河北省衡水中学2021届高三上学期调研考试数学试题
2021届河北省衡水中学高三上学期七调考理科数学试卷
2021年河北省衡水中学高三上学期七调考理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．已知全集，集合，那么()U A C B ⋂=（ ）A ．B ．C ．D ．2．在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．已知函数的最小正周期为，则在区间上的值域为（ ）A ．B ．C ．D ． 5．执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）{}n a ()1122m m m a a a m +-⋅=≥{}n a n n T 21512m T -=m ()()2sin sin 02f x x x x πωωωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π()f x 20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦SA ．2B ．C ．-1D ．1 6．在二项式的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理数都互不相邻的概率为（ ） A ．B ．C ．D ． 7．在中，分别是所对边的边长，若，则的值是（ ） A ．1 BCD ．28．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位:）,则该几何体的体积为（ ）A ．120B ．80C ．100D ．609．在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能10．平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ． 11．已知双曲线的方程，其左、右焦点分别是，已知点坐标为12n161413512,,a b c ,,A B C 2cos sin 0cos sin A A B B+-=+a b c +5,,BC G O =5OG BC ⋅=ABCABCD 0AB BD ⋅=BD A BD C --2224AB BD +=A BCD -2π4π4π2πC 22145x y -=12,F F M，双曲线上点，满足，则（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．4 12．定义在上的函数满足，当时，，函数，若，不等式成立，则实数的取值范围（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题 13．设，则的展开式中常数项是___________． 14．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1； ③某项测量结果服从正太态布，则； ④对于两个分类变量和的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为 ．15．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围是 ．16．是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 ．()2,1C ()()0000,0,0P x y x y >>11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=12PMF PMF S S ∆∆-=R ()f x ()()122f x f x +=[)0,2x ∈()231212,0122,12x x x f x x --⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤<⎩()323g x x x m =++[)[)4,2,4,2s t ∀∈-∃∈-()()0f s g t -≥m (],12-∞-(],4-∞-(],8-∞31,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()()22:341C x y -+-=()()(),0,,00A m B m m ->P 90APB ∠=︒m ()f x R ()'f x ()()()'1,02016f x f x f -<=()20151x f x e >⋅+e三、解答题17．已知数列的前项和为，向量满足条件．（1）求数列的通项公式；（2）设函数，数列满足条件．①求数列的通项公式； ②设，求数列的前项和． 18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，是棱的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值；（3）设点是直线上的动点，与平面所成的角为，求的最大值．19．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30,女20），给所有同学几何体和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况如下表（单位:人）（1）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现甲，乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概{}n a n n S ()1,1,21,2nn a S b ⎛⎫==-⎪⎝⎭{}n a ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭{}n b ()()1111,1n n b f b f b +==--{}n b nn nb c a =n c n n T S ABCD -ABCD SA ⊥ABCD AB AD BC 2,1,SA AB BC AD M ====SB SCD SCD SAB N CD MN SAB θsin θ率；（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的大题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望． 附表及公式：20．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程； （2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，连接分别交直线于两点，若直线的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 21．已知函数． （1）求的单调区间；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值； （3）对于在区间上任意一个常数，是否存在正数，使得成立？请说明理由．22．选修4-1：几何证明选讲如图，直线为圆的切线，切点为，点在圆上，的角平分线交圆于点垂直交圆于点．X X ()E X ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()()ln 1f x x x =+-()f x k Z ∈()311f x x k x ⎛⎫-+>-⎪⎝⎭1x >k ()0,1a 0x ()02012f x a e x <-AB B C ABC ∠BE ,E DB BE D（1）证明：（2）设圆的半径为1，，延长交于点，求外接圆的半径． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为：，直线与曲线分别交于.(1)写出曲线和直线的普通方程；(2)若成等比数列,求的值.24．选修4-5：不等式选讲 已知函数 （1）解不等式（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．DB DC=BC =CE AB F BCF ()121f x x x =++-()4f x <()1f x a ≥+x R ∈a参考答案1．A 【详解】 试题分析：由题意，，，所以{}()|01U A C B x x ⋂=<<．故选A ．考点：集合的运算． 2．A【解析】试题分析：由题意得，所以，故选A.考点：复数的运算及复数的表示. 3．B 【解析】试题分析：因为是正项等比数列，所以，，又，所以，．故选B ． 考点：等比数列的性质． 4．A 【解析】 试题分析：，所以，，，时，，，所以．故选A ．考点：函数的周期，值域． 5．B 【解析】试题分析：本题算法主要考查循环结构，由算法知，记第次计算结果为，则有{}n a 2112m m m m a a a a +-⋅==2m a =21211221m m m m T a a a a ---==21925122m -==5m=21cos 21()sin cos 2sin(2)262x f x x x x x x ωπωωωωω-=+==-+22T ππω==1ω=1()sin(2)62f x x π=-+2[0,]3x π∈72[,]666x πππ-∈-1sin(2)[,1]62x π-∈-3()[0,]2f x ∈()sin()f x A x ωϕ=+k k S，，，，因此是周期数列，周期为3，输出结果为，故选B ．考点：程序框图，周期数列． 6．D 【解析】试题分析：展开式通项为（），由题意，．所以当时为整数，相应的项为有理数，因此题二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理数，6项是无理数，所求概率为．故选D ． 考点：二项式定理，古典概型．【名题点睛】本题考查二项式定理与古典概型概率计算，考查等差数列的概念．首先应正确掌握二项式定理，由二项展开式通项公式得各项系数，由等差数列的定义可求得指数值，由二项展开式通项中判断有理项的个数为3,9个数全排列，其中求3个有理数互不相邻的方法数时用插入法，即把6个无理数排列，形成7个空档（含两头的），在这7个空档中选取3个排列这3个有理数可得方法数． 7．B 【解析】试题分析：由得，即，又，所以，，，所以，故选B ．考点：两角和与差的正弦公式，正弦函数的性质． 8．C 【解析】11112S ==--2111(1)2S ==--312112S ==-41112S ==--1S ={}k S 2012367022S S S ⨯+==12=1r n rrr nT C -+=2342n r r rnC x--=⋅⋅0r n ≤≤1100222222n n n C C C --⋅=⋅+⋅8n =0,4,8r =1634r-636799512A A P A ==n 2cos sin 0cos sin A AB B +-=+))244A B ππ++=sin()sin()144A B ππ++=sin(),sin()1144A B ππ+≤+≤sin()sin()144A B ππ+=+=4A B π==2C π=2a b c ==a bc+=试题分析：由已知，故选C ．考点：三视图，几何体的体积． 9．B 【解析】试题分析：设是边中点，则， ，所以，，，所以，即为钝角，三角形为钝角三角形．故选B ．考点：向量的线性表示与数量积，三角形形状的判断． 10．C 【解析】试题分析：由得，又二面角是直二面角，所以平面，从而，同理，所以的中点到四个顶点的距离相等，即为外接球球心，又，，所以球半径 ，．故选C ．考点：两平面垂直的性质，外接球与球的表面积． 11．C 【解析】 试题分析：由已知得：，所以，即在的平分线上，可证的内心在直线上，所以点是的内心，到三边的距离相等均为，所以 D BC OD BC ⊥()OG BC OD DG BC ⋅=+⋅DG BC=⋅13DA BC =⋅()()16AB AC AC AB =-+⋅-()22156AC AB =--=2230AC AB -=-AB AC =+2230AB AC AC BC >+=+222225cos 0C <C 0AB BD ⋅=AB BD ⊥A BD C --AB ⊥BCD AB BC ⊥CD AD ⊥AC O ,,,A B C D 2222AC AB BD DA=++2224AB BD =+=2AC =12AC r ==2414S ππ=⨯=11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=11121cos cos MF PF M MF F F M ∠=∠121PF M F F M ∠=∠M 12PF F ∠12PF F ∆2x =M 12PF F ∆M 1d =12PMF PMF S S ∆∆-=121122d PF d PF -，故选C ． 考点：双曲线的性质，向量数量积的定义．【名题点睛】本题考查双曲线的性质，单纯用计算方法非常难，通过向量的数形积定义，化简已知后知，即在的平分线上，此时要联想到双曲线的一个性质：双曲线的右支上任一点，是的左右焦点，则的内心在直线上，反之，直线上的任一点（点除外），一定是某个的内心（是双曲线右支上的点）．利用此结论可很快得出结论． 12．C 【解析】试题分析：由题意，当时，，当时，，所以当时，，又，因此当时，，当时，，即当时，，最小值为－8，，令，得或，由易得是极小值点，是极大值点，，，由题意，．故选C ．考点：不等式恒成立，函数的值域．【名题点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是命题中量词的理解与命题的转化，若，不等式成立，即在上，函数的最小值大于或等于的最大值．函数是三次函数，可由导数的性质求得最大值，而函数是分段函数，由分段函数的定义可在每一个区间（分为有三个区间）上的值域，然后求出并集，得值域． 