第1章 傅立叶分析

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傅里叶分析报告教程(完整版)

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傅里叶分析之掐死教程(完整版)更新于2014.06.06Heinrich · 6 个月前作者:韩昊知乎:Heinrich 微博:@花生油工人知乎专栏:与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师,柳晓鸣老师,王新年老师以及张晶泊老师。

转载的同学请保留上面这句话,谢谢。

如果还能保留文章来源就更感激不尽了。

我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同,这是12年还在果壳的时候写的,但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年,嗯,我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是:要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具,更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。

但不幸的是,傅里叶分析的公式看起来太复杂了,所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。

老实说,这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程,不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。

(您把教材写得好玩一点会死吗?会死吗?)所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析,有可能的话高中生都能看懂的那种。

所以,不管读到这里的您从事何种工作,我保证您都能看懂,并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。

至于对于已经有一定基础的朋友,也希望不要看到会的地方就急忙往后翻,仔细读一定会有新的发现。

——————————————以上是定场诗——————————————下面进入正题:抱歉,还是要啰嗦一句:其实学习本来就不是易事,我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松,充满乐趣。

但是千万!千万不要把这篇文章收藏起来,或是存下地址,心里想着:以后有时间再看。

这样的例子太多了,也许几年后你都没有再打开这个页面。

无论如何,耐下心,读下去。

这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……p.s.本文无论是cos还是sin,都统一用“正弦波”(Sine Wave)一词来代表简谐波。

一、什么是频域从我们出生,我们看到的世界都以时间贯穿,股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。

信号分析与处理第1章

信号分析与处理第1章

隔取值,用 n 表示离散取值的时间
自变量。 n 叫序号,只取整数。
•值域不 连续
1.1.3 信号的分类 3、周期信号与非周期信号
(根据信号在某一区间内是否重复出现来分类)
周期信号: 按照一定的时间间隔 T 周而复始且无始无终
的信号。
如 :
非周期信号:信号在时间上不具有周而复始的特性,或者 说信号的周期趋于无穷大。
2 动态系统的线性判断 •例4 判断下列系统是否为线性系统。

•(1)
•(2)
•解(1)
•显然,
•不满足可分解性,故为非线性系统
•(2) • 由于
满足可分解性

•不满足零状态线性 • 故为非线性系统
•1.2.3 系统的性质 二、线性系统与非线性系统
• 3 线性系统另外三个重要特性:
•x(t
•y(t
)
•1.1.1 典型信号举例
• 例3: 每个钢琴键弹奏的音对应一个基波频率和许多谐波频 率。下图是钢琴CEG位置和对应的和弦信号的频谱。该频谱中 有三个尖峰,信号中每个音对应一个,中音C的尖峰位于262赫 兹,右边的E和G对应的尖峰位于较高频率处,分别为330赫兹和 392赫兹。这种情况下,用信号频域的频谱比用信号时域的波形 更能直观、清晰的体现信号的信息。
• (1)物理系统:如通信系统、雷达系统等。 • (2)因为系统是完成某种运算(操作)的,因而还可以 把软件编程也看成一种系统的实现方法(数学信号处理系统)。
• (3)系统的输入信号,称激励
,称响应

,系统的输出信号
•1.2.2 系统的概念 (4)连续时间系统:系统的输入和输出都是连续时间信号,且其 内部也没转换为离散时间信号。其时域数学模型是微分方程。举例 :RLC电路 (5)离散时间系统:系统的输入和输出都是离散时间信号。其 时域数学模型是差分方程。举例:如数字计算机。 (6)混合系统:离散时间系统经常与连续时间系统组和使用

信息光学第一章

信息光学第一章

4 乘积特性
ϕ ( x)δ ( x − x0 ) = ϕ ( x0 )δ ( x − x0 ) 从物理上去怎么理解呢? 从物理上去怎么理解呢?
所以等式成立。 当x≠x0, 由于δ (x−x0)=0, 所以等式成立。 ≠ − 当x=x0, ϕ (x)=ϕ (x0), 等式显然成立。 等式显然成立。 显然成立 推论: 推论:
cos(x), |x|≤π/2 0 其它 求 f (-x/2+π/4)
例题: 例题: f(x)=rect(x),将该函数压缩 倍 , 然后向左平移 , 并 ,将该函数压缩2倍 然后向左平移3, 为轴折叠, 以x=1为轴折叠,求最后得到的函数,并画出函数图。 为轴折叠 求最后得到的函数,并画出函数图。 1 -1/2 o
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.常用函数—变型 用函数 变型f(x) x
平移 缩放
f(x- x0) x0 x f(x/a) x
倍乘 折叠 取反
f(-x) x -f(x) x bf(x)
x
平移
(原点移至 0) 原点移至x 原点移至
比例缩放
折叠
镜像对称
取反
镜像对称
a>1, 在x方向展宽 倍 与f(x)关于 轴 方向展宽a倍 方向展宽 关于y轴 与f(x)关于 轴 关于 关于x轴 关于 a<1, 在x方向压缩 倍 方向压缩a倍 方向压缩
f[-2(x-2)]
-1
0
-1/2
0
0
3/2
x
解2: 根据已知条件有 :
− 2 x + 4, f ( − 2 x + 4) = 0,
0 < −2 x + 4 < 1 else

