拉格朗日插值公式的证明及其应用
拉格朗日插值法在数值分析中的应用研究
拉格朗日插值法在数值分析中的应用研究拉格朗日插值法是一种常用的数值分析方法，广泛应用于函数逼近、数据拟合、信号处理等领域。
本文将探讨拉格朗日插值法的原理、优缺点以及其在数值分析中的具体应用。
一、拉格朗日插值法原理拉格朗日插值法基于一个简单的思想：通过已知的离散数据点，构建一个多项式函数，该函数能够在给定的区间内，以已知数据点为插值节点，对未知数据进行逼近。
插值的多项式函数称为拉格朗日插值多项式。
设已知的离散数据为{(x₀, y₀), (x₁, y₁), ..., (xₙ, yₙ)}，其中xi为已知的节点，yi为相应数据点的函数值。
拉格朗日插值多项式L(x)可以表示为：L(x) = Σ(yᵢ * Li(x))其中Li(x)称为基函数，满足条件：Li(xi) = 1，Li(xj) = 0 (i ≠ j)。
二、拉格朗日插值法的优缺点拉格朗日插值法具有以下几个优点：1. 简单易懂：拉格朗日插值法的原理简单明了，易于理解和实现。
2. 精度较高：在节点较密集的情况下，拉格朗日插值多项式可以准确地逼近原始函数。
3. 适用范围广：拉格朗日插值法适用于各种类型的数据，包括等间隔数据和非等间隔数据。
然而，拉格朗日插值法也存在一些缺点：1. 多项式次数过高时，可能出现龙格现象：在某些情况下，拉格朗日插值多项式次数过高会引起振荡，降低插值的准确性。
2. 对于大规模数据的计算量较大：当节点数量较多时，计算拉格朗日插值多项式的复杂度较高。
三、拉格朗日插值法的应用拉格朗日插值法在数值分析中有着广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 数据拟合：给定一组离散数据点，我们可以使用拉格朗日插值法拟合出一个多项式函数，从而对未知的数据点进行估计。
这在科学实验中常用于实验数据处理和结果预测。
2. 函数逼近：对于已知的函数，我们可以通过设定一组插值节点，使用拉格朗日插值法将这个函数逼近为一个多项式函数。
这在数学建模和函数分析中非常有用。
计算方法拉格朗日插值
计算方法拉格朗日插值拉格朗日插值是一种用于在给定数据点间进行插值的方法，它基于拉格朗日多项式的性质来进行计算。
拉格朗日插值可以用于任何数量的数据点，无论是线性插值还是高阶插值。
拉格朗日插值的基本思想是，使用多个插值点的拉格朗日多项式来逼近给定数据点。
具体而言，对于给定的插值点(x0, y0)，(x1, y1)，...，(xn, yn)，我们需要找到一个多项式P(x)来满足以下条件：P(xi) = yi，其中 i = 0, 1, ..., n。
假设我们要计算的插值点为x，那么根据拉格朗日插值的公式，多项式P(x)可以写为：P(x) = Σyi * Li(x)，其中 i = 0, 1, ..., n。
在上述公式中，Li(x)是拉格朗日基函数，可以用以下公式表示：Li(x) = Π(x - xj) / Π(xi - xj)，其中j ≠ i，i, j = 0,1, ..., n。
现在我们可以根据上述公式进行计算，以下是拉格朗日插值的详细步骤：1. 输入数据点的坐标 (x0, y0)，(x1, y1)，...，(xn, yn) 和待插值点的坐标 x。
2. 对于每个插值点(xi, yi)，计算拉格朗日基函数Li(x)。
3. 对于每个插值点(xi, yi)，计算插值多项式中对应的项 yi *Li(x)。
4.将所有项相加，得到插值多项式P(x)。
5.根据插值多项式P(x)，计算插值点x的函数值，即P(x)=y。
拉格朗日插值的优点是简单易懂，计算过程相对简单，但它也存在一些缺点。
拉格朗日插值的计算复杂度为O(n^2)，这意味着当数据点的数量较多时，计算会变得非常耗时。
此外，拉格朗日插值在边界点附近的插值结果可能会出现较大的误差。
为了减小计算量和提高插值的准确性，还有其他更高效的插值方法，如牛顿插值和样条插值。
这些方法在实际应用中经常被使用，具有更好的性能和更准确的插值结果。
拉格朗日插值定理
拉格朗日插值定理
拉格朗日插值定理是数学中一个重要的插值方法，它可以用来求解给定数据点的函数值。
该定理的核心思想是利用已知数据点构建一个多项式，并通过多项式来预测未知数据点的函数值。
具体来说，拉格朗日插值定理假设已知数据点为(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，并认为这些数据点可以被无限延伸，即可以得到一个n次多项式，即拉格朗日插值多项式。
拉格朗日插值多项式的表达式为：
L(x)=∑i=1n(yi∏j≠i(xxj)/xixj)
其中，∏表示连乘符号，xi表示第i个数据点的横坐标，yi表示第i个数据点的纵坐标。
通过该多项式，我们可以求解未知数据点的函数值。
需要注意的是，拉格朗日插值定理的应用范围受到数据点数量的限制。
当数据点数量很少时，利用该方法可以得到较为准确的预测值，但当数据点数量增加时，多项式的阶数也会增加，从而导致过拟合等问题。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。
