2021年中考数学压轴题精选含答案

2021年中考数学压轴题精选含答案1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ．（1）当BP ＝ 时，△MBP ～△DCP ；（2）当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，求BP 的长；（3）设⊙P 的半径为x ，请直接写出正方形ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的x 的取值范围．2．如图，已知抛物线()2y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知抛物线217222y x mx m 的顶点为点C ． （1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；（2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标；（3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于AB 、两点，并与它的对称轴交于点D ，直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以CD M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形．4．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AD=16，BC=21，CD=13．（1）求直线AD 和BC 之间的距离；（2）动点P 从点B 出发，沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度运动，点P 、Q 同时出发，当点Q 运动到点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．试求当t 为何值时，以P 、Q 、D 、C 为顶点的四边形为平行四边形？（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使△PQD 为等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t 值，若不存在，请说明理由．5．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ．（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)； （3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由；②若12,(33)2ADH a S ==+，求sin GAB ∠的值．6．问题提出（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．问题探究（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．问题解决（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．7．如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3A =，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．（2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．8．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(03，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．9．如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A ，(5,0)B ，抛物线22(0)y ax ax a =->交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ．（1）求点C 的坐标；（2）求直线AB 的表达式； （3）设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E ．①若2AE AO =，求抛物线表达式；②若CDB △与BOA △相似，则a 的值为 ．（直接写出答案）10．如图，射线AM 上有一点B ，AB ＝6．点C 是射线AM 上异于B 的一点，过C 作CD ⊥AM ，且CD ＝43AC ．过D 点作DE ⊥AD ，交射线AM 于E . 在射线CD 取点F ，使得CF ＝CB ，连接AF 并延长，交DE 于点G ．设AC ＝3x ．（1） 当C 在B 点右侧时，求AD 、DF 的长．(用关于x 的代数式表示)（2）当x 为何值时，△AFD 是等腰三角形．（3）若将△DFG 沿FG 翻折，恰使点D 对应点'D 落在射线AM 上，连接'FD ，'GD ．此时x 的值为 （直接写出答案）11．已知：如图，四边形ABCD ，AB DC ，CB AB ⊥，16AB cm =，6BC cm =，8CD cm =，动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动，运动速度为1/cm s ，动点P 从点A 开始沿AB 边匀速运动，运动速度为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，O 为四边形ABCD 的对角线的交点，连接 PO 并延长交CD 于M ，连接QM ．设运动的时间为()t s ，08t <<．（1）当t 为何值时，PQ BD ？（2）设五边形QPBCM 的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQM 的面积等于五边形面积的1115？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q 在MP 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．12．