工程力学12.弯曲变形
梁纯弯曲变形
梁纯弯曲变形引言梁纯弯曲变形是工程力学中的一个重要概念。
在结构力学和土木工程中，梁是一种常见的结构元素，承受着各种外部荷载。
当外部荷载作用于梁上时，梁会发生变形。
本文将探讨梁在纯弯曲状态下的变形特性和相关的理论基础。
纯弯曲的概念纯弯曲是指梁所受的外部荷载仅产生弯矩作用，而不产生剪力作用。
在梁的纵轴上，上部受拉，下部受压，梁在这种状态下发生弯曲变形。
纯弯曲情况下，梁的截面仅发生弯矩引起的形状变化，并不会发生剪切变形。
纯弯曲对于大跨度的梁和悬臂梁等结构具有重要意义。
纯弯曲变形的理论基础梁纯弯曲变形的理论基础可以通过两种方法进行分析：理论分析和数值分析。
理论分析理论分析方法中，我们可以利用梁的弯矩-曲率关系来分析纯弯曲变形。
弯矩-曲率关系描述了梁截面上的弯矩和截面曲率之间的关系。
根据弯矩-曲率关系，我们可以计算出梁的曲率分布，从而得到梁的变形情况。
此外，利用材料力学中的应力-应变关系，还可以计算出梁截面上的应力分布。
数值分析数值分析方法中，我们可以使用有限元方法来模拟梁的纯弯曲变形。
有限元方法将梁划分为许多小的单元，通过求解弯矩和力的平衡方程，可以得到梁单元上的位移和应力分布。
通过将所有单元的位移组合起来，可以得到整个梁的变形情况。
纯弯曲变形的计算纯弯曲变形的计算依赖于梁的几何形状、材料特性和外部荷载。
常见的计算方法包括：基于梁理论的计算基于梁理论的计算方法适用于简单、均匀截面的梁。
在这种方法中，我们可以使用梁的截面形状和材料性质，通过弯矩-曲率关系计算出梁的曲率分布。
进一步，可以计算出梁的位移、剪力和应力等参数。
基于有限元分析的计算基于有限元分析的计算方法适用于复杂截面的梁。
在这种方法中，我们将梁划分为许多小的单元，并求解每个单元上的位移和应力分布。
通过将所有单元的位移组合起来，可以得到整个梁的变形情况。
梁纯弯曲变形的应用梁纯弯曲变形的应用广泛，特别是在土木工程和结构设计中。
通过对梁的纯弯曲变形进行分析，可以确定梁的合适截面形状和尺寸，以满足其承受的外部荷载要求。
工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法
工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法悬臂梁是工程力学中常见的结构形式，它广泛应用于桥梁、楼房等建筑物中。
在设计和施工过程中，了解悬臂梁的受力情况和弯曲变形问题至关重要。
本文将对悬臂梁的受力和弯曲变形进行分析，并介绍相应的计算方法。
首先，我们来讨论悬臂梁的受力情况。
悬臂梁在受力时主要承受弯矩和剪力。
弯矩是悬臂梁上各点受力引起的弯曲效应，它使悬臂梁产生弯曲变形。
剪力则是悬臂梁上各点受力引起的剪切效应，它使悬臂梁产生剪切变形。
在实际工程中，我们需要计算和分析悬臂梁上各点的弯矩和剪力分布，以确保悬臂梁的安全性和稳定性。
悬臂梁的弯矩和剪力分布可以通过力学原理和结构力学知识进行计算。
在计算弯矩时，我们可以利用悬臂梁的受力平衡条件和弹性力学理论，根据悬臂梁上各点的受力情况和几何特征，推导出弯矩的计算公式。
而剪力的计算则需要考虑悬臂梁上各点的剪力平衡条件和结构特性，通过应力分析和静力平衡原理，得出剪力的计算公式。
除了计算弯矩和剪力分布，我们还需要了解悬臂梁的弯曲变形问题。
悬臂梁在受力时会发生弯曲变形，这对于悬臂梁的设计和施工具有重要影响。
弯曲变形可以通过弹性力学理论进行分析和计算。
我们可以利用悬臂梁的几何特征、材料性质和受力情况，推导出弯曲变形的计算公式。
通过计算弯曲变形，我们可以评估悬臂梁的变形程度，以及对结构的影响。
在实际工程中，为了更准确地计算悬臂梁的受力和弯曲变形，我们通常会借助计算机软件进行数值模拟和分析。
数值模拟可以更精确地模拟悬臂梁的受力和变形情况，提供更准确的计算结果。
同时，数值模拟还可以帮助工程师优化悬臂梁的设计方案，提高结构的安全性和稳定性。
总结起来，工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题是一个重要的研究领域。
通过分析悬臂梁的受力情况和弯曲变形问题，我们可以了解悬臂梁的力学特性，为悬臂梁的设计和施工提供依据。
同时，借助计算机软件进行数值模拟和分析，可以更准确地计算悬臂梁的受力和变形情况，提高工程的安全性和稳定性。
工程力学：弯曲变形 习题与答案
一、单选题1、研究梁的变形的目的是（）。
A.进行梁的正应力计算B.进行梁的刚度计算C.进行梁的稳定性计算D.进行梁的剪应力计算正确答案：B2、图示圆截面悬臂梁，若直径d增大1倍(其它条件不变)，则梁的最大正应力、最大挠度分别降至原来的（）。
A.1/2 1/4B.1/4 1/8C.1/8 1/8D.1/8 1/16正确答案：D3、下面关于梁、挠度和转角的讨论中，正确的结论是（）。
A.挠度最大的截面转角为零B.挠度最大的截面转角最大C.转角为零的截面挠度最大D.挠度的一阶导数等于转角正确答案：D4、已知两悬臂梁的抗弯截面刚度EI相同，长度分别为l和2l，在自由端各作用F1和F2，若二者自由端的挠度相等，则F1/F2=（）。
A.2B.4C.6D.8正确答案：D5、梁上弯矩为零处（）。
A.梁的转角一定为零B.梁的挠度一定为零C.挠度一定为零，转角不一定为零D.梁的挠曲线的曲率一定为零正确答案：D6、已知等直梁在某段上的挠曲轴方程w(x)=–Cx4，C为常量，则在该段梁上（）。
A.分布载荷是x的一次函数B.分布载荷是x的二次函数C.无分布载荷作用D.有均匀分布载荷作用正确答案：D7、在等直梁弯曲变形中，挠曲线曲率最大值发生在（）。
