离散傅里叶变换及快速傅里叶变换
[理学]离散傅里叶变换及其快速算法
![[理学]离散傅里叶变换及其快速算法](https://img.taocdn.com/s3/m/a4bbbd1b0912a21615792901.png)
非周期序列的离散时间傅里叶变换 (DTFT) /序列的傅里叶变换
• 定义序列x(n)的离散时间傅里叶变换(DTFT)为：
X (e ) DTFT{x(n)}
j n jn x ( n )e
• 序列x(n)的离散时间傅里叶逆变换(IDTFT)为：
x(n) IDTFT{X (e j )} 1 2
按时间抽取的FFT算法
• 设N=2M，M为正整数，如取N=23=8，即离散时间信号为
x(n) {x(0), x(1), x(2), x(3), x(4), x(5), x(6), x(7)}
• 按照规则①将序列x(n)分为奇偶两组，一组序号为偶数， 另一组序号为奇数，即
{x(0), x(2), x(4), x(6) | x(1), x(3), x(5), x(7)}
X (e j )e jn d
傅里叶变换对小结
• 傅里叶级数(FS)（时域：连续周期；频域：非周期离散）
1 Xk T
T 2
T 2
x(t )e jk1t dt
x(t )
k
X k e jk1t
k 0, 1, 2,
• 傅里叶变换(FT)（时域：连续非周期；频域：非周期连续）
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
华北电力大学自动化系
3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n
x ( n) z n
n
x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
华北电力大学自动化系
15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
华北电力大学自动化系
6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T
时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )
T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n
x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
华北电力大学自动化系
8
快速傅里叶变换(含详细实验过程分析)
一、实验目的1、掌握FFT 算法和卷积运算的基本原理；2、掌握用C 语言编写DSP 程序的方法；3、了解利用FFT 算法在数字信号处理中的应用。
二、实验设备 1. 一台装有CCS 软件的计算机； 2. DSP 实验箱的TMS320C5410主控板； 3. DSP 硬件仿真器。
三、实验原理 （一）快速傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域变换到频域的变换形式，是信号处理的重要分析工具。
离散傅里叶变换（DFT ）是傅里叶变换在离散系统中的表示形式。
但是DFT 的计算量非常大， FFT 就是DFT 的一种快速算法, FFT 将DFT 的N 2步运算减少至 ( N/2 )log 2N 步。
离散信号x(n)的傅里叶变换可以表示为∑=-=10][)(N N nk N W n x k X ， Nj N e W /2π-=式中的W N 称为蝶形因子，利用它的对称性和周期性可以减少运算量。
一般而言，FFT 算法分为时间抽取（DIT ）和频率抽取（DIF ）两大类。
两者的区别是蝶形因子出现的位置不同，前者中蝶形因子出现在输入端，后者中出现在输出端。
本实验以时间抽取方法为例。
时间抽取FFT 是将N 点输入序列x(n) 按照偶数项和奇数项分解为偶序列和奇序列。
偶序列为：x(0), x(2), x(4),…, x(N-2)；奇序列为：x(1), x(3), x(5),…, x(N-1)。
这样x(n) 的N 点DFT 可写成：()()∑++∑=-=+-=12/0)12(12/02122)(N n kn NN n nkNW n x Wn x k X考虑到W N 的性质，即2/)2//(22/)2(2][N N j N j N W e e W ===--ππ因此有：()()∑++∑=-=-=12/02/12/02/122)(N n nkN k NN n nkN W n x WWn x k X或者写成：()()12()kN X k X k W X k =+由于X 1(k) 与X 2(k) 的周期为N/2，并且利用W N 的对称性和周期性，即：k N N k N W W -=+2/可得：()()12(/2)kN X k N X k W X k +=-对X 1(k) 与X 2(k)继续以同样的方式分解下去，就可以使一个N 点的DFT 最终用一组2点的DFT 来计算。
基于Matlab的DFT及FFT频谱分析
基于Matlab的DFT及FFT频谱分析基于Matlab的DFT及FFT频谱分析一、引言频谱分析是信号处理中的重要任务之一，它可以揭示信号的频率特性和能量分布。
离散傅里叶变换（DFT）及快速傅里叶变换（FFT）是常用的频谱分析工具，广泛应用于许多领域。
本文将介绍通过Matlab进行DFT及FFT频谱分析的方法和步骤，并以实例详细说明。
二、DFT及FFT原理DFT是一种将时域信号转换为频域信号的离散变换方法。
