天一大联考2020-2021文数高三期末(上)简易答案
河南省天一大联考高三上学期期末考试数学(文)试卷(有答案)【精选】.doc
天一大联考高三年级上学期期末考试数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,2,4,6,|233n A B x N ==∈<，则集合A B 的子集个数为A.8B. 7C. 6D. 4 2.设i 为虚数单位，复数21a ii++为纯虚数，则实数a 的值为 A. -1 B. 1 C. -2 D. 23.“22a b >”是“ln ln a b >”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了股股定理的绝妙证明。
下面是赵爽的弦图和注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实。
图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾股+（股-勾）2=4朱实+黄实=弦实，化简得：+=222勾股弦.设勾股形中勾股比为1:若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为 A. 866 B. 500 C. 300 D. 1345.已知圆()22314x y -+=的一条切线y kx =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是A. (B. ()1,2C.)+∞ D.()2,+∞6.函数()cos21xf x x xπ=+的图象大致是7.已知0a >且1a ≠，如图所示的程序框图的输出值[)4,y ∈+∞，则实数a 的取值范围是 A. (]1,2 B. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭C. ()1,2D. [)2,+∞ 8. 已知点M 的坐标(),x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是A.9.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为6，1C BC ∠的正切值为，当1AB AD AA ++的值最小时，长方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积为A. 10πB. 12πC. 14πD. 16π 10.已知函数()()1sin 20,022f x A x A πϕϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线12x π=对称，若对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()23m m f x -≤，则实数m 的取值范围是A. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. []1,2 C. 3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3322⎡-⎢⎣⎦11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8B. 10C. 12D. 1412.已知()f x '是定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数，若方程()0f x '=无解，且()()20160,,log 2017x f f x x ∀∈+∞-=⎡⎤⎣⎦，设()()()0.542,log 3,log 3a f b f c f π===，则,,a b c 的大小关系是A. b c a >>B. a c b >>C. c b a >>D. a b c >>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-，且a b a b +=-，则2a b += . 14.已知()0,απ∈，3sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .15.已知抛物线()21:0C y ax a =>的焦点F 也是椭圆()2222:104y x C b b+=>的一个焦点，点3,,12M P ⎛⎫⎪⎝⎭分别为曲线12,C C 上的点，则MP MF +的最小值为 . 16. 如图，在圆内接四边形ABCD 中，2,1,cos sin ,AB AD CD αβ===+则四边形ABCD 周长的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）已知正项等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，334,7b S ==，数列{}n a 满足()11n n a a n n N *+-=+∈，且11a b =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 18.（本题满分12分）如图，已知四边形ABCD 和ABEG 均为平行四边形，点E 在平面ABCD 内的射影恰好为点A ，以BD 为直径的圆经过点,,A C AG 的中点为,F CD 的中点为P ，且.A D A B A E ==（1）求证：平面EFP ⊥平面BCE ；（2）求几何体ADG BCE -P EF B --的体积.19.（本题满分12分）2016年是红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.然后再各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品. （1）求此活动中各公园幸运之星的人数；（2）若乙公园中每位幸运之星中任选两人接受电视台记者的采访，求这两人均自乙公园的概率；（3）电视台记者对乙公园的签名人进行了是否有兴趣研究“红军长征”历史的问卷调查，统计结果如下（单位：人）：据此判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M,N 两点，2MNF ∆C （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于A,B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()ln f x x a x =+与()3bg x x=-的图象在点()1,1处有相同的切线. （1）若函数()2y x m =+与()y f x =的图象有两个交点，求实数m 的取值范围； （2）设函数()()()3222m mF x x g x f x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭有两个极值点12,x x ，且12x x <， 求证：()22 1.F x x <-.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学(文)试题附答案
2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,1,3,5A =-，{}0,1,3,4,6B =，则A B =U （ ） A ．{}1,3B ．{}1C ．{}1,0,1,1,3,4,5,6-D ．{}1,0,1,3,4,5,6-【答案】D【解析】根据并集的定义可求出集合A B U . 【详解】依题意，{}{}{}1,1,3,50,1,3,4,61,0,1,3,4,5,6A B =-=-U U . 故选：D. 【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．设复数()()312iz i i i-=+-+，则z =（ ） A ．22B 5C ．2D 2【答案】A【解析】利用复数的四则运算法则将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z . 【详解】依题意()()33112221221i i z i i i i i i -+=+-+=-+++=--， 故()222222z =+-=故选：A. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题. 3．已知向量()3,0m =v ，()3,0n =-v ，()()q m q n -⊥-v v v v ，则q v为（ ） A ．7B ．5C ．3D ．1【答案】C【解析】由题意可知n m =-r u r，由()()q m q n -⊥-r u r r r 得出()()q m q m -⊥+r u r r u r ，可得出()()0q m q m -⋅+=r u r r u r ，由此可得出q m =r u r，进而得解.【详解】由题意可知n m =-r u r，由()()q m q n -⊥-r u r r r 得出()()q m q m -⊥+r u r r u r ，()()0q m q m ∴-⋅+=r u r r u r ，即22q m =r u r ，因此，22303q m ==+=r u r .故选：C. 【点睛】本题考查向量模长的计算，同时也考查了向量垂直的等价条件的应用，解题的关键就是得出n m =-r u r，考查计算能力，属于基础题.4．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论. 【详解】使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误；使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.故选：C. 【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题. 5．记正项等比数列{}n a 满足234253a a a -=，则公比q =( ) A ．13B ．13或2- C ．2 D ．19【答案】A【解析】根据等比数列通项公式以及条件列方程解得公比. 【详解】依题意，2222253a a q a q -=，即23520q q +-=，故()()3120q q -+=，解得13q =或2q =-，而0n a >，故13q =. 故选：A 【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．已知ABC ∆中，23AB =22sin A ，5tan C =，则BC =( ) A ．83B ．8C ．3D ．4【答案】B【解析】先根据同角三角函数关系得6sin C =，再根据正弦定理求结果. 【详解】 因为5tan 5C =，所以6sin 6C =. 在ABC ∆中，由正弦定理，可得sin sin AB BCC A=2362263=，解得8BC =. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数关系以及正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．