石家庄二中2011高一入学考试数学试题及答案
石家庄二中2011高一入学考试数学试题及答案
2011石家庄二中高一分班考试数学试题答案一、选择题（每题3分，共30分）1.D2.C3.C4.A5.C6.D7.C8.B9.B 10.A 二、填空题（每题4分，共40分）11.)1()1(2-+x x ;12.53- ; 13. 1=x ; 14. 1-<x ; 15.③ ;16.︒108 ; 17. 15 ; 18. 33+; 19. 32 ;20. （1）)3-23(， (2分) （2）（2，2）、⎪⎭⎫ ⎝⎛4521，、⎪⎭⎫ ⎝⎛1611411，、⎪⎭⎫ ⎝⎛2526513， （注：共2分．对一个给0.5分，得2分的要全对，其余有错不倒扣分）三、解答题（共50分） 21. 解：（1）拼接成的平行四边形是 平行四边形ABCD （如图3）． （2）正确画出图形（如图4）平行四边形MNPQ 的面积为25． 22. 解：（1）横向甬道的面积为：()2120180150m 2x x +=（2）依题意：2112018028015028082x x x +⨯+-=⨯⨯整理得：21557500x x -+=图3DAB CA DG C BEQ H F M N P 图4125150x x ==，（不符合题意，舍去）∴甬道的宽为5米．（3）设建设花坛的总费用为y 万元．()21201800.028******** 5.72y x x x x +⎡⎤=⨯⨯-+-+⎢⎥⎣⎦20.040.5240x x =-+当0.5 6.25220.04b x a =-==⨯时，y 的值最小． 因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，6x ∴=当米时，总费用最少．最少费用为：20.0460.56240238.44⨯-⨯+=万元23. 解：（1）47BP BQ =． （2）① POC B OA ''∠=∠，PCO OA B ''∠=∠90=°， COP A OB ''∴△∽△．CP OC A B OA ∴='''，即668CP =，92CP ∴=，72BP BC CP =-=．同理B CQ B C O '''△∽△，CQ B C C Q B C '∴='''，即10668CQ -=， 3CQ ∴=，11BQ BC CQ =+=．722BP BQ ∴=． ②在OCP △和B A P ''△中，90OPC B PA OCP A OC B A ''∠=∠⎧⎪'∠=∠=⎨⎪''=⎩，°，， (AAS)OCP B A P ''∴△≌△．OP B P '∴=． 设B P x '=，在Rt OCP △中， 222(8)6x x -+=，解得254x =． 125756244OPB S '∴=⨯⨯=△． （3）存在这样的点P 和点Q ，使12BP BQ =． 当点P 在点B左侧时，9PC BC BP ∴=+=当点P 在点B 右侧时PC BC BP ∴=-257844=-=24. 解：（1）∵⊙P 分别与两坐标轴相切，∴ P A ⊥OA ，PK ⊥OK ． ∴∠P AO =∠OKP =90°． 又∵∠AOK =90°，∴ ∠P AO =∠OKP =∠AOK =90°． ∴四边形OKP A 是矩形． 又∵OA =OK ，∴四边形OKP A 是正方形．（2）①连接PB ，设点P 的横坐标为x ． 过点P 作PG ⊥BC 于G ． ∵四边形ABCP 为菱形， ∴BC =P A =PB =PC ．∴△PBC 为等边三角形．在Rt △PBG 中，∠PBG =60°，PB =P A =x ， PG =x32． O AP 2y =B C图2GMsin ∠PBG =PBPGx x =．解之得：x =±2（负值舍去）． ∴ PGP A =B C=2．易知四边形OGP A 是矩形，P A =OG =2，BG =CG =1，∴OB =OG －BG =1，OC =OG +GC =3． ∴ A （0，B （1，0） C （3，0）． 设二次函数解析式为：y =ax 2+bx +c ．据题意得：0930a b c a b c c ⎧++=⎪++=⎨⎪=⎩解之得：a， b=， c∴二次函数关系式为：2y x =-+ ②解法一：设直线BP 的解析式为：y =ux +v ，据题意得：02u v u v +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解之得：uv=-∴直线BP的解析式为：y =-．过点A 作直线AM ∥PB ，则可得直线AM的解析式为：y =解方程组：2y y x x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩得：110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；227x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 过点C 作直线CM ∥PB ，则可设直线CM的解析式为：y t =+． ∴0=t +．∴t =-∴直线CM的解析式为：y =-解方程组：2y y x x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩得：1130x y =⎧⎨=⎩ ；224x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（0，（3，0），（4，（7，． 解法二：∵12PAB PBC PABC S S S ∆∆==， ∴A （0，C （3，0）显然满足条件．延长AP 交抛物线于点M ，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM =P A ． 又∵AM ∥BC ， ∴12PBM PBA PABC S S S ∆∆==． ∴点M．又点M 的横坐标为AM =P A +PM =2+2=4． ∴点M （4点（7， 综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（0，（3，0），（4，（7，．解法三：延长AP 交抛物线于点M ，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM =P A ． 又∵AM ∥BC ， ∴12PBM PBA PABC S S S ∆∆==． ∴点M．2x x -+=． 解得：10x =（舍），24x =． ∴点M 的坐标为（4． 点（7， 综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（0，（3，0），（4），（7，．2011石家庄二中高一分班考试数学试题一.选择题1．如图所示，函数x y =1和34312+=x y 的图象 相交于（－1，1），（2，2）两点．当21y y >时，x 的取值范围是( )A ．x ＜－1B ．—1＜x ＜2C ．x ＞2D ． x ＜－1或x ＞23.如图，直径为10的⊙A 经过点)5,0(C 和点)0,0(O ，第1题图第6题图B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则OBC ∠的余弦值为 ( )A ．21 B ．43 C ．23 D ． 542．在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是2 5 ．如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是14，则原来盒中有白色棋子( )A ．8颗B ．6颗C ．4颗D ．2颗5=-x 的取值范围是( )A ．x<0B ．x ≥－2C ．－2≤x ≤0D ．－2＜x ＜06.已知函数))((b x a x y --=（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数b ax y +=的图象可能正确的是( )4.某个节日，6位小朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节，圆桌的半径为60cm ，每人离圆桌的距离均为10cm,现在又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人间的距离与6人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧长）相等.设每人向后挪动的距离是xcm ，根据题意，可列方程( ) A.810602610602x)π()π(++=+ B ． 66028)60(2⨯=+ππx C.8)60(26)1060(2⨯+=⨯+x ππ D ．6)60(28)60(2⨯+=⨯-x x ππ第10题C7. 一个滑轮起重装置如图，滑轮半径cm 10，当重物上升滑轮的一条半径OA 绕轴心O 设绳索与滑轮间没有滑动，π取14.3，结果精确到︒1）A ．︒115B ．︒60C ．︒57D ．︒298.如右图，正方形ABCD 的边长是3cm ，一个边长为1cm 的小正方形沿着正方形ABCD 的边AB →BC →CD →DA →AB 连续地翻转，那么这个小正方形经过连续2011次翻滚后，它的方向是( )10. 如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，4==DC AD ，8=BC ，点N 在BC 上，2=CN ，E 是AB 中点，在AC 上找一点M 使MB EM +的值最小，此时其最小值一定等于( )A ．6B ．8C ．4D ．9. 如图，直线333+=y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，圆心P 的坐标为)0,1(，圆P 与y 轴相切于点O ，若将圆P 沿x 轴向左移动，当圆P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二.填空题AA B C D E M NO 第16题图 11．分解因式=--+123x x x ..14. 已知一次函数y ax b =+的图象过第一、二、四象限，且与x 轴交于点（2，0），则关于x 的不等式(1)0a x b -->的解集为_________. 15.下列命题中，真命题有___________.①所有正多边形都相似；②函数3)12(2++=x y ，当1->x 时，y 随x 增大而减小；③圆内接正方形的面积为28cm ，则该圆的周长为cm π4；④若关于x 的不等式组2{--<>a x a x 无解，则1->a .16.在正五边形ABCDE 中，点M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若CN BM =，则=∠BON ___________.12. 已知311=-yx ，则分式=---+yxy x yxy x 2232___________.13.方程221222-=-+-xx x x 的解为_________17.如图 ，在ABC ∆ 中，BC AD BAC ⊥=∠,45于点D ，若,2,3==CD BD 则该三角形的面积_________.A B C D 第17题图 A B C D E FG 第18题图第20题图18. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC , ,60,90︒︒=∠=∠C ABC,322==AD BC 点E 是BC 边的中点，DEF ∆是等边三角形，DF 交AB 于G ，则BFG ∆的周长 _________.19. 将1、2、3、6按如图方式排列．若规定（m ，n ）表示第m 排从左向右第n 个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是 ．20．如图，一次函数y =－2x 的图象与二次函数y =－x 2+3x 图象的对称轴交于点B . （1）写出点B 的坐标 ；（2）已知点P 是二次函数y =－x 2+3x 图象在y 轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y =－2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点. 若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，则点P 的坐标为 .三.解答题21.阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB 的中点O 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG . 请你参考小明的做法解决下列问题： （1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）； （2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，分别连结AF 、BG 、CH 、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ 请在图4中探究平行四边形MNPQ 面积的大小（画图并直接写出结果）.111122663263323第1排第2排第3排第4排第5排第19题图图1 图2AB CDEFGHQMNP图3 图4第22题图23. 