拉格朗日多项式插值
三次拉格朗日插值多项式公式
三次拉格朗日插值多项式公式拉格朗日插值多项式公式，这可真是个有点“烧脑”但又超级有趣的数学概念！咱先来说说啥是拉格朗日插值多项式公式。
简单来讲，就是当我们知道一些离散的点的坐标，然后想通过这些点找到一个能大概描述它们规律的多项式函数。
比如说，有三个点 (1, 2)，(3, 4)，(5, 6)，那拉格朗日插值多项式公式就能帮我们找到一个多项式函数，让这三个点都在这个函数上。
我记得有一次给学生讲这个知识点的时候，那场面真是有趣极了。
有个小家伙，瞪着大眼睛，一脸迷茫地看着我，嘴里还嘟囔着：“老师，这怎么比做游戏还难啊！”我笑着跟他说：“别急，咱们一步步来，就像搭积木一样，一块一块地拼起来。
”咱们先来看这公式的形式：\[L(x) = y_1\frac{(x - x_2)(x - x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)} +y_2\frac{(x - x_1)(x - x_3)}{(x_2 - x_1)(x_2 - x_3)} + y_3\frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)}\]这里的 \(x_1\)，\(x_2\)，\(x_3\) 是已知点的横坐标，\(y_1\)，\(y_2\)，\(y_3\) 是对应的纵坐标。
看起来是不是有点复杂？其实啊，咱们把它拆开看，就没那么可怕了。
比如说，先看第一项 \(y_1\frac{(x - x_2)(x - x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 -x_3)}\) 。
它其实就是根据第一个点来构造的一个部分。
咱们再回到最开始的那三个点 (1, 2)，(3, 4)，(5, 6) 。
用这个公式来算一下，先算第一项：\[y_1\frac{(x - x_2)(x - x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)} = 2\frac{(x - 3)(x - 5)}{(1 - 3)(1 - 5)}\]这一项就表示了第一个点对整个多项式的贡献。
拉格朗日插值法计算插值方法与流程
拉格朗日插值法计算插值方法与流程下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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拉格朗日多项式插值法
拉格朗日多项式插值法
拉格朗日多项式插值法是通过构造一个多项式函数来逼近原函
数的一种方法。
它的基本思想是，给定一个函数在不同点上的取值，通过构造一个多项式函数，使其在这些点上与原函数取值相同，从而得到一个逼近函数。
具体地，拉格朗日多项式插值法的步骤如下：
1. 给定一组数据点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)$，其中$x_i$为自变量，$y_i$为因变量。
2. 构造拉格朗日基函数$L_i(x)$，定义为：
$$L_i(x)=prod_{j=1,j
eq i}^nfrac{x-x_j}{x_i-x_j}$$
其中，$i=1,2,...,n$。
这里的基函数$L_i(x)$可以看作是在每个数据点处都为1，而在其他点处都为0的一个函数，具有良好的插值性质。
3. 构造拉格朗日插值多项式$p(x)$，定义为：
$$p(x)=sum_{i=1}^n y_iL_i(x)$$
这个多项式函数就是通过拉格朗日基函数和数据点的取值所构
造出来的逼近函数，它在每个数据点处都与原函数取值相同。
4. 利用插值多项式$p(x)$进行求解。
拉格朗日多项式插值法是一种简单而有效的插值方法，它可以用于求解函数值、导数、积分等问题，并被广泛应用于科学、工程等领域。
- 1 -。
52第二节 拉格朗日插值多项式
数学学院 信息与计算科学系
( t ) f ( t ) Ln ( t ) K ( x ) n1 ( t )
由式
n+1(xk)=0 和式 Ln(xk)=yk( k=0,1,…,n ),以及
Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) K ( x ) n1 ( x )
O
l1 ( x) x1 x
O
x0
x0
x1 x
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n=2时的二次基函数及图形为 ( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) , l1 ( x ) , ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
可知：x0 , x1, , xn 和x 是(t)在区间[a,b]上的n+2个 互异零点, 因此根据罗尔(Rolle)定理, 至少存在一点 =(x) (a,b),使 ( n 1) f ( ) ( n1) 即 K ( x) ( ) 0 ( n 1)! ( n 1) f ( ) 所以 Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n 1 ( x )
