数列题目及答案

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高考数学《数列》大题训练50题含答案解析整理版

高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{}的前n 项和为，且满足，.n a n S 11a =2(1)n n S n a =+（1）求{}的通项公式；（2）求和T n =.n a 1211123(1)na a n a ++++L 2 ．已知数列，a 1=1，点在直线上.}{n a *))(2,(1N n a a P n n ∈+0121=+-y x （1）求数列的通项公式；}{n a （2）函数，求函数最小值.)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 )(n f 3 ．已知函数(a ，b 为常数)的图象经过点P （1，）和Q （4，8）x ab x f =)(81(1) 求函数的解析式；)(x f (2) 记a n =log 2,n 是正整数，是数列{a n }的前n 项和，求的最小值。

)(n f n S n S 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．n S 5 ．设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.{}n a n n S 1n n S c ca =+-c 1-（1）求证: 为等比数列；{}n a （2）设数列的公比，数列满足，试写出的{}n a ()q f c ={}n b ()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式，并求的结果.12231n n b b b b b b -+++L 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量与向量共线，且1+n n A A n n C B 点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且…对任意的{}n a {}n b 212322a a a +++12n n a -+8n =∈n N*都成立，数列是等差数列．1{}n n b b +-（1）求数列与的通项公式；{}n a {}n b （2）问是否存在N *，使得？请说明理由．k ∈(0,1)k k b a -∈8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数为等差数列，试求λ的值.}3{,nn a λλ+使得9 ．已知数列的前项和为，若，{}n a n n S ()1,211++=⋅=+n n S a n a n n（1）求数列的通项公式;{}n a （2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的n nn S T 2=n 1+>n n T T n m T n ≤m 取值范围。

完整版)数列典型例题(含答案)

完整版)数列典型例题(含答案)等差数列的前n项和公式为代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得。

因此，前项和为。

⑵由已知条件可得代入等差数列的前n项和公式，得到化简得因此，前项和为。

8.(2010山东理) 已知等差数列 $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$，其中 $a_1=1$，公差为 $d$。

1) 求 $a_5$ 和 $a_{10}$。

2) 满足 $a_1+a_2+\ldots+a_k=100$，$a_1+a_2+\ldots+a_{k+1}>100$，$k\in\mathbb{N}$，求该等差数列的前 $k$ XXX。

考查目的：考查等差数列的通项公式和前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法以及运算求解能力。

答案：(1) $a_5=5d+1$，$a_{10}=10d+1$；(2) $k=13$，前$k$ 项和为 $819$。

解析：(1) 根据等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，可得 $a_5=1+4d$，$a_{10}=1+9d$。

2) 设该等差数列的前 $k$ 项和为 $S_k$，则由等差数列的前项和公式可得 $S_k=\dfrac{k}{2}[2a_1+(k-1)d]$。

根据已知条件可列出不等式组：begin{cases}S_k=100\\S_{k+1}>100end{cases}将 $S_k$ 代入得：frac{k}{2}[2+(k-1)d]=100整理得：$k^2+kd-400=0$。

