工程力学A-单辉祖-第12章(弯曲变形)教学提纲
工程力学课后习题答案单辉祖著
工程力学课后习题答案单辉祖著工程力学课后习题答案（单辉祖著）在学习工程力学这门课程时，课后习题的练习与答案的参考对于巩固知识、加深理解起着至关重要的作用。
单辉祖所著的《工程力学》一书，以其严谨的逻辑和丰富的内容，成为众多学子学习工程力学的重要教材。
下面，我们将为您详细呈现这本教材的课后习题答案。
首先，让我们来谈谈第一章的习题。
在这部分中，主要涉及到静力学的基本概念和受力分析。
例如，有一道题是关于一个简单的支架结构，要求画出其受力图。
对于这道题，我们需要明确各个构件之间的连接方式，判断是固定铰支座、活动铰支座还是其他约束类型，然后根据力的平衡条件，准确地画出每个构件所受到的力。
答案中，我们清晰地标注了各个力的大小、方向和作用点，并且通过合理的布局，使受力图易于理解。
第二章的习题重点围绕平面汇交力系和平面力偶系展开。
其中，有一道计算题要求计算多个力在某一点的合力。
在解答这道题时，我们首先将每个力分解为水平和垂直方向的分力，然后分别计算水平和垂直方向上的合力，最后通过勾股定理求出总的合力大小和方向。
答案的给出过程中，每一步的计算都有详细的说明，让学习者能够清晰地看到解题的思路和方法。
第三章的内容是平面任意力系。
这一章的习题难度有所增加，涉及到力系的简化、平衡方程的应用等。
比如，有一道题是求解一个复杂结构在给定载荷下的支座反力。
解题时，我们先对力系进行简化，找到主矢和主矩，然后根据平衡方程列出方程组，通过求解方程组得到支座反力的大小和方向。
答案中不仅给出了最终的结果，还展示了求解方程组的具体步骤和计算过程，方便学习者对照检查自己的解题过程。
第四章是空间力系。
这部分的习题对于空间想象力和数学运算能力有一定的要求。
例如，有一道题要求计算空间力在坐标轴上的投影以及对某点的矩。
在解答时，我们需要运用空间直角坐标系的知识，通过三角函数等方法求出投影的大小，再根据矩的定义计算出对某点的矩。
答案中会详细说明投影和矩的计算过程，并且配以适当的图示，帮助学习者更好地理解空间力系的概念。
工程力学弯曲变形教学课件
复合弯曲
构件在多个方向上的弯曲，如螺 旋弹簧。
特点
弯曲构件应力状态复杂，难以直 观描述。
弯曲变形的应用领域
建筑结构
如板材、梁、柱等结构的设计。
管道工程
例如油气管道的输送、变形与控制。
车辆工程
比如汽车、火车的车体、悬挂、轮轴等的设计。
机械制造
如转子、齿轮的制造及加工工艺的设计。
工程力Байду номын сангаас弯曲变形的研究方法
工程实例分析：高速铁路钢轨的弯曲变形
1 设计要求
2 轨道变形及寿命
3 分析方法
轨道线形和理论分析准确， 轨道表面平整，满足高速 列车的舒适性要求。
铁路轨道在使用过程中会 发生弯曲变形和垂向变形， 会影响轨道寿命和车辆行 驶安全。
载荷计算、应力分析、变 形分析、疲劳寿命分析、 几何形状优化等方法。
弯曲变形未来发展趋势
2 应用
纯弯曲在平面构件及杆件的弯曲变形分析有广泛应用，而复合弯曲则常见于薄壳结构的 变形分析。
工程力学对弯曲变形的判定准则
1
最大应力准则
理想的弯曲构件上，弯曲应力分布处，最大应力是许容应力的一定倍数。
2
最大应变准则
理想的弯曲构件上弯曲应变分布处，最大应变是许容应变的一定倍数。
3
能量方法
包括弯曲形态能、应变能等计算方法。
2 影响
材料弹性模量越大，弯曲变形的刚度越大；模量越小，刚度越小。
不同材料的弯曲特性
铝合金
木材
弯曲特性良好，重量轻，易加工， 耐腐蚀性能好。
弯曲特性较好，在建筑结构、家 具等领域有广泛应用。
钢材
弯曲特性相对较强，适用于制造 各种构件。
基础理论：欧拉梁理论
12第十二讲(弯曲正应力)
材料力学教案
M z y d A
A
第十二讲：弯曲正应力计算
E
r
A
y dA
2
EI z
r
M
(c)
由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为
M r EI z 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，
梁横截面上的弯矩M 不随截面位置变化。故对于等截面的
1
直梁，包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。
3、纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 r dx
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是
梁的横截面与侧表面的交线（由表及里），可作出如下推论
(假设)：
平面假设
梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，
只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。 此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。 三峡大学 工程力学系
将 E 代入，即得弯曲正应力计算公式：
r
y
My Iz
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
二. 纯弯曲理论的推广－横力弯曲中正应力的计算
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时，对于梁在
纯弯曲时所作的假设不再成立。
《工程力学》课程教学大纲
