河北省石家庄市第二中学2021-2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)

河北省石家庄市第二中学2021-2022高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：（本题分单项选择题和多项选择题两部分）（一）单项选择题：共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合102M x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，{}|31x N x =≥，则M N =（ ）A. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []0,2C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式求出集合M ，N ，再根据交集的定义求解即可．【详解】解：由102x <≤得1012x x⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得12x ≥，则1,2M ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭，由31x ≥得0x ≥，则[)0,N =+∞， ∴MN =1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：D ．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查分式不等式和指数不等式的解法，属于基础题． 2.设3log 0.6a =，0.63b =，30.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c >>B. a c b >>C. b c a >>D.c b a >>【答案】C 【解析】【分析】取中间值0和1，利用取中间值法比较大小．【详解】解：∵33log 0.6log 10a =<=，0.631b =>，300.61c <=<， ∴b c a >>， 故选：C ．【点睛】本题主要考查比较指数式、对数式的大小，常用取中间值法，属于基础题． 3.函数()()2lg 1f x x =-的单调递减区间为（ ）A. (),1-∞-B. (),0-∞C. ()0,∞+D. ()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可．【详解】解：由210x ->得1x <-，或1x >，则函数的定义域为()(),11,-∞-+∞，又函数21y x =-(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，函数lg y x =在()0,∞+上单调递增，由复合函数的单调性原则“同增异减”得函数()()2lg 1f x x =-的单调递减区间为(),1-∞-，故选：A ．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，要注意函数的定义域，属于易错的基础题． 4.已知向量()3,1AB =，()6,1CD m =-，若//AB CD ，则实数m 的值为（ ） A. 19 B. 3C. -1D. -17【答案】B 【解析】 【分析】直接根据向量平行的坐标表示计算即可．【详解】解：∵//AB CD ，()3,1AB =，()6,1CD m =-，∴()3160m --=，解得3m =， 故选：B ．【点睛】本题主要考查向量平行的坐标运算，属于基础题． 5.设tan160k ︒=，则sin160︒=（ ）【答案】B 【解析】 【分析】根据同角的平方关系与商关系求解即可． 【详解】解：∵tan160k ︒=，则k 0<， ∴sin160cos160k ︒=︒，即sin160cos160k︒︒=，又22cos 160sin 1601︒+︒=，∴222sin 160sin 1601k ︒+︒=，即222sin 1601k k ︒=+， 又160︒为第二象限角， ∴sin160︒=，故选：B ．【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，属于基础题． 6.已知02πα<<，()ln 1cos s α+=，1ln 1cos t α⎛⎫=⎪-⎝⎭，则lnsin α=（ ） A. s t - B. s t +C.()12s t - D.()12s t + 【答案】C 【解析】 【分析】 由02πα<<得sin 0α>，cos 0α>，由1ln 1cos t α⎛⎫=⎪-⎝⎭得()ln 1cos t α-=-，从而有()()ln 1cos ln 1cos αα++-t s =-，根据对数的运算即可求出答案．【详解】解：∵02πα<<，∴sin 0α>，cos 0α>，∵1ln 1cos t α⎛⎫=⎪-⎝⎭， ∴()ln 1cos t α-=-， 又()ln 1cos s α+=，∴()()ln 1cos ln 1cos αα++-t s =-， 即()()2ln sin 2ln sin s t αα==-，∴lnsin α=()12s t -， 故选：C ．【点睛】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．7.设函数()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中a ，b ，α，β都是非零常数，且满足()120193f =-，则()2020f =（ ）A. 3-B. 13-C.13D.3【答案】C 【解析】 【分析】代入后根据诱导公式即可求出答案． 【详解】解：由题()2019f ()sin 2019a πα=+()cos 2019b πβ++1sin cos 3a b αβ=--=，∴1sin cos 3a b αβ+=-，∴()2020f =()sin 2020a πα+()cos 2020b πβ++1sin cos 3a b αβ=+=-，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题．8.将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到()y g x =图象，则函数()y g x =（ ） A. 关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 B. 关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C. 关于直线6x π=对称D. 