13．－332 【解析】121()2PF PF =-2a ==11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=121PF M F F M ∠=∠M 12PF F ∠P 22221x y a b-=12,F F 12PF F ∆x a =x a =(,0)a 12PF F ∆P 01x ≤<3122x -<≤12x ≤<2()f x -≤≤[0,2)x ∈1()[2,]2f x ∈-1(2)()2f x f x +=[2,0)∈-()[4,1]f x ∈-[4,2)x ∈-()[8,2]f x ∈-[4,2)x ∈-()[8,2]f x ∈-()f x 2'()36g x x x =+'()0g x =2x =-0x =0x =x =2-(0)g m =(4)16(0)g m m g -=-+<=168m -+≤-8m ≤[)[)4,2,4,2s t ∀∈-∃∈-()()0f s g t -≥[4,2)-()f x ()g x ()g x ()f x [4,2),[2,0),[0,2)--()f x试题分析：，的展开式的通项为，所以所求常数项为．考点：二项式定理的应用，定积分． 14．2 【解析】试题分析：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，①错；两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，②正确；某项测量结果服从正太态布，则，③正确；对于两个分类变量和的随机变量的观测值来说，越大，判断“与有关系”的把握程度越大，④错．故只有2个正确．考点：抽样方法（系统抽样），线性相关关系，正态分布，独立性检验． 15． 【解析】试题分析：由已知以为直径的圆与圆有公共点，中点为原点，，则，解得，考点：两圆的位置关系．【名题点睛】判断两圆的位置关系有两种方法，一是解由两圆方程组成的方程组，若方程组无实数解，则两圆相离，若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交，二是讨论两圆的圆心距与两圆半径之间的关系．第一种方法在计算上较繁琐，因此一般采用第二种方法． 16．[]4,6AB C AB 2AB m=11m m -≤≤+46m ≤≤(0,)+∞【解析】试题分析：设，则，因为，所以，即是上的增函数，又，所以的解集为，又，所以所求不等式解集为．考点：导数与单调性，解函数不等式．【名题点睛】本题考查导数的应用，解不等式的关键是构造新函数，新函数能够利用已知条件判断其单调性，利用单调性解不等式是这种类型问题的常规解法．考虑到已知条件，设，则，由此可得，得是递增的，不等式可解．17．（1）；（2）①；②． 【解析】试题分析：（1）本题通过向量平行引入数列的前项，再由求通项公式；计算时注意与计算方法的不同；（2）①由函数式给出数列的递推式，从递推式知是等差数列；②数列是由等差数列与等比数列相除得到的，其前项和是用错位相减法求得． 试题解析：（1）当时，；当时，满足上式，（2）①()20151()x x f x e g x e -⋅-='()()1'()x f x f x g x e -+=()'()1f x f x -<'()0g x >()g x R 00(0)20151(0)0f e g e --==()0g x >0x >()0()201510x g x f x e >⇔-⋅->(0,)+∞()20151xf x e >⋅+()20151()x x f x eg x e -⋅-='()()1'()xf x f xg x e -+='()0g x >()g x 2nn a =n b n =222n n n T +=-n n S n S 1a (2)n a n ≥{}n b {}n b {}n c n 2n ≥12nn n n a S S -=-=1n =112a S ==2nn a ∴=()()()111,21xn n f x f b f b +⎛⎫== ⎪--⎝⎭又是以1为首项，1为公差的等差数列，②两边同乘， 得，两式相减得：， ．考点：向量平行，由求通项，等差数列的通项公式，错位相减法求和．18．（1）证明见解析；（2（3）． 【解析】试题分析：本题考查线面平行的判断，求二面角，求直线与平面所成的角，可用线平行的判定定理，先证线线平行，得线面平行，在求二面角和直线与平面所成角的时候可以通过作角、证明、计算求出结果．由于图形中有两两垂直，因此可能以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，用空间向量法解决本题．证明线面平行时，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，由两平面的法向量的夹角与二面角相等或互补可得二面角，由直线方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值（绝对值）等于直线与平面所成角的正弦值求线面角，设，则可表示为的函数，由函数的性质可得最大值．试题解析：（1）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为1111111122212n nn nb b b b ++--+⎛⎫∴=∴=⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭1111n n n n b b b b ++∴=+∴-={}11n b b =∴n b n ∴=121121,22222n n n n n nn b n n n c T a --===++++12231112122222n n n n n T +-=++++211111121222222n n n n n n T +++=++-=-()222n n n T n N ++∴=-∈n S n a ()max sin θ=,,AS AB AD (),22,0N x x -sin θx A ()()()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0,1,0,0,0,0,2,0,1,1A B C D S M ()()()0,1,1,1,0,2,1,2,0AM SD CD ∴==-=--SCD则，令，得，平面；（2）易知平面的一个法向量为，设平面与平面所成的二面角为，易知，则 平面与平面所成的二面角的余弦值为（3）设，则，易知平面的一个法向量为当，即时，取得最大值，且．考点：用向量法证明线面平行，求二面角，求直线与平面所成的角． 19．（1）能；（2）；（3）分布列见解析，期望为． 【解析】试题分析：（1）这属于独立性检验问题，只要根据给出的公式计算可得结果；（2）设甲，乙解答一道几何题的事件分别为分钟，则基本事件满足的区域为，设事件为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为，由几何概型公式可得结论；（3）由题意知随机变量的取值分别为，依次求得其概率可得分布列，数学期望． 试题解析：．（1）由表中数据，得的观测值，(),,n x y z =020200SD n x z x y CD n ⎧⋅=-=⎧⎪∴⎨⎨--=⋅=⎩⎪⎩1z =()2,1,1n =-SCD SAB ()11,0,0n =SCD SAB ϕ02πϕ<<11cos cos 331n n n n ϕϕ⋅===∴=⨯⋅∴SCD SAB 3(),22,0N x x -(),23,1MN x x =--SAB ()11,0,0n =sin θ∴===135x =53x =sin θ()max sin θ=1812,x y 5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩A x y >X 0,1,22K根据统计有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．（2）设甲，乙解答一道几何题的事件分别为分钟，则基本事件满足的区域为，如图所示设事件为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为由几何概型，得，即乙比甲先解答完的概率为（3）由题可知在选择做几何题的8条女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽取到有种；恰有一人被抽到有；两人都被抽到有种．可能取值为0,1,2，，， 的分布列为所以． 考点：独立性检验，几何概型，古典概型，随机变量分布列与数学期望． 20．（1）；（2）定值，为．【解析】试题分析：第（1）小题设计求椭圆方程，属于比较简单；第（2）小题设计为探索型陈述问题，增强逻辑思维能力的考查，难度较大．联立直线l 的方程与椭圆方程，得出点P 、Q 的()250221288505.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯∴,x y 5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩A x y >∴()11112228P A ⨯⨯==⨯182828C =2615C =112612C C ⋅=221C =X ∴()15028P X ==()1231287P X ===()1228P X ==X ()012287282E x =⨯+⨯+⨯=坐标关系，利用三点共线，分别可以求出点M、N的坐标，代入并结合韦达定理化简可得结果．试题解析：（1）由题意得解得故椭圆的方程为．（2）设，，直线的方程为，由得．∴，，由，，三点共线可知，，所以；同理可得所以．因为，所以．考点：椭圆，直线与椭圆的位置关系．【思路点睛】本题以直线与椭圆的位置关系为载体，重点考查运用坐标法来研究椭圆的相关性质．在解决问题中以下几点值得我们回味与重视．（1）把直线的方程设为，这样的好处在于避免对斜率的存在与否予以分类讨论．（2）利用两个“三点共线”，可以清楚得出点M 、N 的坐标，这也是简化运算的策略之一． （3）本题最大的解题困难在于学生的字母运算能力不过关，需要多练，多领悟． 21．（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）4；（3）存在正数满足条件． 【解析】试题分析：本题考查考查导数的应用，（1）求函数的单调区间，就是求出导函数，然后解不等式（或）得单调增区间（或减区间）；（2）不等式恒成立问题，化简不等式为，为此设，求它的最小值，由最小值大于0得的范围，由，在时，，因此要分类，或，时易得单调性，时，得，问题转化为时求的最大值，最终可得结果；（3）探索性问题，假设存在，不等式转化为，为此只需找到当时，函数的最小值满足即可．试题解析：（1）易得，函数定义域为，且当时，即在区间上是增函数，当时，，即即在区间上是减函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由变形，得整理得，令，()1,0-()0,+∞0x '()f x '()0f x >'()0f x <()311f x x k x ⎛⎫-+>- ⎪⎝⎭ln 30x x x kx k +-+>()ln 3g x x x x kx k =+-+k '()ln 2g x x k =+-1x >ln 0x >2k ≤2k >2k ≤2k >22()()3k k g x g ek e --==-极小230k k e -->k ()02012f x a ex <-02001102x x a x e ++-<0x >()21102x a x h x x e+=+-<()min h x ()min 0h x <()1,-+∞()'1111xf x x x -=-=∴++()1,0x ∈-()'0fx >()f x ()1,0-()0,+∞()'0f x <()f x ()0,+∞()f x ∴()1,0-()0,+∞()311f x x k x ⎛⎫-+>-⎪⎝⎭()3ln 11x x x k x ⎛⎫--+>- ⎪⎝⎭ln 30x x x kx k +-+>()()'ln 3,ln 2g x x x x kx k g x x k =+-+∴=+-1ln 0x x >∴>若时，恒成立，即在区间上递增，由又的最大值为2．若由，由，即在上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上有最小值，为 于是转化为恒成立，求的最大值令，当时，单调递减当时，单调递增．在处取得最大值．，，的最大值为4．（3）假设存在这样的满足题意，则由 要找一个使式成立，只需找到当时，函数的最小值满足即可．，令，取在时，，在时，下面只需证明：在时，成立即可 又令 则在时为增函数． 符合条件，2k ≤()'0g x >()g x ()1,+∞()1110,120222g k k k >∴+>∴>-∴-<≤k Z k ∈∴2k >2ln 20k x k x e -+->∴>2ln 201k x k x e -+-<∴<<()g x ()21,k e -()2,k e-+∞()g x ()1,+∞()223k k g e k e --=-()2302k k e k -->>k ()()2'233x x h x x eh x e --=-∴=-2ln3x >+()()'0,h x h x <22ln3x <<+()()'0,h x h x >()h x ∴2ln3x =+1ln3232ln34<<∴<+<()()1130,2ln 333ln 30h h e=->+=+>()()234120,5150h e h e =->=-<4,k k ∴≤∴0x ()()0022000111022f x x x a a ex x e+<-⇔+-<*∴00x >()*0x >()21102x a x h x x e+=+-<()min h x ()min 0h x <()'1xh x x a e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()'10ln x h x e x a a=∴=∴=-0ln x a =-00x x <<()'0h x <0x x >()()()()()2'0min 0ln ln ln 12a h x h x h x h a a a a a >∴==-=-+-01a <<()2ln ln 102a a a a a -+-<()()()2ln ln 1,0,12a p a a a a a a =-+-∈()()()2'1ln 0,2p a a p a =>∴()0,1a ∈()()010,ln p a p x a ∴<=∴=-即存在正数满足条件．