拉格朗日插值多项式与泰勒多项式的误差分析详全文
插值法(拉格朗日插值)
)
CN插i 次jn值i拉(x多格项x朗j )式日
li (xi ) 1
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➢ 插值余项 /* Remainder */
用简单的插值函数L n(x)代替原复杂函数f(x),其 精度取决于截断误差,即插值余项.
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50内0 插L1(通518常) 优0于.77外61推4 。这选里择f (x) 12要端s0计in.点0算1x3，1的9插23x,值R所1(效R51在18(果x)的)较区f0好(.220间)(0!。7x的6) (2x
定理 (插值多项式的存在唯一性) 满足 P( xi ) yi , i 0, ... , n
的 n 阶插值多项式是唯一存在的。
证明： ( 利用Vandermonde 行列式论证)
a0 a1x0 ... an x0n y0 a0 a1x1 ... an x1n y1 ...
a0 a1xn ... an xnn yn
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月下午 2时16 分20.12. 1214:1 6December 12, 2020
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8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月12日 星期六 2时16 分39秒1 4:16:39 12 December 2020
数学分析ch5-3taylor公式和与插值多项式
另一种证明方法是利用幂级数的性质， 将函数展开成幂级数，然后利用幂级 数的性质进行证明。
03 插值多项式
插值多项式的定义和性质
插值多项式定义
通过已知的离散数据点，构造一个多项式函数，使得该多项式在给定的数据点上 与实际函数值相等。
插值多项式的性质
插值多项式具有唯一性，即给定一组数据点，只能构造出一个插值多项式；此外 ，插值多项式在数据点上的取值与实际函数值相等，而在其他点上的取值则不确 定。
06 总结与展望
本章内容总结
01 02 03
Taylor公式的定义和性质
Taylor公式是数学分析中的重要概念，它表示一个函数在 某点的值可以由该点处的导数和更高阶导数来近似表示。 在本章中，我们学习了Taylor公式的定义、性质以及应用 。
插值多项式的定义和性质
插值多项式是一种通过已知数据点来逼近未知函数的方法 。在本章中，我们学习了插值多项式的定义、性质以及常 用的插值方法，如拉格朗日插值和牛顿插值。
近似计算
在需要近似计算复杂函数值的情况下，可以使用Taylor公 式来提高计算的精度。例如，当需要计算$sin(0.1)$时， 可以使用Taylor公式在$x=0$处展开，并截取多项式的项 数来得到近似值。
导数和微分
Taylor公式还可以用来求函数的导数和微分。通过将函数 展开成多项式形式，可以方便地求出函数的导数和微分。
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taylor公式与插值多项式的相似之处
1
两者都是通过已知的点来逼近函数的方法。
2
两者都需要选择合适的基函数来展开或拟合函数。
3
两者都可以通过增加已知点的数量来提高逼近的 精度。
taylor公式与插值多项式的差异之处
拉格朗日插值法
机械CAD/CAM基础课程作业姓名曾子敬专业机械电子工程学号 0042日期 2011-12-21武汉科技大学拉格朗日插值法的理解与运用一.引 言在机械设计与制造领域会因为通过大量试验而得来很多测试数据资料，如数表、线图、标准、规范、实验数据等。
我们常常需要对这些繁多而复杂的试验数据进行系统的分析和处理，从而得到希望的演算结果，所以如何有效的处理一系列数据是在机械工程设计中是十分关键的一步。
在传统的设计过程中，这些数据都是通过人工查询手册来获取，但在现代CAD/CAM 系统中，这些数据需要由计算机进行处理，这就需要我们将试验数据以数表和线图的形式输入计算机才能被计算机有效的识别、存储和应用。
在CAD/CAM 中，有两类数表需要进行处理。
一类是彼此之间没有函数关系的数表，如材料的机械性能、物理性能等；另一类是彼此之间存在函数关系，而为了使用方便以表格形式给出的列表函数，如三角函数、对数函数等。
对于数据之间存在某种函数关系而被离散化的数表，虽然离散化后的自变量值和因变量值存在一一对应关系，但是对于这类数表所需完成的查询通常并非恰好是给定的离散值，而是介于离散量之间的自变量和因变量，这就需要解析的方法处理。
常用数表解析法有函数插值法和数据拟合法。
下面以函数插值法中常用的拉格朗日插值法来讨论其理解与运用。
二.函数插值——拉格朗日插值法理解（1）函数插值的含义在科学研究和实际的机械工程设计中，几乎所有的问题都可以用函数y=f(x)来表示其中某些内在的数量关系，但是理想化的函数关系又很难在实际的工程测试结果中得到，对于那些没有明显方程式的函数关系表达式则只能通过求出与原关系式近似的又能反应其原函数特性的一种便于计算的简单函数，即构造一个近似函数来替代原函数。
