方差、标准差、协方差、相关系数
均值方差标准差
关于抽样分布我们要了解的:
Y 的均值是多少?
如果 E(Y ) =真实的 = .78, 则Y 是 of 的无偏
unbiased 估计量 Y 的方差是多少?
var(Y ) 如何依赖于 n (著名的 1/n 公式)
当 n 较大时 Y 是否靠近 ? 大数定律: Y 是 的相合 consistent 估计量
14
Y 的抽样分布（续）
例: 设 Y 取 0 或 1 ( Bernoulli 随机变量)，服从概率分布,
Pr[Y = 0] = .22, Pr(Y =1) = .78 则
E(Y) = p1 + (1 – p)0 = p = .78
2 Y
=
E[Y
–
E(Y)]2
=
p(1
–
p)
= .78(1–.78) = 0.1716
24
Y E(Y )
相同例子：
的抽样分布：
var(Y )
25
总结: Y 的抽样分布
当
Y1,…,Yn
i.i.d.
满足
0
<
2 Y
<
时,
Y 的精确（有限样本）分布均值为Y (“Y 是Y 的无偏估
计量”)
方差为
2 Y
/n
除了其均值和方差, Y 的精确分布非常复杂取决于 Y 的分
布 (总体分布)
协方差是 X 和 Z 线性关联程度的度量; 其单位为 X 的单位
Z 的单位
cov(X,Z) > 0 表明 X 和 Z 正相关 若 X 和 Z 独立分布, 则 cov(X,Z) = 0 (反之不成立!!)
相关系数r的计算公式 方差
相关系数r的计算公式方差相关系数是一种度量变量之间关系紧密程度的统计指标，用于衡量两个变量之间的线性相关程度。
在统计学的研究和实践中，相关系数在许多领域都起着极为重要的作用。
在本文中，我们将着重探讨相关系数的计算公式和方差计算方法，并且提供一定的使用指导意义，帮助读者更好地理解和应用相关系数。
一、相关系数的计算公式相关系数一般用字母r表示，计算公式如下：r = Cov(X,Y) / (SD(X) * SD(Y))其中，Cov(X,Y)表示变量X与Y之间的协方差，SD(X)和SD(Y)分别表示X和Y的标准差。
这个公式表明，相关系数的计算取决于变量X和Y之间的协方差、X和Y的标准差。
当协方差为正数时，X和Y呈正相关关系；当协方差为负数时，X和Y呈负相关关系。
而当协方差为0时，X和Y之间不具有任何线性相关性。
二、方差的计算方法方差是统计学中常用的一种表示数据离散程度的指标，它是各个数据值与其均值差的平方的和的平均值。
方差的计算方法如下：S² = Σ (Xi - X)² / n其中，S²表示方差；Xi表示第i个数据值；X表示平均数；n表示样本数。
方差的计算是通过测量样本中各个数据值与它们的平均值的偏离程度，来体现样本数据的离散程度。
在统计学中，方差是很重要的一个概念，经常被用于衡量数据集的离散程度，并且方差的大小可以对比不同数据集之间的差异性和稳定性。
三、使用相关系数的指导意义相关系数是衡量两个变量线性相关度量的一个重要方法，它可以及时发现和分析变量之间的相互关系，为后续的数据分析和决策制定提供基础依据。
在实际应用中，相关系数可以被广泛应用于经济、社会学、生物学、医学等多个领域。
在进行相关系数的计算和应用时，需要注意以下几点：1. 相关系数是用于描述两个变量之间的线性关系，而非其他非线性关系，如二次关系、指数关系等。
2. 相关系数的取值范围是[-1,1]，其中，-1表示完全的负相关，0表示两个变量之间没有关系，1表示完全的正相关。
方差、标准差、协方差和Pearson相关系数及其间的关系
方差、标准差、协方差和Pearson相关系数及其间的关系方差、协方差和Pearson相关系数在机器学习的理论概念中经常出现，本文主要理一下这几个概念及其相互间的关系。
（一）方差：方差是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数，公式如下：上式中mui为样本均值。
方差可以反应样本数据的离散程度，由上式可以看出，方差越大，样本离散程度也越大。
机器学习中，如果某一特征值的离散程度很小，即表示该特征取值很少，可以认为样本在这个特征上基本没有差异，那这个特征对于样本区分没有什么作用，可以将这个特征去除，从而做到特征选择。
（二）标准差：标准差即方差的开平方，不展开了，下面是公式：（三）协方差：协方差描述的是两个变量间的相关性，计算公式如下：也可以用以下公式表示，两者是等价的：cov(X, Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]上式中E[ ]表示求期望，其中E[X]为X特征期望或均值，E[Y]为Y 特征期望或均值。
