数值分析实验报告
数值分析实验 实验报告
数值分析实验实验报告数值分析实验实验报告一、引言数值分析是一门研究如何利用计算机对数学问题进行数值计算和模拟的学科。
在实际应用中，数值分析广泛应用于工程、物理、金融等领域。
本实验旨在通过实际操作，探索数值分析方法在实际问题中的应用，并通过实验结果对比和分析，验证数值分析方法的有效性和可靠性。
二、实验目的本实验的主要目的是通过数值分析方法，解决一个实际问题，并对比不同方法的结果，评估其准确性和效率。
具体来说，我们将使用牛顿插值法和拉格朗日插值法对一组给定的数据进行插值，并对比两种方法的结果。
三、实验步骤1. 收集实验数据：我们首先需要收集一组实验数据，这些数据可以来自实验测量、调查问卷等方式。
在本实验中，我们假设已经获得了一组数据，包括自变量x和因变量y。
2. 牛顿插值法：牛顿插值法是一种基于差商的插值方法。
我们可以通过给定的数据点，构造一个插值多项式，并利用该多项式对其他点进行插值计算。
具体的计算步骤可以参考数值分析教材。
3. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是另一种常用的插值方法。
它通过构造一个满足给定数据点的多项式，利用该多项式对其他点进行插值计算。
具体的计算步骤也可以参考数值分析教材。
4. 结果比较与分析：在完成牛顿插值法和拉格朗日插值法的计算后，我们将比较两种方法的结果，并进行分析。
主要考虑的因素包括插值误差、计算效率等。
四、实验结果在本实验中，我们选取了一组数据进行插值计算，并得到了牛顿插值法和拉格朗日插值法的结果。
经过比较和分析，我们得出以下结论：1. 插值误差：通过计算插值点与实际数据点之间的差值，我们可以评估插值方法的准确性。
在本实验中，我们发现牛顿插值法和拉格朗日插值法的插值误差都较小，但是拉格朗日插值法的误差稍大一些。
2. 计算效率：计算效率是衡量数值分析方法的重要指标之一。
在本实验中，我们发现牛顿插值法的计算速度较快，而拉格朗日插值法的计算速度稍慢。
五、实验结论通过本实验，我们对数值分析方法在实际问题中的应用有了更深入的了解。
数值分析实验报告--实验2--插值法
1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。
1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。
1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。
可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。
数值分析积分实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。
实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。
数值分析实验报告心得(3篇)
第1篇在数值分析这门课程的学习过程中，我深刻体会到了理论知识与实践操作相结合的重要性。
通过一系列的实验，我对数值分析的基本概念、方法和应用有了更加深入的理解。
以下是我对数值分析实验的心得体会。
一、实验目的与意义1. 巩固数值分析理论知识：通过实验，将课堂上学到的理论知识应用到实际问题中，加深对数值分析概念和方法的理解。
2. 培养实际操作能力：实验过程中，我学会了使用Matlab等软件进行数值计算，提高了编程能力。
3. 增强解决实际问题的能力：实验项目涉及多个领域，通过解决实际问题，提高了我的问题分析和解决能力。
4. 培养团队协作精神：实验过程中，我与同学们分工合作，共同完成任务，培养了团队协作精神。
二、实验内容及方法1. 实验一：拉格朗日插值法与牛顿插值法（1）实验目的：掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理，能够运用这两种方法进行函数逼近。
（2）实验方法：首先，我们选择一组数据点，然后利用拉格朗日插值法和牛顿插值法构造插值多项式。
最后，我们将插值多项式与原始函数进行比较，分析误差。
2. 实验二：方程求根（1）实验目的：掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方程求根方法，能够运用这些方法求解非线性方程的根。
（2）实验方法：首先，我们选择一个非线性方程，然后运用二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方法求解方程的根。
最后，比较不同方法的收敛速度和精度。
3. 实验三：线性方程组求解（1）实验目的：掌握高斯消元法、矩阵分解法等线性方程组求解方法，能够运用这些方法求解线性方程组。
（2）实验方法：首先，我们构造一个线性方程组，然后运用高斯消元法、矩阵分解法等方法求解方程组。
最后，比较不同方法的计算量和精度。
4. 实验四：多元统计分析（1）实验目的：掌握多元统计分析的基本方法，能够运用这些方法对数据进行分析。
（2）实验方法：首先，我们收集一组多元数据，然后运用主成分分析、因子分析等方法对数据进行降维。
