2019-2020学年河北省石家庄市高二上学期期末考试数学试题 扫描版
河北省2019-2020学年高二上学期期末数学试题
绝密★启用前 河北省2019-2020学年高二上学期期末数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．命题“2x ∀>，240x -≥”的否定是（ ） A ．2x ∀≤，240x -< B ．2x ∀>，240x -< C ．02x ∃≤，0240x -< D ．02x ∃>，0240x -< 2．双曲线22143x y -=的渐近线方程是（ ） A ．34y x =? B ．43y x =± C ．2y x =± D ．3y x =± 3．()()13i i --在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知椭圆22:11321x y C m m +=--的焦点在x 轴上，且焦距为则m =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 5．将红、黑、蓝、白5张纸牌（其中白纸牌有2张）随机分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少分得1张，则下列两个事件为互斥事件的是（ ） A ．事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌” B ．事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌” C ．事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”……○…………装…※※请※※不※※要※……○…………装…6．若抛物线28x y =上的点P 到焦点的距离是5，则点P 到x 轴的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．记一个三位数的各位数字的和为M ,则从M 不超过5的三位奇数中任取一个,M 为偶数的概率为( ) A ．513 B ．512 C ．413 D ．13 8．已知直线l :20x y -+=与双曲线C :22221x y a b -=(0a >,0b >)交于A ,B 两点,点()1,4P 是弦AB 的中点,则双曲线C 的离心率为( )A ．43 B ．2 C D 9．已知点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，则“m =P 到直线l ”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．某商场对职工开展了安全知识竞赛的活动,将竞赛成绩按照[)80, 90,[90,100),… ,[140,150]分成7组,得到下面频率分布直方图.根据频率分布直方图.下列说法正确的是( )①根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的众数估计值为110; ②根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的中位数约为113.3; ③若该商场有1000名职工,考试成绩在110分以下的被解雇,则解雇的职工有400人; ④若该商场有1000名职工,商场规定只有安全知识竞赛超过140分(包括140分)的人员才能成为安全科成员,则安全科成员有50人.A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④11．现有下列四条曲线：…………装…学校:___________姓名：…………装…①曲线22x y e =-；②曲线2sin y x =；③曲线13y x x =+；④曲线32y x x =--. 直线2y x =与其相切的共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 12．已知双曲线C ：22145x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上.若12PF F ∆为钝角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ） A ．()9,+∞ B ．(()9,+∞U C ．(()9,+∞U D ．( 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．抛物线22y px =(0p >)的焦点坐标为1(,0)8,则p =__________. 14．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为BD 的中点，若11A E xAA yAB zAD =++u u u v u u u v u u u v u u u v ，则x y z ++=______. 15．已知函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时,()()()()0h x g x h x g x ''-<,且()10h -=.若()()0h a g a <,则a 的取值范围为__________. 16．已知在三棱锥P ABC -中，1PA AB BC ===，AC PB ==PC =，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值是__________. 三、解答题………订…………○※线※※内※※答※※题※※………订…………○17．已知:p函数()()xf x a m=-在R上单调递减，:q关于x的方程22210x ax a-+-=的两根都大于1.（1）当5m=时，p是真命题，求a的取值范围；（2）若p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，求m的取值范围.18．为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评（总分100分），在成绩统计分析中，抽取12名学生的成绩以茎叶图形式表示如图，学校规定测试成绩低于87分的为“未达标”，分数不低于87分的为“达标”.（1）求这组数据的众数和平均数；（2）在这12名学生中从测试成绩介于80~90之间的学生中任选2人，求至少有1人“达标”的概率.19．某地区实施“光盘行动”以后,某自助啤酒吧也制定了自己的行动计划,进店的每一位客人需预交50元,啤酒根据需要自己用量杯量取,结账时,根据每桌剩余酒量,按一定倍率收费(如下表),每桌剩余酒量不足1升的,按0升计算(如剩余1.7升,记为剩余1升).例如:结账时,某桌剩余酒量恰好为2升,则该桌的每位客人还应付50 1. 25010⨯-=元.统计表明饮酒量与人数有很强的线性相关关系,下面是随机采集的5组数据(),x y(其中x表示饮酒人数,y(升)表示饮酒量):()1,0.8,()2,1.5,()3,2. 5,(4,3.2),()5,4. 5.（1）求由这5组数据得到的y关于x的回归直线方程;（2）小王约了5位朋友坐在一桌饮酒,小王及朋友用量杯共量取了8升啤酒,这时,酒吧……订…………________考号：_________……订…………服务生对小王说,根据他的经验,小王和朋友量取的啤酒可能喝不完,可以考虑再邀请1位或2位朋友一起来饮酒,会更划算.试向小王是否该接受服务生的建议？ 参考数据:回归直线的方程是y bx a =+$$$,其中1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x ====---==--∑∑∑∑$,a y bx =-$$. 20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为4的等边三角形，11A AB A AC ∠=∠，D 为BC 的中点. （1）证明：BC ⊥平面1A AD . （2）若1A AD ∆是等边三角形，求二面角1D AA C --的正弦值. 21．已知函数()2ln x f x x =. （1）求()f x 的单调区间； （2）若函数()()g x f x a =-在123e ,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，求a 的取值范围. 22．已知椭圆2222:1x y W a b +=(0a b >>)的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 为W 的上顶点，点Q 在W 上，227PF F Q =u u u u v u u u u v ，且1167PF PQ ⋅=-u u u v u u u v . （1）求W 的方程； （2）已知过原点的直线1l 与椭圆W 交于C ，D 两点，垂直于1l 的直线2l 过1F 且与椭圆W 交于M ，N 两点，若26CD MN =，求2F CD S △.参考答案1．D【解析】【分析】任意改存在，x 改为0x ，否定结论即可.【详解】全称命题的否定是特称命题，且将结论否定，故其否定为：02x ∃>，0240x -<故选：D.【点睛】本题考查全称命题的否定.2．C【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程，即可求解.【详解】由题意可得2a =，b =x 轴上，故其渐近线方程是y x =. 故选:C.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.3．D【解析】【分析】先对复数()()13i i --进行乘法运算,整理至z a bi =+的形式,即可得出复数在复平面内对应的象限.【详解】解：因为()()1324i i i --=-,所以()()13i i --在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算及复平面,考查运算求解能力.4．C【解析】【分析】由方程表示焦点在x 轴上的椭圆，可得2a 和2b ，再根据焦距计算出具体值，进行取舍.【详解】因为是焦点在x 轴上的椭圆，故22132,1a m b m =-=-，又2c =故()13212m m ---=，解得4m =.故选：C.【点睛】本题考查椭圆方程，涉及22,a b 的识别，属基础题.5．C【解析】对于A ，事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”可以同时发生，不是互斥事件；对于,B 事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”可能同时发生，不是互斥事件；对于D ，事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”能同时发生，不是互斥事件；但C 中的两个事件不可能发生，是互斥事件，故选C.6．C【解析】【分析】由抛物线定义，可知点到准线的距离，再进行适当变换即可求得.由题意可得4p =，因为点P 到准线2y =-的距离等于到焦点的距离5，故则点P 到x 轴的距离是523-=.故选：C .【点睛】本题考查抛物线的定义，属抛物线基础题.7．A【解析】【分析】根据题意写出满足条件的三位数,即可求得答案.【详解】Q 三位数的各位数字的和不超过5∴满足条件的三位数有:101,111,121,131,201,211,221,301,311,103,113,203,401,共13个,其中M 为偶数的三位数有101,121,211,301,103,故所求概率为513. 故选:A.【点睛】本题主要考查了古典概型问题的概率,解题关键是掌握概率求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.8．D【解析】【分析】根据点()1,4P 是弦AB 的中点,AB 两点横坐标之和等于2,联立直线和双曲线的方程,求出b a的值,即可求得答案.设()()1122,,,A x y B x yQ 点()1,4P 是弦AB 的中点根据中点坐标公式可得:12122,8x x y y +=⎧⎨+=⎩ Q A ,B 两点在直线l :20x y -+=根据两点斜率公式可得:12121y y x x -=- Q ,A B 两点在双曲线C 上 ∴22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ∴222212122210x x y y a b ---=,即()()()()2221212122221212128142y y y y y y b a x x x x x x +--===⨯=-+- 解得:2b a=∴c e a ===故选:D.【点睛】此题考查根据直线与双曲线的交点坐标关系求解离心率,解题关键是掌握双曲线直线交点问题的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.9．B【解析】【分析】“点P 到直线l”解得：m =±.【详解】点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，考虑“点P 到直线l ” 设()[)2cos ,sin ,0,2P θθθπ∈，点P 到直线l 的距离d ϕϕ===点P 到直线l ()m θϕ++的最小值()m θϕ++符号恒正或恒负， ()m m m θϕ⎡++∈+⎣当0m +<时，m =-，当0m >时，m =综上所述：m =±所以“m =P 到直线l ”的充分不必要条件. 故选：B 【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于根据题意准确求出参数的取值范围. 10．B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图,逐项判断,即可求得答案. 【详解】对于①,由频率分布直方图知众数估计值为:1101201152+=,故①错误; 对于②,设为x ,则0.0050100.0150100.020010(110)0.0300.5x ⨯+⨯+⨯+-⨯=解得113.3x ≈,故②正确;对于③,考试成绩在110分以下的有1000(0.0050.0150.02)10400⨯++⨯=人,故③正确; 对于④,安全知识考试超过140分(包括140分)的人员有10000.00251025⨯⨯=人,则安全科成员有25人,故④错误. 故选:B.本题考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题. 11．C 【解析】 【分析】先求出直线2y x =的斜率为2k =,然后对曲线函数求导,代入2k =求切点,如果切点在2y x =,即直线与曲线相切,即可求得直线2y x =与四条曲线相切的共有几条.【详解】解：直线2y x =的斜率为2k =,①若()22xf x e =-,则由()2e 2xf x '==,得0x =,点()0,0在直线2y x =上,则直线2y x =与曲线22xy e =-相切；②若()2sin f x x =,则由()2cos 2f x x '==,得()2x k k π=∈Z ,()20f k π=,则直线2y x =与曲线2sin y x =相切；③若()13f x x x =+,则由()2132f x x'=-=, 得1x =±,()1,4,()1,4--都不在直线2y x =上, 所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； ④若()32f x x x =--,则由()2312f x x '=-=, 得1x =±,其中()1,2--在直线2y x =上,所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切.故直线2y x =与其相切的共有3条. 故选：C 【点睛】本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理与数学运算的核心素养. 12．C【分析】根据双曲线的几何性质124PF PF -=，结合余弦定理分别讨论当12,,P F F 为钝角时12PF PF +的取值范围，根据双曲线的对称性，可以只考虑点P 在双曲线C 上第一象限部分即可. 【详解】由题：双曲线C ：22145x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上，必有124PF PF -=，若12PF F ∆为钝角三角形，根据双曲线的对称性不妨考虑点P 在双曲线第一象限部分：当12F PF ∠为钝角时，在12PF F ∆中，设21,1,4PF P x x F x >==+，()1245PF F P x x ⋅=+>有1222122PF F F P F +<，()122121222PF F PF F F P F P -+⋅<，即1216236PF PF +⋅<，1210PF F P ⋅<， 所以12510P PF F <⋅<(12PF PF +==；当212PF F π∠=时，2PF 所在直线方程3x =，所以53,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，21513,22PF PF ==，129PF PF =+，根据图象可得要使212PF F π>∠，点P 向右上方移动，此时129PF PF >+，综上所述：12PF PF +的取值范围是(()9,+∞U . 