曾谨言《量子力学导论》习题解答
曾谨言量子力学练习题答案
曾谨言量子力学练习题答案曾谨言量子力学练习题答案量子力学是现代物理学的重要分支之一，其研究对象是微观粒子的行为规律。
曾谨言是一位著名的物理学家，他在量子力学领域有着杰出的贡献。
在学习量子力学的过程中，我们常常会遇到一些练习题，以下是曾谨言量子力学练习题的答案。
1. 问题：在双缝干涉实验中，光子通过两个狭缝后，在屏幕上形成干涉条纹。
如果将其中一个狭缝完全堵住，干涉条纹会发生什么变化？答案：当一个狭缝被堵住时，干涉条纹会消失，屏幕上只会出现一个单缝的衍射图样。
这是因为双缝干涉实验中，光子通过两个狭缝后会形成波的叠加，产生干涉现象。
而当一个狭缝被堵住时，只有一个光子通过，无法产生干涉。
2. 问题：在量子力学中，什么是波函数？答案：波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
它可以用来计算粒子在空间中的位置、动量等物理量的概率分布。
波函数的平方模的积分表示了粒子在某一位置的概率密度。
3. 问题：什么是量子纠缠？答案：量子纠缠是量子力学中一种特殊的现象，当两个或多个粒子发生相互作用后，它们的状态将无法被单独描述，而是成为一个整体系统的状态。
即使这些粒子之间距离很远，它们的状态仍然是相互关联的。
这种关联关系在量子通信和量子计算中有着重要的应用。
4. 问题：什么是量子隧穿？答案：量子隧穿是指微观粒子在经典力学中无法通过的势垒或势阱，在量子力学中却有一定概率穿越的现象。
这是由于量子力学中粒子的波粒二象性，粒子具有波动性质，可以在势垒或势阱的两侧存在一定的概率分布。
5. 问题：什么是量子比特？答案：量子比特，简称量子位或qubit，是量子计算中的基本单位。
与经典计算中的比特不同，量子比特可以同时处于多个状态的叠加态，这种叠加态可以通过量子门操作进行处理和控制，从而实现量子计算的优势。
以上是曾谨言量子力学练习题的答案。
量子力学作为一门复杂而又精密的学科，需要我们通过理论和练习来加深对其原理和应用的理解。
希望这些答案能够帮助大家更好地掌握量子力学的知识，并在学习和研究中取得更进一步的突破。
曾谨言量子力学练习题答案
曾谨言量子力学练习题答案量子力学是物理学中描述微观粒子行为的一门基础理论，它在20世纪初由普朗克、爱因斯坦、波尔、薛定谔、海森堡等科学家共同发展起来。
曾谨言教授的量子力学练习题是帮助学生深入理解量子力学概念和计算方法的重要工具。
以下是一些练习题及其答案的示例：练习题1：波函数的归一化某粒子的波函数为 \( \psi(x) = A \sin(kx) \)，其中 \( A \) 和\( k \) 是常数。
求波函数的归一化常数 \( A \)。
答案：波函数的归一化条件为 \( \int |\psi(x)|^2 dx = 1 \)。
将\( \psi(x) \) 代入归一化条件中，得到：\[ \int |A \sin(kx)|^2 dx = 1 \]\[ A^2 \int \sin^2(kx) dx = 1 \]利用三角恒等式 \( \sin^2(kx) = \frac{1 - \cos(2kx)}{2} \)，积分变为：\[ A^2 \int \frac{1 - \cos(2kx)}{2} dx = 1 \]\[ A^2 \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin(2kx)}{4k} \right] = 1 \]由于波函数在 \( x = 0 \) 到 \( x = \frac{\pi}{k} \) 之间归一化，所以：\[ A^2 \left[ \frac{\pi}{2k} - 0 \right] = 1 \]\[ A = \sqrt{\frac{2k}{\pi}} \]练习题2：薛定谔方程的解考虑一个一维无限深势阱，其势能 \( V(x) = 0 \) 当 \( 0 < x < a \)，\( V(x) = \infty \) 其他情况下。
求粒子的能级。
答案：在无限深势阱中，薛定谔方程为：\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]设 \( \psi(x) = \sin(kx) \)，其中 \( k = \frac{n\pi}{a} \)，\( n \) 为正整数。
曾谨言--量子力学习题及解答
dv ， 1
（1） （2） （3）
v c ， v dv v d ，
dv d c d v ( ) d ( ) v c
8hc 5
1 e
hc kT
, 1
1
这里的 的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时， 取得极大值，因此，就得要求 对λ的一阶导数为零， 由此可求得相应的λ的值，记作 m 。但要注意的是，还需要验证 对λ的二阶导数在 m 处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的 m 就是要求的，具体如下：
2
k
2 E
2
k
cos 2d (2 ) cos d ,
2 E
k
这里 =2θ，这样，就有
2
A B E
k
d sin 0
（2）
根据式（1）和（2） ，便有
A E
这样，便有
k n h 2
E
k
E
n h 2 k
nh
其中 h
k
,
h 2
最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的 能量是等间隔分布的。 （2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有