如图1，平面直角坐标系xoy 中，A (－4，3)，反比例函数(0)k y k x=<的图象分别交矩形ABOC 的两边AC ，BC 于E ，F （E ，F 不与A 重合），沿着EF 将矩形ABOC 折叠使A ，D 重合．（1）①如图2，当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时，求CE 的长；②若折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），求线段CE长度的取值范围．（2）若折叠后，△ABD是等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．13．如图1，已知点B（0，9），点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．（1）求证：DE＝BO；（2）如图2，当点D恰好落在BC上时．①求点E的坐标；②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；③如图3，点M是线段BC上的动点（点B，点C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．14．在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点P、M、N、Q，（1）如图①所示．当∠CNG＝42°，求∠HMC 的度数．（写出证明过程）（2）将直尺向下平移至图 2 位置，使直尺的边缘通过点 C，交 AB 于点 P，直尺另一侧与三角形交于 N、Q 两点。

请直接写出∠PQF、∠A、∠ACE 之间的关系．15．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3交x轴于点A、C（点A在点C左侧），交y轴于点B．（1）求A ，B ，C 三点坐标；（2）如图1，点D 为AC 中点，点E 在线段BD 上，且BE=2DE ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 坐标；（3）如图2，将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，点P 为△ACG 内一点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在它们的左侧作等边△APR 和等边△AGQ ，求PA+PC+PG 的最小值，并求当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标（直接写出结果即可）．16．已知：AB 为⊙O 的直径，点C 为弧AB 的中点，点D 为⊙O 上一点，连接CD ，交AB 于点M ，AE 为∠DAM 的平分线，交CD 于点E ．（1）如图1，连接BE ，若∠ACD=22°，求∠MBE 的度数；（2） 如图2，连接DO 并延长，交⊙O 于点F ，连接AF ，交CD 于点N ．①求证：DM 2+CN 2=CM 2；②如图3，当AD=1，AB=10时，请直接写出．．．．线段ME 的长． 17．如图，平面直角坐标系中，抛物线228y ax ax a =--与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 右侧），与y 轴交于点A ，连接AB ，25AB =．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在第二象限的抛物线上，连接PB 交y 轴于D ，取PB 的中点E ，过点E 作EH x ⊥轴于点H ，连接DH ，设点P 的横坐标为t .ODH 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，作PF y ⊥轴于F ，连接CP 、CD ，CP CD =，点S 为PF 上一点，连接BS 交y 轴于点T ，连接BF 并延长交抛物线于点R .SBC FBO 45∠+∠=︒，在射线CS 上取点Q.连接QF ，QF RF =，求直线TQ 的解析式．18．定义：将函数l 的图象绕点P （m ，0）旋转180°，得到新的函数l '的图象，我们称函数l '是函数关于点P 的相关函数．例如：当m ＝1时，函数y ＝（x +1）2+5关于点P （1，0）的相关函数为y ＝﹣（x ﹣3）2﹣5．（1）当m ＝0时①一次函数y ＝x ﹣1关于点P 的相关函数为 ；②点（12，﹣98）在二次函数y ＝﹣ax 2﹣ax +1（a ≠0）关于点P 的相关函数的图象上，求a 的值．（2）函数y ＝（x ﹣1）2+2关于点P 的相关函数y ＝﹣（x +3）2﹣2，则m ＝ ； （3）当m ﹣1≤x ≤m +2时，函数y ＝x 2﹣mx ﹣12m 2关于点P （m ，0）的相关函数的最大值为6，求m 的值．19．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ⊥BC ，∠BAC ＝30°，BC ＝23，在AB 边的下方作射线AG ，使得∠BAG ＝30°，E 为线段DC 上一个动点，在射线AG 上取一点P ，连接BP ，使得∠EBP ＝60°，连接EP 交AC 于点F ，在点E 的运动过程中，当∠BPE ＝60°时，则AF ＝_____．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ，斜边AB 在x 轴上，且点A 的坐标为()9,0-，点D 是AC 的中点，点E 是BC 边上的一个动点，抛物线212y ax bx =++过D ，C ，E 三点．（1）当//DE AB 时，①求抛物线的解析式；②平行于对称轴的直线x m =与x 轴，DE ，BC 分别交于点F ，H ，G ，若以点D ，H ，F 为顶点的三角形与GHE △相似，求点m 的值．（2）以E 为等腰三角形顶角顶点，ED 为腰构造等腰EDG △，且G 点落在x 轴上.若在x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时，请直接写出．．．．点E 的坐标． 21．如图1，D 是等边△ABC 外一点，且AD ＝AC ，连接BD ，∠CAD 的角平分交BD 于E ． （1）求证：∠ABD ＝∠D ；（2）求∠AEB 的度数；（3）△ABC 的中线AF 交BD 于G （如图2），若BG ＝DE ，求AF DE的值．22．