数字信号处理第3章离散傅里叶变换

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数字信号处理第三版(姚天任、江太辉) 答案第三章

第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列(xn 是周期为4的周期性序列。

请确定其傅里叶级数的系数(X k。

解:(111*0((((((N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k −−−−−=====−= =−=∑∑∑3.2 (1设(xn 为实周期序列,证明(x n 的傅里叶级数(X k 是共轭对称的,即*((X k X k =− 。

(2证明当(xn 为实偶函数时,(X k 也是实偶函数。

证明:(1 111**((([(]((N nk N n N N nk nkNNn n Xk x n W Xk x n W xn W X−−=−−−==−=−===∑∑∑ k(2因(xn 为实函数,故由(1知有 *((Xk X k =− 或*((X k X k −= 又因(xn 为偶函数,即((x n x n =− ,所以有(111*0((((((N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k −−−−−=====−= =−=∑∑∑3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号(xn 。

利用DFS 的特性及3.2题的结果,不直接计算其傅里叶级数的系数(Xk ,确定以下式子是否正确。

(1,对于所有的k; ((10Xk X k =+ (2((Xk X k =− ,对于所有的k; (3; (00X=(425(jkX k eπ,对所有的k是实函数。

解:(1正确。

因为(x n 一个周期为N =10的周期序列,故(X k 也是一个周期为N=10的周期序列。

(2不正确。

因为(xn 一个实数周期序列,由例3.2中的(1知,(X k 是共轭对称的,即应有*((Xk X = k −,这里(X k 不一定是实数序列。

(3正确。

因为(xn (0n ==在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等,所以有 10(0N n Xx −=∑ (4不正确。

数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第3章离散傅里叶变换及其快速算法学习要点及习题答案

·54· 第3章离散傅里叶变换（DFT ）及其快速算法（FFT ）3.1 引言本章是全书的重点，更是学习数字信号处理技术的重点内容。

因为DFT （FFT ）在数字信号处理这门学科中起着不一般的作用，它使数字信号处理不仅可以在时域也可以在频域进行处理，使处理方法更加灵活，能完成模拟信号处理完不成的许多处理功能，并且增加了若干新颖的处理内容。

离散傅里叶变换（DFT ）也是一种时域到频域的变换，能够表征信号的频域特性，和已学过的FT 和ZT 有着密切的联系，但是它有着不同于FT 和ZT 的物理概念和重要性质。