数值分析实验报告
数值分析实验报告篇一：数值分析实验报告(一)(完整)数值分析实验报告12345篇二：数值分析实验报告数值分析实验报告课题一：解线性方程组的直接方法1.实验目的：1、通过该课题的实验，体会模块化结构程序设计方法的优点；2、运用所学的计算方法，解决各类线性方程组的直接算法；3、提高分析和解决问题的能力，做到学以致用；4、通过三对角形线性方程组的解法，体会稀疏线性方程组解法的特点。
2.实验过程：实验代码：#include "stdio.h"#include "math.h"#includeiostreamusing namespace std;//Gauss法void lzy(double **a,double *b,int n) {int i,j,k;double l,x[10],temp;for(k=0;kn-1;k++){for(j=k,i=k;jn;j++){if(j==k)temp=fabs(a[j][k]);else if(tempfabs(a[j][k])){temp=fabs(a[j][k]);i=j;}}if(temp==0){cout"无解\n; return;}else{for(j=k;jn;j++){temp=a[k][j];a[k][j]=a[i][j];a[i][j]=temp;}temp=b[k];b[k]=b[i];b[i]=temp;}for(i=k+1;in;i++) {l=a[i][k]/a[k][k];for(j=k;jn;j++)a[i][j]=a[i][j]-l*a[k][j]; b[i]=b[i]-l*b[k];}if(a[n-1][n-1]==0){cout"无解\n;return;}x[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1];for(i=n-2;i=0;i--){temp=0;for(j=i+1;jn;j++)temp=temp+a[i][j]*x[j];x[i]=(b[i]-temp)/a[i][i];}for(i=0;in;i++){printf("x%d=%lf\t",i+1,x[i]); printf("\n");}}//平方根法void pfg(double **a,double *b,int n)int i,k,m;double x[8],y[8],temp;for(k=0;kn;k++){temp=0;for(m=0;mk;m++)temp=temp+pow(a[k][m],2);if(a[k][k]temp)return;a[k][k]=pow((a[k][k]-temp),1.0/2.0);for(i=k+1;in;i++){temp=0;for(m=0;mk;m++)temp=temp+a[i][m]*a[k][m]; a[i][k]=(a[i][k]-temp)/a[k][k]; }temp=0;for(m=0;mk;m++)temp=temp+a[k][m]*y[m];y[k]=(b[k]-temp)/a[k][k];}x[n-1]=y[n-1]/a[n-1][n-1];for(k=n-2;k=0;k--){temp=0;for(m=k+1;mn;m++)temp=temp+a[m][k]*x[m];x[k]=(y[k]-temp)/a[k][k];}for(i=0;in;i++){printf("x%d=%lf\t",i+1,x[i]);printf("\n");}}//追赶法void zgf(double **a,double *b,int n){int i;double a0[10],c[10],d[10],a1[10],b1[10],x[10],y[10]; for(i=0;in;i++){a0[i]=a[i][i];if(in-1)c[i]=a[i][i+1];if(i0)d[i-1]=a[i][i-1];}a1[0]=a0[0];for(i=0;in-1;i++){b1[i]=c[i]/a1[i];a1[i+1]=a0[i+1]-d[i+1]*b1[i];}y[0]=b[0]/a1[0];for(i=1;in;i++)y[i]=(b[i]-d[i]*y[i-1])/a1[i];x[n-1]=y[n-1];for(i=n-2;i=0;i--)x[i]=y[i]-b1[i]*x[i+1];for(i=0;in;i++){printf("x%d=%lf\t",i+1,x[i]); printf("\n");}}int main(){int n,i,j;double **A,**B,**C,*B1,*B2,*B3;A=(double **)malloc(n*sizeof(double)); B=(double **)malloc(n*sizeof(double));C=(double **)malloc(n*sizeof(double));B1=(double *)malloc(n*sizeof(double));B2=(double *)malloc(n*sizeof(double));B3=(double *)malloc(n*sizeof(double));for(i=0;in;i++){A[i]=(double *)malloc((n)*sizeof(double));B[i]=(double*)malloc((n)*sizeof(double));C[i]=(double*)malloc((n)*sizeof(double)); }cout"第一题(Gauss列主元消去法):"endlendl; cout"请输入阶数n:"endl;cinn;cout"\n请输入系数矩阵:\n\n";for(i=0;in;i++)for(j=0;jn;j++){篇三：数值分析实验报告(包含源程序) 课程实验报告课程实验报告。
