线段垂直平分线的判定
13章垂直平分线的判定
作图题 1、如图，在直 线L上求作一点P，使 PA=PB.
L
A
B
p
PA=PB
数学问题源于生活实践，反过来数学又为Байду номын сангаас活实践服务
作图题2
．如图，求作一点P，使PA=PB，PC=PD
A
C
B D
如图，七（1）班与七（2）班两 个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动， 现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶 水供应点P，使P到两条道路的距离相等， 且PM=PN，请你用折纸的方法找出P点并 B 说明理由。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
任何图形都是有点组成的。因 三、 此我们可以把图形看成点的集 线段的垂直平分线的集合定义： 合。由上述定理和逆定理，线 线段的垂直平分线可以看作是到线 段的垂直平分线可以看作符合 段两上端点距离相等的所有点的集合 什么条件的点组成的图形？
A
证明：
M
M’
∵点P在线段AB的垂直平分线MN上， (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 ∴PA=PB(？) 点的距离相等）. 同理 PB=PC.
B
P C
N ∴PA=PC. (到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上) N’ ∴点P在AC的垂直平分线上; ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P.
M
N
A
C
一、线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点的距离相等。 二、线段垂直平分线判定定理：到线段两个端点距离相等 的点，在这条线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
时线段的垂直平分线的性质与判定课件
学习垂直平分线的注意事项
理解定义
要深入理解垂直平分线的定义，掌握其几何意义 和性质。
掌握性质
要牢记垂直平分线的性质，并能够灵活运用。
培养能力
要通过练习培养自己的分析问题和解决问题的能力。
如何更好地掌握垂直平分线的知识
垂直平分线的定理
定理1
如果一条直线是线段AB的垂直平 分线，那么这条直线上的任意一 点到A和B的距离相等。
定理2
如果一条直线不是线段AB的垂直 平分线，那么这条直线上任意一 点到A和B的距离之差与到AB的距 离相等。
02 线段垂直平分线 的画法
利用尺规作图
确定线段中点
首先确定线段的中点，标记为C。
垂直平分线的数学表示
假设线段AB，点C是AB的中点，那么 AC和BC的垂直平分线就是直线CB。
垂直平分线的性质
性质1
垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
性质2
线段两端点关于其垂直平分线对称。
性质3
垂直平分线是线段最短的路径。即 在给定两点A和B的情况下，AC和 BC的垂直平分线是A和B之以线段的中点 C为起点，绘制直线。
确定垂直平分线
以中点C为圆心，以线段长度为 半径，画一个圆。与第一步绘制 的直线相交于两点A和B。连接这 两点，得到的直线即为线段的垂
直平分线。
利用计算机软件作图
选择绘图软件 绘制线段
选择一个具有绘图功能的计算机软件，如Microsoft Visio、 AutoCAD等。
在物理学中的应用
力学
在物理学中，垂直平分线被广泛应用于力学中。例如，在研究物体的运动时，垂 直平分线可以用于确定物体的重心和转动惯量。
垂直平分线性质与判定应用
几何语言:如图，∵⊥AB，AC＝BC，点P在上，∴PA＝PB
例题讲解
如图，在△ 中，的垂直平分线分别交、于、两点，＝4，
△ 的周长是25，则△ 的周长为（ ）
. 13
. 15
. 17
. 19
解题方法
根据线段垂直平分线性质得出＝，＝＝4，求出＝8， +
上，作∠ = 90°，且 = ，过点作//，且 = ，
联结，CE．
（1）求证： ⊥ ；
（2）如果 = ，求证：点在线段的垂直平分线上
课堂小结
课堂大总结
垂直平分线性质：
垂直平分线判定：
帮助每一个孩子成就最好的自己！
∴∠ = ∠ = 70°，
∵是的垂直平分线，
∴ = ，
∴∠ = ∠ = 40°，
∴∠ = ∠ − ∠ = 30°
应用练习
如图，在△ 中，∠ = 90°，垂直平分，平分∠，
则∠ =
. 30°
. 35°
. 45°
. 60°
∠ = ∠
=
∴△ ≅△ ，
∴ = ，
∴点在线段的垂直平分线上．
应用练习
已知，如图， = ， = ， ⊥ 于点， ⊥ 于点，
（1）求证： = ．
（2）连接，求证：线段垂直平分线段．
应用练习
如图，已知在△ 中，∠ = 90°， = ，点在边
垂直平分线性质与判定
√
√
思维导图
课程目标
掌握并能运用垂直平分线性质求边长以及角度
掌握并能运用垂直平分线判定进行证明
能灵活应用判定和性质解决综合题
知识讲解
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线知识要点分析1. 线段垂直平分线性质定理及判定定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
(这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
2. 三角形三条边的垂直平分线定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
(这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.)3. 尺规作图尺规作图的概念：只用没有刻度的直尺和圆规进行作图，称尺规作图。
能写出尺规作图的步骤作已知线段的垂直平分线已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。