矩形OABC的边OA长为8，边AB的长为6，将矩形形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．（1）当α=90°时，BPPQ的值是．（2）①如图2,当矩形OA′B′C′的顶点B′落在射线OC上时,求BPPQ的值;②如图3,当矩形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时,求ΔOPB′的面积．（3）在矩形OA B C旋转过程中,当000180α<≤时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=12BQ？若存在，请直接写出点P的位置；若不存在，请说明理由．22．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？′图14.在直角坐标系xoy 中，已知点P 是反比例函数）＞0(32x xy =图象上一个动点，以P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A ．（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切，设切点为K ，试判断四边形OKP A 的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P 运动到与x 轴相交，设交点为B ，C ．当四边形ABCP 是菱形时：①求出点A ，B ，C 的坐标．②在过A ，B ，C 三点的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的21．若存在，试求出所有满足条件的M 点的坐标，若不存在，试说明理AP2y =K O图1O ABCA ′B ′C ′PQ O ABCA ′B ′C ′P（Q ）图2图324. (14分)。
2023-2024学年河北省石家庄二中教育集团高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省石家庄二中教育集团高一（上）期中数学试卷一、单选题。
（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，1，2，3），B ={x|2x−2≤1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{3}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2}D ．{﹣1，1，2，3}2．已知函数y ＝f （x ）的定义域为[0，3]，则函数y ＝f （x 2﹣1）的定义域为（ ） A ．[0，3]B ．[﹣1，8]C ．[1，2]D ．[﹣2，﹣1]∪[1，2]3．“a ＞5”是“函数f （x ）＝（a ﹣2）x 2﹣2x 在（2，+∞）上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f （x ）＝ax 5+bx 3+1（a ，b ∈R ）．若f （2）＝5，则f （﹣2）＝（ ） A ．4B ．3C ．2D ．﹣35．已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，且函数f （x +2）是偶函数，则（ ） A ．4a ﹣b ＝0B ．4a +b ＝0C ．a ﹣b ＝0D ．a +b ＝06．已知函数f （x ）={x 2−2ax +4，x ≤1a x ，x ＞1是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ＞0C ．1≤a ≤53D ．2≤a ＜37．已知函数f （x ）是定义在[1﹣2m ，m +1]上的偶函数，∀x 1，x 2∈[0，m +1]，当x 1≠x 2时，[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＜0，则不等式f （1﹣x ）≤f （x ）的解集是（ ） A ．[﹣3，12]B ．[﹣2，3]C ．[﹣2，12]D ．（﹣∞，12]8．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且函数f （x ）在定义域内单调递增，若f （x 2+x ﹣3）+f （m ﹣mx ）＞0对所有的x ∈（2，3）均成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−∞，92]B ．（﹣∞，3]C ．（﹣∞，4]D ．（﹣∞，3）二、多选题。
2011年石家庄市质量检测(二)数学答案
2011年石家庄市高中毕业班复习数学质量检测（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1～5 ABACD 6～10 BCBAA 11～12BC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13． 160- 14． 2 15． 31- 16 ．223三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(本小题满分10分)解：（Ⅰ）()22cos 23sin cos 3f x x x x ωωω=++cos23sin 24x x ωω=++2sin 246x ωπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. ∵()f x 的最小正周期为π， 0ω>,∴22ωπ=π，则1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin 246f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 222262k x k πππ-+π≤+≤+π，k ∈Z 得36k x k ππ-+π≤≤+π，k ∈Z 222262k x k ππ3π+π≤+≤+π,k ∈Z 得63k x k π2π+π≤≤+π,k ∈Z ∴函数()f x 的单调增区间为[36k k ππ-+π,+π]，k ∈Z ;单调减区间为[63k k π2π+π,+π],k ∈Z . 18．(本小题满分12分)解:（Ⅰ）由题意可知总的基本事件数为3464=，三人注射的疫苗批号互不相同的基本事件数为3443224A =⨯⨯=， 所以所求概率为243648p ==. （Ⅱ）由题意知三个人中没有一个人选疫苗批号为1的概率为33327464=，三人中至少有一人选择疫苗批号为1的概率为333371464-=. 19． (本小题满分12分)解：（Ⅰ）)1(3)(2++-='a ax x x f ，由于)(x f 在1=x 处取得极值， 所以0)1(='f ，即022=-a ， 1=a ，经检验1=a 时函数)(x f 在1=x 处取得极值，故 1.a =（Ⅱ）不等式12)2()(2++--<'a x a ax x f 对任意)0(∞+∈，a 恒成立， 即)1(32++-a ax x 12)2(2++--<a x a ax 也就是x x x a 2)1(22->+. 当1-=x 时，320)1(22=-=+x x x a ，，显然上述不等式不成立；当1-≠x 时，0)1(2>+x ，所以22)1(2+->x x x a 对任意)0(∞+∈，a 恒成立， 所以022≤-x x 即20≤≤x ，故实数x 的取值范围]20[，. 20．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）当1n =时，11122S a a =-=，∴ 12a =．当2n ≥时，1122n n S a --=-，①，22n n S a =-，②；②－①得：1122n n n n n S S a a a ---=-=，∴ 12n n a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列，∴ 1222n n n a -=⋅=,*N n ∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：22log 121n n b a n =-=-，∴ 212n n n b n a -=． 1211323212222n n n n n T ---=++++L ……③， 231113232122222n n n n n T +--=++++L ……④， ③－④得：23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L111112132311222242n n n n n --+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴ ()13232n n T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭．21. 解：（Ⅰ）过E 作//EF CD 交PD 于F ,由//,//EF CD CD AB 可知//EF ABF E B A ,,,∴四点共面，又因为ABE PD 面⊥∴AF PD ⊥,∵AD PA =∴在Rt PAD ∆中，的中点为PD F ,∴可得E 为PC 的中点．（Ⅱ）连结,//,ABE EN PD EN EN 面⊥∴连结ME MN ,，则EMN ∠为直线MN 与平面ABE 所成的角．在MEN Rt ∆中，sin ,EN EMN MN∠= ∴MN 最小时，EMN ∠最大，此时AB MN ⊥． 所以M 为AB 中点，则AM ND EF ==////．.为平行四边形AMEF ∴由,AF PD CD AF ⊥⊥， 可知,AF PCD ME PCD ⊥⊥面面的平面角为二面角N ME C CEN --∠∴设,PA AD a ==122tan 222a CN Rt CEN CEN EN a ∆∠===在中，，22arctan 所求二面角的大小为∴. 法二（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系,不妨设1PA =,则(0,0,1),(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),P A B C (0,1,0),D (1,1,1)PC =- ，(0,1,1)PD =- .设),,(λλλλ-==PC PE , )1,,(),,()1,0,0(λλλλλλ-=-+=+=PE AP AE ，因为PD ABE ⊥ 面 , 0PD AE ⋅= ，10λλ+-=，即12λ=,中点为PC E ∴. （Ⅱ）设(,0,0)M t =，1(,1,0)2N ,1(,1,0),2MN t =- 由（Ⅰ）知面ABE 的法向量为)1,1,0(-=PD ，设MN 与面ABE 所成角为θ,sin |cos ,|MN PD θ=<> 22121()2t =+- 当t =21时，θsin 最大，此时M 为AB 中点, 平面NEM 的法向量为1(1,0,0)=-n 设平面CEM 的法向量为2(,,)x y z =n2200EC MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 而 1111(,,)(,1,0),2222EC MC =-= 1()0,210.2x y z x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令121y x y ==-=-则.21226(2,1,1)cos ,36∴=--<>==n n n ， 36arccos所求二面角为∴. 22．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）由动点P 到定点A (0,1)的距离比到定直线1:2l y =-的距离小1知P 到定点A (0,1)的距离等于到直线1y =-的距离，由抛物线定义知动点P的轨迹方程为24x y =.（Ⅱ） 由题意知2x y '= 设1122(,),(,)M x y N x y ,0(,1)Q x -,则切线MQ ：111()2x y y x x -=-, 切线NQ ：222()2x y y x x -=-，又MQ ，NQ 交于0(,1)Q x -,故11011()2x y x x --=-，22021()2x y x x --=-,可得直线MN :01()2x y x x --=-,又24x y =，可得20240x x x --=.易知12,x x 为方程20240x x x --=的两个解, 由韦达定理可知1202x x x +=，所以,,M Q N 三点的横坐标成等差数列.。
石家庄二中2011高一入学考试语文试题及答案
2011年石家庄二中南校区高一新生入学考试语文试卷考生注意：1．本试卷共7页，总分100分，考试时间90分钟。
２．答卷前将密封线左侧的项目填写清楚。
３．答案需用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔书写。