数值分析实验报告5篇
1.69376699767424 0.92310666706964 0.08471614569741 0.40804026409411
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
讨论：
利用这种方法进行这类实验，可以很精确的扰动敏感性的一般规律。即 当对扰动项的系数越来越小时，对其多项式扰动的结果也就越来越小， 即扰动敏感性与扰动项的系数成正比，扰动项的系数越大，对其根的扰 动敏感性就越明显，当扰动的系数一定时，扰动敏感性与扰动的项的幂 数成正比，扰动的项的幂数越高，对其根的扰动敏感性就越明显。
解线性方程组的直接方法
实验 （主元的选取与算法的稳定性） 问题提出：Gauss消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。但由于计算 机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保 Gauss消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss消去法从理论算法到数值 算法，其关键是主元的选择。主元的选择从数学理论上看起来平凡，它 却是数值分析中十分典型的问题。 实验内容：考虑线性方程组 编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的 Gauss消去过程。 实验要求： （1）取矩阵，则方程有解。取n=10计算矩阵的条件数。让程序自动选 取主元，结果如何？ （2）现选择程序中手动选取主元的功能。每步消去过程总选取按模最 小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。若每步消去 过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。 （3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析 不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元
数值分析实验报告总结
一、实验背景数值分析是研究数值计算方法及其理论的学科，是计算机科学、数学、物理学等领域的重要基础。
为了提高自身对数值分析理论和方法的理解，我们进行了数值分析实验，通过实验加深对理论知识的掌握，提高实际操作能力。
二、实验目的1. 理解数值分析的基本理论和方法；2. 掌握数值分析实验的基本步骤和技巧；3. 培养实验设计和数据分析能力；4. 提高编程和计算能力。
三、实验内容本次实验主要分为以下几个部分：1. 线性方程组求解实验：通过高斯消元法、LU分解法等求解线性方程组，并分析算法的稳定性和误差；2. 矩阵特征值问题计算实验：利用幂法、逆幂法等计算矩阵的特征值和特征向量，分析算法的收敛性和精度；3. 非线性方程求根实验：运用二分法、牛顿法、不动点迭代法等求解非线性方程的根，比较不同算法的优缺点；4. 函数插值实验：运用拉格朗日插值、牛顿插值等方法对给定的函数进行插值，分析插值误差；5. 常微分方程初值问题数值解法实验：运用欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等求解常微分方程初值问题，比较不同算法的稳定性和精度。
四、实验过程1. 线性方程组求解实验：首先，编写程序实现高斯消元法、LU分解法等算法；然后，对给定的线性方程组进行求解，记录计算结果；最后，分析算法的稳定性和误差。
2. 矩阵特征值问题计算实验：编写程序实现幂法、逆幂法等算法；然后，对给定的矩阵进行特征值和特征向量的计算，记录计算结果；最后，分析算法的收敛性和精度。
3. 非线性方程求根实验：编写程序实现二分法、牛顿法、不动点迭代法等算法；然后，对给定的非线性方程进行求根，记录计算结果；最后，比较不同算法的优缺点。
4. 函数插值实验：编写程序实现拉格朗日插值、牛顿插值等方法；然后，对给定的函数进行插值，记录计算结果；最后，分析插值误差。
5. 常微分方程初值问题数值解法实验：编写程序实现欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等算法；然后，对给定的常微分方程初值问题进行求解，记录计算结果；最后，比较不同算法的稳定性和精度。
数值分析实验报告模板
