工程力学93弯曲变形
工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法
工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法悬臂梁是工程力学中常见的结构形式，它广泛应用于桥梁、楼房等建筑物中。
在设计和施工过程中，了解悬臂梁的受力情况和弯曲变形问题至关重要。
本文将对悬臂梁的受力和弯曲变形进行分析，并介绍相应的计算方法。
首先，我们来讨论悬臂梁的受力情况。
悬臂梁在受力时主要承受弯矩和剪力。
弯矩是悬臂梁上各点受力引起的弯曲效应，它使悬臂梁产生弯曲变形。
剪力则是悬臂梁上各点受力引起的剪切效应，它使悬臂梁产生剪切变形。
在实际工程中，我们需要计算和分析悬臂梁上各点的弯矩和剪力分布，以确保悬臂梁的安全性和稳定性。
悬臂梁的弯矩和剪力分布可以通过力学原理和结构力学知识进行计算。
在计算弯矩时，我们可以利用悬臂梁的受力平衡条件和弹性力学理论，根据悬臂梁上各点的受力情况和几何特征，推导出弯矩的计算公式。
而剪力的计算则需要考虑悬臂梁上各点的剪力平衡条件和结构特性，通过应力分析和静力平衡原理，得出剪力的计算公式。
除了计算弯矩和剪力分布，我们还需要了解悬臂梁的弯曲变形问题。
悬臂梁在受力时会发生弯曲变形，这对于悬臂梁的设计和施工具有重要影响。
弯曲变形可以通过弹性力学理论进行分析和计算。
我们可以利用悬臂梁的几何特征、材料性质和受力情况，推导出弯曲变形的计算公式。
通过计算弯曲变形，我们可以评估悬臂梁的变形程度，以及对结构的影响。
在实际工程中，为了更准确地计算悬臂梁的受力和弯曲变形，我们通常会借助计算机软件进行数值模拟和分析。
数值模拟可以更精确地模拟悬臂梁的受力和变形情况，提供更准确的计算结果。
同时，数值模拟还可以帮助工程师优化悬臂梁的设计方案，提高结构的安全性和稳定性。
总结起来，工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题是一个重要的研究领域。
通过分析悬臂梁的受力情况和弯曲变形问题，我们可以了解悬臂梁的力学特性，为悬臂梁的设计和施工提供依据。
同时，借助计算机软件进行数值模拟和分析，可以更准确地计算悬臂梁的受力和变形情况，提高工程的安全性和稳定性。
工程力学：弯曲变形 习题与答案
一、单选题1、研究梁的变形的目的是（）。
A.进行梁的正应力计算B.进行梁的刚度计算C.进行梁的稳定性计算D.进行梁的剪应力计算正确答案：B2、图示圆截面悬臂梁，若直径d增大1倍(其它条件不变)，则梁的最大正应力、最大挠度分别降至原来的（）。
A.1/2 1/4B.1/4 1/8C.1/8 1/8D.1/8 1/16正确答案：D3、下面关于梁、挠度和转角的讨论中，正确的结论是（）。
A.挠度最大的截面转角为零B.挠度最大的截面转角最大C.转角为零的截面挠度最大D.挠度的一阶导数等于转角正确答案：D4、已知两悬臂梁的抗弯截面刚度EI相同，长度分别为l和2l，在自由端各作用F1和F2，若二者自由端的挠度相等，则F1/F2=（）。
A.2B.4C.6D.8正确答案：D5、梁上弯矩为零处（）。
A.梁的转角一定为零B.梁的挠度一定为零C.挠度一定为零，转角不一定为零D.梁的挠曲线的曲率一定为零正确答案：D6、已知等直梁在某段上的挠曲轴方程w(x)=–Cx4，C为常量，则在该段梁上（）。
A.分布载荷是x的一次函数B.分布载荷是x的二次函数C.无分布载荷作用D.有均匀分布载荷作用正确答案：D7、在等直梁弯曲变形中，挠曲线曲率最大值发生在（）。
A.剪力最大处B.转角最大处C.弯矩最大处D.挠度最大处正确答案：C8、材料相同的（a）悬臂梁和（b）悬臂梁，长度也相同，在自由端各作用2P和P，截面形状分别是b（宽）×2b（高）、b×b。
关于它们的最大挠度正确的是（）。
A.（a）梁最大挠度是（b）梁的1/4倍B.（a）梁最大挠度是（b）梁的1/2倍C.（a）梁最大挠度与（b）梁的相等D.（a）梁最大挠度是（b）梁的2倍正确答案：A9、已知简支梁的EI为常数，在梁的左端和右端分别作用一力偶m1和m2今欲使梁的挠曲线在x=l/3处出现一拐点，则比值m1/m2为（）。
A.2B.3C.1/2D.1/3正确答案：C10、两根梁尺寸，受力和支承情况完全相同，但材料不同，弹性模量分别为E1和E2，且E1=7E2，则两根梁的挠度之比y1/y2为（）。
工程力学中的弯曲问题研究
工程力学中的弯曲问题研究工程力学是工程学科中的基础学科之一，研究力的作用下物体的运动和变形规律。
而弯曲问题是工程力学中的一个重要研究内容，是指当外力作用于物体上时，物体会发生弯曲变形的现象。
本文将对工程力学中的弯曲问题进行研究，重点探讨弯曲问题的基本原理、计算方法以及应用领域。