- 1 -。
拉格朗日(Lagrange)插值
Rn ( x ) = K ( Rn(x) 至少有 n+1 个根 ( x ) 充分光滑，x( x 0 )(= ( x)1 ) = 0 ，则 充分光滑， ) Π x xi Rolle’s Theorem: 若 i =0 ) 存在 ξ ∈ (x 0≠, x 1 )(i使得 ′(ξ), = 0 。 ( t ) = R ( t ) K ( x ) n ( t x ) …, n 任意固定 x xi = 0, 求导 考察 注意这里是对 t Π n i = ξ 0 ∈ ( x0 , x1 ), ξ1 ∈i ( 0 1 , x2 ) x 推广： 推广：若 ( x0 ) = ( x1 ) = ( x2 ) = 0 1) (x)有 n+2 个不同的根ξx0) …0xn x ξ ∈ (ξ , ( n)+使得 = ′′(,ξ )ξ= 0 ( a , b ) 有 使得 ′(ξ ) = ′( = (ξ x ) 0 x ∈ 0 ξ1 0 1
外插 的实际误差 ≈ 0.01001 利用 x1 = π , x2 = π 4 3 内插 的实际误差 ≈ 0.00596
~ 0.00538 < R1 5π < 0.00660 sin 50° ≈ 0.76008, ° 18
n=2
( x π )( x π ) 1 ( x π )( x π ) 1 ( x π )( x π ) 4 6 6 L2 ( x ) = π π π π3 × + π π π π3 × + π π π π4 × 3 ( 6 4 )( 6 3 ) 2 ( 4 6 )( 4 3 ) 2 ( 3 6 )( 3 4 ) 2
n 求 n 次多项式 Pn ( x ) = a0 + a1 x + L + a n x 使得
拉格朗日插值实验报告
拉格朗日插值实验报告一、实验目的本实验旨在通过实际实验，深入理解拉格朗日插值法的原理和应用，掌握其计算过程和相关技巧。
二、实验原理Pn(x) = ∑ [yi * li(x)]其中，li(x)称为拉格朗日基函数，具体的计算公式如下：li(x) = ∏ [(x-xj)/(xi-xj)] (i≠j)利用拉格朗日插值法可以对数据进行插值计算，从而得到原函数未知的点的函数值。
三、实验步骤1.根据实验要求，选择一组离散的数据点，确保它们在横坐标轴上不共线。
2. 使用拉格朗日插值法计算插值多项式的各个基函数li(x)。
3.对插值多项式进行求和，得到最终的插值多项式Pn(x)。
4.在给定的范围内选择一些未知数据点，利用插值多项式Pn(x)计算其函数值。
5.将实际计算的函数值与原函数值进行对比，评估插值方法的准确性和精确度。
四、实验结果以实验要求给定的数据点为例，具体数据如下：x:1,2,3,4,5,6y:5,19,43,79,127,187根据拉格朗日插值法的计算公式，可以得到以下结果：l0(x)=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)/(-120)l1(x)=(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)/120l2(x)=(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)(x-6)/(-48)l3(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)(x-6)/48l4(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)/(-20)l5(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)/20插值多项式Pn(x)=5*l0(x)+19*l1(x)+43*l2(x)+79*l3(x)+127*l4(x)+187*l5(x)综合以上计算结果，可以对给定范围内的未知数据点进行插值计算，从而得到相应的函数值。
五、实验分析与结论在实际实验中，我们可以利用拉格朗日插值法对任意给定的函数进行逼近计算，从而得到函数在离散数据点之间的近似值。
拉格朗日插值公式的证明及其应用
拉格朗日插值公式的证明及其应用$$P(x) = \sum_{i=0}^{n}f(x_i) \cdot \prod_{j=0 \atop j\neqi}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$其中，$P(x)$是通过已知点$(x_i,f(x_i))$来近似估计函数的多项式，$n$是已知点的数量。
一.证明拉格朗日插值公式：我们首先定义一个函数：$$L_i(x) = \prod_{j=0 \atop j\neq i}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$其中，$L_i(x)$称为拉格朗日基函数。