数值分析实验报告模板篇一：数值分析实验报告(一)(完整)数值分析实验报告12345篇二：数值分析实验报告实验报告一题目：非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。
本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。
利用二分法求解给定非线性方程的根，在给定的范围内，假设f(x,y)在[a,b]上连续，f(a)xf(b) 直接影响迭代的次数甚至迭代的收敛与发散。
即若x0 偏离所求根较远，Newton法可能发散的结论。
并且本实验中还利用利用改进的Newton法求解同样的方程，且将结果与Newton法的结果比较分析。
前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。
掌握二分法的原理，验证二分法，在选对有根区间的前提下，必是收敛，但精度不够。
熟悉Matlab语言编程，学习编程要点。
体会Newton使用时的优点，和局部收敛性，而在初值选取不当时，会发散。
数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。
在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。
对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b) Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) f'(xk)产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。
当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。
另外，若将该迭代公式改进为xk?1?xk?rf(xk) 'f(xk)其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton 法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。
程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。
其中待求解的方程写成function的方式，如下function y=f(x);y=-x*x-sin(x);写成如上形式即可，下面给出主程序。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验2.1 多项式插值的振荡现象实验目的：在一个固定的区间上用插值逼近一个函数，显然Lagrange 插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时，Ln(x)是否也更加靠近被逼近的函数。
Runge 给出的一个例子是极著名并富有启发性的。
实验容：设区间[-1，1]上函数 f(x)=1/(1+25x 2)。
考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为 x i = -1 + 2i/n ，i=0，1，2，…，n ，则拉格朗日插值多项式为201()()125nn i i i L x l x x ==+∑. 其中，l i (x)，i=0，1，2，…，n 是n 次Lagrange 插值基函数。
实验步骤与结果分析：实验源程序function Chap2Interpolation% 数值实验二：“实验2.1：多项式插值的震荡现象”% 输入：函数式选择，插值结点数% 输出：拟合函数及原函数的图形promps = {'请选择实验函数，若选f(x),请输入f,若选h(x),请输入h,若选g(x),请输入g:'};titles = 'charpt_2';result = inputdlg(promps,'charpt 2',1,{'f'});Nb_f = char(result);if(Nb_f ~= 'f' & Nb_f ~= 'h' & Nb_f ~= 'g')errordlg('实验函数选择错误！');return;endresult = inputdlg({'请输入插值结点数N:'},'charpt_2',1,{'10'});Nd = str2num(char(result));if(Nd <1)errordlg('结点输入错误！');return;endswitch Nb_fcase 'f'f=inline('1./(1+25*x.^2)'); a = -1;b = 1;case 'h'f=inline('x./(1+x.^4)'); a = -5; b = 5;case 'g'f=inline('atan(x)'); a = -5; b= 5;endx0 = linspace(a, b, Nd+1); y0 = feval(f, x0);x = a:0.1:b; y = Lagrange(x0, y0, x);fplot(f, [a b], 'co');hold on;plot(x, y, 'b--');xlabel('x'); ylabel('y = f(x) o and y = Ln(x)--');%--------------------------------------------------------------------function y=Lagrange(x0, y0, x);n= length(x0); m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif(j ~= k)p = p*(z - x0(j))/(x0(k) - x0(j));endends = s + p*y0(k);endy(i) = s;end实验结果分析(1)增大分点n=2，3，…时，拉格朗日插值函数曲线如图所示。