1 3 | ( x 2)( x 2.5)( x 4) | 6 8 1 3 | R(3) || f (3) L2 (3) | | (3 2)(3 2.5)(3 4) | 6 8 0.03125
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例4 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487 有6位有效数字。 (1) 用线性插值求sin0.33的近似值； (2) 证明在区间[0.32, 0.34]上用线性插值计算sinx时 至少有4位有效数字. 解 （1）用线性插值 0.33 0.34 sin 0.33 L1 (0.33) 0.314567 0.32 0.34 0.33 0.32 1 0.333487 (0.314567 0.333487) 0.34 0.32 2 0.324027
拉格朗日 插值 区间误差限
拉格朗日插值区间误差限拉格朗日插值方法是一种常用的数值插值方法，用于在给定一组已知数据点的情况下，通过构造一个多项式函数来拟合这些数据点，并在插值区间内求得未知值。
然而，由于插值方法的近似性质，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。
本文将介绍拉格朗日插值法以及其误差限的计算方法。
一、拉格朗日插值法简介拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，其基本思想是通过构造一个满足给定数据点的插值多项式来逼近真实的函数曲线。
具体而言，对于给定的n个数据点(xi, yi)，拉格朗日插值法的插值多项式可以表示为：P(x) = Σ[ yi * Li(x) ]，i=0 to n其中，Li(x)是拉格朗日基函数，定义为：Li(x) = Π[ (x - xj) / (xi - xj) ]，j=0 to n，i ≠ j这样，通过求解插值多项式P(x)，我们可以在插值区间内求得未知值。
二、插值误差限的计算尽管拉格朗日插值法可以通过构造插值多项式来逼近真实函数曲线，但由于插值方法本质上是一种近似方法，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。
我们可以通过计算插值误差限来评估插值的可靠性。
在拉格朗日插值法中，插值误差限可通过以下等式进行估计：| f(x) - P(x) | ≤ M / (n + 1)! * | x - x0 | * | x - x1 | * ... * | x - xn |其中，f(x)是真实函数的值，P(x)是插值多项式的值，M是插值区间上函数f(x)的最大导数的上界，n是插值多项式的次数。
三、拉格朗日插值法的应用示例为了更好地理解拉格朗日插值法及其误差限的计算方法，我们来看一个具体的示例。
假设我们要通过拉格朗日插值法来估计函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]内的某个未知值。
已知在该区间内取了n+1个等间距的数据点(xi, yi)，其中i=0, 1, 2, ..., n。
首先，我们可以根据已知数据点构造拉格朗日插值多项式P(x)，并计算出未知值的近似值。
拉格朗日插值计算
拉格朗日插值计算
拉格朗日插值法是一种用于给定一些点的函数值的方法，通过该
方法可以构建出一个多项式，从而得到一个对于任意自变量值都有良
好表现的函数。
下面是拉格朗日插值计算的步骤：
1. 确定给定数据点中的n个点，其中n为奇数。
2. 根据给定数据点中的自变量x值，构造拉格朗日基函数，并
定义L_i(x)为第i个点在x处的基函数。
3. 定义拉格朗日插值多项式为L(x)，它是n个基函数的线性组合，并通过将每个基函数的因子乘以相应的函数值来计算每个基函数。
4. 计算插值多项式L(x)。
具体来说，L(x)的表达式如下：
L(x)=∑(i=0~n-1){y_i×L_i(x)}/∑(i=0~n-
1){L_i(x)×∏(j=0~n-1, j≠i){(x-x_j)/(x_i-x_j)}}
其中x_i为给定数据点中自变量的第i个值，y_i为给定数据点
中因变量的第i个值。
通过以上步骤，可以得到任意自变量值处的插值函数的值，从而
可以用拉格朗日插值法求解各种问题。
《拉格朗日插值法》课件
根据已知的插值点和插值函数的性质 ，确定多项式的阶数。
求解插值多项式的系数
求系数
通过已知的插值点和构造的插值多项式，求解出多项式的系数。
验证解的正确性
通过已知的插值点和求解出的系数，验证解的正确性。
04
拉格朗日插值法的应用实例
在数值分析中的应用
数值积分
拉格朗日插值法可用于数值积分，通过插值多项式对被积函数进行近似，进而求得积分的近似值。
全局插值能力较弱
拉格朗日插值法主要适用于局部插值，对于全局插值问题可能不太 适用。
06
拉格朗日插值法的改进与发
展
改进方法
提高精度
通过增加插值基函数的数量， 可以更精确地逼近函数，从而
提高插值的精度。
处理异常值
