离散傅里叶变换(DFT)
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位 形成的。 （3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) y ( L 1)c x( L 1) x( L 2) x( L 3) x(1) h(0) x(2) h(1) x(3) h(2) x (0) h( L 1)
主值序列 x(n)
DFT变换对
x(n)的长度为M点，N≥M
N点DFT 变换对
DFT [ x(n)] X (k ) x(n)WNkn
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
[ x(m)WNmk ]WN kn
k 0 m 0
N 1 N 1
1 x ( m) N m 0
1 N
WNk ( m n )
k 0
N 1
W
k 0
N 1
k ( mn ) N
1 N
e
k 0
N 1 j 2 k ( m n ) N
x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
用矩阵计算循环卷积的公式
L 1 yc (n) h(m) x((n m)) L RL (n) m0
离散傅里叶变换(DFT)
~
将 x(n)以N为周期进行周期延拓得到 x(n) = x(( n)) N 将
~
x(n) = x((n)) N 左移m位得到 x(n + m)
(3.2.4)
例： ( n) = 3e n , o ≤ n ≤ 15 ，求 f ( n) = x(( n + 5))15 R15 (n) x
的16点离散傅立叶变换DFT。
N=16; n=0:N-1; xn=3*exp(n); m=5; fn=xn(mod((n+m),N)+1); XK=fft(xn, N); subplot(2, 2, 1); stem(n,xn); subplot(2, 2, 2); stem(n,abs(XK)); FK=fft(fn,N); subplot(2, 2, 3); stem(n,fn); subplot(2, 2, 4); stem(n,abs(FK));
x(n)为长度为N的有限长序列
x(n) 是长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列
x (n ) =
~
~
m =∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x ( n ) RN (n )
~
~
主值区间：周期序列 x( n) 从n=0到N-1的第一个周期。
~
主值序列：而主值区间上的序列称为 x( n) 的主值序列。
m
~2 m )) N) R x 2 (( (( m )) N ( n ) x (m x
2
离散傅里叶变换(DFT)(图)
离散傅里叶变换（DFT）（图）上一回说到，在离散傅里叶级数（DFS）中，离散时间周期序列在时域是离散的n ，其频谱是离散频率周期序列，在频域也是离散的k，理论上解决了时域离散和频域离散的对应关系问题。
但由于其在时域和频域都是周期序列，所以都是无限长序列。
无限长序列在计算机运算上仍然是无法实现的。
为此我们必须取有限长序列来建立其时域离散和频域离散的对应关系。
一、DFS的主值序列上一回讨论我们知道，离散时间周期序列是一个无限长序列，其傅立叶级数展开式为（1）可以看出时间点序号n 是以N为周期的，如果只取其一个周期，称之为的主值序列：（2）主值序列x（n）就是一个长度为N的有限长离散时间序列。
同理，的DFS也是一个无限长序列，即傅立叶系数：（3）也可以看出频率点序号k 也是以N为周期的，如果只取其一个周期，称之为的主值序列：（4）主值序列X（k）是一个长度为N的有限长离散频率序列。
可见，离散时间周期序列在时域和频域的主值序列，均为有限长离散序列。
且主值序列的长度均为N（即n，k＝0，1，2，…，N－1）。
二、离散傅里叶变换（DFT）的定义在离散傅立叶级数（DFS）中，取其时域和频域的主值序列，变换仍然成立。
这就是离散傅里叶变换（DFT），即：（5）和其逆变换（IDFT）：（6）可见离散傅里叶变换（DFT）只不过是特殊的离散傅立叶级数（DFS），如果其时域和频域都仅取主值序列。
离散傅立叶级数（DFS）中的无限长序列和都是以N为周期的周期序列，所以在计算离散时间周期序列及其频谱时，可以利用DFS的周期性，只需要在时域和频域各取一个主值序列，用计算机各计算一个周期中的N个样值，最后将所得的主值序列x（n）和X（k）进行周期延拓，即可得到原来的无限长序列和。
三、DFT的推广应用由DFT的导入过程可以发现，DFT不仅可以解决无限长周期序列的计算机运算问题，而且更可以解决有限长序列的计算机运算问题。
事实上，对于有限长离散序列，总可以把时域和频域的变换区间（序列长度）均取为N（包括适当数量的补0点），通常把N称之为等间隔采样点数，我们可以把这个N点的变换区间视为某个周期序列的一个主值序列，直接利用DFT的定义计算其N点变换。
dft与离散傅里叶变换
dft与离散傅里叶变换DFT与离散傅里叶变换引言：数字信号处理中，频域分析是一项重要的技术。
DFT（离散傅里叶变换）和离散傅里叶变换（DFT）是两种常用的频域分析方法。
本文将介绍DFT和离散傅里叶变换的基本原理、应用领域以及它们之间的区别。
一、DFT的基本原理离散傅里叶变换（DFT）是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它的基本原理是将信号分解为不同频率的正弦和余弦波的叠加。
DFT 可以将信号从时域转换到频域，帮助我们分析信号的频谱特征。
DFT的计算公式是通过对信号的采样点进行离散计算得到的。
它将信号分解为一系列复数，表示不同频率的正弦和余弦波的振幅和相位信息。
通常情况下，DFT的输入信号是离散时间的有限长度序列，输出信号也是离散时间的有限长度序列。
二、DFT的应用领域DFT在信号处理领域有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1. 音频信号处理：DFT可以用于音频信号的频谱分析，帮助我们了解音频信号的频率组成以及频谱特征。
它在音频编码、音频效果处理等方面有着重要作用。
2. 图像处理：DFT可以用于图像的频域分析，帮助我们了解图像的频率特征，如边缘、纹理等。
