广东省佛山市高明区2017-2018学年高二数学下学期第5周练习试题理
广东省佛山市高明区第一中学2016-2017学年高二数学下
高二周六数学测试理科卷（2017年2月18日）一．选择题（每小题5分共计60分）1．已知双曲线22:13y E x -=的左焦点为F ，直线2x =与双曲线E 相交于A ，B 两点，则ABF △的面积为（ ）A.12B.24C.D.2．若双曲线22221x y a b-= ）A.2y x =±B.y =C.12y x =± D.y = 3．圆22(3)(3)9x y -+-=上到直线34110x y ＋－＝的距离等于1的点有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．设命题2:,2n p n N n ∃∈>，则p ⌝为（ ）A ．2,2n n n ∀∈>B ．2,2n n n ∃∈≤C ．2,2n n n ∀∈≤D ．2,2n n n ∃∈=5．已知命题:p 若x y >，则x y -<-；命题:q 若x y <，则22x y >；在下列题中：（1）p q ∧；（2）p q ∨；（3）()p q ∧⌝；（4）()p q ⌝∨,真命题是（ ）A ．（1）（3）B ．（1）（4）C ．（2）（3）D ．（2）（4） 6．设0,0a b >>，则“x a >，且y b >”是“x y a b +>+且xy ab >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知椭圆()222:10525x y C b b+=<<的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（ ）A ．221254x y += B ．221259x y += C. 2212516x y += D ．22125x y += 8．过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 与其交于,A B 两点，若4AF =，则BF =（ ） A ．2 B ．43C ．23D ．1 9．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（ ）A ．B ．C ．D ．10．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体. 它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣和（牟和）在一起的方形伞（方盖）. 其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线. 其实际直观图中四边形不存在，当正视图和侧视图完全相同时，它的的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．b a ,B ．c a , C. b c , D ．d b ,11．将半径为1的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为1r ，2r ，3r ，那么123r r r ++的值为（ ）A ．12B ．2C ．1 12．若椭圆221369x y +=的弦被点()4,2平分，则此弦所在直线的斜率为（ ）A ．2B ．-2C ．13 D ．12- 二．填空题（每小题5分共计20分）13．如图，在河的一侧有一塔12CD m =，河宽3BC m =，另一侧有点,4A AB m =，则点A 与塔顶D 的距离AD =_________.14．圆锥的侧面积与过轴的截面积之比为π2,则母线与轴的夹角大小为 15．已知(1,1,)a t t t =--，(3,,)b t t =，则a b -的最小值 16．将一块边长为6cm 的正方形纸片，先按如图（1）所示的阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正VABCD方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图（2）放置，若其正视图为正三角形，则其体积为 3cm ．三．解答题（本大题50分）17. （本题12分）如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC －A 1B 1C 1中， AC ＝AA 1＝2AB ＝2，∠BAC ＝90°，点D 是侧棱CC 1延长线上一点， EF 是平面ABD 与平面A 1B 1C 1的交线.(1)求证：EF ⊥A 1C ；(2)当直线BD 与平面ABC 所成角的正弦值为31414时，求三棱锥D －EFC 1的体积.18. （本题12分）在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD .(I) 证明：AB ⊥平面VAD ； (II)求二面角A VD B --的余弦值.19．（本题12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率e =,以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线20x y +-=相切． (Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)对于直线:l y x m =+和点()0,3Q ,是否椭圆C 上存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称,且332QA QB ⋅=,若存在实数m 的值,若不存在,说明理由．20．（本题14分）如图，抛物线21:8C y x =与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>有公共焦点2F ，点A 是曲线12,C C在第一象限的交点，且25AF =. （Ⅰ）求双曲线2C 的方程；（Ⅱ）以1F 为圆心的圆M 与双曲线2C 的一条渐近线相切，圆()22:21N x y -+=.已知点(P ，过点P 作互相垂直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设被圆M 截得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t .试探索ts 是否为定值？请说明理由.高二周六数学测试理科卷（2017年2月18日）答案：选择题（每小题5分共计60分）：填空题：（每小题5分共计20分） 13．【答案】1314．【答案】315．16．【答案】三．解答题（本大题50分）17.【解答】：(1)证明：依题意，有平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，又平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，平面A 1B 1C 1∩平面ABD ＝EF ， ∴EF ∥AB .∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，且∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AA 1，AB ⊥AC .而AA 1∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面ACC 1A 1. 又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C .∴EF ⊥A 1C . ……………………………5分 (2)设直线BD 与平面ABC 所成的角为θ，∵直线BD 与平面ABC 所成角的正弦值为31414，∴tan θ＝35，又BC ＝AB 2＋AC 2|＝5， ∴CD ＝3，DC 1＝1，FC 1＝DC 1tan ∠DFC 1＝135＝53，EF ＝13，EC 1＝23.又S △EFC 1＝12×23×13＝19，∴VD －EFC 1＝13×19×1＝127.……………………………12分18. 【解答】：(Ⅰ)因为平面VAD ⊥平面ABCD ，平面VAD ∩平面ABCD=AD ， 又AB 在平面ABCD 内，AD ⊥AB ，所以AB ⊥平面VAD. ……………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知AD ⊥AB ，AB ⊥AV.依题意设AB=AD=AV=1，所以设VD 的中点为E,连结AE 、BE ，则AE ⊥VD ，BE ⊥VD ， 所以∠AEB 是面VDA 与面VDB 所成二面角的平面角. 又AE=2，BE=2，所以cos ∠AEB=371372+-. (方法二) (Ⅰ)同方法一.(Ⅱ)设AD 的中点为O ，连结VO ，则VO ⊥底面ABCD. 又设正方形边长为1，建立空间直角坐标系如图所示. 则，A(12，0，0)，B(12，1，0)，D( 12，0，0)， V(0，0，2)； 13(0,1,0),(,1,),(1,1,0)2AB VB BD ==--=--由(Ⅰ)知m =(0,1,0)-是平面VAD 的法向量.设(1,,)n y z=是平面VDB 的法向量，则1,10,(1,,)(,1,0,(1,1,20,(1,,)(1,1,0)0,y n VB y z n z n BD y z =-⎧⎧⎧∙=∙=⎪⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨=∙=⎪⎪⎪⎩∙--=⎩⎩∴(0,1,0)(1,1,cos ,m n -⋅-<>==， ∴求二面角A VD B --的余弦值是7…………………………12分 19．【解答】(1)由已知条件可知,圆心是(,22c b ),半径是2a,圆心到直线20x y +-=的距离为半径2a,则可得方程组:2222ac a a b c⎧⎪⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎪⎩解得11c b a ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,因此,所求椭圆的标准方程是2212x y +=.………………………………………5分(2)设AB 直线为AB ：y x n =-+，则A ，B 两点的坐标由方程组确定212y x n x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得2234220x nx n -+-=，则有21212422,33n n x x x x -+==， 1212122()()()23ny y x n x n x x n +=-++-+=-++=， 22121212122()()()3n y y x n x n x x n x x n -=-+-+=-++=所以AB 中点坐标为（2,33n n ）在直线:l y x m =+上，有233n nm =+，得30n m +=； 又11223233(,3)(,3)QA QB x y x y ==--⋅--121212323()93x x y y y y =+-++ 22322222393333n n n --=+-+ 2230n n --=，解得：3n =或1n =-，当3n =时，代入2234220x nx n -+-=无解，当1n =-时，代入2234220x nx n -+-=有解，此时，13m =， 因此存在实数13m =满足条件。