考点：导数与单调性，函数的极值，不等式恒成立问题，探索性问题．【名题点睛】1．导数法求函数单调区间的一般流程:求定义域→求导数f'(x)→求f'(x)=0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f'(x)在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性．2．不等式恒成立问题，通常转化为求函数的最值，要注意的是求最大值还是求最小值，比较难的问题是求出最小值后，还要再用导数研究此值的单调性，判断其正负等等． 22．（1）证明见解析；（2）． 【解析】试题分析：本题考查弦切角定理，考查圆的性质，由，而，故，再由，所以为直径，易得结论；（2）实质上垂径定理知垂直平分（设与的交点为），则，在中可得，从而可得，是是外接圆直径． 试题解析：（1）连接，交于点由弦切角定理得，，而，故 又因为，所以为直径，所以，由勾股定理可得； （2）由（1）知，，故是的中垂线，所以 设的中点为，连接，则，从而 所以，故外接圆的半径等于． 考点：弦切角定理与圆周角定理，切线的性质，圆的性质． 23．（1）详见解析；（2）详见解析.x 2ABE BCE ∠=∠ABE CBE ∠=∠,CBE BCE BE CE ∠=∠=DB BE ⊥DE DE BC BC DEG 2BG =Rt BOG ∆60BOG ∠=︒CF BF ⊥BC BCF ∆DE BCG ABE BCE ∠=∠ABE CBE ∠=∠,CBE BCE BE CE ∠=∠=DB BE ⊥DE 90DCE ∠=︒DB DC =,CDE BDE DB DC ∠=∠=DGBC 2BG =DE O BO 60BOG ∠=︒30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒CF BF ⊥RtBCF 2【解析】试题分析：（1）由关系式可化极坐标方程为直角坐标方程，消去参数，可化参数方程为普通方程；（2）关键是求得，题中直线的参数方程是过点的标准参数方程，点的参数具有几何意义，，因此直接把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得，，再结合已知可求得．试题解析：（1）曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为（2）直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立，得，设点分别对应参数恰为上述方程的根则，由题设得由得则有．考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线参数方程的应用．24．（1）；（2）． 【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式，主要是分类讨论，分类标准由绝对值的定义确定；（2）不等式对任意的恒成立，即的最小值满足，由（1）的讨论，可得．513x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭{}|31a a -≤≤()1f x a ≥+x R ∈()f x ()1f x a ≥+最小值()(1)f x f =最小值试题解析：（1），当时，由，此时无解当时，由当时，由 综上，所求不等式的解集为（2）由（1）的函数解析式可以看出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在处取得最小值，最小值为，不等式，对任意的恒成立即，解得故的取值范围为．考点：解绝对值不等式，不等式恒成立问题，函数的最值． ()31,13,1131,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪->⎩1x ≤-3141x x -+<∴>-11x -<≤34,111x x x -+<∴>-∴-<<1x >55314133x x x -<∴<∴<<513x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭()f x (),1-∞()1,+∞()f x 1x =()12f =()1f x a ≥+x R ∈12a ⇔+≤212a -≤+≤31a -≤≤a {}|31a a -≤≤。
河北省衡水中学2021届高三上学期调研考试数学
河北省衡水中学2021届高三上学期调研考试数学注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚.2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.第Ⅰ卷（非选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知集合{}|2,0xA y y x -==<，12|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A B =A ．[)1,+∞ B.()1,+∞ C.()0,+∞ D.[)0,+∞2.设()()()2i 3i 35i x y +-=++（i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，则i x y +等于A ．5B C ．D ．23.已知a,b 都是正数，则“3log 3log b a <”是“333>>ba”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D 既不充分也不必要条件4.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A.甲B.乙C.丙D.无法预测5.《九章算术》是我国算术名著，其中有这样一个问题：今有碗田，下周三十步，径十六步，问为田几何？意思是说现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4,在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是A.154 B.415 C.815 D.1206.若nxx ）（22-的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是A.210B.180C.160D.1757.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征.为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45o ，沿点A 向北偏东30o 前进100m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30o ，则“泉标”的高度为A.50m B.100m C.120m D.150m8.已知函数)(x f 满足213)(,6)2()-2(--==++x x x g x f x f ，且)()(x g x f 与的图象交点为),,(),,(),,(882211y x y x y x 则128128x x x y y y +++++++L L 的值为A.20B.24C.36D.40二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F 、A 、B 三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a 、2b 、2c ，则A.a -c =m +R B.a+c=n+R C.2a=m+nD.b=)(m R n R ++）（10.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以321,,A A A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是A.P(B)=52B.P 115A |B 1=）（C.事件B 与事件1A 相互独立 D.1A 、2A 、3A 两两互斥11.已知点P 是双曲线1916E 22=-y x ：的右支上一点，21,F F 为双曲线E 的左、右焦点，21F PF ∆的面积为20，则下列说法正确的是A.点P 的横坐标为320 B.21F PF ∆的周长为380C.321π小于PF F ∠ D.21F PF ∆的内切圆半径为4312.已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，侧棱AA 1=1，P 为上底面A 1B 1C 1D 1上的动点，给出下列四个结论中正确结论为A.若PD=3，则满足条件的P 点有且只有一个B.若PD=3，则点P 的轨迹是一段圆弧C.若PD//平面ACB 1，则PD 长的最小值为2D.若PD//平面ACB 1，且PD=3，则平面BDP 截正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的外接球所得平面图形的面积为49π第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a ＝(1，x ＋1)，b ＝(x ，2)，若满足a //b ，且方向相同，则x ＝.14.已知m 是2与8的等比中项，则圆锥曲线1x 22=-my 的离心率是_____________.15.对于函数f(x),若在定义域内存在实数0x 满足)()(f 00x f x -=-，则称函数f(x)为“倒戈函数”，设)0,(123)(f ≠∈-+=m R m m x x是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是16.已知函数()2,()20,,,f x x g x x A B C ωωω==>，其中是这两个函数图象的交点，且不共线.①1ABC ω=∆当时，面积的最小值为;②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）数列).13(21}{321-=++++nn n a a a a a 满足：（1）求}{n a 的通项公式；（2）若数列.T }{,3}{n 项和的前求满足：n b a b n b a n n nn =18.（12分）在锐角ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知sin b A sin()3a B π=+.（1）求角B 的大小；（2）求ac的取值范围.19.（12分）如图，三棱柱中，，，平面平面.（1）求证：；（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.20.（12分）为提高城市居民生活幸福感,某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间.为此,该公司对某站台乘客的候车时间进行统计.乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响.在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下,乘客候车时间随机变量X 满足正态分布·在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下,调查了大量乘客的候车时间,经过统计得到如图频率分布直方图.（1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计μ，的值；（2）在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的.在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由.(参考数据：≈4.38，≈4.63，≈5.16，0.84137≈0.2898，0.84136≈0.3546，0.15873≈0.0040，0.15874≈0.0006，(+)0.6826P X μδμδ-<<=，(2+2)0.9544P X μδμδ-<<=，(3+3)0.9973P X μδμδ-<<=)21.（12分）已知抛物线F p px y C 点),0(2:2>=为抛物线的焦点，焦点F 到直线0343=+-y x 的距离为1d ，焦点F 到抛物线1223.5,d d C d =的准线的距离为且（1）抛物线C 的标准方程；（2）若在x 轴上存在点M ，过点M 的直线l 与抛物线C 相交于P ,Q 两点，且2211|PM|||QM +为定值，求点M 的坐标.22.（12分）已知函数).0(ln )(2≥+--=a x ax x x f （1）讨论函数)(x f 的极值点的个数；（2）若函数)(x f 有两个极值点.2ln 23)()(,,2121->+x f x f x x 证明：。
2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版
