离散傅里叶变换DFT
离散傅里叶变换(DFT)
9
在截取16点时，得到的是完整的余弦波形；而截取8点时， 得到的是半截的余弦波形，当然有大量的谐波成分。
10
例7.16 验证N点DFT的物理意义
j 4 1 e j x ( n ) R ( n ), 求得 X ( e ) FT [ x(n)] ， （1） 4 j 1 e
这种方法计算DFT概念清楚、编程简单，但占用内存大、运行 速度低，所以不实用。MATLAB基础部分提供了fft、ifft、fft2、 ifft2等等快速计算傅里叶变换的函数，使DFT的运算速度量提高了 若干数量级，在后面的例题中均直接调用这些函数。
6
例7.15 序列的离散傅立叶变换
求复正弦序列 x1 (n) e 余弦序列
13
结论：若序列长度为L，频域采样点数（DFT的长度） 为N，且L≤N，则频域采样后可不失真地恢复原序 列 x ( n) ；但若L>N，则频域采样后不能不失真地恢复 原序列 x ( n) 。
图3-3-1 时域恢复示意图
14
例7.17 频域与时域采样对偶性
（1）产生三角波序列
n x(n) M n 0 n M /2 M /2 n M
j n 8
RN ( n)
x2 ( n) cos n RN ( n) 8
正弦序列
x3 ( n) sin n RN ( n) 8
的离散傅立叶变换，分别按N =16和N =8进行计算。 绘出幅频特性曲线， 进行比较讨论。 解：直接产生序列x1n、x2n和x3n，调用fft函数求解
绘出幅频曲线和相频曲线。
（2）计算并图示x(n)的8点DFT。 （3）计算并图示x(n)的16点DFT。
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位 形成的。 （3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) y ( L 1)c x( L 1) x( L 2) x( L 3) x(1) h(0) x(2) h(1) x(3) h(2) x (0) h( L 1)
主值序列 x(n)
DFT变换对
x(n)的长度为M点，N≥M
N点DFT 变换对
DFT [ x(n)] X (k ) x(n)WNkn
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
[ x(m)WNmk ]WN kn
k 0 m 0
N 1 N 1
1 x ( m) N m 0
1 N
WNk ( m n )
k 0
N 1
W
k 0
N 1
k ( mn ) N
1 N
e
k 0
N 1 j 2 k ( m n ) N
x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
用矩阵计算循环卷积的公式
L 1 yc (n) h(m) x((n m)) L RL (n) m0
离散傅里叶变换(DFT)
~
将 x(n)以N为周期进行周期延拓得到 x(n) = x(( n)) N 将
~
x(n) = x((n)) N 左移m位得到 x(n + m)
(3.2.4)
例： ( n) = 3e n , o ≤ n ≤ 15 ，求 f ( n) = x(( n + 5))15 R15 (n) x
的16点离散傅立叶变换DFT。
N=16; n=0:N-1; xn=3*exp(n); m=5; fn=xn(mod((n+m),N)+1); XK=fft(xn, N); subplot(2, 2, 1); stem(n,xn); subplot(2, 2, 2); stem(n,abs(XK)); FK=fft(fn,N); subplot(2, 2, 3); stem(n,fn); subplot(2, 2, 4); stem(n,abs(FK));
x(n)为长度为N的有限长序列
x(n) 是长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列
x (n ) =
~
~
m =∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x ( n ) RN (n )
~
~
主值区间：周期序列 x( n) 从n=0到N-1的第一个周期。
~
主值序列：而主值区间上的序列称为 x( n) 的主值序列。
m
~2 m )) N) R x 2 (( (( m )) N ( n ) x (m x
2
离散傅里叶变换 DFT
