高考数学中新型填空题的解法透析

高考数学中新型填空题的解法透析
作者：刘长柏
来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2009年第05期
随着课程改革的不断深入，高考的命题也在发生巨大的变化，填空题被予以格外重视，创新型、信息迁移型填空题也应运而生. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答
填空题的基本要求，下面例析创新型、信息迁移型填空题的解法，以抛砖引玉.
一、新定义
新定义型填空题通常采用直接法. 解题时紧扣基础知识，灵活、简捷解题，使用时要善于“透过现象抓本质”. 具体来说，就是直接从题设的条件出发，利用定义、性质、定理、公理
等，经过变形、推理、计算、判断得到结论．
例1（2008•湖南卷）设表示不超x的最大整数，（如）. 对于给定
的 ,定义则 ________;当时，函数的值域是_________________________.
【解题分析】这是一道新定义的填空题，解题时应认真审题，搞清定义的含义.
【解】；当时，当时，
所以故函数的值域是 .
【点评】定义或公式是我们解题的依据，解题的关键是正确理解定义，合理地运用好公式.
用分析法或直接推理解填空题.
例2 有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”：运算符号紧跟在运算
对象的后面，按照从左到右的顺序运算，如表达式，其运算为：，若计算机进行运
算：，那么使此表达式有意义的的范围为_____________.
【解题分析】解答问题的关键是：仔细地阅读问题，深刻的理解题意，在此基础上，准确的写出所叙运算的表示式．
【解】计算机进行运算：时，它表示的表达式是，当其有意义
时，得，解得．
【点评】数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略. 本题要求正确理解新概念“后缀表达式”的意义，从而将问题转化为求对数函数的定义域问题.
二、归纳推理型
归纳推理是指从个别事实中推演出一般的结论，它是具有创造性的推理方法，它为演绎推理确定了目标和方向，通过归纳推理，体会与理解数学发现过程.
例3（2008•江苏卷）将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 910
．．．．．．．
按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为____________．
【解题分析】先分析出第n行的第一个数，再求出从左向右的第3个数.
【解】第n行的第一个数为1+2+3+…+（n－1）+1= ，
则第n行（n≥3）从左向右的第3个数为 .
【点评】归纳猜想，必须以分析规律为依据，分析观察所给式子的特点，从特殊中猜想一般性的结论.
例4在某电视歌曲大奖赛中，最有六位选手争夺一个特别奖，观众A，B，C，D猜测
如下：A说：获奖的不是1号就是2号；A说：获奖的不可能是3号；C说：4号、5号、6号都不可能获奖；D说：获奖的是4号、5号、6号中的一个．比赛结果表明，四个人中恰好有一个人猜对，则猜对者一定是观众____________获特别奖的是____________号选手．
【解题分析】逻辑推理问题是很有趣的，它以能力立意，着力考查思维的灵活性、方向性、选择性和目的性．
【解】推理如下：因为只有一人猜对，而C与D互相否定，故C、D中一人猜对. 假设D 对，则推出B也对，与题设矛盾，故D猜错，所以猜对者一定是C；于是B一定猜错，故获奖者是3号选手（此时A错）．
【点评】推理是新课标的新增内容，它可以综合地考查学生的逻辑思维，创新精神.
三、信息迁移型
这类问题的特点是题目给出了一个新的信息，通过对信息的分析与理解，运用已经掌握
的知识点，猜想、证明一般结论. 解题的关键是对信息的理解与处理.
例5已知n次多项式，如果在一种算法中，计
算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法：（k＝0， 1，2，…，n－1）．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要
次运算．
【解题分析】由普通的算法，到改进的算法，必须对所给信息加以分析，挖掘其本质.
【解】由题意知道的值需要次运算,即进行次的乘法运算可得到的结果.
对于这里进行了3次运算,
进行了2次运算,进行1次运算,最后之间的加法运算进行了3次这样总共进行了次运算.
对于总共进行了次
乘法运算及次加法运算所总共进行了次
由改进算法可知： ,
,
运算次数从后往前算和为：次
【点评】这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论. 解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高.
例6 设f（x）= ，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，则
f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）= .