故选：C 【点睛】此题考查双曲线中焦点三角形相关计算，关键在于根据几何意义结合特殊情况分类讨论，体现数形结合思想. 13．14【解析】 【分析】根据抛物线定义,即可求得答案. 【详解】Q 22y px =(0p >),焦点坐标为1(,0)8∴128p =,解得:14p =. 故答案为:14. 【点睛】本题主要考查了根据抛物线焦点求抛物线方程,解题关键是掌握抛物线定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 14．0 【解析】 【分析】根据向量的运算法则11A A A AB BE E =++u u u r u u u r u u u r u u u r依次代换成11A xAA yAB zADE =++u u u r u u u r u u u r u u u r 形式，即可得出未知数的值. 【详解】在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为BD 的中点，所以11A A A AB BE E =++u u u r u u u r u u u r u u u r 112A A AB BD =++u u u r u u u r u u u r()112A A AB BA AD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r11122AA AB AD =-++u u u r u u u r u u u r由题：11A xAA yAB zADE =++u u u r u u u r u u u r u u u r 所以111,,22x y z =-== 即0x y z ++=. 故答案为：0 【点睛】此题考查空间向量的基本运算，根据线性运算关系依次表示出所求向量即可. 15．()()1,01,-⋃+∞ 【解析】 【分析】 令()()()h x F x g x =,根据当0x <时, ()()()()0h x g x h x g x ''-<可得()0F x '<,因此函数()F x 在0x <时单调递减,又()F x 为奇函数,由于()10h -=,可得(1)(1)0F F -==,即可求得答案. 【详解】 ①令()()()h x F x g x =. Q 当0x <时, ()()()()0h x g x h x g x ''-<,∴()()()()2()()0h x g x h F x g x x g x '=''-<∴函数()F x 在0x <时单调递减；()10h -=Q ,(1)(1)0F F ∴-==∴()0F a <的解集为()1,0-②Q 函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数∴()()()()()()h x h x F x F x g x g x --==-=--∴()F x 是R 上的奇函数,∴当0x >时,()0F a <的解集为(1,)+∞综上所述,不等式()()0h a g a <的解集为:()()1,01,-⋃+∞. 故答案为:()()1,01,-⋃+∞. 【点睛】本题主要考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,解题关键是掌握根据题意构造函数的方法和由导数判断函数单调性的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.16【解析】 【分析】由勾股定理推导出,,AB BC PA AB PA AC ⊥⊥⊥,从而PA ⊥平面ABC .以A 为原点,在平面ABC 中,过A 作AC 的垂线为x 轴,AC 为y 轴,AP 为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法求出异面直线PC 与AB 所成角的余弦值,即可求得答案. 【详解】Q在三棱锥P ABC -中,1,PA AB BC ===AC PB ==PC =.222222222,,AB BC AC PA AB PB PA AC PC ∴+=+=+=,,AB BC PA AB PA AC ∴⊥⊥⊥AB AC A ⋂=Q ∴PA ⊥平面ABC以A 为原点,在平面ABC 中,过A 作AC 的垂线为x 轴,AC 为y 轴,AP 为z 轴, 建立空间直角坐标系如图:则(0,0,0),,22A B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,(0,0,1)C P .∴,1)22AB PC ⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r设异面直线PC 与AB 所成角为θ,∴cos ||||AB PC AB PC θ⋅=⨯u u u r u u u ru u ur u u u r3==∴异面直线PC 与AB故答案为【点睛】本题主要考查了由向量法求异面直线夹角的余弦值,解题关键是掌握向量法求异面直线夹角的解法和向量数量积公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 17．（1）（5,6）；（2）2m ≥. 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性，要使函数()()5xf x a =-在R 上单调递减，只需051a <-<，即可求出命题p 为真时参数范围；（2）先求出命题p 为真时a 的取值范围，求出方程22210x ax a -+-=的两根分别为1a -和1a +，由命题q 为真，得出2a >，根据命题,p q 的关系，即可求解. 【详解】（1）因为5m =，所以()()5xf x a =-因为p 是真命题，所以051a <-<，所以56a <<. 故a 的取值范围是（5,6）；(2)若p 是真命题，则01a m <-<，解得1m a m <<+. 关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根分别为1a -和1a +. 若q 是真命题，则11a ->，解得2a >.因为p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件，所以2m ≥. 【点睛】本题考查命题为真以及命题间充分不必要条件，求参数的取值范围，属于基础题. 18．（1）86,80.5；（2）35. 【解析】 【分析】（1）找出茎叶图中出现次数最多的数为众数，根据平均数公式，即可求得平均数； （2）在被抽取的学生中，有2个“达标”学生，4个“未达标”学生，按达标和不达标两类编号，列出从6人中任取2人的所有情况，统计出满足条件的基本事件的个数，根据古典概型的概率公式，即可求解. 【详解】(1)这组数据的众数为86； 平均数为5164667885863872929880.512+++++⨯+⨯++=.(2)在被抽取的学生中，有2个“达标”学生，4个“未达标”学生， 将“达标”学生编号为A ，B ，“未达标”学生编号为a ，b ，c ，d ， 则从6人中任取2人,有以下情况：(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),A d ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),B d ， (),A B ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d .共15种.其中符合条件的为(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),A d ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),B d ，(),A B ，共9种.故至少有1人“达标”的概率93155P ==. 【点睛】本题考查茎叶图数据的处理，考查古典概型的概率，属于基础题. 19．（1）$0.910.23y x =-；（2）接受 【解析】 【分析】（1）计算出x ,y ,结合所给数据,计算出b$,进而求得$a ,即可求得答案; （2）小王和5位朋友共6人大约需要饮酒0.9160.23 5.23⨯-=升,若不再邀请人,则剩余酒量8 5. 23 2.77-=升,酒吧记为剩余2升,预计需要支付506120%360⨯⨯=元,结合已知,即可求得答案. 【详解】 （1）1234535x ++++==,0.8+1.5+2.5+3.2+4.5 2.55y ==,51522146.637.50.91554555i ii i i x y x yx xb==-===---∑∑$,$ 2.50.930.23ay bx =-=-⨯=-$, ∴回归直线方程为$0.910.23y x =-.（2）小王和5位朋友共6人大约需要饮酒0.9160.23 5.23⨯-=升, 若不再邀请人,则剩余酒量8 5. 23 2.77-=升,酒吧记为剩余2升, 预计需要支付506120%360⨯⨯=元;若再邀请1人,大约需饮酒0.9170.23 6.14⨯-=升,剩余酒量8 6.14 1.86-=升, 酒吧记为剩余1升,预计支付5071350⨯⨯=元;若再邀请2人,大约需饮酒0.9180.237. 05⨯-=升,剩余酒量87. 050.95-=升, 酒吧记为剩余0升,预计支付50890%360⨯⨯=元.∴应该接受建议,且再邀请1位朋友更划算.【点睛】本题主要考查了求回归直线方程,解题关键是掌握求回归直线方程的方法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.20．（1）证明见解析，（2）13【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一证明1BC A D ⊥和BC AD ⊥即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量求解二面角. 【详解】（1）证明：连接1A B .因为11A AB A AC ∠=∠，AB AC =，11AA AA =，所以11A AB A AC ∆≅∆，所以11A B A C =. 因为D 为BC 的中点，所以1BC A D ⊥.因为D 为BC 的中点，且AB AC =，所以BC AD ⊥. 因为1A D AD D =I ，所以BC ⊥平面1A AD .（2）解：取AD 的中点O ，连接1A O ，因为1A AD ∆是等边三角形，所以1A O AD ⊥. 由（1）可知BC ⊥平面1A AD ，则BC ，AD ，1A O 两两垂直，故以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过O 作BC 的平行线为y 轴，1OA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.因为底面ABC 是边长为4的等边三角形，所以AD =因为1A AD ∆是等边三角形，所以13A O =.所以)A ，()10,0,3A，()B，()2,0C -，则()1AA =u u u r，()2,0AC =--u u u r . 设平面1AA C 的法向量(),,n x y z =r ，则13020n AA z n AC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令1z =，得)3,1n =-r . 易知平面1A AD 的一个法向量为()0,4,0BC =-u u u r ， 记二面角1D AA C --为θ，则cos n BC n BCθ⋅===r u u u r r u u u r故sin θ==【点睛】此题考查线面垂直的证明和建立空间直角坐标系利用向量求解二面角的大小.21．（1）()f x 的单调递减区间为()0,1，(，单调递增区间为)+∞（2）{}243322e e e ⎛⎤⋅ ⎥⎝⎦U 【解析】【分析】（1）先求函数()f x 的定义域,然后对函数求导,令导等于0,得出x =判断导在区间内的正负,即可得出函数的单调性. （2）令()0g x =,得()f x a =.根据函数在123e ,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点,得31233f e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()422e f e =,且24332e e >,又2f e =,即可得a 的取值范围为.【详解】解：（1）()f x 的定义域为()()0,11,+∞U ,()()22ln 1ln x x f x x-'=,令()0f x ¢=,则x =在()(0,1U 上,()0f x ¢<；在)+∞上,()0f x ¢>.所以()f x 的单调递减区间为()0,1,(,单调递增区间为)+∞. （2）由()0g x =,得()f x a =. 因为31233f e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()422e f e =,且24332e e >,又2f e =,所以a 的取值范围为{}243322e e e ⎛⎤⋅ ⎥⎝⎦U . 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性,利用导数和函数零点求参数,属于中档题.22．（1）2214x y +=；（2. 【解析】【分析】（1）设12(,0),(,0)F c F c -，由已知227PF F Q =u u u u r u u u u r ，求得Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程，得2234c a =；再由1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r ，求得222c b -=，结合222a b c =+，求出,a b 值，即可求得结论；（2）先讨论直线2l 斜率不存在和斜率为0的情况，验证不满足条件，设直线2l 的方程为(()0y k x k =≠，与椭圆方程联立，消元，由韦达定理和相交弦长公式，求出||MN ；再将直线1l 方程1=-y x k 与椭圆联立，求出2CD ，由26CD MN =求出k 的值，进而求出||CD ，再求出点2F 到直线CD 的距离，即可求解.【详解】（1）设椭圆W 的焦距为2c ，∵227PF F Q =u u u u r u u u u r ，∴Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∵Q 在W 上， 将8,77Q c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭代人22221x y a b+=，得2234c a =. 又∵1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r ，∴()8816,777,c b c b ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭--， ∴222c b -=.又∵222a b c =+，∴24a =，21b =，W 的方程为2214x y +=. （2）当直线2l 的斜率不存在时，||2CD =，||4MN =，不符合题意；当直线2l 的斜率为0时，||4CD =，||1MN =，也不符合题意.∴可设直线2l的方程为(()0y k x k =≠,联立(22,1,4y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得()2222411240k x x k +++-=，则212241x x k -+=+，212212441k x x k -=+.()2241||41k MN k +==+.由221,1,4y x k x y ⎧=-⋅⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()222161||4k CD k +=+. 又∵26||||MN CD =，∴()()2222241161444k k k k ++=++，∴22k =，∴||CD =∵2F 到直线CD 的距离1d ==，∴2112F CD S =⨯⨯=△. 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，设直线方程时要注意特殊情况，要熟练掌握求相交弦长的方法，考查计算能力，属于较难题.。
石家庄市2019-2020学年第一学期期末高二数学试卷含答案
………………4 分
a^ 77.363，
……………………6 分
∴回归方程为^y＝－1.818x＋77.363.
…………………8 分
(2)由回归方程知，每增加 1 000 件产量，单位成本下降 1.818 元．……………………10 分
(3)当^y＝70 时，70＝－1.818x＋77.363，
得 x≈4.050 千件．
则 P 0,0, h, B 0,1,0,C 2,1,0 , D 2, 1,0
所以 PC 2,1, h , BD 2, 2, 0
PC
BD
0
，所以
PC
BD
.