（2）插值的基本方法插值的基本方法是在插值点附件选取几个合适的节点，利用这些节点构造一个函数g(x)，使g(x)经过所选取的所有节点，在插值点确定的区间上近似用g(x)代替原来的函数f(x)，那么，插值点的函数值可以用构造函数值来代替。
拉格朗日插值法理论及误差分析
浅析拉格朗日插值法目录：一、 引言二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献一、引言插值在数学发展史上是个古老问题。
插值是和拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）、高斯（Gauss ）等著名数学家的名字连在一起的。
在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。
插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。
现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。
插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。
二、插值及多项式插值1、插值问题的描述设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值：插值问题：根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠=的函数值()f x ，或计算函数的一阶、二阶导数值。
xx 0y y1y 1n y -ny 1x 1n x -nx2、插值的几何意义插值的几何意义如图1所示：图1 3、多项式插值 3.1 基本概念假设()y f x =是定义在区间,a b ⎡⎤⎣⎦上的未知或复杂函数，但一直该函数在点01n a x x x b ≤<<<≤处的函数值01,,n y y y 。
找一个简单的函数，例如函数()P x ，使之满足条件(),0,1,2,,,i P x y i n == （3.1）通常把上述01n x x x <<< 称为插值节点，把()P x 称为()f x 的插值多项式，条件（3.1）称为插值条件，并把求()P x 的过程称为插值法。
3.2 插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式：1011()m m m m m P x a x a x a x a --=+++那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数011,,,m ma a a a -。
插值多项式的误差估计
插值多项式的误差估计说到插值多项式，哎呀，很多人第一反应就是：这个玩意儿听起来好复杂！就好像把数学书当作枕头，想避开它一样。
可是，你知道吗？其实它真的比你想的要亲民得多，接下来咱们就聊聊这个插值多项式的“误差估计”问题，别担心，我会把它说得有趣、又好懂，保证你不打瞌睡。
咱们要知道啥是插值多项式。
哎，这个名字一听就有点学术味儿，没错，它的确是数学中的一大宝贝。
简单来说，插值多项式就是通过一些已知数据点来构造一个多项式，这个多项式能够“穿过”所有这些点。
比如，你给我几个点的坐标，我就能画出一条曲线，让它正好把这些点串联起来。
听起来挺酷对吧？就像是你在画一条平滑的道路，路上有几个路标，插值多项式就像是帮你描绘这条路的设计师。
好了，讲到这里大家应该都差不多明白了插值多项式是啥东西。
为什么要关心它的误差呢？这就有意思了。
你看，插值多项式是个近似工具，通俗来说就是：它帮你做的事情，可能完美无缺，但也可能会有点差错，尤其是当你插值点的数量多了，误差可能会变得明显。
所以，咱们就需要估计这个误差，弄明白它到底有多大，能不能接受。
你要知道，误差其实就是咱们计算出来的值和实际值之间的差距。
举个例子来说，你在测量一块蛋糕的尺寸，测得说它有30厘米长，实际上它可能是29.8厘米长。
那个0.2厘米的差距，就是误差。
再比如，你去打篮球投篮时，看到篮筐就在眼前，结果投出去的球偏离了一点点——那个偏差就叫误差。
那插值多项式的误差呢，也是类似的道理，只不过它出现在你用数学模型来逼近某些实际情况时。
好啦，怎么估计这个误差呢？咱们得知道它不是随便就能抓住的。
哎，我得告诉你，插值的误差是一个挺狡猾的小东西。
它不只是和你选的点数有关，甚至和这些点的位置有关系。
有时候你选的点再多，误差反而可能会更大！这就像是你搞了个很复杂的程序，想着搞定所有问题，结果反而弄得一团糟。
所以，估计误差时可得小心，别被表面现象给迷惑了。
通常，我们会通过误差公式来估算。
拉格朗日插值公式的证明及其应用讲解