第一部分积累与运用（１～ 9题共 42 分）1．下列加点字的注音有错误的一组是：（）（3分）A. 贫民窟．（kū）缅．怀(miǎn) 白皙．(xī) 拈．轻怕重(niān)B. 桑梓．(zǐ) 蜷．伏(quán) 儒．雅(rú) 挑拨离间．（jiàn）C. 凄怆．(chuàng) 勉强．(qiǎng) 华裔．(yī) 锲．而不舍(qì)D. 匀．称(yún) 重荷．(hè) 采撷．(xié) 奴颜婢．膝(bì)2．下列词语中，没有错别字的一组是（）（3分）A．妙手偶得坦荡如砥嘎然而止义愤填膺B.不屑置辩夙夜忧叹攘除奸凶与日俱增C.嗟来之食望文生义根深底固张冠李戴D.惨绝人寰同舟共际尖嘴猴腮意兴阑珊3. 下列各句中，加点的成语使用正确的一项是( )(3分)A．巍峨的埃菲尔铁塔，雄伟的凯旋门，庄严的巴黎圣母院，这些名胜古迹令人流连忘返．．．．。
B．北京电视台的几个经济类节目都办得栩栩如生．．．．，显示出编导很有水平。
C．这家伙明知罪行严重，却在从容不迫．．．．地抹桌子，好像什么事情也没有发生。
D．我们不要妄自菲薄．．．．自己的成绩，也不要轻易满足自己的成绩，而应当正确地对待自己。
4．下列句子中没有语病的一项是( )（3分）A．在原始文化遗址水洞沟，人们发现了略加磨制的鸵鸟蛋穿孔饰件和骨片制成的骨锥，这是磨制技术的萌芽，在人类生产发展史上具有重要意义。
B．王艳毕业后去了深圳，按她的话说她现在只想挣很多钱来证明自己的价值。
C．随着世界各国交往逐年增多，各国输出劳工、侨民的人数也随之增加，从而使全球侨汇金额猛增。
D．封龙山又叫飞龙山，位于石家庄市区22公里处，早在战国时期就已见诸史册，汉唐以来一直是河北名山。
河北省高一下学期开学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}1A x x =≥-{}3,2,1,0,1,2B =---()R A B = ðA ． B ． {3,2}--{3,2,1}---C ． D ．{0,1,2}{1,0,1,2}-【答案】A【分析】根据集合的运算法则计算．【详解】由题意，所以． {|1}R A x x =<-ð(){3,2}R A B =-- ð故选：A ．2．已知命题：关于的不等式的解集为，则命题的充要条件是（ ） p x 220x ax a -->R p A ． B ． 10a -<≤10a -<<C ． D ． 10a -≤≤1a >【答案】B【分析】根据一元二次不等式恒成立得即可.Δ0<【详解】关于的不等式的解集为，， x 220x ax a -->R 244010a a a ∆=+<⇒-<<故命题的充要条件是， p 10a -<<故选：B3．已知角 的终边经过点 ，则 的值为（ ）α()2,1P -3cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭A B C ．D ． 【答案】A【分析】根据三角函数的定义，求得，再结合诱导公式，得到，即可sin α3cos sin 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭求解.【详解】由题意，角的终边经过点，可得，α(2,1)P -=根据三角函数的定义，可得 sin α==又由3cos sin 2παα⎛⎫+==⎪⎝⎭故选：A.4．已知，则（ ）20.30.3,2,2a b c ===A ． B ．b c a <<b a c <<C ．D ．c a b <<a b c <<【答案】D【分析】先利用对数运算化简c ，在利用指数函数的单调性比较即可.【详解】解：因为，，，22c ==2000.30.31a <=<=00.3112222b =<=<=所以. a b c <<故选：D.5．若，则（ ） π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭5π2πsin cos 63αα⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A ．0B ．C D 23【答案】B【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可. 【详解】依题意，令，则，，π6t α+=1sin 3t =5ππππ66t αα⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭2ππππ3262t αα+=++=+，所以. ()5π2ππ2sin cos sin πcos sin sin 2sin 6323t t t t t αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=--+=+== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B.6．函数的零点所在的区间为（ ） 2()log 21f x x x =+-A ．B ．C ．D ．1(0,)2(1,2)11(,421(,1)2【答案】D【分析】先判断函数的单调性，然后再根据零点存在性定理，通过赋值，即可找到零点所在()f x 的区间，从而完成求解.【详解】函数可看成两个函数和组成，()2log 21f x x x =+-2log (0)y x x =＞21y x =-两函数在上，都是增函数， ()0+∞，故函数在上也是单调递增的， ()2log 21f x x x =+-()0+∞，所以，2111log 2111110222f ⎛⎫=+⨯-=-+-=- ⎪⎝⎭＜而，()21log 121102110f =+⨯-=+-=＞由零点存在性定理可得，函数零点所在区间为.()2log 21f x x x =+-1,12⎛⎫⎪⎝⎭故选：D.7．函数的图象大致是（ ） ()222x xx f x -=+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性先排除，再利用特殊值排除选项，进而求解.B,D C 【详解】函数的定义域为，且，()222x x x f x -=+R 22()()()2222x x x x x x f x f x ----===++则函数为偶函数，故排除选项； ()f x B,D 又因为当时，，故排除选项， 0x >()0f x >C 故选：.A 8．已知函数，若为偶函数，在区间内单调，则()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x π7π,312⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（ ）ωA ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【分析】根据为偶函数，可得直线为函数图像的一条对称轴，进而可得π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π3x =()f x ，根据在区间内单调，可得，进而可求解. 13k ω=+()f x π7π,312⎛⎫⎪⎝⎭7πππ21234T ≥-=【详解】由于函数为偶函数，故直线为函数图像的一条对称轴，π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π3x =()f x 所以，，则，， ππππ362k ω+=+Z k ∈13k ω=+Z k ∈又，即，解得， 7πππ21234T ≥-=ππ4ω≥04ω<≤又，，所以的最大值为4， 13k ω=+Z k ∈ω当时，在单调递增，满足要求， =4ωπ()sin 46f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π7π,312⎛⎫⎪⎝⎭故的最大值为4. ω故选：B二、多选题9．已知函数下列说法正确的是（ ）()2sin(23f x x π=+A ．函数的图象关于点对称()y f x =(,0)3π-B ．函数的图象关于直线对称 ()y f x =512x π=-C ．函数在上单调递减 ()y f x =2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．图象右移个单位可得的图象()f x 6π2sin 2y x =【答案】BD【分析】根据正弦函数的对称性，可判定A 错误，B 正确；根据正弦函数的单调性，可判定C 错误；根据三角函数的图象变换，可判定D 正确.【详解】对于A 中，令，可得，3x π=-()2sin[2()2sin()03333f ππππ-=-+=-=≠所以不是函数的对称中心，所以A 错误；(,0)3π-()f x 对于B 中，令，可得， 512x π=-55()2sin[2()]2sin(2121232f ππππ-=-+=-=-所以函数关于对称，所以B 正确； ()f x 512x π=-对于C 中，当，则， 2,36x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦2[,0]3ππ+∈-x 根据正弦函数的单调性可知函数在已知区间上不单调，所以C 错误； 对于D 中，当向右平移个单位后可得，()f x 6π2sin[2(]2sin 263y x x ππ=-+=所以D 正确. 故选：BD.10．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．a +c >b +cB ．ac 2≥bc 2C ．D ．(a +b )(a -b )>020c a b >-【答案】AB【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，逐一判断作答. 【详解】对于A ，因a ，b ，c ∈R ，a >b ，则a +c >b +c ，A 正确； 对于B ，因c 2≥0，a >b ，则ac 2≥bc 2，B 正确；对于C ，当c =0时，，C 不正确；20c a b=-对于D ，当a =1，b =-1，满足a >b ，但(a +b )(a -b )=0，D 不正确． 故选：AB11．已知，，则下列结论正确的是（ ） ()0,πθ∈1sin cos 5θθ+=A ．B ．C ．D ． π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ=-3tan 4θ=-7sin cos 5θθ-=【答案】ABD【分析】由题意得，可得，根据的范围，可()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=242sin cos 25θθ=-θ得，的正负，即可判断A 的正误；求得的值，即可判断D 的正误，联立可求sin θcos θsin cos θθ-得，的值，即可判断B 的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C 的正误，即可得答sin θcos θ案.【详解】因为， 1sin cos 5θθ+=所以，则， ()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=242sin cos 25θθ=-因为，所以，，()0,πθ∈sin 0θ>cos 0θ<所以，故A 正确；π,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， ()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=所以，故D 正确； 7sin cos 5θθ-=联立，可得，，故B 正确；1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 5θ=3cos 5θ=-所以，故C 错误. sin 4tan cos 3θθθ==-故选：ABD.12．已知函数，若方程有四个不同的零点，它们从小到大依()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩()(R)f x k k =∈次记为，则（ ） 1234,,,x x x x A ．B ．C ．D ．104k <<23e e x <<121x x +=-21234e 04x x x x <<【答案】ACD【分析】作出函数的图象，将零点问题转化为函数图像的交点问题，结合图像即可判断A ；结()f x合对数函数性质可判断B ；结合二次函数图象的性质可判断C ；结合对数函数性质以及基本不等式可判断D.【详解】画出函数的图像如下：()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩要使方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为， ()(R)f x k k =∈1234,,,x x x x 转化为函数的图象与有四个不同的交点， ()f x y k =由图象，得，故A 正确； 104k <<当时，，则，故C 正确； 0x <21()4f x x x =++1212()12x x +=⨯-=-当时，令，即，解得，0e x <<1()4f x =11ln 4x -=34e x =，故B 错误； 343e e x ∴<<∵，，34ln 1ln 1x x -=-34e x x <<∴，即，则，341ln ln 1x x -=-4334ln ln 2ln x x x x ==+234e x x =又，， 120x x <<22121212121()()(()224x x x x x x x x --+=-⋅-<=-=∵，∴，故D 正确，120x x >21234e 04x x x x <<故选：ACD ．