一、基本原理在工程力学中研究弯曲问题时，基于两个重要原理：胡克定律和梁理论。
1. 胡克定律胡克定律是描述弹性体在受力下的变形规律的基本原理。
该定律可以简单地表达为“应变与应力成正比”。
在弯曲问题中，当梁受到外力作用时，梁的上表面会受到拉力，下表面则会受到压力。
根据胡克定律，这种受力会导致梁在纵向产生弯曲变形。
2. 梁理论梁理论是工程力学中用于解决弯曲问题的基本理论。
在梁理论中，将梁近似看作是一个线弹性体，可以通过均匀受力、拉伸、剪切和弯曲等的研究来描述梁的力学特性。
基于梁理论，可以建立适当的假设和方程，通过求解这些方程可以得到梁的弯曲变形和应力分布。
二、计算方法解决弯曲问题的计算方法主要包括弯矩-剪力法和位移法。
1. 弯矩-剪力法弯矩-剪力法是一种较为常用的计算方法，通过计算梁在不同截面上的弯矩和剪力，进而得到梁的变形和应力分布。
在该方法中，首先需要确定梁的受力情况，然后根据受力情况绘制合适的剪力图和弯矩图。
最后，通过求解弯矩图或剪力图的积分方程，可以得到梁的形变和应力分布情况。
2. 位移法位移法是一种更为精确的计算方法，在处理复杂的弯曲问题时具有较大的优势。
该方法通过假设梁的位移函数形式，然后通过变分法或极值原理来推导出梁的位移方程。
最后，通过求解位移方程，可以得到梁的精确变形情况。
三、应用领域工程力学中的弯曲问题研究在各个领域都得到了广泛的应用。
以下列举了几个典型的应用领域。
1. 结构工程在结构工程中，弯曲问题是一个非常重要的研究内容，尤其是对于梁、桁架等结构。
通过研究梁的弯曲变形和应力分布，可以确保结构在受力时的稳定性和安全性。
工程力学第六章 弯曲变形
荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形
状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，
就应从上述各种因素入手。
一、增大梁的抗弯刚度EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式 48EI
作 业
1、2、4（a、e)
§6-3 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个 载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分 别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。
例： 梁AB，横截面为边长为a的正方形，
弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆 形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁 中点的挠度。
例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。
解：
二、梁的刚度计算
刚度条件：
max [ ] max [ ]
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定
q
B
x
l
由边界条件： x 0时， 0 x l时， 0
ql 3 , D0 得： C 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
B
x
l
A qx (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
l 2
x
P AC 解： 段：M ( x ) x 2 y P EI " x 2 A P 2 EI ' x C x 4 l 2 P 3 EI x Cx D 12
工程力学(材料力学)8 弯曲变形与静不定梁
B
ql4 RBl3 0
8EI 3EI
q 约束反力为
B
RB
3 8
ql
RB
用变形比较法求解静不定梁的一般步骤：
（1）选择基本静定系，确定多余约束及反力。 （2）比较基本静定系与静不定梁在多余处的变形、确定 变形协调条件。 （3）计算各自的变形，利用叠加法列出补充方程。 （4）由平衡方程和补充方程求出多余反力，其后内力、 强度、刚度的计算与静定梁完全相同。
教学重点
• 梁弯曲变形的基本概念； • 挠曲线的近似微分方程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 梁的刚度条件。
教学难点
• 挠曲线近似微分方程的推导过程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 变形比较法求解静不定梁。
第一节 弯曲变形的基本概念
齿轮传动轴的弯曲变形
轧钢机（或压延机）的弯曲变形