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傅里叶分析之掐死教程(完整版)投递人itwriter发布于2014-06-07 10:50 评论(24)有34667人阅读原文链接[收藏]«»作者:韩昊知乎:Heinrich微博:@花生油工人知乎专栏:与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师,柳晓鸣老师,王新年老师以及张晶泊老师。

转载的同学请保留上面这句话,谢谢。

如果还能保留文章来源就更感激不尽了。

——更新于,想直接看更新的同学可以直接跳到第四章————我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同,这是12 年还在果壳的时候写的,但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年,嗯,我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是:要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具,更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。

但不幸的是,傅里叶分析的公式看起来太复杂了,所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。

老实说,这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程,不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。

(您把教材写得好玩一点会死吗会死吗)所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析,有可能的话高中生都能看懂的那种。

所以,不管读到这里的您从事何种工作,我保证您都能看懂,并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。

至于对于已经有一定基础的朋友,也希望不要看到会的地方就急忙往后翻,仔细读一定会有新的发现。

————以上是定场诗————下面进入正题:抱歉,还是要啰嗦一句:其实学习本来就不是易事,我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松,充满乐趣。

但是千万!千万不要把这篇文章收藏起来,或是存下地址,心里想着:以后有时间再看。

这样的例子太多了,也许几年后你都没有再打开这个页面。

无论如何,耐下心,读下去。

这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…….本文无论是cos 还是sin,都统一用“正弦波”(Sine Wave)一词来代表简谐波。

第1章二维线性系统及其傅里叶分析2

第1章二维线性系统及其傅里叶分析2

F.T.
G(f) 1 -1 1 0
频域扩展
f
F.T.
1 G( fx ) aa
1/2
-2 0 2
f
3. 位移定理 SHIFTING
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数 振幅分布不变,但位相随频率线性改变.
{g(x-a, y-b)}= G(fx, fy) exp[-j2(fxa+fyb)]
4. {Gaus(x)} = Gaus(f ) 高斯函数的F.T.仍为高斯函数
5. {d (x-a)}=exp(-j2fxa)
{exp(j2fax)}= d (fx-fa)
6.
{c os(2f0 x)
1 [d
2
(
fx
f0) d (
fx
f0 )]
{sin(2f 0 x)
1 [d (
2j
fx
f0) d (
• F.T.的积分定理 • F.T.的卷积定理
1.9 常用傅里叶变换对
1. {1}=d (fx,fy);
{d (fx,fy)}=1
1 与d 函数互为F.T.
22.
{comb(x) comb(f )
梳状函数的F.T.仍为梳状函数
1
t
comb( x
t
)
c
omb(tf
)
3. {rect(x)}=sinc(f); {sinc(x)}= rect(f) rect与sinc 函数互为F.T.
频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.
{g(x,y) exp[j2(fax+fby)]}= G(fx- fa, fy- fb) 推论: 由 {1}= d (fx,fy)

复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换

复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换

解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中,除了连续分布量之外, 还有集中作用在一点的量. 例如,点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲:
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)

f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d

傅里叶变换详细讲述

傅里叶变换详细讲述

第三章傅里叶变换3-1 概述对于一件复杂的事情,人们总是从简单的一步开始做起,富丽堂皇的高楼大厦,是人们一块砖一块砖垒起来的。

为了简化问题的求解,人们往往也使用“变换分析”这种技巧,所起“变换”大家可能会感到陌生,其实我们在中学时已经运用了“变换分析”技巧,大家一定还记得对数运算,它实际上也是一种数学变换,我们知道两个数的乘积的对数等于两个数的对数和,两个数的商的对数等于这两个数的对数差,利用对数这个运算规则我们可以将数的乘积运算转换(准确地说变换)为数的加法运算,可以将数的除法运算转换(变换)为数的减法运算,可见“变换分析”给我们解决问题带来了方便,傅里叶变换就是给我们分析问题和解决问题极为方便的数学工具。