R p qBR
2
qB
这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为
又因为动能耐 E
p2 ，所以，有 2
2
2 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ E 动 e c ） ，那么
[理学]《量子力学导论》习题答案曾谨言版_北京大学1
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第一章 量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ⎩⎨⎧<<><∞=ax ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2=⋅=n n a λn a /2=∴λ （1）又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量(),3,2,12422/2/2222222222==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。
假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。
利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221()2x a E V x m a ω===。
曾谨言量子力学课后答案
= V (x)
x=a
=
1 mω 2 x 2 。 2
−a
0a x
由此得
a = 2E / mω 2 ，
（2）
x = ±a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件
∫ ∫ ∫ +a p ⋅ dx = 2
2m(E − 1 mω 2 x 2 ) dx = 2mω 2 +a
a 2 − x 2 dx
−a
2
−a
= 2mωa 2 ⋅ π = mωπ a 2 = nh
因而平面转子的能量
Em = pϕ2 / 2I = m2h 2 / 2I ， m =1, 2,3,L
第二章 波函数与 Schrödinger 方程
2.1
设质量为
m
的粒子在势场V
v (r )
中运动。
∫ （a）证明粒子的能量平均值为 E = d 3r ⋅ w ，
w = h 2 ∇ψ *ψ +ψ *Vψ 2m
（3）
w = h 2 ∇ψ * ⋅ ∇ψ +ψ *Vψ , 2m
（4）
且能量平均值
∫ E = d 3r ⋅ w 。
（b）由（4）式，得
∂w ∂t
=
h2 2m
∇ψ. *⋅ ∇ψ
+
∇ψ
*
⋅ ∇ψ.
.
+ψ * Vψ
+ψ
*V ψ.
=
h2 2m
∇
⋅
ψ.
*
∇ψ
+ψ.
∇ψ
*
（能量密度）
（b）证明能量守恒公式
∂w ∂t
+
∇
⋅
v s
=
量子力学_答案_曾谨言
第一章量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动，⎩⎨⎧<<><∞=a x ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2=⋅=n n a λn a /2=∴λ （1）又据de Broglie 关系λ/h p = （2）而能量(),3,2,12422/2/2222222222==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。
假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。
利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn hn dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n m p p p m E z y x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：2221)(x m x V E a x ω===。
《量子力学导论》习题答案(曾谨言版,北京大学)(2)
第六章 中心力场6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式相对动量 ()21121p m p m M r p-==∙μ （1） 总动量 21p p R M P+==∙ （2）总轨迹角动量p r P R p r p r L L L⨯+⨯=⨯+⨯=+=221121 （3）总动能 μ222222222121M P m p m p T +=+= （4）反之，有 ,11r m R rμ+= r m R r22μ-= （5） p P m p +=21μ，p P m p -=12μ（6）以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ证： 212211m m r m r m ++=， （17） 21r r r -=， （18）相对动量 ()21122121211p m p m M r r m m m m r p-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==∙∙∙μ （1’） 总动量 ()2121221121p p m m r m r m m m R M P+=+++==∙∙∙ （2’）总轨迹角动量 221121p r p r L L L⨯+⨯=+=)5(2211p r m uR p r m u R ⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ()()2112211p m p m Mr p p R -⨯++⨯= )2)(1(⨯+⨯=由（17）、(18)可解出21,r r，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。