下列函数中，既是偶函数又在()2,+∞上单调递减的是（ ）A ．()11x x e f x e -=+B ．()1lg 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭C ．()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩D ．()()2ln 11f x x =+-【答案】B【解析】分析每个选项中函数的奇偶性及各函数在区间()2,+∞上的单调性，由此可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数()11xx e f x e -=+的定义域为R ，()()()()111111x x x x x xx x e e e e f x f x e e e e --------====-+++，该函数为奇函数， 又()()122111xx x e f x e e +-==-++，该函数在区间()2,+∞上单调递增；对于B 选项，解不等式101x x +>-，得1x <-或1x >，该函数的定义域为()(),11,-∞-+∞U ，关于原点对称，()()1111lg lg lg lg 1111x x x x f x f x x x x x -+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该函数为偶函数，当2x >时，()121211111x x u x x x -++===+>---，则()1lg1x f x x +=-， 内层函数11x u x +=-在区间()2,+∞上为减函数，外层函数lg y u =为增函数， 所以，函数()1lg 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭在()2,+∞上单调递减； 对于C 选项，作出函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩的图象如下图所示：由图象可知，该函数为偶函数，且在()2,+∞上单调递增； 对于D 选项，函数()(2ln 11f x x =-的定义域为(][),11,-∞-+∞U ，()()((()22ln 11ln 11f x x x f x -=--=+-=，该函数为偶函数.内层函数211u x =-在()2,+∞上单调递增，外层函数ln y u =也为增函数， 所以，函数()(2ln 11f x x =-()2,+∞上单调递增.故选：B. 【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，熟悉函数奇偶性的定义以及单调性的一些判断方法是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.8．记双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）与双曲线2C ：221162y x -=无交点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．32⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．32⎛ ⎝⎦C ．[)3,+∞D ．(]1,3【答案】D【解析】先求双曲线2C 渐近线方程，再结合图象确定双曲线1C 确定渐近线渐近线斜率范围，解得结果. 【详解】双曲线2C ：221162y x -=的渐近线方程为2y x =±，由题意可知22b a ≤(]2211,3c be a a==+. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线渐近线与离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.9．已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为208，118AB BC AA ++=，则该长方体的外接球的表面积为（ ） A ．116π B ．106πC ．56πD ．53π【答案】A【解析】由题意得出11118104AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，由这两个等式计算出2221AB BC AA ++，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.【详解】依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=，所以，()()222211112116AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-⋅+⋅+⋅=，故外接球半径222129AB BC AA r ++==，因此，所求长方体的外接球表面积24116S r ππ==. 故选：A. 【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.10．已知函数()2,4,x x mf x x x x m<⎧=⎨+≥⎩，且p m ∀<，q m ∃≥，使得()()0f p f q +=，则m 的取值范围为( ) A ．(],2-∞- B ．(),2-∞-C ．(],0-∞D ．(),0-∞【答案】C【解析】先将条件转化为对应函数值域包含关系，再根据分段函数求对应区间值域，最后根据集合包含关系列不等式，解得结果. 【详解】依题意，()()f q f p =-，即函数()y f x =-在(),m -∞上的值域是函数()y f x =在[),m +∞上的值域的子集.因为()y f x =在[),m +∞上的值域为[)4,-+∞（2m ≤-）或2[4,)m m ++∞（2m >-），()y f x =-在(),m -∞上的值域为(),m -+∞，故24m m ≤-⎧⎨-≥-⎩或22,4,m m m m >-⎧⎨-≥+⎩，解得0m ≤. 故选：C 【点睛】本题考查分段函数性质以及函数值域，考查等价转化思想方法以及分析求解能力，属中档题. 11．已知函数()()22sin cos cos 2cos1sin f x x x x ωωϕωϕ=+-，0ω≠，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.若()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ϕ=（ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】D【解析】利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()()sin 2f x x ωϕ=+，由()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭可知函数()y f x =的一条对称轴方程为6x π=，可得出ϕ的表达式，再结合条件()02f f ππω⎛⎫+=⎪⎝⎭可求出ϕ的值. 【详解】依题意()()sin 2cos cos2sin sin 2f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+. 因为()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以6x π=为函数()y f x =图象的一条对称轴，即32k πωπϕπ+=+，k ∈Z ，所以2366k πωππϕ=+-，①.因为()02f f ππω⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以()sin sin 2ϕπωϕ=+，②，结合①②可得sin sin 5ϕϕ=，又02πϕ<<，故5052πϕ<<，得5ϕϕπ+=或52ϕϕπ=+，解得6π=ϕ或2π（舍去）.故选：D. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题.12．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦点F ，直线l ：0bx ay -=与椭圆C 交于M 、N 两点，若tan 22MFN ∠=则椭圆C 的离心率为( ) A 5B 25C ．125D ．2225【答案】B【解析】先解得M,N 坐标，利用两点间距离公式得MNF ∆三边长，再根据余弦定理列方程，解得离心率. 【详解】不妨设M ，N 分别在第一、三象限，焦点(),0F c ，联立22220,1,bx ay x y ab -=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得22,22a b M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,22a b N ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.故2222222222a b c MF c a ac ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222222a b c NF c a ac ⎛⎫⎛⎫=--+-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222222422222a a b b MN a c ⎛⎫⎛⎫=--+--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在MNF ∆中，由余弦定理可得2222cos MNMF NF MF NF MFN =+-⋅⋅∠，而tan 22MFN ∠=21cos 3MF N ∠=，代入化简得4224101340c a c a -+=，其中2232c a >，解得2254c a =或222c a =（舍去），故25c e a ==. 故选：B 【点睛】本题考查余弦定理、椭圆离心率以及直线与椭圆交点，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题 13．已知3tan 4α=-，()1tan 4αβ+=，则tan β=______. 【答案】1613【解析】根据()βαβα=+-以及两角差正切公式求解. 【详解】13tan()tan 1644tan tan[()]31tan()tan 13116αβαβαβααβα++-=+-===++-故答案为：1613【点睛】本题考查两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14．设实数x 、y 满足21323340y x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.【答案】173【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y=+，观察直线在y轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算可得出结果.