插值算法之拉格朗日插值
拉格朗日插值法总结
拉格朗日插值法总结拉格朗日插值法2008-05-12 16：44一、问题的背景在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。
但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)。
或者f(x)的函数f(x)表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算；希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。
二、插值问题的数学提法：已知函数在n+1个点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)求一个简单函数y=P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)。
即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点：(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn),同时在其它x∈[a,b]上要估计误差：R(x)=f(x)-P(x)其中P(x)为f(x)的插值函数，x0,x1,…,xn称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。
若P(x)是次数不超过n的代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。
若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。
若P(x)是三角多项式，就称三角插值。
三、插值方法面临的几个问题第一个问题：根据实际问题选择恰当的函数类。
本章我们选择代数多项式类，其原因有两个：(1)代数多项式类简单；微分、积分运算易于实行；(2)根据著名的Weierstrass逼近定理，任何连续的函数都可以用代数多项式作任意精确的逼近。
第二个问题：构造插值函数P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)与此相关的问题是：插值问题是否可解(存在性的问题)，如果有解,是否唯一?(唯一性的问题)第三个问题：插值误差R(x)=f(x)-P(x)的估计问题。
与此相关的问题是插值过程的收敛性的问题。
2.2拉格朗日插值
j 0,1,2 ,, n
n+1次多项式
令 n1 ( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
则 n1 ( x j ) ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
其中
n1 ( x) ( x xi ) l j (x) n1 ( x j )(x x j ) i 0 ( x j xi )
n i j
Ln ( x) 为 y f ( x) 的Lagrange 插值多项式
称 l j ( x) (i 0,1,, n) 为n次Lagrange 插值基函数
例1:
已知f ( x)满足f (144) 12, f (169) 13, f (225) 15
作f ( x)的二次Lagrange 插值多项式 并求f (175)的近似值 , .
解: 设x0 144, x1 169, x2 225 y0 12, y1 13, y2 15
Pn ( x) a0l0 ( x) a1l1 ( x) anln ( x)
其中a0、a1、 、an为待定参数
令
即 可得
Pn ( xi ) f ( xi ) yi
i 0,1,2 ,, n i 0,1,2 ,, n
a l (x )
j 0 j j i
n
yi
Pn ( xi ) yi i 0,1,2 ,, n
且满足
即多项式Pn ( x)的系数a0 , a1 , a2 ,, an满足线性方程组
2 n a0 a1 x0 a2 x0 an x0 y0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 a a x a x2 a xn y 0 1 n 2 n n n n
拉格朗日插值函数名词解释
拉格朗日插值函数名词解释
拉格朗日插值函数是一种常见的数据插值方法，它是由法国数学家特罗布拉格朗日（Truvé de la Grange）提出的。
拉格朗日插值采用多项式函数对指定的输入范围内的数据点进行插值，以解决插值问题。
拉格朗日插值函数的基本理念是，给定一定数量的指定范围内的点，构造一个多项式，使其能够精确地经过这些点，以实现相应的插值操作。
拉格朗日插值函数的主要思想是，在指定的范围内，对所给定的数据点以二次多项式的形式进行插值，即建立一个类似二次曲线的函数，使其能够精确经过指定范围内的两个定点。
首先，拉格朗日插值函数用三次多项式去拟合一只定点，而拉格朗日插值函数也可以用二次多项式来拟合两个定点，以克服一次拟合多点插值时函数值极值的缺点。
拉格朗日插值函数将所有给定点进行拟合，使得这些点在插值的范围内的精度最高。
拉格朗日插值函数的应用极为广泛，它可以求解积分、求解方程、近似函数拟合、数据分析等问题。
例如，拉格朗日插值函数可以用于分析某个物质在不同压力状态下的体积改变。
另外，拉格朗日插值函数也可以用于计算某个函数的极值或极点。
拉格朗日插值函数还可以用于拟合未知函数、研究复杂多变量函数，以及解决曲线和曲面积分等数学问题。
总而言之，拉格朗日插值函数是一种广泛应用的数据插值方法，它能够很好地拟合指定范围内的数据点，为计算极值和解决一些复杂
的数学问题提供了有效的方法。
《拉格朗日插值》PPT课件
个互不相同的点处的函数值 y f (x ),i 0,1, ,，n 为求
i
i
y f (x的) 近似式，自然应当选 n 次多项式
Pn (x) a0 a1x a2x2 L an xn
使 P (x) 满足条件 n
Pn(xi ) yi , i 0, 1,L ,n
f (x)称为被插函数, pn ( x)称插值多项式,条件(3 3)称插值条件, x0,x1,L , xn称插值节点 o这种求函数近似式的方法称为插值法 o 几何上,其实质是用通过n 1个点( x1, y1)(i 0,1,L , n)的多项式曲 线y pn (x),当作曲线y f ( x)的近似曲线.如图所示 o
14
一次Lagrange插值多项式(2)
一次插值多项式
15
一次Lagrange插值多项式(3)
由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
它也可变形为
显然有：
16
一次Lagrange插值多项式(4)
记
l0 (x)
x x1 x0 x1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
可以看出
L1 ( x)
(0 , 1 ) 使得 ( ) 0
28
N次插值多项式8
注：
通常不能确定 x , 而是估计 f (n1)( x) Mn1 , x(a,b)
将
M n1 (n 1)!