……………………… 4 分
证法二：设 AB 中点为 O ，连接 PO ，由已知 PA PB ，所以 PO AB ，
A2, B1 ，A2, B2 ，A3, B1 ，A3, B2，B1, B2 ，共 10 种．
…………9 分
所以这 2 个孩子跳绳数值都在区间 45, 65 内的概率为 10 2 ．
15 3
………………………10 分
18 解：（1）圆 C 的方程 x2＋y2－8y＋12＝0．
A2, B1 ，A2, B2 ，A2,C ，A3, B1 ，A3, B2 ，A3,C ，B1, B2 ，B1,C ，B2,C ，
共 15 种．
…………………………………………………………………7 分
事件 M 包含的基本事件有：A1, A2 ，A1, A3 ，A1, B1 ，A1, B2 ，A2, A3 ，
a^＝77.364，………………………6 分
∴回归方程为^y＝ — 10 x＋77.364.………………………8 分 5.5
石家庄市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题含解析
石家庄市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数()()g x f x 2x =+是定义R 在上的偶函数，且()()xF x f x 2=+，若()f 11=，则()F 1(-=)A ．12-B ．32C ．72D ．112【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出()1g 和()1f -的值即可得到结论． 【详解】()()2g x f x x =+是定义R 在上的偶函数，()()112123g f ∴=+=+=，()()()11213g f g -=--==，即()15f -=， 则()()1111112522F f --=-+=+=，故选D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，以及函数奇偶性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．2．设(){},|0,01A x y x m y =<<<<，s 为()1ne +的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），m =,若任取(),a b A ∈，则满足1ab >的概率是（ ） A ．2eB ．1eC ．1e e- D ．2e e- 【答案】D 【解析】分析：由已知求得m ，画出A 表示的平面区域和满足ab ＞1表示的平面区域，求出对应的面积比即可得答案．详解: 由题意，s=0n nn C e e =，∴e =，则A={（x ，y ）|0＜x ＜m ，0＜y ＜1}={（x ，y ）|0＜x ＜e ，0＜y ＜1}， 画出A={（x ，y ）|0＜x ＜e ，0＜y ＜1}表示的平面区域， 任取（a ，b ）∈A ，则满足ab ＞1的平面区域为图中阴影部分， 如图所示：计算阴影部分的面积为S阴影=11 (1)edxx-⎰=（x﹣lnx）1|e=e﹣1﹣lne+ln1=e﹣1．所求的概率为P=e-2=SS e阴影矩形，故答案为：D．点睛：（1）本题主要考查几何概型，考查定积分和二项式定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(1)解答本题的关键是利用定积分求阴影部分的面积.3．现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1,2,3,4的四个座位上，他们分别有以下要求，甲：我不坐座位号为1和2的座位；乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为2的座位，我就不坐座位号为1的座位.那么坐在座位号为3的座位上的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】C【解析】【分析】对甲分别坐座位号为3或4分类推理即可判断。
2019-2020学年河北省石家庄市数学高二第二学期期末经典试题含解析
2019-2020学年河北省石家庄市数学高二第二学期期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．将3颗相同的红色小球和2颗相同的黑色小球装入四个不同盒子，每个盒子至少1颗，不同的分装方案种数为（ ） A ．40B ．28C ．24D ．162．已知点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24,4x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）上，则||PF 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知12x xe ax a -≥-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．321,14e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ．22,23e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．321,22e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ．21,13e ⎛⎤⎥⎝⎦4．i 是虚数单位，若集合S={1,0,1}-，则 A ．i S ∈B ．2i S ∈C ．3i S ∈D ．2S i∈ 5．下列命题中正确的个数是（ ） ①命题“若,则”的逆否命题为“若，则;②“”是“”的必要不充分条件;③若为假命题，则，为假命题;④若命题,则，. A ． B ．C ．D ．6．已知圆的圆心为，点是直线上的点，若圆上存在点使，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数2(21)x y x -=-≤<的值域是 A ．1(,4]2B ．1[,2)2C ．1[,9]3D ．1[,4)28．设lg 2lg5a =+，e (0)x b x =<，则a 与b 大小关系为( )A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a b ≤9．如图所示，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．28π+B ．88π+C ．48π+D ．68π+10．已知函数()y f x =是奇函数，当[0,1]x ∈时，()0f x =，当1x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集时（ ）A ．(,1)(2,3)-∞-⋃B ．(1,0)(2,3)-UC ．(2,3)D ．(,3)(2,3)-∞-⋃11．在等比数列{}n a 中，已知5712411,8a a a a a +==+，则5a 的值为（ ）A．12B ．14 C ．18D ．11612．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u vA ．3144AB AC -u u uv u u u vB ．1344AB AC -u u uv u u u vC ．3144+AB AC u u uv u u u vD ．1344+AB AC u u uv u u u v二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．观察下列各式：11=，141123+=+，1131121232++=+++，111811212312345+++=++++++，由此可猜想，若1111+12123123+10m +++=++++++L L ，则m =__________. 14．2位老师和3位同学站成一排合影，要求老师相邻且不在两端的排法有______种.（用数字作答） 15．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值，则随机选取1部电影，这部电影没有获得好评的概率为_______. 16．命题：“0x R ∃∈，使得200104x x -+>”的否定是_______.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数22()(2)ln (21)(1)f x x x x a x a x b =+-+-++ （1）当a=1时，求函数f （x ）的单调区间； （2）若()0f x ≥恒成立，求b-a 的最小值.18．已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率32e =，过椭圆的上顶点A 和右顶点B 的直线与原点O 的距离为255， （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在直线l 经过椭圆左焦点与椭圆E 交于M ,N 两点，使得以线段MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在,求出直线l 方程；若不存在,请说明理由. 19．（6分）如图，已知圆心为()4,3C 的圆经过原点O ．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线340x y m -+=与圆C 交于A ，B 两点．若8AB =，求m 的值．20．（6分）如图，已知AB 是圆锥SO 的底面直径，O 是底面圆心，23SO =，4AB =，P 是母线SA 的中点，C 是底面圆周上一点，60AOC ∠=︒．（1）求直线PC 与底面所成的角的大小； （2）求异面直线PC 与SB 所成的角．21．（6分）十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立(1)求在未来3年里，至多1年污水排放量[)270310X ∈，的概率； (2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当[)2300X ∈，27时，没有影响；当[)270310X ∈，时，经济损失为10万元；当X∈[310，350)时，经济损失为60万元．为减少损失，现有三种应对方案： 方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元； 方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元； 方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．22．（8分）已知函数()ln (0)bf x a x x a =+≠．（1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a b +=，0b >时，对任意121,,x x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】分析：分两类讨论，其中一类是两个黑球放在一个盒子中的，其中一类是两个黑球不在一个盒子中的，最后把两种情况的结果相加即得不同的分装方案种数. 详解：分两种情况讨论，一类是两个黑球放在一个盒子中的有1414C ⨯=种，一类是两个黑球不放在一个盒子中的:如果一个黑球和一个白球在一起，则有244312A =⨯=种方法；如果两个黑球不在一个盒子里，两个白球在一个盒子里，则有244312A =⨯=种方法.故不同的分装方案种数为4+12+12=28.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查排列组合综合应用题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时，要注意审题，黑球是一样的，红球是一样的，否则容易出错.2．D 【解析】分析：欲求PF ，根据抛物线的定义，即求()3,P m 到准线1x =-的距离，从而求得PF 即可. 详解：抛物线24y x =，准线1x =-，∴PF 为()3,P m 到准线1x =-的距离，即为4，故选：D.点睛：抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化． 3．A 【解析】分析：先设1()x g x xe -=，再求导求出函数g(x)的单调性和最小值，再数形结合分析得到a 的取值范围.详解：设11(),)(1).x x g x xeg x x e （--==+'=∴ 所以当x ∈（-∞，-1）时，()0,g x '<则函数1()x g x xe -=单调递减.当x ∈（-1，+∞）时，()0g x '>，函数1()x g x xe-=单调递增.21()(1)0g x g e ≥-=-<, 当a<0时，y=a(2x-1)单调递减，与题设矛盾. 当a=0时，10x xe -≥，与21()(1)0g x g e ≥-=-<矛盾. 当a>0时，121)x xea x -≥-（.直线y=a(2x-1)过点（1,02）. 设010(,)x x e-为曲线1()x g x xe -=上任意一点，则过点010(,)x x e -的曲线1()x g x xe -=的切线方程为0011000(1)()x x y x e x e x x ---=+-.又因为切线过点（1,02），所以001100010(1)()2x x x e x e x ---=+-， 解得0011-.2x x ==或故切线的斜率k=111+12e -=（）或k=1123211(1)22e e ---+=. 所以32122,2a e ≤≤即a ∈321,14e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查利用导数研究函数的问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出过点（1,02）的切线的斜率k=2或k 3212e=.4．B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由21i =-可得，2i S ∈，i S ∉，3i i S =-∉，22i S i=-∉. 考点：复数的计算，元素与集合的关系. 5．B 【解析】 【分析】根据逆否命题的概念、必要不充分条件的知识、含有简单逻辑联结词命题真假性的知识、特称命题的否定是全称命题的知识，对四个命题逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于①，根据逆否命题的概念可知，①正确.对于②，当“”时，可能成立，当“”时，“”，故“”是“”的必要不充分条件，即②正确.对于③，若为假命题，则，至少有一个假命题，故②错误.对于④，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知④正确.综上所述，正确命题个数为个，故选B. 【点睛】本小题主要考查逆否命题、必要不充分条件、含有简单逻辑联结词命题真假性、全称命题与特称命题等知识的运用，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】问题转化为到直线的距离.【详解】如图所示：过作圆的切线，切点为，则，，即有解，，则到直线的距离，，解得，故选：．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．7．A【解析】分析：由于函数122xxy-⎛⎫== ⎪⎝⎭在R上是减函数，且21x-≤<，利用单调性求得函数的值域详解：Q函数122xxy-⎛⎫== ⎪⎝⎭在R上是减函数，且21x-≤<，∴当1x=时，函数取得最小值为1 2当2x=-时，函数取得最大值为4故函数的值域为14 2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选A点睛：本题主要考查的是指数函数的单调性，求函数的值域，较为基础。
2019-2020学年河北省石家庄市高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年河北省石家庄市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．设全集U＝{x∈N|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{2，4}，则∁U（A∪B）等于（）A．{1，2，3，4}B．{5}C．{0，5}D．{2，4}}2．设复数z＝，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，1）B．（，）C．（，1）D．（，）3．已知命题p：∃x0∈R，x0+6＞0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x0+6≥0B．∃x0∈R，x0+6≤0C．∀x∈R，x+6≥0D．∀x∈R，x+6≤04．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y＝2x﹣2B．y＝x3C．y＝lnx D．y＝x2﹣15．若a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a6．为抗击新冠肺炎疫情，我市组织相关专家组成联合专家组，指导某医院疫情防控工作．该医院开设了三个病区分别是重症监护病区、普通病区、监测病区．现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区指导防控工作，要求每个病区至少一名专家，则分配方式种数为（）A．20B．18C．36D．127．某班有60名学生，一次考试的成绩ξ服从正态分布N（90，52），若P（80≤ξ＜90）＝0.3，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（）A．12B．20C．30D．408．若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（）A．2B．2C．5D．49．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．若定义在[a，b]上的函数f（x）＝|lnx|的值域为[0，1]，则b﹣a的最小值为（）A．e﹣1B．1﹣e C．1﹣D．﹣111．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3] 12．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当0＜x＜1时，f（x）＝2x﹣1，则f（log29）＝（）A．﹣B．8C．﹣10D．﹣二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）＝，则f[f（）]的值是．14．函数y＝xlnx在x＝e（e为自然对数的底数）处的切线方程是．15．若函数f（x）＝2x2﹣lnx+3在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围是．16．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，如果他记得密码的最后一位是奇数，则他不超过两次就按对密码的概率是．三、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）17．如果展开式中第4项与第6项的系数相等，求n及展开式中的常数项．18．已知关于x的一元二次不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0．（Ⅰ）若不等式的解集为（﹣2，3），求实数m的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m的取值范围．19．已知函数f（x ）＝（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）＝log a[f（x）﹣2x]（a＞0且a≠1），求g（x）在（2，3]上值域．20．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2＝，其中n＝a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 21．