2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）0.92．（5分后）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c的大小关系就是c （）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b3．（5分后）未知a＞1，a．0＜x＜1b．1＜x＜0，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）c．2＜x＜0d．2＜x＜14．（5分）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0与x轴所围站图形的面积为（）5．（5分）曲线a．4b．2c．1d．36．（5分）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴7．（5分后）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）a．f（x）=x3b．f（x）=+xc．f（x）=3xd．f（x）=3+x38．（5分后）设f（x）就是奇函数，对任一的实数x、y，存有f（x+y）=f（x）+f （y），当x＞0时，f（x）＜0，则f（x）在区间[a，b]上（）a．有最大值f（a）b．有最小值f（a）c．有最大值d．存有最小值9．（5分）已知函教f（x）=asin（ωx+φ）（a＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜a）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（）a．[6kπ，6kπ+3]，k∈zb．[6k3，6k]，k∈zc．[6k，6k+3]，k∈zd．[6kπ3，6kπ]，k∈z1页10．（5分）若不等式lg≥（x1）lg3对任意x∈（∞，1）恒成立，则a的取值范围就是（）a．（∞，0]b．[1，+∞）c．[0，+∞）d．（∞，1]11．（5分后）设f（x）就是定义在r上的函数，其Auron函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2021，则xx不等式ef（x）＞e+2021（其中e为自然对数的底数）的边值问题为（）a．（2021，+∞）b．（∞，0）∪（2021，+∞）c．（∞，0）∪（0，+∞）d．（0，+∞）12．（5分后）设立函数f（x）=sin，若存有f（x）的极值点x0满足用户x0+[f（x0）]＜m，则m的值域222范围就是（）a．（∞，6）∪（6，+∞）b．（∞，4）∪（4，+∞）c．（∞，2）∪（2，+∞）d．（∞，1）∪（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分后）若非零向量，满足用户|+|=||=2||，则向量与+的夹角为．14．（5分后）设立函数y=f（x）在r上加定义，对于任一取值的正数p，定义函数2，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x2x1，p=2，则下列结论不成立的是：．①fp[f（0）]=f[fp（0）]；②fp[f（1）]=f[fp（1）]；③fp[fp （2）]=f[f（2）]；④fp[fp（3）]=f[f（3）]．15．（5分后）未知f（x）就是定义在r上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2x+|，若函数y=f（x）a在区间[3，4]上加10个零点（互不相同），则实数a的值域范围就是．16．（5分后）未知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，a=2且（2+b）（sinasinb）=（cb）sinc，则△abc面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）2217．（10分）已知a∈r，命题p：“?x∈[1，2]，xa≥0”，命题q：“?x∈r，x+2ax+2a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，谋实数a的值域范围．18．（12分后）在△abc中，内角a，b，c面元的边分别为a，b，c，未知sinc+sin （ba）=sin2a，a≠．2（ⅰ）求角a的取值范围；（ⅱ）若a=1，△abc的面积s=x，c为钝角，求角a的大小．19．（12分后）未知函数f（x）=e+ax1（e为自然对数的底数）．（ⅰ）当a=1时，谋过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围起的三角形的面积；2（ⅱ）若f（x）≥x在（0，1）上恒设立，谋实数a的值域范围．20．（12分）已知函数f（x）满足2f（x+2）f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax当x∈（4，2）时，f（x）的最大值为4．（ⅰ）求实数a的值；2页，（ⅱ）设b≠0，函数，x∈（1，2）．若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），并使f（x1）g（x2）=0，谋实数b的值域范围．21．（12分后）未知函数f（x）=x+3+ax+b，g（x）=x+3+lnx+b，（a，b为常数）．（ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，5），求b的值；（ⅱ）设立函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）x=xf′（x）存有唯一求解，谋实数b的值域范围；（ⅲ）令f（x）=f（x）g（x），若函数f（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．22．（12分后）未知函数，（ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并推论与否存有极值；（ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；（ⅲ）证明：（n∈n+，n≥2）．3页2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）（2021?重庆三模）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）【分析】求出a与b中不等式的解集确定出a与b，找出两集合的交集即可．【解答】解：由a中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即a=[1，+∞）；由b中的不等式解得：4＜x＜4，即b=（4，4），则a∩b=[1，4）．故选：b．【评测】此题考查了关连及其运算，熟练掌握关连的定义就是求解本题的关键．2．（5分）（2021?东城区二模）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c 的大小关系是c（）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．0.9【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.1＞1，∴b＜a＜c．故选：c．【评测】本题考查了指数与对数函数的单调性，属基础题．3．（5分）（2021?南昌校级二模）已知a＞1，，则f（x）＜1设立的一个充份不必要条件就是0.9（）a．0＜x＜1b．1＜x＜0c．2＜x＜0d．2＜x＜1【分析】谋出来不等式的边值问题即为不等式设立的充要条件；据当子集a?子集b且b?a时，a就是b的充份不必要条件．【解答】解：f（x）＜1成立的充要条件是∵a＞12∴x+2x＜0∴2＜x＜0∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是1＜x＜0故选项为b【评测】本题考查不等式的边值问题就是不等式的充要条件；据子集之间的关系推论条件关系．4．（5分）（2021春?玉溪校级期末）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0【分析】根据分段函数的定义域，算出f（1）的值，再根据分段函数的定义域展开代入解；4页【答疑】求解：函数2，f（1）=π+1＞0，∴f（f（1））=0，可得f（0）=π，∴f（f（f（1）））=π，故选c；【评测】此题主要考查函数值的解，就是一道基础题；5．（5分）（2021春?进贤县校级月考）曲线a．4b．2c．1d．3上的积分可求出答案．上的积分，与x轴所围站图形的面积为（）【分析】根据面积等于cosx的绝对值在0≤x≤【解答】解：面积等于cosx的绝对值在0≤x≤即s==3=3=3，故选：d．【评测】本题主要考查余弦函数的图象和用定分数谋面积的问题．属于基础题6．（5分）（2021?开封模拟）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴【分析】分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解．【解答】解：由2xz．由x=kπ，k∈z，解得函数y=cos（x）的对称轴为：x=kπ，k∈z．=k，k∈z，解得函数y=sin（2x）的对称轴为：x=+，k∈k=0时，二者存有相同的对称轴．由2x由x=kπ，k∈z，可解得函数y=sin（2x=k）的对称中心为：（）的对称中心为：（kπ+，0），k∈z．，0），k∈z．，k∈z，可解得函数y=cos（x故2函数没相同的对称中心．故选：a．【评测】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属基本知识的考查．7．（5分后）（2021?厦门演示）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）5页。
2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试数学(文)试题(解析版)
12021届河北省衡水中学高三上学期二调考试数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知集合，，则=A ．B ．C ．D ．2．下列关于命题的说法错误的是 A ． 命题“若，，则”的逆否命题为“若，则”B ． “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C ． 命题“，使得”的否定是：“均有”D ． “若为的极值点，则”的逆命题为真命题3．为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为A ． 第二象限B ． 第一象限C ． 第四象限D ． 第三象限4．函数的极值点的个数是A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 5．函数的图象是A ．B ．C ．D ．6．已知函数在区间内单调递增，且，若，则的大小关系为 A ．B ．C ．D ．7．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，当，若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是A ． 0B ． 0或C ．或D ． 0或8．为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图像 A ．向左平移512π个长度单位B ．向右平移6π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向右平移512π个长度单位9．设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．10．若函数在区间内没有最值，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．11．已知函数，，若成立，则的最小值是A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号2 12．已知函数 ，若方程在上有3个实根，则的取值范围为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知角的终边经过，则________．14．给出下列四个命题：函数的一条对称轴是；函数的图象关于点对称；若，则，其中；④函数的最小值为.以上四个命题中错误的个数为____________个.15．已知()()y f x xR =的导函数为()f x '，若()()32f x f x x --=，且当0x ≥时()23f x x '>，则不等式()()21331f x f x x x -->-+的解集是__________．三、解答题16．已知函数其中为自然对数的底数，若函数与的图象恰有一个公共点，则实数的取值范围是____________.17．已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)求在区间上的最小值.18．函数的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(Ⅰ)求函数的解析式和当时的单调减区间；(Ⅱ)的图象向右平行移动个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到的图象,用“五点法”作出在内的大致图象.19．已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围.20．已知函数.(1)当时，若在上恒成立，求的取值范围；(2)当时，证明：.21．已知函数()2ln f x x mx =-， ()212g x mx x =+， R m ∈令()()()F x f x g x =+. （Ⅰ）当12m =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值.22．已知函数.(1)若函数在上为增函数，求的取值范围；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，证明：.2019届河北省衡水中学高三上学期二调考试数学（文）试题数学答案参考答案1．C【解析】因为，或，所以，故选.2．D【解析】由原命题与逆否命题的构成关系可知答案A 是正确的；当时，函数在定义域内是单调递增函数，故答案B也是正确的；由于存在性命题的否定是全称命题，所以命题“，使得”的否定是：“均有”，即答案C是也是正确的；又因为的根不一定是极值点，例如函数，则就不是极值点，也就是说命题“若为的极值点，则”的逆命题是假命题，所以应选答案D。