对比方差和协方差的公式可以看出两者很像，但方差的结果是大于等于0的，当等于0时，说明样本的x特征取值唯一，反应的样本的x特征的离散程度；协方差的取值则可以大于零也可以小于零，当大于零时，说明对应的两个变量x和y与其均值相比都同大于或同小于，即两个变量的变化趋势相同（正相关）；当小于零时，说明对应的两个变量x和y不同时大于或小于其均值，即两个变量的变化趋势相反（负相关）；而当均方根接近零时，说明两个变量基本没有相关性，接近相互独立。
从以上描述可以看出，协方差可以衡量两个变量相关性大小，绝对值越大，说明越相关。
但是，却不好比较多个变量与另外同一个变量间相关性的相对大小，因为量纲没有统一。
为了便于比较不同变量与另外同一个变量间相关性的相对大小，Pearson相关系数被提出了。
Pearson相关系数：如上所述，Pearson相关性系数是为了比较不同变量与另外同一变量间相关性的相对大小，这里要注意的是：Pearson相关性系数衡量的是定距变量间的线性关系，可以用Pearson相关系数来进行特征特征选择。
协方差与相关系数的区别
协方差与相关系数的区别协方差和相关系数是统计学中常用的两个概念，用于衡量两个变量之间的关系。
虽然它们都可以用来描述变量之间的相关性，但是它们有着不同的计算方法和解释方式。
本文将详细介绍协方差和相关系数的区别。
一、协方差协方差是用来衡量两个变量之间的总体相关性的统计量。
它的计算公式如下：Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]其中，X和Y分别表示两个变量，E(X)和E(Y)分别表示X和Y的期望值。
协方差的值可以为正、负或零，分别表示正相关、负相关和无关。
协方差的绝对值越大，表示两个变量之间的相关性越强。
当协方差为正时，表示两个变量呈正相关关系，即当一个变量增大时，另一个变量也增大；当协方差为负时，表示两个变量呈负相关关系，即当一个变量增大时，另一个变量减小；当协方差为零时，表示两个变量之间没有线性相关关系。
然而，协方差的值受到变量单位的影响，因此无法直接比较不同变量之间的相关性。
为了解决这个问题，引入了相关系数。
二、相关系数相关系数是用来衡量两个变量之间线性相关程度的统计量。
它的计算公式如下：ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X) * σ(Y))其中，Cov(X,Y)表示X和Y的协方差，σ(X)和σ(Y)分别表示X和Y的标准差。
相关系数的取值范围为-1到1之间。
相关系数的绝对值越接近1，表示两个变量之间的线性相关性越强。
当相关系数为1时，表示两个变量完全正相关；当相关系数为-1时，表示两个变量完全负相关；当相关系数为0时，表示两个变量之间没有线性相关关系。
相比于协方差，相关系数消除了变量单位的影响，可以更准确地衡量两个变量之间的相关性。
相关系数还具有标准化的特点，便于比较不同变量之间的相关性。
三、协方差与相关系数的区别1. 计算方法不同：协方差的计算只需要两个变量的期望值，而相关系数的计算需要除以两个变量的标准差。
2. 解释方式不同：协方差的值没有具体的范围，无法直接比较不同变量之间的相关性；相关系数的值在-1到1之间，可以直观地表示两个变量之间的线性相关程度。
统计学常用公式
统计学常用公式统计学是一门研究数据收集、整理、分析和解释的学科。
在统计学中，公式是非常重要的工具，用于计算和推导各种统计指标和结果。
下面是一些统计学中常用的公式，它们可以帮助我们理解和应用统计学的基本概念和方法。
1. 数据的中心趋势度量在统计分析中，我们经常需要了解数据的中心趋势，即数据的集中程度或平均水平。
以下是几个常用的中心趋势度量公式：- 平均值（Mean）：一组数据中所有观测值的总和除以观测值的个数。
- 中位数（Median）：将一组数据按照大小排序，位于中间位置的观测值。
- 众数（Mode）：出现次数最多的观测值。
- 加权平均值（Weighted Mean）：将每个观测值乘以相应的权重，然后求和并除以总的权重和。
2. 数据的离散程度度量除了了解数据集中在哪里，我们还需要了解数据的离散程度，即数据分散的程度。
以下是几个常用的离散程度度量公式：- 方差（Variance）：一组数据与其平均值之差的平方的平均值。
- 标准差（Standard Deviation）：方差的算术平方根。
- 平均绝对偏差（Mean Absolute Deviation）：一组数据与其平均值之差的绝对值的平均值。
3. 数据的相关性度量在统计分析中，我们常常需要了解两个或多个变量之间的相关性。
以下是几个常用的相关性度量公式：- 协方差（Covariance）：一组数据中两个变量之间的协方差。
协方差的正负表示两个变量是正相关还是负相关。
- 相关系数（Correlation Coefficient）：协方差除以两个变量各自的标准差的乘积。
相关系数的取值范围为-1到1，越接近-1或1表示相关性越强。