【点睛】方法点睛：将方程有四个不同的零点问题转化为函数的图象与有()(R)f x k k =∈()f x y k =四个不同的交点问题，数形结合，结合合基本不等式，即可解决问题.三、填空题 13．函数的定义域是__________. 1()lg(1)2f x x x=+--【答案】{|且} x 1x >2x ≠【分析】根据函数，由求解.1()lg(1)2f x x x =+--2010x x -≠⎧⎨->⎩【详解】因为函数， 1()lg(1)2f x x x=+--所以，2010x x -≠⎧⎨->⎩解得，21x x ≠⎧⎨>⎩所以函数的定义域是{|且}， 1()lg(1)2f x x x=+--x 1x >2x ≠故答案为：{|且}x 1x >2x ≠14．已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为_______. 2rad 10cm 2cm 【答案】254【解析】首先设扇形弧长为，半径为，列方程求解，再利用扇形面积求解.l r 12S lr =【详解】设扇形弧长为，半径为， l r ，解得：， 2210l rl r ⎧=⎪⎨⎪+=⎩5, 2.5l r ==则扇形的面积. 12524S lr ==故答案为：254【点睛】本题考查扇形面积的求法，意在考查基本公式，属于简单题型. 15．若函数是R 上的奇函数，且周期为3，当时，，则()f x 302x <<()3xf x =()520232f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 【答案】3【分析】根据奇偶性和周期性，得到，，从而求出答案. 5252f f⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()202313f f ==【详解】函数是R 上的奇函数，则， ()f x ()()f x f x -=-则， 2525f f⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为的周期为3，所以，()f x ()()3f x f x =+故，1255133222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，5252f f ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()20236743113f f f =⨯+==故.()5232023f f ⎛⎫+= ⎪⎭⎝故答案为：316．已知函数，函数在区间上有两个不同解，则a 的取值范围2()sin cos f x x x a =-+()f x ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭是___________． 【答案】()1,1-【分析】根据题意化简，利用换元法令，将函数转化为二次函数问题，求解即可.()f x cos t x =【详解】，，22()sin cos cos cos 1f x x x a x x a =-+=--++ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭令，则有,(]cos ,0,1t x t =∈()21f t t t a =--++根据对称性，函数在区间上有两个不同的解，()f x ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭等价于在区间有一个解，()21f t t t a =--++()0,1由于，对称轴为，()()21,0,1f t t t a t =--++∈12t =-故只需：，解得：.()()010110f a f a ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩()1,1a ∈-故答案为：()1,1-四、解答题17．（1）化简：； ()()()()sin πcos πtan 2023π2023πsin tan 2ααααα+-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）求值：.41log 234(0.125)-++【答案】（1）；（2）5sin α【分析】（1）利用诱导公式计算可得；（2）根据对数的性质及指数幂的运算法则计算可得.【详解】解：（1）； ()()()()()()()()sin πcos πtan 2023πsin cos tan sin 2023πcos tan sin tan 2ααααααααααα+-+-⋅-⋅==-⋅-⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）41log 234(0.125)-++41143log 2148⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 114522=++=18．已知函数定义域为，集合. ()3lg 1x f x x -=-A {}22290B xx mx m =-+-≤∣(1)求集合；,A B (2)若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. x B ∈x A ∈m 【答案】(1)， ()(),13,A =-∞+∞ []3,3B m m =-+(2) ()(),26,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据对数型函数的性质即可求解根据一元二次不等式即可求解, ,A B （2）将充分不必要条件转化成集合的真子集的关系即可求解. 【详解】（1）由题意知：，解得或. ()()303101x x x x ->⇔-->-3x >1x <集合.∴()(),13,A =-∞+∞ 对于集合B 满足：.()()2229330x mx m x m x m -+-=-+--≤又.[]333,3m m B m m -<+∴=-+（2）若是的充分不必要条件，则集合是的真子集， x B ∈x A ∈B A 由（1）知，只需满足或即可，解得或. 31m +<33m ->2m <-6m >综述，满足题意的的取值范围是.m ()(),26,-∞-⋃+∞19．函数的部分图象如图所示：π()sin()(0,0,||2f x A x A ωϕωϕ=+>><(1)求函数的解析式与单调递减区间； ()f x (2)求函数在上的值域．()f x [0,2π【答案】(1)，单调递减区间()2sin(2)4f x x π=+5,(Z)88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2) [2]【分析】（1）根据图像即可写出，再由图像过即可求出其周期，则可求出2A =30088ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，、，，在将点带入，则可求出.由在区间上2ω=08π⎛⎫- ⎪⎝⎭，()f x 4πϕ=sin y x =32,2,Z 22k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调递减，则可求出的单调递减区间.()f x（2）由. 52,sin 2()[[0,2]24444x x f x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+∈⇒+∈⇒∈⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦∈⇒【详解】（1）观察图象得：，令函数的周期为T ，则， 2A =()f x 322,288T T ππππω⎛⎫=⨯+=== ⎪⎝⎭由得：，而，于是得，08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭22,Z 8k k πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭||2ϕπ<0,4πϕ==k 所以函数的解析式是．()f x ()2sin(2)4f x x π=+由解得：， 3222,Z 242k x k k πππππ+≤+≤+∈5,Z 88k x k k ππππ+≤≤+∈所以的单调递减区间是．()f x 5,(Z)88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，当时，，则当，即时，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52444x πππ≤+≤242x ππ+=8x π=max ()2f x =当，即时，5244x ππ+=2x π=min ()f x =所以函数在上的值域是．()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦[2]20．已知函数，且为奇函数．1()41x f x a =++()f x (1)判断函数的单调性并证明； ()f x (2)解不等式：． (21)(2)0f x f x -+->【答案】(1)函数单调递减，证明见解析 (2) (,1)-∞【分析】（1）根据奇函数的定义可求得参数a 的值，判断函数单调性，利用单调性定义可证明函数的单调性；（2）利用函数的奇偶性和单调性即可求解不等式. 【详解】（1）因为函数，定义域为R ，且为奇函数， 1()41xf x a =++()f x则，得， 01(0)041f a =+=+12a =-当时， 12a =-11(),412x f x =-+对于任意实数x ，， 1141()412412x x x f x --=-=-++∴，即当时，为奇函数； ()()()()0,f x f x f x f x -∴-=-+=12a =-()f x 为单调递减函数， 1142(1)x f x =-+证明：设，则 1212,,R x x x x <∈121211()()4141x x f x f x -=-++ ， 211244(41)(41)x x x x -=++，即，，121244,x x x x ∴<< 21440x x ->12410,410x x +>+>∴，()()12f x f x >即函数在定义域上单调递减；()f x （2）因为在定义域上单调递减且为奇函数，()f x ()f x 由不等式可得，(21)(2)0f x f x -+->()()()2122f x f x f x ->--=-+∴，212x x -<-+∴，即的解集为.1x <(21)(2)0f x f x -+->(,1)-∞21．如图所示，ABCD 是一块边长为4米的正方形铁皮，其中AMN 是一个半径为3米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分可以利用．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一个长方形铁皮PQCR（其中P 在上，Q 、R 分别在边BC 和CD 上）．设，长方形PQCR 的面积为S 平方A MNMAP θ∠=米．(1)求S 关于的函数解析式，并求出S 的最大值；θ(2)若S 取最大值时，求的值．0θθ=0sin θ【答案】(1)，S 的最大值是4.()9sin cos 12sin cos 16S θθθθ=-++(2)0或1【分析】（1）利用，表达出矩形两边长，列出S 关于的函数解析式，换元后，利用二MAP θ∠=θ次函数求出最大值；（2）在第一问基础上，求出此时或，从而求出. 00θ=π20sin θ【详解】（1）延长RP 交AB 于点H ，则， 3sin ,3cos PH AH θθ==π0,2θ⎡⎤∈⎢⎣⎦所以，43sin ,43cos RP PQ BH θθ=-==-所以()()43sin 43cos S RP PQ θθ=⋅=--，()9sin cos 12sin cos 16θθθθ=-++令，则， sin cos t θθ+=21sin cos 2t θθ-⋅=其中， πsin cos 4t θθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭所以， 22299923947121612222232t t S t t t -⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭对称轴为，故当时，取得最大值，最大值为4 43t =1t =S（2）由（1）可知，此时或， 00θθ==π2当时，；00θ=0sin 0θ=当时，， 0π2θ=0sin 1θ=所以的值为0或10sin θ22．定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增x ()()f x a f x +>a ()f x a 函数.