精品解析：河北省衡水中学高三上学期二调考试数学(理)试题(原卷版)
2021—2021学年度上学期高三年级二调考试数学〔理科〕第一卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 集合，，那么〔〕A. B. C. D.2. 为虚数单位，为复数的共轭复数，假设，那么〔〕A. B. C. D.3. 设正项等比数列的前项和为，且，假设，，那么〔〕A. 63或120B. 256C. 120D. 634. 的展开式中的系数是〔〕A. 1B. 2C. 3D. 125. 中，，那么为〔〕A. 等腰三角形B. 的三角形C. 等腰三角形或的三角形D. 等腰直角三角形6. 等差数列的公差，且，，成等比数列，假设，为数列的前项和，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.7. 如，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视，那么该三棱锥的体积为〔〕学|科|网...学|科|网...A. B. C. D.8. 函数〔为常数，〕的像关于直线对称，那么函数的像〔〕A. 关于直线对称B. 关于点对称C. 关于点对称D. 关于直线对称9. 设，假设关于，的不等式组表示的可行域与圆存在公共点，那么的最大值的取值范围为〔〕A. B. C. D.10. 函数〔，〕，其像与直线相邻两个交点的间隔为，假设对于任意的恒成立，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.11. 定义在上的奇函数的导函数为，当时，满足，那么在上的零点个数为〔〕A. 5B. 3C. 1或3D. 112. 函数的像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的像上，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13. ，那么__________．14. 锐角的外接圆的半径为1，，那么的取值范围为__________．15. 数列满足，那么数列的前100项和为__________．16. 函数象上不同两点，处切线的斜率分别是，，规定〔为线段的长度〕叫做曲线在点与之间的“弯曲度〞，给出以下命题：①函数象上两点与的横坐标分别为1和2，那么；②存在这样的函数，象上任意两点之间的“弯曲度〞为常数；③设点，是抛物线上不同的两点，那么；④设曲线〔是自然对数的底数〕上不同两点，，且，假设恒成立，那么实数的取值范围是．其中真命题的序号为__________．〔将所有真命题的序号都填上〕三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17. 如，在中，，为边上的点，为上的点，且，，．〔1〕求的长；〔2〕假设，求的值．18. 如下，，分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，〔〕，点坐标为，平行四边形的面积为．〔1〕求的最大值；〔2〕假设，求的值．19. 数列满足对任意的都有，且．〔1〕求数列的通项公式；〔2〕设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，务实数的取值范围．20. 函数，．〔1〕求函数的单调区间；〔2〕假设关于的不等式恒成立，求整数的最小值．21. 函数〔其中，为自然对数的底数，…〕．〔1〕假设函数仅有一个极值点，求的取值范围；〔2〕证明：当时，函数有两个零点，，且．请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程将圆〔为参数〕上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到曲线．〔1〕求曲线的普通方程；〔2〕设，是曲线上的任意两点，且，求的值．23. 选修4-5：不等式选讲函数，．〔1〕当时，解不等式；〔2〕假设存在满足，求的取值范围．。
2021届河北省衡水中学高三上学期四调考试文科数学试题Word版含答案
2021届河北省衡水中学高三上学期四调考试文科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数32iz i i-=-+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.设 A B ，是全集{}1 2 3 4I =，，，的子集，{}1 2A ＝，，则满足A B ⊆的B 的个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3.抛物线23y x =的焦点坐标是（ ）A ．3 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．30 4⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．10 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1 012⎛⎫⎪⎝⎭，4.设向量()()1 2 1m =-=a b ，，，，若向量2+a b 与2-a b 平行，则m =（ ） A ．72- B ．12- C.32 D ．525.圆221x y +=与直线3y kx =-有公共点的充分不必要条件是（ ）A ．22k ≤-或22k ≥B ．22k ≤- C.2k ≥ D ．22k ≤-或2k > 6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，且201620170a a +=，则101S 等于（ ） A ．3 B ．303 C.3- D ．303-7.阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为（ ）A ．18-B ．18 C.116 D ．1328.函数()2xf x x a=+的图象可能是（ ）A ．（1）（3）B ．（1）（2）（4） C.（2）（3）（4） D ．（1）（2）（3）（4） 9.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，则过E ，F ，H 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面面积为（ ）A ．26B ．46 C.56 D ．2346+10.设1F ，2F 是椭圆E 的两个焦点，P 为椭圆E 上的点，以1PF 为直径的圆经过2F ，若1225tan 15PF F ∠=，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．56 B ．55 C.54 D ．5311.四棱锥P ABCD -的三视图如下图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为（ ）A ．12πB ．24π C.36π D ．48π12.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，定点()0 2A ，，若射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛物线C 的准线交于点N ，则:MN FN 的值是（ ） A ．)525-．25(515+ D ．1:25第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知直线()1:12220l m x y m +++-=，()2:2220l x m y +-+=，若直线12l l ∥，则m = ． 14.在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，且3 6A C c ==，，()2cos cos 0a c B b C --=，则ABC △的面积是 ．15.若不等式组1026x y x y x y a≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是 ．16.已知函数()()x x af x e a R e=+∈在区间[]0 1，上单调递增，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22 n S n n n N =+∈，，数列{}n b 满足24log 3 n n a b n N =+∈，. （1）求 n n a b ，；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分）设()4sin 233f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 在0 2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值；（2）把()y f x =的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移23π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调减区间. 19.（本小题满分12分）如图所示的几何体QPABCD 为一简单组合体，在底面ABCD 中，60DAB ∠=︒，AD DC ⊥，AB BC ⊥，QD ABCD ⊥平面，PA QD ∥，1PA =，2AD AB QD ===.（1）求证：平面PAB QBC ⊥平面； （2）求该组合体QPABCD 的体积. 20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的短轴长为2，6直线l 过点()1 0-，交椭圆E 于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求椭圆E 的方程； （2）求OAB △面积的最大值. 21.（本小题满分12分）已知函数()22ln f x x a x ax a R =-+∈，，且0a ≠.（1）若函数()f x 在区间[1 )+∞，上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）设函数()()()2231g x a x a a x =+-+，当1x >时，()()f x g x <恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的倾斜角和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B两点，设点0 P ⎛ ⎝，求PA PB +. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =+--. （1）求不等式()2f x >的解集； （2）若x R ∀∈，()2112f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围.2021届河北省衡水中学高三上学期四调考试文科数学试题参考答案一、选择题1-5:BBCBB 6-10:AACCD 11、12：AC 二、填空题13.2- 14. 15.()3 5，16.[]1 1-， 三、解答题17.解析：（1）由22n S n n =+可得，当1n =时，113a S ==, 当2n ≥时，()()221221141n n n a S S n n n n n -=-=+----=-， 而1n =，1413a =-=适合上式， 故41n a n =-，又∵24log 341n n a b n =+=-， ∴12n n b -=.（2）由（1）知()1412n n n a b n -=-， ()013272412n n T n -=⨯+⨯++-⋅…，()()2123272452412n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅…，∴()()2141234222n n n T n -⎡⎤=-⋅-++++⎣⎦…()()12124123412n nn -⎡⎤-⎢⎥=-⋅-+⋅-⎢⎥⎣⎦()()()41234224525n n nn n ⎡⎤=-⋅-+-=-⋅+⎣⎦.18.（1）()f x 的最大值是4+，最小值是（2）单调减区间是()72 266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，.