数字信号处理第五章离散傅里叶变换授课教师：胡双红联系QQ：79274544长沙理工大学计算机与通信工程学院DFT:离散傅里叶变换引言DFSDFTDFT性质DFT应用快速算法：FFT引言DTFT对绝对可加序列给出了频域（ω）表示 Z变换对任意序列给出了广义频域（z）表示 特点：变换都是对无限长序列定义的；变换都是连续变量（ω或z ）的函数；用MATLAB实现时必须将序列截断然后在有限点上求表达式。
即DTFT和ZT都不是数值可计算的变换数值可计算的变换DFT方法：通过在频域对DTFT采样获得。
步骤：通过分析周期序列来建立傅里叶级数(DFS)将DFS推广到有限长序列得DFT优点：适合计算机实现的数值可计算的变换缺点：对长序列的数值计算费时多改进方法：快速傅里叶变换（FFT）第一次课5.1 离散傅里叶级数定义MATLAB实例与Z变换和DTFT的关系Z域采样与重建~式中：x解：由题设可得基波周期~~令x周期，⎪⎧±±==−,2,,02N Lk j N N k L π"作出L=5和N=20的周期序列图>> x=[1,1,1,1,1,zeros(1,15)];>> xtilde=x'*ones(1,3);>> xtilde=xtilde(:);>> xtilde=xtilde';>> n=[-20:39];>> stem(n,xtilde)>> axis([-20,39,-0.5,1.5]);>> xlabel('n');ylabel('x(n)');title('周期方波序列')2）对L=5和N=20的MATLAB脚本如下------------------------MATLAB脚本--------------------->> L=5;N=20;k=[-N/2:N/2];% 方波参数>> xn=[ones(1,L),zeros(1,N-L)];% 方波序列x(n) >> Xk=dfs(xn,N);% DFS>> magXk=abs([Xk(N/2+1:N) Xk(1:N/2+1)]);% DFS幅度>> subplot(2,2,1);stem(k,magXk);>> axis([-N/2,N/2,-0.5,0.5]);>> subplot(2,2,1);stem(k,magXk);>> axis([-N/2,N/2,-0.5,5.5]);>> xlabel('k');ylabel('Xtilde(k)');>> title('L=5,N=20 的方波的DFS');3）结论：方波DFS的DFT包络为抽样函数"sinc"函数k=0时幅度为L，函数的零点在N/L的整数倍点 方波持续时间相同时，周期越大，其频谱越密设x(n)是一有限长的序列，长度为N,即：那么它的z 变换和DTFT 为：,01()0,n N x n n ≤≤−⎧=⎨⎩非零其余()()()()∑∑−=−−=−==1010N n jwnjw N n n e n x e X zn x z X 与Z 变换和DTFT 的关系（了解）~现在以周期3）在4）在解：序列x(n)不是周期的，但是有限长的在设x(n)任意序列N−∞1上式表明：单位圆上对X(z)采样，时域将得到一个周期序列，是原序列x(n)和它的无穷多个移位±rN 的副本的线性组合。
离散傅里叶变换fft
离散傅里叶变换fft
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是信号处理中的一种重要工具，它可以把一个时域信号转换为其对应的频域表示。
快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是DFT的一种高效算法，其复杂度为O(n log n)，远优于直接计算DFT的O(n^2)复杂度。
在离散傅里叶变换中，输入是一个时域信号，通常表示为一个数字序列，输出是该信号的频域表示，也是一个复数序列。
这个过程可以理解为将信号的波形“展开”成一系列正弦波和余弦波的叠加，而这些正弦波和余弦波的频率、幅度和相位就是DFT的输出结果。
FFT是一种快速计算DFT的算法，其基本思想是利用对称性和周期性的特点，将一个大的DFT问题分解为几个小的DFT 问题，从而大大减少了计算的复杂度。
FFT的出现极大地推动了信号处理领域的发展，使得实时信号处理和大数据信号处理变得更加可行。
在实际应用中，离散傅里叶变换和快速傅里叶变换被广泛应用于信号处理、图像处理、通信、雷达、声呐、图像处理、频谱分析等领域。
例如，在音频处理中，通过DFT或FFT可以将音频信号转换为其对应的频谱表示，从而实现对音频信号的滤波、降噪、合成为止等操作。
在图像处理中，通过DFT 或FFT可以将图像信号转换为其对应的频谱表示，从而实现
对图像的滤波、锐化、特征提取等操作。
总之，离散傅里叶变换和快速傅里叶变换是信号处理中的重要工具，它们提供了一种从时域到频域的转换方法，使得我们能够更好地理解、分析和处理各种信号。
dft与离散傅里叶变换