它在图像压缩、图像增强等方面有着广泛的应用。
3. 通信系统：DFT可以用于通信信号的频谱分析，帮助我们了解信号在频域上的特征，如信号的带宽、频率偏移等。
它在调制解调、信道估计等方面有着重要作用。
三、离散傅里叶变换（DFT）与傅里叶变换（FT）的区别离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换（FT）在离散时间上的应用。
它们之间的区别主要体现在以下几个方面：1. 定义域：傅里叶变换是定义在连续时间上的，而离散傅里叶变换是定义在离散时间上的。
2. 输入信号类型：傅里叶变换可以处理连续时间的信号，而离散傅里叶变换可以处理离散时间的信号。
3. 计算方法：傅里叶变换通过积分计算得到频域信号，而离散傅里叶变换通过对输入信号的采样点进行离散计算得到频域信号。
4. 结果表示：傅里叶变换的结果是连续的频域信号，而离散傅里叶变换的结果是离散的频域信号。
离散傅里叶变换
c) 频域循环移位定理 若
则
21
3.2.3 循环卷积定理
长度分别为N1和N2的有限长序列x1(n)和x2(n)的N点DFT
分别为： （ N=max［ N1, N2 ］）。
X1(k)=DFT［x1(n)]
X2(k)=DFT［x2(n)］ 如果 则 X(k)=X1(k)· X2(k)
x n IDFT X k x1 m x2 n m N RN n
10
定义： 的主值区间：周期序列 中从n=0到N-1的范围 的主值序列：主值区间上的序列 为叙述方便，将式(3.1.5)该写成
x n N 表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，符号((n))N表示n对模
N的余数，即
这里k是商。
11
例如，N=7,
=x((n))7，则有
x 7 x 7 7 x 0 x 8 x 8 7 x 1
类似
Note：对实序列有 X k X N k
DFT x N n X k , 0 k N 1
28
3.2.5 DFT的共轭对称性
1. 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列
分别用xep(n)和xop(n) 表示有限长共轭对称序列和共轭反对称
由此对长度为N的序列x(n)，且 x n x n N ，则
X k x n W
n 0 N 1 kn N
的DFS为
x n N W
n 0
N 1
kn N
kn x n WN n 0
N 1
1 N 1 1 N 1 kn kn x n X k WN X k WN N n 0 N n 0
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位
（3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
y(0)c x(0) x(L1) x(L2)
y(1)c
x(1)
x(0) x(L1)
y(2)c
＝ x(2)
x(1)
x(0)
y(L1)c x(L1) x(L2) x(L3)
m0
n'm
精选课件
N1
N1
X(k) x1(m)WN km x2(n')WN kn '
m0
n'0
X1(k)X2(k)， 0kN1
由于 X ( k ) D F T [ x ( n ) ] X 1 ( k ) X 2 ( k ) X 2 ( k ) X 1 ( k )， 因此
x (n ) ID F T [X (k)] x 1 (n ) x2(n)x2(n) x 1 ( n )
精选课件
若 则
且
D[F x(n)T ]X (k) D [ x ( F n (m T )N R )N ( n ) ] W N m X ( k k ) ID [X (k F ( l)T N ) R N ( k ) ] W N n x ( ln )
证明：
N 1
N 1
Y ( k ) D F T [ y ( n ) ] N x ( ( n m ) ) N R N ( n ) W N k n x ( ( n m ) ) N W N k n
m0
（3.2.5）
yc(n)=h(n) x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
精选课件
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅⾥叶变换（DFT） 对于第⼀幅图来说，它侧重展⽰傅⾥叶变换的本质之⼀：叠加性，每个圆代表⼀个谐波分量。
第⼆幅图直观的表⽰了⼀个周期信号在时域与频域的分解。
周期信号的三⾓函数表⽰ 周期信号是每隔⼀定时间间隔，按相同规律⽆始⽆终重复变化的信号。
任何周期函数在满⾜狄利克雷条件下（连续或只有有限个间断点，且都是第⼀类间断点；只有有限个极值点），都可以展开成⼀组正交函数的⽆穷级数之和。
使⽤三⾓函数集的周期函数展开就是傅⾥叶级数。
对于周期为T 的信号f(t)，可以⽤三⾓函数集的线性组合来表⽰，即f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty }(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n \omega t) 式中\omega=\frac{2\pi}{T}是周期信号的⾓频率，也成基波频率，n\omega称为n次谐波频率；a_0为信号的直流分量，a_n和b_n分别是余弦分量和正弦分量幅度。
根据级数理论，傅⾥叶系数a_0、a_n、b_n的计算公式为：\left\{\begin{matrix}a_0=\frac{1}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt \\ a_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos{n\omegat}dt,n=1,2,3,... \\ b_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin{n\omega t}dt,n=1,2,3,... \end{matrix}\right. 若将式⼦中同频率的正弦项和余弦项合并，得到另⼀种形式的周期信号的傅⾥叶级数，即f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(n\omega t+\varphi_n) 其中，A_0为信号的直流分量；A_1\cos(\omega t+\varphi_1)为信号的基频分量，简称基波；A_n\cos(n\omega t+\varphi_n)为信号的n次谐波，n ⽐较⼤的谐波，称为⾼次谐波。
