第1章 傅立叶分析

3）矩形函数 (Rectangle function)
定义
应用
rect

x a

=
1 0
x ≤a2 others
常用矩形函数表示狭缝、矩孔的透 过率；它与某函数相乘时，可限制 该函数自变量的范围，起到截取的 作用，故又常称为“门函数”。
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f (x, y)δ (x − x0 , y − y0 ) = f (x0 , y0 )δ (x − x0 , y − y0 )
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光学信息技术原理与应用
1、一些常用函数
10）梳状函数( Comb function)
ü一维情况 沿x轴间隔为1的无穷个脉冲函数的和 沿x轴间隔为 τ的无穷个脉冲函数的和
δ ( x, y) = lim N 2rect ( Nx) rect ( Ny) N →∞
δ ( x, y) = lim N 2 sin c ( Nx)sin c ( Ny) N →∞
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1、一些常用函数
ü δ函数的运算要通过积分作用于另一个函数才能得 到定值，它是一种“广义函数”。把δ函数当作广义函 数给出比较严格的定义：
a) 筛选性质 +∞
∫ ∫ δ ( x − x0, y − y0 )φ ( x, y) dxdy = φ ( x0, y0 ) −∞
b) 对称性
δ (−x) = δ (x)
c) 比例变化性质 d) 与其他函数的乘积
δ
(αx
−
x0 )
=
1 |α
δ |
(x
−
x0 α
)
δ(x
− x0 b
)
=
bδ (x
−
x0 )
0, x b
− x0
b
< x0 b
,x > b
x0 b
ramp( x − x0 ) b
slope=1/b
常用来表示边界透过率的灰阶变化。
slope=1/2
ramp( x −1) −2
1
1
0
x0
x0+b
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 x
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1、一些常用函数
6）高斯函数 (Gauss function)
定义
应用
Gaus

x a

=
exp
−π
bb
b
f ( x )* h( x ) ≠ g( x )
b
b
b
（1）任意函数与δ函数的卷积是其本身
f (x, y)*δ (x, y) = f (x, y)
（2）任意函数与发生某一平移的δ函数的卷积，则是该函数平移到脉冲函数 平移到的空间位置。
f (x, y) *δ (x − x0, y − y0 ) = f (x − x0, y − y0 )
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1、一些常用函数
4）三角形函数 (Triangle function)
定义
tri

x a

=
1
−

0
x x
a others
≤
a
应用
常用来表示光瞳为矩形的非 相干成像系统的光学传递函 数。
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1、一些常用函数
2）符号函数 (Sign function)
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本章教学目标
1、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理 论，包括常用函数、常见的光学运算，以及傅里叶变 换方法和线性系统理论。 2、本章主要介绍傅里叶变换方法，使学生掌握一些常 用函数的傅里叶变换； 3、理解常见光学运算，特别是卷积和相关运算的基本 概念，并将两者与傅里叶变换联系起来。
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1、一些常用函数
5）sinc函数 (Sinc function)
定义
sin c

x a

=
sin

π
πx a x

a
零点位置：
x = ±na (n = 1, 2,3,L)
应用 常用来描述狭缝或矩形孔的 夫琅和费衍射图样。
y2

=
1 0
x2 + y2 ≤ r0 others
常用来表示圆孔的透过率。
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1、一些常用函数
* 8）斜坡函数( Ramp function)
定义
应用
ramp( x
− x0 b
)
பைடு நூலகம்
=

x
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ü圆形光瞳的相干脉冲响应
ü圆孔光瞳的非相干脉冲响应 以及圆孔的夫琅和费衍射图样
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l 本节介绍了多种基本函数 阶跃函数，符号函数，矩形函数，三角形函数，
sinc函数，Sinc平方函数，高斯函数，脉冲函数，
结合律
[ f (x, y)*g(x, y)]*h(x, y) = f (x, y)*[g(x, y)*h(x, y)]
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定标性质
若
f (x) * h(x) = g(x)
则
注意： δ函数的卷积性质
f ( x ) * h( x ) = b g( x )
梳状函数，柱函数
重点为基元函数的图形及其物理应用
矩形函数， sinc函数，Sinc平方函数，脉冲函 数，梳状函数，要尤其重点掌握。
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1.3卷积
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l 卷积积分是一个无穷积分，从数学上要考虑其 存在条件。对于实际的物理系统和可探测信 号，它们的取值和取值区间都是有限的，可以 保证卷积积分的有限性。
l 为了满足卷积积分的定义域要求，令取值区间 外的函数值恒为零这样把函数信号定义域扩展 到无限区间。
l 卷积积分是多点对一点的运算。把自变量x理 解为一个点时，卷积是对应该点的值。把自变 量理解为一个不同点时，那么卷积积分就是以 x为自变量的函数。
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1、一些常用函数
7）圆域函数 (Circle function)
定义
应用
Circ
x2 + r0
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ü 卷积运算的两个效应
（1）展宽 （2）平滑化
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ü 卷积的性质 交换律
f (x, y)*h(x, y) = h(x, y)* f (x, y)
分配律
[af (x, y)+bg(x, y)]*h(x, y) =a[ f (x, y)*h(x, y)]+b[g(x, y)*h(x, y)]
∞∞
∑ ∑ δ (x − n, y − m) = comb( x) comb( y)
n=−∞ m=−∞
∑ ∑ ∞
n=−∞
∞
δ
m=−∞
(x
−
na,
y
−
mb)
=
1 ab
comb

x a

comb

y b

应用
常用二维梳状函数表示点 光源阵列或小孔阵列的透 过率函数。
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定义
1 x > 0
sgn ( x) = 0 x = 0
−1 x < 0
应用
Sgn(x-x0)表示间断点移到x0的符 号函数，当它与某函数相乘，可 使函数x<x0部分的函数极性改变。
π相位板的振幅透过率
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1、一些常用函数
*11）宽边帽函数( Somb function)