引入稳健性估计方法，对异常 值进行识别和处理，以提高插 值的稳定性。
优化算法
改进算法以提高计算效率，减 少计算量，使得插值过程更加 快速和高效。
图像处理
在图像处理中，可以使用拉格朗日插值法对图像进行放大、缩小或旋转等变换，保持图 像的清晰度和连贯性。
三维模型重建
在三维模型重建中，可以使用拉格朗日插值法对点云数据进行插值，得到连续光滑的三 维模型表面。
05
拉格朗日插值法的优缺点
优点
01
02
03
简单易行
拉格朗日插值法是一种直 观且易于理解的方法，不 需要复杂的数学工具即可 实现。
工程
用于解决各种实际问题，如机 械振动、流体动力学和电路分 析等。
物理学
用于模拟和预测各种物理现象 ，如力学、电磁学和量子力学 等。
02
拉格朗日插值法的基本概念
拉格朗日插值法的定义
拉格朗日插值法理论及误差分析
拉格朗日插值法理论及误差分析首先，我们先来了解一下拉格朗日多项式的基本概念。
对于给定的n个不同的点(xi, yi)，其中xi是x轴上的点，yi是对应的函数值。
拉格朗日多项式的一般形式可以表示为：L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + y2 * l2(x) + ... + yn *ln(x)其中，li(x)是拉格朗日基函数，定义为：li(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) / (xi - x0)(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)使用拉格朗日插值法，我们可以根据已知数据点构造出一个多项式L(x)，该多项式在给定数据点上与原始函数的值完全相同。
求解出多项式L(x)后，我们可以通过求解L(x)的值得到在x处的近似值。
然而，在实际应用中，我们常常关注的是拉格朗日插值法的误差分析。
即，我们需要评估插值多项式与原始函数之间的误差有多大。
f(x) - L(x)，≤ M / (n + 1)! * ，(x - x0)(x - x1)...(x - xn)其中，M是在给定区间上的最大值函数M = max，f^(n+1)(x)。
需要注意的是，这个误差上界取决于插值节点的选择，并且对于特定的节点，可以找到与原始函数完全匹配的插值多项式。
进一步地，如果对于给定的k>n，求得插值多项式L(x)的k阶导数，则该导数也可以与原始函数f(x)的k阶导数具有很大的相似性，从而提供了在估计导数时的一种方法。
总的来说，拉格朗日插值法是一种简单而有效的插值方法，可以对给定数据进行插值和近似，而误差分析能够帮助我们评估插值结果的准确程度。
当然，拉格朗日插值法也有其局限性，例如在大数据集上计算困难，并且在边界条件不明确或节点选择不当时会出现振荡。
因此，在具体应用中，我们需要根据实际情况选择合适的插值方法。
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拉格朗日多项式插值法浅析摘要拉格朗日插值多项式是一种最常见的多项式插值法，也是一种最常用的逼近工具。
“学以致用 ”是每一门学科都致力追求的境界，数学自然也不例外。
下面，探讨拉格朗日插值法的基本原理、如何构造拉格朗日多项式、拉格朗日多项式的误差界，并用 MATLAB 程序来实现这一数学算法的自动化，为复杂的分析研究提供了一条数学算法的捷径。
【关键词】：拉格朗日多项式 算法实现 MATLAB在科学研究和实际的工程设计中，几乎所有的问题都可以用)(x f y =来表示其某种内在规律的数量关系。
但理想化的函数关系在实际工程应用中是很难寻找 的，对于那些没有明显解析式的函数关系表达式则只能通过实验观察的数据，利用多项式对某一函数的进行逼近，使得这个逼近函数能够反映)(x f 的特性，而且利用多项式就可以简便的计算相应的函数值。
例如我们不知道气温随日期变化的具体函数关系，但是我们可以测量一些孤立的日期的气温值，并假定此气温随日期变化的函数满足某一多项式。
这样，利用已经测的数据，应用待定系数法便可以求得一个多项式函数f （x ）。
应用此函数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。
一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越 准确。
当然，构造组合多项式方法比较多，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的分段差分和系数表等等，这里只对拉格朗日多项式插值法进行深入探讨。
一、拉格朗日多项式插值算法基本原理函数)(x f y =在区间[a,b]上有定义,在是[ a,b]上取定的 N + 1个互异节点, 且在这些点处的函数值)(0x f , )(1x f ,…,)(n x f 为已知, 即 yi =f (xi ) , (N i ...1,0=)，若存在一个和)(x f 近似的函数)(x P N ，满足)()(i i N x f x P = (N i ...1,0=) （1）则称 φ(x) 为 f (x) 的一个插值函数, 点i x 为插值节点，（1）称为插值条件, 区间[a,b]称为插值区间, 而误差函数)()(x P x f E N N -=称为插值余项。
