离散傅立叶变换及谱分析
3-3 第三章 离散傅里叶变换-三种误差
ω(，造成频谱泄露 见程序演示
解决频谱泄露问题：
1、增大N 2、使信号缓慢截断，即加旁瓣小的窗
3.栅栏现象 j X (e ) 的频域采样，因此 X (k ) 只反映了在 X (k ) 是 离散点 2k / N（ 0 k N 1）上的值，而无法反 映这些点之间的频谱内容。这就是栅栏现象。 如果原始信号的频谱峰值正好在两个离散点之 间时，离散傅里叶变换就无法检测出此峰值。
θ(π)
200 150 100 50 0 -50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
ω(π)
0.8 1
30 20 10 0 -10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Hd(e jθ)
W(e jω-θ)
θ(π)
200 150 100 50 0 -50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
2π DFT的谱线间隔等于 N
，所以，等效的频率
分辨率为
f
fs f N
用DFT做谱分析的参数选择原则：主要是 f s 和N。 第一：取样频率 f s 应满足奈奎斯特取样率, 即 Ts 1/ 2 f m。 第二：采样点数N一般由频率分辨率 f 来确定， 即 N f s / f ，考虑到DFT由FFT算法实现，一 般N取成2的整数幂（ N 2 M ） 第三：上面两个参数确定后，进而得到信号的记录 长度 T NT N / f 1 。
频率分辨率与DFT参数的选择
频率分辨率可以从两个方面来定义： 第一种定义是广义的，能够分辨开靠得很近的 两个频率分量的能力，也称作频率分辨力。 第二种定义是狭义的，专门用于刻画DFT的一 种频谱分析性能，是指某点数条件下DFT所表 示的最小频率间隔。这种定义不一定具有第一 种频率分辨率的含义。
实验四离散信号频谱分析
实验四 离散信号的频域分析一、 实验目的1. 掌握序列的傅里叶变换、离散傅里叶级数、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换的Matlab 实现；2.学习用FFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT 。
二、 实验原理及方法1. 离散非周期信号的谱分析 （1） 序列的傅里叶变换对于满足绝对可和的序列，即∞<∑∞∞-|)(|n x ，其傅里叶变换和反变换的定义为∑∞-∞=-=n nj j en x e X ωω)()( （4.1）ωπωππωd eeX n x nj j ⎰-=)(21)( （4.2）序列)(n x 是离散的，但)(ωj e X 是以π2为周期的ω的连续函数，为了能够在计算机上处理，需要对)(n x 进行截断，对频域进行离散化，近似处理后21()()kk n j j nn n X ex n eωω-==∑（4.3）其中2k k Mπω=，M 是对ω在一个周期内的采样，k 的取值由读者确定，若想观察一个周期内的频谱，0~1k M =-，若观察两个周期，0~21k M =-，以此类推。
序列傅里叶变换的Matlab 实现： n=n1:n2;M=input(…put in the number M=‟); k=0:2*M-1; %观察两个周期X=x*(exp(-j*2*pi/M)).^(n ‟*k)；%序列的傅里叶变换 对4()R n 进行序列的傅里叶变换得到图4-1。
图4-1 信号及信号的幅度谱和相位谱（2）离散傅里叶变换（DFT ）如果序列)(n x 是有限长的，序列的谱分析可以采用离散傅里叶变换，其定义为：10,)()]([)(10-≤≤==∑-=N k W n x n x DFT k X N n knN（4.4）10,)(1)]([)(1-≤≤==∑-=-N n Wk X Nk X IDFT n x N k kn N（4.5）因为)(n x 与)(k X 都是离散的，所以可以利用计算机进行数值计算。
离散傅里叶变换时移-概述说明以及解释
离散傅里叶变换时移-概述说明以及解释1.引言1.1 概述离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将一个离散信号（或称时域信号）转换为频域表示的数学工具。
在现代信号处理和通信领域中，DFT被广泛应用于信号分析、滤波、频谱估计等领域。
DFT的概念源于傅里叶分析，它是将一个连续时间函数表示为一组基函数乘以一系列复数系数的线性组合。
而离散傅里叶变换则是将这一思想应用于离散信号，将离散时间序列转换为离散频率表示。