《工程力学》课程教学大纲课程名称：工程力学课程类别：专业基础课教学学时: 72课程学分: 4学分开课专业: 工程管理开课学期: 第2学期参考教材:1. 《工程力学》，高等教育出版社，2004年1月（主编：单辉祖，谢传锋）2. 《工程力学》，黄河水利出版社，2009年7月（主编：孟凡深）一、课程性质《工程力学》课程是工程管理专业的一门专业基础必修课。
本课程是一门理论性、系统性较强的专业基础课必修课，是后续其它各门力学课程和相关专业课程的基础，同时在许多工程技术领域中有着广泛的直接应用。
二、课程目标（一）知识目标使学生具备工程力学的基础知识，掌握正确的受力分析和力系的破坏平衡条件。
对工程结构中杆件的强度问题具有明确的概念和一定的计算能力。
初步掌握杆件体系的分析方法，初步了解常用结构形式的受力性能。
掌握各种结构在荷载作用下维持平衡的条件以及承载能力的计算方法。
（二）职业技能目标掌握本专业必备的基础理论知识，具有本专业相关领域工作的岗位能力和专业技能，适应建筑工程生产一线的技术、管理等职业岗位群要求的技术及管理人才。
（三）素质养成目标培养适应社会主义现代化建设需要的德、智、体、美全面发展的高端应用型人才。
三、教学内容及学时分配章节教学内容学时第一章绪论 1第二章静力学基本知识 4第三章平面汇交力系 3第四章平面一般力系的简化8第五章一般力系的平衡10第六章材料力学基本知识 2第七章轴向拉伸与压缩10第八章剪切和挤压 2第九章扭转 2第十章截面的几何性质 2第十一章梁的弯曲14第十二章梁的变形 4第十三章应力状态和强度理论 4第十四章组合变形 4第十五章压杆稳定 2合计72四、教学内容要点第一章绪论教学学时数：1一、教学目的及要求通过本章的学习，要求学生了解工程力学的研究对象和任务，了解国内外力学发展史及概况，并对其发展与展望作简单介绍，激发学生学习兴趣。
二、教学重点与难点（一）教学重点：1、工程力学课程的性质、任务和要求。
工程力学第12章弯曲变形
AC段 (0 ≤ x ≤ a) 段 BC段 (a ≤ x ≤ L) 段 Fb 2 Fb 2 F EIω1' = EIθ1 = x + C1, EIω2 ' = EIθ2 = x − (x − a)2 + C2 , 2L 2L 2 Fb 3 EIω1 = x + C1x + D , EIω2 = Fb x3 − F (x − a)3 + C2 x + D2 , 1 6L 6L 6 3、确定常数 、 边界条件： 边界条件：
θA 。
X
解：取参考坐标系Axy。 取参考坐标系 。 1、列出梁的弯矩方程 、
d 2ω M(x) 2、 、 2 = dx EIz
(0 ≤ x ≤ L)
1 2 EIω"= − qx 2 积分一次： 积分一次：EIω' = EIθ = − 1 qx3 + C（1） ） 1 46 积分二次： 积分二次： EIω = − qx + Cx + D （2） ） 24
2、积分常数的确定——边界条件和连续条件： 、积分常数的确定 边界条件和连续条件： 边界条件和连续条件 边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的 边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的， 已知条件称为边界条件。 已知条件称为边界条件。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因 此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度 值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。 值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。
二、分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次 分段列出梁的挠曲线近似微分方程， 1、对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程： 、对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：
工程力学A 平面弯曲ppt
Pa(l x) 2 x a 2 2lx w2 6lEI
四
用叠加法求弯曲变形
叠加原理：梁的变形微小， 且梁在线弹性范
围内工作时， 梁在几项荷载（可以是集中力,
集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转
角， 就分别等于每一荷载单独作用下该截面
的挠度和转角的叠加。 这就是叠加原理。
例题: 一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如 图 所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度 wC和支座处横截面的转角A ,B 。 m
z
y x
（4）纯剪切应力状态
E
τ
max
三、
平面应力状态的分析 平面应力状态的普 遍形式如图所示
σy
τy
σx
a d
τx
y
σx
y
x
y
τx
τy σy
c
x
x
x
x
b
y
y
1、斜截面上的应力
y
x
y
y
n
e
x
e
x
xx
b
f
x
f b
x
y y
y
y
：从x 轴到外法线 n 逆时针转向为正，反之为负。 正应力 ：拉应力为正，压应力为负。 切应力 ：对单元体任一点的矩顺时针转为正，反之为负。