即是求一个不超过N 次多项式0111...)(a x a x a x a x P N N N N N ++++=-- (N i ...1,0=)满足 )()(i i N x f x P = (N i ...1,0=)则)(x P N 成为)(x f 的N 次拉格朗日插值多项式。
二、拉格朗日插值多项式的构造1、线性插值当 n = 1时即为线性插值, 这也是代数插值最简单的形式。
根据给定函数)(x f 在两个互异节点1x 、2x 的值)(1x f 、)(2x f ，用线性函数b ax x P +=)(来近似代替)(x f 。
由点斜式直线方程可得:10010)()(x x x x y y y x P ---+= （2） 公式（1）可整理写成：1011011)(x x x x y x x x x y x P --+--= （3） 式（2）的右端的每一项都包含了一个线性因子，记 1010,1)(x x x x x L --=101,1)(x x x x x L --= （4） 很容易看出来，1)()(11,100,1==x L x L ，0)()(01,110,1==x L x L ，因此式（3）中的多项式)(1x p 也给定两个定点：01001)0()(y y y x P =+= 11011)0()(y y y x P =+= （5）式（3）中的项)(0,1x L 和)(1,1x L 称为基于节点0x 和1x 的拉格朗日系数多项式（线性插值基函数）。
利用这种记法，式（2）可以记为和式: )()(,111x L yx P k k k∑== （6）也可以写成如下的矩阵：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111)(0100110110101x x x x x x x x x x x y y x P （7） 2、二次插值当 n = 1时即为线性插值, 这也是常用代数插值。
根据给定函数)(x f 在两个互异节点1x 、2x 、3x 的值)(1x f 、)(2x f 、)(3x f ，构造次数不超过二次的多项式 c bx ax x P ++=22)(来近似代替)(x f 。
使满足二次插值条件)()(2i i x f x P =（2,1,0=i ）。
)(2x p 的参数直接由插值条件决定，并满足下面方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21221121020yc bx ax y c bx ax y c bx ax （6） 仿线性插值，用基函数的方法求解方程组。
求二次式1)(00=x L ，0)(10=x L ，0)(20=x L ，因1x 、2x 是)(0x L 的两个零点，因此设))(()(210x x x x m x L --=，又1)(00=x L ，确定系数c=))((12010x x x x --，从而导出:))(())(()(2010210x x x x x x x x x L ----=(7)同理，构造出条件满足0)(01=x L ，1)(11=x L ，0)(21=x L 的插值多项式))(())(()(2112010x x x x x x x x x L ----=（8）构造出条件满足0)(02=x L ，0)(12=x L ，1)(22=x L 的插值多项式))(())(()(1221020x x x x x x x x x L ----=（9）式（7）（8）（9）中的项)(0x L 、)(1x L 和)(2x L 称为基于节点0x 、1x 和3x 的拉格朗日系数多项式（二次插值基函数）。
利用这种记法，相应的有： )()(,122x L yx P k k k∑== （10）也可以写成如下的矩阵：()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------+-------+---=1))(())(())((1))(())(())((1))(()2)(())((12120210120210120221012021012021*******1010212010212x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y y P3、N 次插值当插值点增加到 N+ 1个时, 就可以通过 N+ 1个不同的已知点(i i y x ,) 来构造一个次数为n 的代数多项式 P (x)。