拉格朗日插值公式的证明及其应用摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange 插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中"线性化" (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷. 关键词： 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点()nk k k f x 0,=是准确的，这些数据点所表现的准确函数关系()x f 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线()x P 且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线()x P 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线()x P 是否稳定地收敛于未知函数()x f ，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义，推导及其在解题中的应用 １.线性插值１.１. 线性插值的定义假定已知区间[]1,+k k x x 的端点处的函数值()k k x f y =,()11++=k k x f y ,要求线性插值多项式()x L 1使它满足()k k y x L =1, ()111++=k k y x L ．()x L y 1=的几何意义:通过两点()k k y x ,和()11,++k k y x 的直线，如图１所示，()x L 1的表达式由几何意义直接给出，即()()k kk kk k x x x x y y y x L ---+=++111 (点斜式)， 图１()11111++++--+--=k kk kk k k k y x x x x y x x x x x L (两点式)．y=L 1x ()y=f x ()y k+1y kx k+1x k o yx2 由两点式方程看出，()x L 1由两个线性函数()11++--=k k k k x x x x x l ,()kk kk x x x x x l --=++11的线性组合得到,其系数分别为k y 及1+k y ,即()()()x l y x l y x L k k k k 111+++=． 显然,()x l k 及()x l k 1+也是插值多项式,在节点k x 及1+k x 上满足条件()1=k k x l ， ()01=+k k x l ， ()0=k k x l ， ()111=++k k x l ．称函数,()x l k （图２）及()x l k 1+（图３）为一次插值基函数或线性插值基函数. 图象为：图2 图3１.２. 线性插值例题例1. 已知,352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===用线性插值计算.解：由题意取000.320.314567x y =⎧⎨=⎩，⎩⎨⎧==333487.034.011y x ，⎩⎨⎧==352274.036.022y x ．若取34.0,32.010==x x 为节点，则线性插值为：()()00101013367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+=≈330365.00167.002.001892.0314567.0=⨯+=.若取36.0,34.021==x x 为节点，则线性插值为：()()11212113367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+=≈()330387.00033.002.0018787.0333487.0=-⨯+=.l k+1x ()xy1x k+1x k ol k+1x ()xy1x k+1x k o3２.二次插值２.１. 二次插值的定义若2=n 时,假定插值节点为11,,+-k k k x x x 要求二次插值多项式()x L 2,使它满足()j j y x L =2 (1,,1+-=k k k j )()x L y 2=的几何意义:通过三点的()11,--k k y x ,()k k y x , , ()11,++k k y x 的抛物线.例如()x l k 1-，因为它有两个零点1,+k k x x ，故可表示为：()()()11+---=k k k x x x x A x l . 由()111=--k k x l 得()()11+--=k k x x x x A .所以， ()()()()()11111+--+-----=k k k k k k k x x x x x x x x x l .同理()()()()()1111+-+-----=k k k k k k k x x x x x x x x x l ， ()()()()()k k k k k k k x x x x x x x x x l ----=+-+-+11111.函数()x l k 1-, ()x l k ,()x l k 1+称为二次插值基函数或抛物插值基函数. 在区间[]11,+-k k x x 上的图形分别为:利用二次插值基函数()x l k 1-, ()x l k , ()x l k 1+,立即可得到二次插值多项式()()()()x l y x l y x l y x L k k k k k k 11112++--++=()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-===+-===+===+++---.,1 0,1,1,10,1,1, 0,1111111k k j x l x l k k j x l x l k k j x l x l j k k k j k k k j k k ko1x k+1x kx k-1l k-1x ()yxx k-1o1x k+1x k l k+1x ()yxx k-1o1x k+1x k l k x ()yx4显然,它满足条件()j j y x L =2 ()1,,1+-=k k k j . 