总动能()22112262221212222m p P m m p P m m p m p T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=μμ2122222122112222122222m m pP u m p m m u m m p P u m p m m u⋅-++⋅++=()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++=2122221222211112122m m p P m m m P m m m μ2222M P += （4’） ［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.6.2) 同上题，求坐标表象中p 、和的算术表示式r i ∇-= R i ∇-= ，p r P R L⨯+⨯=解： ()()211221121r r m m Mi p m p m M p ∇-∇-=-=（1） 其中 1111z y x r ∂∂+∂∂+∂∂=∇， 而x X M m x x x X x X x ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1111， 同理，y Y M m y ∂∂+∂∂=∂∂11zZ M m z ∂∂+∂∂=∂∂11； （利用上题（17）（18）式。
量子力学_答案_曾谨言
E nx n y nz
π2 2 1 2 2 = + py + p z2 ) = ( px 2m 2m
n x , n y , n z = 1, 2 , 3 ,
2 2 ⎞ ⎛ nx n2 ⎜ + y + nz ⎟ ⎜ a2 b2 c2 ⎟ ⎝ ⎠
1.3 设质量为 m 的粒子在谐振子势 V ( x) = 提示：利用
（1）
V = ∫ d 3 rψ *Vψ
2 ⎞ ⎛ ⎜ T = ∫ d rψ ⎜ − ∇2 ⎟ ⎟ψ ⎠ ⎝ 2m 3 *
（势能平均值）
（2）
(动能平均值)
=−
2m ∫
2
d 3r ∇ ⋅ ( ψ *∇ψ ) − (∇ψ * ) ⋅ (∇ψ )
[
]
其 中 T 的 第 一 项 可 化 为 面 积 分 ， 而 在 无 穷 远 处 归 一 化 的 波 函 数 必 然 为 0 。 因 此
1 mω 2 x 2 中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。 2 p = 2m[ E − V ( x)]
∫ p ⋅ d x = nh,
n = 1, 2 ,
,
V ( x)
1
解：能量为 E 的粒子在谐振子势中的活动范围为
x ≤a
其中 a 由下式决定： E = V ( x) x = a = 由此得
（2）
ψ * × （1）-ψ × （2）,得
i
2 ∂ * ( ( ψ ψ )= − ψ *∇ 2ψ − ψ∇ 2ψ * ) + 2iψ *V2ψ ∂t 2m
=−
2
2m
∇⋅( ψ *∇ψ − ψ∇ψ * ) + 2iV2ψ *ψ
∴
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曾谨言《量子力学导论》习题解答第三章一维定态问题3.1)设粒子处在二维无限深势阱中，,,,,0, 0xa,0yb,V(x,y), ,,, 其余区域,a,b求粒子的能量本征值和本征波函数。
如，能级的简并度如何,解:能量的本征值和本征函数为2222nn,,yx(，)E, nn22xy2mabny,nx,2yx,sinsin, n,n,1,2,？ ,nnxyxyabab22,,22a,bE,(n，n)若，则 nnxy2xy2many,nx,2yx,sinsin ,nnxyaaan,10,n,5这时，若n,n，则能级不简并;若n,n，则能级一般是二度简并的(有偶然简并情况，如xyxyxy''n,11,n,2与) xy3.2)设粒子限制在矩形匣子中运动，即,,,,,,0, 0xa,0yb,0zc,,V(x,y,z) ,,, 其余区域,a,b,c求粒子的能量本征值和本征波函数。
如，讨论能级的简并度。
解:能量本征值和本征波函数为22222nnn,,yxzE, ,(，，)222nnnm2abcxyzny,nxnz,,8yxz,sinsinsin,,nnn abcabcxyzn,n,n,1,2,3,？xyza,b,c当时，22,,222 E,(n，n，n)xyz2nnn2maxyz32ny,nxny,,2,,yxz ,sinsinsin,,,nnnaaaaxyz,,n,n,n时，能级不简并; xyzn,n,n三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
xyz 三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。