例13-4 用叠加法求图示梁的 yC、A、B ，EI=常量。
M
P
解 运用叠加法
A
C
l/2
l/2
A
=
q
5ql4 Pl3 ml2
B
yC
384EI
48EI
16EI
A
ql3 24EI
Pl 2
16EI
ml 3EI
B
B
ql3 24EI
Pl2 16EI
ml 3EI
M
+
q
A
+
BA
B
二、梁的刚度条件
y max y,
A
max
A ql3
B
24EI
RA
q
A
θB
l
B θB RB
在梁跨中点 l /2 处有 最大挠度值
工程力学第10章 弯曲变形与简单超静定梁
简支梁。 根据原超静定梁A端横截面转角θA=0这一变形条件, 即可进而建立补 充方程以求解MeA。 建议读者按此自行算出全部结果。 以上解题的方法步骤也适用于解二次超静定梁。 此时可建立两个变形几何方程, 因而补充方程也就有两个。 这样, 解多余约束力时就需解二元一次联立方程组。 对于三次以上的超静定梁若仍用上述方法求解, 则将不够简便, 此时就宜采用其 他方法。
但弹性模量E值则是比较接近的。 2.调整跨度 梁的转角和挠度与梁的跨度的n次方成正比, 跨度减小时, 转角和挠度就会有更 大程度的减小。 例如均布载荷作用下的简支梁, 其最大挠度与跨度的四次方成 正比, 当其跨度减小为原跨度的1/2时, 则最大挠度将减小为原挠度的1/16。 故减小跨度是提高梁的刚度的一种有效措施。 在有些情况下, 可以增设梁的中 间支座, 以减小梁的跨度, 从而可显著地减小梁的挠度。 但这样就使梁成为超 静定梁。 图10-10a、 b分别画出了均布载荷作用下的简支梁与三支点的超静 定梁的挠曲线大致形状, 可以看出后者的挠度远较前者为小。 在有可能时, 还 可将简支梁改为两端外伸的梁。 这样, 既减小了跨度, 而且外伸端的自重与两 支座间向下的载荷将分别使轴线上每一点产生相反方向的挠度(图10-11a、 b), 从而相互抵消一部分。 这也就提高了梁的刚度。 例如桥式起重机的桁架钢梁 就常采用这种结构形式(图10-11c), 以达到上述效果。
下述关系
因为挠曲线为一平坦的曲线, θ值很小, 故有 tanθ≈θ(c) 由式(b)、式(c)两式可见, 梁横截面的转角应为
式(d)表明转角θ可以足够精确地从挠曲线方程(a)对x求一次导数得到。 它表 示梁横截面位置的x与该截面的转角θ之间的关系, 通常称为转角方程。 在图10-2所示的坐标系统中, 挠度w以向上为正, 向下为负; 转角θ则以逆时针 转向为正, 顺时针转向为负。
工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法总结
工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法总结悬臂梁是工程力学中常见的结构，其受力和弯曲变形问题一直是研究的焦点。
本文将对悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法进行总结。
一、悬臂梁的受力分析在工程实践中，悬臂梁常常承受着外部力的作用，因此对其受力进行准确的分析至关重要。
悬臂梁的受力分析主要包括弯矩和剪力的计算。
1. 弯矩的计算悬臂梁在受力时会产生弯矩，弯矩的计算可以通过弯矩方程进行。
弯矩方程是基于力的平衡原理和材料的本构关系推导出来的，通过对悬臂梁上各点的力平衡和材料的应力-应变关系进行分析，可以得到弯矩的表达式。
2. 剪力的计算悬臂梁在受力时还会产生剪力，剪力的计算同样可以通过力的平衡原理和材料的本构关系进行推导。
剪力方程可以通过对悬臂梁上各点的力平衡和材料的剪切应力-剪切应变关系进行分析得到。
二、悬臂梁的弯曲变形分析除了受力分析外，悬臂梁的弯曲变形也是需要考虑的重要问题。
弯曲变形是指悬臂梁在受力作用下产生的弯曲形变，主要表现为悬臂梁的中性面发生偏移和悬臂梁上各点的位移。
1. 弯曲形变的计算弯曲形变的计算可以通过弯曲方程进行。
弯曲方程是基于力的平衡原理和材料的本构关系推导出来的，通过对悬臂梁上各点的力平衡和材料的应力-应变关系进行分析，可以得到弯曲形变的表达式。
2. 中性面的偏移和位移的计算中性面的偏移和位移是悬臂梁弯曲变形的重要表现形式。
中性面的偏移可以通过弯曲方程和几何关系进行计算，位移可以通过位移方程进行计算。
通过这些计算，可以得到悬臂梁上各点的位移和中性面的偏移情况。
三、悬臂梁的计算方法总结为了更准确地分析和计算悬臂梁的受力和弯曲变形问题，工程力学中提出了一系列计算方法。
常见的计算方法包括静力学方法、力学性能方法和有限元方法等。
1. 静力学方法静力学方法是最常用的计算方法之一，它基于力的平衡原理和材料的本构关系进行分析和计算。
通过对悬臂梁上各点的力平衡和材料的应力-应变关系进行分析，可以得到悬臂梁的受力和弯曲变形情况。
