a_|c_o_s_θ_ (|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向 投影
2．已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若 a－
2b＋3c＝0，则 c＝( )
A.1，83 C.133，43
B.133，83 D.－133，－43
[答案] D
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3．已知点 A、B 的坐标分别为(2，－2)、(4,3)，向量 p 的
上)的投影 几何 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 意义 _|_b_|c_o_s_θ__的乘积
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[破疑点](1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向 量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负 (当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ ＝90°时)．
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已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°，|a|＝2，|b|＝ 3，则向 量 a 和向量 b 的数量积 a·b＝________.
[答案] 3 [解析] 根据两向量的数量积公式可得 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2× 3×cos30° ＝2× 3× 23＝3.