高二数学数列试题

高二数学数列试题1.已知等比数列的前项为，，，则= ．【答案】31【解析】【考点】等比数列通项公式求和公式2.设数列是等差数列，是的前项和，且，则下列结论错误的是A．B．C．均为的最小值D．【答案】D【解析】由，得，则．【考点】等差数列．3.数列满足，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得：，，，，所以数列为周期为4的周期数列．，所以．【考点】1．周期数列；2．数列的递推公式；4.已知等差数列的前n项和为，且=（）A．18B．36C．54D．72【答案】D【解析】,由等差数列的性质可得,所以．故D正确．【考点】1等差数列的性质；2等差数列的前项和．5.设数列中,,，则通项=_____．【答案】【解析】∵，∴，，，，，∴，∴．【考点】累加法求通项公式．【方法点睛】通过分析发现已知条件与等差数列的公差形式差不多，故想到用累加法求解，利用，先写出的表达式，再令这些表达式相加，消去一些项，得出的值，等号右边利用等差数列或等比数列的前n项和公式求和，再求的值．6.（本题满分16分）设数列的前项的和，已知．（1）求的值；（2）证明：数列是等差数列，并求出数列的通项公式;（3）证明：对一切正整数，有．【答案】（1）4；（2）；（3）详见解析【解析】（1）令n=1，代入即可求的值；（2）根据递推数列，结合等差数列的定义即可证明数列是等差数列，找到数列的首项和公差，从而得到通项公式，整理得的通项公式；（3）求出的通项公式，利用放缩法以及裂项法，即可证明不等式成立试题解析：（1）解：依题意：当时，解得：… 3分（2）证明：两式相减得：整理得：又对任意都有故数列是以1为首项1为公差的等差数列，所以（3）证明：由（2）得：所以得证．【考点】1．数列的求和；2．等差关系的确定；3．放缩法证明不等式7.等比数列中，，则（）A．4B．8C．16D．32【答案】C【解析】由等比数列性质可知【考点】等比数列性质8.数列，满足，，则数列的前10项的和为A．B．C．D．【答案】D【解析】，所以数列的前项的和为，故选D【考点】裂项相消法求和9.在2和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为（）A．64B．±64C．16D．±16【答案】A【解析】设中间三数为，由等比数列性质可知【考点】等比数列性质10.已知数列的前项和，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以即，且，所以，即，所以，即，运用累乘法可得，，故应选．【考点】1、由数列的递推公式求数列通项公式．11.在数列中，已知，，且数列是等比数列，则．【答案】【解析】数列中第二项，第三项，所以公比为3，【考点】数列求通项公式12.已知为数列的前n项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）已知条件是数列的项与和的关系求通项公式，常有两种做法：一、消和留项，从而得到数列的递推公式，然后求通项即可；二、当方法一比较困难时，可以消项留和，从而求出的递推公式，进而求出，然后问题等价于已知数列的前n项和求数列通项公式．（2）由（1）可得，，用裂项相消的方法即可求数列的前n项和．试题解析：（1）当时，，可得或（舍），由，两式相减得，∵，∴，数列是以3为首项，2为公差的等差数列，∴．（2）∵，∴．【考点】求数列的通项公式；求数列的前n项和．13.设数列{an }的前n项和为Sn．已知a1＝1，Sn＋1＝4a n＋2．（1）设bn ＝an＋1－2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式．【答案】（1）证明过程详见解析；（2）an＝（3n－1）·2n－2．【解析】（1）运用，并结合Sn＋1＝4a n＋2，得到数列{a n}的递推公式，a n＋2＝4a n＋1－4a n．然后由b n＝a n＋1－2a n，即可证明；（2）由（1）得，a n＋1－2a n＝3×2n－1，于是－＝，从而构造新数列求出通项公式．试题解析：（1）由已知，得a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3．又an＋2＝S n＋2－S n＋1＝4a n＋1＋2－（4a n＋2）＝4a n＋1－4a n，于是an＋2－2a n＋1＝2（a n＋1－2a n），即b n＋1＝2b n．因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．（2）由（1）知等比数列{bn }中b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2a n＝3×2n－1，于是－＝，因此数列{}是首项为，公差为的等差数列，＝＋（n－1）×＝n－，所以an＝（3n－1）·2n－2．【考点】①证明数列是等比数列；②构造新数列求数列通项公式．14.设为等比数列{}的前n项和，，则＝（）A．10B．－5C．9D．－8【答案】A【解析】【考点】等比数列通项公式求和公式15.已知数列满足，，，，成等差数列，则数列的通项公式为．【答案】【解析】：∵数列满足，（n∈N*，p为常数），．∵，，成等差数列，∴，∴，解得p=2，∴，∴当n≥2时，．∴【考点】1．等比数列的通项公式及其前n项和公式；2．累加求和16.已知数列的首项，前项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设函数，是函数的导函数，令，求数列的通项公式，并研究其单调性．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），是单调递增数列．【解析】（Ⅰ）根据求得，两式相减求得，判断出是一个等比数列，进而根据首项和公比求得数列的通项公式；（Ⅱ）化简得．用错位相减法得出通项公式，然后利用导数确定其单调性．试题解析：（I）由（）得（）,两式相减得，可得（），又由已知，所以，即是一个首项为，公比的等比数列，所以（）．（II）因为，所以,令，则,所以，作差得，所以,即,而所以，作差得,所以是单调递增数列．【考点】1、数列的递推公式；2、等差数列和等比数列定义及求和；3、数列的求和．【方法点晴】根据题目中的条件，出现时经常会先写出的关系式，两式相减，利用或进行转化，得到关于数列项的递推关系式，判断构造适当的等差或等比数列，进而求出数列的通项公式．当一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到新数列，进行求和时应想到用错位相减法，由乘数列公比得到，相减得到，利用等比数列求和公式运算之后不要忘了除以．17.设为等比数列的前n项和，，则（）A．11B．-8C．5D．-11【答案】D【解析】设等比数列的公比为，首项为，由题意可得解得，故，故选 D．【考点】1、等比数列的通项；2、等比数列的前项和公式．18.（2015秋•如东县期末）已知数列{an }，{bn}满足a1=，an+bn=1，bn+1=（n∈N*），则b2015= ．【答案】．【解析】由已知条件推导出bn+1=，b1=，从而得到数列{}是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列，由此能求出b2015．解：∵an +bn=1，且bn+1=，∴bn+1=，∵a1=，且a1+b1=1，∴b1=，∵bn+1=，∴﹣=﹣1，又∵b1=，∴=﹣2．∴数列{}是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列，∴=﹣n﹣1，∴bn =．则b2015=．故答案为：．【考点】数列递推式．19.已知正项等比数列，且，，则=A．B．C．D．2【答案】C【解析】【考点】等比数列性质20.