工程力学第12章弯曲变形
AC段 (0 ≤ x ≤ a) 段 BC段 (a ≤ x ≤ L) 段 Fb 2 Fb 2 F EIω1' = EIθ1 = x + C1, EIω2 ' = EIθ2 = x − (x − a)2 + C2 , 2L 2L 2 Fb 3 EIω1 = x + C1x + D , EIω2 = Fb x3 − F (x − a)3 + C2 x + D2 , 1 6L 6L 6 3、确定常数 、 边界条件： 边界条件：
θA 。
X
解：取参考坐标系Axy。 取参考坐标系 。 1、列出梁的弯矩方程 、
d 2ω M(x) 2、 、 2 = dx EIz
(0 ≤ x ≤ L)
1 2 EIω"= − qx 2 积分一次： 积分一次：EIω' = EIθ = − 1 qx3 + C（1） ） 1 46 积分二次： 积分二次： EIω = − qx + Cx + D （2） ） 24
2、积分常数的确定——边界条件和连续条件： 、积分常数的确定 边界条件和连续条件： 边界条件和连续条件 边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的 边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的， 已知条件称为边界条件。 已知条件称为边界条件。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因 此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度 值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。 值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。
二、分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次 分段列出梁的挠曲线近似微分方程， 1、对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程： 、对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：
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积分法计算梁的变形
步骤：（EI为常量）
工
1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。
程
2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分
力 学
EIy(x) M (x)
EIy(x) M (x)dx C1
EIy(x) ( M (x)dx)dx C1x C2
12
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法 积分法计算梁的变形
工
程
力
学
主 讲：谭宁 副教授
办公室：教1楼北305
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
查表叠加法、简单超静定梁
工
程
刚度条件与提高刚度的措施
力
弯曲应变能
学
斜弯曲
2
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法 弯曲内力——在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。 弯曲应力——在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。
1 M (x)
(x) EI
工
程 力
d2 y M (x) dx2 EI
挠曲线近似微分方程
学
d M (x)
转角近似微分方程
dx EI
挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“FQ”以及( y)2 对变形的影响。 使用条件：弹性范围内工作的细长梁。
11
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
x a L yC 0
B1 B2
16
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
q
A
Cx
B
EI z
k
工
l2
l2
程
力 挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数.