只有很好地掌握了这些概念和性质，才能正确地应用DFT （FFT ），在各种不同的信号处理中充分灵活地发挥其作用。

学习这一章重要的是会应用，尤其会使用DFT 的快速算法FFT 。

如果不会应用FFT ，那么由于DFT 的计算量太大，会使应用受到限制。

但是FFT 仅是DFT 的一种快速算法，重要的物理概念都在DFT 中，因此重要的还是要掌握DFT 的基本理论。

对于FFT 只要掌握其基本快速原理和使用方法即可。

3.2 习题与上机题解答说明：下面各题中的DFT 和IDFT 计算均可以调用MA TLAB 函数fft 和ifft 计算。

3.1 在变换区间0≤n ≤N -1内，计算以下序列的N 点DFT 。

(1) ()1x n =(2) ()()x n n δ=(3) ()(), 0＜＜x n n m m N δ=- (4) ()(), 0＜＜m x n R n m N = (5) 2j()e, 0＜＜m n N x n m N π=(6) 0j ()e n x n ω=(7) 2()cos , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)2()sin , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(9) 0()cos()x n n ω=(10) ()()N x n nR n =(11) 1,()0n x n n ⎧=⎨⎩，解：(1) X (k ) =1N kn N n W -=∑=21j0eN kn nn π--=∑=2jj1e1ekN n k nπ---- = ,00,1,2,,1N k k N =⎧⎨=-⎩(2) X (k ) =1()N knNM n W δ-=∑=10()N n n δ-=∑=1，k = 0, 1, …, N -1(3) X (k ) =100()N knNn n n W δ-=-∑=0kn NW 1()N n n n δ-=-∑=0kn NW，k = 0, 1, …, N -1为偶数为奇数·55·(4) X (k ) =1m knN n W -=∑=11kmN N W W --=j (1)sin esin k m N mk N k N π--π⎛⎫⎪⎝⎭π⎛⎫ ⎪⎝⎭，k = 0, 1, …, N -1 (5) X (k ) =21j 0e N mn kn N N n W π-=∑=21j ()0e N m k nNn π--=∑=2j()2j()1e1em k N N m k Nπ--π----= ,0,,0≤≤1N k mk m k N =⎧⎨≠-⎩(6) X (k ) =01j 0eN nknN n W ω-=∑=021j 0e N k nN n ωπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∑=002j 2j 1e1ek NN k N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭π⎛⎫- ⎪⎝⎭--= 0210j 202sin 2e2sin /2N k N N k N k N ωωωπ-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k = 0, 1, …, N -1或 X (k ) =00j 2j 1e 1e Nk N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭--，k = 0, 1, …, N -1(7) X (k ) =102cos N kn N n mn W N -=π⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2221j j j 01e e e 2N mn mn kn N N N n πππ---=⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭∑=21j ()01e 2N m k n N n π--=∑+21j ()01e 2N m k n N n π--+=∑=22j ()j ()22j ()j ()11e 1e 21e 1e m k N m k N N N m k m k N N ππ--+ππ--+⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=,,20,,N k m k N mk m k N M ⎧==-⎪⎨⎪≠≠-⎩，0≤≤1k N - (8) ()22j j 21()sin ee 2j mn mnN N x n mn N ππ-π⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ()()112222j j j ()j ()0011()=e e ee 2j 2j j ,2=j ,20,(0≤≤1)N N kn mn mn m k n m k n N N N N N n n X k W Nk m N k N mk k N --ππππ---+===--⎧-=⎪⎪⎨=-⎪⎪-⎪⎩∑∑其他(9) 解法① 直接计算χ(n ) =cos(0n ω)R N (n ) =00j j 1[e e ]2n n ωω-+R N (n )X (k ) =1()N knNn n W χ-=∑=0021j j j 01[e e ]e 2N kn n n N n ωωπ---=+∑=0000j j 22j j 11e 1e 21e 1e N N k k N N ωωωω-ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，k = 0, 1, … , N -1 解法② 由DFT 共轭对称性可得同样的结果。

DFT变换

第三章离散傅立叶变换(DFT)3．1 引言有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列，当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它，但是，可以导出反映它的"有限长"特点的一种有用工具是离散傅里叶变换(DFT)。

离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。

有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)和周期序列的离散傅里叶级数(DFS)本质上是一样的。

为了更好地理解DFT，需要先讨论周期序列的离散傅里叶级数DFS。

而为了讨论离散傅里叶级数及离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。

(连续时间信号：如果在讨论的时间间隔内，除若干不连续点之外，对于任意时间值都可给出确定的函数值，此信号就称为连续时间信号。

)一、连续时间、连续频率——连续傅立叶变换（FT）设x(t)为连续时间非周期信号，傅里叶变换关系如下图所示：可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱。

二、连续时间，离散频率------傅里叶级数设f(t)代表一个周期为T 1的周期性连续时间函数，f(t)可展成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为，f(t)和组成变换对，表示为:（）注意符号：如果是周期性的采样脉冲信号p(t)，周期用T 表示（采样间隔）。

采样脉冲信号的频率为可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的周期造成频域是离散的谱三、离散时间，连续频率------序列的傅里叶变换n F n F tjn n n e F t f 1)(Ω∞-∞=∑=112Ω=πT dte tf T F TT t jn n ⎰-Ω-=221111)(1Ts π2=Ω正变换：DTFT[x(n)]=反变换：DTFT-1 级数收敛条件为||=可以看出时域离散函数造成频域是周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱四、离散时间，离散频率------离散傅里叶变换上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计算机上运算，因为至少在一个域(时域或频域)中，函数是连续的。

数字信号处理第3章离散傅里叶变换(DFT)

Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1(3.2.1)
其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
3.2.2 循环移位性质
1. 序列的循环移位设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
其中 XR(k)=Re［X(k)］=DFT［xep(n)］
(3.2.17)
X(k)=DFT［x(n)］=XR(k)+jXI(k) (3.2.18)
jXI(k)=jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］
设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFT［x(n)］，则
(1) X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1 (2) 如果 x(n)=x(N-m) 则X(k)实偶对称，即X(k)=X(N-k) (3.2.20) (3.2.19)
如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样点
数N≥M时，才有
xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n) 即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象。这就是频域采样定理。
下面推导用频域采样X(k)表示X(z)的内插公式和内
插函数。设序列x(n)长度为M，在频域0~2π之间等间隔采样N点，N≥M，则有
的值。
图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图
如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对
称分量一样，任何有限长序列x(n)都可以表示成共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即
x(n)=xep(n)+xop(n)
0≤n≤N-1
(3.2.11)
(3.2.13) (3.2.14)

数字信号处理之离散傅里叶变换

共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算，即X = W * x，其中X是DFT的输出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具有特殊的结构，可以通过快速傅里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时傅里叶变换、Wigner-Ville分布等，可根据具体应用场景选择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。

《数字信号处理》C3离散傅里叶变换及快速算法

2 k ) / 2 sin N ( 2 j ( k )( N 1) 1 N N e 2 N 内插函数 k ) / 2 sin ( N N sin 1 2 e j ( N 1) / 2 2 ( ) k ( ) ( k) N sin N 2
j
n

x(n) z n
M 1 n 0
n x ( n ) z jn
X ( e ) DTFT [ x ( n )]
n

x ( n )e

M 1 n 0
jn ( ) x n e
2 j X ( e ) FT [ x N ( n )] N ( k ) DFS [ x N ( n )] X X ( k ) DFT [ x ( n )]N
n 0
N 1
n
1 n0 N
N 1
X (k )W
k 0
N 1
nk N
n z
1 N 1 N 1 nk n X (k ) WN z N k 0 n 0
N 1 1 N 1 k 1 n X (k ) WN z N k 0 n 0
(n) ak e x
k 0 N 1 j 2 kn N
2 2 T 0 0T NT N
为什么是有限项之和？如何求系数？
( n )e x
n 0
N 1
j
2 mn N
2 2 j kn j mn ak e N e N n 0 k 0 N 1 N 1
N 1
ak ak lN
周期
3.1 周期序列的傅里叶级数

数字信号处理：离散傅里叶变换(DFT)

X (k ) XX((kkX)))X(XX(z(ez(zzjjjj))))222kk,,k, 200k0,kkkNN--1N1-1 0((33..1(1.3.44.)1k).4) NNN N
2021/8/24
6
3.1 离散傅里叶变换的定义
DFT的物理意义：
(1)x(n)的N点DFT 是x(n)的Z变换在单位
。 j 2 kn 8
解: (1) 设变换区间N=8，则：n0
N 0
XX(k(k)
77
)
nn00
xx(Xn(n)W()Wk8k)8nkn 3373 eexj 28j(28knnkn)We8jk83nk NnN000
sin(3 k 2 sin kn
80,1,
,
7
(2) 设变换区间N=16，则 2 k 8
设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：
N 1
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn
n0
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNkn
n0
0 k N-1
X (比k较) 上XXX面(((kkkX)二))式X(XX(z(可z(z)z)))得zzzezej2关jeN2Njk2Nke,系k,j,2N式 k00,0kkkNN--N11-10 ((33k..1(1.3.33.)1).3)N
(
j2 k
X
(k)
X(k)
DFT
[=x(Xn~ ()k]
)RNDD(nFF)ST[n[x~x(0~n()n] )RNnN01(n
[0, 2]上的N点
单位圆上的N
等间隔采样
DFT
点等间隔采样
~
X (k ) DFFTT [ x(n)] ZT DFT [x(n)RN (n)] X

数字信号处理第三章chhy

kn (1) 旋转因子 WN 的周期性(周期为N)
( K,m,N均为整数 WNk WNk mN ) , k , m, N
X ( k mN (2) X(k)隐含的周期性 (周期为N) )

n 0
N 1
( x ( n )WN k mN ) n
X ( k mN ) x ( n )W
kn x(n )W X ( k ) DFT [ x ( n )] x ( n )WN
X ( k ) DFT [ x ( n )]
M-1 N 1
N 1
kn N
0 k N-1
X (k ) X ( z )
2 j k z e N
, ,
0 X( k ) ((kX X ((zzj)) )22 ,, k N-1 X k)(3.1.3) j X ) ( z j X e
3.1 离散傅立叶变换的定义及物理意义 3.1.2 DFT与傅里叶变换和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为M，其Z变换和N点DFT分别为：
X ( z ) ZT [[x (( n )] xxnnz n n X ( z ) ZT x n )] ( () )z
N 1 n 0
X (k )e
k 0
N 1 ~
j
2 nk N
一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的
引入
例1：连续时间、连续频率—傅里叶变换
例2：连续时间、离散频率—傅里叶级数
引入
例3：离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
例4：离散时间、离散频率—序列的傅里叶级数
j
2π N
，将时域序列x(n)变换为频域序列X(k)；