【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.观察可知，当直线2z x y=+过点C时，直线2z x y=+在y轴上的截距最大，此时，z取得最大值，联立21323y xx y=-⎧⎨+=⎩，解得5373xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故z的最大值为max57172333z=⨯+=.故答案为：173.【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.15．已知长方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，点E是线段11A B的中点，则1CD E∆在平面11BDD B上的正投影的面积为______.【答案】322【解析】根据条件作出1CD E∆在平面11BDD B上的正投影，确定正投影位置与形状，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】作出图形如图所示，可知1CD E∆在平面11BDD B上的正投影仍然为一个三角形，点C在平面11BDD B上的正投影为线段BD的中点C'，点E在平面11BDD B上的正投影为线段11B D的靠近1B的四等分点E'，正投影的面积11332222242C E D S ''∆⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪⎝⎭.32【点睛】本题考查正投影及其相关计算，考查空间想象与分析求解能力，属基础题.16．已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02xf x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______.【答案】,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】构造函数()()cos 2xg x f x =-，再根据条件确定()g x 为奇函数且在R 上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果. 【详解】 依题意，()()()cos cos 22x xf x f x --=--+， 令()()cos 2xg x f x =-，则()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函数 ()()()cos sin 022x x g x f x f x '⎡⎤''=-=+<⎢⎥⎣⎦，故函数()g x 在R 上单调递减， 则()()()()()cos cos 0022x xf x f x f x f x πππ+++≤⇒+-+-≤ ()()()()()0g x g x g x g x g x ππ⇔++≤⇔+≤-=-，即x x π+≥-，故2x π≥-，则x 的取值范围为,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=L . (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}12n n a a ++的前n 项和为n S . 【答案】(1)432n a n =-；(2)434n nS n =+. 【解析】(1)利用作差相减法求数列{}n a 的通项公式，注意验证1n =的情况是否满足； (2)直接利用裂项相消法求和. 【详解】(1)当1n =时，14a =.当2n ≥时，()12347324n a a a n a n ++++-=L ，()()1231473541n a a a n a n -++++-=-L ，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-.因为14a =也适合上式， 所以432n a n =-.(2)依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233412n n n S a a a a a a ++=+++L16111111113477101013313+4n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭L 16114343434nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查求数列通项以及裂项相消法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.18．某品牌奶茶公司计划在A 地开设若干个连锁加盟店，经调查研究，加盟店的个数x 与平均每个店的月营业额y (万元)具有如下表所示的数据关系： x 2 4 6 8 10 y 20.920.21917.817.1(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)根据(1)中的结果分析，为了保证平均每个加盟店的月营业额不少于14.6万元，则A 地开设加盟店的个数不能超过几个?参考公式:线性回归方程y bx a =+$$$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑$，a y bx =-$$【答案】(1)$0.522y x =-+；(2)14个.【解析】(1)先求均值，再代入公式求b a ，$$，即得结果；(2)根据线性回归方程列不等式，解得结果. 【详解】 (1)依题意，24681065x ++++==，20.920.21917.817.1195y ++++==.()()()()()()514 1.92 1.22 1.24 1.97.6 2.4 2.47.620iii x x y y =--=-⨯+-⨯+⨯-+⨯-=----=-∑，()52116441640i i x x=-=+++=∑，所以()()()515210.5iii ii x x y y bx x ==--==--∑∑$，所以$190.5622ay bx =-=+⨯=$， 故所求的线性回归方程为$0.522y x =-+. (2)依题意，令0.52214.6x -+≥，解得14.8x ≤. 因为x *∈N ，所以A 地开设加盟店的个数不能超过14个.【点睛】本题考查线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．如图，在四棱锥S ABCD -中，122AB AD SD SB SC =====，90DSC BSC DAB ∠=∠=∠=︒.(1)若点F 在棱SC 上且13SF FC =，证明：//SA 平面BDF ； (2)求三棱锥A SBC -的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)169. 【解析】(1) 设AC 与BD 的交点为O ，根据计算以及平几知识得SA OF ∥，再根据线面平行判定定理得结果； (2)先利用线面垂直判定定理证明SC ⊥平面SBD ，再证明BD ⊥平面SAC ，最后根据锥体体积公式求结果. 【详解】(1)如图，连接AC ，记AC 与BD 的交点为O ，连接OF . 由题易知22BD =，25BC CD ==.所以可得ADC ABC ∆∆≌，所以ADO ABO ∆∆≌，所以2AO BO ==.而()()225232CO =-=，易知13AO OC =，故13AO SF OC FC ==，故SA OF ∥. 因为SA ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以//SA 平面BDF .(2)因为SC SB ⊥，SC SD ⊥，又SB SD S =I ，故SC ⊥平面SBD .所以SC BD ⊥ 如图，连接SO ，则SC SO ⊥，可知OSC ∆为直角三角形，222OS OC SC -= 易知点S 到直线AC 的距离为43，故148422233SAC S ∆=⨯=由(1)易知AC BD ⊥，又因为SC BD ⊥，AC SC C =I ，故BD ⊥平面SAC . 故11821623339A SBCB SAC SAC V V S OB --∆==⋅⋅=⨯=. 【点睛】本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理以及锥体体积公式，考查综合分析论证与求解能力，属中档题. 20．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 到准线l 的距离为2，直线1l 过点F 且与抛物线交于M 、N 两点，直线2l 过坐标原点O 及点M 且与l 交于点P ，点Q 在线段MN 上. (1)求直线NP 的斜率； (2)若21FM，21FQ，21FN成等差数列，求点Q 的轨迹方程.【答案】(1)0；(2)()22214x y -+=（0y ≠）.【解析】(1)先求抛物线方程，再设直线1l 方程以及M,N 坐标，解得P 点坐标，根据斜率公式化简直线NP 的斜率，最后联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入化简即得结果； (2) 设()00,Q x y ，根据等差中项性质以及弦长公式化简条件得222012211y y y =+，再根据（1）中韦达定理化简右边式子，最后根据001x m y -=代入化简得点Q 的轨迹方程. 【详解】(1)依题意，可得2p =，所以抛物线C ：24y x =.设直线1l ：1x my =+，联立21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩，得2440y my --=.设()11,M x y ，()22,N x y ，易知10x ≠，21x ≠-，则124y y m +=，124y y =-， 直线2l ：11y y x x =. 因为准线l ：1x =-，故111,y P x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故直线NP 的斜率为()()()121211121221212124401111y y x y x y my y y y m m x x x x x x x ++++-+====++++.(2)设()00,Q x y （00y ≠）.由(1)可得()22201FQ m y =+，()22211FMm y =+，()22221FN m y =+.由题可知222211FQFMFN=+，得222012211y y y =+. ()2212122222212122111681162y y y y m m y y y y +-++===+Q 因为001x m y -=，所以()2022001212x y y -=+化简可得()2200214x y -+=（00y ≠）.故点Q 的轨迹方程为()22214x y -+=（0y ≠）. 