线性非时变系统的卷积分析实际上是基于将输入信号分解为一组加权延时的单位冲激(或样值)激励的线性组合。

本章将讨论信号和系统的另一种表示,其基本观点还是将信号分解为一组简单函数的线性组合,但是这里用的简单函数不是单位冲激(或样值)而是三角函数(或复指数函数)。

用“三角函数和”表示信号的想法至少可以追溯到古代巴比伦时代,当时他们利用这一想法来预测天体运动。

这一问题的近代研究始于1748年,欧拉在振动弦的研究中发现:如果在某一时刻振动弦的形状是标准振动(谐波)模的线性组合,那么在其后任何时刻,振动弦的形状也是这些振动模的线性组合。

另外,欧拉还证明了在该线性组合中,其后的加权系数可以直接从前面时间的加权系数中导出。

欧拉的研究成果表明了:如果一个线性非时变系统输入可以表示为周期复指数或正弦信号的线性组合,则输出也一定能表示成这种形式。

现在大家已经认识到,很多有用的信号都能用复指数函数的线性组合来表示,但是在18世纪中期,这一观点还进行着激烈的争论。

1753年D.伯努利(D.Bernoulli)曾声称:一根弦的实际运动都可以用标准(谐波)振荡模的线性组合来表示。

而以J.L.拉格朗日(grange)为代表的学者强烈反对使用三角级数来研究振动弦运动的主张,他反对的论据就是基于他自己的信念,即不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数。

第一章 傅里叶分析

第一章 傅里叶分析
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《傅里叶光学•第2版》电子教案
第一章主要内容
1、常用函数
2、卷积和相关 3、空间频率及空间频谱 4、傅里叶级数 5、傅里叶变换
本章教学目标
1、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理论, 包括常用函数、常见的光学运算,以及傅里叶变换方 法和线性系统理论。
圆孔光瞳的非相干脉冲响应 以及圆孔的夫琅和费衍射图样
1、一些常用函数
需要特别说明的是,上面提到的常用函数有的本身就是二维函
数,而那些只给出一维形式的函数也具有二维形式,这里不再赘 述,只给出这些常用二维函数的图形化表示。 二维矩形函数
x x0 y y 0 x x0 y y0 rect ( , ) rect ( )rect ( ) b d b d
x y Circ r0
2 2
应用
1 0 x 2 y 2 r0 others
常用来表示圆孔的透过率。
1、一些常用函数 * 8)斜坡函数( Ramp function) 定义 应用
x x0 常用来表示边界透过率的灰阶变化。 0, x x0 b b ram p( ) x x0 x x0 b , b b b
( x n, y m) comb x comb y


n m


( x na, y mb)

1 x y comb comb ab a b
应用 常用二维梳状函数表示点 光源阵列或小孔阵列的透 过率函数。
1、一些常用函数
二维高斯函数
Gauss( x x0 y y0 x x0 y y0 , ) Gauss( )Gaus( ) b d b d
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3)矩形函数 (Rectangle function)
定义
应用
rect

x a

=
1 0
x ≤a2 others
常用矩形函数表示狭缝、矩孔的透 过率;它与某函数相乘时,可限制 该函数自变量的范围,起到截取的 作用,故又常称为“门函数”。
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f (x, y)δ (x − x0 , y − y0 ) = f (x0 , y0 )δ (x − x0 , y − y0 )
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光学信息技术原理与应用
1、一些常用函数
10)梳状函数( Comb function)
ü一维情况 沿x轴间隔为1的无穷个脉冲函数的和 沿x轴间隔为 τ的无穷个脉冲函数的和
δ ( x, y) = lim N 2rect ( Nx) rect ( Ny) N →∞
δ ( x, y) = lim N 2 sin c ( Nx)sin c ( Ny) N →∞
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光学信息技术原理与应用
1、一些常用函数
ü δ函数的运算要通过积分作用于另一个函数才能得 到定值,它是一种“广义函数”。把δ函数当作广义函 数给出比较严格的定义:
a) 筛选性质 +∞
∫ ∫ δ ( x − x0, y − y0 )φ ( x, y) dxdy = φ ( x0, y0 ) −∞
b) 对称性
δ (−x) = δ (x)
c) 比例变化性质 d) 与其他函数的乘积
δ
(αx

x0 )
=
1 |α
δ |
(x

x0 α
)
δ(x
− x0 b
)
=
bδ (x

x0 )
0, x b
− x0
b
< x0 b
,x > b
x0 b
ramp( x − x0 ) b
slope=1/b
常用来表示边界透过率的灰阶变化。
slope=1/2
ramp( x −1) −2
1
1
0
x0
x0+b
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 x
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光学信息技术原理与应用
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光学信息技术原理与应用
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光学信息技术原理与应用
1、一些常用函数
6)高斯函数 (Gauss function)
定义
应用
Gaus