通过使用离散傅里叶变换，我们可以将一个时域上的离散信号转换为频域上的频谱表示，从而可以更加直观地观察信号的频率成分和能量分布。
离散傅里叶变换的时移性质是指当输入信号在时域上发生时移时，其在频域上的表示也随之发生相应的时移。
这一性质使得我们可以通过时移操作对信号进行处理和分析。
具体来说，如果我们对一个信号进行时移操作，即将信号中的每个样本向前或向后平移若干个位置，那么该信号在频域上的表示也会相应地发生同样的平移。
在本文中，我们将着重讨论离散傅里叶变换时移的原理和性质。
我们将介绍离散傅里叶变换的基本概念和原理，包括如何进行DFT变换、如何计算DFT系数以及DFT的逆变换等。
然后，我们将详细解释离散傅里叶变换的时移性质，包括时域上的时移操作如何在频域上体现以及时域和频域之间的变换关系等。
通过对离散傅里叶变换时移性质的研究，我们可以更好地理解信号在时域和频域之间的关系，以及对信号进行时移操作的影响。
同时，我们还将探讨离散傅里叶变换时移的应用，包括在信号处理、通信系统和图像处理等领域中的具体应用案例。
通过这些应用案例，我们将展示离散傅里叶变换时移的重要性以及它在实际问题中的实用价值。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，首先概述了离散傅里叶变换时移的主题，介绍了离散傅里叶变换的基本概念和原理。
接着，详细说明了本文的结构，即按照离散傅里叶变换时移的相关性质展开论述。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)C
(3.4.9)
def 1 ' 1 ' X (k ) X a f k k X a kF f = T T NT T
p
k 0,1, 2,, N 1
由此可得： ' kF =TX (k ) T DFT[ x(n)] X a N
k 0,1, 2,, N 1
解：
1 1 Tp 0.1 s F 10
因此Tp min=0.1 s。因为要求Fs≥2fc，所以
Tmax
N min
1 1 0.2 103 s 2 f c 2 2500 2 f c 2 2500 500 F 10
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
为使用DFT的快速算法FFT，希望N符合2的整数幂，为此 选用N =512点。 为使频率分辨率提高1倍，即F=5 Hz，要求：
说明了X(k)与Xa(jΩ)的关系. 为了符合一般的频谱描述习惯，以频率f为自变量
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
令：
X a' ( f ) X a j X a j2πf 2 πf ' 2πf Xa ( f ) X X a a 2 πf
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
x ( n) 如果 ~ 的周期预先不知道，可先截取M点进行DFT，即
(n) RM (n) xM (n) x X M (k ) DFT[ xM (n)]
再将截取长度扩大1倍，截取
0 k M 1
（3.4.18）
x (n)的频谱结构，只是在k=im 由此可见，XM(k)也能表示 ~ (i) ，表示 ~ x (n) 的i次谐波谱线，其幅度扩 时，X (im) mX
基于Matlab的DFT及FFT频谱分析
基于Matlab的DFT及FFT频谱分析基于Matlab的DFT及FFT频谱分析一、引言频谱分析是信号处理中的重要任务之一，它可以揭示信号的频率特性和能量分布。
离散傅里叶变换（DFT）及快速傅里叶变换（FFT）是常用的频谱分析工具，广泛应用于许多领域。
本文将介绍通过Matlab进行DFT及FFT频谱分析的方法和步骤，并以实例详细说明。
二、DFT及FFT原理DFT是一种将时域信号转换为频域信号的离散变换方法。
它将信号分解成若干个正弦和余弦函数的叠加，得到频率和幅度信息。
FFT是一种高效的计算DFT的算法，它利用信号的对称性和周期性，将计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。
FFT通过将信号分解成不同长度的子序列，递归地进行计算，最终得到频谱信息。
三、Matlab中的DFT及FFT函数在Matlab中，DFT及FFT可以通过内置函数进行计算。
其中，DFT使用函数fft，FFT使用函数fftshift。
fft函数可直接计算信号的频谱，fftshift函数对频谱进行频移操作，将低频移到频谱中心。
四、Matlab中DFT及FFT频谱分析步骤1. 读取信号数据首先，将待分析的信号数据读入到Matlab中。