【典型例题】考点一：线段垂直平分线性质定理和判定定理例1. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？例2、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点. 求证：PA=PB.想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它。
这个定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明：取AB的中点C，过PC作直线.APBC21这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.考点二：尺规作图例3、用尺规作线段的垂直平分线已知：线段AB（如图）. A B求作：线段AB的垂直平分线.现在同学们会作一条已知线段的垂直平分线了，那么你能作出一个三角形的三边的垂直平分线吗？如果能，请试一试观察一下三角形三条边的垂直平分线交于一点吗？如果交于一点，你能证明出来吗？例4、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：P点在AC的垂直平分线上.这就是我们今天学习的又一个定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
例5、边及底边上的高，求作等腰三角形.已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h(先分析,作出示意图形,再按要求去作图.)考点三：三角形三条边的垂直平分线的性质例6. 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的一条中线，AB的垂直平分线交AD于O求证：OA=OB=OC.严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是证明者谨记和遵循的原则 一、选择题1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定*2、已知，如图，在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC于点D 、E ，若BD+CE ＝5，则线段DE 的长为 （ ）A. 5 B. 6 C. 7D. 82题图 3题图3、如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A 、AB 、BC 两边高线的交点处B 、AC 、BC 两边中线的交点处C 、AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D 、∠A 、∠B 的平分线交点处 二、填空题4、如图所示，△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB的中垂线，AB=2AC ，BC=18cm ，则BE 的长度为4题图 7题图*5、锐角△ABC 中，∠A=60°，AB ，AC 两边的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数是 __________。
人教版八年级数学课件《线段垂直平分线的判定》
达标检测
解：(1)∵AB、CD互相垂直平分， ∴OC＝OD，AO＝OB， 且AC＝BC＝AD＝BD； (2)OE＝OF，理由如下： 在△AOC和△AOD中，
∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD，
∴△AOC≌△AOD(SSS)， ∴∠CAO＝∠DAO. 又∵OE⊥AC，OF⊥AD， ∴OE＝OF.
这样的点的组合共有 无数 种.
4.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 ① ② ③ （填序号）.
A
B
【作用】判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
知识精讲
人教版数学八年级上册
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个 到线段AB两端点距离相等的点？ 这些点能组成什么几何图形？
与A，B 的距离相等的点都在直线l上， 所以直线l 可以看成与A、B两点的距
离相等的所有点的集合.
A
l P
证明 ： ∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴ OA=OB. 同理OB=OC. ∴ OA=OC. ∴ 点O在AC的垂直平分线上.
达标检测
人教版数学八年级上册
1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（A ）
A．AB垂直平分CD；
B ．CD垂直平分AB ；
Ｃ
C．AB与CD互相垂直平分；
人教版数学八年级上册
第十三章第1节
线段垂直平分线的判定定理
线段垂直平分线的判定定理
线段垂直平分线判定定理是平面几何学一个重要的定理。
它指出，如果给定的任意一
条线段，它的任意一点P可以被称为该线段的垂直平分点，即PP'等于半条线段PQ的长度，则从点P出发的垂线做线段PQ的垂直平分线，这条垂直平分线一定也过线段PQ的中点。
线段垂直平分线判定定理的证明：假设给定的线段PQ的中点是M，设点P到P'的距
离为半线段PQ的长度n，且垂足为R，令OA平行于PQ，使得 OA=PM。
由此可知，MR=ON，而OQ=OP+PN=2n。
结合OA=PM，M为PQ的中点，MR=ON，得MR=MQ=QO的一半，即MR=OQ的一半，所以
MR=OB，故BR=RM，于是BR=OM，因此OM=BR。
又由OM=BR，MR=RM，可得OM=BM，即O为PQ
的中点M的对称中心。
因此点R为线段PQ的垂直平分点，而由点R出发的垂线为PQ的垂
直平分线，这条垂直平分线一定也过PQ的中点M，证毕。
线段垂直平分线判定定理的存在为几何图形的研究和推理提供了可靠的依据，给几何