已知数列{an }的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4猜想an等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，因为，所以当时，；所以当时，；所以当时，；所以，可猜想，故选B．【考点】归纳推理．方法点晴：本题主要考查了数列的递推计算及归纳推理的应用，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力，对于归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况法相事物具有某些相同的性质；（2）从已知的相同性中推出一个明确的表达的一般性的命题（猜想），本题的解答中，利用数列的递推关系，求解，进而推出一般性的结论．21.在等差数列{an }中，Sn为其前n项和，已知a6=S6=﹣3；数列{bn}满足：bn+1=2bn，b2+b4=20．（1）求数列{an }和{bn}的通项公式；（2）设，求数列{cn }前n项和Tn．【答案】（1）3﹣n；（2）【解析】（1）设等差数列{an }的公差为d，从而可得，从而求an，再由等比数列的通项公式求bn；（2）化简，从而可得数列{cn}是首项为4，公比为的等比数列，从而求前n项和．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则，解得，；∴an =2﹣（n﹣1）=3﹣n；∵bn+1=2bn，∴数列{bn }是公比为2的等比数列，∵b2+b4=2b1+8b1=20，∴b1=2，∴；（2）∵，∴，∴数列{cn}是首项为4，公比为的等比数列，∴．【考点】数列的求和．22.已知等比数列满足,,则（）A．2B．1C．D．【答案】C【解析】【考点】等比数列通项公式23.数列{an } 满足a1=1，an+1=2an+3（n∈N*），则a4= ．【答案】29【解析】解：∵an+1=2an+3，∴an+1+3=2（an+3），∴数列{an +3}是等比数列，公比为2，首项为4，∴an +3=4×2n﹣1，即an=2n+1﹣3，∴﹣3=29．故答案为：29．【点评】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24.设等比数列中，前项和为，已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是等比数列，所以成等比数列，则，即，解得，即，故选A．【考点】等比数列的性质及其应用．25.数列{an }的前n项和为Sn，若an=，则S100等于（）A．B．C．2D．【答案】B【解析】解：∵an==2（﹣），∴S100=2（1﹣+…+）=2（1﹣）=，故选：B【点评】本题主要考查数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．26.等差数列中，已知，，则使得的最小正整数为（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解析】因为等差数列中，已知，，所以，由等差数列的性质可得，再由题意可得，此等差数列为递增数列，所以使得的最小正整数为，故选B.【考点】等差数列的性质.27.已知数列满足，则（）A．0B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，所以，故此数列的周期为，所以．【考点】数列的递推公式．【方法点晴】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中解答中根据数列的首项和数列的递推关系式，可计算得出的值，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力，以及学生的应变能力和不完全归纳法，可能大部分学生想直接求解数列的通项公式，然后求解，但此法不通，很难入手，属于易错题型．28.在公差为d的等差数列{an }中有：an=am+（n-m）d （m、n N+）,类比到公比为q的等比数列{b}中有：n【答案】【解析】由题意可得，符合类比的要求；【考点】1.等差，等比数列的通项公式的熟练变形；2.类比变形；29.设数列，都是等差数列，若，则_____________．【答案】【解析】因为数列，都是等差数列，所以数列仍是等差数列，所以.【考点】等差数列的性质.30.设等差数列的前项和，且满足,对任意正整数，都有，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由等差数列的求和公式及性质，可得，所以，同理可得，所以，所以，对任意正整数，都有，则，故选D.【考点】等差数列的求和公式.31.已知数列的前项和，且满足．（1）求证：是一个等差数列；（2）求的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）根据题设条件，化简，即可利用等差数列的定义，证得数列是一个等差数列；（2）根据数列和的关系，即可求解数列的通项公式．试题解析：提示：（1）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2），不适合上式．．．．．．．．．．．．．12分【考点】数列的概念；数列的通项公式．32.设数列前项和为，如果那么_____________．【答案】【解析】由，即，所以当时，，两式相减，可得，即，所以，又因为，所以．【考点】数列通项公式的应用．【方法点晴】本题主要考查了数列通项公式的应用，其中解答中涉及数列的递推关系式的应用、数列的累积法等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中，利用数列的递推关系式，得到，进而得到是解答的关键．33.数列满足并且．则数列的第100项为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】为等差数列，首项为，第二项为【考点】数列求通项公式34.在数列{an }中，若a1＝1，an＋1＝2a n＋3（n≥1），则该数列的通项a n＝_______．【答案】【解析】递推公式an＋1＝2a n＋3转化为为等比数列，首项为4，公比为2【考点】求数列通项公式35.已知数列满足，（），数列前项和为，则．【答案】【解析】当时,,,故应填.【考点】数列求和.36.己知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为成等比数列且，可得，即，解得，所以，所以，利用函数在区间上单调递减，在单调递增，所以当时，有最小值，故选C．【考点】等差数列的通项公式与前项和．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式与前项和，其中解答中涉及到等比中项公式的应用，数列的单调性、基本不等式和函数的单调性等知识点的综合考查，试题综合性强，有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，同时掌握函数的性质是解答一个难点．37.已知各项均为正数的等比数列中，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据等比中项，有.【考点】等比数列.38.已知数列的首项，且满足.（1）设，证明数列是等差数列；（2）求数列的前项和．【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）根据等差数列的定义进行证明即可；（2）利用（1）中求得的数据可以推知．利用错位相减法来求．试题解析：解：（1）………………4分∴数列是以为首项，3为公差的等差数列。