【解题分析】本题由课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，得出信息—倒序相加法，从而设法找出f（x）与f（1-x）的关系.
【解】因为，
所以f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）= .
【点评】得出信息—倒序相加法是解题的关键. 本题是命题的“源于课本，高于课本”指导思想的生动体现，既考查了课本知识，又富有联想，题目新颖，活而不难，紧贴课本，注重数学方法，富于思考.
四、类比迁移型
数学上的类比迁移思想是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去. 类比不仅仅停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上，还需要对数学结构、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关联.
例7若数列{an}（n ）是等比数列，则有数列bn= （n ）也是等比数列，类比上述性质，相应地，若数列{cn}（n ）是等差数列，且cn＞0，则有dn=（n ）是等差数列.
【解】由于等差数列与等比数列的定义只有一字之差，因此，在它们的性质中，也就有
了许多相似之处，即“和”类比“积”. 故易知dn= . 解答此题必须对信息类
比迁移，注意相关知识点的类比迁移，又要注意解题方法的类比迁移.
【点评】本题要求学生在陌生的问题情境中能自主探索，提取相关信息，获得规律，从
而解决问题.
例8若点满足，则点的轨迹方程是____．
【解题分析】由方程的特点，反映出的信息，可以从几何意义入手，体现了数形结合的思想，简洁直观.
【解】原式化为，表示了点到点和点距离的差为，又，根据双曲线的定义，点的轨迹应为焦点在轴上的双曲线的右支．
所以，，．
因此，所求双曲线的方程是．
【点评】分析挖掘题干中隐含的规律是解题的关键. 此解法运用方程与图象的关系转化到了双曲线的定义法解题，从而简化了运算，达到了事半功倍的效果．此题的解法也属于定义法解题．
五、组合型填空题
组合型填空题是指：给出若干个论断要求考生将其重新组合，使其构成符合题意的命题. 解题时，要求考生对知识点间的关系有一个透彻的理解和掌握，准确地阐述自己的观点，理清思路，进而完成组合顺序.
例9 是两个不同的平面，m、n是平面之外的两条不同直线，给出四个论断：（1），（2），（3），（4） . 以其中三个论断作为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题________ _；
【解题分析】写出命题，一一论证.
【解】通过线面关系，不难得出正确的命题有：
【点评】解题分为两个步骤，一是写出命题，二是真命题必须有严格的推理，假命题列举反例即可.
六、开放探索型
解答由多个条件分别和结论组成多个命题的真假判断问题，基本方法是“一一验证”. 这类创新题常常涉及到条件开放、结论开放，也可涉及到一类探究存在性问题. 对能力的要求比较
高. 结论开放的探索性问题，往往结论不确定、不唯一，或结论需通过类比引申推广，或结论需通过特例归纳．解决这一类问题，要注意类比归纳、等价转化、数形结合等思维方法．
例10 以下说法是否正确？
①是的充分条件；
②是的充要条件；
③是的充要条件；
④是的必要不充分条件．
请把正确的序号填在横线上________．
【解题分析】多重选择题只能采用逐一判断法.
【解】①或，而，因此是必要不充分条件；
②或，而，因此是必要不充分条件；
③因为，所以是充要条件；
④当时，不能推出，充分性不成立，反之，，因此必要性成立．
【点评】多重选择题，一般是从不同的角度考察基础知识，难度更大，要求也更高，因
为错选以及漏选都不得分．这类问题具有综合性，必须逐一认真判断，对各种方法达到灵活应用，从而准确解题.
例11 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.
若函数的图象与的图象关于对称，则函数＝.
（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）
【解题分析】在给定的情境中自己去假设，去求解，去调整方法，去确定结果．
【答案】①x轴，；②y轴， )；③原点，；
④直线 .
【点评】对于这一类只给出了一个特定的情境，而命题的条件、结论及推理论证的过程均不确定的开放性试题，应该灵活运用数学知识，回顾相近的题型、结论、方法，进行类比猜想．
总之，填空题的特点是短小精悍，考查的知识点集中，答案简短、明确、具体、完整，填空题不需过程，不设中间分，更易失分. 要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.。