垂直平分线定义性质与判定

如果两个图形关于某条 直线对称，那么对称轴 是任何一对对称点所连 线段的垂直平分线。
类似地，轴对称图形的对 称轴是任何一对对称点所 连线段的垂直平分线．
对应点的连线被对称轴垂直平分。
下面我们来探究线段垂直平分线的性质
l是AB的垂直平分线，观察P1A
P3
和P1B，P2A和P2B，P3A和P3B
P2
之间的关系？
O
在△APO两和个△B端PO点中的， 距离相等．
PO=PO
∠AOP= ∠BOP
AO=BO
∴ △APO≌△BPO (SAS) ∴ PA=PB.
1、因为AD为BC的中垂线，所A以B＝AC。 理由： 线段垂直平分线上的点与这条 B
线段两个端点的距离相等．
2、如图， NM是线段AB的中垂线,
下列说法正确的有：①②③。
A
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段 两个端点的距离相等．
思考
. 反过来: 到一条线段两个端 P
点距离相等的点,在这条线段的
垂直平分线上吗?
A
C
B
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上.
判定定理：
与一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平 分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等（性质）
与一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直 平分线上（判定）
点到线段两个 端点距离相等
PA=PB
P
这个点在这条线段 的垂直平分线上
A
C
B
P33页21题
习题1.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的 垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关 系？AB+BD与DE有什么关系？
①AB⊥MN,②AD=DB， ③
MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是
A
MN的垂直平分线
A
D
C
M
D
B
N
如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分 线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。 A
解： ∵ED是线段AB的垂直平分线
∴ BD=AD
∵ △BCD的周长
=BD+DC+BC AD+DC+BC
∴ △BCD的周长= AC+BC
P1
A
B
l
求证：
线段垂直平分l 线上的点到这条线段两端的距离相等
P
A C
能不能写出已知求证并 B 证明呢？
已知：直线m是线段AB的垂直平分线，
P为直线m上的任意一点；
m
P
求证：PA=PB.
证明：通过证明两个三角形全等．
A
B
∵m是AB的垂直平分线，P在m上
结∴∴∠P论OAO⊥：PA=线B∠,A段BOO=垂PB=O直90°平分线上的点与这条线段
①如果两条线段互相垂直且平分，那么这两条线段互为对称轴 ②若两个三角形关于某条直线对称，那么这两个三角形一定全等 ③线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等 ④若P为∠AOB平分线上的点，C、D分别是边OA与OB上的点，则PC=PD A、①② B、②③ C、③④ D、①④
5、下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是（ ） A MA=MB，NA=NB B MA=MB，MN⊥AB C MA=NA，MB=NB D MA=MB，MN平分∠AMB
24、如图，AO、OB是互相垂直的墙壁， 墙角O处是一老鼠洞，一只猫在A处发现B 处的一只老鼠正向洞口O处逃窜，若猫以 与老鼠同样的速度 去追捕这只老鼠，请 在图中作出猫最快能截住老鼠的位置C。 （保留作图痕迹，不写作法）
练一练：P30：1题、P31页5题
【课堂检测】 1、给出以下四个结论，其中正确的有（ ）
D
A'
C
E C'
P29、30：
4、5题
F
B
B'
生活中的数学
A
在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、
B，为了便于两厂的工人看病，市政府计
划在公路边上修建一所医院，使得两厂
到医院的距离相等，问医院的院址应选
在何处？你的方案是什么?
B
P30：7题
L
高速公路
7、如图，已知∠AOB和定点P、Q，求作：点M，使 PM=MQ，且点M到∠AOB两边的距离相等。
MN⊥AA’于P AP = A’P
1、图中的对称点有哪些？ 2、线段AA’、BB’、CC’与直
A
线MN有什么样的关系？
M
P
A’
直线MN垂直且平分这三条
线段
Q
C
C’
定义：经过线段的中点并且垂 B 直于这条线段的直线，叫做这
G
B’
条线段的垂直平分线，也叫中
N
垂线。
图中的两个三角形关于直线MN对称
通过前面的研究我们就可以得到图形轴对称的性质
=
12+7=19
=
E
D
B
C
P29页3题
2、如下图△ABC中，AC=16cm，
DE为AB的垂直平分线， △BCE的
A
周长为26cm，求BC的长。
10cm
D E
B
C
3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90， DE是AB的垂直平分线，连接AE， ∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的度数。 C
E
36°BD源自P31、32：11、13、19题
11、如图，在△ABC中，BC=8，AB、 AC的垂直平分线分别交BC于点D、E， 则△ADE的周长等于_____。
13、如图，△ABC中，AC的垂直平 分线交AC于E，交BC于D，△ABD的 周长为20，AE=5，则△ABC的周长 是_______。
19、如图，AD为∠BAC的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 那么点E、F是否关于AD对称？若对 称，请说明理由。
A
B
D
C
证明：∵AD⊥BC BD=DC
∴AD在线段BC的垂直平分线上
∴AB=AC
∵点C在AE的垂直平分线上
E ∴AC=CE 又 AB=AC ∴AB=CE 又BD=CD ∴AB+BD=CE+CD=DE
思 考 不折叠图形如何准确地得出它的对称轴呢？
A
A'
现给出对称图形的一半你能否做出另外的部分？
A
思考：生活中的数学
某区政府为了方便居民的生 活，计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能 使得它到三个小区的距离相等。
A
P33： 23、24题
·
B
C
作图题：P33：23、24题
23、如图，A、B、C三点表示三个小区， 为了解决居民子女就近入学问题，计划 新建一所小学，要使学校到三个校区距 离相等，请你在图中确定学校的位置。
P32、33：20、22题
20、如图，P在∠AOB内，点M、N分 别是点P关于OA、OB的对称点，若 △PEF的周长为15，求MN的长。
22、在△ABC中，∠BAC=120°，若 DE、FG分别垂直平分AB、AC，△AEF 的周长为10cm，求∠EAF的度数及BC 的长。