拉格朗日插值公式--计算方法
拉格朗日插值法解题步骤
拉格朗日插值法解题步骤：
拉格朗日插值法是一种数学方法，用于通过已知的离散数据点来构造一个多项式，这个多项式可以用来估计或逼近其他未知的数据点。
以下是拉格朗日插值法的解题步骤：
1.确定已知数据点：首先，你需要有一组已知的数据点。
这些数据点是你用来进行插值的已知信息。
2.构造拉格朗日多项式：对于每一个数据点 (xi, yi)，构造一个拉格朗日基函数。
3. 计算拉格朗日多项式的值：将每个已知数据点的横坐标xi 代入拉格朗日多项式L(x)，得到对应的yi 值。
这样，你就可以得到一个新的数据点集，这些点的坐标是(xi, L(xi))。
4. 使用插值多项式进行预测：对于你想要预测的x 值，代入拉格朗日多项式L(x)，即可得到对应的y 值。
这就是拉格朗日插值法的基本步骤。
需要注意的是，这种方法只适用于已知的数据点是离散的情况。
如果数据点是连续变化的，你可能需要使用其他方法，如样条插值等。
拉格朗日插值公式变形
拉格朗日插值公式变形
拉格朗日插值公式的变形可以通过改变变量和系数来实现，下面是一个例子：
拉格朗日插值公式可以表示为$f(k)=\sum_{i=0}^{n}y_i\prod_{j\neq i}(k-x_j)(x_i-x_j)$。
如果我们将$x_i$代入公式，那么只要第$i$项存在（不为$0$），其他项都是$0$（因为其他项的分子一定会存在$x_j-x_j$或$x_i-x_j$，导致分子是$0$），且$\prod_{j\neq i}(k-x_j)(x_i-x_j)$项一定是$1$。
这样我们就得到了一个$n$次多项式。
为了减少计算复杂度，可以采用连续取值的方法，假设$x=1,2,3,\ldots,n$，将这些数代入公式，得到化简版：
$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_i\prod_{j\neq i}(k-j)(i-j)$
分子可以通过预处理前缀积$\prod_{j=1}^{n}(k-j)\prod_{j=1}^{n}(k-j)$得到；分母可以通过预处理阶乘得到。
这样得到了$O(n)$的算法，公式如下：
$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_i\pre{i-1}×suf{i+1}(fac(i)×fac(n-i))$
其中，$\pre{i-1}$和$suf{i+1}$分别表示前缀和后缀运算，$fac(n-i)$表示阶乘运算。
拉格朗日 插值 区间误差限
拉格朗日插值区间误差限拉格朗日插值方法是一种常用的数值插值方法，用于在给定一组已知数据点的情况下，通过构造一个多项式函数来拟合这些数据点，并在插值区间内求得未知值。
然而，由于插值方法的近似性质，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。
本文将介绍拉格朗日插值法以及其误差限的计算方法。
一、拉格朗日插值法简介拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，其基本思想是通过构造一个满足给定数据点的插值多项式来逼近真实的函数曲线。
具体而言，对于给定的n个数据点(xi, yi)，拉格朗日插值法的插值多项式可以表示为：P(x) = Σ[ yi * Li(x) ]，i=0 to n其中，Li(x)是拉格朗日基函数，定义为：Li(x) = Π[ (x - xj) / (xi - xj) ]，j=0 to n，i ≠ j这样，通过求解插值多项式P(x)，我们可以在插值区间内求得未知值。
二、插值误差限的计算尽管拉格朗日插值法可以通过构造插值多项式来逼近真实函数曲线，但由于插值方法本质上是一种近似方法，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。
我们可以通过计算插值误差限来评估插值的可靠性。
在拉格朗日插值法中，插值误差限可通过以下等式进行估计：| f(x) - P(x) | ≤ M / (n + 1)! * | x - x0 | * | x - x1 | * ... * | x - xn |其中，f(x)是真实函数的值，P(x)是插值多项式的值，M是插值区间上函数f(x)的最大导数的上界，n是插值多项式的次数。
三、拉格朗日插值法的应用示例为了更好地理解拉格朗日插值法及其误差限的计算方法，我们来看一个具体的示例。
假设我们要通过拉格朗日插值法来估计函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]内的某个未知值。
已知在该区间内取了n+1个等间距的数据点(xi, yi)，其中i=0, 1, 2, ..., n。
首先，我们可以根据已知数据点构造拉格朗日插值多项式P(x)，并计算出未知值的近似值。
几种常用的插值方法
几种常用的插值方法常用的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值和径向基函数插值等，下面将依次介绍这些方法。
1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在两个已知点之间的变化是线性的。
对于给定的两个点(x0,y0)和(x1,y1)，线性插值公式为：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)其中，y是需要插值的点对应的函数值，x是插值点的横坐标。
2.多项式插值：多项式插值方法通过在给定的一组点上构建一个多项式函数来进行插值。