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 为反比例函数()4x 0x y =>的图像上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将()4x 0xy =>的图像绕原点O 顺时针旋转90°，A 点的对应点为A’，B 点的对应点为B’．（1）点A’的坐标是 ，点B’的坐标是 ； （2）在x 轴上取一点P ，使得PA+PB 的值最小，直接写出点P 的坐标． 此时在反比例函数()4x 0xy =>的图像上是否存在一点Q ，使△A’B’Q 的面积与△PAB 的面积相等，若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AB’，动点M 从A 点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N 同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t 值．若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．23．（操作发现）如图1，ABC ∆为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，先将三角板的90︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于45︒），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使45DCE ∠=︒，连接AF ，EF ．（1）请求出EAF ∠的度数？（2）DE 与EF 相等吗？请说明理由；（类比探究）如图2，ABC ∆为等边三角形，先将三角板中的60︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使30DCE ∠=︒，连接AF ，EF .（3）直接写出EAF ∠=_________度；（4）若1AE =，2BD =，求线段DE 的长度.24．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB =2，AC =4．对角线AC 、BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转α°（0°＜α＜180°），分别交直线BC 、AD 于点E 、F ．（1）当α=_____°时，四边形ABEF 是平行四边形；（2）在旋转的过程中，从A 、B 、C 、D 、E 、F 中任意4个点为顶点构造四边形， ①当α=_______°时，构造的四边形是菱形；②若构造的四边形是矩形，求该矩形的两边长． 25．如图，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，52-）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．(1) 求抛物线214y x bx c =++与直线32y kx =+的解析式；(2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点. ①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题 1．B解析：（1）83；（2）3或433）565x ≤＜【解析】 【分析】（1）设BP=a ，则PC=8-a ，由△MBP ～△DCP 知MB BPDC CP=，代入计算可得； （2）分别求出⊙P 与边CD 相切时和⊙P 与边AD 相切时BP 的长即可得； （3）①当PM=5时，⊙P 经过点M ，点C ；②当⊙P 经过点M 、点D 时，由PC 2+DC 2=BM 2+PB 2，可求得BP=7，继而知227465PM =+=【详解】（1）设BP=a ，则PC=8-a ，∵AB=8，M是AB中点，∴AM=BM=4，∵△MBP～△DCP，∴MB BPDC CP=，即488aa=-，解得83a=，故答案为：83．（2）如图1，当⊙P与边CD相切时，设PC=PM=x，在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，∴x2=42+（8-x）2，∴x=5，∴PC=5，BP=BC-PC=8-5=3．如图2，当⊙P与边AD相切时，设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴PM=PK=CD=2BM，∴BM=4，PM=8，在Rt△PBM中，228443PB-=＝综上所述，BP的长为3或43（3）如图1，当PM=5时，⊙P经过点M，点C；如图3，当⊙P 经过点M 、点D 时，∵PC 2+DC 2=BM 2+PB 2， ∴42+BP 2=（8-BP ）2+82， ∴BP=7， ∴227465PM+综上，565x ＜ 【点睛】本题是圆的综合问题，主要考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．2．B解析：（1）213y x x 222=+-；（2）4；（3）存在，Q 的坐标为()2,4-或()2,1-- 【解析】 【分析】()1根据题意将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式，即可求解；()2由题意设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，BMC1SMK OB 2=⋅⋅，即可求解； ()3由题意和如图所示可知，1tan QHN 2∠=，在RtQNH 中，QH m 6=+，222QN OQ (2)m m 4==-+=+2QN m 4sin QHN QHm 65∠+===+，进行分析计算即可求解． 