09-基于傅立叶方法的旋翼尾迹悬停状态稳定性分析-吕维梁-7

第二十六届（2010）全国直升机年会论文基于傅立叶方法的旋翼尾迹悬停状态稳定性分析吕维梁招启军徐国华（南京航空航天大学直升机旋翼动力学重点实验室，南京 210016）摘要：给出了一个旋翼尾迹在任意扰动下的线化稳定性分析方法。

在该方法中，将惯用的正弦扰动深化为任意扰动下的傅立叶谐波，对尾迹线化扰动方程进行特征值分析从而得到瞬时状态下尾迹上任一点的稳定性结果。

使用该方法，以H-34旋翼模型为例，将旋翼尾迹稳定性问题看成为规则螺旋尾迹涡线的稳定性在尾迹条数（桨叶片数）、涡核分布、尾迹畸变这几个主要因素的影响下所产生的综合结果，并逐一计算分析。

结果表明：各种因素都不改变悬停状态尾迹的本质不稳定，但会对局部的相对稳定性产生一定的影响。

关键词：傅立叶方法；旋翼；尾迹；悬停状态；稳定性；特征值分析1引言直升机的尾迹涡线与固定翼飞行器不同，呈螺旋状下降，并以其畸变的尾迹形状影响整个诱导速度场，从而对旋翼的气动载荷、噪声和性能产生重要的影响。

尾迹涡线的运动过程受很多因素的影响，包括旋翼、前方来流、自诱导、相互诱导等，研究尾迹的稳定性对于认识旋翼流场的物理本质和改进尾迹数值计算具有重要的意义。

旋翼尾迹涡线流场的不稳定现象包括局部和全局的不稳定[1]。

局部不稳定现象限于流场一小范围空间区域内，主要与桨尖涡有关，其不稳定性在一定条件下会扩散到整个流场，出现全局不稳定现象[2]。

在1972年，Landgrebe[3]就已观察到尾迹不稳定或非周期尾迹的现象。

同一时期，Widnall[4]理论分析了单根无限长的理想螺旋状涡线某一点受到正弦位移扰动后的稳定性，表明螺旋涡线存在不稳定模态。

随后，在1974年，Gupta[5]将Widnall的方法拓展用于多条无限长螺旋状涡线的稳定性分析，该研究考虑了涡线间的干扰，但没有考虑到尾迹的畸变及桨叶的影响。

1999年，Caradonna[6]通过实验发现了尾迹涡线的“涡对”现象。

在2000年，Jain[7]在对两片桨叶旋翼在轴向飞行状态下桨尖涡的干扰进行研究时指出，桨尖涡干扰所形成的“涡对”现象与两无粘涡环所产生的蛙跳运动类似，并非一种内在不稳定现象，引起了对尾迹涡线稳定性的争论。

同在2000年，Bhagwat在文[1]中使用自由尾迹方法，同样是假设在涡线上存在正弦扰动，对悬停状态的畸变尾迹涡线进行了特征值分析，得出了与无限长理想螺旋尾迹类似的稳定性结论，再次印证了旋翼尾迹涡线内在不稳定的结论。

在国内，2007年，王海、徐国华[8]在文[1]的基础上，进一步分析了前飞状态下的尾迹稳定性，认为前飞尾迹也存在不稳定性。

前述论文在尾迹稳定性的研究上做出了卓有成效的工作，但并未指明正弦扰动的理论来源及意义，为进一步完整稳定性分析方法的理论依据，本文从傅立叶方法出发，将正弦扰动深化为任意扰动下的傅立叶谐波，分析了在任意扰动下的尾迹涡线上任一点的稳定性，假定涡线上存在任意的扰动分布，并将其展开成为一组傅立叶级数，通过对尾迹运动的线化扰动方程左右端取变分从而得到任意扰动下的尾迹涡线扰动方程，再对其进行特征值分析从而得到瞬时状态下尾迹上任一点的稳定性结果。

另外，前述论文停留在孤立分析规则螺旋或旋翼尾迹上某一点的瞬时稳定性，本文在深化为任意扰动的基础上，以H-34桨叶模型为例，详细计算分析了悬停状态下，尾迹条数（桨叶片数）、涡核分布以及尾迹畸变对尾迹随寿命角变化的尾迹整体瞬时稳定性的影响，从而得出一些重要结论。

2 方法2.1 傅立叶稳定性分析方法假设涡线上存在任意大小及分布的一系列扰动，其中，寿命角为零的起始端由于固连桨叶，扰动112113为零。

则这组扰动可以分解为一组傅立叶级数，如下所示：()mik m mA e ζεζ=∑(1)其中，ζ为尾迹寿命角，m 对应各阶傅立叶级数，m A 为各阶谐波放大系数，考虑到cos sin m ik m m e k i k ζζζ=+，式(1)同时表达了正弦和余弦级数，但其中只有实数部分代表扰动量。

m k 为当前谐波的波数，即整个尾迹所能包含的整波数量。

由于涡线末端扰动量不为零，为了补齐扰动函数周期性，所以波数可以为小数。

设m A 随时间t 指数变化，则：0()m t m m A e αδ=(2)其中，0()m δ为各阶谐波的权重，m α为各阶谐波随时间t 的增长率系数，可见，当0m α>时，该阶谐波发散不稳定，当0m α<时，该阶谐波收敛稳定，当0m α=时，该阶谐波处于中性状态。

2.2 线化扰动方程根据涡的运动定理，旋翼尾迹涡线的运动方程为：()drv r dt= (3) 式中，r 为尾迹涡线上任意一点的位置向量，()v r 为该点的当地速度，包括该点的总诱导速度和来流速度，通过该方程可以迭代求解出尾迹的收敛几何形状。