4. 抽样误差估计在统计学中，我们通常只能对样本数据进行分析，从而推断总体的特征。
以下是几个常用的抽样误差估计公式：- 样本标准差（Sample Standard Deviation）：类似于总体标准差，但在计算时使用样本数据。
- 样本均值（Sample Mean）：类似于总体均值，但在计算时使用样本数据。
常见的统计函数
常见的统计函数常见的统计函数有：均值、中位数、众数、方差、标准差、协方差、相关系数、偏度和峰度等。
这些统计函数在数据分析和统计学中起到了重要的作用，能够帮助我们对数据进行描述、分析和推断。
下面将对这些统计函数逐一进行介绍。
一、均值（Mean）均值是一组数据的平均值，是最常见的统计函数之一。
计算均值的方法是将一组数据的所有观测值相加，然后除以观测值的个数。
均值可以反映数据的集中趋势，一般用于描述数据的平均水平。
二、中位数（Median）中位数是一组数据中居于中间位置的数值，将一组数据按照大小顺序排列，中间位置的数即为中位数。
中位数对于数据的分布情况更为稳健，不受异常值的影响，一般用于描述数据的典型值。
三、众数（Mode）众数是一组数据中出现频率最高的数值。
一组数据可能存在多个众数，也可能不存在众数。
众数可以反映数据的集中趋势，一般用于描述数据的典型值。
四、方差（Variance）方差是一组数据与其均值之间差异的平方的平均值。
方差可以反映数据的离散程度，方差越大表示数据的离散程度越高，方差越小表示数据的离散程度越低。
五、标准差（Standard Deviation）标准差是方差的平方根，用于衡量一组数据的离散程度。
标准差越大表示数据的离散程度越高，标准差越小表示数据的离散程度越低。
六、协方差（Covariance）协方差是衡量两个随机变量之间关系的统计量。
协方差的正负表示两个随机变量的相关性，正值表示正相关，负值表示负相关，零值表示无关。
协方差的绝对值越大表示两个随机变量的相关性越强。
七、相关系数（Correlation Coefficient）相关系数是衡量两个随机变量之间线性相关程度的统计量。
相关系数的取值范围在-1到1之间，绝对值越接近1表示相关性越强，绝对值越接近0表示相关性越弱。
八、偏度（Skewness）偏度是描述数据分布偏斜程度的统计量。
偏度为正表示数据分布偏右，偏度为负表示数据分布偏左，偏度为0表示数据分布对称。
期望、方差、协方差、相关系数
期望、⽅差、协⽅差、相关系数
⼀、期望
在概率论和统计学中，数学期望（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
它反映随机变量平均取值的⼤⼩。
线性运算：
推⼴形式：
函数期望：设f(x)为x的函数，则f(x)的期望为
离散函数：
连续函数：
注意：
函数的期望不等于期望的函数；
⼀般情况下，乘积的期望不等于期望的乘积；
如果X和Y相互独⽴，则E(xy)=E(x)E(y)。
⼆、⽅差
概率论中⽅差⽤来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
⽅差是⼀种特殊的期望。
定义为：
⽅差性质：
1）
2）常数的⽅差为0；
3）⽅差不满⾜线性性质；
4）如果X和Y相互独⽴，则：
三、协⽅差
协⽅差衡量两个变量线性相关性强度及变量尺度。
两个随机变量的协⽅差定义为：
⽅差是⼀种特殊的协⽅差。
当X=Y时，
协⽅差性质：
1）独⽴变量的协⽅差为0。
2）协⽅差计算公式：
3）特殊情况：
四、相关系数
相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。
两个随机变量的相关系数定义为：
相关系数的性质：
1）有界性。
相关系数的取值范围是，可以看成⽆量纲的协⽅差。
2）值越接近1，说明两个变量正相关性（线性）越强。
越接近-1，说明负相关性越强，当为0时，表⽰两个变量没有相关性。
股票协方差
股票走势分析算法-协方差,标准差,相关系数分类：〖技术相关〗2011-11-04 13:26 274人阅读评论(0) 收藏举报1、协方差是一个用于测量投资组合中某一具体投资项目相对于另一投资项目风险的统计指标，通俗点就是投资组合中两个项目间收益率的相关程度，正数说明两个项目一个收益率上升，另一个也上升，收益率呈同方向变化。
如果是负数，则一个上升另一个下降，表明收益率是反方向变化。
协方差的绝对值越大，表示这两种资产收益率关系越密切；绝对值越小表明这两种资产收益率的关系越疏远。
2、由于协方差比较难理解，所以将协方差除以两个投资方案投资收益率的标准差之积，得出一个与协方差具有相同性质却没有量化的数。
这个数就是相关系数。
计算公式为相关系数=协方差/两个项目标准差之积。
协方差如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。