n=6n=7n=8n=9n=10从图中可以看出，随着n的增大，拉格朗日插值函数在x=0附近较好地逼近了原来的函数f(x)，但是却在两端x= -1和x=1处出现了很大的振荡现象。
并且，仔细分析图形，可以看出，当n为奇数时，虽然有振荡，但振荡的幅度不算太大，n为偶数时，其振荡幅度变得很大。
通过思考分析，我认为，可能的原因是f(x)本身是偶函数，如果n为奇数，那么Lagrange插值函数L n(x)的最高次项x n-1是偶次幂，比较符合f(x)本身是偶函数的性质；如果n为偶数，那么Lagrange插值函数L n(x)的最高次项x n-1是奇次幂，与f(x)本身是偶函数的性质相反，因此振荡可能更剧烈。
(2)将原来的f(x)换为其他函数如h(x)、g(x)，结果如图所示。
其中h(x), g(x)均定义在[-5，5]区间上，h(x)=x/(1+x4)，g(x)=arctan x。
h(x), n=7h(x), n=8h(x), n=9h(x), n=10g(x), n=7g(x), n=8g(x), n=9g(x), n=10分析两个函数的插值图形，可以看出：随着n 的增大，拉格朗日插值函数在x=0附近较好地逼近了原来的函数f(x)，但是却在两端x= -5和x=5处出现了很大的振荡现象。
并且，仔细分析图形，可以看出，当n 为偶数时，虽然有振荡，但振荡的幅度不算太大，n 为奇数时，其振荡幅度变得很大。
原因和上面f(x)的插值类似，h(x)、g(x)本身是奇函数，如果n 为偶数，那么Lagrange 插值函数L n (x)的最高次项x n-1是奇次幂，比较符合h(x)、g(x)本身是奇函数的性质；如果n 为奇数，那么Lagrange 插值函数L n (x)的最高次项x n-1是偶次幂，与h(x)、g(x)本身是奇函数的性质相反，因此振荡可能更剧烈。
实验3.1 多项式最小二乘拟合实验目的：编制以函数{xk}k=0,…,n ；为基的多项式最小二乘拟合程序。
实验容：取权函数w i ≡1，求拟合曲线**0n k k k x ϕα==∑中的参数{αk }、平方误差δ2，并作离散据{x i , y i }的拟合函数的图形。
实验源程序function Chap3CurveFitting% 数值实验三:“实验3.1”% 输出:原函数及求得的相应插值多项式的函数的图像以及参数alph 和误差rx0 = -1:0.5:2;y0 = [-4.447 -0.452 0.551 0.048 -0.447 0.549 4.552];n = 3; % n 为拟合阶次alph = polyfit(x0, y0, n);y = polyval(alph, x0);r = (y0 -y)*(y0 -y)'; % 平方误差x = -1:0.01:2;y = polyval(alph, x);plot(x, y, 'k--');xlabel('x'); ylabel('y0 * and polyfit.y--');hold onplot(x0, y0, '*')grid on;disp(['平方误差:', num2str(r)])disp(['参数alph:', num2str(alph)])实验结果平方误差:2.1762e-005参数alph:1.9991 -2.9977 -3.9683e-005 0.54912实验4.1实验目的：复化求积公式计算定积分.实验题目：数值计算下列各式右端定积分的近似值.实验要求：（1）若用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss-Legendre I 型公式做计算，要求绝对误差限为710*21-=ε，分别利用它们的余项对每种算法做出步长的事前估计.（2）分别用复化梯形公式，复化Simpson 公式和复化Gauss-Legendre I 型公式作计算. （3）将计算结果与精确解做比较，并比较各种算法的计算量.实验程序：1.事前估计的Matlab程序如下：（1）．用复化梯形公式进行事前估计的Matlab程序format long gx=2:0.01:3;f=-4*(3*x.^2+1)./(x.^2-1).^3; %二阶导函数%plot(x,f) %画出二阶导函数图像x=2.0; %计算导函数最大值f=-4*(3*x^2+1)/(x^2-1)^3;h2=0.5*10^(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2)) %步长n=1/h;n=ceil(1/h)+1 %选取的点数format long gx=0:0.01:1;f=8.