九年级数学下册知识点总结知识讲解

九年级下册知识点第一章 直角三角形边的关系1、正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=∠A 的对边/∠A 的邻边。

①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比；③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

（P1-6,11、P3-6、P4-12）2、正弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA=∠A 的对边/斜边；3、余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=∠A 的邻边/斜边；4、余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cotA=∠A 的邻边/∠A 的对边；5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

（通常我们称正弦、余弦互为余函数。

同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则①sin A = cos(90°−∠A ）等等。

6、记住特殊角的三角函数值表0°，30°，45°，60°，90°。

（P4-13、P5-15,16、P10-11、P12-3）题6：计算：()3122101-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛- + ︒⋅︒︒-︒60tan 30cos 60cos 45cot7、当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。

同角的三角函数间的关系：t αn α·c ot α=1，tan α=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα，sin 2α+cos 2α=18、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有：（1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2；（2)两锐角的关系：∠A ＋∠B=90°；（3)边与角之间的关系：sinα等；（4）面积公式；（5）直角三角形△ABC 内接圆⊙O 的半径为(a+b-c)/2；（6）直角三角形△ABC 外接圆⊙O 的半径为c/2。

（P18-13、P16-例5、P19-15）题7：小红的运动服被一个铁钉划破一个呈直角三角形的洞，其中两边分别为1 cm 和2 cm ，若用同色形布将此洞全部遮盖，那么这个圆的直径最小应等于( )。

A ．2 cmB ．3 cmC ．2 cm 或3 cmD ．2 cm 或5cm题8：长为12 cm 的铁丝，围成边长为连续整数的直角三角形，则斜边上的中线为________cm 。

题9：如图2，河对岸有铁塔AB ．在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进14米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高。

图2题10：已知：四边形ABCD 中，∠B ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2、CD ＝1、∠A ＝60°，求：BC 。

图3第二章 二次函数 1、定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。

自变量的取值范围是全体实数。

2、二次函数2ax y =的性质：（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴；（2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点。

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a 。

（P21-12）3、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线。

4、二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式， 其中ab ac k a b h 4422-=-=，。

5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2。

6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x 。

（P23-9,10）7、顶点决定抛物线的位置。

几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。

8、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=。

（P26-9） （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =。

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。

注意：用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。

题11：抛物线y ＝x 2＋6x ＋4的顶点坐标是( )A ．(3，-5)B ．(-3，-5)C ．(3，5)D ．(-3，5)9、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（P29-例2,1,10）（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样。

（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置。

由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线。

a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧。

（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点； ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴。

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<a b 。

10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：11、用待定系数法求二次函数的解析式（P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16）（1）一般式：c bx ax y ++=2。

已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式。

（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=。

题12：已知关于x 的一元二次方程x 2-2(m -1)x ＋(m 2-1)＝0，有两个实数根x 1、x 2，且x 12＋x 22＝4．求m 的值。

题13：先化简，再求值：225632111333x x x x x x -+⎛⎫⎛⎫÷-+ ⎪⎪+--⎝⎭⎝⎭ ，其中x ＝3题14：在平面直角坐标系中，B (3＋1，0)，点A 在第一象限内，且∠AOB ＝60°，∠ABO ＝45°。

(1)求点A 的坐标；(2)求过A 、O 、B 三点的抛物线解析式；(3)动点P 从O 点出发，以每秒2个单位的速度沿OA 运动到点A 止，①若△POB 的面积为S ，写出S 与时间t(秒)的函数关系；②是否存在t ，使△POB 的外心在x 轴上，若不存在，请你说明理由；若存在，请求出t 的值。

图412、直线与抛物线的交点（P47-5、P48-10,14）（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c )。

（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2)。

（3）抛物线与x 轴的交点。

二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根。

抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离。

（4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点：同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。

当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根。

（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点；②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点。

（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故：ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第三章 圆1、定义：圆是平面上到定点距离等于定长的点的集合。

其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径， 圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。

对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。

2、点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则：①点在圆上<===>d=r ；②点在圆内<===>d<r ；③点在圆外<===>d>r 。