数列经典题目集锦--答案

数列经典题目集锦一一、构造法证明等差、等比类型一：按已有目标构造1、数列{a n }，{b n }，{c n }满足：b n ＝a n －2a n ＋1，c n ＝a n ＋1＋2a n ＋2－2，n ∈N *.(1) 若数列{a n }是等差数列，求证：数列{b n }是等差数列； (2) 若数列{b n }，{c n }都是等差数列，求证：数列{a n }从第二项起为等差数列；(3) 若数列{b n }是等差数列，试判断当b 1＋a 3＝0时，数列{a n }是否成等差数列？证明你的结论．类型二：整体构造2、设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且(S n ＋1＋λ)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1对一切n ∈N *都成立．(1) 若λ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2) 求λ的值，使数列{a n }是等差数列．二、两次作差法证明等差数列3、设数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，已知11,6,1321===a a a ，且*1,)25()85(N n B An S n S n n n ∈+=+--+，（其中A ,B 为常数）．(1)求A 与B 的值；(2)求数列{}n a 为通项公式；三、数列的单调性4.已知常数0λ≥，设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 满足：11a =，()11131n n n n n na S S a a λ+++=+⋅+（*n ∈N ）．（1）若0λ=，求数列{}n a 的通项公式；（2）若112n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．5.设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++13246n n +=⋅--，且集合*|,nn b M n n N a λ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭中有且仅有3个元素，求λ的取值范围.四、隔项（分段）数列问题6. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n （n 为奇数），a n －3n （n 为偶数）.(1) 是否存在实数λ，使数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2) 若S n 是数列{a n }的前n 项的和，求满足S n ＞0的所有正整数n .7.若{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=(d 为常数)，则称数列{}n b 是公差为d 的“隔项等差”数列．（Ⅰ）若17,321==c c ，{}n c 是公差为8的“隔项等差”数列，求{}n c 的前15项之和；（Ⅱ）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=． ①求证：数列{}n a 为“隔项等差”数列，并求其通项公式；②设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试研究：是否存在实数a ，使得22122++k k k S S S 、、成等比数列（*N k ∈）?若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．五、数阵问题8.已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1＋a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2＋b 1，a 1＋b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．(1) 求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2) 按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项：第1次从数列{a n }中取a 1，第2次从数列{b n }中取b 1，b 2，第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4，第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项，第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10， b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 项和为S n .求满足S n <22 014的最大正整数n .数列经典题目集锦答案1.证明：(1) 设数列{a n }的公差为d ，∵ b n ＝a n －2a n ＋1，∴ b n ＋1－b n ＝(a n ＋1－2a n ＋2)－(a n －2a n ＋1)＝(a n ＋1－a n )－2(a n ＋2－a n ＋1)＝d －2d ＝－d ， ∴ 数列{b n }是公差为－d 的等差数列． (4分) (2) 当n ≥2时，c n －1＝a n ＋2a n ＋1－2，∵ b n ＝a n －2a n ＋1，∴ a n ＝b n ＋c n －12＋1，∴ a n ＋1＝b n ＋1＋c n2＋1，∴ a n ＋1－a n ＝b n ＋1＋c n 2－b n ＋c n －12＝b n ＋1－b n 2＋c n －c n －12.∵ 数列{b n }，{c n }都是等差数列，∴b n ＋1－b n 2＋c n －c n －12为常数， ∴ 数列{a n }从第二项起为等差数列． (10分)(3) 结论：数列{a n }成等差数列．证明如下： (证法1)设数列{b n }的公差为d ′， ∵ b n ＝a n －2a n ＋1，∴ 2n b n ＝2n a n －2n ＋1a n ＋1，∴ 2n －1b n －1＝2n －1a n －1－2n a n ，…，2b 1＝2a 1－22a 2，∴ 2n b n ＋2n －1b n －1＋…＋2b 1＝2a 1－2n ＋1a n ＋1，设T n ＝2b 1＋22b 2＋…＋2n －1b n －1＋2n b n ，∴ 2T n ＝22b 1＋…＋2n b n －1＋2n ＋1b n ，两式相减得：－T n ＝2b 1＋(22＋…＋2n －1＋2n )d ′－2n ＋1b n ，即T n ＝－2b 1－4(2n －1－1)d ′＋2n ＋1b n ， ∴ －2b 1－4(2n －1－1)d ′＋2n ＋1b n ＝2a 1－2n ＋1a n ＋1，∴ 2n ＋1a n ＋1＝2a 1＋2b 1＋4(2n －1－1)d ′－2n ＋1b n ＝2a 1＋2b 1－4d ′－2n ＋1(b n －d ′)， ∴ a n ＋1＝2a 1＋2b 1－4d′2n ＋1－(b n －d ′)． (12分) 令n ＝2，得a 3＝2a 1＋2b 1－4d′23－(b 2－d ′)＝2a 1＋2b 1－4d′23－b 1， ∵ b 1＋a 3＝0，∴2a 1＋2b 1－4d′23＝b 1＋a 3＝0，∴ 2a 1＋2b 1－4d ′＝0，∴ a n ＋1＝－(b n －d ′)，∴ a n ＋2－a n ＋1＝－(b n ＋1－d ′)＋(b n －d ′)＝－d ′，∴ 数列{a n }(n ≥2)是公差为－d ′的等差数列． (14分) ∵ b n ＝a n －2a n ＋1，令n ＝1，a 1－2a 2＝－a 3，即a 1－2a 2＋a 3＝0，∴ 数列{a n }是公差为－d ′的等差数列． (16分)(证法2)∵ b n ＝a n －2a n ＋1，b 1＋a 3＝0，令n ＝1，a 1－2a 2＝－a 3，即a 1－2a 2＋a 3＝0，(12分) ∴ b n ＋1＝a n ＋1－2a n ＋2，b n ＋2＝a n ＋2－2a n ＋3，∴ 2b n ＋1－b n －b n ＋2＝(2a n ＋1－a n －a n ＋2)－2(2a n ＋2－a n ＋1－a n ＋3)． ∵ 数列{b n }是等差数列，∴ 2b n ＋1－b n －b n ＋2＝0， ∴ 2a n ＋1－a n －a n ＋2＝2(2a n ＋2－a n ＋1－a n ＋3)．(14分) ∵ a 1－2a 2＋a 3＝0，∴ 2a n ＋1－a n －a n ＋2＝0， ∴ 数列{a n }是等差数列．(16分)2.解析：(1) 若λ＝1，则(S n ＋1＋1)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1，a 1＝S 1＝1.∵ a n ＞0，S n ＞0，∴ S n ＋1＋1S n ＋1＝a n ＋1a n ，(2分) ∴S 2＋1S 1＋1·S 3＋1S 2＋1·…·S n ＋1＋1S n ＋1＝a 2a 1·a 3a 2·…·a n ＋1a n ，化简，得S n ＋1＋1＝2a n ＋1. ①(4分) ∴ 当n ≥2时，S n ＋1＝2a n . ② ①－②，得a n ＋1＝2a n ，∴a n ＋1a n＝2(n ≥2)．(6分) ∵ 当n ＝1时，a 2＝2，∴ n ＝1时上式也成立，∴ 数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，a n ＝2n －1(n ∈N *)．(8分) (2) 令n ＝1，得a 2＝λ＋1.令n ＝2，得a 3＝(λ＋1)2.(10分) 要使数列{a n }是等差数列，必须有2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝0.(11分) 当λ＝0时，S n ＋1a n ＝(S n ＋1)a n ＋1，且a 2＝a 1＝1. 当n ≥2时，S n ＋1(S n －S n －1)＝(S n ＋1)(S n ＋1－S n )，整理，得S 2n ＋S n ＝S n ＋1S n －1＋S n ＋1，S n ＋1S n －1＋1＝S n ＋1S n ，(13分) 从而S 2＋1S 1＋1·S 3＋1S 2＋1·…·S n ＋1S n －1＋1＝S 3S 2·S 4S 3·…·S n ＋1S n ，化简，得S n ＋1＝S n ＋1，∴ a n ＋1＝1.(15分) 综上所述，a n ＝1(n ∈N *)，∴ λ＝0时，数列{a n }是等差数列．(16分)3.解析：(1)由11,6,1321===a a a ，得18,7,1321===S S S ．把2,1=n 分别代入*1,)25()85(N n B An S n S n n n ∈+=+--+，得⎩⎨⎧-=+-=+48228B A B A ，解得，8,20-=-=B A ．(2)由(1)知，82028)(511--=---++n S S S S n n n n n ，即82028511--=--++n S S na n n n ，① 又8)1(2028)1(5122-+-=--++++n S S a n n n n ． ②②-①得，20285)1(51212-=---+++++n n n n a a na a n ，即20)25()35(12-=+--++n n a n a n ． ③ 又20)75()25(23-=+-+++n n a n a n ．