关于直线3x π=对称【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的解析式，再根据正弦型函数的对称性求解即可． 【详解】解：由题意可得，()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由2,62x k k Z πππ+=+∈得,62k x k Z ππ=+∈，故C 对、D 错；由2,6x k k Z ππ+=∈得,122k x k Z ππ=-+∈，故A 、B 错； 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，考查三角函数的对称性，属于基础题．9.设函数()1,04,0x x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩，则满足()()0f x f x -->的x 的取值范围为（ ）A. 11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 11,0,22⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D. 11,0,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】()()0f x f x -->()()f x f x ⇔>-，再借助函数图象即可求出答案．【详解】解：()()0f x f x -->()()f x f x ⇔>-，由对称性可知，函数()f x 和()f x -的图象关于y 轴对称， 在同一直角坐标系中画出函数()f x 和()f x -的图象，由图可知，当11,0,22x ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，函数()f x 的图象在()f x -的图象的上方，即()()f x f x >-， 故选：D ．【点睛】本题主要考查根据函数图象的应用，考查数形结合思想，属于基础题． 10.设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x =+，且当[)2,0x ∈-时，()()22f x x x =-+.若对任意[),x m ∈+∞，都有()89f x ≤，则m 的取值范围是（ ）A. 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题意得当[)0,2x ∈时，()()2f x x x =--()211x =--+，根据题意作出函数()f x 的部分图象，再结合图象即可求出答案．【详解】解：当[)2,0x ∈-时，()()22f x x x =-+()2212x =-++，又()()22f x f x =+，∴当[)0,2x ∈时，()()2f x x x =--()211x =--+，∴()f x 在[]0,1上单调递增，在[)1,2上单调递减，且()()max 11f x f ==； 又()()22f x f x =+，则函数图象每往右平移两个单位，纵坐标变为原来的12倍， 作出其大致图象得，当[)0,2x ∈时，由()()28119f x x =--+=得23x =，或43x =， 由图可知，若对任意[),x m ∈+∞，都有()89f x ≤，则43m ≥，故选：D ．【点睛】本题主要考查函数的图象变换，考查数形结合思想，属于中档题．（二）多项选择题：共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.11.已知定义在区间[],ππ-的函数()2cos f x x x =-，则下列条件中能使()()12f x f x <恒成立的有（ ） A. 120x x π-≤<≤ B. 120x x π≤<≤ C. 12x x > D. 2212x x <【答案】AC 【解析】 分析】分析得出函数的奇偶性与单调性，再结合性质即可求出答案． 【详解】解：∵()2cos f x x x =-，∴()()()2cos f x x x -=---()2cos x x f x =-=，∴函数()f x 是偶函数，由单调性的性质易知，函数()f x 在[],0π-上单调递增，在[]0,π上单调递减， 则要使()()12f x f x <恒成立必须有12x x >， 故选：AC ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题． 12.已知04πθ<<，若sin 2m θ=，cos2n θ=且m n ≠，则下列选项中与tan 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭恒相等的有（ ） A.1nm+ B.1m n+ C.1nm- D.1mn- 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意得221+=m n ，tan 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭1tan 1tan θθ-=+，切化弦即可得出结论． 【详解】解：∵sin 2m θ=，cos2n θ=， ∴221+=m n ，∴1m n -1n m=+， ∴tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭1tan 1tan θθ-=+cos sin cos sin θθθθ-=+()()()()cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθ--=+-1sin 2cos 2θθ-=1m n -=1n m=+， 故选：AD ．【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查简单的三角恒等变换，属于中档题． 二、填空题：本题4小题，每小题5分，共20分. 13.已知函数()(lg f x x =+为奇函数，则a =__________；【答案】1 【解析】 【分析】根据()()f x f x -=-求解出a 的值.【详解】因为(()()lg lg lg f x x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+==-=，=0x +≠，所以1a =.【点睛】已知函数为奇函数，可通过定义法：()()f x f x -=-来求解其中参数的值.这里不能直接使用()00f =，因为定义域未知.14.已知向量a ，b 夹角为30，且2a =，313a b -=，则b =______； 【解析】 【分析】由313a b -=得226cos 913a a b a b b -+=，，代入数据后即可求得答案． 