如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。
/view/121095.htm标准差标准差（Standard Deviation），也称均方差（mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。
标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的，标准差未必相同。
/view/78339.htm相关系数度量两个随机变量间关联程度的量。
相关系数的取值范围为(-1，+1)。
当相关系数小于0时，称为负相关；大于0时，称为正相关；等于0时，称为零相关。
如楼上说：excel最好！！！用第一列表示股票价格(第一个数据在A1单元格)，第二列计算收益率，引用单元格输入公式：=ln（a2/a1），当然也可以用普通收益率公式。
然后double click，就能把这一列计算出来。
j加入收益率最后一个值在B30单元格，计算波动率，就可以在一个单元格里面用公式：=var(B2:B30)同理，协方差的话，用=covar(第一种股票收益率列，第二种股票收益率列)基于协方差理论的最优股票投资组合剖析2010-10-09 来源：摘要：我国现在已经进入了一个“全民炒股”的时代，但股市中许多投资者建议：“不要把所有鸡蛋放在一个篮子里”。
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方差、标准差、协方差、相关系
数
定义:用来衡量一组数据的离差。
在统计描述中，方差用于计算每个变量(观察值)与总体均值之间的差异。
公式： \sigma^{2}=\frac{\Sigma(X-\mu)^{2}}{N}
为样本方差，X为变量，为样本均值，N为样本例数。
2、标准差
定义：标准差（Standard Deviation），是离均差平方的算术平均数的算术平方根，用σ表示。
标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，在概率统计中最常使用作为统计分布程度上的测量依据。
公式： \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma(X-\mu)^{2}}{N}} 变异系数： C_{v}=\frac{\sigma}{\mu} ，其中 \mu 指数据的平均数
3、协方差
定义：协方差（Covariance）用于衡量两个变量的总体误差。
如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。
如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。
公式1： C o v(X,Y)=E[(X-E[X])*(Y-E[Y])]\\=E[XY]-
2E[X]E[Y]+E[X]E[Y]\\=E[XY]-E[X]E[Y]
公式2: Cov=E[(X-\mu_{x})(Y-\mu_{y})] ------该公式易于理解
公式2---可以有如下理解：如果有X,Y两个变量，每个时刻的“X值与其均值之差”乘以“Y值与其均值之差”得到一个乘积，再对这每时刻的乘积求和并求出均值。
注：
1.协方差可以反映两个变量之间的合作关系以及变化趋势是否一致。
向同一个方向或方向变化。
2.X变大，同时Y也变大，说明两个变量是同向变化的，这时协方差就是正的。
3.X变大，同时Y变小，说明两个变量是反向变化的，这时协方差就是负的。
4.从数值上看，协方差越大，两个变量的同向程度越大。
反之亦然，达拉斯到礼堂
4、相关系数
定义:相关系数是反映变量之间密切相关性的统计指标。
公式： p=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_{x}\sigma_{y}}
ps：相关系数是协方差的归一化(normalization)，消除了两个变量量纲/变化幅度不同的影响。
单纯反映两个变量在每单位变化的相似程度。
至于尺寸标注，可以看具体情况，其中协方差和相关系数的关系解释得很清楚。
该案例转自以为CSDN老师，如有叨扰，可留言，我会删除链接，谢谢。
相关性:指两个变量之间的相关程度，如正相关、负相关、不相关等。
二、方差、标准差 vs 协方差、相关系数区别
方差、标准差
用来描述一维数据。
协方差、相关系数
协方差只能处理二维问题，维数多了就需要计算多个协方差，比如n维的数据集就需要计算 n! / ((n-2)!*2) 个协方差。
\Uparrow 文章主要用于自我总结与温习，如果对你也有帮助，手留余香，记得【关注/收藏】哦。