④④-③得，0)2)(25(123=+-++++n n n a a a n ，520n +≠，∴02123=+-+++n n n a a a ，又32215a a a a -=-=，所以32120a a a -+=，因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列．故45)1(51-=-+=n n a n ．4.解析：(1) 0λ=时,111n n n n naS S a a +++=+∴1n n n na S S a +=∵0n a >，∴0n S > ∴ 1n n a a +=，∵11a =，∴1n a =(2) ∵()11131n n n n n n a S S a a λ+++=+⋅+ 0n a > ，∴1131nn n n nS S a a λ++-=⋅+ 则212131S S a a λ-=⋅+，2323231S S a a λ-=⋅+，，11131n n n n n S S a a λ----=⋅+()2n ≥ 相加，得()2113331n nnS n a λ--=+++-则()3322n n n S n a n λ⎛⎫-=+⋅≥ ⎪⎝⎭，该式对1n =也成立， ∴()*332n n n S n a n N λ⎛⎫-=+⋅≥ ⎪⎝⎭． ③ ∴()1*13312n n n S n a n N λ++⎛⎫-=++⋅≥ ⎪⎝⎭． ④ ④－③，得1113333122n n n n n a n a n a λλ+++⎛⎫⎛⎫--=++⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即11333322n n n n n a n a λλ++⎛⎫⎛⎫--+⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵0λ≥，∴133330,022n n n n λλ+--+>+> . ∵112n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立， ∴332nn λ-+1133()22n n λ+-<+对一切*n ∈N 恒成立．即233nnλ>+对一切*n ∈N 恒成立．记233n n nb =+,则()()()111423622233333333n n n n n n n n n n b b +++-⋅-+-=-=++++ 当1n =时，10n n b b +-=；当2n ≥时，10n n b b +->∴ 1213b b ==是{}n b 中的最大项．综上所述，λ的取值范围是13λ>.5. 解析：（1）数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，∴215364a a a ==，38a ∴=，又5348S S -=，2458848a a q q ∴+=+=，2q ∴=，3822n n n a -∴=⋅=； ……4分（2）（ⅰ）必要性：设5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列，①若25k m l a a a ⋅=+，则10222k m l ⋅=+，1022m k l k --∴=+，11522m k l k ----∴=+，1121,24m k l k ----⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 13m k l k =+⎧∴⎨=+⎩. ………… 6分②若25m k l a a a =+，则22522m k l ⋅=⋅+，1225m k l k +--∴-=，左边为偶数，等式不成立， ③若25l k m a a a =+，同理也不成立，综合①②③，得1,3m k l k =+=+，所以必要性成立. …………8分（ⅱ）充分性：设1m k =+，3l k =+，则5,,k m l a a a 这三项为135,,k k k a a a ++，即5,2,8k k k a a a ，调整顺序后易知2,5,8k k k a a a 成等差数列，所以充分性也成立. 综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立. …………10分（3）因为11213213246n n n n n a b a b a b a b n +--++++=⋅--，即123112122223246n n n n n b b b b n +--++++=⋅--，（*）∴当2n ≥时，1231123122223242n n n n n b b b b n ----++++=⋅--，（**）则（**）式两边同乘以2，得2341123122223284n n n n n b b b b n +---++++=⋅--，（***）∴（*）－（***），得242n b n =-，即21(2)n b n n =-≥，又当1n =时，21232102b =⋅-=，即11b =，适合21(2)n b n n =-≥，21n b n ∴=-.………14分 212n n n b n a -∴=，111212352222n n n n nn n b b n n n a a ------∴-=-=， 2n ∴=时，110n n n n b b a a --->，即2121b b a a >；3n ∴≥时，110n n n n b b a a ---<，此时n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减，又1112b a =，2234b a =，3358b a =，44716b a =， 71162λ∴<≤. ……………16分 6. 解析：(1) 设b n ＝a 2n －λ，因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2－λa 2n －λ＝13a 2n ＋1＋（2n ＋1）－λa 2n －λ＝13（a 2n －6n ）＋（2n ＋1）－λa 2n －λ＝13a 2n ＋1－λa 2n －λ.(2分)若数列{a 2n －λ}是等比数列，则必须有13a 2n＋1－λa 2n －λ＝q (常数)，即⎝⎛⎭⎫13－q a 2n ＋(q －1)λ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧13－q ＝0（q －1）λ＋1＝0⎩⎨⎧q ＝13，λ＝32，(5分)此时b 1＝a 2－32＝13a 1＋1－32＝－16≠0，所以存在实数λ＝32，使数列{a 2n －λ}是等比数列．(6分)(注：利用前几项，求出λ的值，并证明不扣分) (2) 由(1)得{b n }是以－16为首项，13为公比的等比数列，故b n ＝a 2n －32＝－16·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ，即a 2n ＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ＋32.(8分)由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝－12·⎝⎛⎭⎫13n －1－6n ＋152，(10分)所以a 2n －1＋a 2n ＝－12·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1＋⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9＝－2·⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9， S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2[13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n ]－6(1＋2＋…＋n )＋9n＝－2·13[1－⎝⎛⎭⎫13n ]1－13－6·n （n ＋1）2＋9n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1－3n 2＋6n ＝⎝⎛⎭⎫13n－3(n －1)2＋2，(12分)显然当n ∈N *时，{S 2n }单调递减．又当n ＝1时，S 2＝73＞0，当n ＝2时，S 4＝－89＜0，所以当n ≥2时，S 2n ＜0；S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·⎝⎛⎭⎫13n －52－3n 2＋6n ，同理，当且仅当n ＝1时，S 2n －1＞0.综上，满足S n ＞0的所有正整数n 为1和2.(16分)7.解析：（Ⅰ）易得数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n前15项之和53527)6517(28)593(=⨯++⨯+=……………………………4分（Ⅱ）①n a a n n 21=++ （*∈N n ）（1）， )1(221+=+++n a a n n （2）（1）-（2）得22=-+n n a a （*∈N n ）．所以，{}n a 为公差为2的“隔项等差”数列． ……………………………6分当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122，当n 为奇数时，()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ； …8分②当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n21212-+=a n ． ……………………………12分故当k n 2=时，222k S k =，a k k S k ++=+22212，222)1(2+=+k S k ，由()222212++⋅=k k k S S S ，则2222)1(22)22(+⋅=++k k a k k ，解得0=a ．所以存在实数0a =，使得22122++k k k S S S 、、成等比数列（*N k ∈）……………………………16分8. 解析：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＝a 1＋2d ，b 1（b 1q ）＝b 1q 2，（a 1＋2d ）＋（a 1＋b 1q ）＝2[（a 1＋d ）＋b 1]，（a 1＋d ）2＝a 1（b 1q ），解得a 1＝d ＝1，b 1＝q ＝2.故a n ＝n ，b n ＝2n .(6分)(2) 将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()22211222nn n n n P +++=+-.(11分)P 45－22 014＝452（452＋1）2＋22 071－22 014－2>0，P 44－22 014＝442（442＋1）2－21 981(233－1)－2<0.当S n ＝452（452＋1）2＋(2＋22＋…＋22 012)时，S n －22 014＝－22 013－2＋452（452＋1）2<0.(13分)当S n ＝452（452＋1）2＋(2＋22＋…＋22 013)时，S n －22 014＝－2＋452（452＋1）2>0.可得到符合S n <22 014的最大的n ＝452＋2 012＝4 037.(16分)。