学 边界条件
连续条件
x0 xL
yA 0
yC
Fc k
qL 8k
x L 2
yB1 yB2
B1 B2
17
§9(3). 弯曲变形
4
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
挠曲线：在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成
为一条光滑连续曲线，这条曲线称为挠曲线。
工
F
q
M
程
力
轴线
学
弯曲后梁的轴线
纵向对称面
（挠曲线）
5
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
MAB＝MCD＝0
工 MBC＝const 程 力 学
梁的基本变形微分方程、直接积分法
F
工
EI z1
EI z2
x
A
程
L2
B
L2
C
力 学
挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数.
边界条件
x 0 yA 0
A 0
连续条件
x L 2
yB1 yB2
B1 B2
18
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
C
q
EA
L1
工
A
x
B
程
EI Z
答案 D
6
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
FA＝0
A
C
D
FB＝0
工 MCD＝const 程 力 学
B 答案 D
7
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
FA＝0 FB＝P A
C
B
MBD＝const
工 程
M
B
M
B
Fpl
力
学
D
答案C
8
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法 挠度和转角的关系
y = y（x） ……挠曲线方程。 挠度向上为正；向下为负。
工
θ=θ(x) ……
转角方程。 由变形前的横截面转到变形后，
程 力
θ
y
逆时针为正；顺时针为负。
学
tg dy dx
挠曲线在c´点的切线
挠曲线上任一点的斜率都可以足够精确的表示该点处横截面的转角。
9
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
弯曲变形——在外力作用下，梁在空间位置的变化规律。
工 程 力 学
3
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
转角,横截面绕中性轴转过的角度。
θ
工
y
程
挠度y,横截面形心沿垂直
力
Δx
于轴线方向的位移。
学
因Δx很微小，往往忽略。
度量梁变形的参数--- 梁的挠度y，横截面的转角θ 。 挠曲线：梁变形后的轴线，y(x)。
Fx3
C1
x
C2
c) 应用位移边界条件求积分常数
x l, y 0, 0
C1
1 2
Fl2
; C2
1 3
Fl3
l
F
d) 确定挠曲线、转角方程
y(x) F x3 3l2x 2l3 6EI y F x2 l2 2EI e) 自由端的挠度及转角
13
~ ~ ~
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法 积分法计算梁的变形
（A4）弹簧支撑
A
A－弹簧变形 A
工
程
y A
力
学
4、确定挠曲线方程和转角方程 。
5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。
14
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
例1： 用积分法求梁挠曲线方程时,试问下列梁的挠曲线
1.研究梁的挠度和转角的目的：
工
主要目的之一就是对梁作刚度校核，即检查梁弯曲
程 时的最大挠度是否超过按要求所规定的容许值；
力
学 2. 求梁位移的基本方法
根据挠曲线的近似微分方程式通过积分求挠度方程和 转角方程。
10
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
梁的基本变形微分方程
由挠曲线的曲率
力
L
学 全梁仅一个挠曲线方程，共有两个积分常数
边界条件
x0
yA 0
xL
yB LBC
qLL1 2EA
19
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
Me
A
EI z
x C
工
aB
L
程
力 挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数.
学 边界条件
连续条件
x 0 yA 0
xa
yB1 yB2
近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写
工 出其确定积分常数的边界条件
程
力
F
学
q
A
B
EI z
C
a
L
Байду номын сангаас
15
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
F
q
A
B
EI z
C
工
a
L
程 力
挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数
学 边界条件
连续条件
x a yB 0
xa
yB1 yB2
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
工 程
A
PF
C
B
力 学
边界条件： yA 0, yB 0 连续条件： yC左 yC右， C左 C右
D
P
yD 0, D 0
（1）固定支座处：挠度等于零、转角等于零。
（2）固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。 （3）在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。
A 0
x a L yC 0
20
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
积分法计算梁的变形
例1：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。
x
解：a) 写出弯矩方程
工
M (x) Fx
程 b) 写出微分方程并积分
力
EIy M (x) Fx
学
EIy
1 2
Fx2
C1
EIy
1 6