n i0
|
x
xi
|
作为误差估计上限。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时，f (n1)( x) 0 ,
L2 (x) 为插值函数。 用基函数的方法获得 L2 (x) L2 (x) y0l0 (x) y1l1(x) y2l2 (x)
常见的插值方法及其原理
常见的插值方法及其原理1. 拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation）拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，通过n+1个已知点的函数值来构造一个n次多项式。
具体的计算公式如下：L(x) = Σ[yk * lk(x)], k=0 to n其中yk为已知点（xi, yi）的函数值，lk(x)为拉格朗日基函数，定义为：lk(x) = Π[(x - xj)/(xi - xj)], j=0 to n, j≠k拉格朗日插值法的原理是通过构造一个通过已知点的n次多项式，来代替未知函数的近似值。
利用拉格朗日基函数的性质，可以保证插值多项式通过已知点。
2. 牛顿插值法（Newton Interpolation）牛顿插值法是一种递推的插值方法，通过已知点的函数值和差商来逐步构造插值多项式。
差商的定义如下：f[x0]=y0f[x1]=(f[x1]-f[x0])/(x1-x0)f[x2]=(f[x2]-f[x1])/(x2-x1)...f[xn] = (f[xn] - f[xn-1]) / (xn - xn-1)利用差商的定义，可以得到牛顿插值多项式的表达式：N(x) = f[x0] + f[x0, x1](x-x0) + f[x0, x1, x2](x-x0)(x-x1) + ... + f[x0, x1, ..., xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn)牛顿插值法的原理是通过递推计算差商来得到插值多项式。
通过使用差商来处理已知点的函数值差异，可以得到更高次的插值多项式。
3. 样条插值法（Spline Interpolation）样条插值法是一种基于分段低次插值函数的插值方法，常用的是三次样条插值。
样条插值法通过寻找一组分段函数，使得满足原函数的插值条件，并要求函数在每个插值点处的函数值、一阶导数和二阶导数连续。
这样可以保证插值函数在每个插值点处的平滑性。
三次样条插值法的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，在每个小区间内使用三次多项式进行插值。
拉格朗日(Lagrange)插值
p2(7) =
(1–4)(1–9)
*1 + (4–1)(4–9)
*2
(7–1)(7–4)
+ (9–1)(9–4) * 3
= 2.7
例5.4 已知函数y=f(x)在节点上满足
x x0 x1 x2
y y0 y1 y2
求二次多项式 p(x) = a0 + a1x + a2x2
使之满足 p(xi) = yi
li (x的) 插值
lk (x0 ) 0,,lk (xk1) 0,lk (xk ) 1,lk (xk1 ) 0,,lk (xn ) 0
即
lk
(xi )
ki
1 0
(i k) (i k)
由条件 lk (xi ) 0 ( i k)知, x0 , x1,, xk1, xk1,, xn
都是n次 lk (x) 的零点,故可设
l0 (x)
再由另一条件 l0 (x0
c(x
) 1
x1 )( x x2
确定系数
)
c
(x0
1 x1)( x0
x2
)
从而导出
l0 (x)
(x (x0
x1)( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
类似地可以构造出满足条件： l1(x1) 1, l1(x0 ) 0,
的插值多项式
l1 ( x)
lk (x)
j0 jk
n
x xj
n
(xk x j )
j0 xk x j
jk
j0 jk