常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
- 拉格朗日插值通过构建一个n次多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为：y = Σ(yk * lk(x))其中，lk(x)是拉格朗日基函数，计算公式为：lk(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，(j ≠ i)- 牛顿插值通过构建一个n次插值多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值公式为：y = Σ(Π(x - xj) / Π(xi - xj) * finDiff(yj))其中，finDiff(yj)是每个节点的差商，计算公式为：finDiff(yj) = (ΣΠ(xj - xi) * yj) / ΣΠ(xi - xj)，(i ≠ j) 3.样条插值：样条插值方法通过使用分段函数来逼近给定的一组点。
常用的样条插值方法有线性样条插值和三次样条插值。
-线性样条插值在每两个相邻点之间使用线性函数进行插值，保证了插值函数的一阶导数是连续的。
-三次样条插值在每两个相邻点之间使用三次多项式进行插值，保证了插值函数的一阶和二阶导数都是连续的。
三次样条插值具有良好的平滑性和精度。
4.径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于局部函数的插值方法，它假设函数值仅取决于与插值点的距离。
拉格朗日插值法总结
拉格朗日插值法总结拉格朗日插值法2008-05-12 16：44一、问题的背景在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。
但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)。
或者f(x)的函数f(x)表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算；希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。
二、插值问题的数学提法：已知函数在n+1个点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)求一个简单函数y=P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)。
即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点：(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn),同时在其它x∈[a,b]上要估计误差：R(x)=f(x)-P(x)其中P(x)为f(x)的插值函数，x0,x1,…,xn称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。
若P(x)是次数不超过n的代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。
若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。
若P(x)是三角多项式，就称三角插值。
三、插值方法面临的几个问题第一个问题：根据实际问题选择恰当的函数类。
本章我们选择代数多项式类，其原因有两个：(1)代数多项式类简单；微分、积分运算易于实行；(2)根据著名的Weierstrass逼近定理，任何连续的函数都可以用代数多项式作任意精确的逼近。
第二个问题：构造插值函数P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)与此相关的问题是：插值问题是否可解(存在性的问题)，如果有解,是否唯一?(唯一性的问题)第三个问题：插值误差R(x)=f(x)-P(x)的估计问题。
与此相关的问题是插值过程的收敛性的问题。
拉格朗日插值法1
y2=lagrage(x,y,2PI/9) ;
输出y2=0.6380
均差与牛顿插值多项式
1、1）定义称 为函数 关于 的一阶均差， 称为 的二阶均差。一般的，称 为 的k阶均差（均差也称为差商）。
2）牛顿插值公式推导
根据均差定义，把x看成[a,b]上一点，则有
把后一式带入前一式可得
最后一项中，均差部分含有x，为余项部分，记为
2、例题
设数据 由表给出，表中第4行为 ，可以看出数学模型为 ，用最小二乘法确定a和b。
i
0
1
2
3
4
1.00
5.10
1.629
1.25
5.79
1.756
1.50
6.53
1.876
1.75
7.45
2.008
2.00
8.46
2.135
解：根据给定数据 描图可确定拟合曲线方程为 ，它不是线性形式。两边取对数得 ，若令 ，则得 。为确定A，b，先将 转化为 ，数据见上表。
Function yi=lagrage(x,y,xi)
n=length(x);
S=0;
For k=1:n
t=1;
for(j=1:n)
if j~=k
t=t*(xi-yi)/x(k)-x(j);
end
end
S=t*y(k)+s;
end;
yi=s;
3、例题
1)计算
x
100
121
144
y
10
11
12
解：
L2(x)= +
end
end
for i=1:n;z=1
拉格朗日插值与多阶多项式