n,n,nxyz222222,5，6，8,3，4，10(1,7,9),(1,3,11)如 ,22222210，12，16,6，8，20(1,5,10),(3,6,9),3.3)设粒子处在一维无限深方势阱中，0, 0,x,a,V(x,y), ,,, x,0,x,a,证明处于定态的粒子 ,(x)n2aa62x,,,, (x-x)(1) 22212n,讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。
n , ,证:设粒子处于第n个本征态，其本征函数,2n(x),sinx. ,naa2aa2n,a分部2 (1) ,,sin xxdxxxdx,n,,002aa2a2a2222(,),,,,, xxxxxdxn,042a212n,xa2,,(1,cos), xdx ,024aa2a6,,(1) (2) 22n,12在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞(设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改，，0, adxxxdx,，变，但动能、速度不变)外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故 aadxa ， (3) ,,,xx,02a2adxa22,,,xx， ,03a222aa22() (4) x,x,x,x,,34当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。
n,,3.4)设粒子处在一维无限深方势阱中，,0, x,a2V(x,y), ,,, x,a2,(n,1)处于基态，求粒子的动量分布。
,x2,cos解:基态波函数为 , (参P57，(12)) ,1aa,,aipx12x,2,,？(p),e,cosdx,a,aa2,2,,aipxixix11,,2aa,,,e,(e，e)dx,a,2,a2,,ppa，，ii,,，()()12aa,,,e，edx,,,,a,2,a2，，,,,pa,pa,pa,pa,,,,,,,,,,，，，，iiii,,,,，，,,,,,,,,111,,aaaa,,,,,,,,,,,,2222,,e,e，,e,e,,,,,,,,,pp,,,,a ,,,,,,,，，，，2i,,2i，,,,,,,aa,,,,,,,,,,,,papa111,,,cos，cos,,,,,pp2,2,a,,,,，,,a,a,,,3,2q,pa,cos 22222,,,,ap3,4,apa22,,()()cos动量的几率分布 p,p,222222,，，,,,ap3.5)设粒子处于半壁高的势场中,, x,0,,V(x),,V,0,x,a (1) ,0,0,x,a,求粒子的能量本征值。
求至少存在一条束缚能级的体积。
解:分区域写出: s.eq"'2,,(x)，k(x),0, 0,x,a11 (2) "2,(x),k,(x),0, x,a222,2,E'22其中 (3) ，，,，,,kVE, k022,,''ikx,ikx,(x),Ae，Be1方程的解为 (4) kx,kx,(x),Ce，De2根据对波函数的有限性要求，当时，有限，则 x,,,(x)2C,0当x,0时，，则A，B,0 ,(x),01',(x),Fsinkx, 0,x,a1于是 (5) ,kx,(x),De , x,a2在处，波函数及其一级导数连续，得 x,a',ka'',ka (6) Fsinka,De, kFcoska,,kDe'k'tgka上两方程相比，得 ,, (7) k，，V，E2,0tga，，V，E,,,即(7’) ,,02E,，，'若令 (8) ka,,, ka,,则由(7)和(3)，我们将得到两个方程:,,,,,ctg ( 9),,2V,(10)式是以,20，,a (10) ,,2,,,2为半径的圆。
对于束缚态来说，， ,V,E,0r,2,V,a00,,,,ctg,,结合(3)、(8)式可知，和都大于零。
(10)式表达的圆与曲线在第一象限的交点可决定束缚,,2V0a,,2态能级。
当，即，亦即 r,,22,222,Va,,,8 (11) 0时，至少存在一个束缚态能级。
这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。
3—6)求不对称势阱中粒子的能量本征值。
解:仅讨论分立能级的情况，即，0,E,V22,d2mV,E，，？,, 2,dx,,0当x,,,时，，故有kx1,Ae,x,0,k,2mV,E,，，111,，，，，Asinkx,0xa,k2mE,,,,，,,,,,, , ,kx,2，，Ae,a,x,k,2mV,E,222,dln,x,0由在、处的连续条件，得 x,adx(1) ，，k,kctg,, k,,kctgka，,12,k由(1a)可得 (2) sin,,2mV1ka，,由于皆为正值，故由(1b)，知为二，四象限的角。
k,k,k12,k因而 (3) sinka，,,，，,2mV2又由(1)，余切函数的周期为，故由(2)式，，，,ctg,k1,nsin (4) ,,,，12mV1,k1,kansin由(3)，得 (5) ，,,,,2mV2,k,k11,,kansinnsin结合(4),(5)，得 ,,,,,,212mV2mV21,k,k11,,kansinsin或 (6) ,,,,2mV2mV12n,1,2,3,？一般而言，给定一个值，有一个解，相当于有一个能级: knn22k,nE, (7) n2ma2mVV,21,2,,sin当时，仅当 V,V21,2V1,,V,,,12,,,,asin才有束缚态，故给定时，仅当 (8) V,V12,,2V2mV12,, V时才有束缚态(若，则无论和的值如何，至少总有一个能级) V,V,Va12当给定时，由(7)式可求出个能级(若有个能级的话)。