称 lk (x) 为关于基点 xi 的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
以n+1个n次基本插值多项式 lk (x)(k 0,1,, n) 为基础,就能直接写出满足插值条件
《拉格朗日插值法》课件
根据已知的插值点和插值函数的性质 ，确定多项式的阶数。
求解插值多项式的系数
求系数
通过已知的插值点和构造的插值多项式，求解出多项式的系数。
验证解的正确性
通过已知的插值点和求解出的系数，验证解的正确性。
04
拉格朗日插值法的应用实例
在数值分析中的应用
数值积分
拉格朗日插值法可用于数值积分，通过插值多项式对被积函数进行近似，进而求得积分的近似值。
全局插值能力较弱
拉格朗日插值法主要适用于局部插值，对于全局插值问题可能不太 适用。
06
拉格朗日插值法的改进与发
展
改进方法
提高精度
通过增加插值基函数的数量， 可以更精确地逼近函数，从而
提高插值的精度。
处理异常值
引入稳健性估计方法，对异常 值进行识别和处理，以提高插 值的稳定性。
优化算法
改进算法以提高计算效率，减 少计算量，使得插值过程更加 快速和高效。
图像处理
在图像处理中，可以使用拉格朗日插值法对图像进行放大、缩小或旋转等变换，保持图 像的清晰度和连贯性。
三维模型重建
在三维模型重建中，可以使用拉格朗日插值法对点云数据进行插值，得到连续光滑的三 维模型表面。
05
拉格朗日插值法的优缺点
优点
01
02
03
简单易行
拉格朗日插值法是一种直 观且易于理解的方法，不 需要复杂的数学工具即可 实现。
工程
用于解决各种实际问题，如机 械振动、流体动力学和电路分 析等。
物理学
用于模拟和预测各种物理现象 ，如力学、电磁学和量子力学 等。
02
拉格朗日插值法的基本概念
拉格朗日插值法的定义
拉格朗日插值算法描述
拉格朗日插值算法描述一、引言插值算法是数学中用于填充函数在某些离散点之间的“洞”或“空白”的一种方法。
其中，拉格朗日插值算法是最著名和最早的插值方法之一。
它是由意大利数学家约瑟夫·拉格朗日于1795年提出的，用于解决多项式插值问题。
拉格朗日插值算法在数值分析、计算几何、信号处理和数值预测等领域有广泛的应用。
二、算法简介拉格朗日插值算法是一种通过已知的离散数据点构造一个多项式来逼近未知函数的方法。
该算法的基本思想是，对于一组已知的离散数据点，构造一个次数最低的多项式，使得这个多项式满足给定的数据点。
该算法的优点是简单易懂，且具有较高的计算效率。
三、算法步骤1.初始化：选择一组已知的离散数据点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，并设置一个初始值为 yp(x) = yn，其中 n 是数据点的个数。
2.迭代计算：对于 i = n-1, n-2, ..., 0，进行以下步骤：3. a. 计算拉格朗日基本多项式 Li(x)：如果 i = 0，则 Li(x) = 1；否则，Li(x) = (xi+1 - x) / (xi+1 - xi) 当 x ≠ xi 且 i = 0,1,...,n-1，且 Li(xi) = 0。
4. b. 更新插值多项式：yp(x) = yp(x) + Li(x) * [yn - yp(xn)] 当 x ≠ xi 且 i = 0,1,...,n-1。
5.返回结果：最终得到的插值多项式即为所求的结果。
四、算法特点1.高效性：与牛顿插值算法相比，拉格朗日插值算法的计算复杂性更低。
因为牛顿法的计算复杂性为O(n^2)，而拉格朗日法的计算复杂性为O(n^3)。
2.稳定性：拉格朗日插值算法具有一定的数值稳定性，特别是在处理病态问题时表现较好。
这是因为拉格朗日插值多项式的零点与原始数据点完全一致，从而在处理具有较多重复数据点的情况时能够保持良好的数值稳定性。
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记一下拉格朗日插值公式的推导和一些要点【这里说的都是二维插值，多维上的以此类推】
1、插值问题：在做实验的过程中，往往得到一堆离散的数据，现在想用数学公式模拟这堆离散数据。