在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一个生态农家乐进行升级改造，加入大量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与模拟，得到升级改造投入x（万元）与升级改造直接收益y（万元）的数据统计如下：x2346810132122232425 y1322314250565868.56867.56666当0＜x≤17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：＝4.1x+11.8；模型②：＝21.3﹣14.4；当x＞17时，确定y与x满足的线性回归方程为：＝﹣0.7x+a．（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤17时模型①、②的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程＝4.1x+11.8＝21.3﹣14.4182.479.2（y i i）2（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1﹣，≈4.1．）（Ⅱ）为鼓励生态创新，当升级改造的投入不少于20万元时，国家给予公司补贴收益10万元，以回归方程为预测依据，比较升级改造投入17万元与20万元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程＝x+的系数公式＝＝，＝﹣）22．已知函数f（x）＝x2﹣x﹣lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）若x1，x2是方程ax+f（x）＝x2﹣x（a＞0）的两个不同的实数根，求证：lnx1+lnx2+2lna ＜0．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设全集U＝{x∈N|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{2，4}，则∁U（A∪B）等于（）A．{1，2，3，4}B．{5}C．{0，5}D．{2，4}}【分析】求出全集U和A∪B，由此能求出∁U（A∪B）．解：∵全集U＝{x∈N|x＜6}＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，4}，∴A∪B＝{1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）＝{0，5}．故选：C．2．设复数z＝，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，1）B．（，）C．（，1）D．（，）【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z＝＝，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1），故选：A．3．已知命题p：∃x0∈R，x0+6＞0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x0+6≥0B．∃x0∈R，x0+6≤0C．∀x∈R，x+6≥0D．∀x∈R，x+6≤0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈R，x+6≤0，故选：D．4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y＝2x﹣2B．y＝x3C．y＝lnx D．y＝x2﹣1【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2x﹣2，不是偶函数，不符合题意；对于B，y＝x3，是幂函数，是奇函数不是偶函数，不符合题意；对于C，y＝lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝x2﹣1，是二次函数，既是偶函数又存在零点x＝±1，符合题意；故选：D．5．若a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【分析】利用对数函数的单调性即可得出．解：∵a＝30.3＞1，b＝logπ3∈（0，1），c＝log0.3e＜0，则a＞b＞c．故选：A．6．为抗击新冠肺炎疫情，我市组织相关专家组成联合专家组，指导某医院疫情防控工作．该医院开设了三个病区分别是重症监护病区、普通病区、监测病区．现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区指导防控工作，要求每个病区至少一名专家，则分配方式种数为（）A．20B．18C．36D．12【分析】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙丙丁4名专家分成3组，②将分好的三组全排列，安排到三个病区，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①将甲乙丙丁4名专家分成3组，有C42＝6种分组方法，②将分好的三组全排列，安排到三个病区，有A33＝6种情况，则有6×6＝36种不同的分配方法；故选：C．7．某班有60名学生，一次考试的成绩ξ服从正态分布N（90，52），若P（80≤ξ＜90）＝0.3，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（）A．12B．20C．30D．40【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N（90，52）．得到考试的成绩ξ关于ξ＝90对称，由P（80≤ξ＜90）＝0.3，得到P（90＜ξ≤100）＝0.3，从而得到P（ξ＞100）＝0.2，再由频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（90，52）．∴考试的成绩ξ关于ξ＝90对称，∵P（80≤ξ≤90）＝0.3，∴P（90≤ξ≤100）＝0.3，∴P（ξ＞100）＝0.5﹣0.3＝0.2，∴该班数学成绩在100分以上的人数为0.2×60＝12．故选：A．8．若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（）A．2B．2C．5D．4【分析】根据题意，分析可得+＝+＝++3，结合基本不等式的性质分析可得答案．解：根据题意，若正实数a，b，满足a+b＝1，则+＝+＝++3≥2×+3＝5，当且仅当b＝3a＝时等号成立，即+的最小值为5；故选：C．9．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，用排除法分析：先分析函数的奇偶性排除C、D，再计算f（0）的值，排除A，即可得答案．解：根据题意，f（x）＝，有f（﹣x）＝，为非奇非偶函数，可以排除C、D，又由f（0）＝＝1，排除A；故选：B．10．若定义在[a，b]上的函数f（x）＝|lnx|的值域为[0，1]，则b﹣a的最小值为（）A．e﹣1B．1﹣e C．1﹣D．﹣1【分析】先画出函数图象，再数形结合得到a、b的范围，最后计算b﹣a的最小值即可．解：解：函数f（x）＝|lnx|的图象如图而f（）＝f（e）＝1由图可知a∈[，1]，b∈[1，e]，b﹣a的最小值为a＝，b＝1时，即b﹣a＝1﹣故选：C．11．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]【分析】由p转化到￢p，求出￢q，然后解出a．解：由p：x2+2x﹣3＞0，知x＜﹣3或x＞1，则￢p为﹣3≤x≤1，￢q为x≤a，又￢p 是￢q的充分不必要条件，所以a≥1．故选：B．12．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当0＜x＜1时，f（x）＝2x﹣1，则f（log29）＝（）A．﹣B．8C．﹣10D．﹣【分析】根据题意，由f（x+2）＝﹣f（x）分析可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则可得f（log29）＝f（log29﹣4），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f （x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，log28＝3＜log29＜log216＝4，则f（log29）＝f（log29﹣4），又由函数为奇函数，则f（log29﹣4）＝﹣f（4﹣log29）＝﹣f（log2）＝﹣（﹣1）＝﹣，则f（log29）＝﹣，故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）＝，则f[f（）]的值是．【分析】先求，，故代入x＞0时的解析式；求出＝﹣2，，再求值即可．解：，故答案为：14．函数y＝xlnx在x＝e（e为自然对数的底数）处的切线方程是2x﹣y﹣e＝0．【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义结合切线方程即可得到结论．解：函数的导数为f′（x）＝lnx+1，则在x＝e处的切线斜率k＝f′（e）＝2，f（e）＝e，则在点x＝e处的切线方程为y﹣e＝2（x﹣e），即2x﹣y﹣e＝0，故答案为：2x﹣y﹣e＝0．15．若函数f（x）＝2x2﹣lnx+3在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围是[1，）．【分析】由题意可得＝0在（a﹣1，a+1）上有零点，从而可求．解：因为函数的定义域（0，+∞），由题意可得＝0在（a﹣1，a+1）上有零点，所以x＝∈（a﹣1，a+1），所以a，解可得，，又a﹣1≥0，所以1．故答案为：[1，）．16．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，如果他记得密码的最后一位是奇数，则他不超过两次就按对密码的概率是．【分析】他记得密码的最后一位是奇数，他不超过两次就按对密码包含2种情况：①第一次按对，概率为p1＝，②第一次按错，第二次按对，概率为p2＝＝，由此能求出他不超过两次就按对密码的概率．解：一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，他记得密码的最后一位是奇数，他不超过两次就按对密码包含2种情况：①第一次按对，概率为p1＝，②第一次按错，第二次按对，概率为p2＝＝，则他不超过两次就按对密码的概率是p＝p1+p2＝＝．故答案为：．三、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）17．如果展开式中第4项与第6项的系数相等，求n及展开式中的常数项．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第4项与第6项的系数，列出方程解得n值，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．解：由已知可得C2n3＝C2n5，所以3+5＝2n，即n＝4．所以展开式中的通项为T r+1＝C8r x8﹣2r，若它为常数项，则r＝4，所以T5＝C84＝70．即常数项为70．18．已知关于x的一元二次不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0．（Ⅰ）若不等式的解集为（﹣2，3），求实数m的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意利用韦达定理，求出实数m的值．（Ⅱ）由题意利用二次函数的性质，求出实数m的取值范围．解：（Ⅰ）若不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0 的解集为（﹣2，3），则﹣2和3是x2﹣（m+3）x+3m＝0的两个实数根，∴﹣2+3＝m+3，且﹣2×3＝3m，解得m＝﹣2．（Ⅱ）不等式式x2﹣（m+3）x+3m＜0，即（x﹣3）（x﹣m）＜0，当m＜3时，不等式的解集为（m，3），若它的解集中恰有两个整数，则0≤m＜1．当m＞3时，不等式的解集为（3，m），若它的解集中恰有两个整数，则5＜m≤6，综上，实数m的取值范围为[0，1）∪（5，6]．19．已知函数f（x）＝（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）＝log a[f（x）﹣2x]（a＞0且a≠1），求g（x）在（2，3]上值域．【分析】（1）根据题意，结合幂函数的性质，求出m的取值范围，验证得出符合题意的m值即可；（2）求出g（x）的解析式，讨论a＞1和0＜a＜1时，求出函数g（x）的值域．解：（1）因为f（3）＜f（5），所以由幂函数的性质得，﹣2m2+m+3＞0，解得﹣1＜m ＜，又因为m∈Z，所以m＝0或m＝1，当m＝0时，f（x）＝x3不是偶函数；当m＝1时，f（x）＝x2是偶函数，所以m＝1，f（x）＝x2；（2）由（1）知g（x）＝log a（x2﹣2x），设t＝x2﹣2x，x∈（2，3]，则t∈（0，3]，此时g（x）在（2，3]上的值域，就是函数y＝log a t，t∈（0，3]的值域；当a＞1时，y＝log a t在区间（0，3]上是增函数，所以y∈（﹣∞，log a3]；当0＜a＜1时，y＝log a t在区间（0，3]上是减函数，所以y∈[log a3，+∞）；所以当a＞1时，函数g（x）的值域为（﹣∞，log a3]，当0＜a＜1时，g（x）的值域为[log a3，+∞）．20．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2＝，其中n＝a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X0123P．…21．在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一个生态农家乐进行升级改造，加入大量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与模拟，得到升级改造投入x（万元）与升级改造直接收益y（万元）的数据统计如下：x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当0＜x≤17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：＝4.1x+11.8；模型②：＝21.3﹣14.4；当x＞17时，确定y与x满足的线性回归方程为：＝﹣0.7x+a．（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤17时模型①、②的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程＝4.1x+11.8＝21.3﹣14.4182.479.2（y i i）2（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1﹣，≈4.1．）（Ⅱ）为鼓励生态创新，当升级改造的投入不少于20万元时，国家给予公司补贴收益10万元，以回归方程为预测依据，比较升级改造投入17万元与20万元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程＝x+的系数公式＝＝，＝﹣）【分析】（Ⅰ）由表格中的数据结合相关指数公式说明模型②刻画的拟合效果更好，在模型②方程中，取x＝17求得y值，即可预测科技改造直接收益的预测值；（Ⅱ）由已知求得与的值，得到y关于x的线性回归方程，取x＝20求得y值，然后比较大小得结论．解：（Ⅰ）由表格中的数据，有182.4＞79.2，即＞，∴模型①的R2小于模型②，说明模型②刻画的拟合效果更好．则＝21.3﹣14.4，∴当x＝17万元时，科技改造直接收益的预测值为（万元）；（Ⅱ）由已知可得：，得．，∴．∴．∴当x＞17万元时，y与x满足线性回归方程为：；当x＝20万元时，科技改造直接收益的预测值为．∴当x＝20万元时，实际收益的预测值为69.3+10＝79.3万元．79.3万元＞72.93万元，故科技改造投入20万元时，公司实际收益更大．22．已知函数f（x）＝x2﹣x﹣lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）若x1，x2是方程ax+f（x）＝x2﹣x（a＞0）的两个不同的实数根，求证：lnx1+lnx2+2lna ＜0．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到原函数的单调区间，进一步求得函数极值；（2）由x1，x2是方程ax+f（x）＝x2﹣x（a＞0）的两个不同的实数根．可得，得到a＝，把要证明的结论转化为证：x1x2＜，即证：x1x2＜，也就是证＜＝，不妨设x1＜x2，令＞1．只需证ln2t．构造函数，利用导数证明g（t）在（1，+∞）上为减函数，可得g（t）＜g（1）＝0，则结论得证．解：（1）依题意，f′（x）＝2x﹣1﹣＝＝．故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．故当x＝1时，函数f（x）有极小值f（1）＝0，无极大值；证明：（2）∵x1，x2是方程ax+f（x）＝x2﹣x（a＞0）的两个不同的实数根．∴，两式相减得，解得a＝．要证：lnx1+lnx2+2lna＜0，即证：x1x2＜，即证：x1x2＜，即证＜＝，不妨设x1＜x2，令＞1．只需证ln2t．设，则；令h（t）＝2lnt﹣t+，则h′（t）＝＜0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递减，∴h（t）＜h（1）＝0，即g′（t）＜0，∴g（t）在（1，+∞）上为减函数，则g（t）＜g（1）＝0．即ln2t＜在（1，+∞）上恒成立，∴原不等式成立，即lnx1+lnx2+2lna＜0．。
河北省石家庄市2019-2020学年数学高二下期末经典试题含解析