【详解】解：()1将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式得：422316420a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得：1232ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则抛物线的解析式为：213y x x222=+-；()2过点M作y轴的平行线，交直线BC于点K，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y k'x b'=+得：04'''2k bb=-+⎧⎨=-⎩，解得：1'2'2kb⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，则直线BC的表达式为：1y x22=--，设点M的坐标为213x,x x222⎛⎫+-⎪⎝⎭，则点1K x,x22⎛⎫--⎪⎝⎭，22BMC1113S MK OB2x2x x2x4x2222⎛⎫=⋅⋅=----+=--⎪⎝⎭，a10=-<，BMCS∴有最大值，当bx22a=-=-时，BMCS最大值为4，点M的坐标为()2,3--；()3如图所示，存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，切点为N，过点M作直线平行于y轴，交直线AC于点H，点M 坐标为()2,3--，设：点Q 坐标为()2,m -， 点A 、C 的坐标为()1,0、()0,2-，OA 1tan OCA OC 2∠==， QH //y 轴， QHN OCA ∠∠∴=， 1tan QHN 2∠∴=，则sin QHN 5∠=， 将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx n =+得：02m n n +=⎧⎨=-⎩，则直线AC 的表达式为：y 2x 2=-，则点()H 2,6--，在Rt QNH 中，QH m 6=+，222QN OQ (2)m m 4==-+=+2QN m 4sin QHN QH m 65∠+===+， 解得：m 4=或1-，即点Q 的坐标为()2,4-或()2,1--． 【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识，本题难点是()3，核心是通过画图确定圆的位置，本题综合性较强．3．（1）详见解析；（2）3m =，点C 坐标为(3,2)-；（3）5k =或417k或417k时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形．【解析】 【分析】 （1）从2172022x mxm的判别式出发，判别式总大于等于3，而证得；（2）根据抛物线的对称轴32b xa来求m 的值；然后利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式，由此可以写出点C 的坐标；（3）根据平行四边形的性质得到：215|1(3)|422MN k k kCD ． 需要分类讨论：①当四边形CDMN 是平行四边形，2151(3)422MN k k k，通过解该方程可以求得k 的值；②当四边形CDNM 是平行四边形，2153(1)422NM k kk ，通过解该方程可以求得k 的值． 【详解】 解：（1）2217()4(2)(2)322m m m ， ∵不论m 为何实数，总有2(2)0m -≥，2(2)30m ，∴无论m 为何实数，关于x 的一元二次方程2172022x mxm总有两个不相等的实数根，∴无论m 为何实数，抛物线217222y x mxm与x 轴总有两个不同的交点． （2）抛物线的对称轴为直线3x =，3122m ，即3m =，此时，抛物线的解析式为221513(3)2222y x xx ，∴顶点C 坐标为(3,2)-；（3）//,CD MN C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN 是平行四边形（直线在抛物线的上方）或四边形CDMN （直线在抛物线的下方），如图所示，由已知215(3,2),(,1),(3)22D M k k N k k k，， (3,2)C ，4CD ∴=，2151(3)422MNk k kCD，①当四边形CDMN 是平行四边形， 2151(3)422MNk k k，整理得，28150k k -+=，解得13k =（不合题意，舍去），25k =； ②当四边形CDNM 是平行四边形， 2153(1)422NMk kk ，整理得2810k k ，解得，12417417k k ，，综上，5k =或417k或417k时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点公式和平行四边形的判定与性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．4．A解析：（1）12；（2）5s 或373s ；（3）163s 或685s 或72s 【解析】 【分析】（1）AD 与BC 之间的距离即AB 的长，如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点E ，在RtDEC 中可求得DE 的长，即AB 的长，即AD 与BC 间的距离； （2）四边形QDCP 为平行四边形，只需QD=CP 即可；（3）存在3大类情况，情况一：QP=PD ，情况二：PD=QD ，情况三：QP=QD ，而每大类中，点P 存在2种情况，一种为点P 还未到达点C ，另一种为点P 从点C 处返回． 【详解】（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点E∵∠B=90°，AD ∥BC ∴AB ⊥BC ，AB ⊥AD∴AB 的长即为AD 与BC 之间的距离∵AD=16，BC=21， ∴EC=5 ∵DC=13∴在Rt DEC 中，DE=12同理，DE 的长也是AD 与BC 之间的距离 ∴AD 与BC 之间的距离为12 （2）∵AD ∥BC∴只需QD=PC ，则四边形QDCP 是平行四边形 QD=16－t ，PC=21－2t 或PC=2t －21 ∴16－t=21－2t 或16－t=2t －21 解得：t=5s 或t=373s （3）情况一：QP=PD图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F∵PQ=PD ，PF ⊥QD ， ∴QF=FD∵AF ∥BP ，AB ∥FP ，∠B=90° ∴四边形ABPF 是矩形， ∴AF=BP由题意得：AQ=t ，则QD=16－t ，QF=8－2t ，AF=8+2t BP=2t 或BP=21－(2t －21)=42－2t ∵AF=BP ∴8+2t =2t 或8+2t=42－2t 解得：t=163或t=685情况二：PD=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F同理QD=16－t ，PF=AB=12 BP=2t 或21－(2t －21)=42－2t则FD=AD －AF=AD －BP=16－2t 或FD=16－(42－2t)=2t －26∴在Rt PFD 中，()22212162PD t =+-或()22212226PD t =+-∵PD=QD ， ∴22PD QD =∴()()22216t 12162t =+-－或()()22216t 12226t =+-－解得：2个方程都无解情况三：QP=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F同理：QD=16－t ，FP=12 BP=2t 或BP=42－2tQF=AF －AQ=BP －AQ=2t －t=t 或QF=42－2t －t=42－3t在Rt QFP 中，22212PQ t =+或()22212423PQ t =+-∵PQ=QD ， ∴22PQ QD =∴()22216t 12t =+－或()()22216t 12423t =+-－第一个方程解得：t=72，第二个方程解得：无解 综上得：t=163或685或72 【点睛】本题考查四边形中的动点问题，用到了勾股定理、平行四边形的性质、矩形的性质，解题关键是根据点Q 运动的轨迹，得出BP 的长度．5．E解析：（1）3EF EC =，见解析；（2）277BK =；（3）①AGH 是等边三角形，见解析；②1(62)4【解析】 【分析】（1）连接EF ，AC ，由菱形的性质，可证Rt AEB Rt AFD ∆≅∆，然后得到AEF ∆为等边三角形，由解直角三角形得到3AE EC =，即可得到答案；（2）由菱形的性质和等边三角形的性质，求出AF 的长度，然后得到BF 的长度，然后由相似三角形的性质，得到AB BKFB BA=，即可求出答案； （3）①由等边三角形的性质，先证明ABG ACH ≅，然后得到AG AH =，然后得到60BAH GAB GAH ︒∠+∠=∠=，即可得到答案；②由三角形的面积公式得到31DH =+，然后得到AHF △为等腰直角三角形，再由解直角三角形的性质，即可求出答案． 【详解】解：（1）3EF EC =；理由：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,60,//AB AD BC ABC ADC AD BC ︒∴==∠=∠=，120BAD ︒∴∠=，∵AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ，90AEB AFD ︒∴∠=∠=Rt AEB Rt AFD ∴∆≅∆，,30AE AF BAE DAF ∴=∠=∠=︒，60EAF ∴∠=︒，AEF ∴∆为等边三角形， EF AE ∴=.连接AC ，1602BAC BAD ︒∴∠=∠= 30EAC ︒∴∠=在Rt AEC ∆中，tan ECEAC AE∠=3AE EC ∴=， 3EF EC ∴=（2）如图：∵四边形ABCD 是菱形，60,ABC AB a ︒∠==，ACD ∴是等边三角形，//,,60AB CD AD CD a ADC ︒==∠=. AF CD ⊥，垂足为F ， 1,902CF DF a BAF AFD ︒∴==∠=∠= 在Rt ADF 中，sin AFADF AD∠=， 3AF a ∴=在Rt ABF 中，22BF AB AF =+，7BF a ∴=AK BF ⊥，垂足为K ，90AKB FAB ︒∴∠=∠=ABK FBA ∠=∠~Rt AKB Rt FAB ∴∆∆， AB BKFB BA∴=， 27BK a ∴=， （3）如图：①AGH 是等边三角形. 理由：连接AC .,60AB BC ABC ︒=∠=，ABC ∴为等边三角形，,60AB AC ABC ACB ︒∴=∠=∠=，120ABG ︒∴∠=.//AB CD ，60BCH ABC ︒∴∠=∠=， 120ACH ︒∴∠=ABG ACH ∴∠=∠，又BG CH =，ABG ACH ∴≅， ,AG AH GAB HAC ∴=∠=∠. 60BAH HAC BAC ︒∠+∠=∠=， 60BAH GAB GAH ︒∴∠+∠=∠=，AGH ∴为等边三角形；②ADC 为等边三角形，2,1AD DC AC CF DF ∴=====，3AF ∴=.1(33)2ADHS=， 113(33)22DH ∴⨯=+， 31DH ∴=31CH DH CD ∴=-=，3HF DH DF =-=AF HF ∴=，AHF ∴为等腰直角三角形，45AHF ︒∴∠=.过点C 作CM AH ⊥，垂足为M . 在Rt CMH 中，sin CMCHM CH∠=， 1(62)2CM ∴=， 在Rt AMC 中，sin CMMAC AC∠=， 1sin (62)4MAC ∴∠=. 又GAB HAC ∠=∠，1sin sin (62)4GAB HAC ∴∠=∠=； 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，正确作出辅助线进行解题．6．B解析：（1）12；（2）53；（3）202． 【解析】 【分析】（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长. 【详解】（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，135BAC ∠=，180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，BD AD ∴=，在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，42AB =，2222(42)32BD AB ∴===，解得：4BD =，6AC =， 11641222ABCSAC BD ∴=⋅=⨯⨯=．（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ， PD PQ ∴=，PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，点P 为AB 上的动点，PC PD CQ ∴+≥，∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度，点C 为半圆AB 的中点，90COB ∴∠=，90BOD COD COB ∠+∠=∠=， 11903033BOD COB ∴∠=∠=⨯=，10AB =，1110522OD AB ∴==⨯=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=，155,222DH OD QH DH ∴==∴==， 222255352OH OD DH ⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭， 由作图知，四边形OMQH 为矩形，553,2OM QH MQ OH ∴====515522CM OM OC ∴=+=+=，222215535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭PC PD ∴+的最小值为53．