(完整版)《数列》练习题及答案

欢迎阅读《数列》练习题姓名_________班级___________一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列－2，0，2，…的第15项为( ) A ．11 2 B ．12 2 C ．13 2 D ．14 22．若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．23．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( ) A.14 B.94 C.134 D.1745．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围为( )A ．[12，2)B ．[12，2]C ．[12，1)D ．[12，1]6．小正方形按照如图所示的规律排列：每个图中的小正方形的个数构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)．其中正确的命题序号为( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．①7．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝( )A ．0B ．－ 3 C. 3D.328．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ3n}为等差数列的实数λ＝( )A ．2B ．5C ．－12D.129．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A．S17 B．S18 C．S19D．S2010．将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )A．34 950 B．35 000 C．35 010D．35 050二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.12．设数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项a n＝________.．)100项2,0，n2n1232n－1<3.18．(本小题满分8分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝1(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝3＋log4a n，设T n＝|b1|＋|b2|＋…＋|b n|，求T n.19．(本小题满分10分)已知单调递增的等比数列{a n}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n ＝n n a log a 21，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围．参考答案选择题答案题号 12345678910答案C A B C C C B C C A填空题答案第11题 24第12题第13题 a n ＝2·3n第14题-7【第15题】S 5＝5?a 1＋a 5?2＝5?a 1＋5?2＝15，∴a 1＝1. ∴d ＝a 5－a 15－1＝5－15－1＝1.∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n ?n ＋1?.设{1a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，则T 100＝11×2＋12×3＋…＋1100×101 ＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101 ＝1－1101＝100101. 【第16题】(1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .【第17题】(1)∵{a n }是递减的等比数列， ∴数列{a n }的公比q 是正数．又∵{a 1，a 2，a 3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}，∴a 1＝4，a 2＝2，a 3＝1.∴q ＝a 2a 1＝24＝12.∴a n ＝a 1q n －1＝82n .(2)由已知得b n ＝12])1(1[8+--n n ，当n ＝2k (k ∈N *)时，b n ＝0，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，b n ＝a n . 即b n ＝⎩⎨⎧0，?n ＝2k ，k ∈N *?，a n ，?n ＝2k －1，k ∈N *?.∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －2＋b 2n －1T n T n n ⎪⎩≥+-)7(,460112n n n 【第19题】(1)n n 2a =(2)∵b n ＝2n ·log 12 2n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① －2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.②①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21)21(2--n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.∵S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，∴2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立． ∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n 恒成立，即m <12n －1恒成立．∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．。