河北省石家庄市2019-2020学年数学高二下期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在同一平面直角坐标系中，曲线2yx 按213x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩变换后的曲线的焦点坐标为（ ）A ．()6,0B ．()0,6C ．3,0D ．()0,3【答案】D 【解析】 【分析】把伸缩变换的式子变为用','x y 表示,x y ，再代入原方程即可求出结果. 【详解】由213x xy y ='='⎧⎪⎨⎪⎩可得23x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=⎩，将其代入2yx可得：232xy，即212xy故其焦点为：()0,3. 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关伸缩变换后曲线方程的求解问题，涉及到的知识点有伸缩变换规律对应点的坐标之间的关系，属于基础题2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得. 【详解】依题意正四棱柱的体对角线1BD 是其外接球的直径, 1BD 的中点O 是球心, 如图:依题意设AB BC ==x ,则正四棱柱的体积为:24x 16=,解得2x =, 所以外接球的直径2222444162426R x x ++=++=所以外接球的半径6R =,则这个球的表面积是2424R ππ=.故选C . 【点睛】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题. 3．复数211z i i=+-在平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】分析：先化简复数z,再判断其在平面内对应的点在第几象限. 详解：由题得1111111(1)(1)2222i z i i i i +=-=+-=-+-+，所以复数z 在平面内对应的点为11(,22-），所以在平面内对应的点在第二象限. 故答案为B.点睛：（1）本题主要考查复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈对应的点是（a,b ）,点（a,b ）所在的象限就是复数z a bi =+(),a b ∈R 对应的点所在的象限.复数(,)z a bi a b R =+∈和点（a,b ）是一一对应的关系. 4．已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()sin ,0,2x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，原不等式等价于()(),f f αβ>两次求导可证明()sin xf x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，从而可得结论. 【详解】由题意，sin sin βααβ>，sin sin αβαβ∴>，设()sin ,0,2x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， ()2cos sin ',0,2x x x f x x x π-⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭， 设()cos sin ,0,2g x x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭， ()'cos sin cos sin 0g x x x x x x x ∴=--=-<，()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且()()00g x g <=，()'0f x ∴<,所以()sin x f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递减， ()()sin sin ,f f αβαβαβ>⇔>αβ∴<，故选C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.利用导数判断函数单调性的步骤：（1）求出()'f x ；（2）令 ()'0f x >求出x 的范围，可得增区间；（3）令()'0f x <求出x 的范围， 可得减区间.5．甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局．若采用 三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】试题分析：“甲队获胜”包括两种情况，一是获胜，二是获胜.根据题意若是甲队获胜，则比赛只有局，其概率为；若是甲队获胜，则比赛局，其中第局甲队胜，前局甲队获胜任意一局，其概率为，所以甲队获胜的概率等于，故选A.考点：相互独立事件的概率及次独立重复试验.【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件的概率及次独立重复试验，属于中档题.本题解答的关键是读懂比赛的规则，尤其是根据“采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束”把整个比赛所有的可能情况分成两类，甲队以获胜或获胜，据此分析整个比赛过程中的每一局的比赛结果，根据相互独立事件的概率乘法公式及次独立重复试验概率公式求得每种情况的概率再由互斥事件的概率加法公式求得答案.6．已知向量(2,)a x =-，(1,)b x =，若2a b -与a 垂直，则b =（ ） A ．2 B ．3C ．22D ．3【答案】B 【解析】分析：先求出2a b -的坐标，然后根据向量垂直的结论列出等式求出x ，再求b 即可. 详解：由题可得：()222(4,),2808183a b x a b ax x b -=---⊥∴-=⇒=⇒=+=故选B.点睛：考查向量的坐标运算，向量垂直关系和模长计算，正确求解x 是解题关键，属于基础题.7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=1，B=45°，S △ABC =2，则△ABC 的外接圆的直径为 （ ）A ．5B ．43C ．52 D．62【答案】 C 【解析】分析：由三角形面积公式可得c ，再由余弦定理可得b ，最后结合正弦定理即可得结果.详解：根据三角形面积公式得，11sin4522c ⋅⋅⋅︒=，得42c =，则2222cos 25b a c ac B =+-=，即5b =，2522R ==，故正确答案为C. 点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一. 8．已知全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】先弄清楚阴影部分集合表示的含义，并解出集合、，结合新定义求出阴影部分所表示的集合。
2019-2020学年河北省石家庄市高二上学期期末数学试题及答案
2019-2020学年河北省石家庄市高二上学期期末数学试题及答案一、单选题1．为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，采用系统抽样方法，则分段的间隔k为（）A．40 B．30 C．20 D．12【答案】B【解析】根据系统抽样的概念，以及抽样距的求法，可得结果.【详解】由总数为1200，样本容量为40，所以抽样距为：120030k==40故选：B【点睛】本题考查系统抽样的概念，属基础题.2．某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，則x y+的值为（）A ．7B ．10C ．9D ．8【答案】D【解析】甲班众数为85，故5x =，乙班中位数为83，故3y =，所以8x y +=.3．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A【解析】【详解】试题分析：将其方程变为标准方程为2211y x m＋＝，根据题意可得，11m >，且14m =，解得14m =，故A正确．【考点】椭圆的方程及基本性质4．若x ，y 满足0{10x y x y x -≤+≤≥，，，则2z x y =+的最大值为（）A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y =+，则1122y x z =-+，令0Z =，作直线12y x =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取得最小值2，故选D.【考点】本题考点为线性规划的基本方法5．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）A．116B．18C．38D．316【答案】B【解析】设阴影部分正方形的边长为a，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为a，则七巧板所在正方形的边长为22a，由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率()2218a =，故选：B. 【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题. 6．已知曲线1y x x =+上一点52,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 处的线方程为（ ） A ．4340x y -+= B ．3440x y ++= C ．3440x y -+= D ．4330x y ++=【答案】C【解析】根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得切线的斜率，然后根据点斜式，可得结果. 【详解】由曲线1y x x =+，则21'1y x =- 所以2213'124x y ==-=所以切线方程为：()53224y x -=-即：3440x y -+= 故选：C 【点睛】本题主要考查曲线在某点处切线方程的求法，属基础题. 7．设命题p ：函数1()2x f x -=在R 上为单调递增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∨ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ∧⌝【答案】D【解析】根据指数型函数以及余弦型函数的性质，可得命题p 、命题q 真假，然后根据真值表，可得结果. 【详解】由函数()2xf x =在R 上为单调递增函数所以函数1()2x f x -=在R 上为单调递增函数 故命题p 为真命题， 由()cos 2f x x =的定义域为R 且()()()cos 2cos2f x x x f x -=-== 故可知函数()cos 2f x x =为偶函数 所以命题q 为假命题. 所以()p q ∧⌝为真命题. 故选：D 【点睛】本题考查函数的单调性，奇偶性的判断以及真值表的应用，属基础题.8．正四棱锥P ABCD -底面ABCD 边长为2,E为AD 的中点,则BD 与PE 所成角的余弦值为（ ）AB ．13C D ．4【答案】D【解析】取AB 中点为F ，连接EF ，得到 BD 与PE 所成角为PEF ∠，在PEF ∆中，利用余弦定理得到答案. 【详解】如图所示：取AB 中点为F ，连接EF ，易知EF BD ‖ 故BD 与PE 所成角为PEF ∠ 在PEF ∆中，12,22PE PF EF BD ====利用余弦定理得到：2222cos PF PE EF PE EF PEF =+-⋅∠ 解得2cos 4PEF ∠= 故选D【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.9．设x ∈R ，“命题1:2p x >”是“命题:(12)(1)0q x x -+<”的（ ）A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分、必要条件的概念理解，可得结果. 【详解】由(12)(1)0x x -+<，则1x <-或12x >所以“12x >”可推出“1x <-或12x >” 但“1x <-或12x >”不能推出“12x >”故命题p 是命题q 充分且不必要条件 故选：A 【点睛】本题主要考查充分、必要条件的概念理解，属基础题. 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1312π+B ．134π+C ．14π+D ．112π+【答案】D【解析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案． 【详解】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为：1113412ππ⨯⨯=， 三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：1 12112⨯⨯⨯=，故组合体的体积112V π=+，故选D ．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键，属于中档题. 11．设P是椭圆221259x y +=上一点，M ，N分别是两圆(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为 （ ） A ．9,12 B ．8,11 C ．10,12 D ．8,12【答案】D【解析】椭圆的焦点恰好是两圆的圆心，利用椭圆的定义先求出点P 到两焦点的距离|PF 1|+|PF 2|，然后|PM|+|PN|的最小值、最大值转化成|PF 1|+|PF 2|减去两个半径和加上两个半径． 【详解】 ∵两圆圆心F 1（﹣4，0），F 2（4，0）恰好是椭圆221259x y +=的焦点，∴|PF 1|+|PF 2|＝10，两圆的半径r ＝1，∴（|PM |+|PN |）min ＝|PF 1|+|PF 2|﹣2r ＝10﹣2＝8． （|PM |+|PN |）max ＝|PF 1|+|PF 2|+2r ＝10+2＝12． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，解决本题的关键是把|PM|+|PN|的最小值、最大值转化成与两圆的半径差与和问题．12．已知()f x 为定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，且(('))f x f x <恒成立，其中e 是自然对数的底，则（ ） A ．(2019) (2020)f e f < B ．(2019)(2020)ef f < C ．(2019)(2020)ef f = D ． (2019)(2020)e f f >【答案】B【解析】构造新函数()()xx f F x e =，通过导数研究该函数的单调性，利用单调性比较大小，可得结果. 【详解】 令()()x x f F x e =，则()()('')xf x F x e f x =- 由(('))f x f x <，所以()'0F x >故函数()F x 为R 上的单调递增，所以()()20202019F F > 故20202019(2020)(2019)f e f e > 即(2019)(2020)ef f <故选：B 【点睛】本题主要考查利用函数单调性比较式子大小，难点在于构造函数()()xx f F x e =，属中档题.二、填空题13．函数()33f x x x =-的极小值为_______． 【答案】2-.【解析】试题分析：()233f x x='-，令()0f x '=得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f x '>，当11x -<<时，()0f x '<，所以当1x =时，函数()f x 有极小值，且极小值是()311312f =-⨯=-．【考点】导数研究函数的极值．14．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P(m ，n)，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．【答案】13【解析】由题意得点P(m,n)有:(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6个,在圆x 2+y 2=9内部的点有(2,1),(2,2),即所求概率为=.15．已知椭圆2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，经过点F且斜率为1的直线l 与该椭圆交于C ，D 两点，则线段CD 的长为__________.【答案】247【解析】根据椭圆焦点可得a ，然后联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，可得结果. 【详解】 设()()1122,,,C x y D x y由椭圆的一个焦点为(1,0)F -， 所以222314a b c =+=+=，则可知椭圆方程为22143x y +=，又直线l 的方程为：1y x =+22217880431x y x x y x ⎧+=⎪⇒+-=⎨⎪=+⎩121288,77x x x x =-+=-由247CD ==故答案为：247【点睛】本题主要考查椭圆中弦长公式的应用，属基础题. 16．已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与其准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足||||PF m PA =，当m 取最小值时，点P 恰好在以A ，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________. 1【解析】采用数形结合，找到当m 取最小值时，得到直线PA 与抛物线相切，进一步可得点P 坐标，然后根据双曲线的定义，可得结果. 【详解】如图所示：作PB 垂直准线交于点B ，则PF PB =所以||||==sin ||||PF PB m PAB PA PA =∠ 故当直线PA 与抛物线相切时，m 最小. 设直线PA 方程为：1y kx =-则2214404y kx x kx x y =-⎧⇒-+=⎨=⎩所以0∆=，即1k =±，不妨令1k = 则可得()2,1P ，所以22,2PA PF则221a PA PF a所以21c ea21【点睛】本题主要考查抛物线与双曲线的几何性质，难点在于得到直线PA 与抛物线相切，属难题.三、解答题17．为了解小学生的体能情况，现抽取某小学六年级100名学生进行跳绳测试，观察记录孩子们三分钟内的跳绳个数，将所得的数据整理后画出频率分布直方图，跳绳个数的数值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4:2:1.（计算结果保留小数点后面3位）（Ⅰ）求这些学生跳绳个数的数值落在区间[75,85]内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个学生，求这2个学生跳绳个数的数值都在区间[45,65)内的概率..【答案】（Ⅰ）0.05；（Ⅱ）23【解析】（Ⅰ）根据频率之比，可假设数值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]的频率，然后利用所有频率之和为1，可得结果.（Ⅱ）根据区间[45,55)，[55,65)，[65,75)内的频率之比为：3：2：1，按分层抽样的方法将这三个区间的所抽取的人数分别进行标号，采用列举法，然后利用古典概型，可得结果. 【详解】（Ⅰ）设区间[75,85]内的频率为x ，则区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x 和2x ，依题意得：(0.0040.0120.0190.030)10421x x x +++⨯+++=.解得0.05x =.所以区间[75,85]内的频率为0.05.（Ⅱ）由（Ⅰ）得：区间[45,55)，[55,65)，[65,75)内的频率依次为0.3，0.2，0.1.用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本.则在区间[45,55)内应抽取0.3630.30.20.1⨯=++人，记为1A ，2A ，3A 在区间[55,65)内应抽取0.2620.30.20.1⨯=++人，记为1B ，2B ，在区间[65,75)内应抽取0.16110.30.20.1⨯=++人，记为C . 设“从中任意选取2个孩子，这2个孩子跳绳数值都在区间[45,65)内”为事件M ， 则所有的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ， {}1,A C ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ， {}2,A C ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}3,A C ， {}1,B C ，{}12,B B ，{}1,B C ，{}2,B C ，共15种.事件M 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ， {}32,A B ，{}12,B B ，共10种.所以这2个孩子跳绳数值都在区间[45,65)内的概率为102153=.本题主要考查频率分布直方图的应用，属基础题. 18．已知圆C过三点(2,4)，直线:20l ax y a ++=.（Ⅰ）求圆C 的方程（Ⅱ）当直线l 与圆C 相交于A ，B两点，且||AB =时，求直线l 的方程.【答案】（Ⅰ）228120x y y +-+=；（Ⅱ）7140x y =+=或20x y =+=. 【解析】（Ⅰ）根据圆的一般方程，解方程组，可得结果. （Ⅱ）利用圆的弦长公式.【详解】（Ⅰ）设圆的方程为：220xy Dx Ey F ++++=所以393041624032550E F D E F E F ⎧+++=⎪++++=⎨⎪+++=⎩故0812D E F =⎧⎪=-⎨⎪=⎩圆C 的方程228120x y y +-+=. （Ⅱ）过圆心C 作CD AB ⊥，则可得2222||||2,12CD CD DA AC DA AB ⎧=⎪⎪⎪+==⎨⎪⎪==⎪⎩解得7a =-或1a =-. 故所求直线方程为7140x y =+=或20x y =+=.本题考查圆的方程以及弦长公式，属基础题.19．现有一环保型企业，为了节约成本拟进行生产改造，现将某种产品产量x 与单位成本y 统计数据如下：（Ⅰ）试确定回归方程y bx a =+；（Ⅱ）指出产量每增加1000件时，单位成本平均下降多少？