广东省佛山市2017-2018学年高二上学期期末教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2018年佛山市普通高中高二教学质量检测数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若命题2000:R,220p x x x ∃∈++≤，则p ⌝为（ ） A. 2000R,220x x x ∃∈++> B. 2000R,220x x x ∃∉++> C. 2R,220x x x ∀∈++≥D. 2R,220x x x ∀∈++>【答案】D 【解析】特称命题的否定为全称命题，据此可得：命题2000:R,220p x x x ∃∈++≤， 则p ⌝为：2R,220x x x ∀∈++>.本题选择D 选项.2.“1a =”是“关于x 的方程22x a x +=有实数根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若关于x 的方程22x a x +=有实数根， 一元二次方程即：220x x a -+=， 则440,1a a ∆=-≥∴≤，据此可得：“1a =”是“关于x 的方程22x a x +=有实数根”的充分不必要条件. 本题选择A 选项.3.两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=间的距离为（ ） A.1310B.135C.72D.235【答案】C 【解析】由直线平行的充要条件可得：34,68a a =∴=， 结合平行线之间的距离公式可得，两条平行直线68240x +-=与68110x y ++=间的距离为：357102d ===. 本题选择C 选项.4.已知抛物线()220y px p =>上点()4,M m 到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（ ）A. 4x =-B. 2x =-C. 2x =D. 4x =【答案】B 【解析】由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于x 轴正半轴，其准线方程为：2p x =-， 结合抛物线的定义可得：462p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，求解关于实数p 的方程可得：4p =， 则该抛物线的准线方程为2x =-. 本题选择B 选项.5.直线2320x y -+=关于x 轴对称的直线方程为（ ） A .2320x y ++= B. 2320x y +-=C. 2320x y --=D. 2320x y -+=【答案】A 【解析】设所求直线上点的坐标为(),m n ，其关于x 轴对称的点(),m n -在直线2320x y -+=上，则：2320m n ++=，据此可得，所求的直线方程为：2320x y ++=. 本题选择A 选项.6.已知双曲线一条渐近线方程为43y x =，则双曲线方程可以是（ ）A. 22134x y -=B. 22134y x -=C. 221169x y -= D. 221169y x -=【答案】D 【解析】逐一考查所给选项中双曲线的渐近线：22134x y -=的渐近线为：y =； 22134y x -=的渐近线为：y x =； 221169x y -=的渐近线为：34y x =?；221169y x -=的渐近线为：43y x =±；本题选择D 选项.点睛：双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，而双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的渐近线方程为a y x b =±(即bx x a=±)，应注意其区别与联系. 7.若圆()221:11C x y -+=与圆222:880C x y x y m +-++=相切，则m 等于（ ）A. 16B. 7C. -4或16D. 7或16【答案】C 【解析】整理圆2C 的方程为标准型即：()()224432x y m -++=-，圆心距为：()()2214045-++=，两圆半径为：121,r r== 15,16m =∴=，当两圆内切时，由于15<，故有15,4m -=∴=-， 综上可得：m 等于-4或16. 本题选择C 选项.点睛：两圆相切包括内切和外切两种情况，注意分类讨论.判断两圆位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．8.已知曲线C 的方程为221259x y k k +=--，给定下列两个命题：p ：若925k <<，则曲线C 为椭圆；q ：若曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，则9k <.那么，下列命题为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. ()p q ∧⌝C. ()p q ⌝∧D. ()()p q ⌝∧⌝【答案】C 【解析】【详解】当17k =时，曲线C 的方程为：22188x y +=，即228x y +=，曲线表示圆，命题p 为假命题；若曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，则：25090k k ->⎧⎨-<⎩，求解关于实数k 的不等式组有：9k <，命题q 为真命题，据此逐一考查所给命题的真假：p q ∧是假命题；()p q ∧⌝是假命题；()p q ⌝∧是真命题；()()p q ⌝∧⌝是假命题；本题选择C 选项.9.0y m -+=与曲线y =m 的取值范围是（）A. 4⎡--⎣B. 44⎡---⎣C. 4⎡---⎣D. ⎡-⎣【答案】A 【解析】曲线y =()2234x y -+=位于y 轴上方的图形，0y m -+=即：y m=+y 轴的截距为m ，两者有公共点，考查如图所示的临界条件，当直线过点()5,0500,m m ++=∴=-2=，解得：4m =-，结合图形可知，取4m =-，综上可得：m 的取值范围是53,433⎡⎤--⎣⎦.本题选择A 选项.10.已知椭圆22:1189x y E +=的右焦点为F ，过点F 的直线l 交E 于,A B 两点.若过原点与线段AB 中点的直线的倾斜角为135°，则直线l 的方程为（ ） A. 230x --= B. 230x +-= C. 30x y --= D. 230x y --=【答案】D 【解析】由椭圆的标准方程可得焦点坐标为()3,0F ，很明显直线的斜率存在，设直线方程为()3y k x =-，联立直线方程与椭圆方程221189x y +=联立可得：()()2222211218180k x k x k +-+-=，设中点坐标为(),M M M x y ，则：21226221M x x k x k +==+，()23321M M k y k x k -=-=+， 又点M 在直线y x =-上，故：222362121k kk k -=-++，结合0k ≠解方程可得：12k =， 则直线方程为：()132y x =-， 整理为一般式即：230x y --=. 本题选择D 选项.11.在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AD ⊥，,E F 分别是,AB AD的中点，PF ⊥平面ABCD ，且122AB BC PF AD ====，则异面直线,PE CD 所成的角为（ ） A. 30° B. 45°C. 60°D. 90°【答案】B 【解析】将该几何体补形为一个长宽高分别为4,2,2的长方体，建立空间直角坐标系如图所示， 则：()()()()0,2,2,1,0,0,2,2,0,0,4,0P E C D ，据此计算可得：()()1,2,2,2,2,0PE CD =--=-u u u v u u u v， 2406PE CD ⋅=--+=-u u u v u u u v，1443,44042PE CD =++==++=u u u v u u u v,设异面直线,PE CD 所成的角为θ，则：2cos ,452PE CD PE CDθθ⋅==∴=⨯o u u u v u u u v u u uv u u u v . 本题选择B 选项.12.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于,,,A B C D 四点，四边形ABCD 的面积为ab ，则双曲线的离心率为（ ）A.B. 2C.D. 4【答案】B 【解析】由题意可得，双曲线的渐近线方程为by x a=±，圆的方程为222x y a +=，联立直线方程与圆的方程可得：22x =据此计算可得：222y =，结合图形的对称性可得,,,A B C D的坐标分别为：2⎛⎫⎝，2ab =，整理可得：223b a =，则224c a =，双曲线的离心率为：2e ==. 本题选择B 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.过点()1,1且与直线3420x y ++=垂直的直线方程__________． 【答案】4310x y --= 【解析】利用直线系方程，设所求直线的方程为430x y m -+=，直线过点()1,1，则：430,1m m -+=∴=-， 所求解的直线方程为：4310x y --=.14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】3122π+ 【解析】结合三视图可得，该几何体是一个组合体，上半部分为圆锥，其底面直径为3，该为2，其体积211332322V ππ⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；下半部分为长方体，长宽高分别为2,2,3，其体积222312V =⨯⨯=， 综上可得，该几何体的体积为：123122V V V π=+=+. 15.《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.”这里所谓的“鳖臑（biē nào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥A BCD -是一个“鳖臑”，AB ⊥平面BCD ，AC CD ⊥，且2AB =1BC CD ==，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为__________． 【答案】4π 【解析】如图所示，将四面体补形为一个长宽高分别为2的长方体， 设外接球的半径为R ，则：()2221124,1R R =++=∴=， 据此可得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为：244S R ππ==.16.P 为双曲线22115y x -=右支上一点，M 、N 分别是圆2222(4)4(4)1x y x y ++=-+=和上的点，则|PM|-|PN|的最大值为 【答案】5 【解析】 【分析】设双曲线的两个焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，则F 1，F 2为两圆的圆心，又两圆的半径分别为r 1＝2，r 2＝1，则|PM |≤|PF 1|＋2，|PN |≥|PF 2|－1，再利用双曲线的定义和不等式的性质求出|PM |－|PN |最大值. 【详解】设双曲线的两个焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，则F 1，F 2为两圆的圆心，又两圆的半径分别为r 1＝2，r 2＝1，则|PM |≤|PF 1|＋2，|PN |≥|PF 2|－1，故|PM |－|PN |≤(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2a ＋3＝5. 故答案为5【点睛】（1）本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题解题关键在分析得到|PM |≤|PF 1|＋2，|PN |≥|PF 2|－1.三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标为()1,2A -，()0,1B -，()4,1C . （Ⅰ）求顶点D 的坐标； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积. 【答案】(Ⅰ)()3,4D ；(Ⅱ)14. 【解析】 试题分析：(Ⅰ)设AC BD M ⋂=，由题意结合中点坐标公式可得33,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，再次利用中点坐标公式可得D 的坐标为()3,4D .(Ⅱ)由题意可得直线BC 的方程为220x y --=，且25BC =，点A 到直线BC 的距离755d =.则四边形ABCD 的面积7525145S BC d ==⨯=. 试题解析：(Ⅰ)如图，设AC BD M ⋂=，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以对角线互相平分， 又()1,2A -，()4,1C ，所以33,22M ⎛⎫⎪⎝⎭， 又()0,1B -，所以顶点D 的坐标为D ()3,4.(Ⅱ)依题意可得111402BC k +==-， 故直线BC 的方程为112y x =-，即220x y --=，又()()22401125BC =-+--=点A 到直线BC距离()2212227512d --⨯-==+-. 所以四边形ABCD 的面积7525145S BC d ===. 18.