数字信号处理第3章 离散傅里叶变换(DFT)
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1(3.2.1)
其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
3.2.2 循环移位性质
1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移 位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
其中 XR(k)=Re［X(k)］=DFT［xep(n)］
(3.2.17)
X(k)=DFT［x(n)］=XR(k)+jXI(k) (3.2.18)
jXI(k)=jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］
设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFT［x(n)］，则
(1) X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1 (2) 如果 x(n)=x(N-m) 则X(k)实偶对称，即X(k)=X(N-k) (3.2.20) (3.2.19)
如果序列x(n)的长度为M， 则只有当频域采样点
数N≥M时， 才有
xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n) 即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时 域混叠现象。 这就是频域采样定理。
下面推导用频域采样X(k)表示X(z)的内插公式和内
插函数。设序列x(n)长度为M，在频域0~2π之间等间隔 采样N点，N≥M，则有
的值。
图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图
如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对
称分量一样，任何有限长序列x(n)都可以表示成共轭对 称分量和共轭反对称分量之和，即
x(n)=xep(n)+xop(n)
0≤n≤N-1
(3.2.11)
(3.2.13) (3.2.14)
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sin( k ) 2 , k 0,1, ,7 sin( k ) 8
kn 16
设变换区间N=16， 则
X (k ) x(n)W
n 0
15
e
N 0
3
j
2 kn 16
e
3 j k 16
sin( k ) 4 , k 0,1, ,15 sin( k ) 16
具体而言，即：
(1)时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓
(2)频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓 (3)把周期序列DFS的定义式（时域、频域）各取主值 区间，就得到关于有限长序列时频域的对应变换对。
（前面已证：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是同 周期序列）
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (1)周期序列的主值区间与主值序列
DFT 矩阵方程为:X WN x 即: 1 X (0) 1 X (1) 1 WN 1 WN 2 X (2) ＝ 1 ( N 1) X ( N 1) 1 W N 1 WN 2 WN 4 WN 2( N 1)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
一. 引言
3.1 离散傅里叶变换的定义
我们已经学习了连续时间傅里叶变换、连续周期信 号的傅里叶级数、离散时间傅里叶变换，他们都是信号 处理领域中重要的数学变换。本章讨论离散傅里叶变换 (DFT)，其开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可 以在频域进行。DFT存在快速算法，使信号的实时处理得 以实现。DFT不仅在理论上有重要意义，在各种信号处理 中也起着核心作用。
1 ak N
x ( n )e
n 0
N 1
j
2 kn N
令X (k ) Nak
2 n(k N ) N
X ( k ) x ( n )e
n 0
N 1
j
2 nk N
X (k N )
x ( n )e
n 0
N 1
j
x ( n )e
n 0
N 1
例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 。
解：DFT定义式为：X (k ) 设变换区间N=8， 则
7
kn x ( n ) W N n 0
3 j 2 kn 8
N 1
X (k ) x(n)W8kn e
n 0 N 0
e
3 j k 8
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (4)DFT和Z变换的关系
x ( n ), n 0,1,
X ( z ) ZT [ x(n)] x(n) z n
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN , n 0 n 0 N 1
N 1
, N 1
0 k N-1
x(n) 。因此它的DTFT 因为周期序列不满足条件： n 不存在。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达， 周期序列也可用离散的傅氏级数来表示。 (1)DFS定义 2
正变换： X ( k ) DFS [ x ( n )]
x ( n )e
n 0 N 1 k 0