（Ⅲ）假定单位成本为70元/件时，产量应为多少件？（参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,()nii iii i nni ii i xx y y x ynxyba y bx x x xn x ====---===---∑∑∑∑.）（参考数据11481nij i x ==∑ 2179ni i x ==∑）【答案】（Ⅰ） 1.81877.363y x =-+;（Ⅱ）1.818元;（Ⅲ）4050件.【解析】（Ⅰ）根据回归系数公式，可得结果. （Ⅱ）根据回归系数b 的几何意义，可得结果. （Ⅲ）根据回归方程，代值计算，可得结果.（Ⅰ）设x 表示每月产量（单位：千件），y 表示单位成本（单位：元/件），作散点图.由图知y 与x 间呈线性相关关系，（不画图不扣分）设线性回归方程为y bx a =+，其中 3.5x =，71y = 由公式可求得 1.818b ≈-，77.363a ≈，∴回归方程为 1.81877.363y x =-+.（Ⅱ）由回归方程知，每增加1000件产量，单位成本下降1.818元.（Ⅲ）当70y =时，70 1.81877.363x =-+，得 4.050x ≈千件. ∴单位成本是70元/件时，产量约为4050件. 【点睛】本题主要考查线性回归直线方程及其应用，属基础题. 20．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，22,AB BC PA PB ===，.侧面PAB ⊥底面ABCD .（1）证明：PC BD ⊥；（2）设BD 与平面PAD 所成的角为45︒，求二面角B PC D --的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【详解】 略21．过抛物线2:2(0)C y p x p =⋅>的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线C 于M ，N 两点，且||2MN =. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）抛物线C 上一点()0,1Q x ，直线:l y kx m =+（其中0k ≠）与抛物线C 交于A ，B 两个不同的点（A ，B 均不与点Q 重合）.设直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，1212k k =-.直线l 是否过定点？如果是，请求出所有定点；如果不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）2yx =；（Ⅱ）直线l 恒过定点，定点为(3,1)-.【解析】（Ⅰ）假设直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理以及抛物线的焦点弦性质，可得结果. （Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论可得Q ，然后联立直线l 与抛物线的方程，结合韦达定理，利用1212k k =-，可得,k m 之间的关系，最后根据直线方程特点，可得结果. 【详解】（Ⅰ）由题意得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭设直线MN 方程为：2p y x =-代入抛物线方程得：22304p x px -+=设(),M M M x y ，(),N N N x y ∴3M Nx x p +=∴||42M N MN x x p p =++==， 解得：12p =∴抛物线方程为：2y x =（Ⅱ）由（1）知：抛物线2:C y x = ∴()1,1Q ，设()11,A x y ，()22,B x y由2y kx my x =+⎧⎨=⎩得：20ky y m -+=， 则140km ∆=-> ∵0k ≠ ∴121y y k+=，12my y k = ∴12121222121211111111y y y y k k x x y y ----=⋅=⋅---- 12k k ()()1211112y y ==-++即：()121230y y y y +++= ∴130m kk++=，解得31m k =-- 当31m k =--时，21414(31)12410km k k k k -=++=++>∴31(3)1y kx k k x =--=--， 恒过定点(3,1)- ∴直线l 恒过定点(3,1)- 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的几何应用，第二问中，难点在于找到,k m 之间的关系，重点在于韦达定理的应用以及计算，属中档题.22．已知函数()()22x f x e sinx ax a e =-+-,其中2.71828...a R e ∈=，为自然对数的底数.(1)当0a =时，讨论函数()f x 的单调性;(2)当112a ≤≤时，求证:对任意的[)()0,,0x f x ∈+∞<.【答案】(1)()f x 在(),-∞+∞上单调递减. (2)证明见及解析. 【解析】【详解】分析：(1)将0a =代入()f x ，对函数求导即可判定函数的单调性．(2)将不等式转化为关于a 的一次函数，讨论在112a ≤≤时一次函数对任意的[)0,x ∈+∞两个端点都小于0，即可证明(),0f x <．详解： (1)()()0,x a f x e sinx e ==-()()'04x x f x e sinx cosx e e x e π⎤⎛⎫=+-=+-< ⎪⎥⎝⎭⎦;∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减(2)要证()220x e sinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立 即证;220sinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立令()()22g a x a sinx e =-+-,即证当1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()220g a x a sinx e =-+-<恒成立第 21 页 共 21 页 即证;()()()2211101221202g sinx x e g sinx x e ⎧⎛⎫=-+-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+-<⎩成立 ∵sin 1x e +<∴①式成立现证明②式成立:令()()22,'2h x sinx x e h x cosx x =-+-=-设在[)00,x ∃+∞,使得()00'2,0h x cosx x --=,则006x π<<()h x 在()00,x 単调递增, 在[)0,x +∞単调递減∴()()2200000cos 2sin 24x h x max h x sinx x e x e ==-+-=-+-, =200sin 7sin 44x x x e ++- ∵006x π<<，∴01sin 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴200sin 737sin 04416x x x e e ++-<-< 综上所述.在[)0,x ∈+∞, ()0f x <恒成立.点睛：函数与导数的综合应用，是高考的热点和难点，充分理解导数与单调性、极值、最值的关系，证明在一定条件下不等式成立，解不等式或求参数的取值情况，属于难题．。
河北省石家庄市2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
河北省石家庄市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）1.为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，采用系统抽样方法，则分段的间隔k 为（ ） A. 40 B. 30C. 20D. 12【答案】B 【解析】 【分析】根据系统抽样的概念，以及抽样距的求法，可得结果. 【详解】由总数为1200，样本容量为40， 所以抽样距为：12003040k == 故选：B【点睛】本题考查系统抽样的概念，属基础题.2.某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，則x y +的值为（ ）A. 7B. 10C. 9D. 8【答案】D 【解析】甲班众数为85，故5x =，乙班中位数为83，故3y =，所以8x y +=.3.椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A.14B.12C. 2D. 4【答案】A 【解析】【详解】试题分析：将其方程变为标准方程为2 211yxm＋＝，根据题意可得，11m>，且14m=，解得14m=，故A正确．考点：椭圆的方程及基本性质4.若x，y满足{1x yx yx-≤+≤≥，，，则2z x y=+的最大值为（）A. 0B. 1C.32D. 2【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y=+，则1122y x z=-+，令0Z=，作直线12y x=-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值2，故选D.考点：本题考点为线性规划的基本方法5.七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）A.116B.18 C. 38D. 316【答案】B 【解析】 【分析】设阴影部分正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为a，则七巧板所在正方形的边长为， 由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率()2218a =，故选B. 【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.6.已知曲线1y x x =+上一点52,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 处的切线方程为（ ）A. 4340x y -+=B. 3440x y ++=C. 3440x y -+=D. 4330x y ++=【答案】C 【解析】 【分析】根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得切线的斜率，然后根据点斜式，可得结果. 【详解】由曲线1y x x =+，则21'1y x=- 所以2213'124x y ==-= 所以切线方程为：()53224y x -=-即：3440x y -+= 故选：C【点睛】本题主要考查曲线在某点处切线方程的求法，属基础题. 7.设命题p ：函数1()2x f x -=在R 上为单调递增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数，则下列命题中真命题是（ ） A. p q ∧B. ()p q ⌝∨C. ()()p q ⌝∧⌝D.()p q ∧⌝【答案】D 【解析】 【分析】根据指数型函数以及余弦型函数的性质，可得命题p 、命题q 真假，然后根据真值表，可得结果.【详解】由函数()2x f x =在R 上单调递增函数所以函数1()2x f x -=在R 上为单调递增函数故命题p 为真命题，由()cos 2f x x =的定义域为R 且()()()cos 2cos2f x x x f x -=-== 故可知函数()cos 2f x x =为偶函数 所以命题q 为假命题. 所以()p q ∧⌝为真命题. 故选：D【点睛】本题考查函数的单调性，奇偶性的判断以及真值表的应用，属基础题.8.正四棱锥P ABCD -底面ABCD 边长为2,E 为AD 的中点,则BD 与PE 所成角的余弦值为（ ）A.4B.13C.4D.4【答案】D【解析】 【分析】取AB 中点为F ，连接EF ，得到 BD 与PE 所成角为PEF ∠，在PEF ∆中，利用余弦定理得到答案.【详解】如图所示：取AB 中点为F ，连接EF ，易知EF BD ‖ 故BD 与PE 所成角为PEF ∠PEF ∆中，12,22PE PF EF BD ==== 利用余弦定理得到：2222cos PF PE EF PE EF PEF =+-⋅∠ 解得2cos PEF ∠= 故选D【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 9.设x ∈R ，“命题1:2p x >”是“命题:(12)(1)0q x x -+<”的（ ） A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的概念理解，可得结果. 【详解】由(12)(1)0x x -+<，则1x <-或12x >所以“12x >”可推出“1x <-或12x >” 但“1x <-或12x >”不能推出“12x >” 故命题p 是命题q 充分且不必要条件 故选：A【点睛】本题主要考查充分、必要条件的概念理解，属基础题. 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 1312π+B.134π+ C. 14π+D. 112π+【答案】D 【解析】 【分析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案．【详解】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体， 四分之一圆锥的底面半径为1，高为1， 故体积为：1113412ππ⨯⨯=，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：1 12112⨯⨯⨯=， 故组合体的体积112V π=+，故选D ．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键，属于中档题.11.设P 是椭圆221259x y +=上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为 （ ） A. 9,12 B. 8,11C. 10,12D. 8,12【答案】D 【解析】 【分析】椭圆的焦点恰好是两圆的圆心，利用椭圆的定义先求出点P 到两焦点的距离|PF 1|+|PF 2|，然后|PM|+|PN|的最小值、最大值转化成|PF 1|+|PF 2|减去两个半径和加上两个半径．【详解】∵两圆圆心F 1（﹣4，0），F 2（4，0）恰好是椭圆221259x y +=的焦点，∴|PF 1|+|PF 2|＝10，两圆的半径r ＝1，∴（|PM |+|PN |）min ＝|PF 1|+|PF 2|﹣2r ＝10﹣2＝8． （|PM |+|PN |）max ＝|PF 1|+|PF 2|+2r ＝10+2＝12． 故选D ．【点睛】本题主要考查椭圆的定义，解决本题的关键是把|PM|+|PN|的最小值、最大值转化成与两圆的半径差与和问题．12.已知()f x 为定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，且(('))f x f x <恒成立，其中e是自然对数的底，则（ ） A. (2019) (2020)f e f < B. (2019)(2020)ef f < C. (2019)(2020)ef f = D. (2019)(2020)e f f >【答案】B 【解析】【分析】构造新函数()()xx f F x e =，通过导数研究该函数的单调性，利用单调性比较大小，可得结果. 【详解】令()()x x f F x e =，则()()('')x f x F x ef x =- 由(('))f x f x <，所以()'0F x >故函数()F x 为R 上的单调递增，所以()()20202019F F > 故20202019(2020)(2019)f ef e > 即(2019)(2020)ef f < 故选：B【点睛】本题主要考查利用函数单调性比较式子大小，难点在于构造函数()()x x f F x e=，属中档题.13.函数()33f x x x =-的极小值为_______．【答案】2-. 【解析】试题分析：()233f x x ='-，令()0f x '=得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f x '>，当11x -<<时，()0f x '<，所以当1x =时，函数()f x 有极小值，且极小值是()311312f =-⨯=-．考点：导数研究函数的极值．14.在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P(m ，n)，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________． 【答案】13【解析】由题意得点P(m,n)有:(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6个,在圆x 2+y 2=9内部的点有(2,1),(2,2),即所求概率为=.15.已知椭圆2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，经过点F 且斜率为1的直线l 与该椭圆交于C ，D 两点，则线段CD 的长为__________. 【答案】247【解析】 【分析】根据椭圆焦点可得a ，然后联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，可得结果. 【详解】设()()1122,,,C x y D x y 由椭圆的一个焦点为(1,0)F -， 所以222314a b c =+=+=，则可知椭圆方程为22143x y +=，又直线l 的方程为：1y x =+22217880431x y x x y x ⎧+=⎪⇒+-=⎨⎪=+⎩121288,77x x x x =-+=-由247CD ==故答案为：247【点睛】本题主要考查椭圆中弦长公式的应用，属基础题. 16.已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与其准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足||||PF m PA =，当m 取最小值时，点P 恰好在以A ，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________. 1 【解析】 【分析】采用数形结合，找到当m 取最小值时，得到直线PA 与抛物线相切，进一步可得点P 坐标，然后根据双曲线的定义，可得结果. 【详解】如图所示：作PB 垂直准线交于点B ，则PF PB = 所以||||==sin ||||PF PB m PAB PA PA =∠ 故当直线PA 与抛物线相切时，m 最小. 设直线PA 方程为：1y kx =-则2214404y kx x kx x y=-⎧⇒-+=⎨=⎩ 所以0∆=，即1k =±，不妨令1k = 则可得()2,1P ，所以22,2PA PF则221a PAPFa所以21c ea21【点睛】本题主要考查抛物线与双曲线的几何性质，难点在于得到直线PA 与抛物线相切，属难题.17.为了解小学生的体能情况，现抽取某小学六年级100名学生进行跳绳测试，观察记录孩子们三分钟内的跳绳个数，将所得的数据整理后画出频率分布直方图，跳绳个数的数值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4:2:1.（计算结果保留小数点后面3位）（Ⅰ）求这些学生跳绳个数的数值落在区间[75,85]内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个学生，求这2个学生跳绳个数的数值都在区间[45,65)内的概率. 【答案】（Ⅰ）0.05；（Ⅱ）23. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据频率之比，可假设数值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]的频率，然后利用所有频率之和为1，可得结果.（Ⅱ）根据区间[45,55)，[55,65)，[65,75)内的频率之比为：3：2：1，按分层抽样的方法将这三个区间的所抽取的人数分别进行标号，采用列举法，然后利用古典概型，可得结果. 