（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠， ,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠，E 为OA 上的点，F 为OB 上的点PE EF FP SN ∴++≥，∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，45POA POB AOB ∠+∠=∠=，45SOA NOB ∴∠+∠=，454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．扇形AOB 的半径为20，20OS ON OP ∴===，在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=PE EF FP ∴++的长度的最小值为202【点睛】本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.7．A解析：（1）145；（2）2274,0314971421,2235t tSt t t⎧⎛⎫<≤⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<<⎪⎪⎝⎭⎩；（3）t的值为477或727．【解析】【分析】（1）如下图，根据4tan3A=，可得出PN与AP的关系，从而求出t的值；（2）如下图，存在2种情况，一种是点M在△ABC内，另一种是点M在△ABC外部，分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解；（3）如下图，存在2种情况，一种是PM所在的直线将△ABC的面积平分，另一种是QN 所在的直线将△ABC的面积平分．【详解】（1）如图1，点N在AC上图1由题意可知：PD=DQ=t ，AP=7－t ∴PN=PQ=2t ∵4tan 3A = ∴43NP AP =，即2473t t =- 解得：t=145（2）①如图2，图2四边形PQMN 是正方形，90BQM ∴∠=︒，45B ∠=︒，BQ MQ ∴=，即72t t -= 解得73t =， 故当0t <≤73时，22(2)4S t t ==；②如图3，图390BQF ∠=︒，45B ∠=︒，7BQ FQ t ∴==-，45BFQ MFE ∠=∠=︒，则37MF MQ QF t =-=-，90M ∠=︒， 37ME MF t ∴==-，则2221149(2)(37)21222S t t t t =--=-+-71435t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；综上，2274,0314971421,2235t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩． （3）如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 于点G图4∵4tan 3A =∴设CG=4x ，则AG=3x ∵∠B=45°∴△CBG 是等腰直角三角形 ∴GB=GC=4x ∵AB=14∴3x+4x=14，解得：x=2 ∴1148562ABCS == ∴1282ABCS =情况一：PM 所在的直线平分△ABC 的面积，如下图，PM 与BC 交于点E图5则28PBES=∵四边形PQMN是正方形，∴∠EPB=45°∵∠B=45°∴△PBE是等腰直角三角形∵1282PBES PE PB==∴PE=PB=214∴PB=47∵PB=AB－PA=14－(7－t)=7+t∴7+t=47t=477-情况二：如下图，QN所在线段平分△ABC的面积，QF交AC于点F，过点F作AB的垂线，交AB于点H图6同理，28AFQS=∵四边形PQMN是正方形，∴∠EQH=45°∴△FHQ是等腰直角三角形∵4 tan3A=∴设FH=4y，则AH=3y，HQ=FH=4y，∴AQ=7y∴174282AFQS y y==，解得：2∵AQ=AB－QB=14－(7－t)=7+t∴2解得：27∴综上得：t的值为477或727．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据动点的变化情况，适当划分为几种不同的形式分别分析求解．8．C解析：（1）①3，3，32CP ≤≤，②O；（2）13b ≥；（3）0＜r≤3．【解析】 【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，CP 的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．（2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），分三种情形：①线段FG 在⊙O 内部，②线段FG 与⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解即可．（3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可． 【详解】（1）①如图1中，∵D （-1，0），E(03， ∴OD=1，3OE = ∴3OEtan EDO OD∠== ∴∠EDO=60°，当OP ⊥DE 时，3•602OP OD sin =︒=，此时OP 的值最小， 当点P 与E 重合时，OP 3 当CP ⊥DE 时，CP 的值最小，最小值•603CD cos =︒= 当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2， 3332CP ≤≤. ②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足OM=2ON ， 故点O 与线段DE 满足限距关系． 