(1)若，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；()2,R x f x x =∈()f x (2)若是“距”增函数，求的取值范围；()34,R f x x x x =-+∈a a (3)若，其中，且为“2距”增函数，求的最小值.()()22,1,x k x f x x ∞+=∈-+R k ∈()f x 【答案】(1)是“1距”增函数，理由见解析()f x (2)2a >(3)当时，，当时，.0k ≥()min ()1f x =20k -<<()24min()2k f x -=【分析】(1)根据定义检验即可；(2)由定义列不等式求的取值范围；a (3)由条件结合定义列不等式求的范围，再求函数的最值.k 【详解】（1）对任意的， ()()1R,12220x x x x f x f x +∈+-=-=>故是“1距”增函数；()f x （2），()()()()()3322()44331f x a f x x a x a x x a x ax a +-=+-++--+=++-又为“距”增函数，()f x a 所以恒成立，()223310a x ax a ++->因为，0a >所以恒成立，223310x ax a ++->所以，所以，故；()2291210a a ∆=--<24a >2a >（3）因为，()()22,1,x k x f x x ∞+=∈-+其中，且为“2距”增函数，R k ∈所以当时，恒成立，1x >-()()2f x f x +>增函数，2x y =()22(2)2x k x x k x ∴+++>+当时，，0x ≥()22(2)2x k x x kx +++>+即恒成立，4420x k ++>，解得，420k ∴+>2k >-当时，，10x -<<()22(2)2x k x x kx +++>-即恒成立，44220x kx k +++>所以，解得，()()120x k ++>2k >-所以.2k >-()22,1,2x k x f x x k +=>->-令，则. 0t x =≥()22tkt f x +=①当时，即时， 02k -≤0k ≥当时，0=t ()min 1f x ⎡⎤=⎣⎦②当时，即时， 02k ->20k -<<当时， 2k t =-()24min 2k f x -⎡⎤=⎣⎦综上，当时，0k ≥()min ()1f x =当时，20k -<<()24min ()2k f x -=【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。
河北省石家庄二中2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题
河北省石家庄二中2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________四、解答题17．已知{}{}222A x x xB x x ax a=--==++-=.|280,|120(1)若A B AI，求实数a的值；=(2)若A B AÈ=，求实数a的取值范围.18．函数224=++．y mx x则()()2R,22240x a x a x $Î-+--<，当2a =时，40-³，成立；当2a >时，则()()2421620a a D =-+->，解得2a >-，即2a >；当2a <时，成立；综上所述：R a Î.故选：D.6．C【分析】根据子集关系结合元素与集合的关系逐项分析判断.【详解】对于选项A 、B ：例如{}{}1,2,2,3A B ==，满足A 不是B 的子集，但2,2A B ÎÎ，故A 错误；3,3A B ÏÎ，故B 错误；对于选项C ：对任意的a A Î，都有a B Î，则A B Í，若A 不是B 的子集，则存在0a ，满足0a A Î，且0a B Ï，故C 正确；对于选项D ：例如{}{}1,2A B ==，满足A 不是B 的子集，但不存在0a ，满足0a A Î，且0a B Î，故D 错误；故选：C.7．C【分析】根据补集关系，先得到()()U A B Çð与集合B 互补的结论，再计算出集合B 元素个数n ，最后根据集合真子集个数为21n -个即可.【详解】根据{}2==N|100U A B x x x ÈÎ-£可得{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U =，U A B=ÈQ。
石家庄二中必修一第一单元《集合》测试题(有答案解析)
一、选择题1．已知集合{}11M x Z x =∈-≤≤，{}Z (2)0N x x x =∈-≤，则如图所示的韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}0,1B ．{}1,2-C ．{}1,0,1-D ．1,0,1,22．已知集合()1lg 12A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，{}22940B x x x =-+≥，则()RA B 为（ ）A ．()1,4B ．1,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．(4,110D ．(1,110+3．已知{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈.定义集合{}12121122(,)(,),(,),A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕的元素个数n 满足（ ） A ．77n =B ．49n ≤C ．64n =D ．81n ≥4．定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做A 的幂集，记为()P a ，用()n A 表示有限集A 的元素个数，给出下列命题：（1）对于任意集合A ，都有()A P A ∈；（2）存在集合A ，使得()3nP A =；（3）若AB =Φ，则()()P A P B ⋂=Φ；（4）若A B ⊆，则()()P A P B ⊆；（5）若()()1n A n B -=，则[][]()2()n P A n P B =.其中正确命题的序号为（ ）A ．（1）（2）（5）B ．（1）（3）（5）C ．（1）（4）（5）D ．（2）（3）（4）5．设集合1{|0}x A x x a-=≥-，集合{}21B x x =->，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是 （） A ．1a ≤B ．3a ≤C ．13a ≤≤D ．3a ≥6．若集合{}2|560A x x x =-->，{}|21xB x =>，则()R C A B =（ ）A ．{}|10x x -≤<B ．{}|06x x <≤C ．{}|20x x -≤<D ．{}|03x x <≤7．已知0a b >>，全集为R ，集合}2|{ba xb x E +<<=，}|{a x ab x F <<=，}|{ab x b x M ≤<=，则有（ ）A ． E M =（R C F ）B ．M =（RC E ）F C ．F E M =D ．FE M =8．已知集合{}|15A x x =≤<，{}|3B x a x a =-<≤+.若B A B =，则a 的取值范围为（ ） A ．3,12⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．3,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．(],1-∞-D ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．设所有被4除余数为()0,1,2,3k k =的整数组成的集合为k A ，即{}4,k A x x n k n Z ==+∈，则下列结论中错误的是（ ）A ．02020A ∈B ．3a b A +∈，则1a A ∈，2b A ∈C ．31A -∈D ．k a A ∈，k b A ∈，则0a b A -∈10．设{}|13A x x =≤≤，(){}|lg 321B x x =-<，则A B =（ ）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦11．已知3(,)|32y M x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{(,)|20}N x y ax y a =++=，且M N ⋂=∅，则实数a =（ ） A ．6-或2-B ．6-C ．2或6-D ．212．已知R 为实数集，集合{|lg(3)}A x y x ==+，{|2}B x x =≥，则()R C A B ⋃=（ ） A ．{|3}x x >-B ．{3}x x |<-C ．{|3}x x ≤-D ．{|23}x x ≤<二、填空题13．设P 为非空实数集满足：对任意给定的x y P ∈、（x y 、可以相同），都有x y P +∈，x y P -∈，xy P ∈，则称P 为幸运集.①集合{2,1,0,1,2}P =--为幸运集；②集合{|2,}P x x n n ==∈Z 为幸运集； ③若集合1P 、2P 为幸运集，则12PP 为幸运集；④若集合P 为幸运集，则一定有0P ∈；其中正确结论的序号是________ 14．已知集合2|05x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,{}2230,B x x x x R =--≥∈,则A B =_________. 15．已知集合{2,1}A =-，{|2,B x ax ==其中,}x a ∈R ，若A B B =，则a 的取值集合为___________.16．集合{(,)|||,}A x y y a x x R ==∈，{(,)|,}B x y y x a x R ==+∈，已知集合A B中有且仅有一个元素，则常数a 的取值范围是________17．已知集合{}1,1A =-，{}|10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 所有取值的集合为_____18．对任意两个集合X 与Y ，定义①{X Y x x X -=∈且}x Y ∉，②()()X Y X Y Y X ∆=--，已知{}2,A yy x x R ==∈，{}22B y y =-≤≤，则A B ∆=_________.19．设,,x y z 都是非零实数，则可用列举法将x y z xy xyz x y z xy xyz++++的所有可能值组成的集合表示为________.20．已知集合{|11},{|01}A x a x a B x x =-<<+=<<若A B φ⋂=，实数a 的取值范围是______．三、解答题21．已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈． （1）若A 中只有一个元素，求a 的值； （2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围； （3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.22．设集合(){lg 1A x y x ==-，{}230B x x x a =-+=.（1）若2a =时，求AB ；（2）若A B A ⋃=，求a 的取值范围.23．设集合{|12A x a x a =-<<，}a R ∈，不等式2760x x -+<的解集为B ． （1）当a 为0时，求集合A 、B ； （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．24．已知集合{|02}A x x =≤≤，{|32}B x a x a =≤≤-. （1）若()UA B R ⋃=，求a 的取值范围； （2）若AB B ≠，求a 的取值范围.25．已知集合M ＝{x |2x －4＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}. （1）当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N ； （2）当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值.26．已知不等式()210x a x a -++≤的解集为A ，不等式2103x x +≤-的解集为B . （1） 当3a =时，求A B ；（2）若不等式的解集A B ⊆，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】阴影部分可以用集合M N 、表示为()()M N C M N ⋃⋂，故求出M N 、、M N ⋃，M N ⋂即可解决问题． 【详解】解：由题意得，{}1,0,1M =-，{}0,1,2N ={}1,0,1,2M N ⋃=-，{}0,1M N ⋂=阴影部分为()(){}1,2M N C M N ⋃⋂=-故选B 【点睛】本题考查用韦恩图表示的集合的运算，解题时要能用集合的运算表示出阴影部分．2．