垂直平分线的性质判定
13.1.2线段垂直平分线的性质和判定
？
)
∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P.
你能依据例1得到什么结论？ 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点， 这一点到三角形三个顶点的距离相等。
线段的垂直平分线
一、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。 二、判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
E
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴ PA=PB 反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢？
逆命题
到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分线上。
P
成立吗？
A
C
B
继续探究，证明判定
证明：“到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。”
线段的垂直平分线
教学目标：
1.理解线段垂直平分线的性质和判定． 2.能运用线段垂直平分线的性质和判定
解决实际问题．
复习回顾：
什么是线段的垂直平分线？
经过线段中点并且垂直于这条线段
的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
探究1：线段的垂直平分线的性质
动手操作：作线段AB的垂直平分线l ， 垂足为C；在l上任取一点P，连结PA、PB；
l
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB P1A=P1B
P
……
由此你能得出什么结论？
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等。A 你能用验证这一结论吗？
P1 B
C
验证猜想，证明性质
证明：“线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等。”
线垂直平分线的判定
线垂直平分线的判定线垂直平分线是几何学中的一个重要概念，用于描述一个线段被等分成两等分的直线，且这条直线与线段垂直。
在本文中，我们将深入探讨线垂直平分线的定义、性质和判定方法。
我们将从简单的概念入手，逐渐深入探讨该主题的更复杂和有趣的方面。
1. 线垂直平分线的定义线垂直平分线是指一个直线将线段等分，且与线段垂直。
具体而言，对于一个线段AB，如果存在一条直线CD，使得CD将AB分为两等分，并且CD与AB垂直，则CD就是线段AB的垂直平分线。
线垂直平分线的存在可以帮助我们确定线段的中点，并且可以在几何证明中起到重要的作用。
2. 线垂直平分线的性质线垂直平分线具有一些重要的性质，这些性质使得它成为几何学中的一个重要工具：- 线垂直平分线平分线段：线垂直平分线将线段分成两个相等的部分，因此线段的两个端点到线垂直平分线的距离相等。
- 线垂直平分线垂直于线段：线垂直平分线与线段垂直，这意味着线垂直平分线所形成的两个角是直角。
- 线垂直平分线唯一性：对于给定的线段，存在唯一一条垂直平分线。
这是由线垂直平分线的定义所决定的。
如果有两条直线同时满足平分线和垂直线的条件，那么这两条直线将重合。
3. 线垂直平分线的判定方法线垂直平分线的判定方法有多种，我们将介绍两种常见的方法：- 利用垂直线段的性质：如果两条线段长度相等且垂直相交，那么它们的中垂线就是垂直平分线。
- 利用角的平分线的性质：如果两条边相等的角的平分线也相等，则该平分线是垂直平分线。
4. 个人观点和理解线垂直平分线作为几何学中的一个重要概念，对于解决几何问题和证明定理起到至关重要的作用。
它不仅可以帮助我们确定线段的中点，还可以与其他几何概念相结合，拓展我们的几何思维能力。
在解决实际问题时，线垂直平分线的概念也具有一定的应用价值，例如在建筑、地理测量等领域中，它可以帮助我们确保某些结构或地理位置的垂直平均。
深入理解线垂直平分线的概念对于我们的学习和应用都是十分重要的。
13章垂直平分线的判定
作图题 1、如图，在直 线L上求作一点P，使 PA=PB.
L
A
B
p
PA=PB
数学问题源于生活实践，反过来数学又为Байду номын сангаас活实践服务
作图题2
．如图，求作一点P，使PA=PB，PC=PD
A
C
B D
如图，七（1）班与七（2）班两 个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动， 现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶 水供应点P，使P到两条道路的距离相等， 且PM=PN，请你用折纸的方法找出P点并 B 说明理由。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
任何图形都是有点组成的。因 三、 此我们可以把图形看成点的集 线段的垂直平分线的集合定义： 合。由上述定理和逆定理，线 线段的垂直平分线可以看作是到线 段的垂直平分线可以看作符合 段两上端点距离相等的所有点的集合 什么条件的点组成的图形？
A
证明：
M
M’
∵点P在线段AB的垂直平分线MN上， (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 ∴PA=PB(？) 点的距离相等）. 同理 PB=PC.
B
P C
N ∴PA=PC. (到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上) N’ ∴点P在AC的垂直平分线上; ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P.