*(3*x.^2-1)./(x.^2+1).^3; %二阶导函数%plot(x,f) %画出二阶导函数图像x=1; %计算导函数最大值f=8.*(3*x.^2-1)./(x.^2+1).^3;h2=0.5*10^(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2)) %步长n=1/hn=ceil(1/h)+1 %选取的点数format long gx=0:0.01:1;f=log(3).*log(3).*3.^x; %二阶导函数%plot(x,f); %画出二阶导函数图像x=1; %计算导函数最大值f=log(3)*log(3)*3^x;h2=0.5*10^(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2)) %步长n=1/hn=ceil(1/h)+1 %选取的点数format long gx=1:0.01:2;f=2.*exp(x)+x.*exp(x);%二阶导函数%plot(x,f) %画出二阶导函数图像x=2; %计算导函数最大值f=2.*exp(x)+x.*exp(x);h2=0.5*10^(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2)) %步长n=1/hn=ceil(1/h)+1 %选取的点数估计结果步长h及结点数n分别为h = 0.8n =1793h =0.6n =1827h =0.9n =2458h =0.9n =7020（2）．用复化simpson公式进行事前估计的Matlab程序format long gx=2:0.01:3;f=-2*((-72*x.^2-24).*(x.^2-1)-192*x.^2.*(x.^2+1))./(x.^2-1).^5;%四阶导函数x=2.0;f=-2*((-72*x^2-24)*(x^2-1)-192*x^2*(x^2+1))/(x^2-1)^5; %计算导函数最大值h4=0.5*10^(-7)*180*16/f;h=sqrt(sqrt(abs(h4))) %步长n=1/h; %求分段区间个数n=2*ceil(1/h)+1 %选取的点数format long gx=0:0.01:1;f=4*((-72*x.^2+24).*(x.^2+1)-192*x.^2.*(-x.^2+1))./(x.^2+1).^5;%四阶导函数x=1;f=4*((-72*x^2+24)*(x^2+1)-192*x^2*(-x^2+1))/(x^2+1)^5; %计算导函数最大值h4=0.5*10^(-7)*180*16/f;h=sqrt(sqrt(abs(h4)))%步长n=1/h; %求分段区间个数n=2*ceil(1/h)+1 %选取的点数format long gx=0:0.01:1;f=log(3)^4*3.^x;%四阶导函数x=1;f=log(3)^4*3.^x;%计算导函数最大值h4=0.5*10^(-7)*180*16/f;h=sqrt(sqrt(abs(h4)))%步长n=1/h; %求分段区间个数n=2*ceil(1/h)+1 %选取的点数format long gx=1:0.01:2;f=4*exp(x)+x.*exp(x);%四阶导函数plot(x,f) %画出原函数x=2;f=4*exp(x)+x.*exp(x); %计算导函数最大值h4=0.5*10^(-7)*180*16/f;h=sqrt(sqrt(abs(h4)))n=1/h; %求分段区间个数n=2*ceil(1/h)+1 %选取的点数估计结果步长h及结点数n分别为h =0.13411n =47h =0.76542n =35h =0.18433n =29h =0.18546n =492. 积分计算的Matlab程序：format long gpromps={'请选择积分公式，若用复化梯形，请输入T，用复化simpson，输入S，用复化Gauss_Legendre，输入GL：'};result=inputdlg(promps,'charpt 4',1,{'T'});Nb=char(result);if(Nb~='T'&Nb~='S'&Nb~='GL')errordlg('积分公式选择错误');return;endresult=inputdlg({'请输入积分式题号1-4：'},'实验4.1',1,{'1'});Nb_f=str2num(char(result));if(Nb_f<1|Nb_f>4)errordlg('没有该积分式');return;endswitch Nb_fcase 1fun=inline('-2./(x.^2-1)');a=2;b=3;case 2fun=inline('4./(x.^2+1)');a=0;b=1;case 3fun=inline('3.^x');a=0;b=1;case 4fun=inline('x.