离散傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换离散序列的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域扮演着重要角色。
本文将介绍离散序列的傅里叶变换的基本概念、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、离散序列的傅里叶变换的基本概念离散序列的傅里叶变换是将一个离散序列转换为一系列复数的运算。
它的定义公式为：X(k) = Σx(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)为频域上的复数序列，表示原始序列在频率为k的分量上的幅度和相位信息；x(n)为时域上的离散序列，表示原始序列在时间点n上的取值；N为序列的长度；e为自然对数的底数，j为虚数单位。
二、离散序列的傅里叶变换的性质离散序列的傅里叶变换具有一些重要的性质，包括线性性、平移性、对称性等。
1. 线性性：对于离散序列x(n)和y(n)，以及任意常数a和b，有DFT(ax(n) + by(n)) = aDFT(x(n)) + bDFT(y(n))。
2. 平移性：如果将离散序列x(n)平移m个单位，则其傅里叶变换为X(k)e^(-j2πkm/N)。
3. 对称性：如果离散序列x(n)是实数序列且长度为N，则其傅里叶变换满足X(k) = X(N-k)。
三、离散序列的傅里叶变换的应用举例离散序列的傅里叶变换在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 信号处理：在音乐、语音、图像等信号处理领域，离散序列的傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，包括频率成分、能量分布等。
通过傅里叶变换，我们可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而更好地理解信号的特征。
2. 图像处理：在图像处理中，离散序列的傅里叶变换可以用来进行图像的滤波、增强、压缩等操作。
通过将图像转换到频域上，我们可以对不同频率分量进行处理，从而实现对图像的各种操作。
3. 通信系统：在通信系统中，离散序列的傅里叶变换可以用来实现信号的调制、解调、滤波等功能。
离散数学中的离散变换和傅里叶变换
离散数学是数学中的一个分支，其研究对象是离散的数学结构和离散的数学对象。
离散数学在计算机科学、电子工程和通信工程等领域中有着广泛的应用。
在离散数学中，离散变换和傅里叶变换是两个重要的概念。
离散变换是一种将离散的数据序列转化为另一种形式的方法。
在离散数学中，我们常常需要对一组数进行处理和分析，离散变换可以帮助我们更好地理解和处理这些数。
离散变换的一个重要应用是图像处理。
在图像处理中，我们经常需要对图像进行分析和处理，离散变换可以将图像的像素转化为频域上的表示，从而更好地理解图像的特征和结构。
在离散变换中，傅里叶变换是一种重要的变换方法。
傅里叶变换是将一个连续函数表示为一系列正弦和余弦函数的和的方法。
在离散数学中，我们常常需要对离散的数据进行傅里叶变换。
离散傅里叶变换（DFT）是一种将离散序列转化为频域上的表示的方法。
离散傅里叶变换在信号处理和通信领域中有着广泛的应用。
离散傅里叶变换有很多重要的性质和定理。
其中一个重要的定理是离散傅里叶变换的逆变换定理。
根据逆变换定理，离散傅里叶变换的逆变换可以表示为原始离散序列的线性组合。
这个定理在恢复原始信号时是非常有用的。
除了离散傅里叶变换，还有许多其他的离散变换方法。
例如，离散余弦变换（DCT）是一种将离散序列转化为频域上的表示的方法。
离散余弦变换在图像和视频压缩中有着广泛的应用。
另外，离散小波变换（DWT）是一种将离散序列转化为时域上的多尺度表示的方法。
离散小波变换在图像和信号处理中也有着广泛的应用。
总的来说，离散变换和傅里叶变换是离散数学中重要的概念和方法。
离散变换可以帮助我们更好地理解和处理离散数据，傅里叶变换则可以将离散序列转化为频域上的表示。
离散傅里叶变换在信号处理和通信领域中有着广泛的应用，而离散余弦变换和离散小波变换则在图像和视频处理中起着重要的作用。
离散数学中的离散变换和傅里叶变换是我们在处理和分析离散数据时常用的工具。
通过学习离散变换和傅里叶变换，我们可以更好地理解和处理数据，同时也可以为实际应用提供有力支持。
离散时间序列的傅里叶变换
j
( 1) A e
j T
j
e
j
1 Be
j
H (e
A ) B
( )
e
j
( 1) A e
A B
j
e
j
1 Be
j
幅频: H (e j )
相频:
( )
j Im[z]
e
z
j
200 150
100
p
离散系统的频率响应
全同系统和最小相移系统
一、频率 响应定义
H (e ) H ( z ) z e j
j
H ( e j ) H ( e j ) e j ( )
例:单位函数响应为h(k),激励为
e(k ) e jk
稳态响应.