数列全集

1、256 ，269 ，286 ，302 ，（）解析： 2+5+6=13 256+13=269 2+6+9=17 269+17=286 2+8+6=16 286+16=302 302+3+2=3072、72 , 36 , 24 , 18 , ( )解析：（方法一）相邻两项相除,72 36 24 18\ / \ / \ /2/1 3/2 4/3(分子与分母相差1且前一项的分子是后一项的分母)接下来貌似该轮到5/4,而18/=5/4. 选C（方法二）6×12=72， 6×6=36， 6×4=24， 6×3 =18， 6×X 现在转化为求X12，6，4，3，X12/6 ，6/4 ， 4/3 ，3/X化简得2/1，3/2，4/3，3/X，注意前三项有规律，即分子比分母大一，则3/X=5/4 可解得：X=12/5 再用6×12/5=3、8 , 10 , 14 , 18 ,（）A. 24B. 32C. 26D. 20分析：8，10，14，18分别相差2，4，4，？可考虑满足2/4=4/?则？＝8所以，此题选18＋8＝264、3 , 11 , 13 , 29 , 31 ,（）分析：奇偶项分别相差11－3＝8，29－13＝16＝8×2，？－31＝24＝8×3则可得？＝55，故此题选D5、-2/5，1/5，-8/750，（）。

A 11/375B 9/375C 7/375D 8/375解析： -2/5，1/5，-8/750，11/375=> 4/(-10)，1/5，8/(-750)，11/375=>分子 4、1、8、11=>头尾相减=>7、7分母 -10、5、-750、375=>分2组(-10,5)、(-750,375)=>每组第二项除以第一项=>-1/2,-1/2 答案为A1. 16 , 8 , 8 , 12 , 24 , 60 , ( )分析：相邻两项的商为，1，，2，，3，所以选1802. 2 ，3 ，6 ，9 ，17 ，（）分析：6+9=15=3×53+17=20=4×5 那么2+?=5×5=25 所以?=23 所以选B3. 3 ，2 ，5/3 ，3/2 ，（）5 6 5 4分析：通分 3/1 4/2 5/3 6/4 ----7/5所以选A4. 20 ，22 ，25 ，30 ，37 ，（）分析：它们相差的值分别为2，3，5，7。

数列练习题及答案

数列练习题及答案一、选择题1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a2=3，且满足an+1 = an + 2n，求S5的值。

A. 25B. 28B. 30D. 312. 对于数列{bn}，若b1=2，且bn+1 = 2bn + 1，求b4的值。

A. 17B. 15C. 13D. 113. 已知数列{cn}是等差数列，其公差为3，且c5=23，求c1的值。

A. 2B. 5C. 8D. 114. 数列{dn}的通项公式为dn = 2n - 1，求d10的值。

A. 19B. 17C. 15D. 135. 若数列{en}满足en = 3en-1 - 2，e1 = 1，求e3的值。

B. 5C. 3D. 1二、填空题6. 已知数列{fn}的前n项和为Sn，且满足Sn = n^2，求f3的值。

7. 对于数列{gn}，若g1=4，且满足gn+1 = 3gn - 2，求g3的值。

8. 已知等比数列{hn}的首项为h1=8，公比为2，求h5的值。

9. 若数列{in}满足in = 2^n - 1，求i5的值。

10. 对于数列{jn}，若j1=1，且满足jn+1 = jn^2，求j4的值。

三、解答题11. 某工厂生产的产品数量构成一个等差数列，第一年生产了100件，每年生产量比上一年多20件。

求第5年的产量，并求这5年的总产量。

12. 某公司的股票价格构成一个等比数列，第一年价格为10元，每年价格是上一年的2倍。

求第3年的股票价格，并求这3年的平均价格。

13. 已知数列{kn}的前n项和为Sn，且满足Sn = 2n^2 + n，求k5的值。

14. 对于数列{ln}，若l1=1，且满足ln+1 = ln + ln-1，l2=3，求l4的值。

15. 某数列{mn}的通项公式为mn = 3^n - 2^n，求m5的值。

1. B2. A3. D4. A5. A6. 67. 108. 1289. 3110. 25511. 第5年产量为180件，5年总产量为700件。

高中数列基础试题及答案

高中数列基础试题及答案一、选择题1. 已知数列$ \{a_n\} $的前几项为1, 2, 3, ..., 则该数列的第10项是多少？A. 10B. 11C. 12D. 132. 一个等差数列的首项为2，公差为3，求第5项的值。

A. 17B. 14B. 13D. 12二、填空题3. 若数列$ \{a_n\} $是等比数列，首项为2，公比为3，求第5项的值。

4. 已知数列$ \{b_n\} $的通项公式为$ b_n = 2^n - 1 $，求第8项的值。

三、解答题5. 已知数列$ \{c_n\} $的前几项为1, 4, 9, 16, ..., 请找出该数列的通项公式，并求出第10项的值。

6. 一个等差数列的前5项之和为40，首项为2，求公差。

答案一、选择题1. 答案：A. 10解析：这是一个等差数列，首项$ a_1 = 1 $，公差$ d = 1 $，根据等差数列的通项公式$ a_n = a_1 + (n - 1)d $，代入n=10得$ a_{10} = 1 + 9 = 10 $。