可以使用内置函数load读取文本文件中的数据，或通过自定义函数生成模拟信号数据。
2. 时域分析通过plot函数将信号数据在时域进行绘制，以观察信号的波形。
可以设置合适的坐标轴范围和标签，使图像更加清晰。
3. 信号预处理针对不同的信号特点，可以进行预处理操作，例如去除直流分量、滤波等。
这些操作可提高信号的频谱分析效果。
4. 计算DFT/FFT使用fft函数计算信号数据的DFT/FFT，并得到频谱。
将信号数据作为输入参数，设置采样频率和点数，计算得到频谱数据。
5. 频域分析通过plot函数将频谱数据在频域进行绘制，观察信号的频率特性。
可以设置合适的坐标轴范围和标签，使图像更加清晰。
6. 结果解读根据频谱图像，分析信号的频率成分、幅度分布和峰值位置。
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅⾥叶变换（DFT） 对于第⼀幅图来说，它侧重展⽰傅⾥叶变换的本质之⼀：叠加性，每个圆代表⼀个谐波分量。
第⼆幅图直观的表⽰了⼀个周期信号在时域与频域的分解。
周期信号的三⾓函数表⽰ 周期信号是每隔⼀定时间间隔，按相同规律⽆始⽆终重复变化的信号。
任何周期函数在满⾜狄利克雷条件下（连续或只有有限个间断点，且都是第⼀类间断点；只有有限个极值点），都可以展开成⼀组正交函数的⽆穷级数之和。
使⽤三⾓函数集的周期函数展开就是傅⾥叶级数。
对于周期为T 的信号f(t)，可以⽤三⾓函数集的线性组合来表⽰，即f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty }(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n \omega t) 式中\omega=\frac{2\pi}{T}是周期信号的⾓频率，也成基波频率，n\omega称为n次谐波频率；a_0为信号的直流分量，a_n和b_n分别是余弦分量和正弦分量幅度。
根据级数理论，傅⾥叶系数a_0、a_n、b_n的计算公式为：\left\{\begin{matrix}a_0=\frac{1}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt \\ a_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos{n\omegat}dt,n=1,2,3,... \\ b_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin{n\omega t}dt,n=1,2,3,... \end{matrix}\right. 若将式⼦中同频率的正弦项和余弦项合并，得到另⼀种形式的周期信号的傅⾥叶级数，即f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(n\omega t+\varphi_n) 其中，A_0为信号的直流分量；A_1\cos(\omega t+\varphi_1)为信号的基频分量，简称基波；A_n\cos(n\omega t+\varphi_n)为信号的n次谐波，n ⽐较⼤的谐波，称为⾼次谐波。
傅立叶变换及幅值谱
对于零均值化的信号，第一项为零。而在满足采样定理的情 况下最后一项为零：
mn mn jm jm x(n) X (m) e exp( j 2 ) X (m) e exp( j 2 ) N N m 1
N 1 2
x ( n)
N 1 2
N 1 2 m 1
N 1
（ n N-1） N 1 n X (N-1) x(n) exp( j 2 )= x( n) exp( j 2 n j 2 ) N N n0 n0 N 1 n x(n) exp( j 2 ) N n0
N 1
K=1与N-1的X(k)是共轭对，与k=2与N-2也是,….. 。再看
x(nt ) X (k f ) exp( j 2 k fnt )f
k 0
N 1
1 1 f T N t
N 1
X (k )
X (k f ) ts
kn 1 x(n) X (k ) exp( j 2 ) N N k 0
在Matlab中，假设有时域信号 x(n) （n=0,1,…N-1），对应的 时间是0,dt,2dt,….(N-1)dt。对x(n)进行DFT，即 fft(x) 得到
mn mn X (m) exp( j 2 +m + exp( j -2 -m N N
mn = 2 X (m) cos 2 + m N m 1
可见与第m个频率分量对应的幅值是
2 X (m)
X (m) x(n) exp( j 2