解析：（1）()f x 的最大值是4+，最小值是（2）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到由37222223266k x k k x k πππππππππ+≤+≤++≤≤+⇒. ∴()g x 的单调减区间是()72 266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，.19.解析：（1）证明：∵OD ABCD ⊥平面，PA QD ∥，∴PA ABCD ⊥平面， 又∵BC ABCD ⊂平面，∴PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PA PAB ⊂平面，AB PAB ⊂平面，PA AB A =，∴BC PAB ⊥平面，又∵BC QBC ⊂平面， ∴平面PAB QBC ⊥平面.（2）连接BD ，过B 作BO AD ⊥于O ， ∵PA ⊥平面ABCD ，BO ABCD ⊂平面， ∴PA BO ⊥，又BO AD ⊥，AD PADQ ⊂平面，PA PADQ ⊂平面，PA AD A =，∴BO PADQ ⊥平面，∵2AD AB ==，60DAB ∠=︒，∴ABD △是等邊三角形，∴3BO =∴()11112233332B PADQ PADQ V S BO -=⋅=⨯⨯+⨯=梯形∵90ADC ABC ∠=∠=︒，∴30CBD CDB ∠=∠=︒，又2BD AB ==， ∴23BC CD ==，∴12332sin 302BCD S =⨯︒=△. ∵QD ABCD ⊥平面，∴11323233Q BCD BCD V S QD -=⋅==△∴该组合体的体积113B PADQ Q BCD V V V --=+=20.（1）2213x y +=；（26试题解析：（1）由题意得1b =，由221c a a c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩. ∴椭圆E 的方程为2213x y +=；（2）依题意设直线l 的方程为1x my =-，由22131x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()223220m y my +--=， ()224830m m ∆=++>，设()()1122 A x y B x y ，，，，则1221222323m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，12112OABS y y =⨯⨯-==△设()233m t t +=≥，则OABS ===△. ∵3t ≥，∴1103t <≤，∴当113t =，即3t =时，OAB △0m =.21.（1）1( ][1 )2-∞-+∞，，；（2）[ 1 0)-，. 解：（1）∵函数()f x 在区间[1 )+∞，上是减函数，则()21'20f x a x a x=-+≤， 即()()()22212110F x a x ax ax ax =--=+-≥在[1 )+∞，上恒成立，当0a ≠时，令()0F x =，得12x a=-或1x a =，①若0a >，则11a ≤，解得1a ≥；②若0a <，则112a -≤，解得12a ≤-. 综上，实数a 的取值范围是1( ][1 )2-∞-+∞，，.（2）令()()()h x f x g x =-，则()()221ln h x ax a x x =-++，根据题意，当()1 x ∈+∞，时，()0h x <恒成立，所以()()()()1211'221x ax h x ax a x x--=-++=. ①当102a <<时，1 2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()'0h x >恒成立，所以()h x 在1 2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数，且()1 2h x h a ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，所以不符题意.②当12a ≥时，()1 x ∈+∞，时，()'0h x >恒成立，所以()h x 在()1 +∞，上是增函数，且()()()1 h x h ∈+∞，所以不符题意.③当0a <时，()1 x ∈+∞，时，恒有()'0h x <，故()h x 在()1 +∞，上是减函数，于是“()0h x <对任意()1 x ∈+∞，都成立”的充要条件是()10h ≤，即()210a a -+≤，解得1a ≥-，故10a -≤<，综上，a 的取值范围是[ 1 0)-，. 22.（1）3π，221x y ⎛⎛+= ⎝⎝；（2）PA PB +=. 解析：（1）直线l 倾斜角为3π，曲线C的直角坐标方程为221x y ⎛⎛-+-= ⎝⎝， （2）容易判断点0 P ⎛ ⎝在直线l 上且在圆C 内部，所以PA PB AB +=， 直线l的直角坐标方程为y =所以圆心到直线l的距离d，所以AB =，即PA PB +=. 23.（1）{}15x x x ><-或；（2）1 52⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.解析：（1）由题意得()13 213 1 223 2x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=--≤<⎨⎪+≥⎪⎪⎩，，，，当12x <-时，不等式化为32x -->，解得5x <-，∴5x <-，当122x -≤<时，不等式化为312x ->，解得1x >，∴12x <<，当2x ≥时，不等式化为32x +>，解得1x >-，∴2x ≥，综上，不等式的解集为{}15x x x ><-或.（2）由（1）得()2min 51122f x t t =-≥-，解得152t ≤≤，综上，t 的取值范围为1 52⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.。
2021届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学(文)试题
衡水中学2021—2021学年度上学期高三年级七调考试文数试卷本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效． 5．考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看讲解试题的视频．第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，123z i =+，则2113z z =（ ） A ．112i -B ．131255i-+C ．512i -+D ．512i --2．已知集合{}M a =，{40}N xax =-=∣，若M N N =，则实数a 的值是（ ）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．0，2或2-3．已知直线210x y --=的倾斜角为α，则21tan 2tan2αα-=（ ）A ．14-B ．1-C ．14D ．14．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所作的预测．结合图，下列说法不正确的是（ ） A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势5．函数()1cos xf x x=-的部分图象大致是（ ）ABCD6．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为12cm ，体积为372cm π的细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（ ）A ．3cmB ．6cmC ．8cmD ．9cm7．将函数()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．12πB ．4π C ．38π D ．34π 8．2020年初开始，在非洲、印度、巴基斯坦等地，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，短短几个月，蝗虫数量便增长了8000倍，从而引发了蝗灾，世界各地防治蝗虫形势非常严竣！假定在不采取防治措施的情况下，蝗虫的日增长率为5%，按此日增长率计算，现有100只沙漠蝗虫，若经过t 天后，其数量超过了62.610⨯只，但不超过72.610⨯只，则t 的值可能为（参考数据： lg 2.60.415≈，lg1.050.0212≈，lg 26 1.415≈，lg0.05 1.301≈-）（ ） A ．190B ．200C ．220D ．2709．已知c 是双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的半焦距，离心率为e ，则1be c+的最大值是（ ）A ．2B CD ．210．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，cac=．若ABC 的外接b c +的取值范围为（ ）A ．(2,4]B ．4]C ．4]D ．(2,6)11．已知点F ，A 分别为椭圆2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点左顶点，过原点O 的直线l 交C于P ，Q 两点，直线QF 交AP 于点B ，且2QA QP QB +=，若||PF 的最小值为4，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．22198x y += B ．2212516x y += C ．2213632x y += D ．2214936x y += 12．已知函数()221()1e xm x f x +=-，()22()(2)1g x m x =++．若()()e ()ex x g x x f x ϕ=⋅-有唯一的零点，则m 的值不可能为（ ） A ．2B ．3C ．3-D ．4-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知向量(2,1)a =，(1,3)b =，()c a b λλ=-∈R ，若2c a b ⋅=，则λ=________．14．若实数x ，y 满足不等式组23841x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数y z x =的最大值为________．15．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出3种，则恰好选中“三方”或“三药”的概率是________． 16．已知平面四边形ABCD中，AB AD ==120BAD ∠=︒，BCD 是等边三角形，现将BCD 沿BD 折起到BPD ，使得P 点在平面ABD 上的射影恰为ABD 的外心，则三棱锥P-ABD 外接球的表面积为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）大学生是国家的未来，代表着国家可持续发展的实力能够促进国家综合实力的提高．据统计，2016年至2020年我国高校毕业生人数y （单位：万人）的数据如下表：根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y 与x 的线性相关性的强弱；（1）已知0.75||1r ≤≤，则认为y 与x 线性相关性很强；0.3||0.75r ≤<，则认为y 与x 线性相关性一般；||0.25r ≤，则认为y 与x 线性相关性较弱）．（2）若y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ25.7yx a =+，试预测2022年我国高校毕业生的人数（结果取整数）．参考公式和数据：()()niix x y y r --=∑()52110i i x x =-=∑，()5216733.2i i y y =-=∑，259.5≈，()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 18．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足213S a =，且23464a a a =．（1）求n a 及n S ；（2）记()22(1)log n n n b a =-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，60BAD ∠=︒．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若2AD =，三棱锥A-BDP 的体积为1，求线段PB 的长度． 20．（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)E y px p =>焦点为F ，准线为l ，A 为E 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点．（1）若60BFD ∠=︒，BFD的面积为3，求p 的值及圆F 的方程； （2）若点A 在第一象限，且A 、B 、F 三点在同一直线1l 上，直线1l 与抛物线E 的另一个交点记为C ，且CF FA λ=，求实数λ的值．21．（本小题满分12分）已知函数2()ln ()f x x m x x m =--∈R ．