A.剪力最大处B.转角最大处C.弯矩最大处D.挠度最大处正确答案：C8、材料相同的（a）悬臂梁和（b）悬臂梁，长度也相同，在自由端各作用2P和P，截面形状分别是b（宽）×2b（高）、b×b。
关于它们的最大挠度正确的是（）。
A.（a）梁最大挠度是（b）梁的1/4倍B.（a）梁最大挠度是（b）梁的1/2倍C.（a）梁最大挠度与（b）梁的相等D.（a）梁最大挠度是（b）梁的2倍正确答案：A9、已知简支梁的EI为常数，在梁的左端和右端分别作用一力偶m1和m2今欲使梁的挠曲线在x=l/3处出现一拐点，则比值m1/m2为（）。
A.2B.3C.1/2D.1/3正确答案：C10、两根梁尺寸，受力和支承情况完全相同，但材料不同，弹性模量分别为E1和E2，且E1=7E2，则两根梁的挠度之比y1/y2为（）。
12第十二讲(弯曲正应力)
材料力学教案
M z y d A
A
第十二讲：弯曲正应力计算
E
r
A
y dA
2
EI z
r
M
(c)
由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为
M r EI z 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，
梁横截面上的弯矩M 不随截面位置变化。故对于等截面的
1
直梁，包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。
3、纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 r dx
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是
梁的横截面与侧表面的交线（由表及里），可作出如下推论
(假设)：
平面假设
梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，
只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。 此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。 三峡大学 工程力学系
将 E 代入，即得弯曲正应力计算公式：
r
y
My Iz
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
二. 纯弯曲理论的推广－横力弯曲中正应力的计算
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时，对于梁在
纯弯曲时所作的假设不再成立。
梁的弯曲(工程力学课件)
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
3-3截面
M 3 q 2a a 2qa 2
4-4截面
qa 2
5qa 2
2
M 4 FB 2a M C
3qa
2
2
5-5截面
qa 2
M 5 FB 2a
2
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
由以上计算结果可以看出：
（1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在
后逐段画出梁的剪力图和弯矩图。
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例8 悬臂梁AB只在自由端受集中力F作用，如图（a）所示，
试作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1-1截面： Q1＝-F M1＝0
2-2截面： Q1＝-F M1＝－Fl
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例9 简支梁AB在C点处受集中力F作用，如图（a）所示，作此梁的剪力
（2）建立剪力方程和弯矩方程；
（3）应用函数作图法画出剪力Q（x），弯矩M（x）的图线，即为剪力
图和弯矩图
03 弯矩图和剪力图
例9.3 悬臂梁AB在自由端B处受集中载荷F作用，如图（a）所示，试作
其剪力图和弯矩图。
解 ：（1）建立剪力方程和弯矩方程
() = ( < < )
() = −( − ) ( ≤ ≤ )
方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
（2）建立剪力方程和弯矩方程
03 弯矩图和剪力图
（3）绘制剪力图、弯矩图
计算下列5个截面的弯矩值：
03 弯矩图和剪力图
二、用简便方法画剪力图、弯矩图 (从梁的左端做起)
1.无载荷作用的梁段上 剪力图为水平线。 弯矩图为斜直线（两点式画图）。
工程力学第6章 弯曲变形_gs
M (x) EI
z
[1 (
d y dx dy dx
2 3
2
数学公式
以上两式消去
1
(x)
) ]2
2
，得：
[1 ( d
2
y
2 3
dx dy dx
M (x) EI
z
) ]
2
2
材料力学
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程 小挠度情形下：
d
2
dy dx
1
[1 (
x L 代入得：
B 2
材料力学
xL
Fab ( L a ) 6 LEI
弯曲变形/用积分法求梁的变形 5、求 y max 。
由 dy dx
A
Fb ( L b )
2 2
0 求得 y max 的位置值x。
0,
C 1
6 LEI
xa
Fab ( a b ) 3 LEI
弯曲变形/变形的基本概念
连续光滑曲线；铰支座对位移的限制