kn 1 x(n) X (k ) exp( j 2 ) N N k 0
K=1与N-1的
kn exp( j 2 ) N n exp( j 2 ) N n( N 1) n) kn exp( j 2 ) exp( j 2 n j 2 ) exp( j 2 ) N N N
实验三DFT和FFT频谱分析
实验三DFT和FFT频谱分析、实验目的1.掌握DFT频谱分析的原理与编程方法。
2.理解FFT算法的编程思想。
2.熟练掌握利用FFT对信号作频谱分析，包括正确地进行参数选择、画频谱及读频谱图。
3.利用FFT频谱分析进行快速卷积和太阳黑子周期性检测。
二、实验环境1.Windows xp以上操作系统2.安装MATLAB2007a 软件三、实验原理1.离散傅里叶变换(DFT)设序列为x(n),长度为N,则N 1X(ej 3 k)=DFT[x(n)]=送x(n) e-j o k n,n z02 n其中3 k= k(k=0,1,2, …-M,通常M>N,以便观察频谱的细节。
|X(ej 3 kH-x(n)的幅频谱。
M矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。
矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃。
2.谱分析参数选择1)设信号x(t)最高频率为fc,对其进行取样得x(n),根据取样定理，取样频率fs必须满足: fs>=2fc。
聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測。
聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸。
2)设谱分辨率为F,则最小记录时间tpmin=1/F ;取样点数N> 2fc/F为使用快速傅里叶变换(FFT)进行谱分析，N还须满足：N=2E (E为整数)。
3.用FFT计算信号x(n)的频谱。
［设x(n)为实信号］快速傅里叶变换(FFT)是DFT的一种快速算法，其使得DFT的运算速度大为加快。
1)对信号x(n)作N点FFT,得频谱X(k)(k=0~N-1)X(k)=XR(k)+jXI(k) (k=0~N/2-1)XR(k) — X(k)的实部；Xl(k) — X(k)的虚部。
残骛楼諍锩瀨濟2 / 12溆塹籟婭骤。
残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭。
Matlab 语句：Y=fft(x,N) 其中：X----X (n );Y----X(k)』2 22)幅频谱:|X(k)|= V XR (K)+X I (K)， 由于x(n)为实信号，因此|X(k)|对称,Matlab 语句：abs(Y)iii)功率谱:PSD(k)=|X(k)|2/N=X(k)X*(k)/N Matlab 语句：PSD=Y .*conj(Y)/N其中：conj(Y)-- X*(k)[X(k) 的共轭]4.读频谱图频谱图中任意频率点k 对应实际频率为:fk=fs/N*k 。
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数字信号处理实验
实验二、离散傅立叶变换及谱分析
学院：信息工程学院
班级：电子101班
姓名：***
学号：******
一、实验目的
1．掌握离散傅里叶变换的计算机实现方法。
2．检验实序列傅里叶变换的性质。
3．掌握计算序列的循环卷积的方法。
4．学习用DFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差，以便在实际中正确应用DFT。
二、实验内容
1．实现序列的离散傅里叶变换并对结果进行分析。
（自己选择序列，要求包括复序列，实序列，实偶序列，实奇序列，虚奇序列）
本例检验实序列的性质DFT[xec(n)]=Re[X(k)] DFT[xoc(n)]=Im[X(k)] (1)设 x(n)=10*(0.8).^n（0<=n<=10），将x(n)分解为共扼对称及共扼反对称部分
n=0:10;
x=10*(0.8).^n;
[xec,xoc]=circevod(x);
subplot(2,1,1);stem(n,xec);
title('Circular -even component')
xlabel('n');ylabel('xec(n)');axis([-0.5,10.5,-1,11])
subplot(2,1,2);stem(n,xoc);
title('Circular -odd component')
xlabel('n');ylabel('xoc(n)');axis([-0.5,10.5,-4,4])