r (k ) h(k )* e
j
jk
j ( k i ) j i jk h(i )e h(i)(e ) e i i 0
j
F (e j )e jk d
DTFT存在的充分必要条件是F(z)的收敛区间包含单位圆。
例1：求离散序列的傅里叶变换。 RN (k ) (k ) (k N )
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
50
Re[z ]
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
0 -4
e j
0
2
H ( e j )
H (e )
j
A B
k 1 r 1 N
离散傅里叶反变换
离散傅里叶反变换离散傅里叶反变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是一种重要的信号分析方法，用于将时域信号转换为频域信号。
本文将介绍离散傅里叶反变换的原理、算法以及应用。
一、傅里叶分析的背景傅里叶分析是一种将时域信号分解为频域信号的方法，以描述信号的频率成分。
它的基本思想是：任何一个周期信号都可以由若干个不同频率的正弦和余弦函数叠加而成。
由此可知，一个信号在时域表达和频域表达是等效的。
离散傅里叶变换是将连续信号的傅里叶变换推广到离散信号的一种方法。
二、离散傅里叶变换概述离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是将一个N个采样点的离散信号转换为相应的频率谱，即频率成分和振幅的关系。
离散傅里叶变换的计算公式如下：X(k) = ∑[n=0 to N-1]x(n)e^(-2πijk/N)其中x(n)表示原始信号的第n个采样点的值，X(k)表示对应的频域表示的第k个频率成分。
三、离散傅里叶反变换的原理离散傅里叶反变换是将信号从频域转换为时域的方法。
它与离散傅里叶变换是互逆的，即进行离散傅里叶变换之后再进行离散傅里叶反变换，可以还原出原始信号。
离散傅里叶反变换的计算公式如下：x(n) = (1/N) * ∑[k=0 to N-1]X(k)e^(2πijk/N)其中x(n)表示对应的时域信号的第n个采样点的值，X(k)表示频域表示的第k个频率成分。
四、离散傅里叶反变换算法离散傅里叶反变换的计算可以通过直接计算的方式，也可以通过快速傅里叶变换的方式实现。
由于快速傅里叶变换算法比较复杂，本文将介绍使用直接计算的方式实现离散傅里叶反变换。
步骤如下：1. 给定频域信号X(k)和采样点数N；2. 根据反变换公式计算每个时域采样点的值x(n)；3. 返回时域信号x(n)。
五、离散傅里叶反变换的应用离散傅里叶反变换广泛应用于信号处理、图像处理和通信等领域。
离散傅里叶变换
c) 频域循环移位定理 若
则
21
3.2.3 循环卷积定理
长度分别为N1和N2的有限长序列x1(n)和x2(n)的N点DFT
分别为： （ N=max［ N1, N2 ］）。
X1(k)=DFT［x1(n)]
X2(k)=DFT［x2(n)］ 如果 则 X(k)=X1(k)· X2(k)
x n IDFT X k x1 m x2 n m N RN n
10
定义： 的主值区间：周期序列 中从n=0到N-1的范围 的主值序列：主值区间上的序列 为叙述方便，将式(3.1.5)该写成
x n N 表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，符号((n))N表示n对模
N的余数，即
这里k是商。
11
例如，N=7,
=x((n))7，则有
x 7 x 7 7 x 0 x 8 x 8 7 x 1
类似
Note：对实序列有 X k X N k
DFT x N n X k , 0 k N 1
28
3.2.5 DFT的共轭对称性
1. 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列
分别用xep(n)和xop(n) 表示有限长共轭对称序列和共轭反对称
由此对长度为N的序列x(n)，且 x n x n N ，则
X k x n W
n 0 N 1 kn N
的DFS为
x n N W
n 0
N 1
kn N
kn x n WN n 0
N 1
1 N 1 1 N 1 kn kn x n X k WN X k WN N n 0 N n 0
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位
（3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
y(0)c x(0) x(L1) x(L2)
y(1)c
x(1)
x(0) x(L1)
y(2)c
＝ x(2)
x(1)
x(0)
y(L1)c x(L1) x(L2) x(L3)
m0
n'm
精选课件
N1
N1
X(k) x1(m)WN km x2(n')WN kn '
m0
n'0
X1(k)X2(k)， 0kN1
