中考数学提高题专题复习相似练习题及详细答案
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一、相似真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图所示,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD⊥BC,DE⊥AC,△CDE沿直线BC翻折到△CDF,连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I.
(1)求证:AF⊥BE;
(2)求证:AD=3DI.
【答案】(1)证明:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC的中点,
∴AD=BD=CD,∠ACB=45°,
∵在△ADC中,AD=DC,DE⊥AC,
∴AE=CE,
∵△CDE沿直线BC翻折到△CDF,
∴△CDE≌△CDF,
∴CF=CE,∠DCF=∠ACB=45°,
∴CF=AE,∠ACF=∠DCF+∠ACB=90°,
在△ABE与△ACF中,,
∴△ABE≌△ACF(SAS),
∴∠ABE=∠FAC,
∵∠BAG+∠CAF=90°,
∴∠BAG+∠ABE=90°,
∴∠AGB=90°,
∴AF⊥BE
(2)证明:作IC的中点M,连接EM,由(1)∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°
∴四边形DECF是正方形,
∴EC∥DF,EC=DF,
∴∠EAH=∠HFD,AE=DF,
在△AEH与△FDH中,
∴△AEH≌△FDH(AAS),
∴EH=DH,
∵∠BAG+∠CAF=90°,
∴∠BAG+∠ABE=90°,
∴∠AGB=90°,
∴AF⊥BE,
∵M是IC的中点,E是AC的中点,
∴EM∥AI,
∴,
∴DI=IM,
∴CD=DI+IM+MC=3DI,
∴AD=3DI
【解析】【分析】(1)根据翻折的性质和SAS证明△ABE≌△ACF,利用全等三角形的性质得出∠ABE=∠FAC,再证明∠AGB=90°,可证得结论。
(2)作IC的中点M,结合正方形的性质,可证得∠EAH=∠HFD,AE=DF,利用AAS证明△AEH与△FDH全等,再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。
2.如图,在一块长为a(cm),宽为b(cm)(a>b)的矩形黑板的四周,镶上宽为x(cm)的木板,得到一个新的矩形.
(1)试用含a,b,x的代数式表示新矩形的长和宽;
(2)试判断原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段,并说明理由.
【答案】(1)解:由原矩形的长、宽分别为a(cm),b(cm),木板宽为x(cm),
可得新矩形的长为(a+2x)cm,宽为(b+2x)cm
(2)解:假设两个矩形的长与宽是成比例线段,则有,
由比例的基本性质,得ab+2bx=ab+2ax,∴2(a-b)x=0.
∵a>b,
∴a-b≠0,
∴x=0,
又∵x>0,
∴原矩形的长、宽与新矩形的长、宽不是比例线段.
【解析】【分析】(1)根据已知,观察图形,可得出新矩形的长和宽。
(2)假设两个矩形的长与宽是成比例线段,列出比例式,再利用比例的性质得出x=0,即可判断。
3.已知:如图,在△ABC中,AB=BC=10,以AB为直径作⊙O分别交AC,BC于点D,E,连接DE和DB,过点E作EF⊥AB,垂足为F,交BD于点P.
(1)求证:AD=DE;
(2)若CE=2,求线段CD的长;
(3)在(2)的条件下,求△DPE的面积.
【答案】(1)解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,即BD⊥AC
∵AB=BC,
∴△ABD≌CBD
∴∠ABD=∠CBD
在⊙O中,AD与DE分别是∠ABD与∠CBD所对的弦
∴AD=DE;
(2)解:∵四边形ABED内接于⊙O,∴∠CED=∠CAB,
∵∠C=∠C,∴△CED∽△CAB,∴,
∵AB=BC=10,CE=2,D是AC的中点,
∴CD= ;
(3)解:延长EF交⊙O于M,
在Rt△ABD中,AD= ,AB=10,
∴BD=3 ,
∵EM⊥AB,AB是⊙O的直径,
∴,
∴∠BEP=∠EDB,
∴△BPE∽△BED,
∴,
∴BP= ,
∴DP=BD-BP= ,
∴S△DPE:S△BPE=DP:BP=13:32,
∵S△BCD= × ×3 =15,S△BDE:S△BCD=BE:BC=4:5,
∴S△BDE=12,
∴S△DPE= .
【解析】【分析】(1)根据已知条件AB是⊙O的直径得出∠ADB=90°,再根据等腰三角形的三线合一的性质即可得出结论。
(2)根据圆内接四边形的性质证得∠CED=∠CAB,再根据相似三角形的判定证出△CED∽△CAB,得出对应边成比例,建立关于CD的方程,即可求出CD的长。
(3)延长EF交⊙O于M,在Rt△ABD中,利用勾股定理求出BD的长,再证明△BPE∽△BED,根据相似三角形的性质得对应边成比例求出BP的长,然后根据等高的三
角形的面积之比等于对边之比,再由三角形面积公式即可求解。
4.如图,已知:在Rt△ABC中,斜边AB=10,sinA= ,点P为边AB上一动点(不与A,B重合),
PQ平分∠CPB交边BC于点Q,QM⊥AB于M,QN⊥CP于N.
(1)当AP=CP时,求QP;
(2)若四边形PMQN为菱形,求CQ;
(3)探究:AP为何值时,四边形PMQN与△BPQ的面积相等?
【答案】(1)解:∵AB=10,sinA= ,
∴BC=8,
则AC= =6,
∵PA=PC.
∴∠PAC=∠PCA,
∵PQ平分∠CPB,
∴∠BPC=2∠BPQ=2∠A,
∴∠BPQ=∠A,
∴PQ∥AC,
∴PQ⊥BC,又PQ平分∠CPB,
∴∠PCQ=∠PBQ,
∴PB=PC,
∴P是AB的中点,
∴PQ= AC=3
(2)解:∵四边形PMQN为菱形,
∴MQ∥PC,
∴∠APC=90°,
∴ ×AB×CP= ×AC×BC,
则PC=4.8,