【详解】（Ⅰ）设区间[75,85]内的频率为x ，则区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x 和2x ，依题意得： (0.0040.0120.0190.030)10421x x x +++⨯+++=.解得0.05x =.所以区间[75,85]内频率为0.05.（Ⅱ）由（Ⅰ）得：区间[45,55)，[55,65)，[65,75)内的频率依次为0.3，0.2，0.1. 用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本.则在区间[45,55)内应抽取0.3630.30.20.1⨯=++人，记为1A ，2A ，3A在区间[55,65)内应抽取0.2620.30.20.1⨯=++人，记为1B ，2B ，在区间[65,75)内应抽取0.16110.30.20.1⨯=++人，记为C .设“从中任意选取2个孩子，这2个孩子跳绳数值都在区间[45,65)内”为事件M ， 则所有的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ， {}1,A C ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ， {}2,A C ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}3,A C ， {}1,B C ，{}12,B B ，{}1,B C ，{}2,B C ，共15种.事件M 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ， {}32,A B ，{}12,B B ，共10种.所以这2个孩子跳绳数值都在区间[45,65)内的概率为102153=. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属基础题.18.已知圆C 过三点(2,4)，直线:20l ax y a ++=. （Ⅰ）求圆C 的方程（Ⅱ）当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且||AB =l 的方程.【答案】（Ⅰ）228120x y y +-+=；（Ⅱ）7140x y =+=或20x y =+=.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据圆的一般方程，解方程组，可得结果.（Ⅱ）利用圆的弦长公式. 【详解】（Ⅰ）设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=所以393041624032550E F D E F E F ⎧+++=⎪++++=⎨⎪++++=⎩故0812D E F =⎧⎪=-⎨⎪=⎩圆C 的方程228120x y y +-+=. （Ⅱ）过圆心C 作CD AB ⊥，则可得2222||||2,12CD CD DA AC DA AB ⎧=⎪⎪⎪+==⎨⎪⎪==⎪⎩解得7a =-或1a =-. 故所求直线方程为7140x y =+=或20x y =+=.【点睛】本题考查圆的方程以及弦长公式，属基础题.19.现有一环保型企业，为了节约成本拟进行生产改造，现将某种产品产量x 与单位成本y 统计数据如下：（Ⅰ）试确定回归方程y bx a =+；（Ⅱ）指出产量每增加1000件时，单位成本平均下降多少？ （Ⅲ）假定单位成本为70元/件时，产量应为多少件？（参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,()nii iii i nni ii i xx y y x ynxybay bx x x xn x ====---===---∑∑∑∑.） （参考数据11481niji x==∑ 2179ni i x ==∑）【答案】（Ⅰ） 1.81877.363y x =-+;（Ⅱ）1818元;（Ⅲ）4050件. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据回归系数公式，可得结果. （Ⅱ）根据回归系数b 的几何意义，可得结果. （Ⅲ）根据回归方程，代值计算，可得结果.【详解】（Ⅰ）设x 表示每月产量（单位：千件），y 表示单位成本（单位：元/件），作散点图. 由图知y 与x 间呈线性相关关系，（不画图不扣分）设线性回归方程为y bx a =+，其中 3.5x =，71y = 由公式可求得 1.818b ≈-， 77.363a ≈， ∴回归方程为 1.81877.363y x =-+.（Ⅱ）由回归方程知，每增加1000件产量，单位成本下降1.818元. （Ⅲ）当70y =时，70 1.81877.363x =-+，得 4.050x ≈千件. ∴单位成本是70元/件时，产量约为4050件.【点睛】本题主要考查线性回归直线方程及其应用，属基础题. 20.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，22,AB BC PA PB ===，.侧面PAB ⊥底面ABCD .（1）证明：PC BD ⊥；（2）设BD 与平面PAD 所成角为45︒，求二面角B PC D --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）1021.过抛物线2:2(0)C y p x p =⋅>的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线C 于M ，N 两点，且||2MN =.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）抛物线C 上一点()0,1Q x ，直线:l y kx m =+（其中0k ≠）与抛物线C 交于A ，B 两个不同的点（A ，B 均不与点Q 重合）.设直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，1212k k =-.直线l 是否过定点？如果是，请求出所有定点；如果不是，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）2y x =；（Ⅱ）直线l 恒过定点，定点为(3,1)-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）假设直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理以及抛物线的焦点弦性质，可得结果.（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论可得Q ，然后联立直线l 与抛物线的方程，结合韦达定理，利用1212k k =-，可得,k m 之间的关系，最后根据直线方程特点，可得结果.【详解】（Ⅰ）由题意得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭设直线MN 方程为：2p y x =-代入抛物线方程得：22304p x px -+=设(),M M M x y ，(),N N N x y ∴3M N x x p +=∴||42M N MN x x p p =++==， 解得：12p =∴抛物线方程为：2y x =（Ⅱ）由（1）知：抛物线2:C y x = ∴()1,1Q ，设()11,A x y ，()22,B x y 由2y kx m y x=+⎧⎨=⎩得：20ky y m -+=， 则140km ∆=-> ∵0k ≠ ∴121y y k +=，12m y y k= ∴12121222121211111111y y y y k k x x y y ----=⋅=⋅---- 12k k ()()1211112y y ==-++即：()121230y y y y +++= ∴130m k k++=，解得31m k =-- 当31m k =--时，21414(31)12410km k k k k -=++=++>∴31(3)1y kx k k x =--=--， 恒过定点(3,1)- ∴直线l 恒过定点(3,1)-【点睛】本题主要考查直线与抛物线的几何应用，第二问中，难点在于找到,k m 之间的关系，重点在于韦达定理的应用以及计算，属中档题. 22.已知函数()()22xf x esinx axa e =-+-,其中2.71828...a R e ∈=，为自然对数的底数.(1)当0a =时，讨论函数()f x 的单调性; (2)当112a ≤≤时，求证:对任意的[)()0,,0x f x ∈+∞<. 【答案】(1)()f x 在(),-∞+∞上单调递减. (2)证明见及解析. 【解析】【详解】分析：(1)将0a =代入()f x ，对函数求导即可判定函数的单调性． (2)将不等式转化为关于a 的一次函数，讨论在112a ≤≤时一次函数对任意的[)0,x ∈+∞两个端点都小于0，即可证明(),0f x <． 详解：(1) ()()0,xa f x esinx e ==-()()'04x x f x e sinx cosx e e x e π⎤⎛⎫=+-=+-< ⎪⎥⎝⎭⎦;∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减 (2)要证()220xesinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立即证;220sinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立 令()()22g a xa sinx e =-+-,即证当1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()220g a x a sinx e =-+-<恒成立即证;()()()2211101221202g sinx x e g sinx x e ⎧⎛⎫=-+-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+-<⎩成立∵sin 1x e +< ∴①式成立 现证明②式成立:令()()22,'2h x sinx x e h x cosx x =-+-=-设在[)00,x ∃+∞,使得()00'2,0h x cosx x --=,则006x π<<()h x 在()00,x 単调递增, 在[)0,x +∞単调递減∴()()220000cos 2sin 24x h x max h x sinx x e x e ==-+-=-+-,=200sin 7sin 44x x x e ++-∵006x π<<，∴01sin 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴200sin 737sin 04416x x x e e ++-<-<综上所述.在[)0,x ∈+∞, ()0f x <恒成立.点睛：函数与导数的综合应用，是高考的热点和难点，充分理解导数与单调性、极值、最值的关系，证明在一定条件下不等式成立，解不等式或求参数的取值情况，属于难题．。
河北省石家庄市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试卷 Word版含解析
石家庄市2019~2020学年度第二学期期末检测高二数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分，在题目给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集{}6U x N x =∈<，集合{1,3}A =，{2,4}B =，则()UA B 等于（ ）A. {1,2,3,4}B. {5}C. {0,5}D. {2,4}【答案】C 【解析】 【分析】 先根据集合{1,3}A =，{2,4}B =，求得A B ，再根据全集{}{}60,1,2,3,4,5U x N x =∈<=求解.【详解】因为集合{1,3}A =，{2,4}B =， 所以{}1,2,3,4AB =，又全集{}{}60,1,2,3,4,5U x N x =∈<=， 所以{}()0,5UA B =故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2. 设复数3i12iz -=-，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A. (1,1)B.C. 1(,1)5D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数z ，求出z 在复平面内对应点的坐标即可．【详解】因为3i (3i)(12i)32i 6i1i 12i (12i)(12i)5z --++-+====+--+，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1). 故选A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的运算及其几何意义，属于基础题. 3. 已知命题0:p x R ∃∈，060x +>，则p ⌝是（ ） A. 0x R ∃∈，060x +≥ B. 0x R ∃∈，060x +≤ C. x R ∀∈，60x +≥ D. x R ∀∈，60x +≤【答案】D 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题0:p x R ∃∈，060x +>是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题即：x R ∀∈，60x +≤ 故选：D【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. 22x y =-B. 3y x =C. ln y x =D.21y x =-【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性判断和函数的零点的求法求解. 【详解】A. 因为()()2222xx f x f x --=-≠-=，所以是非奇非偶函数，故错误；B. 因为()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以是奇函数，故错误； C.因为函数ln y x =的定义域为()0,∞+，所以是非奇非偶函数，故错误；D.因为()()()2211f x x x f x -=--=-=，所以是偶函数，令()0f x =，解得1x =±，故正确； 故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的零点，属于基础题. 5. 若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】A 【解析】 因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．6. 为抗击新冠肺炎疫情，我市组织相关专家组成联合专家组，指导某医院疫情防控工作．该医院开设了三个病区分别是重症监护病区、普通病区、监测病区．现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区指导防控工作，要求每个病区至少一名专家，则分配方式种数为（ ） A. 20 B. 18 C. 36 D. 12【答案】C 【解析】 【分析】先将四位专家选取两人分配到同一病区，再与另二位专家一起做全排列，分配到三个病区，可得选项.【详解】由题目知，将甲乙丙丁分配重症监护病区、普通病区、监测病区这三个病区，要求每人去一个病区，有23436636C A ⨯=⨯=种分配方法，故选：C.【点睛】本题考查分组分配问题，一般采用先分组后分配的方法，属于基础题. 7. 某班有60名学生，一次考试的成绩ξ服从正态分布()290,5N ，若()80900.3P ξ≤<=，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（ ） A. 12 B. 20C. 30D. 40【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布曲线关于90x =对称，从而求得()90100P ξ≤<的值，进而求得()100P ξ>的概率值，即可得到答案.【详解】因为ξ服从正态分布()290,5N ，所以()8090P ξ≤<=()90100P ξ≤<0.3=， 所以()()18010010.61000.222P P ξξ-≤<->===，所以该班数学成绩在100分以上的人数为600.212⨯=（人）. 故选：A.【点睛】本题考查正态分布曲线的应用，求解时注意利用曲线的对称性，同时注意一个端点值不影响概率值，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 8. 若正实数,a b ，满足1a b +=，则33b a b+的最小值为（ ）A. 2B.C. 5D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得33333333b b a b b a a b a b a b++=+=++，结合基本不等式的性质分析可得答案.【详解】根据题意，若正实数,a b ，满足1a b +=，则333332353333b b a b b a b a b a b a b a ++=+=++⨯⨯=， 当且仅当334b a ==时等号成立， 即33b a b+的最小值为5； 故选：C【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.9. 函数f (x )＝21xx e -的图象大致为()A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值(2)f 可区分剩余两个选项.【详解】因为f (－x )＝21x x e--≠f (x )知f (x )的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C.又f (2)＝214e -＝－23e<0.排除A ，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题. 10. 若定义在[,]a b 上的函数()|ln |f x x =的值域为[0,1]，则b a -的最小值为（ ） A. 1e - B. 1e -C. 11e-D.11e- 【答案】C 【解析】 【分析】结合对数函数性质确定()f x 的单调性，然后得出,a b 的取值（或范围），可得结论．【详解】ln ,01()ln ln ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨≥⎩，∴()f x 在(0,1]单调递减，在[1,)+∞上单调递增，min ()(1)0f x f ==，又1()1f f e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，由题意11a e ≤≤，1b e ≤≤，且1a e=和b e =中至少有一个取到．即1a e =，1b e ≤≤，此时111b a e e e-≤-≤-， 若11a e <≤，则b e =，11e b a e e-≤-<-， ∴b a-的最小值是11e-． 故选：C ．【点睛】本题考查函数的值域问题，掌握对数函数的性质是解题关键．基本方法是：去掉绝对值符号后确定函数的单调性，由单调性得出函数值域．11. 已知命题2:230p x x +->；命题:q x a >，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是（ ） A. (],1-∞ B. [)1,+∞C. [)1,-+∞D. (],3-∞【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简命题p ，再利用集合间的基本关系，求得参数a 的取值范围. 【详解】由2:230p x x +->，知3x <-或1x >， 则p ⌝为31x -≤≤，q ⌝为x a ≤，p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴1{|}3x x ≤≤-{|}x x a ≤∴1a ≥.故选：B.【点睛】本题考查利用命题的充分不必要条件求参数的取值范围，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将充分不必要条件转化为真子集的关系. 