材料力学
弯曲变形/变形的基本概念
连续光滑曲线；固定端对位移的限制
材料力学
弯曲变形/变形的基本概念
对于拉伸（压缩)、扭转变形定积分 对于梁的位移不定积分
材料力学
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
二、挠曲线的近似微分方程
力学公式
1
(x)
11 ql
4
384 EI
材料力学
48 EI
384 EI
弯曲变形/梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施 四、梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施 刚度条件：
工程力学第12章弯曲变形
AC段 (0 ≤ x ≤ a) 段 BC段 (a ≤ x ≤ L) 段 Fb 2 Fb 2 F EIω1' = EIθ1 = x + C1, EIω2 ' = EIθ2 = x − (x − a)2 + C2 , 2L 2L 2 Fb 3 EIω1 = x + C1x + D , EIω2 = Fb x3 − F (x − a)3 + C2 x + D2 , 1 6L 6L 6 3、确定常数 、 边界条件： 边界条件：
θA 。
X
解：取参考坐标系Axy。 取参考坐标系 。 1、列出梁的弯矩方程 、
d 2ω M(x) 2、 、 2 = dx EIz
(0 ≤ x ≤ L)
1 2 EIω"= − qx 2 积分一次： 积分一次：EIω' = EIθ = − 1 qx3 + C（1） ） 1 46 积分二次： 积分二次： EIω = − qx + Cx + D （2） ） 24
2、积分常数的确定——边界条件和连续条件： 、积分常数的确定 边界条件和连续条件： 边界条件和连续条件 边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的 边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的， 已知条件称为边界条件。 已知条件称为边界条件。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因 此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度 值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。 值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。
二、分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次 分段列出梁的挠曲线近似微分方程， 1、对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程： 、对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：
测试题-弯曲变形(答案)
班级：学号：姓名：《工程力学》弯曲变形测试题一、判断题（每小题2分，共20分）1、梁弯曲变形后，最大转角和最大挠度是同一截面。
（×）2、不同材料制成的梁，若截面尺寸和形状完全相同，长度及受力情况也相同，那么这两根梁弯曲变形时，最大挠度值相同。
（×）3、EI是梁的抗弯刚度，提高它的最有效、最合理的方法是改用更好的材料。
（×）4、梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间铰，则梁的挠曲线仍然是一条光滑、连续的曲线。
（√）5、梁弯曲后，梁某点的曲率半径和该点所在横截面位置无关。
（×）6、梁上有两个载荷，梁的变形与两个载荷加载次序无关。
（√ ）7、一般情况下，梁的挠度和转角都要求不超过许用值。
（√ ）8、在铰支座处，挠度和转角均等于零。
（×）9、绘制挠曲线的大致形状，既要根据梁的弯矩图，也要考虑梁的支撑条件。
（√ ）10、弯矩突变的截面转角也有突变。
（×）二、单项选择题（每小题2分，共20分）1、梁的挠度是（B ）。
A. 横截面上任一点沿梁轴方向的位移B. 横截面形心沿垂直梁轴方向的位移C. 横截面形心沿梁轴方向的线位移D. 横截面形心的位移2、在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（C）是正确的。
A. 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关B. 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关C. 转角和挠度的正负号均与坐标系有关D. 转角和挠度的正负号均与坐标系无关3、挠曲线近似微分方程在（D ）条件下成立。
A. 梁的变形属于小变形 B .材料服从胡克定律C. 挠曲线在xoy平面内D. 同时满足A、B、C4、等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D ）处。
A. 挠度最大B. 转角最大C. 剪力最大D. 弯矩最大5、应用叠加原理求梁横截面的挠度、转角时，需要满足的条件有（C ）A. 梁必须是等截面的B. 梁必须是静定的C. 变形必须是小变形；D. 梁的弯曲必须是平面弯曲6、两简支梁，一根为钢、一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。