(0 x a)
1
Pb 3x 2 b 2 l 2 6lEI
2 Pbx 2 2 b w1 6lEI x l
DB
段
(a x l )
2 1 Pb 2 l 2 2 x ( x a) (b l ) 2 2lEI b 3
静力学和材料力学课件第十二章 弯曲变形(H)
l
B
第十二章 弯曲变形
解：
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIw x x 2 2
y
q
B
x l x
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
A
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
由边界条件：
x 0时，w 0 x l 时，w 0
得：
ql 3 C , D0 24
第十二章 弯曲变形
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q (6lx 2 4 x 3 l 3 ) 24 EI
y
q
B
x l x
qx w (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
最大转角和最大挠度分别为：
A
max A
wmax w
常工作。
第十二章 弯曲变形
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件 的加工精度，甚至会出现废品。
F
F
第十二章 弯曲变形
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
P
P
第十二章 弯曲变形
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的
弹性变形，以满足特定的工作需要。
例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形， 以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
画挠曲线的大致形状
3qa 4
qa 2
A B
q
C D
Q
+
_
qa 4
a
a
a
M
3qa 2 4
+
qa 2 4
qa 2 32
d w M x 2 EI dx
工程力学第19讲 弯曲变形：积分法(完整)
w－弯矩引起的挠度 smax < sp
单辉祖:工程力学 7
挠曲轴近似微分方程
w M ( x) 2 3/2 EI 1 w
小变形时： w 2 << 1
d2w M ( x) －挠曲轴近似微分方程 2 dx EI
d 2w M ( x ) dx 2 EI
应用条件： s max s p
4）由位移边界条件确定积分常数
代入求解
5）确定转角方程和挠度方程
x 0, y A 0 1 2 1 3 C Fl , D Fl 2 6
x 0,
A 0
y
A
x
l
yB
F B
B
x
1 1 2 2 EI F ( x l ) Fl 2 12 1 1 3 3 2 EIw F ( x l ) Fl x Fl 6 2 6
Fb FAy l Fa FBy l
解：1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分 AC段 CB段
d2w1 Fb x1 2 dx1 EIl dw1 Fb 2 x1 C1 dx1 2EIl Fb 3 w1 x1 C1 x1 D1 6 EIl
单辉祖:工程力学
d2w2 Fb F x2 ( x2 a ) 2 EI dx2 EIl dw2 Fb 2 F x2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2EIl 2EI Fb 3 F w2 x2 ( x2 a)3 C 2 x2 D2 6 EIl 6 EI
a
b
解：
例 3-6 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布 载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和 q wmax。
ql q 2 M ( x) x x x 2 2 ql q 2 EIw x- x y 2 2 ql 2 q 3 EIw x - x C 4 6 ql 3 q 4 EIw x - x Cx D 12 24
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wx
F
lx2 (
x3)
EI 2 6
w A
x
6、最大挠度和最大转角
max
xl
Fl2
2EI
Fl3
wmax
w xl
3EI
x
BF
例12-2：已知EI，承受集中力偶Me作用的简支梁，计 算最大挠度。
解：（1）计算支反力，列弯矩方程
FAy FBy M e / l
M (x) Me x l
（2）挠曲轴近似微分方程
Mx F(l x)
2、挠曲轴近似微分方程
wx F (l x)
EI
w
A
x
x
BF
3、两次积分得挠曲轴和转角方程
xwxF(lxx2)C wxF(lx2x3)CxD
EI 2
EI 2 6
4、积分常数的确定 x=0处，w= 0 x=0处， θ= 0
D=0 C= 0
5、挠曲轴和转角方程
x
F
(lx
x2 )
EI 2
AC段（0 ≤ x≤a）
CB段（a ≤ x≤l）
转角方程
EI1(x)b2F l x2C1
E I2(x)b 2 F lx2F 2(xa)2C 2
挠曲轴方程