12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x <<时，()21x f x =-，则2(log 9)f =（ ） A. 79-B. 8C. 10-D. 925-【答案】A【解析】 【分析】先利用()()2f x f x +=-得到()()2f x f x +=-，从而得到图像的对称轴为1x =，再次利用()()2f x f x +=-把函数值的计算归结为29log 4f ⎛⎫⎪⎝⎭，最后利用对称轴为1x =把函数值的计算归结为216log 9216log 219f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【详解】()()()2f x f x f x +=-=-，所以()f x 的图像的对称轴为1x =，()229log 9log 4f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因291log 24<<，故2229916log 2log log 449f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中2160log 19<<，所以216log 92167log 2199f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故()27log 99f =-.选A. 【点睛】一般地，如果奇函数()f x 满足()()()0f x a f x a +=-≠，则()f x 的周期为2a 且()f x 图像有对称轴2ax =.不在给定范围上的自变量的函数值的计算，应根据给定的关系式（必要时利用周期性和对称性转化）把要求的值转化到给定的区间上的自变量的函数值.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 函数()2log 030xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________. 【答案】19【解析】 【分析】先求1()4f 的值，再求14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【详解】由题得211()=log 244f =-，所以211(2)349f f f -⎡⎤⎛⎫=-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为19【点睛】本题主要考查指数对数运算和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14. 曲线()ln f x x x =在x e =（其中e 为自然对数的底数）处的切线方程为______． 【答案】2y x e =- 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到f '（e ），再求出f （e ）的值，则由直线方程的点斜式可得切线方程．【详解】由()f x xlnx =，得()1f x lnx '=+， f ∴'（e ）12lne =+=．即曲线()f x xlnx =在点(e ，f （e ）)处的切线的斜率为2， 又f （e ）elne e ==．∴曲线()f x xlnx =在点(e ，f （e ）)处的切线方程为2()y e x e -=-，即2y x e =-． 故答案为2y x e =-【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值．15. 若函数2()2ln 3f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围是________．【答案】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】求出导数()'f x ，确定函数的极值点，由极值点可得a 的范围．【详解】函数定义域是(0,)+∞，2141()4x f x x x x '-=-=114()()22x x x+-=，当102x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当12x >时，()0f x '>，()f x 递增，∴()f x 只有一个极值点，极小值点12， 由1(1,1)2a a ∈-+，则112112a a ⎧-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得1322a <<，又10a -≥，即1a ≥，∴312a ≤<．故答案：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查用导数研究函数的极值点，注意函数的极值点是在函数定义域内，一般先求出函数定义域，才能得出正确结果．16. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，如果他记得密码的最后一位是奇数，则他不超过两次就按对密码的概率是________． 【答案】25【解析】 【分析】由于该密码的最后一位数字是奇数,应该在“1,3,5,7,9”中选数，求出按前2次的所有基本事件个数，再求出其中有密码的基本事件的个数，从而可得概率．【详解】根据题意,密码的最后一位数字是奇数,所以此人在按最后一位数字时,有“1,3,5,7,9”5种可能，由此可得此人在按前两次,所有的基本事件有255420n A ==⨯=个，若此人不超过2次就按对,说明前2次所按的数字含有正确数字，相应的基本事件有12428m C A =⋅=个，因此,此人不超过2次就按对的概率是82205m P n ===， 故答案为：25． 【点睛】本题以按密码的事件为例,求某人按密码不超过两次就正确的概率.着重考查了基本事件的概念和古典概型及其计算公式等知识,属于基础题.三、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如果21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中第4项与第6项的系数相等,求n 及展开式中的常数项. 【答案】70 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第4项与第6项的系数,列出方程解得n 值,利用二项展开式的通项公式求出第1r +项, 令x 的指数为0求出常数项【详解】因为21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中第4项与第6项的系数相等所以知可得3522n n C C =,所以352n +=,即4n =. 所以展开式中的通项为8218r rr T C x -+=, 若它为常数项,则4r =,所以45870T C ==. 即常数项为70.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 18. 已知关于x 的一元二次不等式2(3)30x m x m -++<． （Ⅰ）若不等式的解集为(2,3)-，求实数m 的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2m =-；（Ⅱ）[0,1)(5,6]⋃． 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集为(2,3)-，得到关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，代入方程求解即可.（2）将不等式2(3)30x m x m -++<，转化为()(3)0x m x --<，然后分3m <和3m >讨论求解.【详解】（1）由题意可知，关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，则2(2)2(3)30m m -+++=， 整理得5100m +=， 解得2m =-；（2）不等式2(3)30x m x m -++<，即为()(3)0x m x --<． ①当3m <时，原不等式的解集为(,3)m ，则解集中的两个整数分别为1、2，此时01m ≤<；②当3m >时，原不等式的解集为(3,)m ，则解集中的两个整数分别为4、5，此时56m <≤． 综上所述，实数m 的取值范围是[0,1)(5,6]⋃．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，还考查了分类讨论求解问题的能力，属于中档题.19. 已知函数()()223mm f x x m Z -++=∈为偶函数，且()()35f f <．（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）若()()log 2a g x f x x ⎡⎤=-⎣⎦(0a >且1a ≠)，求()g x 在(]2,3上值域．【答案】（1）1m =，()2f x x =；（2）当1a >时，函数()g x 的值域为(],log 3a -∞，当01a <<时，()g x 的值域为[)log 3,a +∞. 【解析】试题分析：（1）因为()()35f f <，所以由幂函数的性质得，2230m m -++>，解得312m -<<，因为m Z ∈，所以0m =或1m =，验证后可知1m =，()2f x x =；（2）由（1）知()()2log 2a g x x x =-，函数22y x x =-在(]2,3上单调递增，故按1a >，01a <<两类，利用复合函数单调性来求函数的值域. 试题解析：（1）因为()()35f f <，所以由幂函数的性质得，2230m m -++>，解得312m -<<， 因为m Z ∈，所以0m =或1m =， 当0m =时，()3f x x =它不是偶函数；当1m =时，()2f x x =是偶函数；所以1m =，()2f x x =；（2）由（1）知()()2log 2a g x x x =-，设(]22,2,3t x x x =-∈，则(]0,3t ∈，此时()g x 在(]2,3上的值域，就是函数(]log ,0,3a y t t =∈的值域；当1a >时，log a y t =在区间(]03,上是增函数，所以(],log 3a y ∈-∞； 当01a <<时，log a y t =在区间(]03,上是减函数，所以[)log 3,a y ∈+∞； 所以当1a >时，函数()g x 的值域为(],log 3a -∞，当01a <<时，()g x 的值域为[)log 3,a +∞．考点：幂函数单调性，复合函数值域.【方法点晴】本题主要考查幂函数的单调性和复合函数单调性与值域的问题.根据题意()()35f f <，可以判断函数在()0,+∞上是单调递减的，所以幂函数的指数部分小于零，由此可以判断出m 可能的取值，然后逐一利用函数是偶函数来验证正确答案.第二问考查的是复合函数单调性，利用同增异减，可以快速判断函数的单调性，并由此求出最值.20. 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有40人；在45名女性驾驶员中，平均车速不超过100km/h 的有25人. （1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关.（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.参考公式与数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++【答案】（1）填表见解析；有；（2）分布列见解析；期望为6 5 .【解析】【分析】（1）根据题目中的数据，完成列联表，求出28.2497.879K≈＞，从而有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关；（2）记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，推导出X服从二项分布，即23,5B⎛⎫⎪⎝⎭，由此能求出X的分布列与数学期望.【详解】解：（1）因为()22100402515208.2497.87960405545K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km /h 与性别有关；（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km /h 的车辆的概率为4021005=， X 可取值是0，1，2，3，由题知2~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，有：()03032327055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()21232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333238355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 分布列为()2754368601231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，考查二项分布，随机变量的分布列与期望的计算，考查学生的数据分析和运算求解能力.21. 在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一个生态农家乐进行升级改造，加入量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与模拟，得到升级改造投入x （万元）与升级改造直接收益y （万元）的数据统计如下：当017x <≤时，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：ˆ 4.111.8yx =+；模型②：ˆ14.4y=；当17x >时，确定y 与x 满足的线性回归方程为：ˆ0.7y x a=-+． （Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当017x <≤时模型①、②的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益．（附：刻画回归效果的相关指数()()22121ˆ1niii nii y yR y y ==-=--∑∑ 4.1≈．）（Ⅱ）为鼓励生态创新，当升级改造的投入不少于20万元时，国家给予公司补贴收益10万元，以回归方程为预测依据，比较升级改造投17万元与20万元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式()()()1122211ˆ()nniiiii i n ni ii i x x yy x ynx ybx x xn x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-）【答案】（Ⅰ）模型①的2R 小于模型②，回归模型②刻画的拟合效果更好；预测值为72.93亿元；（Ⅱ）技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大． 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，182.479.2>，得到()()772211182.479.2i i i i y y y y ==>--∑∑判断即可.（2）由表中数据求得由已知可得 23x =．67.2y =，进而得到ˆ0.7ay x =+写出线性回归方程，再将20x计算，然后再比较即可.【详解】（1）由表格中的数据，有182.479.2>，即()()772211182.479.2i i i i y y y y ==>--∑∑所以模型①的2R 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好． 所以当17x =亿元时，科技改造直接收益的预测值为．∴ˆ21.314.421.3 4.114.472.93y==⨯-=（亿元） （2）由已知可得：123452035x ++++-==，所以23x =．8587.566607.25y ++++-==，所以67.2y =．∴ˆ0.767.20.72383.3ay x =+=+⨯= 所以当17x >亿元时，y 与x 满足的线性回归方程为：ˆ0.783.3yx =-+． 所以当20x 亿元时，科技改造直接收益的预测值ˆ0.72083.369.3y=-⨯+=． 所以当20x亿元时，实际收益的预测值为69.31079.3+=亿元即79.3亿元72.93>亿元所以技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大．【点睛】本题主要考查回归分析及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 22. 已知函数2()ln f x x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1x ，2x 是方程2()(0)ax f x x x a +=->的两个不同的实数根，求证：12ln ln 2ln 0x x a ++<．【答案】（Ⅰ）单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求函数导数，再求导数在定义区间上零点，根据导函数正负，确定单调区间；（Ⅱ）先根据零点得2121lnx x a x x =-，再代入化简不等式为2221112ln 2x x xx x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，构造函数()21ln 2g t t t t=--+，其中211x t x =>，最后根据导数确定函数()g t 单调性，根据单调性证不等式.【详解】（1）依题意，2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--==， 故当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '> ， ∴()f x 单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞ ； （2）因为1x ，2x 是方程2()ax f x x x +=-的两个不同的实数根，∴1122ln 0ln 0ax x ax x -=⎧⎨-=⎩，两式相减得()2121ln0x a x x x -+=，解得2121ln xx a x x =- ， 要证：12ln ln 2ln 0x x a ++<，即证：1221x x a <，即证：2211221ln x x x x x x ⎛⎫⎪- ⎪< ⎪ ⎪⎝⎭， 即证()222122111212ln 2x x x x xx x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 不妨设12x x <，令211x t x =>，只需证21ln 2t t t<-+， 设21()ln 2g t t t t=--+，∴22111()ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭， 令1()2ln h t t t t =-+，∴22211()110h t t t t ⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭，∴()h t 在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)0h t h <=，∴()0g t '<，∴()g t 在(1,)+∞为减函数， ∴()(1)0g t g <=．即21ln 2t t t<-+在(1,)+∞恒成立， ∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a ++<．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，属于综合题.。
2019-2020学年河北省高二年级上学期期末考试数学答案
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高二数学试题参考答案
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