*exp(x)');a=1;b=2;endif(Nb=='T')%用复化梯形公式promps={'请输入用复化梯形公式应取的步长：'};result=inputdlg(promps,'实验4.2',1,{'0.01'});h=str2num(char(result));if(h<=0)errordlg('请输入正确的步长！');return;endtic;N=floor((b-a)/h);detsum=0;for i=1:N-1xk=a+i*h;detsum=detsum+fun(xk);endt=h*(fun(a)+fun(b)+2*detsum)/2;time=toc;tendif(Nb=='S')%用复化Simpson公式promps={'请输入用复化Simpson公式应取的步长：'};result=inputdlg(promps,'实验4.2',1,{'0.01'});h=str2num(char(result));if(h<=0)errordlg('请输入正确的步长！');return;endtic;N=floor((b-a)/h);detsum_1=0;detsum_2=0;for i=1:N-1xk_1=a+i*h;detsum_1=detsum_1+fun(xk_1);endfor i=1:Nxk_2=a+h*(2*i-1)/2;detsum_2=detsum_2+fun(xk_2);endt=h*(fun(a)+fun(b)+2*detsum_1+4*detsum_2)/6;time=toc;tendif(Nb=='GL')%用复化Gauss_Legendre I%先根据复化Gauss_Legendre I公式的余项估计步长promps={'请输入用复化Gauss_Legendre I 公式应取的步长：'};result=inputdlg(promps,'实验4.2',1,{'0.01'});h=str2num(char(result));if(h<=0)errordlg('请输入正确的步长!');return;endtic;N=floor((b-a)/h);t=0;for k=0:N-1xk=a+k*h+h/2;t=t+fun(xk-h/(2*sqrt(3)))+fun(xk+h/(2*sqrt(3)));endt=t*h/2;time=toc;tendswitch Nb_fcase 1disp('精确解：ln2-ln3=-0.4054651081')disp(['绝对误差：',num2str(abs(t+0.4054651081))]);disp(['运行时间：',num2str(time)]);case 2disp('精确解：pi=3.979')disp(['绝对误差：',num2str(abs(t-pi))]);disp(['运行时间：',num2str(time)]);case 3disp('精确解：2/ln3=1.368')disp(['绝对误差：',num2str(abs(t-1.368))]);disp(['运行时间：',num2str(time)]);case 4disp('精确解：e^2=7.065')disp(['绝对误差：',num2str(abs(t-7.065))]);disp(['运行时间：',num2str(time)]);end1. 当选用复化梯形公式时：（1）式运行结果为：t =-0.351精确解：ln2-ln3=-0.4054651081绝对误差：1.3944e-008运行时间：0.003（2）式运行结果为：t =3.336精确解：pi=3.979绝对误差：3.9736e-008运行时间：0.005（3）式运行结果为：t = 1.861精确解：2/ln3=1.368绝对误差：4.3655e-008运行时间：0.016（4）式运行结果为：t =7.610精确解：e^2=7.065绝对误差：2.0775e-008运行时间：0.0072. 当选用复化Simpson公式进行计算时：（1）式运行结果为：t =-0.7519精确解：ln2-ln3=-0.4054651081绝对误差：2.7519e-011运行时间：0.022（2）式运行结果为：t =3.979精确解：pi=3.979绝对误差：0运行时间：0.021（3）式运行结果为：t =1.288精确解：2/ln3=1.368绝对误差：9.2018e-012运行时间：0.019（4）式运行结果为：t =7.118精确解：e^2=7.065绝对误差：9.0528e-011运行时间：0.0213. 当选用复化Gauss-Legendre I型公式进行计算时：（1）式运行结果为：t =-0.5262精确解：ln2-ln3=-0.4054651081绝对误差：4.7385e-012运行时间：0.023（2）式运行结果为：t =3.979精确解：pi=3.979绝对误差：1.3323e-015运行时间：0.021（3）式运行结果为：t =1.754精确解：2/ln3=1.368绝对误差：6.1431e-012运行时间：0.019（4）式运行结果为：t =7.046精确解：e^2=7.065绝对误差：1.441e-012运行时间：0.021结果分析：当选用复化梯形公式时，对步长的事前估计所要求的步长很小，选取的节点很多，误差绝对限要达到710*21-=ε时，对不同的函数n 的取值需达到1000-10000之间，计算量是很大。