假设当前的尾迹上存在一小扰动量r δ，则扰动后的尾迹涡线的运动方程为：()()d r r v r r dtδδ+=+ (4)(4)式减去(3)式，得到扰动量的运动方程为：()()()d r v r r v r dtδδ=+- (5)将上式右端用泰勒级数展开并略去高阶小量，得到线化后的扰动方程：()()d r v r dtδδδ= (6)2.3 诱导速度扰动项方程(6)右端的速度项包括该点的来流速度和总诱导速度，目前只考虑尾迹涡线的扰动所带来的影响，因此，小扰动只对诱导速度项产生作用。

对尾迹涡线进行离散处理，推导涡线上任意一点由于尾迹扰动量所产生的诱导速度项的解析式。

由诱导速度公式，即毕奥-萨瓦定律，一小段环量强度为Γ的涡元AB 对任意一点P 所产生的诱导速度为：12(cos cos )4v e hθθπΓ=- (7)式中，e C C =为诱导速度的方向向量，h C l =为点P 到涡元的距离，111cos l r lr θ=⋅，222cos l r lr θ=⋅。

其中1θ、2θ分别为向量AP 、BP 与向量AB 的夹角，B A l r r =-，1P A r r r =-，2P B r r r =-，1C l r =⨯。

由于当P 点在靠近涡线处会得出的不正确的无穷大诱导速度，在(7)式中引入涡核修正因子()1/222nn n c h r h κ=+，其中，c r 为涡核半径，得到：12(cos cos )4v e hκθθπΓ=⋅-(8)对上式左右两端取变分，得到：114()1212122()(cos cos )(cos cos )(cos cos )()4v e h he h e hκδμθθδδθθθθδπΓ=⋅-+-+-⎡⎤⎣⎦ (9) 式中，22221nn nc h r h μ=-+，展开各个变分项，得到：()()()()A A B B P P h H r H r H r δδδδ=⋅+⋅+⋅(10)式中，3A A N C H l lC l =+，3B B N CH l lC l =-，P P N H lC=，其中，2A N C r =⨯，1B N r C =⨯，P N C l =⨯。

()()()()12cos cos A A B B P P S r S r S r δθθδδδ-=⋅+⋅+⋅(11)式中，121112211211cos cos A r r l S r lr l l r lr r l lr l θθ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+----⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 121122212211cos cos B r r l S r l r l l r lr l lr l r θθ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-----⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 1122112211cos cos P l l S l r l r lr r lr r θθ⎡⎤⎡⎤=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()()A A B B P P e E r E r E r δδδδ=++(12)式中，[][][][][]21333111111,,T T TA AB B P PE r C N E r C N E l C N C C C C C C ***⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 其中，A ⎡⎤⎣⎦为向量A 的矩阵表示，A *⎡⎤⎣⎦表示由向量A 所张成的二阶反对称张量。

综合各变分项代入式(9)，可得：()()()()24A A B B P P v M r M r M r h κδδδδπΓ=++⎡⎤⎣⎦ (13)易见式中，()[][]()1212cos cos cos cos TTj j j j M e H h e S h E μθθθθ⎡⎤⎡⎤=-++-⎣⎦⎣⎦，,,j A B P =。

至此，得到了任一直线段涡元对任一点诱导速度扰动量与各点扰动量之间的关系式，通过叠加所有段涡元便可得到尾迹上任一点诱导速度扰动量与所有节点扰动量之间的关系。

2.4 特征值分析如式(1)、(2)所示，已在尾迹涡线上给定一组任意扰动：0()()mmt ik m me e αζεζδ=∑(14)式中，考虑到悬停尾迹的几何机构特点，[]0(),,Tm r z δθ=采用的是柱坐标，于是，需要进行坐标转换，对直角坐标系下尾迹上任一节点[](),,Tr x y z ζ=：0()()mmt ik m mr T e e αζδδ=∑(15)115式中，cos sin 0sin cos 001r T r θθθθ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，对于()r δ于是有： 0()0()()mmmmt ik t ik m m m m mr T e e T e e αζαζδδαδ=+∑∑(16)综合式(13)、(15)，代入扰动方程(6)的右边，并将式(16)代入方程的左边，便可得到任意扰动下的尾迹涡线扰动方程，仅考虑其中某一波数下的情况，由于该方程为线性方程，若最后能得到与波数m k 无关的稳定性结果，即表明各阶谐波都为稳定或不稳定，则可得到关于尾迹涡线稳定性的普遍结论。

取涡线上某一点P ，仅考虑某一波数下的情况，可得到扰动方程：00m P m PP P ik ik t t P P P T T e e V e e ζζαααδδ⎡⎤+=⎣⎦(17)式中，[]2cos(())cos(())4mA P A A mB P B B P P nV kM T k M T M T h κζζζζπΓ=-+-+∑，其中，n 为尾迹总涡段数。

另外，由于要满足任意波数下放大系数0m PP ik t eeζαδ的任意性，方程(17)可转化为标准的求特征值问题。

所以，涡线上某一点P 的某阶谐波随时间t 增长率系数P α即为矩阵1()P P V T T --的最大特征值。

再对尾迹上任意点的增长率系数α取无量纲，有24N rαπα⋅=Γ。

另外可以看到，矩阵1()P P V T T --受很多因素影响，如环量强度，尾迹形状，涡核半径，P 点位置的选取等，不同的矩阵得到不同的特征值α。