【详解】解：∵313a b -=， ∴()2313a b-=，即226cos 913a a b a b b -+=，， 又a ，b 夹角为30，且2a =，∴24913b b -+=，即232330b b --=， 解得3b =，或3b =-（舍去），【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用，属于基础题． 15.若()3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上是增函数，则正实数a 的最大值为______；【答案】6π【解析】 【分析】先求出函数()3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间，再根据题意即可求出答案．【详解】解：由22,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得，522,66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 又()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上是增函数，∴06a π<≤，故答案为：6π． 【点睛】本题主要考查正弦型函数的单调性的应用，属于基础题．16.已知ABC ∆中，3AB AC ==，D 为边BC 上一点，6AB AD ⋅=，152AC AD ⋅=，则AB AC ⋅的值为______.【答案】92【解析】 【分析】以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设(),D x y ，记BAC θ∠=，再根据同角的平方关系以及数量积的坐标运算求解即可．【详解】解：以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设(),D x y ，则(),AD x y =，∵3AB AC ==，记BAC θ∠=，∴()0,0A ，()3,0B ，()3cos ,3sin C θθ， 则()3,0AB =，()3cos ,3sin AC θθ=，∵6AB AD ⋅=，152AC AD ⋅=， ∴36x =，153cos 3sin 2x y θθ+=，∴2x =，52cos sin 2y θθ+=，又D 为边BC 上一点，∴//BD BC ，则()3cos 33sin 0y θθ-+=，即()sin 1cos y θθ=-， 又()0,θπ∈， ∴sin 1cos y θθ=-∴2sin 2cos 1cos θθθ+-52cos 1cos 2θθ=++=，解得1cos 2θ=， ∴99cos 2AB AC θ⋅==， 故答案为：92． 【点睛】本题主要考查数量积的坐标运算，考查同角的平方关系，考查设而不求思想，属于中档题．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知全集U =R ，集合{}2|450A x x x =--≤，{}|24B x x =≤≤.（1）求()U A C B ⋂；（2）若集合{}|4,0C x a x a a =≤≤>，满足C A A =，C B B =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(){|12U A C B x x ⋂=-≤<或}45x <≤；（2）5|14a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）由题{}|15A x x =-≤≤，再根据集合的补集与交集的定义求解即可； （2）由CA A =得C A ⊆，由CB B =得BC ⊆，再根据包含关系求解即可．【详解】解：（1）由题{}|15A x x =-≤≤，{|2U C B x x =<或}4x >，，(){|12U A C B x x ⋂=-≤<或}45x <≤；（2）由CA A =得C A ⊆，则145a a ≥-⎧⎨≤⎩，解得514a -≤≤，由CB B =得BC ⊆，则244a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤，∴实数a 的取值范围为5|14a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及集合的包含关系，属于基础题．18.已知函数()2cos cos 1x x x f x =+，x ∈R .（1）求函数()y f x =的单调递增区间； （2）求0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =的值域. 【答案】（1）(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）先根据降幂公式以及辅助角公式化简三角函数，令()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z 即可得出答案； （2）由02x π≤≤得72666x πππ≤+≤，由此即可求出答案．【详解】解：2cos cos 1y x x x =++13cos 2222x x =++3sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（1）令()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 所以函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）由02x π≤≤得72666x πππ≤+≤，∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而函数()y f x =的值域为51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及性质，属于基础题．19.已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，552||=-b a .（1）求cos()αβ-的值； （2）若022ππβα-<<<<，且5sin 13β=-，求sin α的值. 【答案】（1）3cos()5αβ-=（2）3365【解析】 【分析】（1）先由条件得2242.5a ab b -⋅+=再利用向量的坐标公式计算代入得解； （2）先计算αβ-和β的三角函数值，再由sin sin[()]ααββ=-+展开结合条件的三角函数可得解. 