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通常依此条件进行如下三种刚度计算：
、校核刚度：
、设计截面尺寸；
、设计载荷。
例1 下图为一空心圆杆，内外径分别为： d=40mm，D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定 C点的许用挠跨比[y/L]=0.00001，B点的许用转角
[]=0.001弧度，试核此杆的刚度。
L=400mm a=0.1m
一、挠曲线近似微分方程
f M>0
1 M z (x)
EIz
f (x) 0 x
1
f (1
(x) f 2 )32
f
( x)
f
M<0
f (x) M z (x) EI z
f (x) 0
x
f (x) M z (x) EI z
挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成 如下形式： EIf (x) M (x) 二、求挠曲线方程（弹性曲线） 1.微分方程的积分
64
64
B
P1L2 16EI
P2 La 3EI
0.4 210 1880
( 400 16
200 ) 3
0.423104
yC
P1L2a 16EI
P2a3 3EI
P2 a 2 L 3EI
5.19106 m
校核刚度
ymax L
y L
ymax 5.19 106 m y 105 m
max 0.423104 0.001
D 0
讨论： ①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构
件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截
面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边
界条件、连续条件）确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺
点：计算较繁琐。
§6－3 叠加原理求梁的挠度与转角
一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起 的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变 形的代数和。
EIf (x) M (x)
EIf (x) M (x)dx C1
EIf (x) M (x)dxdx C1x C2
EIf (x) M (x)dxdx C1x C2
2.位移边界条件
P
P
A
C
B
D
支点位移条件：
fA 0 fB 0
fD 0
连续条件： fC fC 光滑条件： C C
物理方程——变形
与力的关系
B
f
Bq8qEL4I ;
f BRB
RB L3 3EI
RB 补充方程
q0
qL4 RB L3 0 8EI 3EI
RB
3qL 8
B
求解其它问题（反力、
应力、变形等）
用v表示。与y同向为正，反之为负。
2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用
表示，顺时针转动为正，反之为负。
y
C
v
C1
二、挠曲线
P x
变形后，轴线变
为光滑曲线，该曲线
称为挠曲线。其方程
为：v =f (x)
三、转角与ห้องสมุดไป่ตู้曲线的关系：
小变形
tg df f
(1)
dx
§6 － 2 梁的挠曲线近似微分方程
(P1P2 Pn ) 1(P1) 2(P2 ) n(Pn )
f (P1P2 Pn ) f1(P1 ) f2(P2 ) fn(Pn )
二、结构形式叠加（逐段刚化法）
§6－4 梁的刚度校核
一、梁的刚度条件
ymax L
y L
max
其中[]称为许用转角；[y/L]称为许用挠跨比。
P2a3
3EI
P1L2a 16EI
3
B
ML 3EI
LaP2 3EI
y3C
3Ba
P2 La2 3EI
叠加求复杂载荷下的变形
B
P1L2 16EI
P2 La 3EI
yC
P1L2a 16EI
P2a3 3EI
P2 a 2 L 3EI
I (D4 d 4 ) 3.14 (804 404 ) 1012 188108 m4
§6－5 简单超静定梁的求解方法
1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡 方程相结合，求全部未知力。
A EI L
A L
q0 建立静定基
B
确定超静定次数， 用反力代替多余约束所 q0 得到的结构——静定基。
B RB
A L
A A
+
=
q0
几何方程——变形 协调方程
B
RB
yB yBq yBRB 0
A
D
B
200mm P1=1kN
C P2=2kN
L=400mm a=0.1m
A
D
B
200mm P1=1kN
C P2=2kN
=
A
D
B
C
P1=1kN
+
A
D
B
C
P2=2kN
A
D
B
C
P2=2kN
=
a
B
C
P2
+
P2=2kN
M
A
D
B
C
解：查表求简单载荷变形
1B
P1L2 16EI
2B 0
y1C
y2C
1B a
第六章 弯曲变形
§6–1 概述 §6–2 梁的挠曲线近似微分方程 §6–3 叠加原理求梁的挠度与转角 §6–4 梁的刚度校核 §6–5 简单超静定梁的求解方法
§6－1 概 述
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁 （变形几何条件提供补充方程）。
一、度量梁变形的两个基本位移量 1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。