相应的波函数为:V,V,ann12,k,kxn,,,Ae ,x0 ,k2m，，VE,n1n1,2mV1,,，，,Asinkx， , 0,x,a,,, ,nnnn ,,kn1,,k，，x,a2n2n，，，，A,1e ,x,a ,k,2mV,E,,n2n22mV,2,，，A,2a，1k，1k其中 n1n2nE,03—7)设粒子(能量)从左入射，碰到下列势阱(图)，求阱壁处的反射系数。
,,,0,Vx,0(),解:势阱为 Vx,0,,0.x,在区域?上有入射波与反射波，在区域?上仅有透射波。
故ikxikx,11,,Ae，Be,k,2mV，E,，，110 ikx2,,Ce,k,2mE,22A，B,C由，得。
,(0),,(0)12''由，得。
,(0),,(0)，，kA,B,kC1212从上二式消去c, 得。
，，，，k,kA,k，kB121222k,k，，B212R,r,,反射系数 22A，，k，k12将代入运算，可得 k,k12222,,,V16E,EVV000,, R,41,4EV,E,,V00，，，，VEE,03—8)利用Hermite多项式的递推关系(附录A3。
式(11))，证明谐振子波函数满足下列关系，，1nn，1,,,x(x),(x)，(x),,nn,1n，1,22，，12,,，，，，，，，，,x(x),nn,,1(x)，2n，1,(x)，n，1n，2,(x)nn,2nn，222,x,0, V,E2并由此证明，在态下， ,nn22x,,2,(x),AeH(,x)证:谐振子波函数 (1) nnn,其中，归一化常数 A,, ,,m,, (2) nn,2,n!,的递推关系为 (3) H(,x),2,xH(,x)，2nH(,x),0.H(,x)n，1nn,1n,,,,,,22221,x2,x2？x(x),Ae,xH(x),Ae,2xH(x),nnnnn2,22,,1,x2,,,AeH(x)，2nH(x),nn，1n,12x,,,,222211,,,x2,x2,,,e,nH(x)，,,e,H(x)n,1n，1,,,,nn2,2,n!,2,n!,221n,,x2,,,,,e,H(x)n,1n,1,,2，，,2,n,1!,221n，1,,x2, ，,,,e,H(x)n，1n，1,,2，，,2,n，1!，，1nn，1,(x),(x),，,,n,1n，122,，，，，1nn，12,,,？x(x),x(x)，x(x),,nn,1n，1,22，，,,，，，，1nn,1nn，1n，1n，2,,,,,,,(x)，(x)，(x)，(x) ,,,,,,n,2nnn，22,222222,,，，，，,,1,,，，，，，，，，,nn,,1(x)，2n，1,(x)，n，1n，2,(x)n,2nn，222, ，,，,，，1nn，1**x,,,xdx,,(x),,(x)，,(x)dx,0 ,,nnnn,1n，1,,22,,,,,，，，,1*22,,,V,(x),mx,(x)dxnn,2,,11*2,,,，，,(x),m,,2n，1(x)dx nn2,,221111,,2，，,m,,,2n，1,n，,,,E2,,n22222,,,3—9)利用Hermite多项式的求导公式。
证明(参A3.式(12))，，dnn，1,,,,(x),,,,nn,1n，1dx22，，22,d,,，，，，，，，，,(x),nn,,1,2n，1,，n，1n，2,nn,2nn，222dx ,dH(x)'n证:A3.式(12):H,(),2nH,(), ,2n,H(,x) nn,1n,1dx2222d,,,,,,,22,x2,x2(x),A,,xeH(x)，e,2nH(x),,，，nnnn,1dx2,,,,,,x(x)，2n(x)nn,1，，nn，1 ,,,,,,,(x)，(x)，,2n(x),,n,1n，1n,122，，，，nn，1,,(x),(x),,,,n,1n，122，，2,,，，，，dnn,1nn，1n，1n，2,,,,,,,,,,(x),,,,,,,,,,,,nn,2nnn，22222222dx,,，，，，,, 2,,,，，，，，，，，,nn,,1,2n，1,，n，1n，2,n,2nn，22，，dnn，1,,**，，p,,,i,,dx,,i,,,,,,,dx,0 ,,,,nnnn,1n，1,,dx22,,，，222,,p,d*,,,,T,,,,dxnn,2,,22mmdx,,22,,*,,,,,,12112，，，，，，，， ,,,nn,,n，，n，n，dx,，nn2nn2,22m 222E,,11,,m,,*n，，，，,,2n，1,,dx,,,2n，1,n，,,,,,nn,44222,mm,, 3—10)谐振子处于态下，计算 ,n112222，，，，,x,,p,?，，，，，， ,x,x,x,p,p,p,,,,，，，，1,,n，,,,EV22,,2n 解:由题3—6)，xx,0, ,,,22m,m,m,1,,2p,0, p,2mT,mE,n，m,, 由题3—7)， ,,n2,,1112222，，1,2,,，，2,x,x,x,x,x,n，，，，，,,,,,,,2m，，,,，，1112222，，12,,，，2，，，，,p,p,p,p,p,n，m,, ,,,,,,2，，,,，，1,,,x,,p,n，,,,2,,对于基态，，刚好是测不准关系所规定的下限。