已知A 为圆()22:436x y Γ-+=上的动点，B 的坐标为()2,0-，P 在线段AB 上，满足12BP AP=. （Ⅰ）求P 的轨迹C 的方程.（Ⅱ）过点()1,3-的直线l 与C 交于,M N 两点，且23MN =l 的方程.【答案】(Ⅰ)()2242x y x +=≠-；(Ⅱ)4350x y +-=或1x =-. 【解析】试题分析：(Ⅰ)设点P 的坐标为(),x y ，点A 的坐标为()00,x y ，由题意结合向量关系可得00343x x y y =+⎧⎨=⎩，据此整理计算可得224x y +=，则0AP ≠，故点P 的轨迹C 的方程为()2242x y x +=≠-. (Ⅱ)由题意可得，MN 为圆的弦长，结合弦长公式可得原点O 到直线l的距离1d ==.分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况可得直线l 的方程为4350x y +-=或1x =-.试题解析：(Ⅰ)设点P 的坐标为(),x y ，点A 的坐标为()00,x y ，依题意得2AP PB =u u u v u u u v，即()()00,22,x x y y x y --=---， 所以()00222x x x y y y ⎧-=--⎨-=-⎩，解得00343x x y y =+⎧⎨=⎩， 又()2200436x y -+=，所以229936x y +=，即224x y += 又0AP ≠，所以点P 的轨迹C 的方程为()2242x y x +=≠-. (Ⅱ)因为直线l 与曲线C 交于,M N两点，且MN =所以原点O 到直线l的距离1d ==.若l 斜率不存在，直线l 的方程为1x =-，此时符合题意；若l 斜率存在，设直线l 的方程为()31y k x -=+，即30kx y k -++=，则原点O 到直线l的距离1d ==，解得43k =-， 此时直线l 的方程为4350x y +-=所以直线l 的方程为4350x y +-=或1x =-.点睛：1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意斜率不存在的情形．19.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，E 为1CC 中点.（Ⅰ）求证：11A C P 平面1BED ；（Ⅱ）若60DAB ∠=︒，求平面1BED 与平面ABCD 所成锐二面角的大小.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)45°.【解析】试题分析：(Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，取1BD 中点F ，连结,EF FO .由题意可得11ACC A 是平行四边形，故11A C AC P .利用中位线的性质可得四边形OCEF 为平行四边形.则11A C EF P ，结合线面平行的判断定理可得11A C P 平面1BED .(Ⅱ)以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -，结合点的坐标可求得平面1BED 的法向量()10,1,1n =u v ，显然平面ABCD 的一个法向量()20,0,1n =u u v ，据此计算可得平面1BED 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为45°.试题解析：(Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，取1BD 中点F ，连结,EF FO . 因为11AA CC P ，所以11ACC A 是平行四边形，故11A C AC P .又OF 是1BDD ∆的中位线，故112OF DD P ，所以OF EC P ，所以四边形OCEF 为平行四边形.所以OC EF P ，所以11A C EF P ，又11A C ⊄平面1BED ，EF ⊂平面1BED ，所以11A C P 平面1BED .(Ⅱ)以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示，则()0,1,0B ，()3,0,1E -，()10,1,2D -，()3,1,1BE =--u u u v ，()10,2,2BD =-u u u u v ， 设平面1BED 的法向量()1,,n x y z =u v ，则11100n BE n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v ，即30220x y z y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 解得0x z y=⎧⎨=⎩，令1y =，得()10,1,1n =u v ，显然平面ABCD 的一个法向量()20,0,1n =u u v ， 所以1212122,221n n cosn n n n ⋅===⨯u v u u v u v u u v u v u u v ， 所以平面1BED 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为45°. 20.已知抛物线C 的顶点在原点O ，对称轴是x 轴，且过点(3,23.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）已知斜率为k 的直线l 交y 轴于点P ，且与曲线C 相切于点A ，点B 在曲线C 上，且直线PB x P 轴，P 关于点B 的对称点为Q ，判断点,,A Q O 是否共线，并说明理由.【答案】(Ⅰ)24y x =；(Ⅱ)答案见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)设抛物线C 的标准方程为()220y px p =>，结合抛物线过点(3,23可得抛物线C 的方程为24y x =.(Ⅱ)设直线:l y kx m =+，联立直线方程与抛物线方程可得()222240k x mk x m +-+=，由判别式等于零可得1m k =，即1:l y kx k =+，10,P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，211,4B k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，211,2Q k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，整理计算可得点A 的坐标为212,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于2OA OQ k k k ==，故点,,A Q O 共线. 试题解析：(Ⅰ)根据题意，可设抛物线C 的标准方程为()220y px p =>，所以(223p =⋅，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =.(Ⅱ)点,,A Q O 共线，理由如下：设直线:l y kx m =+，联立24y x y kx m⎧=⎨=+⎩得()222240k x mk x m +-+=(*) 由()()2222441610mk m k mk ∆=--=-=，解得1m k =， 则直线1:l y kx k =+，得10,P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，211,4B k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又P 关于点B 的对称点为Q ，故211,2Q k k ⎛⎫⎪⎝⎭， 此时，(*)可化为222120k x x k -+=，解得21x k =， 故12y kx k k =+=，即212,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2OA OQ k k k ==，即点,,A Q O 共线.点睛：直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系. 21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB ∆、ACD ∆、PBC ∆均为等边三角形，AB BC ⊥.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】33+【解析】试题分析： (Ⅰ)由题意可得ABD CBD ∆≅∆，结合筝形的性质可得AC BD ⊥，进一步证得Rt Rt POA POB ∆≅∆，结合线面垂直的判断定理和性质可得PO ⊥平面ABCD ，则PO BD ⊥.最后利用线面垂直的判断定理可得BD ⊥平面PAC .(Ⅱ)以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -，结合题意可得)3,1,0CD =-u u u v ，平面PBC 的法向量为()1,1,1n =-v ，据此计算可得CD 与平面PBC 33+试题解析：(Ⅰ)因为AB CB =，AD CD =，BD 为公共边，所以ABD CBD ∆≅∆，所以ABD CBD ∠=∠，又AB BC =，所以AC BD ⊥，且O 为AC 中点.又PA PC =，所以PO AC ⊥，又AB BC ⊥，所以OA OB OC ==，结合PA PB =，可得Rt Rt POA POB ∆≅∆，所以90POB POA ∠=∠=︒，即PO OB ⊥，又OA OB O ⋂=，故PO ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PO BD ⊥.又PO AC O ⋂=，所以BD ⊥平面PAC .(Ⅱ)以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示，不妨设1OA =，易得1OP =，3OD =则()0,0,1P ，()1,0,0B -，()0,1,0C ，)3,0,0D ， 所以()0,1,1PC =-u u u v ，()1,1,0BC =u u u v ，)3,1,0CD =-u u u v ， 设平面PBC 的法向量为(),,n x y z v=，则 00n PC n BC u u u v v u u u v v ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y z x y -=⎧⎨+=⎩，解得x y z y =-⎧⎨=⎩， 令1y =得()1,1,1n =-v，设直线CD 与平面PBC 所成角为θ，则 ,n CD sin cosn CD n CD θ⋅==u u u v v u u u v v u u u v v 313323++==⨯， 所以CD 与平面PBC 33+22.已知椭圆Γ的两个焦点分别为()12,0F -，()22,0F ，且经过点53,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程； （Ⅱ）ABC ∆的顶点都在椭圆Γ上，其中A B 、关于原点对称，试问ABC ∆能否为正三角形？并说明理由.【答案】(Ⅰ)221106x y +=；(Ⅱ)ABC ∆不可能为正三角形，理由见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)设椭圆Γ的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，依题意得2c =，利用椭圆的定义可得10a =，则椭圆Γ的标准方程为221106x y +=.(Ⅱ)若ABC ∆为正三角形，则AB OC ⊥且3OC OA =， 显然直线AB 的斜率存在且不为0，设AB 方程为y kx =，联立直线方程与椭圆方程可得223053x k =+，2223053k y k =+，则()2230153k OA k +=+，同理可得()2230135k OC k +=+.据此可得关于实数k 的方程()()222230130133535k k k k ++=⋅++，方程无解，则ABC ∆不可能为正三角形.试题解析：(Ⅰ)设椭圆Γ的标准方程为()222210x y a b a b+=>>， 依题意得2c =，2212532222a PF PF ⎛⎫⎛⎫=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2253221022⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以10a =，222b a c =-， 故椭圆Γ的标准方程为221106x y +=. (Ⅱ)若ABC ∆为正三角形，则AB OC ⊥且3OC OA =，显然直线AB 的斜率存在且不为0，设AB 方程为y kx =，则OC 的方程为1y x k =-，联立方程223530y kx x y =⎧⎨+=⎩， 解得223053x k =+，2223053k y k =+， 所以()222230153k OA x y k +=+=+同理可得OC ==又OC OA ==，化简得23k =-无实数解， 所以ABC ∆不可能为正三角形.。