它将信号分解成若干个正弦和余弦函数的叠加，得到频率和幅度信息。
FFT是一种高效的计算DFT的算法，它利用信号的对称性和周期性，将计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。
FFT通过将信号分解成不同长度的子序列，递归地进行计算，最终得到频谱信息。
三、Matlab中的DFT及FFT函数在Matlab中，DFT及FFT可以通过内置函数进行计算。
其中，DFT使用函数fft，FFT使用函数fftshift。
fft函数可直接计算信号的频谱，fftshift函数对频谱进行频移操作，将低频移到频谱中心。
四、Matlab中DFT及FFT频谱分析步骤1. 读取信号数据首先，将待分析的信号数据读入到Matlab中。
可以使用内置函数load读取文本文件中的数据，或通过自定义函数生成模拟信号数据。
2. 时域分析通过plot函数将信号数据在时域进行绘制，以观察信号的波形。
可以设置合适的坐标轴范围和标签，使图像更加清晰。
3. 信号预处理针对不同的信号特点，可以进行预处理操作，例如去除直流分量、滤波等。
这些操作可提高信号的频谱分析效果。
4. 计算DFT/FFT使用fft函数计算信号数据的DFT/FFT，并得到频谱。
将信号数据作为输入参数，设置采样频率和点数，计算得到频谱数据。
5. 频域分析通过plot函数将频谱数据在频域进行绘制，观察信号的频率特性。
可以设置合适的坐标轴范围和标签，使图像更加清晰。
6. 结果解读根据频谱图像，分析信号的频率成分、幅度分布和峰值位置。
离散傅里叶变换和快速傅里叶变换的区别
离散傅里叶变换和快速傅里叶变换的区别离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）都是数字信号处理中常用的算法，用于将时域信号转换为频域信号。
虽然它们都是傅里叶变换的变种，但它们之间有很大的区别。
DFT是一种直接计算傅里叶变换的方法，它将N个时域采样点转换为N个频域采样点。
DFT的计算复杂度为O(N^2)，因此对于大规模的信号处理任务来说，计算时间会非常长。
而FFT是一种基于分治思想的算法，它将DFT的计算复杂度降低到O(NlogN)，因此计算速度非常快，特别适合于大规模信号处理任务。
DFT和FFT的计算方式也有所不同。
DFT的计算公式为：X[k] = sum(x[n] * exp(-j*2*pi*k*n/N))其中，x[n]表示时域采样点，X[k]表示频域采样点，N表示采样点数，k和n分别表示频域和时域的索引。
这个公式需要进行N^2次复数乘法和加法运算，因此计算复杂度很高。
FFT的计算方式则是将DFT的计算过程分解为多个子问题，然后递归地求解这些子问题。
具体来说，FFT将N个采样点分为两个子序列，分别进行DFT计算，然后将它们合并起来得到整个序列的DFT结果。
这个过程可以递归地进行下去，直到只剩下一个采样点为止。
由于FFT采用了分治思想，它的计算复杂度为O(NlogN)，比DFT快得多。
DFT和FFT的应用场景也有所不同。
由于DFT的计算复杂度较高，因此它适合于小规模的信号处理任务，例如音频信号的处理。
而FFT则适合于大规模的信号处理任务，例如图像处理和视频处理。
此外，FFT还可以用于信号压缩、滤波和频域分析等领域。
离散傅里叶变换和快速傅里叶变换虽然都是傅里叶变换的变种，但它们之间有很大的区别。
DFT是一种直接计算傅里叶变换的方法，计算复杂度较高，适合于小规模的信号处理任务；而FFT是一种基于分治思想的算法，计算速度非常快，适合于大规模的信号处理任务。
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法-庄
图像识别
通过对图像进行DFT变换， 提取特征向量，可用于图 像的分类、识别和检索。
在频谱分析中的应用
频谱估计
通过DFT对信号进行频谱分析， 可以估计信号的频率分布和强度。
调制识别
利用DFT对接收信号进行频谱分析， 可以识别信号的调制方式和参数。
雷达目标识别
通过对雷达回波信号进行DFT变换， 可以提取目标特征，实现目标分类 和识别。
图像处理
在图像处理领域，DFT被广泛应用于图像频域分 析和变换编码等技术。庄算法等快速算法的应用 ，使得图像处理更加高效，为图像压缩、图像增 强等技术的发展提供了重要支撑。
科学计算
在科学计算领域，DFT被广泛应用于数值分析和 数值计算。庄算法等快速算法的出现，提高了科 学计算的精度和速度，为科学研究和工程设计提 供了更加可靠的数值分析方法。
PART 02
DFT的基本原理
离散傅里叶级数（DFS）
定义
离散傅里叶级数是周期为N的复数序 列x[n]，其可以通过三角函数的线性 组合来表示。
公式
X[k] = ∑_{n=0}^{N-1} x[n] * w^(kn) / sqrt(N)
离散傅里叶变换（DFT）的定义
定义
DFT是对于有限长序列x[n]的变换，将x[n]映射到频域X[k]。
对未来研究和应用的展望
算法优化
随着计算技术的发展，未来可以进一步优化庄算法等快速算法，提高计算效率和精度， 以满足更加复杂和大规模的信号处理、图像处理、通信系统和科学计算等应用需求。
应用拓展
随着数字化时代的到来，离散傅里叶变换及其快速算法在各个领域的应用前景将更加广 阔。未来可以进一步拓展其在人工智能、物联网、量子计算等领域的应用，推动相关技
数字图像处理中的常用变换
一、离散傅里叶变换1.离散傅里叶变换的特点离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。