A解析：A 【分析】解对数不等式求得集合A ，解一元二次不等式求得RB ，由此求得()RAB【详解】由于()1lg 12x -<=所以{(011,1A x x =<-<=+， 依题意{}2R2940B x x x =-+<，()()22944210x x x x -+=--<，解得142x <<，即R 1,42B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()()R1,4A B ⋂=．故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集和补集的运算，考查对数不等式和指数不等式的解法，属于中档题.3．A解析：A 【分析】先理解题意，然后分①当11x =±,10y =时,②当10x =,11y =±时, ③当10x =,10y =时,三种情况讨论即可. 【详解】解:由{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈, ①当11x =±,10y =时, 124,3,2,1,0,1,2,3,4x x +=----,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,此时A B ⊕的元素个数为9763⨯=个,②当10x =,11y =±时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,124,3,2,1,0,1,2,3,4y y +=----,这种情况和第①种情况除124,4y y +=-外均相同,故新增7214⨯=个, ③当10x =,10y =时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,这种情况与前面重复,新增0个,综合①②③可得:A B ⊕的元素个数为6314077++=个, 故选:A. 【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题.4．C解析：C 【分析】直接利用新定义判断五个命题的真假即可． 【详解】由P （A ）的定义可知①正确，④正确， 设n （A ）＝n ，则n （P （A ））＝2n ，∴②错误， 若A ∩B ＝∅，则P （A ）∩P （B ）＝{∅}，③不正确； n （A ）﹣n （B ）＝1，即A 中元素比B 中元素多1个， 则n [P （A ）]＝2×n [P （B ）]．⑤正确， 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的子集关系，集合的基本运算，新定义的理解与应用．5．C解析：C 【解析】 【分析】先求出集合B ，比较a 与1的大小关系，结合B A ⊆，可求出实数a 的取值范围. 【详解】解不等式21x ->，即21x -<-或21x ->，解得1x <或3x >，{1B x x ∴=<或}3x >.①当1a =时，{}1A x x =≠，则B A ⊆成立，符合题意； ②当1a <时，{A x x a =<或}1x ≥，B A ⊄，不符合题意；③当1a >时，{1A x x =≤或}x a >，由B A ⊆，可得出3a ≤，此时13a .综上所述，实数a 的取值范围是13a ≤≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合之间关系的判断，涉及分式、绝对值不等式的解法，解分式不等式一般要转化为整式不等式，有参数时，一般要分类讨论．6．B解析：B 【解析】 【分析】求得集合{|1A x x =<-或6}x >，{}|0B x x =>，根据集合运算，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合{}2|560{|1A x x x x x =-->=<-或6}x >，{}{}|21|0x B x x x =>=>，则{}|16R C A x x =-≤≤，所以(){}|06R C A B x x =<≤.故选B ． 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．A解析：A 【分析】首先分析得出2a ba b +>>>，根据集合的运算，即可求解. 【详解】由题意，因为0a b >>，结合实数的性质以及基本不等式，可得2a ba b +>>>，可得{|R C F x x =≤}x a ≥，所以(){|R E C F x b x =<≤，即()R M EC F =故选A. 【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及基本不等式的应用，其中解答中结合实数的性质和基本不等式求得2a ba b +>>>是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．C解析：C 【分析】首先确定B A ⊂，分B φ=和B φ≠两种情况讨论，求a 的取值范围. 【详解】B A B =B A ∴⊂，当B φ=时，332a a a -≥+⇒≤-； 当B φ≠时，3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，312a ∴-<≤- ， 综上：1a ≤-， 故选C. 【点睛】本题考查根据集合的包含关系，求参数取值范围，意在考查分类讨论的思想，属于基础题型.9．B解析：B 【分析】首先根据题意，利用k A 的意义，再根据选项判断. 【详解】A.202045050=⨯+，所以02020A ∈，正确；B.若3a b A +∈，则12,a A b A ∈∈，或21,a A b A ∈∈或03,a A b A ∈∈或30,a A b A ∈∈，故B 不正确；C.()1413-=⨯-+，所以31A -∈，故C 正确；D.4a n k =+，4b m k =+，,m n Z ∈，则()40,a b n m -=-+()n m Z -∈，故0a b A -∈，故D 正确.故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，关键是理解k A 的意义，再将选项中的数写出k A 中的形式，就容易判断选项了.10．B解析：B 【分析】求出集合,A B 后可得A B .【详解】13{|}A x x =≤≤，73{|03210}{|}22B x x x x =<-<=-<<； ∴31,2A B ⎡⎫⎪⎢⎣=⎭⋂，故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解、对数不等式的解及集合的交集运算，解对数不等式时注意真数恒为正，属于中档题.11．A解析：A 【解析】 【分析】先确定集合M,N,再根据M N ⋂=∅确定实数a 的值. 【详解】由题得集合M 表示(32)3y x -=-上除去(2)3，的点集，N 表示恒过(10)-，的直线方程． 根据两集合的交集为空集：M N ⋂=∅.①两直线不平行，则有直线20ax y a ++=过(2)3，，将2x =，代入可得2a =-， ②两直线平行，则有32a-=即6a =-， 综上6a =-或2-， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查集合的化简和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.12．C解析：C 【分析】化简集合，根据集合的并集补集运算即可. 【详解】因为{|lg(3)}{|3}A x y x x x ==+=>-， 所以AB {|3}x x =>-，()R C A B ⋃={|3}x x ≤-，故选C.本题主要考查了集合的并集、补集运算，属于中档题.二、填空题13．②④【分析】①取判断；②设判断；③举例判断；④由可以相同判断；【详解】①当所以集合P 不是幸运集故错误；②设则所以集合P 是幸运集故正确；③如集合为幸运集但不为幸运集如时故错误；④因为集合为幸运集则当时解析：②④ 【分析】①取2x y ==判断；②设122,2x k P y k P =∈=∈判断；③举例12{|2,},{|3,}P x x k k Z P x x k k Z ==∈==∈判断；④由x y 、可以相同判断； 【详解】①当2x y ==，4x y P +=∉，所以集合P 不是幸运集，故错误； ②设122,2x k P y k P =∈=∈，则()()1212122,2,2x y k k A x y k k A xy k k A +=+∈-=-∈=⋅∈，所以集合P 是幸运集，故正确；③如集合12{|2,},{|3,}P x x k k Z P x x k k Z ==∈==∈为幸运集，但12P P 不为幸运集，如2,3x y ==时，125x y P P +=∉⋃，故错误；④因为集合P 为幸运集，则x y P -∈，当x y =时，0x y -=，一定有0P ∈，故正确； 故答案为：②④ 【点睛】关键点点睛：读懂新定义的含义，结合“给定的x y P ∈、（x y 、可以相同），都有x y P +∈，x y P -∈，xy P ∈”，灵活运用举例法.14．【分析】分别根据分式不等式和一元二次不等式的解法求出集合和再根据交集的定义求出【详解】∵集合∴故答案为【点睛】本题考查集合的交集的运算解题时要认真审题注意分式不等式和一元二次不等式的合理运用是基础题解析：(]5,1--. 【分析】分别根据分式不等式和一元二次不等式的解法求出集合A 和B ，再根据交集的定义求出A B ⋂.【详解】 ∵集合2{|0}{|52}5x A x x x x -=<=-<<+， 2{|230}{|13}B x x x x R x x x =--≥∈=≤-≥，或，∴{|51}A B x x ⋂=-<≤-，故答案为(]5,1--．本题考查集合的交集的运算，解题时要认真审题，注意分式不等式和一元二次不等式的合理运用，是基础题.15．【分析】根据得到之间的关系由此确定出可取的的值【详解】因为所以当时；当时若则所以；若则综上可知：的取值集合为故答案为：【点睛】本题考查根据集合间的包含关系求解参数难度一般分析集合间的子集关系时注意分 解析：{}1,0,2-【分析】 根据A B B =得到,A B 之间的关系，由此确定出可取的a 的值. 【详解】因为AB B =，所以B A ⊆，当B =∅时，0a =；当B ≠∅时，若{}2B =-，则22a -=，所以1a =-；若{}1B =，则2a =. 综上可知：a 的取值集合为{}1,0,2-， 故答案为：{}1,0,2-. 【点睛】本题考查根据集合间的包含关系求解参数，难度一般.分析集合间的子集关系时，注意分析空集的存在.16．【分析】若中有且仅有一个元素则方程有且仅有一个解进而求解即可【详解】由题因为中有且仅有一个元素则方程有且仅有一个解当时则当时则由已知得或或或解得故答案为:【点睛】本题考查由交集结果求参数范围考查分类 解析：[1,1]-【分析】 若AB 中有且仅有一个元素,则方程a x x a =+有且仅有一个解,进而求解即可【详解】 由题,因为AB 中有且仅有一个元素,则方程a x x a =+有且仅有一个解,当0x ≥时,ax x a =+,则1a x a =-, 当0x <时,ax x a -=+,则1a x a =-+, 由已知得0101a a a a ⎧≥⎪⎪-⎨⎪-≥⎪+⎩或0101aa a a ⎧<⎪⎪-⎨⎪-<⎪+⎩或101a a a =⎧⎪⎨-<⎪+⎩或011a a a ⎧≥⎪-⎨⎪=-⎩, 解得11a -≤≤,故答案为:[]1,1- 【点睛】本题考查由交集结果求参数范围,考查分类讨论思想和转化思想17．【分析】分类讨论：当时；当时分别讨论中元素为1和-1两种情况依次求解【详解】由题：当时符合题意；当时或所以或1所以实数所有取值的集合为故答案为：【点睛】此题考查通过集合的包含关系求参数的值其中的易漏 解析：{}1,0,1-【分析】分类讨论：当B =∅时，0a =；当B ≠∅时，分别讨论B 中元素为1和-1两种情况依次求解. 【详解】 由题：B A ⊆当0a =时，B =∅符合题意；当0a ≠时，1B A a ⎧⎫=-⊆⎨⎬⎩⎭，11a -=或11a -=-所以，1a =-或1，所以实数a 所有取值的集合为{}1,0,1-. 故答案为：{}1,0,1- 【点睛】此题考查通过集合的包含关系求参数的值，其中的易漏点在于漏掉考虑子集为空集的情况，依次分类讨论即可避免此类问题.18．【分析】由A ＝{y|y ＝x2x ∈R}＝{y|y≥0}B ＝{y|﹣2≤y≤2}先求出A ﹣B ＝{y|y ＞2}B ﹣A ＝{y|﹣2≤y ＜0}再求A △B 的值【详解】∵A ＝{y|y ＝x2x ∈R}＝{y|y≥0} 解析：[)()2,02-+∞，【分析】由A ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}＝{y |y ≥0}，B ＝{y |﹣2≤y ≤2}，先求出A ﹣B ＝{y |y ＞2}，B ﹣A ＝{y |﹣2≤y ＜0}，再求A △B 的值． 【详解】∵A ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}＝{y |y ≥0}， B ＝{y |﹣2≤y ≤2}， ∴A ﹣B ＝{y |y ＞2}， B ﹣A ＝{y |﹣2≤y ＜0}，∴A △B ＝{y |y ＞2}∪{y |﹣2≤y ＜0}， 故答案为：[﹣2，0）∪（2，+∞）． 