即()=x L 21-k y ()()()()1111+--+----k k k k k k x x x x x x x x + k y ()()()()1111+-+-----k k k k k k x x x x x x x x + 1+k y()()()()k k k k k k x x x x x x x x ----+-+-1111２.２. 拉格朗日公式（二次插值）在解题中的应用例2. 已知函数()c ax x f -=2（c a ,为实数 ）。
拉格朗日插值与多阶多项式
拉格朗日插值与多阶多项式在数学领域中，拉格朗日插值是一种常用的插值方法，用于通过已知的数据点构造一个多项式函数，以逼近未知函数。
这种方法以法国数学家约瑟夫·拉格朗日的名字命名，他在18世纪提出了这一概念。
拉格朗日插值的基本思想是通过构造一个多项式函数，使其在已知数据点处与未知函数相等。
这个多项式函数被称为拉格朗日插值多项式。
它的形式为：P(x) = Σ yi * Li(x)其中，P(x)是拉格朗日插值多项式，yi是已知数据点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。
拉格朗日基函数Li(x)的定义如下：Li(x) = Π (x - xj) / (xi - xj)其中，i ≠ j，xi和xj是已知数据点的横坐标。
通过拉格朗日插值，我们可以在已知数据点处构造一个多项式函数，从而近似地描述未知函数的行为。
这个多项式函数的阶数取决于已知数据点的个数。
如果已知数据点的个数为n+1，那么拉格朗日插值多项式的最高阶数为n。
多阶多项式是指多项式函数的阶数大于1的情况。
在拉格朗日插值中，我们可以通过增加已知数据点的个数来构造更高阶的多项式函数，从而提高近似的精度。
然而，需要注意的是，随着阶数的增加，多项式函数的复杂性也会增加。
高阶多项式函数可能会在数据点之间产生震荡现象，这被称为龙格现象。
为了避免这种情况，我们需要谨慎选择数据点，以及适当控制多项式函数的阶数。
除了拉格朗日插值，还有其他插值方法，例如牛顿插值和埃尔米特插值。
这些方法都有各自的特点和适用范围。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的需求来选择合适的插值方法。
总结起来，拉格朗日插值是一种常用的插值方法，通过构造多项式函数来近似描述未知函数的行为。
多阶多项式可以提高近似的精度，但需要注意控制阶数，以避免龙格现象的出现。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的需求来选择合适的插值方法。
通过插值方法，我们可以更好地理解和分析数据，从而为问题的解决提供有力的支持。
拉格朗日插值多项式与泰勒多项式的误差研究详全文
拉格朗日插值多項i. 式與泰勒多項式的誤差分析朱亮儒★ 曾政清☆ 陳昭地★★國立臺灣師範大學數學系教授☆臺北市立建國高級中學數學教師摘要：本文旨於提供拉格朗日插值多項式與泰勒多項式誤差項估計值的初等簡易證明，並探討其應用價值。
關鍵字：拉格朗日插值多項式、泰勒多項式、誤差項一引言有鑑於教育部99普通高級中學數學課綱在第一冊多項式的運算為迴避解三元一次方程組，首次出現插值多項式及其應用(以不超過三次插值多項式為限><[1][2][3]），99數學課綱包含插值多項式部分如下：求中的.除以的餘式為通過的插值多項式。
若有兩實根，則可寫成的型式。
透過因式定理證明插值多項式的唯一性。
設通過的多項式為，求及.插值多項式：通過的多項式可表示為，求的值。
此處暫不處理下面的題型：「設通過的多項式為,求。
」此類題型將在數學的IV的聯立方程組章節中處理。
此處自然而然讓人想到拉格朗日(Lagrange, J. L.,1736-1816>其人奇事，羅列如下：他出生於義大利西北部的杜林(Turin>，從小就極有數學天分，於18歲開始撰寫數學論文，在數論上曾提出一個著名的定理：「任意正整數都可以表成四個平方數的和」。
他是第一位證明均值定理(The Mean Value Theorem>的大數學家。
(均值定理在高三選修甲微分的單元中會學到<[4]），它是僅次於微積分基本定理的極重要的存在定理>他在30歲時，應腓特烈二世的邀請到柏林作為其宮廷數學大師長達20年之久。
之後接受法國的邀請，到巴黎擔任法國科學院院士，拿破崙<1769-1821, 1804-1815擔任法皇）讚譽他為「數學科學的巍峨金字塔」泰勒定理有拉格朗日誤差的公式<存在性）。
拉格朗日恆等式：，，.具有附加條件的多變數實函數極值拉格朗日乘子定理。
最得意的巨著《分析力學》。
拉格朗日差值誤差公式<[5]）：若為區間中相異實數，且,則對每一個，存在,使得,其中為函數在的階拉格朗日插值多項式，而為其插值誤差式。