（1）若()f x 在定义域内为增函数，求m 的取值范围； （2）设0m >，当0x >时，若()1f x x ≥-，求m 的值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，，曲线C的参数方程为2x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θα=（0απ≤<，ρ∈R ）（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知曲线C 与直线l 交于A ，B两点，若||||OA OB +=l 的直角坐标方程．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|f x x =+．（1）求不等式()|2|f x x x +>-的解集；（2）设函数()(3)y f x f x =+-的最小值为m ，已知222a b c m ++=，求ab bc +的最大值．参考答案 月考卷一、选择题 1．D 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．C 9．B 10．C 11．C 12．B 二、填空题 13．1- 14．3 15．11016．9π 三、解答题17．解：（1）由题得18x =，817.6y =．所以()()51(2)(52.6)(1)(22.6)16.4256.4257iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-++⨯=∑．所以()()5iix x y y r --=∑=2570.99259.5=≈． 因为0.990.75>，所以y 与x 线性相关性很强．（2）因为ˆˆ817.625.718355ay bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程是ˆ25.7355yx =+． 当22x =时，ˆ25.722355920.4920y=⨯+=≈， 即2022年我国高校毕业生的人数约为920万．18．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．由213S a =，得211(1)3S a q a =+=，①由23464a a a =，得2314a a q ==，②由①②解得11a =，2q =，1112n n a a q-''-∴==，122112nn n S -==--． （2）由（1）可得()()221222(1)log (1)log 2(1)(1)nnn n n n b a n -=-⋅=-⋅=-⋅-，设1n c n =-，则()2(1)n n n b c =-⋅，21234212n n n T b b b b b b -=++++⋯++()()()()()()2222221234212n n c c c c c c -⎡⎤⎡⎤=-++-++⋯+-+⎣⎦⎣⎦()()()()()()12123434212212n n n n c c c c c c c c c c c c --=-+++-+++⋯+-++1234212n n c c c c c c -=++++⋯++22(021)22n n n n +-==-．19．解：（1）取AD 的中点M ，连接PM ，BM ．PA PD =，PM AD ∴⊥．∴四边形ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，ABD ∴是正三角形，BM AD ∴⊥，又PM BM M =，AD ∴⊥平面PMB ，又PB ⊂平面PMB ，AD PB ∴⊥．（2）平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ，又PM AD ⊥，PM ∴⊥平面ABCD ，在正三角形ABD 中，2AD =，122sin 602ABDS∴=⨯⨯⨯︒= 由题意可知，113A BDP P ABD ABD V V S PM --==⋅=，113PM ∴=．PM ∴= PM ⊥平面ABCD ，MB ⊂平面ABCD ， PM MB ∴⊥，BM AD ⊥，MB =PB ∴==20．解：（1）焦点到准线l 的距离为p ，又||||BF FD =，60BFD ∠=︒，BFD ∴为正三角形，||BF ∴=，2p B ⎛- ⎝，21||sin 6023BFDSBF ∴=︒=，2p ∴=， ∴圆F 的方程为2216(1)3x y -+=． （2）若A 、F 、B 三点共线，则||||||AF BF DF ==，2BDA π∴∠=，1||||||2AD AF AB ∴==，6DBA π∴∠=， ∴直线AB 的倾斜角为3π．设直线:2pl x =+，()11,A x y ，()22,C x y ，CF FA λ=，联立222022p x y y p y px⎧=+⎪⇒--=⎨⎪=⎩，12122121(1)y y y y y p y λλ⎧+==-⋅⎪⇒⎨⎪⋅=-=-⋅⎩， 24(1)3λλ-∴=，231030λλ∴-+=， 3λ∴=或13λ=．又||||AF BF p =>，12p x >， 01λ∴<<，13λ∴=．21．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．22()21m x x mf x x x x--=--='，若()f x 在定义域内为增函数，则220x x m --≥在(0,)+∞上恒成立， 即22m x x ≤-在(0,)+∞上恒成立，而22112248x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以18m ≤-．即m 的取值范围为1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．（2）2()1ln 1f x x x m x ≥-⇔-≥．令2()ln g x x m x =-，则22()2m x mg x x x x=='--．因为0m >，令()0g x '>，解得x >， 即()g x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增， 令()0g x '<，解得0x <<即()g x在⎛ ⎝上单调递减，所以min ()2m g x gm ==-要使()1g x ≥在定义域内恒成立，即min ()12m g x g m ===-≥，即ln 10222mm m--≥，令()ln 1h a a a a =--（其中2ma =），1()1ln ln h a a a a a ⎛⎫=-⨯+=- ⎪'⎝⎭．当(0,1)a ∈时，()0h a '>，当(1,)a ∈+∞时，()0h a '<，所以max ()(1)0h a h ==，所以()(1)h a h ≤，要使ln 10a a a --≥，只能取1a =，即22m a ==，综上所述，m 的值为2．22．解：（1）由曲线C的参数方程2x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），得曲线C 的普通方程为22(2)2x y -+=，得22420x y x +-+=，即曲线C 的极坐标方程为24cos 20ρρθ-+=．（2）将直线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程，得24cos 20ρρα-+=，设()1,A ρα，()2,B ρα，2Δ16cos 80α=->，21cos 2α>，又124cos a ρρ+=，1220ρρ=>，所以12|||||4cos |OA OB a ρρ+=+==，即cos α=，因为0a π≤<， 所以6πα=或56π，所以直线的直角坐标方程为y x =．23．解：（1）由已知不等式()|2|f x x x +>-，得|2||1|x x x -<++，当2x ≥时，不等式为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x ≥；当12x -<<时，不等式为21x x x -<++， 解得13x >，所以123x <<；当1x ≤-时，不等式为21x x x -<--，解得3x >，此时无解． 综上原不等式的解集为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）因为()(3)|1||2|123f x f x x x x x +-=++-≥+-+=∣∣，所以2223a b c ++=，又222222222b b a b c a c ++=+++≥+，则ab bc +≤，当且仅当2222b a c ==时等号成立，所以ab bc +的最大值为2．。
河北省衡水中学2021届高三上学期四调数学(理)试题及答案
2020-2021学年度高三年级上学期四调考试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2log 1A x x =<，集合{}2B y y x ==-，则A B =（ ）A. ()0,∞+B. [)0,2C. ()0,2D. [)0,+∞【答案】D2. 已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D3. 若双曲线221mx ny +=(0m >)的离心率为5，则m n= A.14B. 14-C. 4D. 4-【答案】D4. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）A.33B.24C.22D.3【答案】B5. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108︒的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin1674︒=（ ）A.125- B. 35+ C. 51+ D. 45+【答案】C6. 已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，(3log 5a f =，31log 2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ln3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. c b a >>B. b c a >>C. a b c >>D. c a b >>【答案】D7. 已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为 A.43B.33C. 2D. 23【答案】A8. 已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x ∈R 恒成立，则下列不等关系正确的是（ ） A. ()()10f ef >，()()202020200f ef < B. ()()10f ef >，()()211f e f >-C. ()()10f ef <，()()211f e f <- D. ()()10f ef >，()()202020200f ef >【答案】C二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 已知椭圆C：22148x y+=内一点M(1，2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（）A. 椭圆的焦点坐标为(2，0)、(-2，0） B. 椭圆C的长轴长为22 C. 直线l的方程为30x y+-= D.433AB=【答案】CD10. 设0a>，0b>，且24a b+=，则下列结论正确的是（）A.11a b+的最小值为2 B.21a b+的最小值为2C.12a b+的最小值为94D. 111b aa b+≥++【答案】BCD11. 已知函数()sin cos sin cosf x x x x x=++-，下列结论不正确的是（）A. 函数图像关于4xπ=对称B. 函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C. 若12()()4f x f x+=，则122()2x x k k Zππ+=+∈D. 函数f(x)的最小值为－2【答案】BCD12. 已知正方体1111ABCD A B C D-棱长为2，如图，M为1CC上的动点，AM⊥平面α.下面说法正确的是（）A. 直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为32,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C. 点M 为1CC 的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D. 已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点【答案】AC三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 设,a b 为单位向量，且1a b -=，则2a b -=________. 314. 已知数列{a n }满足：a n ＝()*211log 32N n n n n n +=⎧⎨+≥∈⎩，，且，定义使a 1·a 2·a 3…a k (k ∈N*)为整数的k 叫做“幸福数”，则区间[1，2020]内所有“幸福数”的和为__________. 【答案】1349 15. 关于x 的方程ln 10xkx x--=在(]0,e 上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围______. 【答案】21,1e e +⎡⎫⎪⎢⎣⎭16. 