【点睛】本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意正确理解X ﹣Y ＝{x |x ∈X 且x ∉Y }、X △Y ＝（X ﹣Y ）∪（Y ﹣X ）．19．【分析】由题意分类讨论实数xyz 的符号列表求解所给式子的值然后确定其值组成的集合即可【详解】分类讨论xyz 的符号列表求值如下：x y z 计算结果 大于零 大于零 大于零 1 1 1 1 解析：{}5,1,1,3--【分析】由题意分类讨论实数x ,y ,z 的符号列表求解所给式子的值，然后确定其值组成的集合即可. 【详解】分类讨论x ,y ,z 的符号列表求值如下：据此可得：x y z xy xyz++++的所有可能值组成的集合表示为{}5,1,1,3--. 故答案为：{}5,1,1,3--． 【点睛】本题主要考查分类讨论的数学思想，集合中元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．【分析】由根据集合的交集的运算得到或即可求解【详解】由题意集合因为则满足或解得或即实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了集合的运算以及利用集合的交集求参数其中解答中熟记集合交集运算列出相应 解析：(][),12,-∞-⋃+∞【分析】由A B φ⋂=，根据集合的交集的运算，得到11a -≥或10a +≤，即可求解. 【详解】由题意，集合{|11},{|01}A x a x a B x x =-<<+=<<，因为A B φ⋂=，则满足11a -≥或10a +≤，解得2a ≥或1a ≤-， 即实数a 的取值范围是(][),12,-∞-⋃+∞. 故答案为：(][),12,-∞-⋃+∞. 【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及利用集合的交集求参数，其中解答中熟记集合交集运算，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题21．（1）0a =或1a =；（2）1a ≤；（3）0a =或1a ≥. 【分析】根据集合中元素的个数以及方程的解即可确定a 的取值范围. 【详解】解：（1）若A 中只有一个元素，则当0a =时，原方程变为210x +=，此时12x =-符合题意，当0a ≠时，方程2210ax x ++=为二元一次方程，440a ∆=-=，即1a =， 故当0a =或1a =时，原方程只有一个解； （2）A 中至少有一个元素， 即A 中有一个或两个元素，由0∆>得1a <综合（1）当1a ≤时A 中至少有一个元素； （3）A 中至多有一个元素， 即A 中有一个或没有元素 当44a 0∆=-<， 即1a >时原方程无实数解，结合（1）知当0a =或1a ≥时A 中至多有一个元素. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解集合中的元素与方程的根之间的关系. 22．（1）{}2；（2）()2,+∞ 【分析】(1)先求出A ，代入2a =，求出集合B ，然后直接求出A B ⋂即可.(2)由题意得，A B A ⋃=，可得B A ⊆，然后分类讨论：①当B =∅；②当B ≠∅；然后直接 【详解】（1）由题意得(){{}lg 11A x y x x x ==--=>， 因为a=2，所以{}{}2301,2B x x x a =-+==则{}2A B ⋂=（2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆ ①当B =∅时，由题意得9-4a ＜0.解得94a >； ②当B ≠∅时，由题意得9403121a ⎧⎪-≥⎪⎪>⎨> 解得924a <≤. 综上，a 的取值范围为()2,+∞. 【点睛】本题考查含参集合的交集和并集运算，难点在于不要遗漏空集情况的考虑，属于难题. 23．（1）{|10}A x x =-<<，{|16}B x x =<<；（2）1a -或23a ． 【分析】（1）根据题意，由0a =可得结合A ，解不等式2760x x -+<可得集合B ， （2）根据题意，分A 是否为空集2种情况讨论，求出a 的取值范围，综合即可得答案． 【详解】解：（1）根据题意，集合{|12A x a x a =-<<，}a R ∈， 当0a =时，{|10}A x x =-<<，276016x x x -+<⇒<<，则{|16}B x x =<<，（2）根据题意，若A B ⊆， 分2种情况讨论：①，当12a a -时，即1a -时，A =∅，A B ⊆成立； ②，当12a a -<时，即1a >-时，A ≠∅，若A B ⊆，必有1126a a -⎧⎨⎩，解可得23a ，综合可得a 的取值范围为1a -或23a ． 【点睛】本题考查集合的包含关系的应用，（2）中注意讨论A 为空集，属于基础题． 24．（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）1,2a ⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭.【分析】 （1）先计算UA ，再利用数轴即可列出不等式组，解不等式组即可.（2）先求出A B B =时a 的取值范围，再求其补集即可.（1）∵{}|02A x x =≤≤，∴{|0UA x x =<或}2x >，若()UA B R ⋃=，则320322a aa a -≥⎧⎪⎨⎪-≥⎩，即12a ≤∴实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）若AB B =，则B A ⊆.当B =∅时，则32-<a a 得1,a >当B ≠∅时，若B A ⊆则0322a a ≥⎧⎨-≤⎩，得1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，综上故a 的取值范围为1,2a ⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭，故A B B ≠时的范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的补集，即1,.2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算，属于中档题. 25．（1）M ∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1，2}；（2）m ＝2. 【分析】（1）先求出集合,M N ,再求出M ∩N ，M ∪N ； （2）分析得到2∈N ，解方程4－6＋m ＝0即得解. 【详解】解：（1）由题意得M ＝{2}，当m ＝2时，N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}， 则M ∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1，2}.（2）因为M ∩N ＝M ，所以M ⊆N ，因为M ＝{2}，所以2∈N . 所以2是关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的解， 即4－6＋m ＝0，解得m ＝2. 【点睛】本题主要考查集合的运算，考查根据集合运算的结果求参数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.26．（1）{}|13A B x x ⋂=≤<（2）132a -≤<先求解不等式,可得1|32B x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭, （1）当3a =时,{}|13A x x =≤≤,再由交集的定义求解即可； （2）由A B ⊆,判断a 与集合B 的端点的位置即可. 【详解】由题,因为()210x a x a -++≤,则()()10x a x --≤,因为2103x x +≤-,即()()213030x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩,所以132x -≤<,即集合1|32B x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭, （1）当3a =时,()()310x x --≤,解得13x ≤≤,即{}|13A x x =≤≤, 所以{}|13A B x x ⋂=≤<（2）由题,当1a <时,{}|1A x a x =≤≤；当1a ≥时,{}|1A x x a =≤≤, 因为A B ⊆,所以132a -≤< 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查已知集合的包含关系求参数问题,考查解一元二次不等式和分式不等式.。
河北省石家庄二中2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题
其中 a 、 b 是非零常数，则“ ab 0 ”是“ A B R ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
二、多选题 9．若“ x k 或 x k 3 ”是“ 4 x 1 ”的必要不充分条件，则实数 k 的值可以是（ ）
A． 8
B． 5
C．1
D．4
10．已知 a，b 为正数， a2 4b2 3，则（ ）
A． ab 的最大值为 3 4
B．
1 a2
1 b2
的最小值为
3
7 C． a 1 b2 的最大值为 4
D． 1 1 的最小值为 3 2
ab
2
11．设非空集合 S x m x n 满足：当 x∈S 时，有 x2∈S.给出如下命题，其中真命
题是（ ）
A．若 m=1，则 S x | x 1
C．若 n 1 ，则 2
2 ≤m≤0 2
B．若 m 1 ，则 1 ≤n≤1 24
D．若 n=1，则 1 m 0
12．已知 b 0 ,若对任意的 x 0, ,不等式 ax3 3x2 abx 3b 0 恒成立.则（ ）
A． a<0
A．a a 2 或 a 2
B．a 2 a 2
C．a 2 a 2
D． R
6．已知集合 A， B ，若 A 不是 B 的子集，则下列命题中正确的是（ ）
A．对任意的 a A ，都有 a B
B．对任意的 a B ，都有 a A
C．存在 a0 ，满足 a0 A ，且 a0 B
D．存在 a0 ，满足 a0 A ，且 a0 B
7．已知全集U =A B= x N x 2 10x 0 ， A ðU B 1,3,5, 7 ，则集合 B 的真子集
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2011石家庄二中高一分班考试数学试题一.选择题1．如图所示，函数x y =1和34312+=x y 的图象 相交于（－1，1），（2，2）两点．当21y y >时，x 的取值范围是( )A ．x ＜－1B ．—1＜x ＜2C ．x ＞2D ． x ＜－1或x ＞22．在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是25．如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是14，则原来盒中有白色棋子( ) A ．8颗 B ．6颗 C ．4颗 D ．2颗 3.如图，直径为10的⊙A 经过点)5,0(C 和点)0,0(O ，B 是y 轴右侧⊙A优弧上一点，则OBC ∠的余弦值为( ) A ．21 B ．43C ．23D ． 54 4.某个节日，6位小朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节，圆桌的半径为60cm ，每人离圆桌的距离均为10cm,现在又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人间的距离与6人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧长）相等.设每人向后挪动的距离是xcm ，根据题意，可列方程( ) A.810602610602x)π()π(++=+ B ． 66028)60(2⨯=+ππxC.8)60(26)1060(2⨯+=⨯+x ππ D ．6)60(28)60(2⨯+=⨯-x x ππ5-x 的取值范围是( )A ．x<0B ．x ≥－2C ．－2≤x ≤0D ．－2＜x ＜0第3题图第1题图第6题图6.已知函数))((b x a x y --=（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数b ax y +=的图象可能正确的是( )7. 一个滑轮起重装置如图，滑轮半径cm 10，当重物上升滑轮的一条半径OA 绕轴心O 设绳索与滑轮间没有滑动，π取14.3，结果精确到︒1）A ．︒115B ．︒60C ．︒57D ．︒298.如右图，正方形ABCD 的边长是3cm ，一个边长为1cm 的小正方形沿着正方形ABCD 的边AB →BC →CD →DA →AB 连续地翻转，那么这个小正方形经过连续2011次翻滚后，它的方向是( )9. 