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第3章离散傅里叶变换(DFT) 3.1.4 用MATLAB计算序列的DFT
MATLAB提供了用快速傅里叶变换算法FFT(算法见第4章介绍)计算DFT的函数fft，其调用格式如下: Xk = fft (xn, N)；
Ifft函数计算IDFT，其调用格式与fft函数相同，可
参考help文件。
x (n) 都可以看做实际上，任何周期为N的周期序列 ~
长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是的一个周期，即
第3章离散傅里叶变换(DFT)
(n) x
m
x(n mN )

(3.1.5) (3.1.6)
(n) RN (n) x(n) x
上述关系如图3.1.2（a）和（b）所示。一般称周期
第3章离散傅里叶变换(DFT)
证明

Y (k ) DFT[ y(n)]N x((n m)) N RN (n)W
n 0 N 1 kn N kn x((n m)) N WN n 0 N 1
令n+m=n′，则有
N 1 m N 1 m k ( n m ) km kn ' Y (k ) x((n)) N WN WN x (( n )) W N N n m n m
1 N 1 N 1 mk kn IDFT[ X (k )]N [ x(m)WN ]WN N k 0 m0 N 1 1 N 1 k ( mn ) x(m) WN N k 0 m 0
1 N 1 k ( m n) 1， WN N k 0 0，
m n iN， i为整数 m n iN， i为整数
第3章离散傅里叶变换(DFT)
所以，在变换区间上满足下式：
IDFT［X(k)］N=x(n) 0≤n≤N－1
由此可见，离散傅里叶逆变换是唯一的。【例3.1.1】 x(n)=R4(n), 求x(n)的4点和8点DFT。解设变换区间N=4，则
kn X ( k ) W N k 0 N 1
n 0, 1, , N 1
WN e
j
2π N
N称为DFT变换区间长度，N≥M。
常常用DFT［x(n)］N和IDFT［X(k)］N分别表示N点离散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆变换。
第3章离散傅里叶变换(DFT)
唯一性：
由于

第3章离散傅里叶变换(DFT)
图3.2.1 x(n)及其循环移位过程
第3章离散傅里叶变换(DFT)
显然，y(n)是长度为N的有限长序列。观察图 3.2.1可见，循环移位的实质是将x(n)左移m位，而移
出主值区(0≤n≤N－1)的序列值又依次从右侧进入主值
区。“循环移位”就是由此得名的。由循环移位的定义可知，对同一序列x(n)和相同的位移m，当延拓周期N不同时，y(n)=x((n+m))NRn(n) 则不同。
1．序列的循环移位设x(n)为有限长序列，长度为M，M≤N，则x(n)的循环移位定义为 y(n)=x((n+m)) NRn(n) (3.2.2) (3.2.2)式表明，将x(n)以N为周期进行周期延拓得到 ~ x (n m) ，最后 x (n) 左移m得到 ~ x (n) x((n))N ，再将 ~ x (n m) 的主值序列则得到有限长序列x(n)的循环移位序取~ 列y(n)。 M=6, N=8, m=2时，x(n)及其循环移位过程如图 3.2.1所示。
x (n) 中从n=0到N－1的第一个周期为 ~ x (n) 的主序列 ~
值区间，而主值区间上的序列称为 ~ x (n) 的主值序列。
因此x(n)与 ~ x (n) 的上述关系可叙述为： ~ x (n) 是x(n) 的周期延拓序列，x(n)是 ~ x (n) 的主值序列。
第3章离散傅里叶变换(DFT)
频谱特性，这就是N点DFT的第二种物理解释（物理意义）。
第3章离散傅里叶变换(DFT)
现在解释DFT［R4(n)］4=4δ(k)。根据DFT第二种物理解释可知，DFT［R4(n)］4表示R4(n)以4为周期的周期
延拓序列R4((n))4的频谱特性，因为R4((n))4是一个直流
序列，只有直流成分（即零频率成分）。
的傅里叶变换
第3章离散傅里叶变换(DFT)
X(ejω)在区间［0, 2π］上的N点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。由此可见，DFT的变换区间长度N 不同，表示对X(ejω)在区间［0, 2π］上的采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果不同。上例中，
x(n)=R4(n)，DFT变换区间长度N分别取8、16时，X(ejω)
X (k ) DFT[ x(n)] x(n)WNkn
n 0 N 1
k 0, 1, , N 1
(3.1.1)
第3章离散傅里叶变换(DFT)
X(k)的离散傅里叶逆变换(Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT)为
1 x(n) IDFT[ X (k )] N
第3章离散傅里叶变换(DFT)
第3章离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质
3.3 频率域采样
3.4 DFT的应用举例
第3章离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
3.1.1 DFT的定义
设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N 点离散傅里叶变换为
第3章离散傅里叶变换(DFT)
【例3.1.2】设x(n)=R4(n)，X(ejω)=FT［x(n)］。分别计
算X(ejω)在频率区间［0，2π］上的16点和32点等间隔采样，
并绘制X(ejω)采样的幅频特性图和相频特性图。解由DFT与傅里叶变换的关系知道，X(ejω)在频率区间
［0，2π］上的16点和32点等间隔采样，分别是x(n)的16点
M 1 X ( z ) ZT[ x( n)] x( n) z n n 0