2017-2018学年广东省佛山市高二上学期期末教学质量检测数学(理)试题
2018年佛山市普通高中高二教学质量检测数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若命题2000:,220p x x x ∃∈++≤R ，则p ⌝为（ ） A ．2000,220x x x ∃∈++>R B ．2000,220x x x ∃∉++>RC ．2,220x x x ∀∈++≥RD ．2,220x x x ∀∈++>R2．“1a =”是“关于x 的方程22x a x +=有实数根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=间的距离为（ ） A ．1310 B ．135 C ．72 D ．2354．已知抛物线()220y px p =>上点()4,M m 到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．4x =-B ．2x =-C ．2x =D ．4x = 5．直线2320x y -+=关于x 轴对称的直线方程为（ ）A ．2320x y ++=B ．2320x y +-=C ．2320x y --=D ．2320x y -+=6．已知双曲线一条渐近线方程为43y x =，则双曲线方程可以是（ ） A ．22134x y -= B ．22134y x -= C ．221169x y -= D ．221169y x -= 7．若圆()221:11C x y -+=与圆222:880C x y x y m +-++=相切，则m 等于（ ）A ．16B ．7C ．-4或16D ．7或168．已知曲线C 的方程为221259x y k k +=--，给定下列两个命题： p ：若925k <<，则曲线C 为椭圆；q ：若曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，则9k <.那么，下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝90y m -+=与曲线y =m 的取值范围是（ ）A ．⎡--⎣B ．4⎡---⎣C ．4⎡---⎣D ．⎡-⎣10．已知椭圆22:1189x y E +=的右焦点为F ，过点F 的直线l 交E 于,A B 两点.若过原点与线段AB 中点的直线的倾斜角为135°，则直线l 的方程为（ ）A ．30x -=B ．30x -=C ．30x y --=D ．230x y --=11．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AD ⊥，,E F 分别是,AB AD 的中点，PF ⊥平面ABCD ，且122AB BC PF AD ====，则异面直线,PE CD 所成的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于,,,A B C D 四点，四边形ABCD 的面积为ab ，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 C ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．过点()1,1且与直线3420x y ++=垂直的直线方程 ．14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．15．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.”这里所谓的“鳖臑（bi ē n ào ）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥A BCD -是一个“鳖臑”，AB ⊥平面BCD ，AC CD ⊥，且AB =，1BC CD ==，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为 ．16．P 是双曲线22115y x -=右支上一点，,M N 分别是圆()2244x y ++=和()2241x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标为()1,2A -，()0,1B -，()4,1C . （Ⅰ）求顶点D 的坐标； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.18．已知A 为圆()22:436x y Γ-+=上的动点，B 的坐标为()2,0-，P 在线段AB 上，满足12BPAP =. （Ⅰ）求P 的轨迹C 的方程.（Ⅱ）过点()1,3-的直线l 与C 交于,M N 两点，且MN =l 的方程.19．如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长均为2，E 为1CC 中点.（Ⅰ）求证：11AC ∥平面1BED ；（Ⅱ）若60DAB ∠=︒，求平面1BED 与平面ABCD 所成锐二面角的大小.20．已知抛物线C 的顶点在原点O ，对称轴是x 轴，且过点(3,. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）已知斜率为k 的直线l 交y 轴于点P ，且与曲线C 相切于点A ，点B 在曲线C 上，且直线PB x ∥轴，P 关于点B 的对称点为Q ，判断点,,A Q O 是否共线，并说明理由. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB ∆、ACD ∆、PBC ∆均为等边三角形，AB BC ⊥. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PBC 所成角的正弦值.22．已知椭圆Γ的两个焦点分别为()12,0F -，()22,0F ，且经过点53,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）ABC ∆的顶点都在椭圆Γ上，其中A B 、关于原点对称，试问ABC ∆能否为正三角形？并说明理由.2017~2018年佛山市普通高中高二教学质量检测数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题1-5：DACBA 6-10：DCCAD 11、12：BB二、填空题13．4310x y --= 14．3122π+15．4π 16．5 三、解答题17．解：(Ⅰ)如图，设AC BD M =I ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以对角线互相平分， 又()1,2A -，()4,1C ，所以33,22M ⎛⎫⎪⎝⎭， 又()0,1B -，所以顶点D 的坐标为()3,4.(Ⅱ)依题意可得111402BC k +==-， 故直线BC 的方程为112y x =-，即220x y --=，又BC ==点A 到直线BC的距离d ==. 所以四边形ABCD的面积14S BC d ===. 18．解：(Ⅰ)设点P 的坐标为(),x y ，点A 的坐标为()00,x y ，依题意得2AP PB =uu u r uu r，即()()00,22,x x y y x y --=---，所以()00222x x x y y y-=--⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得00343x x y y =+⎧⎨=⎩， 又()2200436x y -+=，所以229936x y +=，即224x y +=又0AP ≠，所以点P 的轨迹C 的方程为()2242x y x +=≠-. (Ⅱ)因为直线l 与曲线C 交于,M N两点，且MN =， 所以原点O 到直线l的距离1d ==.若l 斜率不存在，直线l 的方程为1x =-，此时符合题意；若l 斜率存在，设直线l 的方程为()31y k x -=+，即30kx y k -++=， 则原点O 到直线l的距离1d ==，解得43k =-，此时直线l 的方程为4350x y +-=所以直线l 的方程为4350x y +-=或1x =-.19．解：(Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，取1BD 中点F ，连结,EF FO . 因为11AA CC ∥，所以11ACC A 是平行四边形，故11AC AC ∥. 又OF 是1BDD ∆的中位线，故112OF DD ∥，所以OF EC ∥， 所以四边形OCEF 为平行四边形. 所以OC EF ∥，所以11AC EF ∥，又11AC ⊄平面1BED ，EF ⊂平面1BED ， 所以11AC ∥平面1BED.(Ⅱ)以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示，则()0,1,0B，()E ，()10,1,2D -，()1,1BE =-uur，()10,2,2BD =-uuu r ，设平面1BED 的法向量()1,,n x y z =u r，则11100n BE n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uur u r uuu r，即0220y z y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 解得0x z y=⎧⎨=⎩，令1y =，得()10,1,1n =u r，显然平面ABCD 的一个法向量()20,0,1n =u u r，所以121212cos ,2n n n n n n ⋅===u r u u ru r u u r u r u u r ， 所以平面1BED 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为45°.20．解：(Ⅰ)根据题意，可设抛物线C 的标准方程为()220y px p =>，所以(223p =⋅，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. (Ⅱ)点,,A Q O 共线，理由如下：设直线:l y kx m =+，联立24y xy kx m⎧=⎨=+⎩得()222240k x mk x m +-+=(*)由()()2222441610mk m k mk ∆=--=-=，解得1m k=， 则直线1:l y kx k =+，得10,P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，211,4B k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又P 关于点B 的对称点为Q ，故211,2Q k k ⎛⎫⎪⎝⎭， 此时，(*)可化为222120k x x k -+=，解得21x k=，故12y kx k k =+=，即212,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2OA OQ k k k ==，即点,,A Q O 共线.21．解：(Ⅰ)因为AB CB =，AD CD =，BD 为公共边， 所以ABD CBD ∆≅∆，所以ABD CBD ∠=∠，又AB BC =， 所以AC BD ⊥，且O 为AC 中点. 又PA PC =，所以PO AC ⊥，又AB BC ⊥，所以OA OB OC ==，结合PA PB =， 可得Rt Rt POA POB ∆≅∆， 所以90POB POA ∠=∠=︒， 即PO OB ⊥，又OA OB O =I ，故PO ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PO BD ⊥. 又PO AC O =I ，所以BD ⊥平面PAC .(Ⅱ)以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示，不妨设1OA =，易得1OP =，OD ， 则()0,0,1P ，()1,0,0B -，()0,1,0C，)D， 所以()0,1,1PC =-uu u r ，()1,1,0BC =uu u r，)1,0CD =-uu u r，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r，则n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu ur ，即00y z x y -=⎧⎨+=⎩，解得x y z y =-⎧⎨=⎩， 令1y =得()1,1,1n =-r，设直线CD 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos ,n CD n CD n CD θ⋅==r uu u r r uu u r r uu ur 36==， 所以CD 与平面PBC22．解：(Ⅰ)设椭圆Γ的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，依题意得2c =，122a PF PF =+==，所以a =222b ac =-，故椭圆Γ的标准方程为221106x y +=. (Ⅱ)若ABC ∆为正三角形，则AB OC ⊥且OC OA =，显然直线AB 的斜率存在且不为0， 设AB 方程为y kx =，则OC 的方程为1y x k =-，联立方程223530y kx x y =⎧⎨+=⎩， 解得223053x k =+，2223053k y k =+，所以OA ==同理可得OC ==又OC OA ==化简得23k =-无实数解， 所以ABC ∆不可能为正三角形.。