【点睛】本题考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系以及动点轨迹方程，考查综合分析求解能力，属中档题. 21．已知函数()22ln f x m x x =-.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()y f x =的图象与直线y mx =交于(),M M M x y ，(),N N N x y 两点，且1M N x x >>，求实数m 的取值范围.【答案】(1)当0m =时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0m >时，()f x 在20,2m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在22m ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；当0m <时，()f x 在20,2m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在22m ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；(2)341,02e ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭.【解析】(1)先求导数，根据0m =，0m >以及0m <三种情况讨论导函数符号，进而确定对应单调性；(2)先构造函数()22ln F x m x x mx =--，再求导数，根据0m >以及0m <两种情况讨论函数单调性，结合单调性确定满足条件的不等式，解得m 的取值范围，最后利用零点存在定理证明所求范围恰好保证函数有两个零点. 【详解】(1)依题意，()0,x ∈+∞，())22221211212mx mx m x f x m x x xx-+-'=-==.①若0m =，则()10f x x'=-<，故()f x 在()0,∞+上单调递减②若0m ≠，令()0f x '=，解得2x =或2x =. （i ）若0m >，则202m -<，202m >，则当20,2x m ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当22x m ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；（ii ）若0m <，则202m ->，202m <，则当20,2x m ⎛∈- ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2,2x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增.综上所述，当0m =时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0m >时，()f x 在20,2m ⎛ ⎝⎭上单调递减，在22m ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；当0m <时，()f x 在20,2m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2m ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. (2)令22ln m x x mx -=，则由题意可知22ln 0m x x mx --=有两个大于1的实数根，显然0m ≠. 令()22ln F x m x x mx =--，则()()()221112mx mx F x m x m x x+-'=--=. 若0m >，则当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x '<，当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0F x '>，要满足已知条件，必有()210,11ln 0,11,F m m F m m m⎧⎪=->⎪⎪⎛⎫=-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩此时无解； 若0m <，则当10,2x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0F x '<，当1,2x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0F x '>，要满足已知条件，必有()()210,13ln 20,2411,2F m m F m m m⎧⎪=->⎪⎪⎛⎫-=+-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪->⎪⎩解得34102e m -<<. 当34102em -<<时，()F x 在11,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()1102F F m ⎛⎫⋅-< ⎪⎝⎭，故函数()F x 在11,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有一个零点.易知2112m m >-，且22222111111ln ln F m m m m m m ⎛⎫=-->- ⎪⎝⎭，下证：ln 0x x ->.令()ln g x x x =-，则()11g x x'=-，当01x <<时，()0g x '<， 当1x >时，()0g x '>，故()()11ln10g x g ≥=->，即ln 0x x ->， 故222111ln 0F m m m ⎛⎫>->⎪⎝⎭，故21102F F m m ⎛⎫⎛⎫-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()F x 在1,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()F x 在1,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上有一个零点.综上所述，实数m 的取值范围为341,02e ⎛⎫⎪- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数研究函数零点，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属难题.22．已知平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为314x a ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为424πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点. （1）求实数a 的取值范围； （2）若2a =，点()2,1A ，求11AP AQ+的值. 【答案】（1）1110211102-+⎝⎭；（22191. 【解析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为普通方程，将直线l 的参数方程化为普通方程，可知曲线C 为圆，利用圆心到直线l 的距离小于半径，列出关于实数a 的不等式，解出即可；（2）将直线l 的参数方程化为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），将该参数方程与曲线C 的普通方程联立，列出韦达定理，并利用t 的几何意义可计算出11AP AQ+的值. 【详解】（1）曲线():4sin cos C ρθθ=+，故()24sin cos ρρθρθ=+，则2244x y x y +=+，即()()22228x y -+-=，直线:43340l x y a +--=， 故圆心()2,2到直线l 的距离114225a d -=<，解得1121110244a -+<<， 即实数a 的取值范围为111021110244⎛-+ ⎝⎭； （2）直线l 的参数方程可化为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），代入()()22228x y -+-=中，得28705t t +-=.记P 、Q 对应的参数分别为1t 、2t ，则1285t t +=-，127t t =-. 故12121212121111219135t t t t AP AQ t t t t t t +-+=+===. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求参数，同时也考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.23．已知函数()2134f x x x =++-. （1）求不等式()22f x x >+的解集； （2）若()1f x k x ≥-在R 上恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()5,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）分21x <-、1423x -≤≤、43x >三种情况解不等式()22f x x >+，综合可得出该不等式的解集；（2）分0k ≤和0k >两种情况讨论，0k ≤时，()1f x k x ≥-在R 上恒成立；0k >时，作出函数()y f x =，1y k x =-的图象，利用数形结合思想找出临界位置，可得出关于k 的不等式，解出k 的范围，综合可得出结论.【详解】（1）依题意213422x x x ++->+.若21x <-，原式化为213422x x x ---+>+，解得17x <，故21x <-； 若1423x -≤≤，原式化为213422x x x +-+>+，解得1x <，故112x -≤<；若43x >，原式化为213422x x x ++->+，解得53x >，故53x >.综上所述，不等式()22f x x >+的解集为()5,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）依题意21341x x k x ++-≥-， 显然0k ≤时该式成立.当0k >时，在同一直角坐标系中分别作出()y f x =，1y k x =-的图象，如图所示. 观察可知，临界状态为曲线1y k x =-过点111,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时113k =，故1103k <≤. 综上所述，实数k 的取值范围为11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了函数不等式恒成立问题，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于中等题.。
天一大联考2020-2021学年高三上学期高中毕业班阶段性测试(三) 文科数学