拉格朗日插值与多阶多项式在数学领域中，拉格朗日插值是一种常用的插值方法，用于通过已知的数据点构造一个多项式函数，以逼近未知函数。
这种方法以法国数学家约瑟夫·拉格朗日的名字命名，他在18世纪提出了这一概念。
拉格朗日插值的基本思想是通过构造一个多项式函数，使其在已知数据点处与未知函数相等。
这个多项式函数被称为拉格朗日插值多项式。
它的形式为：P(x) = Σ yi * Li(x)其中，P(x)是拉格朗日插值多项式，yi是已知数据点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。
拉格朗日基函数Li(x)的定义如下：Li(x) = Π (x - xj) / (xi - xj)其中，i ≠ j，xi和xj是已知数据点的横坐标。
通过拉格朗日插值，我们可以在已知数据点处构造一个多项式函数，从而近似地描述未知函数的行为。
这个多项式函数的阶数取决于已知数据点的个数。
如果已知数据点的个数为n+1，那么拉格朗日插值多项式的最高阶数为n。
多阶多项式是指多项式函数的阶数大于1的情况。
在拉格朗日插值中，我们可以通过增加已知数据点的个数来构造更高阶的多项式函数，从而提高近似的精度。
然而，需要注意的是，随着阶数的增加，多项式函数的复杂性也会增加。
高阶多项式函数可能会在数据点之间产生震荡现象，这被称为龙格现象。
为了避免这种情况，我们需要谨慎选择数据点，以及适当控制多项式函数的阶数。
除了拉格朗日插值，还有其他插值方法，例如牛顿插值和埃尔米特插值。
这些方法都有各自的特点和适用范围。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的需求来选择合适的插值方法。
总结起来，拉格朗日插值是一种常用的插值方法，通过构造多项式函数来近似描述未知函数的行为。
多阶多项式可以提高近似的精度，但需要注意控制阶数，以避免龙格现象的出现。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的需求来选择合适的插值方法。
通过插值方法，我们可以更好地理解和分析数据，从而为问题的解决提供有力的支持。
数值积分的插值求积公式
数值积分的插值求积公式数值积分的插值求积公式是一种常见的数值计算方法，它通过建立一个插值多项式来逼近被积函数，在一定的积分区间内进行积分近似计算。
插值多项式通过给定的数据点来拟合函数曲线，从而实现对被积函数的逼近。
下面将介绍几种常用的数值积分的插值求积公式。
1. 拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式是最简单的插值方法之一，它通过已知的数据点构造一个一维Lagrange插值多项式，从而得到近似积分值。
对于给定的n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值多项式L(x)可以表示为：L(x) = y0 * L0(x) + y1 * L1(x) + ... + yn * Ln(x)其中Li(x)是关于x的n次多项式，满足Li(xj) = δij，即在第i 个点处取值为1，其它点处取值为0。
对于有限积分问题，可以通过计算插值多项式的积分来近似求解。
2. 牛顿插值公式牛顿插值公式是一种高效的插值方法，其基本思想是通过差商来递推计算插值多项式。
对于给定的n+1个数据点(x0, y0), (x1,y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值多项式N(x)可以表示为：N(x) = y0 + (x - x0) * f[x0, x1] + (x - x0)(x - x1) * f[x0, x1, x2] + ... + (x - x0)(x - x1)...(x - xn-1) * f[x0, x1, ..., xn]其中f[xi, xj, ..., xk]表示差商的计算，它可以递归地定义为：f[xi, xj] = (f[xj] - f[xi]) / (xj - xi)f[xi, xj, ..., xk] = (f[xj, ..., xk] - f[xi, ..., xj-1]) / (xk - xi)通过计算牛顿插值多项式的积分，可以得到数值积分的近似解。
3. 辛普森插值公式辛普森插值公式是一种基于二次多项式拟合的插值方法，在区间[a, b]上将被积函数近似表示为三个节点上的二次多项式。
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容易看出这样构造出的p2(x)满足条件（6）。因 而他就是问题4的解
2011-6-1 考试答卷 7
例3 利用100,121和144的开方值 求 115 解：用抛物插值，这里 x0=100,y0=10,x1=121,y1=11,x2=1 44,y2=12.令x=115代人式（8）， 求得 115 近似值为10.7228.同精确值比较， 这里得到有4位有效数字的结果。
1 0 1 0 1 0 1 1 0
0
x
0
− x
1
1
x
1
−
x
0
则有： p1(x)=y0l0(x)+y1l1(x) （5） 注意，这里的l0(x)和l1(x)分别可以看做是满足条件 l0(x0)=1 , l0(x1)=0 l1(x1)=1 , l1(x0)=0 的插值多项式.这两个特殊的插值多项式称作问题3的插值基函 插值基函 数 （参考图1-1、1-2）. 式（5）表明，插值问题3的解p1(x)可以通过插值基函数l0(x)和 l1(x)组合得出，且组合系数恰为所给数据y0,y1.