广东省佛山市高明区第一中学2016-2017学年高二数学下
高二理科数学第三周周五第八节测试一．选择题（共8小题）1．空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin＜，＞的值为（）A．B．C．D．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2=11，S5=50，则过点P（n，a n）和Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的一个方向向量的坐标可以是（）A．（﹣1，﹣3）B．（1，﹣3）C．（1，1）D．（1，﹣1）4．三个平面两两垂直，它们的三条交线相交于一点O，点P到三个平面的距离之比为1：2：3，，则点P到三个平面的距离分别为（）A．2，4，6 B．4，6，8 C．3，6，9 D．5，10，155．函数f（x）=2x+1在（1，2）内的平均变化率（）A．3 B．2 C．1 D．06．函数在某一点的导数是（）A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率7．已知函数f（x）在x=1处导数为1，则等于（）A．B．1 C．2 D．8．已知空间四边形OABC，M在AO上，满足=，N是BC的中点，且=，=，=用a,b,c表示向量为（）A．++B．+﹣C．﹣++D．﹣+班级姓名学号成绩一.选择题答题卡（本题有8小题，每题5分，共40分）二．（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
）9．已知向量=（sin12°，cos12°，﹣1），则•=．10．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别是棱AB，BB1的中点，A1E与C1F所成的角的余弦值是．11．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，λ，3），若向量，，共面，则λ的值为．12．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），若AB⊥AC，则实数a的值为．13．若平面α的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（﹣2，﹣3，3），则l与α所成角的正弦值为．14．一物体的运动方程为s=7t2+8，则其在t=时的瞬时速度为115．函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为2x+y﹣3=0，则f（2）+f'（2）=．16．如图，四棱锥O﹣ABCD中，AC垂直平分BD，||=2，||=1，则（+）•（﹣）的值是．高二理科数学第三周周五第八节测试答案一．选择题（共8小题）1．∵，∴与同向共线的单位向量向量，故选：C．2．设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），M（2，0，1），D1（0，0，2），N（2，2，1）可知=（2，﹣2，1），=（2，2，﹣1），∴，∴=﹣，由平方关系得sin＜，＞=．故选：B3．设等差数列的公差为d，则，解得a1=4，d=3．∴a n=3n+1，a n+2=3n+7．∴P（n，3n+1），Q（n+2，3n+7）．∴=（2，6）．显然，只有A选项（﹣1，﹣3）与共线，故选A．4．将点P到三个平面的距离看作一个长方体的长宽高，则分别为k，2k，3k而PO为对角线，则有解之得k=2，故选A．5．函数f（x）在区间（1，2）上的增量为：△y=f（2）﹣f（1）=2×2+1﹣3=2，所以f（x）在区间（1，2）上的平均变化率为：==2．故选：B．6．函数在某一点的导数是在该点的函数值的增量与自变量的增量的比，它是一个函数，并表示函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率，故选：C．7．选A．8．∵空间四边形OABC，M在AO上，满足=，N是BC的中点，且=，=，=，∴====﹣．故选：C．二．填空题（共8小题）9．向量=（sin12°，cos12°，﹣1），∴||==，故•=2，故答案为：2．10．以DC为x轴，DA为y轴，DD1为z轴；建立空间直角坐标系以D为坐标原点，棱长为1．∴A（0，1，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），C1（1，0，1）．A1（0，1，1）∴E（，1，0），F（1，1，）可得=（），=（0，1，﹣）∴•=；||==，||==．则．故答案为：．11．∵向量，，共面∴存在实数m，n使得=，∴，解得λ=6．12．A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），=（1，1，﹣2），=（﹣1，a，﹣1），∵AB⊥AC，∴=﹣1+a+2=0，解得a=﹣1．13．∵平面α的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（﹣2，﹣3，3），设l与α所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===．∴l与α所成角的正弦值为．14．∵物体的运动方程为s=14t，∴=s′=14t，物体zt瞬时速度为1，v=s′|t=14t=1，可得t=．故答案为：．15．由已知切点在切线上，所以f（2）=﹣1，切点处的导数为切线斜率，所以f'（2）=﹣2，所以f（2）+f′（2）=﹣3．16．如图所示，四棱锥O﹣ABCD中，设AC、BD交于点E，由题意AC⊥BD，DE=BE，∴+=2，•=•=0；又||=2，||=1，∴（+）•（﹣）=（+++）•（﹣）=（2++）•（﹣）=2•（﹣）+（+）•=（+）•（﹣）=﹣=22﹣12=3．故答案为：3．。
-数学-高二-广东省佛山市高明区一中2016-2017学年高二下第一周基础练习数学(文)试题
高明一中高二文科数学周五基础训练（20170210）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案代号写在后面的答题卡上．1．若双曲线的焦点为（0，4）和（0，4-），虚轴长为43，则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221412y x -=C ．221124x y -=D ．221124y x -=2．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 A ． 203 B ． 163 C ． 86π- D ．83π-3．数列{a n }中，如果n a ＝3n(n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是A ．公差为2的等差数列B ．公差为3的等差数列C ．首项为3的等比数列D ．首项为1的等比数列4． 计算下列几个式子，① 35tan 25tan 335tan 25tan ++, ②2 (sin35cos25+sin55cos65), ③15tan 115tan 1-+结果为3的是A.①②B. ①③C. ①②③D. ②③5．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A. 若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B. 若l α⊥，l m //，则m α⊥俯视图侧视图正视图C. 若l α//，m α⊂，则l m //D. 若l α//，m α//，则l m //6．直线32-=x y 与双曲线1222=-y x 相交于B A ,两点，则AB = A ．57 4 B ．257 C ．357 D ．4577． 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BC 1与平面BB 1D 1D 所成角为 A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°8．点D C B A ,,,均在同一球面上，且AB 、AC 、AD 两两垂直，且，1=AB ，2=AC 3=AD ，则该球的表面积为A ．7πB ．14πC ．27πD ．3147π高明一中高二文科数学周五基础训练答题卡学号 、姓名 、分数 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案二、填空题：(每小题5分，满分40分)9．在平面直角坐标系中，若角α的终边落在射线(0)y x x =≥上，则tan α= 。
广东省佛山市高明区第一中学2018届高三下学期第五周周测数学(理)试题Word版含答案
2017-2018高三理科数学周五练习（2017.9.29）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合；,则中所含元素的个数为（ ）(D)2.下列函数中，既是偶函数哦、又在),0(+∞单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2xy -=3.设命题P ：n N ，>，则P 为（A ）n N, > （B ） n N, ≤ （C ）n N,≤（D ） n N,=4.函数函数y =的定义域为( )A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]- 5．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 A ．B ．C ．D ．6．已知f ：x→2sinx 是集合A(A ⊆[0，2π])到集合B 的一个映射，若B ＝{0，1，2}，则A 中的元素个数最多为( )A ．6B ．5C ．4D ．37.函数f(x)＝lnx －1x －1的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．38.已知125ln ,log 2,xy z eπ-===，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x << 9.已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x－a －x＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154 C.174 D ．a 210.函数22x y x =-的图像大致是( )11.若是函数的极值点，则的极小值为（ ） A.B.C.D.112.设函数()y f x =在（-∞，+∞）内有定义。
对于给定的正数K ，定义函数( )(),()(),()k f x f x Kf x K f x K ≤⎧=⎨>⎩取函数()f x =12x e ---。