figure(2)
X=dft(x,11);
Xec=dft(xec,11);
Xoc=dft(xoc,11);
subplot(2,2,1);stem(n,real(X));axis([-0.5,10.5,-5,50])
title('Real{DFT[x(n)]}');xlabel('k');
subplot(2,2,2);stem(n,imag(X));axis([-0.5,10.5,-20,20])
title('Imag{DFT[x(n)]}');xlabel('k');
subplot(2,2,3);stem(n,Xec);axis([-0.5,10.5,-5,50])
title('DFT[xec(n)]');xlabel('k');
subplot(2,2,4);stem(n,imag(Xoc));axis([-0.5,10.5,-20,20])
title('DFT[xoc(n)]');xlabel('k');
实验说明：
复数序列实数部分的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的共轭对称分量，复数序列虚数部分的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的反对称分量，复序列共轭对称分量的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的实数部分，复序列反对称分量的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的虚数部分。
(2)计算序列的循环卷积程序
X1=[1 3 5 7 9]
X2=[2 4 6 8 10]
N=8
if length(x1)>N
error('N must be >= the length of x1')
end
if length(x2)>N
error('N must be >= the length of x2')
end
x1=[x1 zeros(1,N-length(x1))];
x2=[x2 zeros(1,N-length(x2))];
m=[0:1:N-1];
x2=x2(mod(-m,N)+1);
H=zeros(N,N);
for n=1:1:N
H(n,:)=cirshftt(x2,n-1,N);
end
y=x1*H'
实验结果：
y =
92 10 28 60 110 148 160 142 （3）补零序列的离散傅立叶变换
序列)()(5n R n x ，写出序列的傅立叶变换程序和将原序列补零到20长序列的DFT 。
n=0:4;
x=[ones(1,5)];
k=0:999;w=(pi/500)*k;
X=x*(exp(-j*pi/500)).^(n'*k); Xe=abs(X);
subplot(3,2,1);stem(n,x);ylabel('x(n)');
subplot(3,2,2);plot(w/pi,Xe);ylabel('|X(ejw)|'); N=20;x=[ones(1,5),zeros(1,N-5)]; n=0:1:N-1; X=dft(x,N); magX=abs(X);
k=(0:length(magX)'-1)*N/length(magX);
subplot(3,2,3);stem(n,x);ylabel('x(n)'); subplot(3,2,4);stem(k,magX);
axis([0,20,0,5]);ylabel('|X(k)|');
（4）高密度谱和高分辨率谱之间的区别。
补零到40长： M=10; n=0:M-1;
x=2*cos(0.35*pi*n)+cos(0.5*pi*n); N=40;x=[x,zeros(1,N-10)];
Y=dft(x,N);
k1=0:1:N-1;w1=2*pi/N*k1;
subplot(2,1,2);stem(w1/pi,abs(Y));title('信号的频谱');
40个有效采样点：
M=40;
n=0:M-1;
x=2*cos(0.35*pi*n)+cos(0.5*pi*n);
subplot(2,1,1);stem(n,x);title('没有足够采样点的信号'); Y=dft(x,M);
k1=0:M-1;w1=2*pi/M*k1;
subplot(2,1,2);stem(w1/pi,abs(Y));title('信号的频谱');
实验说明：
高密度是在原有序列后插0，高分辨谱是增大采样点，高密度谱呈现多谱线性，补的0越多，谱线越密集。
高分辨率谱在取样点达到一定程度后，没有密集度。
三、实验心得：。