x a

=
exp
−π
bb
b
f ( x )* h( x ) ≠ g( x )
b
b
b
(1)任意函数与δ函数的卷积是其本身
f (x, y)*δ (x, y) = f (x, y)
(2)任意函数与发生某一平移的δ函数的卷积,则是该函数平移到脉冲函数 平移到的空间位置。
f (x, y) *δ (x − x0, y − y0 ) = f (x − x0, y − y0 )
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光学信息技术原理与应用
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光学信息技术原理与应用
1、一些常用函数
4)三角形函数 (Triangle function)
定义
tri

x a

=
1


0
x x
a others

a
应用
常用来表示光瞳为矩形的非 相干成像系统的光学传递函 数。
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光学信息技术原理与应用
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光学信息技术原理与应用
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光学信息技术原理与应用
1、一些常用函数
2)符号函数 (Sign function)
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光学信息技术原理与应用
本章教学目标
1、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理 论,包括常用函数、常见的光学运算,以及傅里叶变 换方法和线性系统理论。 2、本章主要介绍傅里叶变换方法,使学生掌握一些常 用函数的傅里叶变换; 3、理解常见光学运算,特别是卷积和相关运算的基本 概念,并将两者与傅里叶变换联系起来。
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光学信息技术原理与应用
1、一些常用函数
5)sinc函数 (Sinc function)
定义
sin c

x a

=
sin

π
πx a x

a
零点位置:
x = ±na (n = 1, 2,3,L)
应用 常用来描述狭缝或矩形孔的 夫琅和费衍射图样。
y2

=
1 0
x2 + y2 ≤ r0 others
常用来表示圆孔的透过率。
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光学信息技术原理与应用
1、一些常用函数
* 8)斜坡函数( Ramp function)
定义
应用
ramp( x
− x0 b
)
பைடு நூலகம்
=

x
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1、一些常用函数
光学信息技术原理与应用
ü圆形光瞳的相干脉冲响应
ü圆孔光瞳的非相干脉冲响应 以及圆孔的夫琅和费衍射图样
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光学信息技术原理与应用
l 本节介绍了多种基本函数 阶跃函数,符号函数,矩形函数,三角形函数,
sinc函数,Sinc平方函数,高斯函数,脉冲函数,
结合律
[ f (x, y)*g(x, y)]*h(x, y) = f (x, y)*[g(x, y)*h(x, y)]
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光学信息技术原理与应用
定标性质

f (x) * h(x) = g(x)

注意: δ函数的卷积性质
f ( x ) * h( x ) = b g( x )
梳状函数,柱函数
重点为基元函数的图形及其物理应用
矩形函数, sinc函数,Sinc平方函数,脉冲函 数,梳状函数,要尤其重点掌握。
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1.3卷积
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光学信息技术原理与应用
l 卷积积分是一个无穷积分,从数学上要考虑其 存在条件。对于实际的物理系统和可探测信 号,它们的取值和取值区间都是有限的,可以 保证卷积积分的有限性。
l 为了满足卷积积分的定义域要求,令取值区间 外的函数值恒为零这样把函数信号定义域扩展 到无限区间。
l 卷积积分是多点对一点的运算。把自变量x理 解为一个点时,卷积是对应该点的值。把自变 量理解为一个不同点时,那么卷积积分就是以 x为自变量的函数。
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光学信息技术原理与应用
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光学信息技术原理与应用
1、一些常用函数
7)圆域函数 (Circle function)
定义
应用
Circ
x2 + r0
光学信息技术原理与应用
ü 卷积运算的两个效应
(1)展宽 (2)平滑化
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光学信息技术原理与应用
ü 卷积的性质 交换律
f (x, y)*h(x, y) = h(x, y)* f (x, y)
分配律
[af (x, y)+bg(x, y)]*h(x, y) =a[ f (x, y)*h(x, y)]+b[g(x, y)*h(x, y)]
∞∞
∑ ∑ δ (x − n, y − m) = comb( x) comb( y)
n=−∞ m=−∞
∑ ∑ ∞
n=−∞

δ
m=−∞
(x

na,
y

mb)
=
1 ab
comb

x a

comb

y b

应用
常用二维梳状函数表示点 光源阵列或小孔阵列的透 过率函数。
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定义
1 x > 0
sgn ( x) = 0 x = 0
−1 x < 0
应用
Sgn(x-x0)表示间断点移到x0的符 号函数,当它与某函数相乘,可 使函数x<x0部分的函数极性改变。
π相位板的振幅透过率
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光学信息技术原理与应用
1、一些常用函数
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光学信息技术原理与应用
1、一些常用函数
*11)宽边帽函数( Somb function)
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