多项式插值函数和拉格朗日插值法

多项式插值函数和拉格朗日插值法多项式插值是数学分析中一种重要的数值分析方法，它可以用
于构造已知节点上的插值函数，并且插值函数与原函数的误差非
常小。

常用的插值方法有拉格朗日插值法，牛顿插值法等。

本文
将以拉格朗日插值法为基础，介绍多项式插值函数的构造方法。

一、拉格朗日插值法
拉格朗日插值法是一种基于基函数的插值方法，其基本思想是：用已知的函数值插值未知区间的函数值，将插值多项式表示为已
知函数值的线性组合。

假设我们有 $n+1$ 个 $(x_i,y_i)$ 点的函数值，想要在这些点中
构造一个多项式插值函数 $f(x)$，使得它在这些点上取对应的函数值。

那么我们可以将 $f(x)$ 表示为以下形式：
$$
f(x) = \sum_{i=0}^n L_i(x)y_i
$$
其中，$L_i(x)$ 称为拉格朗日基函数，计算公式如下：
$$
L_i(x)=\frac{\prod_{\substack{j=0\\j\neq i}}^n(x-
x_j)}{\prod_{\substack{j=0\\j\neq i}}^n(x_i-x_j)}
$$
基函数 $L_i(x)$ 满足 $L_i(x_j)=\delta_{ij}$，其中
$\delta_{ij}$ 为克罗内克（Kronecker）δ 函数，即当 $i=j$ 时$\delta_{ij}=1$，否则 $\delta_{ij}=0$。

将 $f(x)$ 带入上述式子，可以得到以下插值多项式：
$$
f(x) = \sum_{i=0}^n\frac{\prod_{\substack{j=0\\j\neq i}}^n(x-x_j)}{\prod_{\substack{j=0\\j\neq i}}^n(x_i-x_j)}y_i
$$
二、多项式插值函数构造方法
利用拉格朗日插值法，我们可以在给定的节点上构造多项式插
值函数。

但是，在实际应用中，可能出现以下情况：
1. 数据点间隔过大，导致插值函数过于复杂，甚至出现震荡现象。

2. 数据点数量不足，导致插值函数不够平滑，可能会出现较大
的误差。

因此，我们需要对数据点进行预处理，以获得更好的插值效果。

以下列举了一些常用的构造方法。

1. 均匀剖分
将节点 $x_0<x_1<\cdots<x_n$ 均匀分割成 $n+1$ 份，每份长度
为 $h=\frac{x_n-x_0}{n}$，此时拉格朗日插值函数为次数不超过$n$ 的多项式函数。

但是，均匀剖分在插值节点间距过大时很容易出现震荡情况。

2. 切比雪夫剖分
对于 $n+1$ 个插值节点，切比雪夫剖分将节点选在 $-1\leq x \leq 1$ 的区间上。

此时，每个节点的位置为：
$$
x_k=\cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{2n+2}\right), \quad k=0,1,\cdots,n $$
利用切比雪夫剖分，可以降低插值多项式的次数，避免震荡现象的出现。

3. 权值法
权值法是通过在节点处引入一些权重系数，来控制插值函数在选定的节点处是否光滑的方法。

例如，在 $n+1$ 个插值节点
$x_0,x_1,\cdots,x_n$ 上，令
$\omega_0,\omega_1,\cdots,\omega_n$ 为每个节点处的权重，插值多项式为：
$$
f(x)=\sum_{i=0}^n \omega_i L_i(x)y_i
$$
根据不同的权重选取，可以得到不同的插值效果。

例如，对于越靠近中心的节点，赋予越大的权重，可以得到具有光滑性的插值函数。

而对于边缘的节点，则可以赋予较小的权重，以免插值函数过度光滑而失去数据间的变化。

三、总结
多项式插值是一种比较常用的插值方法，在数据分析、图像处理、数值计算等领域都有广泛应用。

利用拉格朗日插值法，我们可以在已知节点上构造插值多项式，实现数据的插值和拟合。

同时，通过在选定节点处引入权重系数的方法，可以得到更光滑或更准确的插值函数，满足不同应用场景的需求。