2. 答案：A. 17解析：根据等差数列的通项公式$ a_n = a_1 + (n - 1)d $，代入n=5，$ a_1 = 2 $，$ d = 3 $得$ a_5 = 2 + 4 \times 3 = 14 $，但选项中没有14，因此需要检查题目是否有误。

二、填空题3. 答案：162解析：等比数列的通项公式为$ a_n = a_1 \times r^{(n-1)} $，代入n=5，$ a_1 = 2 $，$ r = 3 $得$ a_5 = 2 \times 3^4 = 162 $。

4. 答案：255解析：根据通项公式$ b_n = 2^n - 1 $，代入n=8得$ b_8 =2^8 - 1 = 256 - 1 = 255 $。

三、解答题5. 解答：该数列的通项公式为$ c_n = n^2 $。

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数列专题1. 等差数列{}n a 中，已知12,341==a a ，（I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若42,a a 分别为等比数列{}n b 的第1项和第2项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .2. 数列{n a } 中a ＝13，前n 项和n S 满足1n S +-nS ＝113n +⎛⎫ ⎪⎝⎭（n ∈*N ）.( I ) 求数列{na }的通项公式na 以及前n 项和nS ；（II ）若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列，求实数t 的值。

3. 设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值。

4. 已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项; （Ⅱ）求数列{2an}的前n 项和Sn.5. 已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，nS 为{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求通项na 及nS ；（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和nT .6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈（1）证明：{}1n a -是等比数列；（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，nS 取得最小值，并说明理由。

7. 设数列{}n a 满足21112,32n n n aa a -+=-=求数列{}n a 的通项公式；令n nb na =，求数列的前n 项和nS8. 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求na 及n S ；（Ⅱ）令bn=211n a -(n ∈N*)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．9. 某市投资甲、乙两个工厂，2008年两工厂的产量均为100万吨，在今后的若干年内，甲工厂的年产量每年比上一年增加10万吨，乙工厂第n 年比上一年增加12n -万吨，记2008年为第一年，甲、乙两工厂第n 年的年产量分别为n a 万吨和n b 万吨．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍，则将另一工厂兼并，问到哪一年底，其中哪一个工厂被另一个工厂兼并．10. 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a （单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除。

当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b （单位：m2）的旧住房。

（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b 是多少？（计算时取1.15=1.6）11. 已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1*(4)(0,)n n n b a qq n N -=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和nS12. 已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b ，111==b a ，1073=+a a ， 3b ＝4a （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式（2）若n n n b a c ∙=，求数列{}n c 的前n 项和n T数列专题参考答案1..解：（I ）设数列{}n a 的公差为d ，由已知有⎩⎨⎧=+=123311d a a …………2分解得3=d …………4分()n n a n 3313=-+=∴ …………6分（Ⅱ）由（I ）得,12,642==a a 则12,621==b b ，…………8分设{}n b 的公比为,q 则212==b b q ， …………9分从而nn n b 23261⋅=⋅=- …………11分所以数列{}n b 的前n 项和()()12621216-=--=nnn s …………12分2.3. 解：（1）由am = a1 +（n-1）d 及a1=5，aw=-9得112599{a d a d +=+=- 解得192{a d ==-数列{am}的通项公式为an=11-2n 。

……..6分(2)由(1) 知Sm=na1+(1)2n n -d=10n-n2。

因为Sm=-(n-5)2+25.所以n=5时，Sm 取得最大值。

……12分 4. 解由题设知公差由成等比数列得解得(舍去)故的通项,由等比数列前n 项和公式得5.6. 解析：(1) 当n =1时，a1=-14；当n≥2时，an =Sn -Sn -1=-5an +5an -1+1，所以151(1)6n n a a --=-，又a1-1=-15≠0，所以数列{an -1}是等比数列；(2) 由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，从而1575906n n S n -⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(n ∈N*)；解不等式Sn<Sn +1，得15265n -⎛⎫<⎪⎝⎭，562log 114.925n >+≈，当n≥15时，数列{Sn}单调递增；同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减；故当n =15时，Sn 取得最小值．7. 解：（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+21233(222)2n n --=++++2(1)12n +-=。

而12,a =所以数列{na }的通项公式为212n n a -=。

（Ⅱ）由212n n n b na n -==⋅知35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ①从而23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅ ②①-②得2352121(12)22222n n n S n -+-⋅=++++-⋅ 。

即 211[(31)22]9n n S n +=-+8. 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==，所以321)=2n+1n a n =+-（；nS =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以bn=211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4nn+1⋅，所以nT =111111(1-+++-)4223nn+1⋅- =11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)，即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1)。

9.（Ⅰ）1090n a n =+，298nn b =+ ……………6分（Ⅱ）2015年底甲工厂将被乙工厂兼并。

……………12分10.11.12（2）∵ n n n b a c ⋅=＝12-⋅n n∴ n T ＝1212232221-⨯++⨯+⨯+⨯n n∴ n T 2 ＝ nn n n 22)1(2322211321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯-以上两式相减，得－n T ＝nn n 22222121⨯-++++- ………………………9分＝nnn 221)21(1⨯---⨯＝12)1(-⨯-nn∴ n T ＝12)1(+⨯-nn ………………………………………………………………12分。