【详解】（1）255a b -=，2242.5a a b b ∴-⋅+=又(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，221a b ∴==，cos cos sin sin cos()a b αβαβαβ⋅=+=-， 3cos().5αβ∴-=（2）022ππβα-<<<<，0.αβπ∴<-<由（1）得3cos()5αβ-=，4sin()5αβ∴-=， 又5sin 13β=-，12cos 13β∴=，sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ∴=-+=-+-=4123533.51351365⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和的展开公式，属于基础题，第二问属于典型的给值求值问题，解题的关键是将未知角通过配凑用已知角表示，进而由三角函数的两角和的展开公式求解即可. 20.已知函数()()1log 011af x a x x -=<<+. （1）求函数()y f x =的定义域；（2）若方程()1log a f x x =+有两个不等实根，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|1x x <-或}1x >，；（2）{|03a a <<- 【解析】【分析】（1）解分式不等式101x x ->+即可得出答案； （2）由题意得()2110ax a x +-+=，()1,x ∈+∞，再根据二次方程的根的分布求解即可．【详解】解：（1）由题意有101x x ->+，解得1x <-或1x >， 所以函数()y f x =的定义域为：{|1x x <-或}1x >； （2）由（1）可知方程()log 1a f x x =+中()1,x ∈+∞，化简1log log 11aa x x x -=++得()2110ax a x +-+=， 即方程()2110ax a x +-+=在区间()1,+∞上有两个不等实根，需满足()1120110a a a a -⎧>⎪⎪∆>⎨⎪+-+>⎪⎩，解得：03a <<-所以实数a 的取值范围{|03a a <<-．【点睛】本题主要考查函数的定义域，考查二次方程根的分布，考查数形结合思想，属于中档题．21.经检测，餐后4小时内，正常人身体内某微量元素在血液中的浓度1y 与时间t 满足关系式：()1404y t t =-≤≤，服用药物N 后，药物中所含该微量元素在血液中的浓度2y 与时间t 满足关系式：2123,14t y t t≤<=⎨-≤≤⎪⎩.现假定某患者餐后立刻服用药物N ，且血液中微量元素总浓度y 等于1y 与2y 的和.（1）求4小时内血液中微量元素总浓度y 的最高值；（2）若餐后4小时内血液中微量元素总浓度y 不低于4的累积时长不低于两小时，则认定该药物治疗有效，否则调整治疗方案.请你判断是否需要调整治疗方案. 【答案】（1）174；（2）不需要调整治疗方案 【解析】 【分析】（1）由题意得124,0127,14t t y y y t t t ⎧-+≤<⎪=+=⎨⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，求出每段的最大值后再比较即可求出答案；（2）分段讨论求出t 的范围即可得出答案．【详解】解：（1）由题微量元素在血液内的总浓度y 与时间t 的关系为：124,0127,14t t y y y t t t ⎧-+≤<⎪=+=⎨⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，当01t <<时，2117424y t ⎫=-=-+⎪⎭，当14t =时取最大值174； 当14t ≤≤时，27y t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，当t =时取得最大值7-因为1774>-，故微元素总浓度最大值为174； （2）当01t ≤<时，44t -≥，解得01t ≤<； 当14t ≤≤时，274t t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，解得12t ≤≤； 注射药物N 后两小时内血液中微量元素总浓度不低于4，所以不需要调整治疗方案．【点睛】本题主要考查分段函数的性质及其应用，属于基础题． 22.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()2log 21xf x x -=-+.（1）求0x >时，()f x 的解析式；（2）设[]1,2x ∈时，函数()()222f x x g x m m =+⋅-，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为5，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）()()2log 21xf x x =++；（2）存在，7m =-【解析】 【分析】（1）0x >时，0x -<，()()2log 21xx f x -=--+，再根据()()f x f x =--即可求解；（2）由题意可得()()()22122xxg x m m =++-，令[]22,4xt =∈，令()()212h t t m t m =++-，则函数()h t 在[]2,4上的最小值为5，再分类讨论即可求出答案．【详解】解：（1）()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x =--， 设0x >，则0x -<，()()()2log 21xf x x x f =⎡⎤---+--⎣=⎦()2log 21x x =++， 即0x >时，()()2log 21xf x x =++；（2）由（1）当[]1,2x ∈时，()()2log 21222xx x m g m x ++=+⋅-()()22122x x m m =++-，令[]22,4xt =∈，()()212h t t m t m =++-，函数()g x 在[]1,2x ∈上的最小值5，即为函数()h t 在[]2,4上的最小值， ①当122m +-<即5m ≥-时，函数()h t 在区间[]2,4上是增函数， 所以()()min 265h t h ==≠，所以m ∈∅，②当1242m +≤-≤即95m -≤≤-时，()min 210154m h t m ---==， 化简得210210m m ++=，解得3m =-或7m =-，所以7m =-， ③当142m +->即9m <-时，函数()h t 在区间[]2,4上是减函数，所以()()min 42205h t h m ==+=，解得152m =-，所以m ∈∅； 综上：存在7m =-使得函数()g x 的最小值为5．【点睛】本题主要考查根据函数的奇偶性求解析式，考查函数能成立问题，考查分类讨论思想，属于难题．。