dft与离散傅里叶变换DFT与离散傅里叶变换引言：数字信号处理中，频域分析是一项重要的技术。
DFT（离散傅里叶变换）和离散傅里叶变换（DFT）是两种常用的频域分析方法。
本文将介绍DFT和离散傅里叶变换的基本原理、应用领域以及它们之间的区别。
一、DFT的基本原理离散傅里叶变换（DFT）是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它的基本原理是将信号分解为不同频率的正弦和余弦波的叠加。
DFT 可以将信号从时域转换到频域，帮助我们分析信号的频谱特征。
DFT的计算公式是通过对信号的采样点进行离散计算得到的。
它将信号分解为一系列复数，表示不同频率的正弦和余弦波的振幅和相位信息。
通常情况下，DFT的输入信号是离散时间的有限长度序列，输出信号也是离散时间的有限长度序列。
二、DFT的应用领域DFT在信号处理领域有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1. 音频信号处理：DFT可以用于音频信号的频谱分析，帮助我们了解音频信号的频率组成以及频谱特征。
它在音频编码、音频效果处理等方面有着重要作用。
2. 图像处理：DFT可以用于图像的频域分析，帮助我们了解图像的频率特征，如边缘、纹理等。
它在图像压缩、图像增强等方面有着广泛的应用。
3. 通信系统：DFT可以用于通信信号的频谱分析，帮助我们了解信号在频域上的特征，如信号的带宽、频率偏移等。
它在调制解调、信道估计等方面有着重要作用。
三、离散傅里叶变换（DFT）与傅里叶变换（FT）的区别离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换（FT）在离散时间上的应用。
它们之间的区别主要体现在以下几个方面：1. 定义域：傅里叶变换是定义在连续时间上的，而离散傅里叶变换是定义在离散时间上的。
2. 输入信号类型：傅里叶变换可以处理连续时间的信号，而离散傅里叶变换可以处理离散时间的信号。
3. 计算方法：傅里叶变换通过积分计算得到频域信号，而离散傅里叶变换通过对输入信号的采样点进行离散计算得到频域信号。
4. 结果表示：傅里叶变换的结果是连续的频域信号，而离散傅里叶变换的结果是离散的频域信号。
第四章 离散傅立叶变换(DFT)
x ( n )W N
kn
n0
X ( k ) DSK [ x ( n )] N 点
x ( n )W N
k=0, 1, …, N-1
n0
式中的周期序列 ~ N 是有限长序列x(n)的周期延拓 x 序列，其定义为
~ (n ) xN
m
x ( n mN )
(4.2.3)
X(N-k)=X*(k) k
0 ,1, 2 , N 2 1
共需要N2/2次复数乘法，比直接按定义计算少一半。 对一般的复序列，DFT也有共轭对称性。
4.3.5 循环卷积定理 1) 两个有限长序列的循环卷积
设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点
循环卷积定义为
1 e
8k
1 e
j
k
2
k
j
2
k
e
j
(e
k j
e e
j
2
k
)
k
16
16
k
j
16
e
j
(e
k
)
7 16
sin( sin(
2
k)
e
k=0, 1, 2, …, 15
k)
16
x(n)的幅频特性函数曲线、 8点DFT、 16点DFT和 32点DFT的模分别如图4.2.1(a)、 (b)、 (c)和(d)所示。
通常又定义周期序列的主值序列为
x N ( n ) ~N ( n ) R N ( n ) x
比较以上四种变换的计算式可得到：
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
实际上，任何周期为N的周期序列 x ( n) 都可以看 作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)
则是
x(n) 的一个周期， 即
x ( n)
m
x (n mN )
kn 序列，但由于 WN 的周期性，使离散傅里叶变换式中的
X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m， 总有
k ( W N W Nk mN ) k，m为整数，N为自然数
所以(3.1.1)式中， X(k)满足
X (k mN )
n 0
N 1
( x (n)W Nk mN ) n
x(9) x((9))8 x(1)
所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
x(2) x((2))8 ？
2 (1) 8 6