怎么办，数学家们提出了插值问题。
插值问题的提法是这样的给定一堆数据点(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)...(xn, yn)，要求一个函数y = f(x) ，要求该函数经过上面所有的数据点。
2、多项式插值及其唯一性：在所有的函数中，多项式函数是最简单的函数，所以只要是人就会想到用多项式函数来作为插值函数，好，以上给定了n+1个点，现在要求一个n次多项式y = an * x^n + ... a1 * x + a0, 使它们经过这n+1个点；通过范德蒙行列式和克莱姆法则，可以判定如果这n+1个点的x值各不相同，那么这个多项式是唯一的。
结果唯一，但是用直接法很不好求。
现在用别的办法来求之。
这就是：拉格朗日多项式
3、拉格朗日多项式的构造，以四个点为例子进行说明
由于函数经过4个点(x0, y0)，(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)，所以可以设函数为：
f(x) = b0(x) * y0 + b1(x) * y1 + b2(x) * y2 + b3(x) * y3
注意：b0(x)，...，b3(x)都是x的3次多项式，称之为拉格朗日插值基函数。
由于要求当x为x0时候，f(x) = y0, 所以最简单的做法就是让b0(x0) = 1, b1(x0) = b2(x0) = b3(x0) = 0;
同理可知，在x1，x2，x3点上，插值基函数的值构造如下：
b0(x) b1(x) b2(x) b3(x)
x=x0 1 0 0 0
x=x1 0 1 0 0
x=x2 0 0 1 0
x=x3 0 0 0 1
问题1、根据这些值来确定b0(x)的表达式，
由于b0(x1) = b0(x2) = b0(x3) = 0，所以x1, x2, x3是b0(x)的零点，由于b0(x)是三次多项式，所以设
b0(x) = c0 * (x-x1) * (x-x2) * (x-x3)
由于b0(x0) = 1,所以1 = c0 * (x0-x1) * (x0-x2) * (x0-x3) 得到c0 =
1/[(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)]
所以：b0(x) = (x-x1)*(x-x2)*(x-x3)/[(x0-x1)*(x0-x2)*(x0-x3)]
同理可求b1(x)、b2(x)，略
问题2、根据上面的表格说明插值基函数的一个性质：无论x取和值，它们的和都为1.【这
个叫做调和函数】
以3次为例子说明：将上述表格的每一行分别相加，得到的事函数：g(x) = b0(x) + b1(x) + b2(x) + b3(x)在x0, x1, x2, x3的值，都为1.
b0(x) + b1(x) + b2(x) + b3(x)
x=x0 1+0+0+0 = 1
x=x1 0+1+0+0 = 1
x=x2 0+0+1+0 = 1
x=x3 0+0+0+1 = 1
所以：方程g(x) - 1 = 0，应该有4个根x0, x1, x2, x3；但是，由于b0(x)、b1(x)、b2(x)、b3(x)都是3次多项式，所以，g(x)最多也是3次多项式，至多只有3个根，所以等式：g(x) = 1 应该是恒等式。
得证。
问题3、基函数：b0(x)、b1(x)、b2(x)、b3(x) 是线性无关的。
设：数t0, t1, t2, t3使得：t0 * b0(x) + t1 * b1(x) + t2 * b2(x) + t3 * b3(x) = 0
x=x0时候：0 = t0 * b0(x0) + t1 * b1(x0) + t2 * b2(x0) + t3 * b3(x0) = t0 * 1 + t1 * 0 + t2 * 0 + t3 * 0 得到：t0 = 0;
同理有：t1 = t2 = t3 = 0，根据定义（所有系数为0）。
所以插值基函数是线性无关的。
转自：jiangnanyouzi，博客频道。