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i. 拉格朗日插值多項ii. 式與泰勒多項式的誤差分析 iii. 朱亮儒★曾政清☆陳昭地★iv. ★國立臺灣師範大學數學系教授 v. ☆臺北市立建國高級中學數學教師 vi.vii. 摘要：本文旨於提供拉格朗日插值多項式與泰勒多項式誤差項估計值的初等簡易證明，並探討其應用價值。
viii. 關鍵字：拉格朗日插值多項式、泰勒多項式、誤差項 ix. 一 引言x. 有鑑於教育部99普通高級中學數學課綱在第一冊多項式的運算為迴避解三元一次方程組，首次出現插值多項式及其應用(以不超過三次插值多項式為限)（[1][2][3]），99數學課綱包含插值多項式部分如下： xi. 求xii. 32()2563f x x x x =-++xiii. (1)(1)(2)(1)(2)(3)a b x c x x d x x x =+-+--+--- xiv. 中的, , , a b c d .xv. ()f x 除以()()x a x b --的餘式為通過()(),(),,()a f a b f b 的插值多項式。
xvi. 若f 有,a b 兩實根，則f 可寫成()()()()f x q x x a x b =--的型式。
xvii. 透過因式定理證明插值多項式的唯一性。
xviii. 設通過(1,1),(2,3),(3,7)的多項式為()(1)(1)(2)f x a b x c x x =+-+--，求,,a b c 及12f ⎛⎫⎪⎝⎭.xix. 插值多項式：通過(11,3),(12,5),(13,8)的多項式可表示為 xx.(12)(13)(11)(13)(11)(12)()358(1112)(1113)(1211)(1213)(1311)(1312)x x x x x x f x ------=⨯+⨯+⨯------，xxi. 求(11.5)f 的值。
xxii. 此處暫不處理下面的題型：「設通過(1, 1), (2, 3), (3, 7)的多項式為2()f x a bx cx =++,求,,a b c 。
」此類題型將在數學的IV 的聯立方程組章節中處理。
xxiii. 此處自然而然讓人想到拉格朗日(Lagrange, J. L., 1736-1816)其人奇事，羅列如下：xxiv. 他出生於義大利西北部的杜林(Turin)，從小就極有數學天分，於18歲開始撰寫數學論文，在數論上曾提出一個著名的定理：「任意正整數都可以表成四個平方數的和」。
xxv. 他是第一位證明均值定理(The Mean Value Theorem)的大數學家。
(均值定理在高三選修甲微分的單元中會學到（[4]），它是僅次於微積分基本定理的極重要的存在定理)xxvi. 他在30歲時，應腓特烈二世的邀請到柏林作為其宮廷數學大師長達20年之久。
xxvii. 之後接受法國的邀請，到巴黎擔任法國科學院院士，拿破崙（1769-1821,1804-1815擔任法皇）讚譽他為「數學科學的巍峨金字塔」xxviii. 泰勒定理有拉格朗日誤差的公式（存在性）。
xxix. 拉格朗日恆等式：xxx. ()2222111,112n n n ni i i i j k k j i i i j k a b a b a b a b ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑，xxxi. ()2222a bab a b ⋅=-⨯ ，xxxii. ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅.xxxiii. 具有附加條件的多變數實函數極值拉格朗日乘子定理。
xxxiv. 最得意的巨著《分析力學》。
xxxv. 拉格朗日差值誤差公式（[5]）：若121,,,,n n x x x x + 為[,]a b 區間中相異實數，且1[,]n f Ca b +∈,則對每一個[,]x a b ∈，存在()(,)c x a b ∈,使得xxxvi.()()()n f x P x R x =+,xxxvii. 其中()P x 為函數()f x 在121, , , , n n x x x x + 的n 階拉格朗日插值多項xxxviii. 式，而()(1)121()()()()()(1)!n n n f c x R x x x x x x x n ++=---+ 為其插值誤差式。
xxxix. 美國早期數學家泰勒(Taylor, B, 1685-1731)在1715年出版的研究報告中，曾對多項式近似超越函數有精準的描述。
當時他提出的泰勒級數展開式雖然符合時代的需求，但並未涉及收斂性的問題，有關餘式則是之後由拉格朗日所提供(稱為：拉格朗日餘式型)；而柯西(Cauchy, A. L., 1789-1857)在此之後又提供了兩個餘式型，分別稱為：柯西餘式型與柯西積分餘式型([6],[7],[8],[9])。
本文即欲介紹這些餘式型誤差項的初等證明及一些相關應用。
xl. 二 拉格朗日插值多項式誤差項估計 xli. 首先，重述一遍定理：xlii. 定理1.〔拉格朗日插值多項式誤差估計〕([5])xliii. 設121, , , n x x x + 為區間[,]a b 上的(1)n +相異實數，1[,]n f C a b +∈(即(1)n f +在[,]a b 上連續)，則對每一[,]x a b ∈，存在()(,)c x a b ∈使得xliv. ()()()n f x P x R x -=xlv. 其中()P x 為函數f 在點121,,,n x x x + 的n 階拉格朗日多項式，而xlvi. ()(1)121()()()()()(1)!n n n f c x R x x x x x x x n ++=---+ 為插值多項式的誤差式。