天一大联考2020-2021学年高中毕业班阶段性测试(三)文科数学一､选择题1. 已知集合{}2540A x x x =-+<，{}13B x x =-<<，则A B =（ ）A. {}13x x <<B. {}14x x -<<C. {}11x x -<<D. {}34x x <<A解出集合A ，利用交集的定义可求得集合A B .由2540x x -+<得14x <<，所以{}14A x x =<<，所以{}13A B x x ⋂=<<.故选：A. 2. 已知53zi i =+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限D根据复数运算求出z ，将写出复数点的坐标，判断象限. 解：因为53zi i =+，所以313iz i i+==-， 所以z 在复平面内对应的点为()1,3-，z 在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．3. 某超市今年1月至10月各月的收入、支出（单位：万元）情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）A. 收入和支出最低的都是4月B. 利润（收入 支出）最高为40万元C. 前5个月的平均支出为50万元D. 收入频数最高的是70万元D根据折线图提供的数据判断各选项．解析对于A，由折线图知，收入和支出最低的都是4月，故A正确. 对于B，利润最高的是7月份，为40万元，故B正确.对于C，前5个月的支出(单位：万元)分别为50，70，40，30，60，平均数为50万元，故C正确.对于D，收入(单位：万元)为100，90，80，70，60，50的频数分别为1，3，2，2，1，1，因此收入频数最高的为90万元，D错误.故选：D．4. 三国时期的吴国数学家赵爽根据一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，他所绘制的勾股圆方图被后世称为“赵爽弦图”.如图所示的图形就是根据赵爽弦图绘制而成的，图中的四边形都是正方形，三角形都是相似的直角三角形，且两条直角边长之比均为2.现从整个图形内随机取一点，则该点取自小正方形（阴影部分）内的概率为（）A. 19B.125C.116D.136B本题首先可给各点加上标签，然后设HL x，计算出正方形HEFG的面积以及正方形IJKL的面积，再然后用同样的方法算出正方形ABCD的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出结果.如图，给各点加上标签：设HL x ，则2EL x ，5HE x ，正方形HEFG 的面积为25x ，正方形IJKL 的面积为2215422x x x x ，则正方形IJKL 的边长为x ， 同理可得5AE x =，25DEx ，5AD x =，则正方形ABCD 的面积为225x ， 故该点取自小正方形内的概率2212525x Px ，故选：B .5. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则其解析式可以是（ ）A. ()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. ()52sin 26πx x f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C. ()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. ()22sin 3x πx f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B由图象可得出函数()f x 的最小正周期，可得出ω的值，再将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()f x 的解析式，可得出ϕ的表达式，由此可得出函数()f x 的解析式.由图知()f x 的最小正周期54126⎛⎫=-= ⎪⎝⎭T πππ，22T πω∴==，可得2ω=±， 若2ω=，则()()2sin 2f x x ϕ=+，2sin 22sin 2663f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，sin 13πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，可得()232k k Z ππϕπ+=+∈，解得()26k k Z πϕπ=+∈，此时，()2sin 222sin 266f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若2ω=-，则()()2sin 2f x x ϕ=-+，2sin 22sin 2663f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，sin 13πϕ⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，可得()232k k Z ππϕπ-+=+∈，解得()526k k Z πϕπ=+∈，此时，()552sin 222sin 266f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B. 方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.6. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足1314a a =，241a a =，则11a =（ ） A. 64 B. 128C. 256D. 512C设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，根据已知条件求得1a 、q 的值，由此可求得11a 的值.设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，由已知条件可得22131********a a a q a a a q ⎧==⎪⎨⎪==⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，101081111222564a a q ==⨯==.故选：C.7. 已知变量y 关于变量x 的回归方程为0.5ˆbx ye -=，其一组数据如下表所示：若9.1ˆye =，则x =（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8B【分析】先通过对0.5ˆbx ye -=两边同时取对数转化为线性关系，然后求出样本点中心，进而可求出b ，则可得 1.60.5ˆx ye -=，再令 1.60.59.1x e e -=可得x 的值. 解：由ˆy =e bx -0.5，得ln ˆy =bx -0.5，令z =ln y ，则ˆz =bx -0.5. 12344x +++==2.5，13464z +++==3.5，因为(x z ，)满足ˆz =bx -0.5， 所以3.5=b ×2.5-0.5，解得b =1.6，所以ˆz =1.6x -0.5，所以 1.60.5ˆx ye -=，令 1.60.59.1x e e -=，解得6x =.故选：B. 关键点点睛：对于非线性回归方程，需要通过变形转化为线性方程，然后才能通过公式求解. 8. 已知直线l ：340x y m -+=与圆C ：226430x y x y +-+-=有公共点，则实数m 的取值范围为（ ） A. ()3,37 B. []37,3-C. []3,4D. []4,4-B由直线与圆有公共点转化为圆心到直线的距离小于等于半径即可求解. 因为圆C 的标准方程为()()223216x y -++=， 所以()3,2C -，半径4r =，所以点C 到直线:340l x y m -+=175m+=，根据题意可知1745m+≤，解得373m -≤≤.故选：B9. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A. 42B. 42-C. 170-D. 682-C根据程序框图，逐步执行，即可得出结果. 因为1i =，0S =，第一次循环：()1022S =+-=-，123i =+=； 第二次循环：()32210S =-+-=-，325i =+=； 第三次循环：()510242S =-+-=-，527i =+=；第四次循环：()7422170S =-+-=-，7298i =+=>，终止循环， 所以输出S 的值为170-.故选：C.10. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，A 在C 的左支上，1AF x ⊥轴，A 、B 关于原点对称，四边形12AF BF 的面积为48，则12F F =（ ） A. 8 B. 4 C. 83 D. 3A设122F F c =，求出1AF ，由题意可知四边形12AF BF 为平行四边形，根据四边形12AF BF 的面积为48可得出关于a 的等式，由此可求得12F F . 设122F F c =，由于双曲线的离心率为2ce a==，2c a ∴=，则223b c a a =-， 所以，双曲线C 的方程为222213x y a a-=，即22233x y a -=，将x c =-即2x a =-代入双曲线C 的方程可得3y a =±，13AF a ∴=，由于A 、B 关于原点对称，1F 、2F 关于原点对称，则四边形12AF BF 是平行四边形， 四边形12AF BF 的面积2341248S a a a =⨯==，解得2a =，12248F F c a ∴===.故选：A. 关键点点睛：本题考查双曲线几何性质的应用，利用四边形的面积求双曲线的焦距，解题的关键就是利用双曲线的离心率将双曲线的方程转化为只含a 的方程，在求解相应点的坐标时，可简化运算.11. 若实数a ，b 满足22a a =-，()2log 13b b -=-，则a b +=（ ） A. 3 B.103C.72D. 4A由题可得a 和3b -是方程22x x +=的两个根，根据方程22x x +=有唯一实根可得3a b =-. 由条件可知22a a +=，312b b --=，即()3232bb -+-=，即a 和3b -是方程22x x +=的两个根，因为函数2x y x =+在R 上单调递增，因此方程22x x +=有唯一实根， 所以3a b =-，因此3a b +=.故选：A.本题考查与对数指数相关的方程，解题的关键是得出a 和3b -是方程22x x +=的两个根.12. 某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为23π，面积为3π的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）A. 64B.2716πC.98π D.32π C由已知可求出圆锥母线长，进而求出底面半径和圆锥的高，再由勾股定理即可求出球半径，得出球表面积.解析设圆锥的母线长为l ，则侧面积212233S l ππ=⨯=，所以1l =. 