EIw1(x)b6F l x3C1xD1 E Iw 2(x )b 6 F lx 3F 6(x a )3 C 2xD 2
解：⑴ 求支反力，列弯矩方程
AC段（0 ≤ x≤a） bF
M1(x) l x CB段（a ≤ x≤l）
M2(x)blFxF(xa)
(2) 分段建立挠曲轴近似微分方程
AC段（0 ≤ x≤a）
EI
d2w1 dx2
bF l
x
(3) 分段两次积分
CB段（a ≤ x≤l）
EIdd2xw22
bFxF(xa) l
w 0
M0
方程取正号
挠曲轴近似微分方程 w M x
EI
§12-3 计算梁位移的积分法 一、梁的挠曲轴方程及转角方程
w Mx 挠曲轴近似微分方程
EI
转角方程 ddw xM ExIdxC
挠曲轴方程 wM E xIdx C xD
F 弯矩方程需分段建立，挠曲轴近似微分方程也需分段建立。
F C、D为积分常数，它们由位移边界条件与连续条件确定。
梁的弯曲变形：怎样描述以及定量计算？
1.弯曲变形的特点
挠曲轴
§12-1 引言
梁轴线由直线变曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴
挠曲轴是一条连续、光滑曲线。 对称弯曲时，挠曲轴是位于纵向对称面内的平面曲线。 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计，因
而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交。
2.弯曲变形的位移
顺转 0 w ( x ) －转角方程
1. 方程推导
§12-2 挠曲轴近似微分方程
Q 中性层曲率表示的弯曲变形公式
1
M（纯弯）
EI
1 (x)
M ( x)（忽略剪力影响 EI 推广到非纯弯）
Q 由高等数学知识
1
w( x )
(x)
1 [w( x)]2
3 2 —— 二阶非线性常微分方程
Q 挠曲轴微分方程
w( x)
Mx
1 [w( x)]2 3 2 EI
7
§12-2 挠曲轴近似微分方程
2. 方程简化 w'=θ
小变形
(w)2 1
w(x)
Mx
1w2 1 1[w(x)]2 32 EI
w(x)
Mx
EI
正负号?——坐标系确定 w
正弯矩
w向上为正
负弯矩
x
x
w 0 (数学定义) M 0 (本书规定)
w M e x EIl
（3）两次积分得挠曲轴和转角方程 w M e x2 C 2EIl w Me x3 Cx D 6EIl
（4）积分常数的确定
在 x 0 处，w 0 在 x l 处，w 0
D 0, C Mel 6 EI
（5）挠曲轴和转角方程
M e (3x2 l 2 )
13
§12-3 计算梁位移的积分法
积分法计算梁的变形过程
分段建立梁的弯矩方程 根据弯矩方程建立挠曲轴近似微分方程 分段两次积分获得转角方程和挠曲轴方程 利用边界条件和连续条件确定积分常数
例12-1：已知EI，建立该梁的挠曲轴和转角方程， 并计算最大挠度和转角。
w
A
x
l
x
BF
解: 1、建立弯矩方程
§12-3 计算梁位移的积分法
A
边界条件：
B
C
F D
E
固定端A： wA0, A0 铰支座C： w C 0
连续条件：
中间铰B： wB左 wB右
铰支座C：
w C 左 w C 右
左 右
CC
E点：
wE 左 wE 右 ,
左 右
EE
二、位移边界条件与连续条件
第十二章 弯曲变形
§12-3 计算梁位移的积分法
工程力学A-单辉祖-第12章(弯 曲变形)
第十二章 弯曲变形
§12-1 引言 §12-2 挠曲轴近似微分方程 §12-3 计算梁位移的积分法 §12-4 计算梁位移的叠加法 §12-5 简单静不定梁 §12-6 梁的刚度条件与合理刚度设计
回顾
拉压杆的变形：伸长或缩短 (Dl)
§12-1 引言
圆轴扭转的变形：相对转动 (扭转角j )
§12-3 计算梁位移的积分法
二、位移边界条件与连续条件
➢ 位移边界条件
wM ExIdx CxD
w=0
w=0
w=0
=0自由端：无位移边界条件 NhomakorabeaF
M
➢ 分段处位移连续条件
A
D
B
C
连续：wB左= wB右 wC左= wC右
挠曲轴在B、C点连续且光滑
左 B
=
右 B
左 C
=
右 C
§12-3 计算梁位移的积分法
§12-1 引言
1）挠度（w）
横截面的形心在垂直于变形前梁轴线方向上的线位移。
向上的挠度 w 0 w w ( x ) －挠曲轴方程
向下的挠度 w 0
2.弯曲变形的位移
§12-1 引言
2）转角（ θ ） 横截面的角位移（rad)，也等于挠曲轴在该截面处的切线与x
轴的夹角θ '。
逆转 0 t a n w ( x )
例：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件
A
B
C
F E
D wM ExIdx CxD
思考：该梁可分几段积分？各边界和内部分界点有多少位移 边界与连续条件？
(1) 分4段: 边界条件：A端：2个； C：1个 ; D端：无。 连续条件：B：1个；C：2个; E：2个。
(2) 分3段：ED段不受力，保持直线，仅作刚性转动。 请自行考虑。
6EIl
w Mex (x2 l2) 6EIl
（6）最大挠度
w 0
Me (3x2 l2)=0 6EIl
wmax
w x
l 3
Mel2 9 3EI
x= l 3
例12-3：简支梁AB如图所示（图中a > b），承受集中载荷F作用 ，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定 挠度的最大值。