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (3)周期序列的傅里叶变换表示 x(n) 。因此它的DTFT 因为周期序列不满足条件： n 不存在。但是，通过引入奇异函数δ 其DTFT可以用公式 表示。
x(n) x(n kN ), k
1 x(n) N
X ( k )e
k 0
X (k ) x(n)W
n 0 ~ N 1 ~ kn N kn x((n)) N WN n 0 kn N N 1
1 x(n) N
~
X (k )W
k 0
N 1 ~
1 N
X ((k ))
k 0
N 1
kn W N N
从上式可知，DFS，IDFS的求和只限定在n=0到 n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。 因此可得到新的定义，即有限序列的离散傅氏变 换(DFT)的定义。 有限长序列隐含着周期性。
N 1
j
2 kn N
2 j X (e ) N
2 X (k ) ( k) N k
其中 : X (k ) x (n )e
n 0
N 1
j
2 kn N
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
四. 离散付里叶变换
周期序列实际上只有有限个序列值才有意义 ，因 而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列 , 这就得到有限长序列的傅里叶变换(DFT)。
y ( n ) x1 ( m ) x 2 (( n m )) N R N ( n )
N 1
x1 ( n ) x 2 ( n ) x 2 ( n ) x1 ( n )
x (n) ，定义其第一个周期 n=0~N-1， 对于周期序列 ~ 为 ~ x (n) 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序 列 x(n)。
x (n) 的关系可描述为： x(n)与 ~ x (n)是x(n)的周期延拓 ~ ~ x ( n ) 是 x (n)的"主值序列 " 数学表示：
x(n) x(n mN ) x((n)) N m x(n) x(n) R (n) x((n)) R (n) N N N
N 1
j
N
nk
1 反变换：x ( n ) IDFS [ X ( k )] N
X ( k )e
2 j nk N
一般记：
WN e
j
2 N
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)周期序列的离散傅里叶级数推导 由
x(n) x(n kN ), k
x(n)
x(n ) 可以展成傅里叶级数：
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
二. 四种信号傅里叶表示
(1) 周期为T的连续时间周期信号
x (t )
1 t T 0 2 / T X ( k 0 ) x (t ) e jk 0t dt T t 时域周期频域离散。频谱特点:离散非周期谱
(2) 连续时间非周期信号
FS
4.
离散周期
离散周期
DFS
切实理解四种FT之间的对应关系
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
三. 离散付里叶级数(DFS)
为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及 其离散傅里叶级数（DFS）表示。然后讨论可作为周期函 数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)。 周期序列
x(n) x(n kN ), k
k
a e
k n 0
N 1
j
2 2 kn j mn N N
e
e
n 0
N 1
j
2 ( k m ) n N
根据正交定理
x(n)e
n 0
N 1
j
2 mn N
Nam
令k=m
1 ak N
x ( n )e
n 0
N 1
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图 3.2.1
循环移位过程示意图
第3章 离散傅里叶变换(DFT) 2. 序列的圆周卷积 设 x1 ( n ) 和 x 2 ( n ) 是两个具有相同长度N的有限长序列( 若不等，对序列补零使其为N点， N max( N 1 , N 2 ) )，定 义圆周卷积：
x((n)) N 表示先对n进行模N运算，然后对所得结果进行函数运算
n 25, N 9, 25 9 7
第3章 离散傅里叶变换(DFT) x(n)
0
~ x (n)
N-1
n
...
0 N-1
...
n
定义从n=0 到(N-1)的第一个周期为主值序列或区间。
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)从DFS到离散傅里叶变换 如果x(n)的长度为N， 且 x(n) x((n)) N ， 则可 写出 x(n) 的离散傅里叶级数表示为：
nk X (k ) x(n 1 x (1) 2( N 1) WN x (2) ( N 1)( N 1) WN x ( N 1) 1
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
DFT
nk X (k ) DFT x (n ) x (n )WN ， 0 k N 1 n 0
N 1
1 x(n) IDFT X (k ) N
nk X ( k ) W N ,0 n N 1 k 0
N 1
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (3)离散傅里叶变换的矩阵方程
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
jIm(z)
2 m N j
z 平面
2 N
-1
0
1 2 ( N 1) N
Re(z)
单位圆 -j
图 3.1.1 X(k)与X(z),X(e jω)的关系
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
一. 基本概念
1. 序列的圆周移位
序列x(n)，长度为N，则x(n)的圆周移位定义为：
y(n) x((n m)) N RN (n)
循环移位过程：
circshift(a,[0,-1])
x(n)
周期延拓
x(n) x((n)) N