在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。
即使对无限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。
在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。
DFT将空域变换到频域，很容易了解到图像的各空间频域的成分。
DFT的应用十分广泛，如：图像的特征提取、空间频率域滤波、图像恢复和纹理分析等。
2.离散傅里叶变换的性质1）线性性质2）比例性质3）可分离性4）平移性质5）图像中心化6）周期性7）共轭对称性8）旋转不变性9）卷积定理10）平均值二、离散余弦变换1.离散余弦变换简介为了快速有效地对图像进行处理和分析，常通过正交变换将图像变换到频域，利用频域的特有性质进行处理。
传统的正交变换多是复变换，运算量大，不易实时处理。
随着数字图像处理技术的发展，出现了以离散余弦变换（DCT）为代表的一大类正弦型实变换，均具有快速算法。
目前DCT变换在数据压缩，图像分析，信号的稀疏表示等方面有着广泛的应用。
由于其变换矩阵的基向量很近似于托普利兹（Toeplitz ）矩阵的特征向量，而托普利兹矩阵又体现了人类语言及图像信号的相关特性，因此常被认为是对语音和图像信号的最佳变换。
对给定长度为N 的输入序列f(x)，它的DCT 变换定义为:⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=∑-=102)12(cos )()(2)(N x N x x f u C N u F μπ式中：1,,1,0u -=N ，式中的)(u C 的满足：⎪⎩⎪⎨⎧==其它1021)(u u C在数字图像处理中，通常使用二维DCT 变换，正变换为:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=∑∑-=-=10102)12(cos 2)12(cos ),()()(2),(N x N y N v y N u x y x f v C u C N v u F ππ 其逆变换IDCT 为:⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=∑∑-=-=10102)12(cos 2)12(cos ),()()(2),(N u N v N v y N u x v u F v C u C N y x f ππ 式中：1,,1,0u -=N ，1,,1,0v -=N 。
离散傅里叶变换及其快速算法
第五章离散傅里叶变换及其快速算法 1离散傅里叶变换(DFT)的推导(1) 时域抽样：目的：解决信号的离散化问题。
效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。
⑵时域截断： 原因：工程上无法处理时间无限信号。
方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。
结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。
(3)时域周期延拓：目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。
方法：周期延拓中的搬移通过与 、：(t _nT s )的卷积来实现。
表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。
结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。
经抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。
过程见图抽样后0 fJif-用于截断原函数J L<Z 用于抽样i4LJI Ji WWtin1 f=1 ----------> --------------t-------------- ►fVtt截断后有卷积波纹i------------- ►t0 I------------------ rfJL 」L延拓后7角ii t飞7Vtfft \ \ t \ f定义DFT用于延拓「ITf处理后信号的连续时间傅里叶变换:I'U N *|nT sr 0 N图1 DFT 推导过程示意图〜 oo "N 4l ~(f)=£ IS h(nTs)ek =^O「j2 飞n/Nn=0-kf o )(i) l~(f)是离散函数，仅在离散频率点f二kf o k—处存在冲激，强度为a k,其T o NT s余各点为0。
〜N N 1(ii) H(f)是周期函数，周期为Nf o == 工，每个周期内有N个不同的幅值。
T o NT s T s(iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。
2 DFT及IDFT的定义DFT定义：设hnT s是连续函数h(t)的N个抽样值n=0,1,…,N J，这N个点的宽度为N 的DFT 为：DFT N h(nT s)]=^ h(nT s)e」2邢/N =H —— J (k =0,1,…，N _1)7 l NT s 丿IDFT定义：设H 上是连续频率函数H(f)的N个抽样值k =0,1，…，N J，这N个点(NT s 丿的宽度为N的IDFT为：DFT N1 H k丄7 H L e」2「nk/N厶nTs , (k =0,1,…，N —1)|L Ns N k 卫NT se^Rk/N称为N点DFT的变换核函数，e j2 flk/N称为N点IDFT的变换核函数。