M
N
A
C
一、线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点的距离相等。 二、线段垂直平分线判定定理：到线段两个端点距离相等 的点，在这条线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
垂直平分线性质与判定应用
几何语言:如图，∵⊥AB，AC＝BC，点P在上，∴PA＝PB
例题讲解
如图，在△ 中，的垂直平分线分别交、于、两点，＝4，
△ 的周长是25，则△ 的周长为（ ）
. 13
. 15
. 17
. 19
解题方法
根据线段垂直平分线性质得出＝，＝＝4，求出＝8， +
上，作∠ = 90°，且 = ，过点作//，且 = ，
联结，CE．
（1）求证： ⊥ ；
（2）如果 = ，求证：点在线段的垂直平分线上
课堂小结
课堂大总结
垂直平分线性质：
垂直平分线判定：
帮助每一个孩子成就最好的自己！
∴∠ = ∠ = 70°，
∵是的垂直平分线，
∴ = ，
∴∠ = ∠ = 40°，
∴∠ = ∠ − ∠ = 30°
应用练习
如图，在△ 中，∠ = 90°，垂直平分，平分∠，
则∠ =
. 30°
. 35°
. 45°
. 60°
∠ = ∠
=
∴△ ≅△ ，
∴ = ，
∴点在线段的垂直平分线上．
应用练习
已知，如图， = ， = ， ⊥ 于点， ⊥ 于点，
（1）求证： = ．
（2）连接，求证：线段垂直平分线段．
应用练习
如图，已知在△ 中，∠ = 90°， = ，点在边
垂直平分线性质与判定
√
√
思维导图
课程目标
掌握并能运用垂直平分线性质求边长以及角度
掌握并能运用垂直平分线判定进行证明
能灵活应用判定和性质解决综合题
知识讲解
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线知识要点分析1. 线段垂直平分线性质定理及判定定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
(这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
2. 三角形三条边的垂直平分线定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
(这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.)3. 尺规作图尺规作图的概念：只用没有刻度的直尺和圆规进行作图，称尺规作图。
能写出尺规作图的步骤作已知线段的垂直平分线已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。
【典型例题】考点一：线段垂直平分线性质定理和判定定理例1. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？例2、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点. 求证：PA=PB.想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它。
这个定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明：取AB的中点C，过PC作直线.APBC21这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.考点二：尺规作图例3、用尺规作线段的垂直平分线已知：线段AB（如图）. A B求作：线段AB的垂直平分线.现在同学们会作一条已知线段的垂直平分线了，那么你能作出一个三角形的三边的垂直平分线吗？如果能，请试一试观察一下三角形三条边的垂直平分线交于一点吗？如果交于一点，你能证明出来吗？例4、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：P点在AC的垂直平分线上.这就是我们今天学习的又一个定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
例5、边及底边上的高，求作等腰三角形.已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h(先分析,作出示意图形,再按要求去作图.)考点三：三角形三条边的垂直平分线的性质例6. 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的一条中线，AB的垂直平分线交AD于O求证：OA=OB=OC.严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是证明者谨记和遵循的原则 一、选择题1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定*2、已知，如图，在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC于点D 、E ，若BD+CE ＝5，则线段DE 的长为 （ ）A. 5 B. 6 C. 7D. 82题图 3题图3、如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A 、AB 、BC 两边高线的交点处B 、AC 、BC 两边中线的交点处C 、AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D 、∠A 、∠B 的平分线交点处 二、填空题4、如图所示，△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB的中垂线，AB=2AC ，BC=18cm ，则BE 的长度为4题图 7题图*5、锐角△ABC 中，∠A=60°，AB ，AC 两边的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数是 __________。
垂直平分线的判定和性质
垂直平分线的判定和性质
垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段，垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
判定方法：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）。
注意事项：
要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。
在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段，分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线，得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。
垂直平分线的定义和性质
垂直平分线的定义和性质
一、垂直平分线的定义和性质
1、定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的
直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)。
2、垂直平分线的性质
（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（2）与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分
线上。
所以，中垂线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，中垂线是线段的一条对称轴。
二、垂直平分线例题
到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点。
A.三个内角平分线ㅤㅤ
B. 三边垂直平分线
C. 三条中线ㅤㅤ
D. 三条高
答案：B
解析：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，故选B。
垂直平分线定义性质及判定
2、如图; NM是线段AB的中垂线
下列说法正确的有：①②③&
①AB⊥MN,②AD=DB， ③
MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是
A
MN的垂直平分线
A
D
C
M
D
B
N
如图;若AC=12，BC=7，AB的垂直平分
线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长
A
& 解： ∵ED是线段AB的垂直平分线
在何处？你的方案是什么?
B
P30：7题
L
高速公路
7、如图;已知∠AOB和定点P、Q，求作：点M，使 PM=MQ，且点M到∠AOB两边的距离相等&
思考：生活中的数学
某区政府为了方便居民的生 活;计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能 使得它到三个小区的距离相等&
l是AB的垂直平分线;观察P1A和
P3
P1B，P2A和P2B，P3A和P3B之
P2
间的关系？
P1
A
B
l
求证：
线段垂直平分l 线上的点到这条线段两端的距离相等
P
A C
能不能写出已知求证并 B 证明呢？
已知：直线m是线段AB的垂直平分线;
P为直线m上的任意一点；
m
P
求证：PA=PB.
证明：通过证明两个三角形全等．
与一条线段两个端点距离相 等的点;在这条线段的垂直平分 线上&
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等（性质
点到线段两个 端点距离相等
PA=PB
P 与一条线段两个端点距离相 等的点;在这条线段的垂直平 分线上（判定
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性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
判定定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上的点和这 条线段两个端点的距离相等
AB的垂直
PA=PB P
平分线上
和一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上
性质定理和判定定理存在什么关系？
符号语言： ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),
M
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离
相等).
P
A
C
B
.
1、如图直线MN垂直平分
线段AB，则相等的线段
有
。
A
.
M C
B D
N
3、如图PA=PB，则直 线MN是线段AB的垂直 平分线。
.
线段垂直平分线判定
判定定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
P
例1.PA=PB,QHAA==AHBB,
H
求证：P HQ 是线段AB的中垂线
证明：∵PA=PB
A
B
∴点P在线段AB的中垂线上
∵QA=QB
∴点Q在线段AB的中垂线上
Q
∴点PQ是线段AB的中垂线（两点确定一条直线）
温馨提示：
要证中垂线，一定要证. 两对线段相等
题设和结论正好相反，是互逆关系
A
C
B
.
想一想
（1）线段AB的垂直平分线上的所有点都满 足“和点A、B的距离相等”这一条件吗？
（2）满足“和A、B的距离相等”的所有点都 在线段AB的垂直平分线上吗？
线段的垂直平分线可以看作是和线段两 个端点距离相等的所有的点的集合
.
线段垂直平分线性质
性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点 的距离相等。