广东省佛山市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
广东省佛山市2017-2018学年高二下学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.）1．已知z（2+i）=1+ai，a∈R，i为虚数单位，若z为纯虚数，则a=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．22．二项式的展开式中x的系数为（）A．5 B．10 C．20 D．403．已知a，b都是实数，且a＞0，b＞0，则“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．5个男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法有（）种．A．480 B．720 C．960 D．14405．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（）A．360 B．520 C．600 D．7206．观察下列各式：，，，…．若，则n﹣m=（）A．43 B．57 C．73 D．917．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则=，推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则=（）A．B．C．D．8．曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln29．设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0） B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）10．已知（2x﹣1）10=a0+a1x+a2x2++a9x9+a10x10，求a2+a3+…+a9+a10的值为（）A．﹣20 B．0 C．1 D．2011．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，2AC=AA1=BC=2．若二面角B1﹣DC﹣C1的大小为60°，则AD的长为（）A．B．C．2 D．12．已知a∈R，若f（x）=（x+）e x在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（）A．a＞0 B．a≤1 C．a＞1 D．a≤0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．曲线y=ln2x到直线2x﹣y+1=0距离的最小值为．14．n展开式中各项系数和为64，则展开式中第4项系数为．15．如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是．16．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意正数a，b，若f（a）﹣f（b）=1，则a﹣b＜1，称f （x）是（0，+∞）上的“Ⅰ级函数”．下列函数中“Ⅰ级函数”的序号是①f（x）=x3②f（x）=e x③f（x）=x+lnx．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17．（10分）已知复数z满足：|z|=1+3i﹣z，（1）求z并求其在复平面上对应的点的坐标；（2）求的共轭复数．18．（12分）设函数f（x）=2x3+ax2+bx+1，若其导函数y=f'（x）的图象关于直线对称，且x=1是f（x）的一个极值点．（1）求实数a，b的值；（2）若方程f（x）﹣k=0有3个实数根，求实数k的取值范围．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=4，BD=2，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．20．（12分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．21．（12分）设正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（1）计算a1，a2，a3的值，并猜想{a n}的通项公式；（2）用数学归纳法证明{a n}的通项公式；（3）证明不等式：．22．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．广东省佛山市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.）1．已知z（2+i）=1+ai，a∈R，i为虚数单位，若z为纯虚数，则a=（）A．﹣2 B．﹣C．D．2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算性质、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：z（2+i）=1+ai，∴z（2+i）（2﹣i）=（1+ai）（2﹣i），∴z=，若z为纯虚数，则=0，≠0，a=﹣2．故选：A．【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．二项式的展开式中x的系数为（）A．5 B．10 C．20 D．40【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】先求出二项式的展开式的通项，然后令x的指数为1，求出r，从而可求出x的系数．【解答】解：二项式的展开式的通项为T r+1=C5r x2（5﹣r）•x﹣r=C5r x10﹣3r；令10﹣3r=1解得r=3∴二项式的展开式中x的系数为C53=10故选B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，重点考查二项式展开式的通项公式，属于基础题．3．已知a，b都是实数，且a＞0，b＞0，则“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当a＞0，b＞0时，若a＞b，则lna＞lnb，此时a+lna＞b+lnb成立，即充分性成立，设f（x）=x+lnx，当x＞0时，f（x）为增函数，则由a+lna＞b+lnb得f（a）＞f（b），即a＞b，即必要性成立，则“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质结合函数的单调性的性质是解决本题的关键．4．5个男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法有（）种．A．480 B．720 C．960 D．1440【考点】D3：计数原理的应用．【分析】捆绑法：把2名女生看成1个元素，和5个男生可作6个元素的全排列，去掉其中女生在两端的情形，可得总的方法种数为：﹣，计算可得．【解答】解：把2名女生看成1个元素，和5个男生可作6个元素的全排列，又2名女生的顺序可调整，共有种方法，去掉其中女生在两端的情形共种，故总的方法种数为：﹣=（6×2﹣2×2）=120×8=960故选C【点评】本题考查计数原理的应用，涉及捆绑法和间接法的应用，属中档题．5．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（）A．360 B．520 C．600 D．720【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C53•A44=480种情况；若甲乙两人都参加，有C22•C52•A44=240种情况，其中甲乙相邻的有C22•C52•A33•A22=120种情况；则不同的发言顺序种数480+240﹣120=600种，故选C．【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．6．观察下列各式：，，，…．若，则n﹣m=（）A．43 B．57 C．73 D．91【考点】F1：归纳推理．【分析】通过找规律可知：等式左边的第n项为：根号外的数字n和根号里的分子相同是n，分母是n2+1，等号右边根号中减号前是n减号后的分数与等号前的分数一样，问题得以解决．【解答】解：∵，，…．∴， =，…∵，∴m=9，n=m2+1=82，∴n﹣m=82﹣9=73，故选：C．【点评】本题主要考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于基础题．7．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则=，推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则=（）A．B．C．D．【考点】F3：类比推理．【分析】平面图形类比空间图形，二维类比三维得到，类比平面几何的结论，确定正四面体的外接球和内切球的半径之比，即可求得结论．【解答】解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a，则AE=，DE=设OA=R，OE=r，则∴R=，r=∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是 3：1故正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2之比等于故选C【点评】本题考查类比推理，考查学生的计算能力，正确计算是关键．8．曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln2【考点】67：定积分．【分析】作出函数的图象，可得围成的封闭图形为曲边三角形ABC，它的面积可化作梯形ABEF的面积与曲边梯形BCEF面积的差，由此结合定积分计算公式和梯形面积公式，不难得到本题的答案．【解答】解：令x=4，代入直线y=x﹣1得A（4，3），同理得C（4，）由=x﹣1，解得x=2，所以曲线y=与直线y=x﹣1交于点B（2，1）∴S ABC=S梯形ABEF﹣S BCEF而S BCEF=dx=2lnx|=2ln4﹣2ln2=2ln2∵S梯形ABEF=（1+3）×2=4∴封闭图形ABC的面积S ABC=S梯形ABEF﹣S BCEF=4﹣2ln2故选D【点评】本题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题．9．设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0） B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，导函数等于﹣1求得点（x0，f（x0））的横坐标，进一步求得f（x0）的值，可得结论．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax0=﹣1，∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．当x0=1时，f（x0）=﹣1，当x0=﹣1时，f（x0）=1．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在某点处的导数值就是对应曲线上该点处的切线的斜率，是中档题．10．已知（2x﹣1）10=a0+a1x+a2x2++a9x9+a10x10，求a2+a3+…+a9+a10的值为（）A．﹣20 B．0 C．1 D．20【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1，又由于所求之和不含a0，令x=0，可求出a0的值，再求出a1=﹣20，代入即求答案．【解答】解：令x=1得，a0+a1+a2+…+a9+a10=1，再令x=0得，a0=1，所以a1+a2+…+a9+a10=0，又因为a1==﹣20，代入得a2+a3+…+a9+a10=20．故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，一般在求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是﹣1进行求解．本题属于基础题型．11．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，2AC=AA1=BC=2．若二面角B1﹣DC﹣C1的大小为60°，则AD的长为（）A．