类似二次插值, 先构造一个特殊的 n 次多项式)(x L i ，使其各点满足=)(0x L k 0)(...)(11====k k k x L x L ，1)(=k k x L ，0)(...)(11===++n k k k x L x L ，因1x 、2x …n x 是)(x L k 的N 个零点，因此设))...()()...()(()(1121n k k k k x x x x x x x x x x m x L -----=+-，又1)(=k k x L ，确定系数))((12010x x x x m k --=，从而导出:))...()()...()(())...()()...()(()(11211121,n k k k k k k n k k k N x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L ----------=+-+- (12)相应的有：)()(,10x L yx P k Nk kN ∑== (13)也可以写成如下的矩阵：()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+++------+++------+++--=------1)()()()()()(1)()()()()()(1)()()()()()(1 (1101101012110)1012010120101010210102101010M ΛΛΛΛΛM ΛM M ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛN N N N N N N N N N N N N N NN N N n N N N N N N x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y y P4、Lagrange 插值余项设],[1b a C f N +∈，且0x ，1x ，2x ，...,N x ∈[a,b]为N+1个节点。
如果x ∈[a,b],则)()()(x E x P x f N N += (14)其中)(x P N 是可以用来逼近)(x f 的多项式：)()()()(,0x L x f x P x f k N Nk k N ∑==≈ (15)误差项)(x E N 形如)!1()())...()(()(110+---=+N c fx x x x x x x E N N N (16)C 为区间],[b a 内的某个值。
三、拉格朗日多项式插值实现流程1、根据初始数据X 的取值求出相应的Y 值；2、建立W*W 的矩阵；3、利用卷积公式计算基于节点的Lagrange 系数矩阵；4、求)()(0,x L y x P Nk k N k N ∑==四、MATLAB 程序代码Lagrange 多项式逼近程序function [C,L]=lagran(X,Y) w=length(X); n=w-1;L=zeros(w,w); for k=1: n+1 V=1;for j=1: n+1 if k~=jV=conv(V,poly(X(j)))/(X(k)-X(j)); end endL(k,:)=V; end C=Y*L;五、实验结果考虑[0.0,1.2]上的曲线)cos()(x x f y ==。
（1）利用节点0x =0.0和1x =1.2构造线性插值多项式)(1x P ； （2）利用节点0x =0.0,1x =0.8和2x =1.8构造线性插值多项式)(2x P ； （3）利用节点0x =0.0,1x =0.4，2x =0.8和3x =1.2构造线性插值多项式)(3x P 。
解答： （1）输入X=[0.0,1.2]; Y=cos(X);[C,L]=lagran(X,Y)输出 C =-0.5314 1.0000L =-0.8333 1.0000 0.8333 0 则一次逼近函数为15314.0)(1+-=x x P 误差函数为)cos(15314.0)(1x x x E -+-= 函数图像和误差函数图像00.51 1.50.40.50.60.70.80.91-1-0.500.51 1.5-0.16-0.14-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.02(2) 输入X=[0.0, 0.6,1.2]; Y=cos(X);[C,L]=lagran(X,Y)输出 C =-0.4004 -0.0508 1.0000 L =1.3889 -2.5000 1.0000 -2.77783.3333 0 1.3889 -0.8333 0则一次逼近函数为10508.04004.0)(22+--=x x x P 误差函数为)cos(10508.04004.0)(22x x x x E -+--= 函数图像和误差函数图像0.510.50.550.60.650.70.750.80.850.90.95100.51-8-6-4-20246810-3(3) 输入X=[0.0,0.4,0.8 1.2]; Y=cos(X);[C,L]=lagran(X,Y)输出 C =0.0922 -0.5651 0.0139 1.0000L =-2.6042 6.2500 -4.5833 1.00007.8125 -15.6250 7.5000 0 -7.8125 12.5000 -3.7500 0 2.6042 -3.1250 0.8333 0 则一次逼近函数为10139.05651.00922.0)(231++-=x x x x P 误差函数为)cos(10139.05651.00922.0)(233x x x x x E -++-=函数图像和误差函数图像0.50.60.70.80.911.11.20.0020.0040.0060.0080.010.0120.014六、实验分析拉格朗日多项式插值模型简单，结构紧凑，是经典的插值法。