设双曲线222116x y b-=的左右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线上任意一点，过1F 的直线与12F PF ∠的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程________；M 在曲线E 上，点(8,0)A ，(5,6)B ，则12AM BM +的最小值________. 【答案】 (1). 2216x y += (2). 35四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，4n n a S +=，设2log n n b a = （1）判断数列{}n b 否为等差数列，并说明理由.（2）求数列21211n n b b -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）是，理由见解析；（2）21n nT n =--. 18. 在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②2cos 223sin322CC -+=，③(3)sin sin sin a b A b B c C -+=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题. 已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，1+3sin sin A B =，2c =，___________，求角C 及△ABC 的面积S . 【答案】选择见解析；π6C =，13S =+. 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，PA AB BC CD ===，PA PD ⊥，60PAD ∠=︒，Q 为PD 的中点.（1）证明：//CQ 平面PAB ； （2）求二面角P AQ C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）33737-20. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）左焦点(3,0)F -，椭圆的两顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，M 为椭圆上除A ，B 之外的任意一点，直线MA ，BM 的斜率之积为14-.（1）求椭圆C 的标准方程;（2）若P 为椭圆C 短轴的上顶点，斜率为k 的直线l 不经过P 点且与椭圆C 交于E ，F 两点，设直线PE ，PF 的斜率分别为12,k k ，且121k k +=-，试问直线l 是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）过定点（2，-1）. 21. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，且过点F 的直线l 被抛物线C 所截得的弦长MN 为8． （1）求直线l 的方程；（2）当直线l 的斜率大于零时，求过点,M N 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．22. 已知函数()ln x f x ae x =，（其中 2.71828e =是自然对数的底数），()2ln g x x x a =+，0a >．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()()()h x g x f x =-，若()0h x >对任意的()0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）在定义域()0,∞+上单调递增；（2）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试 数学试卷
河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}220,1381,{2,N}x A xx x B x C x x n n =-=<<==∈∣∣∣ ，则()A B C ⋃⋂=A.{}2 B.{}0,2 C.{}2,4 D.{}0,2,42.要得到函数y x =的图象，只需将函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象A.向左平移4π个单位 B.向右平移4π个单位C.向上平移4π个单位 D.向下平移4π个单位3.已知函数()()f x x x a b =-+，若函数(1)y f x =+为偶函数，且()10f =，则b 的值为A.-2B.-1C.1D.24.已知等差数列{}n a 的前n 项和为2212,1,n S a a a +=与4a 的等差中项为2，则4S 的值为A.6 B.-2 C.-2或6 D.2或65.已知sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭B.C.13D.13-6.已知函数()y f x =的部分图象如图，则()f x 的解析式可能是A.1()sin 22f x x x=- B.()sin 2f x x x =+C.()tan f x x x=+ D.1()cos 2f x x x=-7.已知min{,}m n 表示实数m ，n 中的较小数，若函数124()min 3log ,log f x x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，当0a b <<时，有()()f a f b =，则的值为A.6B.8C.9D.168.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1),N 2n n n n S a n =--∈，则12100S S S +++= A.10011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦B.9811132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C.5011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D.4911132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分共20分。
精品解析：河北省衡水中学2021届高三上学期四调考试文数试题解析(原卷版)
河北省衡水中学2021届高三上学期四调考试文数试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知复数32iz i i-=-+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.设 A B ，是全集{}1 2 3 4I =，，，的子集，{}1 2A ＝，，则满足A B ⊆的B 的个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3.抛物线23y x =的焦点坐标是（ ）A ．3 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．30 4⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．10 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1 012⎛⎫⎪⎝⎭， 4.设向量()()1 2 1m =-=a b ，，，，若向量2+a b 与2-a b 平行，则m =（ ） A ．72- B ．12- C.32 D ．525.圆221x y +=与直线3y kx =-有公共点的充分不必要条件是（ ）A ．22k ≤-或22k ≥B ．22k ≤- C.2k ≥ D ．22k ≤-或2k > 6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，且201620170a a +=，则101S 等于（） A ．3 B ．303 C.3- D ．303-7.阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为（ ）A ．18-B ．18 C.116 D ．1328. 函数()2xf x x a=+的图象可能是（ ）A ．（1）（3）B ．（1）（2）（4） C.（2）（3）（4） D ．（1）（2）（3）（4） 9. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，则过E ，F ，H 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面面积为（ ）A ．26B ．46 C.56 D ．2346+10. 设1F ，2F 是椭圆E 的两个焦点，P 为椭圆E 上的点，以1PF 为直径的圆经过2F ，若1225tan 15PF F ∠=，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．56 B ．55 C.54 D ．5311.四棱锥P ABCD -的三视图如下图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为（ ）A ．12πB ．24π C.36π D ．48π12.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，定点()0 2A ，，若射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛物线C 的准线交于点N ，则:MN FN 的值是（ ） A ．()52:5- B ．2:5 C.()5:15+ D ．1:25第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知直线()1:12220l m x y m +++-=，()2:2220l x m y +-+=，若直线12l l ∥，则m =．14. 在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，且3 6A C c ==，，()2cos cos 0a c B b C --=，则ABC △的面积是．15. 若不等式组1026x y x y x y a≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是．16.已知函数()()x xaf x e a R e =+∈在区间[]0 1，上单调递增，则实数a 的取值范围是． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22 n S n n n N =+∈，，数列{}n b 满足24log 3 n n a b n N =+∈，.（1）求 n n a b ，；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 18. （本小题满分12分）设()4sin 233f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 在0 2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值；（2）把()y f x =的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移23π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调减区间. 19. （本小题满分12分）如图所示的几何体QPABCD 为一简单组合体，在底面ABCD 中，60DAB ∠=︒，AD DC ⊥，AB BC ⊥，QD ABCD ⊥平面，PA QD ∥，1PA =，2AD AB QD ===.（1）求证：平面PAB QBC ⊥平面； （2）求该组合体QPABCD 的体积.20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的短轴长为2，离心率为6，直线l 过点()1 0-，交椭圆E 于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求椭圆E 的方程； （2）求OAB △面积的最大值. 21.（本小题满分12分）已知函数()22ln f x x a x ax a R =-+∈，，且0a ≠. （1）若函数()f x 在区间[1 )+∞，上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）设函数()()()2231g x a x a a x =+-+，当1x >时，()()f x g x <恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为23x ty t =⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的倾斜角和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设点20 P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，求PA PB +. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =+--. （1）求不等式()2f x >的解集； （2）若x R ∀∈，()2112f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围.。