l0(x)=c(x-x1)(x-x2) 再利用式（7）剩下的一个条件 l0(x0)=1确定系数c，结果得出
l0 ( x ) = ( x − x 0 )( x − x 2 ) ( x 0 − x 1 )( x 0 − x 2 )
类似的可以构造出满足条件： l1(x1)=1,l1(x0)=l1(x2)=0 2011-6-1 l2(x2)=1,l2(x0)=l2(x1)=0。 考试答卷
6
的插值多项式l1(x)与l2(x),其表达式分别为：
l1 ( x ) = ( x − x 0 )( x − x 2 ) ( x − x 0 )( x − x 1 ) , l2 ( x ) = ( x 1 − x 0 )( x 2 − x 1 ) ( x 2 − x 0 )( x 2 − x 1 )
n n k =0 k k i i
∏ 这里∏的含义是累乘， 表示乘积遍取下标j 从0到除k以外的全部值. 式（10）称作拉格朗日插值公式. 利用插值基函数容易得出问题2的解
j= 0 j≠ k
n
2011-6-1
考试答卷
10
开始 输入x 输入 (xi ,yi ) , i=0,1,2,…,n 0→y 0→k 1→t
§1.2 拉格朗日插值公式
------《数值分析简明教程》
1、线性插值 2、抛物插值 3、一般情况
2011-6-1 考试答卷 1
1、线性插值
首先考察线性插值的简单情形。
表示通过两点(x0,y0),(x1,y1)的直线。因此，一次插 值亦称线性插值。 上述简单的线性插值是人们所熟悉的，它的解p1(x) y −y (x − x ) p1( x) = y + 可表为下列点斜式 x −x 例2 已知 100 = 10 , 121 = 11 , 求 y = 115 (3) 解：这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11.令 x=115代入（3）,求得y=10.71428，这个结果有3 位有效数字（试与例1的结果相比较）. 2011-6-1 2 考试答卷
0, j ≠ k lk ( x j ) = δ kj = 1, j = k (9)
这表明除xk以外的所有节点都是lk(x)的零 n 点故
lk ( x ) = c
∏
(x − x j)
考试答卷
j= 0 j≠ k
2011-6-1
9
即pn(x)满足插值条件（2）.
该公式的形式对称，结构紧凑， n n n x − xj p n ( x ) = ∑ y k lk ( x ) = ∑ (∏ ) yk (10 ) 因而容易编写计算程序.事实上， k =0 k =0 j=0 xk − x j j≠ k 式（10）的逻辑结构上表现为二 事实上由于每个插值基函数lk(x)都是n次式， 重循环.内循环（j循环），然后 pn(x)的次数≤n，又据（9）式有 再通过外循环（k循环）累加得出 p (x) = ∑ y l (x ) = y 插值结果y.图1-3是拉格朗日方法 的算法图框.
x − xj t⇒ t xk − xj j = 0, L ,k − 1, k + 1, L ,n
y + t·yk →y
≠
K=n? = 输出y 输出
k+1→k
图1-3
2011-6-1 考试答卷 结束 11
2011-6-1
考试答卷
12
2011-6-1
考试答卷
5
为了得出插值公式p 先解决一个特殊的二次插值问题： 为了得出插值公式 2(x),先解决一个特殊的二次插值问题： 先解决一个特殊的二次插值问题 求作二次式l 求作二次式 0(x)，使满足条件 ， l0(x)=1 , l0(x1)=l0(x2)=0 （7） ） 这个问题是容易求解的，事实上，由式（ ） 这个问题是容易求解的，事实上，由式（7）的后两个条 的两个零点， 件知， 件知，x1,x2是l0(x)的两个零点，因而 的两个零点
2011-6-1
考试答卷
8
3.一般情况
进一步求解一般形式的问题2.仿照线性 进一步求解一般形式的问题 仿照线性 插值和抛物插值所采用的方法， 插值和抛物插值所采用的方法，仍从构 造所谓插值基函数入手.这里的插值基函 造所谓插值基函数入手 这里的插值基函 次多项式， 数lk(x)=0,1,2,…,n)是n次多项式，且满 是 次多项式 足条件
这样构造出的l0(x),l1(x)和l2(x)称作问题4的插值 基函数 y 设取已知数据y0,y1,y2作为组合系数，将插值基 函数l0(x),l1(x),l2(x)组合得：
(x−x0)(x−x2 ) (x−x0)(x−x1) (x−x1)(x−x2) p2(x) = y0 − y1 − y2 (x0 −x1)(x0 −x2) (x1 −x0)(x1 −x2) (x2 −x0)(x2 −x1) (8)
1 1 0 0 0 0
问题3 求作一次式p1(x)，使满足条 件：p1(x0)=y0,p1(x1)=y1 从几何图形上看，y=p1(x)
我们知道，线性公式（3）亦可表示为下列对称式 x − x x − x p ( x ) = y + y （4） x − x x − x x − x 0 若令： l ( x ) = x − x 1 , l ( x ) =
2011-6-1 考试答卷 3
y
1
l0(x)
1 l1(x)
0
0 x0 图 1-1 x1 x x0 图 1-2
x1
2011-6-1
考试答卷
4
2、抛物插值
线性插值仅仅利用两个节点上的信息，精 确度自然很低，为了提高精确度，进一步 考察下述二次插值。
问题4 求作二次式p2(x),使满足条件
p2(x0)=y0, p2(x1)=y1, p2(x2)=y2 (6) 二次插值的几何解释是，用通过三点 (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)的抛物线y=p2(x)来近 似所考察的曲线y=f(x),因此这类插值亦称 为抛物插值。