注意到当$x=x_i$时，除了$L_i(x_i)$外，其他$L_j(x_i)$都等于零。
我们假设存在一个函数$P(x)$满足以下条件：$$P(x) = \sum_{i=0}^{n}f(x_i)L_i(x) \quad \quad (1)$$我们知道$P(x)$为$n$次多项式，同时对所有已知点$(x_i,f(x_i))$有$P(x_i)=f(x_i)$。
现在我们来证明公式(1)中$P(x)$满足以上条件：当$x=x_i$时，我们有：$$P(x_i) = \sum_{i=0}^{n}f(x_i)L_i(x_i) = f(x_i)\cdot 1 \cdot\prod_{j=0 \atop j\neq i}^{n}\frac{x_i-x_i}{x_i-x_j} = f(x_i) $$所以对于已知点$(x_i,f(x_i))$，公式(1)满足条件$P(x_i)=f(x_i)$。
接下来我们证明公式(1)为$n$次多项式。
我们可以注意到，每个$L_i(x)$至多是$n$次多项式，而$f(x_i)$是一个常数。
因此，公式(1)中每一项乘积的次数至多是$n$次。
那么$P(x)$的次数至多也是$n$次。
所以公式(1)中的$P(x)$是一个$n$次多项式。
综上所述，公式(1)满足条件$P(x_i)=f(x_i)$，且$P(x)$为$n$次多项式，所以它是一个满足要求的函数。
拉格朗日插值法 牛顿插值法
拉格朗日插值法牛顿插值法
摘要：
1.插值法的概念和作用
2.拉格朗日插值法原理和应用
3.牛顿插值法原理和应用
4.两种插值法的优缺点比较
正文：
一、插值法的概念和作用
插值法是一种数学方法，通过已知的数据点来预测未知数据点的一种技术。
在科学计算和工程应用中，常常需要根据有限个已知数据点，来估计某个函数在其他点上的值。
插值法正是为了解决这个问题而诞生的。
二、拉格朗日插值法原理和应用
拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日基函数的插值方法。
它的基本原理是：在给定的区间[a, b] 上，选取一个基函数，然后通过求解一组线性方程，得到基函数在各数据点上的值，最后用这些值来近似函数在待求点上的值。
拉格朗日插值法广泛应用于数值分析、工程计算等领域。
三、牛顿插值法原理和应用
牛顿插值法，又称为牛顿前向差分法，是一种基于差分的插值方法。
它的基本原理是：通过对已知数据点的函数值进行差分，然后使用牛顿迭代公式来求解差分后的函数在待求点上的值。
牛顿插值法具有较高的精度，适用于各种函数，特别是对于单调函数和多项式函数，效果尤为显著。
四、两种插值法的优缺点比较
拉格朗日插值法和牛顿插值法各有优缺点。
拉格朗日插值法的优点是适用范围广，可以插值任意类型的函数，但计算过程较为复杂；牛顿插值法的优点是计算简便，精度高，但对于非线性函数或多峰函数，效果可能不佳。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。
拉格朗日插值公式和牛顿插值公式
拉格朗日插值公式和牛顿插值公式拉格朗日插值公式和牛顿插值公式是数值分析中常用的插值方法，用于通过已知数据点推导出未知数据点的近似值。
本文将分别介绍这两个插值方法的原理和应用，并比较它们的特点和优劣。
一、拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式是由法国数学家拉格朗日于18世纪提出的，它通过构造一个多项式来逼近给定的数据点集合。
具体而言，拉格朗日插值多项式的形式为：P(x) = Σ(yi * Li(x))其中，P(x)表示待求的多项式，yi表示已知数据点的函数值，Li(x)称为拉格朗日基函数，它代表了每个数据点的贡献度。
拉格朗日插值公式的优点在于其简单易懂，计算过程相对简单快速。
但是，该方法的缺点是对于较大规模的数据集合，计算量会变得很大，同时当数据点之间的间距不均匀时，插值结果可能出现较大误差。
二、牛顿插值公式牛顿插值公式是由英国数学家牛顿于17世纪提出的，它采用了多项式的差商形式进行插值。
具体而言，牛顿插值多项式的形式为：P(x) = f[x0] + (x - x0)f[x0, x1] + (x - x0)(x - x1)f[x0, x1,x2] + ...其中，f[x0]表示已知数据点的函数值，f[x0, x1]表示x0和x1两个点之间的差商，以此类推。
牛顿插值公式的优点在于可以通过递推的方式计算差商，避免了重复计算，因此对于较大规模的数据集合，计算效率较高。
此外，牛顿插值公式对于不均匀间距的数据点也能够较好地逼近。
然而，牛顿插值公式的缺点在于其计算过程较为繁琐，需要额外计算差商。
三、比较与应用拉格朗日插值公式和牛顿插值公式都是常见的插值方法，它们在实际应用中各有优劣。
下面将对它们进行比较和应用分析。
1. 计算复杂度从计算复杂度的角度来看，牛顿插值公式在计算差商时需要递推计算，每次计算需要O(n)的复杂度，因此总的计算复杂度为O(n^2)。