x (2) x ((2))8 x(6)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
N：DFT变换区间长度，当N大于xn的长度时，fft
函数自动在xn后面补零。 Xk：函数返回xn的N点DFT变换结果向量。 当N小于xn的长度时，fft函数计算xn的前面N个元 素构成的N长序列的N点DFT，忽略xn后面的元素。 Ifft函数计算IDFT，其调用格式与fft函数相同。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
( 3.1.5) (3.1.6)
x ( n ) x ( n ) RN ( n )
上述关系如图3.1.2(a)和(b)所示。
x 周期序列 ~ (n) 中从n=0到N－1的第一个周期为 ~ (n)的主值区间，而主值区间上的序列称为 ~ (n)的 x x 主值序列。因此 x(n) 与 ~ (n) 的关系可叙述为： x
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原始图像
实部频谱
虚部频谱
原始图像
幅度频谱
相位频谱
二维图像频域处理
图像
正变换
滤波
图像
逆变换
二维图像频域处理
二维图像频域处理
二维图像频域处理
傅立叶变换示例
•幅值谱 •相位谱
•幅值重构图像 •相位重构图像
图像信号的正交变换-离散傅立叶变换
离散卷积： 定义：设f(n)，h(n)是周期为N的周期函数，则离散卷 积输出y(n)也是周期为N的函数：
X (m ) =
n = N 1 n=0 m = N 1 m =0
x ( n )e
j 2m n / N
1 反变换 x ( n ) = N
j 2 N
X ( m )e
j 2m n N
u0-u8
0*0 0 X(( ) W W 00 ) X 1*0 0 X X ( 1 ) W (1) W 2*0 0 W X X(( ) W 22 ) 3*0 0 X(( ) W 33 ) W X = = 4*0 0 W X X(( ) W 44 ) 5*0 0 X(( ) W 55 ) W X 6*0 0 W X X(( ) W 66 ) 7*0 0 X(( ) 77 ) X W W 0*1 0 WW 1*1 1 WW 2*1 2 WW 3*1 3 WW 4*1 4 WW 0*20 W W 1*22 W W 2*24 W W 3*26 W W 4*20 W W 0 0*3 W W 3 1*3 W W 6 2*3 W W 1 3*3 W W 4 4*3 W W 0 0* 4 W W 1*4 4 W W 0 2* 4 W W 3*4 4 W W 0 4* 4 W W *5 W00 W 55 W1* W *5 W22 W *5 W37 W *5 W44 W
y (n) = f (n) h(n) = f (k )h(n k )
k =0
其中，N是两个输入序列长度之和再减去1。
N 1
图像信号的正交变换-离散傅立叶变换
二维离散傅立叶变换：
输入图像
f(x,y)
图像处理系统函数
输出图像 I(x,y)
H(x,y)
I (x, y) = f ( x, y) h( x, y)
N 1
uk j 2 N
,k = 0, 1,...,N 1
离散傅里叶变换
一维离散傅立叶变换： 定义：设{f(n)|n=0,..,N-1}为一维信号的N个采样值，其 离散傅立叶变换及其逆变换分别为：
1 F (u ) = f ( k ) e N k =0 f ( k ) = F (u ) e
f ( t ). e
uk j 2 N
jw t
.dt
w =
一维离散傅立叶变换：
u
2 N
f (k )e
,u = 0, 1,...,N 1
离散傅里叶变换
一维傅立叶逆变换：
1 f (t ) = 2
f (k ) = F (u )e u
=0
F (w ).e
jwt
dw
一维离散傅立叶逆变换：
F (u , v ) e
u =0 v =0
N 1 M 1
ux vy j 2 ( ) N M
一维傅立叶变换定义
• 设 x(n):x(0),x(1),……,x(N-1); X(m): X(0), X(1),……,X(N-1)是数字序列， 则序列x(n)的傅立叶变换生成序列X(m)表示如下： 正变换
W 00*6 *6 W 16 W 24*6 W 32*6 W 40*6
7 5*1 5 5*22 5*3 5*4 4 *5 W W W W51 W 56*6 WW W W W W 2 0 6*1 6 6*24 6*3 6* 4 *5 W W W W66 W 64*6 WW W W W W 5 4 7*1 7 7*26 7*3 7* 4 *5 W W W W73 W 72*6 WW W W W W
F =H f