设圆锥的底面半径为r ，则223r l ππ=，所以13r =，所以圆锥的高3h ===因为h r >，所以球心在圆锥的高上.设外接球的半径为R ，由()222R h R r =-+，得222133R R ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得R ，所以球的表面积为2294488R πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C.本题考查圆锥外接球问题，解题的关键是正确建立球内勾股关系，求出球半径. 二､填空题13. 已知x 、y 满足约束条件2360330330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则32z x y=-的最大值为______.152作出不等式组2360330330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩所表示的可行域，平移直线32z x y =-，找到使得该直线在x 轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.如图所示，作出不等式组2360330330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域，平移直线32z x y =-，解方程组330330x y x y +-=⎧⎨++=⎩，得3232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即33,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线32z x y =-经过点A 时，直线32z x y =-在x 轴上的截距最大，此时，目标函数32z x y =-取得最大值，所以max 331532222z ⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭.故答案为：152. 思路点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属于简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 14. 已知1,0A ，(),2B m ，()0,5C ，若254AB BC ⋅=，则m =______. 12由向量数量积的坐标表示计算．解：由条件得()1,2AB m =-，(),3BC m =-，所以()()2251,2,364AB BC m m m m ⋅=-⋅-=-++=，解得12m =. 故答案：12． 15. 已知曲线2x y e x =++在点()()0,0f 处的切线与曲线27y x kx =++也相切，则实数k =______.2-或6【分析】首先利用导数的几何意义得到切线方程为23y x =+，再根据直线23y x =+与抛物线27y x kx =++相切，即可得到()2Δ2160k =--=，从而得到答案.()2x f x e x =++，则()1x f x e '=+，()0012f e '=+=，又因为()03f =，所以切线方程为23y x =+， 因为直线23y x =+与抛物线27y x kx =++相切， 所以方程2723x kx x ++=+有两个相等的实数根，()2Δ2160k =--=，解得2k =-或6.故答案为：2-或616. 已知抛物线C ：22y px =（0p >），以()2,0P -为圆心，半径为5的圆与抛物线C 交于A ，B 两点，若17OA =（点O 为坐标原点），则p =______.8在AOP 中，利用余弦定理求得cos AOP ∠，进而得到cos AOx ∠，然后由17OA =，求得点A 的坐标，代入抛物线方程求解. 如图所示：在AOP 中，5AP =，2OP =，17OA =由余弦定理得22217cos 217OP OA AP AOP OP OA +-∠==-⋅， 所以17cos AOx ∠=，所以()1,4A ，代入方程()220y px p =>，解得8p =. 故答案为：8 三､解答题17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin 2A B a b ca b abc+-+=. （1）求sin C 和cos C ；（2）若a =，ABC 的面积为2，求c .（1）sin C =cos C =（2）c =（1）由正弦定理和余弦定理、结合同角三角函数的基本关系可得出关于sin C 、cos C 的方程组，结合()0,C π∈可求得sin C 和cos C 的值；（2）由三角形的面积公式可求得ab =，再由a =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值.（1）由余弦定理，222sin sin 2A B a b c a b abc+-+=可化为sin sin cos A B C a b c +=， 再由正弦定理可得sin sin cos 2sin sin sin A B CA B C+==，又因为22sin cos 1C C +=，()0,C π∈，可得sin C =，cos C =；（2）因为1sin 22ABC S ab C ==△，所以ab =，因为a =，所以a =2b =.由余弦定理得2222cos 2042285c a b ab C =+-=+-⨯⨯=，所以c =方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，15a =，10185S =，115a b =，3221a b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T . （1）32n a n =+，112n n b -=；（2）138162n n -+-. （1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由等差数列前n 项和公式求得d 后可得通项公式n a ，然后求得12,b b ，得公比q ，得通项公式n b ； （2）用错位相减法求和n T ．（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q . 因为15a =，1011045185S a d =+=，解得3d =. 所以()53132n a n n =+-=+.由115a b =得11b =，由3221a b =得212b =，所以{}n b 的公比12q =， 所以112n n b -=. （2）由（1）得()11322n n n a b n -=+⋅， 所以()211115181132222n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，所以()231111158113222222n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式相减得()2111111233333222222n n n T n -=++⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯()111223321212nn n -=+⨯-+⨯-3882n n +=-.所以138162n n n T -+=-. 方法点睛：本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，考查错位相减法求和．数列求和的常用方法：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．19. 某河蟹养殖场今年在临近收获前，随机抽取了100只河蟹逐个称重，重量（单位：g ）数据经过整理得到如下的频率分布直方图规定重量不低于190g 的为优等蟹，重量低于190g 的为普通蟹.（1）估计今年的河蟹为优等蟹的概率； （2）估计今年河蟹重量的中位数；（3）该养殖场今年一共收获了10000只河蟹，根据市场行情，优等蟹按数量卖，价格为20元一只，普通蟹按重量卖，价格为60元/kg ，估计该养殖场今年的销售额.（每组数据以该组区间的中点值为代表）（1）0.35；（2）185g ；（3）138850元.（1）根据频率分布直方图计算出重量不低于190g 的频率，即为所求；（2）设中位数为x ，根据中位数左边的矩形面积之和为0.5列等式可解出x 的值，即为所求； （3）分别计算出优等蟹和普通蟹的销售额，相加可得结果.（1）估计今年的河蟹为优等蟹的概率为()0.0250.010100.35P =+⨯=； （2）设中位数为x ，前三个矩形的面积之和为()0.0050.010.02100.35++⨯=， 前四个矩形的面积之和为()0.0050.010.020.03100.65+++⨯=，所以[)180,190x ∈，由题意得()()0.0050.0100.020100.0301800.5x ++⨯+⨯-=，解得185x =； （3）记今年优等蟹的数量为0.35100003500⨯=（只），普通蟹的总重量为()1550.051650.11750.21850.3100001147500g ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，即1147.5kg ， 所以估计该养殖场今年的销售额为3500201147.560138850⨯+⨯=元.20. 如图所示，四面体ABCD 的顶点都在圆柱的上、下底面圆周上，且AB 是下底面圆的直径，BC 是圆柱的母线.（1）求证：AD CD ⊥；（2）若AB BC =，异面直线AB 与CD 所成的角为30，且圆柱的侧面积为4π，求四面体ABCD 的体积.（1）证明见解析；（23. （1）过点D 作圆柱的母线DE ，连接AE 、BE ，推导出//CD BE ，BE ⊥平面ADE ，可出CD ⊥平面ADE ，进而可得出AD CD ⊥；（2）利用圆柱的侧面积求得2AB BC ==，由//CD BE 结合异面直线所成角的定义可得出30ABE ∠=，可计算得出1AE =，3BE =进而可计算得出ABE △的面积，由四边形BCDE为平行四边形可得出A BCD A BDE D ABE V V V ---==，利用锥体的体积公式计算可得出结果. （1）如图，过点D 作圆柱的母线DE ，连接AE 、BE ，因为母线DE 与底面ABE 垂直，BE ⊂平面ABE ，BE DE ∴⊥， 因为AB 是底面圆的直径，所以AE BE ⊥， 又AEDE E =，所以BE ⊥平面ADE ，因为//DE BC 且DE BC =，则四边形BCDE 为平行四边形， 所以，//CD BE ，所以CD ⊥平面ADE ， 又AD ⊂平面ADE ，所以AD CD ⊥；（2）圆柱侧面积为4πAB BC π⋅⋅=，所以2AB BC ==.因为异面直线AB 和CD 所成的角为30，且//BE CD ，所以30ABE ∠=︒， 所以1AE =，3BE =132ABE S AE BE =⋅=△， 由于四边形BCDE 为平行四边形，则BCDBDESS=，所以，1133233A BCD A BDE D ABE ABE V V V S DE ---===⋅==△. 