而拉格朗日插值公式直接计算每个基函数，每次计算都需要O(n)的复杂度，因此总的计算复杂度也为O(n^2)。
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拉格朗日插值公式的证明及其应用摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange 插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中"线性化" (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷. 关键词： 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点()nk k k f x 0,=是准确的，这些数据点所表现的准确函数关系()x f 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线()x P 且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线()x P 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线()x P 是否稳定地收敛于未知函数()x f ，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义，推导及其在解题中的应用 １.线性插值１.１. 线性插值的定义假定已知区间[]1,+k k x x 的端点处的函数值()k k x f y =,()11++=k k x f y ,要求线性插值多项式()x L 1使它满足()k k y x L =1, ()111++=k k y x L ．()x L y 1=的几何意义:通过两点()k k y x ,和()11,++k k y x 的直线，如图１所示，()x L 1的表达式由几何意义直接给出，即()()k kk kk k x x x x y y y x L ---+=++111 (点斜式)， 图１()11111++++--+--=k kk kk k k k y x x x x y x x x x x L (两点式)．y k+1k y2 由两点式方程看出，()x L 1由两个线性函数()11++--=k k k k x x x x x l ,()kk kk x x x x x l --=++11的线性组合得到,其系数分别为k y 及1+k y ,即()()()x l y x l y x L k k k k 111+++=． 显然,()x l k 及()x l k 1+也是插值多项式,在节点k x 及1+k x 上满足条件()1=k k x l ， ()01=+k k x l ， ()0=k k x l ， ()111=++k k x l ．称函数,()x l k （图２）及()x l k 1+（图３）为一次插值基函数或线性插值基函数. 图象为：图2 图3１.２. 线性插值例题例1. 已知,352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===用线性插值计算.解：由题意取000.320.314567x y =⎧⎨=⎩，⎩⎨⎧==333487.034.011y x ，⎩⎨⎧==352274.036.022y x ．若取34.0,32.010==x x 为节点，则线性插值为：()()00101013367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+=≈330365.00167.002.001892.0314567.0=⨯+=.若取36.0,34.021==x x 为节点，则线性插值为：()()11212113367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+=≈()330387.00033.002.0018787.0333487.0=-⨯+=.xk+1kxyk+1k3２.二次插值２.１. 二次插值的定义若2=n 时,假定插值节点为11,,+-k k k x x x 要求二次插值多项式()x L 2,使它满足()j j y x L =2 (1,,1+-=k k k j )()x L y 2=的几何意义:通过三点的()11,--k k y x ,()k k y x , , ()11,++k k y x 的抛物线.例如()x l k 1-，因为它有两个零点1,+k k x x ，故可表示为：()()()11+---=k k k x x x x A x l . 由()111=--k k x l 得()()11+--=k k x x x x A .所以， ()()()()()11111+--+-----=k k k k k k k x x x x x x x x x l .