xlvii. 證明：當k x x =時，()()k k f x P x =，此時可任取()(,)c x a b ∈都成立。
xlviii. 當,1, 2, , , 1k x x k n n ≠∀=+ 時，設:[, ]g a b → 定義成xlix. []121121()()()()()()()()()()()n n t x t x t x g t f t P t f x P x x x x x x x ++---=------l.則1[, ]n g C a b +∈，且()()0,k g x g x ==1, 2, , , 1k n n ∀=+ ，逐次利用Rolle 定理知存在()(, )c x a b ∈使得()(1)()0n g c x +=。
又對任意(, )t a b ∈，[](1)(1)(1)121(1)!()()()()()()()()n n n n n g t f t P t f x P x x x x x x x +++++=------li. 且()(1)()0n P c x +=，於是可得lii. ()(1)121()()()()()()(1)!n n f c x f x P x x x x x x x n ++-=---+liii. 即()(1)121()()()()()(1)!n n n f c x R x x x x x x x n ++=---+ 。
liv. 由定理1可以得到下面的推論： lv. 推論1-1：lvi. (1)當1[, ]n f Ca b +∈時，(1)()n f t +在[, ]a b 上連續，故有一1n M +使lvii. (1)1max ()n n a t bM ft ++≤≤=，故1121()()()()(1)!n n n M R x x x x x x x n ++≤--⋅⋅-+ 。
lviii. (2)當()f x 一開始就是k 次的多項式函數時，則對[,]a b 內任一大於或等於 lix. k 階以上的拉格朗日多項式就是函數()f x 本身。
lx. 在數值分析中，拉格朗日插值多項式誤差公式具有關鍵性的角色。
lxi. 三 泰勒定理lxii. 利用完全平行於定理1的證明方法，我們可用來證明拉格朗日餘式型的泰勒定理，其定理與證法如下：lxiii. 定理2.〔泰勒定理(拉格朗日餘式型)〕：lxiv. 設0(, )x a b ∈，1[, ]n f Ca b +∈，則對每一[, ]x a b ∈存在()(,)c x a b ∈使得lxv. ()()()n n f x P x R x -=，lxvi. 其中，()000()()()!k nk n k f x P x x x k ==-∑為()f x 在0x 點的n 階泰勒多項式，lxvii. ()(1)10()()()(1)!n n n f c x R x x x n ++=-+為()f x 用()n P x 表示的誤差項。
lxviii. 證法(一)(完全平行於定理1)如下：lxix. ○1 當0x x =時，可任取()c x 為(,)a b 內的任一數都成立。
lxx. ○2 當0x x ≠時，設():[,]g t a b → 定義成 lxxi. []1010()()()()()(),()n n n n t x g t f t P t f x P x x x ++-=---- lxxii. 則1[,]n g Ca b +∈且()000()()()()n g x g x g x g x '==== ，lxxiii. 逐次用Rolle 定理知存在()(,)c x a b ∈使得()(1)()0n gc x +=。
lxxiv. 又對任意(,)t a b ∈，lxxv. [](1)(1)(1)10(1)!()()()()()()n n n n n n n gt f t P t f x P x x x +++++=----lxxvi. 且()(1)()0n nP c x +=，於是可得 lxxvii. ()(1)10()()()()()(1)!n n n n f c x f x P x x x R x n ++-=-=+。
lxxviii. 證法(二)([6][8])： lxxix. 設實數Q 滿足lxxx.1()000000()()()()()()()(1)!1!!n n n x x f x f x Q f x f x x x x x n n +⎧⎫-=-+-++-⎨⎬+⎩⎭lxxxi. 並設函數:[,]a b ϕ→ 定義成lxxxii. ()1()()()()()()()()1!!(1)!n n n f t f t Qt f x f t x t x t x t n n ϕ+'⎧⎫=-+-++-+-⎨⎬+⎩⎭lxxxiii. 依(),,,n f f f' 之假設知:[,]a b ϕ→ 為連續且在(,)a b 內可微分，顯然()0x ϕ=且由實數Q 之定義知0()0x ϕ=；於是由Rolle 定理知0,x x 之間有一()c x 使得()()0c x ϕ'=。