故答案为O ．（2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ）， 当0＜b ＜1时，线段FG 在⊙O 内部，与⊙O 无公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1-b，最大距离为1+b，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴1+b≥2（1-b），解得13b≥，∴b的取值范围为131b≤＜．当1≤b≤2时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，当b＞2时，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为121b-，最大距离为b+1，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴11212b b⎛⎫+≥-⎪⎝⎭，而11212b b⎛⎫+≥-⎪⎝⎭总成立，∴b＞2时，线段FG 与⊙O满足限距关系，综上所述，b的取值范围为13b≥．（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，∵⊙H和⊙K都满足限距关系，∴2r+2≥2（2r-2），解得r≤3，故r的取值范围为0＜r≤3．【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．9．C解析：（1）点C 的坐标为(2,0)；（2）1522y x =-+；（3）①2481515y x x =-；②1013． 【解析】 【分析】（1）求得对称轴，由对称性可知C 点坐标； （2）利用待定系数法求解可得；（3）①由AE=3AO 的关系，建立K 型模型相似，求得点E 坐标代入解析式可得； ②若△CDB 与△BOA 相似，则∠OAB=∠CDB=90°，由相似关系可得点D 坐标，代入解析式y=ax 2-2ax 可得a 值． 【详解】解：（1）把0y =代入22y ax ax =-，得220ax ax -=， 解得：0x =，或2x =． ∵点C 在x 轴正半轴上， ∴点C 的坐标为(2,0)．（2）设直线表达式为y kx b =+，把点(1,2)A ，(5,0)B 分别代入y kx b =+，得250k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB 的表达式为：1522y x =-+． （3）①作AH x ⊥轴于点H ，EF AH ⊥于点F （如图），∵222125OA =+=，2222420AB ，22525OB ==，∴222OA AB OB +=．∴90EAO OAB ∠=∠=︒． 由EFA AHO △∽△，得2EF FA EA AH HO AO===， ∴4EF =，2FA =， ∴点E 坐标为()3,4-．把(3,4)E -代入22y ax ax =-，得964a a +=，解得：415a =． ∴2481515y x x =-． ②若△CDB 与△BOA 相似，如图，作DG ⊥BC ，∴CD BD BC AO AB BO==，∠OAB=∠CDB=90°， 35525==， ∴355CD =65BD =∵523BC =-=，∴356565535DG ==， ∴156225x -+=，解得：135x =， ∴点D 的坐标为：（135，65）， 把点D 代入22y ax ax =-，即16913622555a a -⨯= 解得：1013a =； 故答案为：1013． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了二次函数的基本性质，数形结合与K 型模型的使用，以及相似存在性问题，内容综合较好，难度相当入门级压轴问题．10．A解析：（1）5AD x =，6DF x =+；（2）△ADF 为等腰三角形，x 的取值可以是4817，4831，12； （3）4或43【解析】【分析】（1）由已知条件可得：CD=4x ，根据勾股定理得：AD=5x ，由AB=6且C 在B 点右侧，可以依次表示BC 、CF 、DF 的长；（2）分两种情况：①当C 在B 点的右侧时，AF=DF ，②当C 在线段AB 上时，又分两种情况：i ）当CF ＜CD 时，如图3，ii ）当CF ＞CD 时，如图4，由AF=DF ，作等腰三角形的高线FN ，由等腰三角形三线合一得：AN=ND=2.5x ，利用同角的三角函数列比例式可求得x 的值；（3）由翻折性质得到DG='GD ，'DGF FGD ∠=∠，从而证出'ADG AGD △≌△，从而推出∠FAC=∠DAG ，即AF 平分∠DAC ，过F 作FN ⊥AD 于N ，分两种情况：当C 在AB 的延长线上时，当C 在AB 边上时，根据35sin CDA ∠＝可列出关于x 的比例式，即可求解. 【详解】 ⑴∵CD＝43AC ，AC=3x ， ∴CD=4x， ∵CD⊥AM， ∴∠ACD=90°， 由勾股定理得：AD=5x ， ∵AB=6，C 在B 点右侧， ∴BC=AC-AB=3x-6， ∵BC=FC=3x-6，∴DF=CD -FC=4x-（3x-6）=x+6； （2）分两种情况： ①当C 在B 点的右侧时， ∴AC ＞AB ， ∴F 必在线段CD 上， ∵∠ACD=90°，∴∠AFD 是钝角，若△ADF 为等腰三角形，只可能AF=DF ，过F 作FN⊥AD 于N ，如图，∴AN=ND=2.5x ， ∴DN DCcos ADC DF AD∠==， 即2.5465x xx x+＝，解得，4817x =； ②当C 在线段AB 上时，同理可知若△ADF 为等腰三角形，只可能AF=DF ， i ）当CF ＜CD 时，过F 作FN⊥A D 于N ，如图，x 的取值可以是4817，4831，12； ∵AB=6，AC=3x ， ∴BC=CF=6-3x ， ∴DF=4x-（6-3x ）=7x-6， ∵DN DCcos ADC DF AD∠==， ∴2.54765x xx x-＝， 解得4831x =； ii ）当CF ＞CD 时，如图4，BC=CF=6-3x ，∴FD=AD=6-3x-4x=6-7x ， 则6-7x=5x ，x=12， 综上所述，x 的取值可以是4817，4831，12； （3）∵△DFG 沿FG 翻折得到'FD G △ ∴DG='GD ，'DGF FGD ∠=∠。