kn X (k ) DFT[ x( n)]N x( n)WN n 0
M 1
k 0,1, , N 1
比较上面二式可得关系式或
X (k ) X ( z) ze
j
2π k N
X (k ) x(n)W4kn e
n 0 n 0
3
3
j
2π kn 4

1 e j2πk 1 e
j 2π k 4
k 0 4 0 k 1, 2,3
第3章离散傅里叶变换(DFT)
设变换区间N=8，则
X (k ) x(n)W8kn e
n 0 n 0
~ x (n) 如图3.1.2（c）所示。
写出 ~ x (n) 的离散傅里叶级数表示式
(k ) x (n)W X
n 0 N 1 kn N
如果x(n)的长度为M，且 ~ x (n) x((n))N ，N≥M，则可
x((n)) N W
n 0
N 1
kn N
kn x(n)WN n 0
N 1
(3.1.8)
N 1 1 N 1 1 kn kn (n) X (k )WN x X (k )WN N k 0 N k 0
(3.1.9)
第3章离散傅里叶变换(DFT)
式中

(k )R (k ) X (k ) X N
(3.1.10)
(k ) 的主值序列。即X(k)为 X 有限长序列x(n)的N点离散傅里叶变换X(k)正好是x(n) (k ) 的周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数 X ~ 的主值序列，即 X (k ) X (k ) R N (k )。 (k ) 周期延拓序列频谱完全由其离散傅里叶级数系数 X 确定，因此，X(k)实质上是x(n)的周期延拓序列x((n)) N的
式中，a、b为常数，取N=max［N1, N2］, 则y(n)的N点
DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］N=aX1(k)+bX2(k) 0≤k≤N－1
(3.2.1)
其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
第3章离散傅里叶变换(DFT) 3.2.2 循环移位性质
k 0,1,, N 1
(3.1.3)

第3章离散傅里叶变换(DFT)
X (k ) X (e j ) |
2π k N
k 0,1,, N 1
(3.1.4)
(3.1.3)式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在
图3.1.2 x(n)及其周期延拓序列
第3章离散傅里叶变换(DFT)
当N大于等于序列x(n)的长度时，用如下形式表示：
(n) x((n)) N x

式中x((n)) N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，((n))N
表示模N对n求余，即如果
n=MN+n1 0≤n1≤N－1, M为整数则 ((n))N=n1 例如， N 8, x (n) x((n))8 , 则有 (8) x((8))8 x(0) x
前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长
kn 的周期性，使X(k)隐含周期性，且周序列，但由于 WN
期均为N。对任意整数m，总有
W k W ( k mN )， N N
即，X（k)满足：
N 1
k , m为整数,N为自然数
N 1
X (k mN ) x(n)W ( k mN ) n x(n)W kn X (k ) N N n 0 n 0