B．C．2 D．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】在面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1，说明∠B1EC1为二面角B1﹣DC﹣C1的平面角为60°，通过面积求AD的长．【解答】解：∵∠A1C1B1=∠ACB=90°，∴B1C1⊥A1C1，又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1，∴B1C1⊥平面ACC1A1．如图，在面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1，由三垂线定理可知∠B1EC1为二面角B1﹣DC﹣C1的平面角，∴∠B1EC1=60°．由B1C1=2知，C1E=设AD=x，则DC=．∵△DCC1的面积为1，∴．． =1，解得x=即AD=故选A【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，二面角及其度量，考查逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题．12．已知a∈R，若f（x）=（x+）e x在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（）A．a＞0 B．a≤1 C．a＞1 D．a≤0【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求导数，分类讨论，利用极值、函数单调性，即可确定a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=（x+）e x，∴f′（x）=（）e x，设h（x）=x3+x2+ax﹣a，∴h′（x）=3x2+2x+a，a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为增函数，∵h（0）=﹣a＜0，h（1）=2＞0，∴h（x）在（0，1）上有且只有一个零点x0，使得f′（x0）=0，且在（0，x0）上，f′（x）＜0，在（x0，1）上，f′（x）＞0，∴x0为函数f（x）在（0，1）上唯一的极小值点；a=0时，x∈（0，1），h′（x）=3x2+2x＞0成立，函数h（x）在（0，1）上为增函数，此时h（0）=0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值；a＜0时，h（x）=x3+x2+a（x﹣1），∵x∈（0，1），∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值．综上所述，a＞0．故选：A．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．曲线y=ln2x到直线2x﹣y+1=0距离的最小值为．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线的导数，利用导数值为2，求出切点坐标，然后求解曲线y=ln2x到直线2x﹣y+1=0距离的最小值．【解答】解：曲线y=ln2x到直线2x﹣y+1=0距离的最小值，就是与直线2x﹣y+1=0平行的直线与曲线y=ln2x相切是的切点坐标与直线的距离，曲线y=ln2x的导数为：y′=，切点坐标为（a，f（a）），可得，解得a=，f（）=0，切点坐标为：（，0），曲线y=ln2x到直线2x﹣y+1=0距离的最小值为： =．故答案为：．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．14．（3﹣x）n展开式中各项系数和为64，则展开式中第4项系数为﹣540 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用展开式中各项系数和为64，解得n．再利用通项公式即可得出．【解答】解：（3﹣x）n展开式中各项系数和为64，令x=1，则2n=64，解得n=6．则展开式中第4项系数为： =﹣540．故答案为：﹣540．【点评】本题考查了二项式定理的性质及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是90°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC﹣A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．【解答】解：设棱长为a，补正三棱柱ABC﹣A2B2C2（如图）．平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，在△A2BM中，A2B=a，BM==a，A2M==a，∴A2B2+BM2=A2M2，∴∠MBA2=90°．故答案为90°．【点评】此题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．16．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意正数a，b，若f（a）﹣f（b）=1，则a﹣b＜1，称f （x）是（0，+∞）上的“Ⅰ级函数”．下列函数中“Ⅰ级函数”的序号是①②③①f（x）=x3②f（x）=e x③f（x）=x+lnx．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】根据立方差公式判断①，使用反证法判断②，利用函数单调性和对数的运算性质判断③．【解答】解：对于①，令f（a）﹣f（b）=1得a3﹣b3=1，即（a﹣b）（a2+ab+b2）=1，∴a﹣b=，∵a3﹣b3=1，a，b∈（0，+∞），∴a3=1+b3＞1，即a＞1，∴a2+ab+b2＞1，∴a﹣b=＜1，∴f（x）=x3是（0，+∞）上的“Ⅰ级函数”．对于②，令f（a）﹣f（b）=1得e a﹣e b=1，假设a﹣b≥1，即a≥b+1，则e a≥e b+1=e•e b，∴e a﹣e b≥e•e b﹣e b=（e﹣1）e b，∵b＞0，∴e a﹣e b≥（e﹣1）e b＞1，与e a﹣e b=1矛盾，∴a﹣b＜1，∴f（x）=e x是（0，+∞）上的“Ⅰ级函数”．对于③，令f（a）﹣f（b）=1得a﹣b+lna﹣lnb=1，∴a﹣b=1+ln，∵f（x）=x+lnx是增函数，且f（a）﹣f（b）=1，∴a＞b，∴ln＜ln1=0，∴a﹣b=1+ln＜1．∴f（x）=x+lnx是（0，+∞）上的“Ⅰ级函数”．故答案为：①②③．【点评】本题考查了对新定义的理解，函数单调性与函数大小比较，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17．（10分）（2014•奎文区校级模拟）已知复数z满足：|z|=1+3i﹣z，（1）求z并求其在复平面上对应的点的坐标；（2）求的共轭复数．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A2：复数的基本概念．【分析】（1）设z=x+yi（x，y∈R），则|z|=．代入已知，化简计算，根据复数相等的概念列出关于x，y的方程组，并解出x，y，可得z．（2）将（1）求得的z代入，化简计算后，根据共轭复数的概念求解．【解答】解：（1）设z=x+yi（x，y∈R），则由已知， =1+3i﹣（x+yi）=（1﹣x）+（3﹣y）i．∴，∴z=﹣4+3i．其在复平面上对应的点的坐标为（﹣4，3）．（2）由（1）z=﹣4+3i，∴=====3+4i共轭复数为3﹣4i．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数模、共轭复数求解．除法的运算中，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．18．（12分）（2017春•三水区校级期中）设函数f（x）=2x3+ax2+bx+1，若其导函数y=f'（x）的图象关于直线对称，且x=1是f（x）的一个极值点．（1）求实数a，b的值；（2）若方程f（x）﹣k=0有3个实数根，求实数k的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）清楚函数的导数，利用导函数的对称性以及极值点，列出方程组求解即可．（2）化简函数求出导函数，求出极值点，求出合适的极值，然后求解即可．【解答】解：（1）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f'（x）=6x2+2ax+b，（1分）因为导函数y=f'（x）的图象关于直线对称，且x=1是f（x）的一个极值点．∴（4分）解得，经检验符合题意（2）由（1）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1，令f'（x）=6x2+6x﹣12=0，解得x1=﹣2，x2=1，（7分）从而函数f（x）在x1=﹣2处取得极大值为21，在x2=1处取得极小值为﹣6，（10分）因为方程f（x）﹣k=0有3个实数根，即函数y=f（x）图象与y=k的图象有3个交点，∴﹣6＜k＜21，即实数k的取值范围是（﹣6，21）．（12分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的判断，考查分析问题解决问题的能力．19．（12分）（2014•长葛市三模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=4，BD=2，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥BD，PD⊥BC，从而得到BC⊥平面PBD，由此能证明平面PBC⊥平面PBD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PBD，从而得到∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵CD2=BC2+BD2．∴BC⊥BD．又∵PD⊥底面ABCD．∴PD⊥BC．又∵PD∩BD=D．∴BC⊥平面PBD．而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=．而，所以．∵底面ABCD为平行四边形，∴DA⊥DB，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），，，，所以，，，，设平面PBC的法向量为，则即令b=1则，∴AP与平面PBC所成角的正弦值为：．…（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2017春•三水区校级期中）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出导函数，通过当a≤0时，当a＞0时，判断导函数的符号，然后判断函数的单调性．（2）通过当a=0时，当a＜0时，当a＞0时，分别求解判断求解函数的最小值，推出a的取值范围．【解答】解：（1），…（1分）当a≤0时，∵x＞0，∴f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增…（3分）当a＞0时，令f'（x）=0，得x=a，∵x＞0，∴f'（x）＞0得x＞a；f'（x）＜0得0＜x＜a，∴f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…（2）当a=0时，f（x）＞0恒成立…（6分）当a＜0时，当x→0时，f（x）→﹣∞，f（x）≥0不成立…（8分）当a＞0时，由（1）可知f（x）min=f（a）=a﹣alna，由f（a）=a﹣alna≥0得1﹣lna≥0，∴a∈（0，e]…（11分）综上所述，a的取值范围是．…（12分）【点评】本题考查函数的单调性的判断与应用，导数的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．21．（12分）（2017春•三水区校级期中）设正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（1）计算a1，a2，a3的值，并猜想{a n}的通项公式；（2）用数学归纳法证明{a n}的通项公式；（3）证明不等式：．【考点】RG：数学归纳法．【分析】（1）代值计算，并猜想结论，（2）用数学归纳法证明：当n=1时，去证明等式成立；假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．（3）用数学归纳法证明，当n=1时，去证明不等式成立；假设当n=k时，不等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，不等式也成立即可【解答】解：（1）当n=1时，，得a1=1；，得a2=2，得a3=3，猜想a n=n（2）证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立（ⅱ）假设当n=k时，a k=k则当n=k+1时，=整理得：，即=0结合a n＞0，解得a k+1=k+1，于是对于一切的自然数n∈N*，都有a n=n．（3）证明：由（2）可知a n=n，（ⅰ）当n=1时，不等式显然成立，（ⅱ）假设当n=k时，则当n=k+1时，∵2（﹣1）﹣2（﹣1）﹣=2﹣2﹣===＜0，∴，∴，∴n=k+1时，不等式也成立，∴∀n∈N*，原不等式成立【点评】本题考查数学归纳法，用好归纳假设是关键，考查逻辑推理与证明的能力，属于中档题．22．（12分）（2012•新课标）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f´（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）=，则g′（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错．。