同理()()()()()1111+-+-----=k k k k k k k x x x x x x x x x l ， ()()()()()k k k k k k k x x x x x x x x x l ----=+-+-+11111.函数()x l k 1-, ()x l k ,()x l k 1+称为二次插值基函数或抛物插值基函数. 在区间[]11,+-k k x x 上的图形分别为:利用二次插值基函数()x l k 1-, ()x l k , ()x l k 1+,立即可得到二次插值多项式()()()()x l y x l y x l y x L k k k k k k 11112++--++=()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-===+-===+===+++---.,1 0,1,1,10,1,1, 0,1111111k k j x l x l k k j x l x l k k j x l x l j k k k j k k k j k k kk+14显然,它满足条件()j j y x L =2 ()1,,1+-=k k k j . 即()=x L 21-k y ()()()()1111+--+----k k k k k k x x x x x x x x + k y ()()()()1111+-+-----k k k k k k x x x x x x x x + 1+k y()()()()k k k k k k x x x x x x x x ----+-+-1111２.２. 拉格朗日公式（二次插值）在解题中的应用例2. 已知函数()c ax x f -=2（c a ,为实数 ）。
若 4-≤()11-≤f ，()221≤≤-f ，则()8f 的最大值是多少？提示：由()c ax x f -=2是偶函数，得()()11f f =-.令节点2,1,1210==-=x x x ，由拉格朗日插值公式（抛物插值）得()()()()()()()()()72111281882010210=------=----=x x x x x x x x l()()()()()()()()()272111281882101201--+-+=----=x x x x x x x x l()()()()()()()()()211212181881202102=-+-+=----=x x x x x x x x l()()()()()()()12212112717221127178≤+-=+--=f f f f f f f注：用高中知识很难解决该题，从此题中可知拉格朗日公式在解题中的方便与快捷.例3. 已知()c bx x x f ++=2求证：()()()3,2,1f f f 中至少有一个值不小于21． 证明：根据二次函数的插值公式()()()()()()()()()()()()()()()()3231321232123113121322f x x f x x f x x c bx x x f ----+----+----=++= 比较上式两边2x 的系数，有()()()13212121=+-f f f 假若()()()3,2,1f f f 都小于21，则1=()()()()()()121.212121.2132121213212121=++<++≤+-f f f f f f 得出矛盾.所以，()()()3,2,1f f f 中至少有一个值不小于21注：这是一道全国高中数学联赛题，对高中生有一定难度，但应用高等数学知识来做却易如反掌。
从这方面可看出高等数学的学习对我们中学数学教学的指导有重要作用。
5例4．设c b a ,,为非等腰C ∆AB 的三边长，S 为面积。
求证：()()()()()()214333332S b c a c c c b a b b c a b a a ⨯>--+--+--分析：由不等式左边分母联想到拉格朗日插值公式 证明：构造二次多项式：()()()()c x b x a x x x f ----=3则由拉格朗日插值公式得()()()()()()()()()()()()()()()c x b x a x x c b c a c b x a x b c b a b c x a x a c a b a c x b x ----=----+----+----3333 比较等式两边2x 的系数得()()()()()()p c b a b c a c c c b a b b c a b a a 2333=++=--+--+--由海伦公式得()()()()2733432p c b a p p c p b p a p p S =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-≤---= 因为c b a ,,不全相等，所以，上式等号不成立. 于是， 214321433223S p Sp ⨯>⇒>小结：由此可推广：设n x x x ,,,21 为互不相等的n 个数，则()∑∑∏=-=≤≤≠i nk nj k j j k nkx x x x 11．