方法点睛：求解几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．21. 已知函数()()2ln f x a x x a R =-∈.（1）讨论()f x 的单调性； （2）若1a =，证明：()211xx e f x x>--. （1）答案见解析；（2）证明见解析.（1）求得函数()f x 的定义域为()0,∞+，()22a x f x x-'=，对实数a 的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调性； （2）将所证不等式变形为11ln x x x e+>，构造函数()1ln g x x x =+，利用导数求得()1g x ≥，求得()110x x e<>，由此可证得结论成立. （1）由题易知()f x 的定义域为()0,∞+，()222-'=-=a a x f x x x x. 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，因此()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0f x '>，得0x <<；令()0f x '<，得x >故()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减； （2）当1a =时，()2ln f x x x =-，不等式()211xx e f x x>--即11ln x x x e +>， 令()1ln g x x x =+，则()22111x g x x x x='-=-，令()0g x '=，得1x =.所以当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增. 所以()()11g x g ≥=. 又当0x >时，11xe <，所以11ln x x x e +>，故原不等式得证. 方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f xg x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为3，左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 和点()0,1的直线与椭圆交于M ，N 两点，2F 到直线MN（1）求椭圆C 的方程；（2）若点()0,P t 满足63355PM PN t ⋅≤+，求PMN 的面积的最大值.（1）22132x y +=；（2）5. （1）写出直线MN 方程，由点到直线距离公式可求得1c =，再由离心率得a ，从而求得b 后得椭圆方程；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 方程代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，计算,PM PN ⋅由63355PM PN t ⋅≤+得t 的范围，再由弦长公式得弦长MN ，从而得出PMN 的面积，由t 的范围可得最大值． （1）设()1,0F c -，()2,0F c ，0c >. 直线MN 过点1F 和点()0,1，则其方程为11y x c=+， 因为2F 到直线MN=1c =.由3c e a ==得a =222312b a c =-=-=， 所以椭圆C 的方程为22132x y +=. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由（1）知直线MN 的方程为1y x =+，由221,321x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得25630x x +-=，所以1265x x +=-，1235x x =-，所以1264255y y +=-+=，12121236411555y y x x x x =+++=--+=-.所以()()1122,,PM PN x y t x y t ⋅=-⋅-()2121212x x y y t y y t =+-++2344555t t =---+24755t t =--根据条件2476335555t t t --≤+，解得24t -≤≤.又因为12x x -==所以PMN 的面积121112PMN S x x t =--=-△，当2t =-或4t =时，PMN 的面积最大，最大值为5. ：方法点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线与椭圆交点为1122(,),(,)M x y N x y ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，并把这个结果代入PM PN ⋅求得t 的范围，代入三角形面积公式得面积的表达式，从而可求得最大值．。
天一大联考2020-2021学年高三年级上学期期末考试 语文 含答案 2021.2.1
命题透析 本题考查文言文断句的能力。 11答 ． 案 C
命题透析 本题考查理解文中古代文化常识的能力。 思路点拨 “ 特指由皇帝发出的”表述不当。从文中语境亦可推断，檄文的发出方是宗龙，而并非皇帝。 12．答案 C
命题透析 本题考查归纳内容要点、概括中心意思的能力。 思路点拨 ”并不认同”表述错误，原文说“ 宗龙初入见，即言民穷财尽。 帝颇然之…… ＂，可以看出皇帝对 宗 龙民穷财尽的看法是认同的，只是后来宗龙不停地讲论，引起了皇帝的不悦。 13 命 ． 题透析 本题考查理解并翻译文中句子的能力。 答案 (1)奏请朝廷下达诏令让宗龙专职管理军务，给他设置中军的旗鼓仪仗，副将以下的官员任他赏罚，朝 廷许可了。（关键词＂敕＂＂裨将““ 听 ＂的翻译各 1 分，大意 2 分） (2) 皇帝拍着大腿想起了宗龙说：＂假使宗龙巡抚四川，贼兵怎么能达到这种地步！＂催促就在家中起用宗龙。 （关键词＂拊脾 ”“ 安 ＂＂趣 ＂的翻译各 1 分，大意 2 分） 参考译文
他学会独立担当；＠寻找大鱼吐出的气泡时，持续趴在冰面，这是教他要有不畏严寒的血性；＠探冰的日子里滴 酒不沾，这让他学会了谨慎、负责；＠当他拿不准冰眼位置时，师傅告诉他：＂一 半经验，一 半信，才能找到鱼。” 这话鼓励他更加自信；＠小说的结尾，师父的话，“ 你记着，人活不过湖！大鱼，一 直都在湖里！”指引 他葆有 谦卑之心与敬畏之心。 (3 分，任意答出一处精神指引即可。若有其他答案，言之成理亦可） 9命 ． 题透析 本题考查对文章叙事艺术的分析能力。 答案 心穿插自然环境描写，营造出寒冷凛洌的气氛，侧面烘托出鱼把头冬捕的困难环境与他克服困难、完成任 务的不易，也使得鱼把头和师父的形象更加立体。＠穿插社会环境描写，如“ 供桌、敖包、鼓声、铃音，口口相传的 经文”，让读者更深切地感受到冬捕的风俗，使得小说更具地域性与历史感。＠穿插心理描写，主要是鱼把头心
2020-2021学年河南省天一大联考高三(上)期末数学试卷(文科) (解析版)
2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．62．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．23．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．124．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．1856．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．平面向量，若，则λ＝．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6解：∵A＝{x|0＜x＜5}，B＝Z，∴A∩B＝{1，2，3，4}，∴A∩B中元素的个数为：4．故选：B．2．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．2解：设z＝a+bi，则，因为z+2＝3﹣i，所以a+bi+2（a﹣bi）＝3﹣i，所以3a﹣bi＝3﹣i，所以3a＝3，﹣b＝﹣1，所以a＝1，b＝1，所以z＝1+i，故|z|＝．故选：B．3．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．12解：在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，设袋中球的总数为n，∵袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，∴，解得n＝10．则袋中球的总个数为10．故选：C．4．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．解：塔顶是正四棱锥P﹣ABCD，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面积为，因为，所以，所以△PAB是正三角形，面积为，所以．故选：D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．185解：i＝0，a＝1，b＝1；第一次执行循环体后，a＝3，b＝2，不满足退出循环的条件，i＝1；第二次执行循环体后，a＝7，b＝5，不满足退出循环的条件，i＝2；第三次执行循环体后，a＝15，b＝14，不满足退出循环的条件，i＝3；第四次执行循环体后，a＝31，b＝41，满足退出循环的条件；故输出a+b值为72，故选：C．6．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④解：因为，所以b＞a＞0，所以，故①正确；|b|＞|a|，故②错误；b3＞a3，故③错误；由指数函数f（x）＝为减函数，又b＞a，所以f（a）＞f（b），即，故④正确，故正确的是①④．故选：D．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π解：∵点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，∴AB＝，点C是f（x）的一个最值点，则△ABC的高为2，∴三角形的面积S＝＝1，∴T＝2，∴＝2，∴ω＝π，故选：D．8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．解：因为函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，所以f（﹣x）＝e﹣x+e x﹣（﹣x）2＝e x+e﹣x﹣x2＝f（x），所以函数为偶函数，又f′（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，故f″（x）＝e x+e﹣x﹣2≥0，所以f′（x）在R上单调递增，又f'（0）＝0，所以f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）等价于|2m|＞|m﹣2|，解得或m＜﹣2．