图形的仿射、对称、对称中心等直接性质的研究提供了有力的理论支撑，同时也为许多类
似的几何学问题的解决提供了有益的参考，加强了几何学的连贯性，具有显著的教育意义。
垂直平分线判定步骤
垂直平分线判定步骤1.引言1.1 概述概述垂直平分线是在几何学中常见的一个概念，它是指一条直线将一条线段垂直地平分成两个相等的部分。
垂直平分线具有一些特殊的性质，因此在几何问题中具有重要的应用价值。
本文将介绍垂直平分线的定义和性质，并详细说明判定垂直平分线的步骤。
了解这些内容可以帮助读者更好地掌握几何学中的相关知识，提升解题能力。
在正文部分，我们将首先给出垂直平分线的定义和相关性质，包括垂直平分线与直线段的垂直关系、垂直平分线与等距离点的关系等。
通过了解这些性质，我们可以更清晰地认识垂直平分线的特点和作用。
接下来，我们将详细介绍判定垂直平分线的步骤。
在几何问题中，判断一条线是否为垂直平分线是很关键的一步。
我们将通过几个具体的案例，逐步介绍判定步骤，并给出详细的解题思路和方法。
最后，在结论部分，我们将对本文进行总结，并探讨垂直平分线的应用。
垂直平分线在几何学中有广泛的应用，例如在建筑设计、地图制作、光学测量等领域都可以看到其重要作用。
了解垂直平分线的性质和判定步骤，可以帮助我们更好地理解和解决与垂直平分线相关的问题。
通过阅读本文，读者将能够全面了解垂直平分线的定义、性质和判定步骤，为解决几何问题提供有力的工具和方法。
无论是学生还是专业人士，都可以从本文中获得有益的帮助。
让我们一起深入探索垂直平分线的奥秘吧！1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括如下内容：文章结构部分的主要目的是为读者提供对整篇文章的整体框架和内容安排的概览。
通过清晰地呈现文章的结构，读者可以更好地理解文章的内容，并能够更有针对性地阅读感兴趣的部分。
本篇文章共分为引言、正文和结论三个部分。
第一部分是引言，主要包括概述、文章结构和目的三个子部分。
其中，概述部分简单介绍垂直平分线的判定问题，并说明其重要性和应用价值。
文章结构部分即本部分的内容，详细介绍了整篇文章的结构和目录，准确指导读者阅读。
第二部分是正文，主要包括垂直平分线的定义和性质以及垂直平分线的判定步骤两个子部分。
线段的垂直平分线的判定
线段的垂直平分线的判定一条线段的垂直平分线是指将一条线段准确的分割成两段，使得这两段的长度和宽度都相同的一条线段。
一般来说，垂直平分线的概念与数学相关，特别是线段的几何，在二维空间中，垂直平分线的长度是一维的，其判断的核心是垂直的两条线的位置。
一条线段的垂直平分线有一些基本的原则，一些重要原则如下：
（1）垂直平分线的位置应在线段上，两端点不可搭在同一侧，否则将无法垂直平分；
（2）垂直平分线应垂直于线段上的点，或线段两端点的连线；
（3）除了其原则以外，垂直平分线的长度也与线段长度有关联。
如线段的长度是a，则其垂直平分线的长度也是a；
（4）经过线段上的某点的垂直平分线的位置，可用两个角点的坐标表示，即角点的坐标之和除以2；
（5）如果有交点的存在，垂直平分线的位置应在线段的中点；
（6）垂直平分线需要满足线段长度平分为两半，或者按边重新平分。
总之，一条线段的垂直平分线是一条线段能被垂直分割为两等段
的一条线段，无论是判定一条线段的垂直平分线的位置还是其中原则，涉及到的数学概念都是相关的，运用的最重要的数学知识就是线段的
几何，由总长度和中点坐标可以确定线段的垂直平分线的位置。
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授课学科 数 学 授课班级 授课时间 课题 《线段垂直平分线的判定》
课型 新授课 学习目标：1、理解并掌握线段的垂直平分线的判定
2、能灵活应用判定进行有关的计算和证明
学习重难点：掌握线段垂直平分线判定并会正确应用
【学习流程】
一、复习引入
1、垂直平分线的性质： 。
几何语言：∵
∴
2、将性质的题设和结论互换得到的命题是：
到 的距离相等的点在 。
想一想：以上的命题是 命题（“真”或“假” ）
二、自主学习
尝试证明上面的命题：
已知：QA=QB
求证：点Q 在线段AB 的垂直平分线上。
（友情提示：证明点Q 在线段AB 的垂直平分线上，分两种情况：（1）已知垂线证明它也是中线；（2）已知中线证明它也是垂线；尝试完成下面证明过程） 证明方法一：
证明：过点Q 作QC ⊥AB 于C
∵QC ⊥AB 于C
∴∠ =∠ = °
在Rt △ 和Rt △ 中
⎩
⎨⎧
∴Rt △ ≌Rt △ （ ）
∴ =
备 注
∴点Q在线段AB的垂直平分线上
仿照上面思路，你会试着用另一种方法证明吗？
归纳：线段垂直平分线的判定定理：与一条线段相等的点，在这条线段的
几何语言：
∵QA=QB
∴在的垂直平分线上
性质与判定的区别：
( )
点在线段的垂直平分线上到线段两端点的距离相等
( )
三、基础应用
1.下列说法错误的是（）
A. D.E是线段AB垂直平分线上的两点，则AD=BD,AE=BE
B. 若PA=PB，则点P在AB的垂直平分线上
C. 若PA=PB, 则过点P的直线是AB的垂直平分线
D. 若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线
2.如图，在锐角三角形内的一点P满足PA=PB=PC,
则点P是△ABC的的交点
3.如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
A
M
C
B
归纳：要判定一条直线是一条线段的垂直平分线的方法：
四、典例分析
如图，已知：在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D，且DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F. 求证：AD是EF的垂直平分线.
五、巩固练习
1、已知AD与BC相交于点E，且AB=AC,DB=DC
求证：BE=CE
2、已知∠1=∠2，∠3=∠4
求证AC垂直平分BD
六、课堂小结
谈谈你的收获？
七、学有余力
如图所示，EM⊥AB,EN⊥AC, AE是∠BAC的平分线，CN=BM 求证：E点在BC的垂直平分线上
【自主反思】。