离散傅里叶变换
离散傅立叶变换在单位圆上的分布
1 1 1 j 2 NN1 j 2 N e =e j 2 ( N 1)( N 1) j 2 N 1 N N e e
I (u , v ) (u , v ) = tg [ ] R (u , v )
1
幅度谱：
| F ( u , v ) |= [ R ( u , v ) I ( u , v ) ]
2
2 1/ 2
二维傅立叶变换性质
• • • • • • • 可分离性 周期性 平移性 线性 共轭对称 相似性 旋转性
F =H f
离散傅里叶变换
离散傅立叶变换在单位圆上的分布 二次谐波信号
1 2 j 2 N e j 2 2( N 1) N e
逆时针旋转
离散傅里叶变换
1 1 1 F(0) j 2 F(1) 1 e N 2 j 2 F(2) = 1 e N F(N 1) N 1 j 2 N 1 e N 1 f (0) j 2 ... e N f (1) 2( N 1) j 2 f (2) N ... e f (N 1) ( N 1)(N 1) j 2 N ... e 1
j 2 ( N 1) N
... f ( N 1)e
j 2
( N 1)( N 1) N
]
离散傅里叶变换
1 1 1 F(0) j 2 F(1) 1 e N 2 j 2 F(2) = 1 e N F(N 1) N 1 j 2 N 1 e N 1 f (0) j 2 ... e N f (1) 2( N 1) j 2 f (2) N ... e f (N 1) ( N 1)(N 1) j 2 N ... e 1
•计算量大、耗时
•难以达到实时处理的要求
• 问题一：二维离散傅里叶变换的频谱存在 一个虚部
• 问题二：二维离散傅里叶变换计算量大、 耗时、难以达到实时要求
谢谢！
顺时针旋转
离散傅里叶变换
信号的数据分布
离散傅里叶变换
一维傅立叶变换：
F (w ) =
1 F (u ) = N
N 1 k =0
f ( t ). e
uk j 2 N
jw t
.dt
w =
一维离散傅立叶变换：
u
2 N
f (k )e
,u = 0, 1,...,N 1
二维离散傅里叶变换
7 xx (( 0 0) ) W W 0* 7 1* 7 x ( 1 ) x ( 1 ) W W 2* 7 xx (( 2 2) ) W W6 5 3* 7 xx (( 3 3) ) W W 7 xx (( 4 4) ) W W 4* 3 5*7 xx (( 5 5) ) W W 6* 7 xx (( 6 6) ) W W2 1 7*7 xx (( 7 7) ) W W
二维离散傅里叶变换
二维离散傅立叶变换： 定义：设{f(x,y)|x=0,..,N-1, y=0,..,M-1}为二维图像信号 其离散傅立叶变换及其逆变换分别为：
1 F (u , v ) = MN 1 f ( x, y ) = MN
f ( x, y )e
x =0 y =0
N 1 M 1
ux vy j 2 ( ) N M
F =H f
离散傅里叶变换
离散傅立叶变换在单位圆上的分布
1 1 j 2 N e j 2 N 1 N e
逆时针旋转
离散傅里叶变换
1 1 1 F(0) j 2 F(1) 1 e N 2 j 2 F(2) = 1 e N F(N 1) N 1 j 2 N 1 e N 1 f (0) j 2 ... e N f (1) 2( N 1) j 2 f (2) N ... e f (N 1) ( N 1)(N 1) j 2 N ... e 1
• 函数W周期为N=8
e
j 2 xu yv / N
二维离散傅里叶变换
二维图像信号的频谱：
二维信号的频谱有虚部！
F ( u , v ) = | F ( u , v ) | e xp [ j ( u , v )] = R ( u , v ) jI ( u , v )
相位谱：
u =0 N 1
N 1
uk j 2 N
, u = 0,1,..., N 1
uk j 2 N
, k = 0,1,..., N 1
离散傅里叶变换
一维离散傅立叶变换： 定义：设{f(n)|n=0,..,N-1}为一维信号的N个采样值，其 离散傅立叶变换及其逆变换分别为：
1 F (u ) = f ( k ) e N k =0 f ( k ) = F (u ) e
离散傅里叶变换DFT
王静远
傅里叶变换的内积表达
•傅里叶变换的表达式
•傅里叶变换的内积表达
两个连续函数f(x),g(x)的内积定义为二者 乘积在一个区间内的黎曼积分（定积分）.
傅里叶变换的内积表达
AB 两 个 函 数 的 内 积 可以看做 A 函数在 B 函数上的投影同 B 函 数的乘积。 傅里叶变换的本质 是求函数f(t)在不同 频率对应的 上的 投影。