故选：A．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．解：△ABC中，因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A+C，又A+B+C＝π，所以B＝．有余弦定理，可得b2＝a2+c2﹣2ac cos60°＝（a+c）2﹣3ac，即72＝132﹣3ac，所以ac＝40．所以△ABC的面积S＝ac sin B＝10．故选：C．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．解：由AB＝AC＝2，得cos∠BAC＝＝，则sin∠BAC＝，设OABC的外接圆半径为r，则2r＝＝＝8，所以r＝4，则球心O到平面ABC的距离等于＝3，则△ABC的面积S＝2×＝7，故三棱锥O﹣ABC的体积为＝7．故选：A．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．解：根据题意，函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），则f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为2的周期函数，又由f（x）为奇函数，则＝f（﹣log2257）＝f（8﹣log2257）＝﹣f（log2257﹣8），而8＝log2256＜log2257＜log2512＝9，则0＜log2257﹣8＝log2＜1，且当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝﹣f（log2）＝﹣（）＝﹣，故选：D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．解：∵直线3x+y﹣6＝0与直线x﹣3y+8＝0垂直，且交点为（1，3），∴以AB为直径的圆过点（1，3），又圆C与x轴相切，∴圆C的面积最小时，其直径恰好为点（1，3）到x轴的距离，此时圆的直径为3，则圆C面积的最小值为．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量，若，则λ＝．解：∵向量，∴﹣＝（3，﹣1），λ+＝（2λ﹣1，2λ+3）．∵，∴3（2λ﹣1）﹣1×（2λ+3）＝0，解得λ＝，故答案为：．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），联立，解得B（1，2），令z＝x﹣y，化为y＝x﹣z，作出直线x﹣y＝0，把直线平移，由图可知，当直线经过A时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最小，z有最大值1，当直线经过B时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最大，z有最小值﹣1，∴x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+∞）．解：f（x）的零点个数等价于曲线y＝|e x﹣a|与直线y＝1的交点个数，作出函数图象如图所示，由题意可知a＞1．故答案为：（1，+∞）．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．解：由题意知，A（﹣a，0），B（a，0），F（﹣c，0），把x＝﹣c代入双曲线方程中，有，∴y＝±，∴P（﹣c，），Q（﹣c，﹣），∵AP⊥BQ，∴＝（﹣c+a，）•（﹣c﹣a，﹣）＝c2﹣a2﹣＝0，化简得，a2＝b2，即a＝b，∴双曲线的离心率e＝＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．解：（Ⅰ）由题意，可得，整理，得S n＝2a n﹣2，当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，可得S n﹣1＝2a n﹣1﹣2．两式相减，可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，化简整理，得a n＝2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，n∈N*，（Ⅱ）由（Ⅰ），可得b n＝log4a n+1＝log42n+1＝，则，∴T n＝++…+＝4×（﹣）+4×（﹣）+…+4×（﹣）＝＝＝．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．解：（Ⅰ）由题意（0.005+0.010+a+0.030+a+0.015）×10＝1，解得a＝0.020．（Ⅱ）这些应聘者笔试成绩的平均数为：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15＝74.5．（Ⅲ）根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x，根据频率分布直方图可知x∈[60，70），且（70﹣x）×0.02+0.3+0.2+0.15＝0.75，解得x＝65．故估计应该把录取的分数线定为65分．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可得BD2＝AD2+AB2﹣2AB×AD cos∠BAD＝16，所以AD2+BD2＝AB2，因此AD⊥BD．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥BD．又因为AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1，DD1⊂平面ADD1，所以BD⊥平面ADD1，因为BD⊂平面DBE，所以平面DBE⊥平面ADD1．（Ⅱ）解：如图，在平面BCC1内作C1F⊥BE，垂足为F．由（Ⅰ）知BD⊥平面ADD1，因为平面ADD1∥平面BCC1，所以BD⊥平面BCC1，所以BD⊥C1F，又因为BD∩BE＝B，所以C1F⊥平面BDE．所以线段C1F的长就是点C1到平面BDE的距离．因为CC1＝DD1＝BD＝4，BC＝3，所以．在平面BCC1内，可知△BCE∽△C1FE，所以，得，所以点C1到平面BDE的距离为．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．解：（Ⅰ）设椭圆，根据条件可知，且，解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C1的标准方程为，曲线C2是以为焦点，为准线的抛物线，故C2的标准方程为y2＝9x；（Ⅱ）联立，解得x＝1，y＝±3，不妨取P（1，3），若直线l的斜率不存在，Q和R重合，不符合条件；故可设直线l：y＝k（x﹣1）+3，由题意可知k≠0，联立，解得，联立，解得，因为，所以P是QR的中点，所以，即，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x+2，其与x轴的交点坐标为（﹣2，0）．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数为．（1分）所以．又因为f（1）＝0，f（e）＝0，因此y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线方程分别为y＝﹣x+1和．令y＝1，可得M和N的坐标分别为（0，1）和，故．（Ⅱ）因为在（0，+∞）上单调递增，而，所以必然存在x0∈（1，2），满足f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0））时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．即f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，当x＝x0时，f（x）取得最小值f（x0）＝x0lnx0+1﹣x0﹣lnx0．由f′（x0）＝0，可得，所以．当x0∈（1，2）时，，所以．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．解：（Ⅰ）设直线l1和l2的倾斜角分别为β和γ，由参数方程知，则．（Ⅱ）令，得，所以A（1，0），令，得，所以B（﹣2，0），所以圆A的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝9，即x2+y2﹣2x＝8，所以圆A的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|2x+1|＝；当x≥1时，不等式f（x）≤5化为3x≤5，解得；当时，不等式f（x）≤5化为x+2≤5，解得；当时，不等式化为﹣3x≤5，解得．综上所述，不等式f（x）≤5的解集为．（Ⅱ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|≥|x+1+1﹣x|＝2，当且仅当﹣1≤x≤1时，等号成立，即f（x）的最小值为2．因为存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，所以2m﹣1＞2．解得，所以m的取值范围是．。
河南省天一大联考2020-2021学年高三上学期期末考试-语文
河南省天一大联考2020-2021学年高三上学期期末考试语文试题祝考试顺利注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1-3题。
《诗经》是周代诗礼文化的重要内容，也是礼制建设的有机组成部分，更是实现礼乐文明建构的重要途径。
就《诗》与礼这两个异质元素的融合形态而言，在以“吉礼”“凶礼”“宾礼”“军礼”“嘉礼”等“五礼”为核心内容的礼仪制度规范定型化过程中，在以“君臣”“夫妇”“父子”“兄弟”“朋友”等“五伦”为核心内容的伦理道德规范定型化过程中，诗人常常都会以歌功颂德方式，将二者融合为一个有机体；在“五礼”“五伦”社会化过程中，诗人往往都会以讥失匡恶的方式，将二者融合为一个有机体。
而使《诗》与“礼”融合的介质，则是“乐”。
这就是《诗》与“礼”这两个异质元素融合的内在机制。
前者以《周颂》与《大雅》《小雅》中的大部分诗篇为代表，后者以十五“国风”中大部分诗篇为代表。
故孔子谓“诗之所至，礼亦至焉”。
（《礼记·孔子闲居》）。
在“国风”透露出“五礼”“五伦”相关信息的诗篇中，除了《周南》《召南》《豳风》主要采用歌功颂德方式之外，其他诗篇大多采用讥失匡恶方式。
这些以讥失匡恶方式来透露“五礼”“五伦”相关信息的诗篇，就不仅仅是一种艺术化的“礼”，更是通过艺术途径来干预社会生活而重建礼制的重要途径，也是一种通过“讥刺”方式来维护礼制的具体表现。
这充分表现出诗人在国运兴衰、政治清乖的危急关头，具有一种强烈的社会责任感与浓郁的政治情怀，从而展现出他们深重的忧患意识和强烈的批判精神。
比如，郑庄公寤生继立之后，弟共叔段依恃母武姜之宠，初居于京，城邑建制超出定制，既而扩张至西鄙、北鄙，且私下聚粮草、缮甲兵，欲以武姜为内应来突袭庄公。