广东省佛山市高明区第一中学2017-2018学年高二上学期同步测试数学试题含答案
高二文科数学周五测试(10.13)一、选择题（本大题共12小题,每题5分,共60分）1、下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所形成的几何体包括（)A。
一个圆台、两个圆锥B。
两个圆台、一个圆柱C.两个圆台、一个圆锥D。
一个圆柱、两个圆锥3、点P为ΔABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是ΔABC的（）4、A.内心B。
外心 C.重心D。
垂心4、下列四个命题中错误的个数是（）①垂直于同一条直线的两条直线相互平行;②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行;④垂直于同一个平面的两个平面相互平行．A。
1 B.2 C。
3 D.45、如右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中,①与平行；②与是异面直线；③与成600角; ④与垂直。
以上四个命题中，正确命题的序号是( ）A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④6、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为045，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A.22+ B 。
221+ C.222+ D.21+7、设,a b 是两条直线,,,αβγ是三个平面,下列推导错误的是（ ）A.,,ab b a aβββ⊂⊄⇒ B ．,ab a b αα⊥⇒⊥C ．,,a b abαβαγβγ==⇒D ．,,,a b a b ααββαβ⊂⊂⇒8、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ） A ．223π-B ．423π-C ．53π D ．22π- 9、如图,在棱长为a 的正方体1111DC B A ABCD -中，P 为11D A 的中点，Q 为11B A 上任意一点,FE 、为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）A.点P 到平面QEF 的距离 B 。
广东省佛山市高明区第一中学2016-2017学年高二数学下
第一周高二理科数学静校测试1. （本小题满分14分）如图5，已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º，2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ．（1）求证：BC ⊥PB ；（2）求二面角P CD A --的平面角的余弦值．2．（本小题满分14分）如图，△ABC的外接圆⊙O，CD⊥⊙O所在的平面，BE//CD，CD=4，BC=2，且BE=1，cos AEB∠=（1）求证：平面ADC⊥平面BCDE；（2）求几何体ABCDE的体积；（3）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为27？若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由。
第一周高二理科数学静校测试答案18. 解：（1）∵点A 、D 分别是RB 、RC 的中点， ∴BC AD BC AD 21,//=. …… 2分 ∴∠RBC RAD PAD ∠=∠==90º.∴AD PA ⊥.∴ BC PA ⊥, ∵A AB PA AB BC =⊥ ,,∴BC ⊥平面PAB . …… 4分∵⊂PB 平面PAB ,∴PB BC ⊥. …… 6分（2）法1：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．∵1==AD RA ,∴RC AF ⊥. ∵AD AP AR AP ⊥⊥,,∴⊥AP 平面RBC .∵⊂RC 平面RBC ,∴AP RC ⊥. …… 8分 ∵,A AP AF = ∴⊥RC 平面PAF .∵⊂PF 平面PAF ,∴PF RC ⊥. ∴∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ……10分在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， 332622cos ===∠PF AF AFP . ……12分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ……14分 2．解：（1）∵CD ⊥平面ABC ，BE //CD∴ BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AB …… 1分∴ cos BE AEB AE ∠== ∵BE=1 ∴ AE = 从而AB == …… 2分F RA D BCP∵⊙OAB 是直径，∴AC ⊥BC …… 3分又∵CD ⊥平面ABC ，∴CD ⊥BC ，故BC ⊥平面ACDBC ⊂平面BCDE ，∴平面ADC ⊥平面BCDE …… 5分（2）由（1）知：4AC ==， …… 6分111()332ABCDE BCDE V S AC BE CD BC AC ==⨯+ 120(14)2463=+= …… 9分 （3）方法一：假设点M 存在，过点M 作MN ⊥CD 于N ，连结AN ，作MF ⊥CB 于F ，连结AF ∵平面ADC ⊥平面BCDE ，∴MN ⊥平面ACD ，∴∠MAN 为MA 与平面ACD 所成的角 …… 10分 设MN=x ，计算易得，DN=32x ，MF=342x -……11分 故AM===2sin 7MN MAN AM ∠=== …… 12分 解得：83x =-（舍去） 43x =， …… 13分 故23MN CB =，从而满足条件的点M 存在，且23DM DE = …… 14分。
广东省佛山市高明区高二数学下学期第一次大考试题 理-人教版高二全册数学试题
2016-2017学年第二学期高二年级第一次大考理科数学试卷（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 命题：“00x ∃>，使002()1xx a ->”，这个命题的否定是（ ） A ．0x ∀>，使2()1x x a -> B ．0x ∀>，使2()1xx a -≤ C ．0x ∀≤，使2()1x x a -≤ D ．0x ∀≤，使2()1xx a -> 2. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其侧视图为两个正方形，则此几何体的表面积是A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm3. 直线x y 4=与曲线3x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A. 4B. 2C. 24D. 224. 用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，由kn =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是（ ） A. 222)1(k k ++B. 22)1(k k ++C. 2)1(+kD. ]1)1(2)[1(312+++k k5. 若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于B A ,两点且120o AOB ∠=则r =( ) A.1B. 2C.332 D.3 6．设n m l ,,表示三条不同的直线，γβα,,表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若βα⊥⊥⊥m l m l ,,，则βα⊥；②若β⊂m ，n 是l 在β内的射影，n m ⊥，则l m ⊥；③若γαβα⊥⊥,，则βα//其中真命题的个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、37．“2a =-”是“直线(2)310a x ay +++=与直线(2)(2)30a x a y -++-=相互垂直”的（ ）条件。
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2017-2018学年高二理科数学第五周静校测试
1.已知直线l 1为曲线2y x x =+-2在点(1,0)处的切线,l 2为该曲线的另一条切线,且l 1⊥l
2.
(1)求直线l 2的方程;
(2)求直线l 1,l 2及x 轴围成的三角形的面积.
2.已知函数32()f x x ax bx c =+++ 在23
x =-
与1x =时都取得极值. (1)求a ,b 的值与函数f (x )的单调区间;
(2)若对x ∈[-1,2],不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围.
高二理科数学第五周静校测试答案
1.解:(1)21y x '=+13x y ='∴=即直线l 1的斜率为3,
∴直线l 1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.
设直线l 2与曲线y=x 2
+x-2切于点2000(,2)P x x x +- 则直线l 2的方程为20000(2)(21)()y x x x x x -+-=+-
∵l 1⊥l 2,∴01213x +=-,023x ∴=-
∴直线l 2的方程为即3x+9y+22=0. (2)解方程组3339220
y x x y =-⎧⎨++=⎩得 15,62x y ==-∴直线l 1,l 2的交点坐标为15(,)62- 又直线l 1, l 2与x 轴交点分别为(1,0), 22(,0)3-
,∴所求三角形面积为S=.12512 2. 解:(1)f (x )=x 3+ax 2+bx+c ,f'(x )=3x 2
+2ax+b , 由244()0333(1)320f a b f a b ⎧'-=-+=⎪⎨⎪'=++=⎩解得1,22a b =-=-f'(x )=3x 2-x-2=(3x+2)(x-1), 令f'(x )>0,得2
13x x <->或令f'(x )<0,得213
x -<< ∴函数f (x )的递增区间是2(,)3-∞-和(1,+∞),递减区间是2
(,1)3-. (2)321()22
f x x x x c =--+x ∈[-1,2],由(1)知,当23x =-时,222()327f c -=+为极大值,而f (2)=2+c ,则f (2)=2+c 为最大值,要使f (x )<c 2,x ∈ [-1,2]恒成立,
则只需要c 2
>f (2)=2+c ,得c<-1或c>2. ∴c 的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).。