例5．二次函数()x f 满足()()()92,76,910-==-=-f f f ，则()2008f 的值是多少？ 提示：由拉格朗日插值公式可设()()()()()()()()()()()()()()()()2102621066261062101021061026f x x f x x f x x x f +++++---+--++---+--+=例６．已知,416,39,24===求7的近似值 解：令x y =，列表1).用线性插值多项式三组数据中，可以任取两组数据构造线性插值多项式()x L 1．鉴于插值点所处的位置，应选取6 ()()1100,,,y x y x 构造()x L 1．()()()()()4539523494294911001-+--=⨯--+⨯--=+=x x x x y x l y x l x L 所以 ， ()6.2771=≈L 2).用抛物插值多项式用全部数据构造抛物插值多项式()x L 2()()()()()()()()()()()()()()()()4916416943169491642164941692211002⨯----+⨯----+⨯----=++=x x x x x x y x l y x l y x l x L 所以， ()6286.272538153772=-+=≈L 结论：对比2,1==n n 时，抛物插值更精确．例7.已知()()02≠++=a c bx ax x f 满足()()(),831,325,117≤≤-≤≤--≤≤-f f f 求()4f 的取值范围.分析：解决本题关键是用()()()3,2,1f f f 表示()4f ，用高中知识联立方程组()()()⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a f c b a f c b a f 3932421求出c b a ,,并代入()c b a f ++=4164，从而确定()4f 的取值范围，这样做过程较繁，而使用二次函数的拉格朗日公式却恰到好处.解：由二次拉格朗日公式得()()()()()()()()()()2132113232121--+------=x x f x x f x x f x f 则()()()()332314f f f f +-= 由已知得()38419≤≤-f 3.n 次Lagrange 插值多项式上面对1=n 及2=n 的情况,得到一次与二次插值多项式()x L 1及()x L 2, 用插值基函数表示的方法容易推广到一般情形.下面讨论1+n 个节点n x x x <<< 10的n 次插值多项式()x L n ,假定它满足条件()j j n y x L =()n j ,,1,0 =（１）为了构造()x L n ,先定义n 次插值基函数．7定义：若n 次多项式()x l j ()n j ,,1,0 = 在1+n 个节点n x x x <<< 10上满足条件()⎩⎨⎧≠==j k jk x l k j ,0,1 ()n k j ,,1,0, =就称这1+n 个n 次多项式()()()x l x l x l n ,,,10 为节点n x x x ,,,10 上的n 次插值基函数．类似1=n 及2=n 的推导方法，可得n 次插值基函数为()()()()()()()()()n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=+-+- 110110()n k ,,1,0 =．满足（１）的插值多项式可表示()()∑==nk k k n x l y x L 0（２）由()x l k 的定义知()()jjnk kk j n yx l y x L ==∑=0()n j ,,1,0 =．形如(２)式的插值多项式()x L n 称为Lagrange 插值多项式． 令()()()()n n x x x x x x x w ---=+ 101易求()()()()()n k k k k k k k n x x x x x x x x x w ----=+-+ 110'1则（２）可改写为：()()()()∑=++-=nk k n k n kn x w x x x w y x L 0'11 注意: n 次插值多项式()x L n 通常是次数为n 的多项式,特殊情况次数可能小于n ．二．拉格朗日（Lagrang ）插值公式的证明设已知函数()x f 在1+n 个互异的点n x x x ,,,10 处的函数值()j j y x f =，()n j ,,1,0 =现构造一个次数不超过n 的多项式，使满足()k k n y x L =，n k ,,1,0 =.（３）1.唯一存在性满足插值条件（３）的次数不超过n 次的多项式()()()()()()()n n n x x x x x x a x x x x a x x a a x L ---++--+-+= 10102010 (４)是唯一存在。