如图，直线333+=y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，圆心P 的坐标为)0,1(，圆P 与y 轴相切于点O ，若将圆P 沿x 轴向左移动，当圆P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 10. 如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，4==DC AD ，8=BC ，点N 在BC 上，2=CN ，E 是AB 中点，在AC 上找一点M 使MB EM +的值最小，此时其最小值一定等于( )AA B C D E M NO 第16题图第10题CA ．6B ．8C ．4D ．二.填空题11．分解因式=--+123x x x .12. 已知311=-y x ，则分式=---+yxy x y xy x 2232___________. 13.方程221222-=-+-xx x x 的解为_________. 14. 已知一次函数y ax b =+的图象过第一、二、四象限，且与x 轴交于点（2，0），则关于x 的不等式(1)0a x b -->的解集为_________. 15.下列命题中，真命题有___________.①所有正多边形都相似；②函数3)12(2++=x y ，当1->x 时，y 随x 增大而减小；③圆内接正方形的面积为28cm ，则该圆的周长为cm π4；④若关于x 的不等式组2{--<>a x a x 无解，则1->a .16.在正五边形ABCDE 中，点M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若CN BM =，则=∠BON ___________.A B C D 第17题图 A B C D EFG 第18题图第20题图17.如图 ，在ABC ∆ 中，BC AD BAC ⊥=∠,45 于点D ，若,2,3==CD BD 则该三角形的面积_________.18. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ,,60,90︒︒=∠=∠C ABC,322==AD BC 点E 是BC 边的中点，DEF ∆是等边三角形，DF 交AB 于G ，则BFG ∆的周长 _________.19. 将1、2、3、6按如图方式排列．若规定（m ，n ）表示第m 排从左向右第n 个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是 ．20．如图，一次函数y =－2x 的图象与二次函数y =－x 2+3x 图象的对称轴交于点B . （1）写出点B 的坐标 ；（2）已知点P 是二次函数y =－x 2+3x 图象在y 轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y =－2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点. 若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，则点P 的坐标为 .三.解答题21.阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB 的中点O 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG . 请你参考小明的做法解决下列问题： （1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分111122663263323第1排第2排第3排第4排第5排第19题图图1 图2第22题图A B C D E FGH Q MN P图3 图4割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，分别连结AF 、BG 、CH 、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ 请在图4中探究平行四边形MNPQ 面积的大小（画图并直接写出结果）.22．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米． （1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？23. 矩形OABC 的边OA 长为8，边AB 的长为6，将矩形形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA ′B ′C ′，此时直线OA ′、直线B ′C ′分别与直线BC 相交于P 、Q ．（1）当α=90°时，BPPQ的值是 ．（2）①如图2,当矩形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在射线OC 上时,求BPPQ的值; ②如图3,当矩形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在直线BC 上时,求ΔOPB ′的面积．（3）在矩形OA B C 旋转过程中,当00180α<≤时，是否存在这样的点P 和点Q ，′图1使BP=12BQ ？若存在，请直接写出点P 的位置；若不存在，请说明理由． 24.在直角坐标系xoy 中，已知点P 是反比例函数）＞0(32x xy =图象上一个动点，以P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A ．（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切，设切点为K ，试判断四边形OKP A 的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P 运动到与x 轴相交，设交点为B ，C ．当四边形ABCP 是菱形时：①求出点A ，B ，C 的坐标．②在过A ，B ，C 三点的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的21．若存在，试求出所有满足条件的M 点的坐标，若不存在，试说明理APy =K O图1O ABC A ′B ′C ′PQO ABCA ′B ′C ′P（Q ）图2图3数学试卷答题纸3分，共30分）1. 2. 3. 4. 5. __ 6. 7. 8. 9. 10.4分，共40分）11. 12. 13. 14. 15. _ 16. ____ 17. 18. 19. 20.50分） 分)22.（12分）A B C D E FGH Q MN P图3 图4O ABCA ′B ′C ′PQ 图2O A BCA ′B ′C ′P（Q ）图323.（14分）（1）当α=90°时，BPPQ的值是 ．（2）24. (14分)2011石家庄二中高一分班考试数学试题答案一、选择题（每题3分，共30分）1.D2.C3.C4.A5.C6.D7.C8.B9.B 10.A 二、填空题（每题4分，共40分）11.)1()1(2-+x x ;12.53- ; 13. 1=x ; 14. 1-<x ; 15.③ ;16.︒108 ; 17. 15 ; 18. 33+; 19. 32 ;20. （1）)3-23(， (2分) （2）（2，2）、⎪⎭⎫ ⎝⎛4521，、⎪⎭⎫⎝⎛1611411，、⎪⎭⎫ ⎝⎛2526513， （注：共2分．对一个给0.5分，得2分的要全对，其余有错不倒扣分）三、解答题（共50分） 21. 解：（1）拼接成的平行四边形是 平行四边形ABCD （如图3）． （2）正确画出图形（如图4）平行四边形MNPQ 的面积为25． 22. 解：（1）横向甬道的面积为：()2120180150m 2x x += （2）依题意：2112018028015028082x x x +⨯+-=⨯⨯ 图3DAB CA DG C BEQ H F M N P 图4整理得：21557500x x -+=125150x x ==，（不符合题意，舍去）∴甬道的宽为5米．（3）设建设花坛的总费用为y 万元．()21201800.028******** 5.72y x x x x +⎡⎤=⨯⨯-+-+⎢⎥⎣⎦20.040.5240x x =-+当0.5 6.25220.04b x a =-==⨯时，y 的值最小． 因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，6x ∴=当米时，总费用最少．最少费用为：20.0460.56240238.44⨯-⨯+=万元23. 解：（1）47BP BQ =． （2）①POC B OA ''∠=∠，PCO OA B ''∠=∠90=°，COP A OB ''∴△∽△． CP OC A B OA ∴='''，即668CP =， 92CP ∴=，72BP BC CP =-=．同理B CQ B C O '''△∽△，CQ B C C Q B C '∴='''，即10668CQ -=， 3CQ ∴=，11BQ BC CQ =+=．722BP BQ ∴=．②在OCP △和B A P ''△中，90OPC B PA OCP A OC B A ''∠=∠⎧⎪'∠=∠=⎨⎪''=⎩，°，， (AAS)OCP B A P ''∴△≌△．OP B P '∴=． 设B P x '=，在Rt OCP △中， 222(8)6x x -+=，解得254x =． 125756244OPB S '∴=⨯⨯=△．（3）存在这样的点P 和点Q ，使12BP BQ =． 当点P 在点B左侧时，9PC BC BP ∴=+=+当点P 在点B 右侧时PC BC BP ∴=-257844=-= 24. 解：（1）∵⊙P 分别与两坐标轴相切，∴ P A ⊥OA ，PK ⊥OK ． ∴∠P AO =∠OKP =90°． 又∵∠AOK =90°，∴ ∠P AO =∠OKP =∠AOK =90°． ∴四边形OKP A 是矩形． 又∵OA =OK ，∴四边形OKP A 是正方形．（2）①连接PB ，设点P 的横坐标为x ． 过点P 作PG ⊥BC 于G ． ∵四边形ABCP 为菱形， ∴BC =P A =PB =PC ．∴△PBC 为等边三角形．在Rt △PBG 中，∠PBG =60°，PB =P A =x ，O AP 2y =B C图2GMPG =x32． sin ∠PBG =PBPGx x =． 解之得：x =±2（负值舍去）． ∴ PGP A =B C=2．易知四边形OGP A 是矩形，P A =OG =2，BG =CG =1，∴OB =OG －BG =1，OC =OG +GC =3． ∴ A （0，B （1，0） C （3，0）． 设二次函数解析式为：y =ax 2+bx +c ．据题意得：0930a b c a b c c ⎧++=⎪++=⎨⎪=⎩解之得：a=3， b=3-， c∴二次函数关系式为：233y x x =- ②解法一：设直线BP 的解析式为：y =ux +v ，据题意得：02u v u v +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解之得：uv=-∴直线BP的解析式为：y -．过点A 作直线AM ∥PB ，则可得直线AM的解析式为：y解方程组：233y y x x ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得：110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；227x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 过点C 作直线CM ∥PB ，则可设直线CM的解析式为：y t =+． ∴0=t ．∴t =-∴直线CM的解析式为：y =-．解方程组：233y y x x ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩得：1130x y =⎧⎨=⎩ ；224x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（0，（3，0），（4，（7，． 解法二：∵12PAB PBC PABCS S S ∆∆==，∴A （0，C （3，0）显然满足条件．延长AP 交抛物线于点M ，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM =P A ． 又∵AM ∥BC ， ∴12PBM PBA PABCS S S ∆∆==．∴点M又点M 的横坐标为AM =P A +PM =2+2=4． ∴点M （4点（7，综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，（3，0），（4，（7，．解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=P A．又∵AM∥BC，∴12PBM PBA PABCS S S∆∆==．∴点M2x-+=．解得：10x=（舍），24x=．∴点M的坐标为（4．点（7，综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，（3，0），（4，（7，．。