由于 X ( k ) D F T [ x ( n ) ] X 1 ( k ) X 2 ( k ) X 2 ( k ) X 1 ( k )， 因此
x (n ) ID F T [X (k)] x 1 (n ) x2(n)x2(n) x 1 ( n )
精选课件
若 则
且
D[F x(n)T ]X (k) D [ x ( F n (m T )N R )N ( n ) ] W N m X ( k k ) ID [X (k F ( l)T N ) R N ( k ) ] W N n x ( ln )
证明：
N 1
N 1
Y ( k ) D F T [ y ( n ) ] N x ( ( n m ) ) N R N ( n ) W N k n x ( ( n m ) ) N W N k n
m0
（3.2.5）
yc(n)=h(n) x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
精选课件
离散时间序列的傅里叶变换
傅里叶变换： 傅里叶反变换：
F ( j ) f ( t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
一、离散序列傅里叶变换DTFT公式
F (e j ) F ( z )
T
z e jT
F (e j )
围内。
四、几种特殊的离散时间系统：
低通、高通、带通、带阻
全通系统
最小相位系统 最小相位系统：极零点全部在单位圆内。
全通
1) m=n;
2)
H (e j ) H 0 H ( z) |z 1
全通系统：对任意频率的离散正弦时间信号都有相同的幅
频响应，除了在z=0处的极点外，其余的极点和零点关于单
r (k )
i
k i k h ( i )( 1 ) ( 1 )
i
( 1) k H ( z ) z 1
H(-1)=32/3
32 r (k ) ( 1) k 3
k
作业：8.17 (2) , (3);
8.18(1)(5)
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
1 e 1 e j
j N
N sin j N 1 2 e 2 sin 2
| F (e j ) | e j ( )
|F(e j)| 幅频特性曲线 ()相频特性曲线
位圆镜像对称（即两者相角相等，幅度互为倒数, 或 zi
1 pi*
）
常见序列的离散傅里叶变换
常见序列的离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将时域信号转换为频域信号的数学技术，常见于信号处理、图像处理、音频处理等领域。
它可以将一个序列分解为多个正弦和余弦波的叠加，从而提供一种在频域上分析信号的方法。
在实际应用中，离散傅里叶变换通常使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT）算法进行计算，该算法是一种高效、快速计算离散傅里叶变换的方法。
FFT算法的提出，使DFT在工程、科学和数学领域得到了更加广泛的应用，被IEEE科学与工程计算期刊评选为20世纪十大算法之一。
在离散傅里叶变换中，一个序列的频域表示可以通过将序列与一个正弦和余弦基函数进行卷积运算得到。
具体来说，设一个长度为N 的序列x(n)，则其离散傅里叶变换X(k)可以通过以下公式计算：X(k) =Σ[x(n) * e^(-j*2*pi*k*n/N)]，其中j为虚数单位，k为频率索引，取值范围为0到N-1。
在计算离散傅里叶变换时，通常需要考虑序列的周期性和对称性，以便在频域表示中减少不必要的重复计算。
例如，在实际应用中，常采用对序列进行窗函数处理的方法，以减少频谱泄漏和旁瓣干扰。
此外，为了提高计算效率，还可以使用分治算法、矩阵运算等方法进行快速傅里叶变换。
离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换人类的日常生活中充满了各种各样的信号，比如声音、图像、电压等。
为了更好地理解和处理这些信号，我们需要使用一种数学工具来对其进行分析和处理。
傅里叶变换便是一种常用的工具，能够将信号从时域转换到频域，使我们能够更好地理解信号的频率成分。
在离散序列中，我们同样可以使用傅里叶变换来对信号进行处理。
离散序列是指在一定的时间间隔内，对信号进行采样得到的序列。
傅里叶变换的目的是将这个序列从时域转换到频域，以便我们可以更好地分析信号的频率成分。
离散序列的傅里叶变换是指对离散序列进行傅里叶变换的过程。
在离散序列中，我们可以使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）来进行变换。
离散傅里叶变换是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具，它能够将一个N点的离散序列变换为一个N点的频域序列。
离散傅里叶变换的计算过程可以通过离散傅里叶变换公式来表示，但为了遵守本文的要求，我们不会在文章中插入任何数学公式。
简单来说，离散傅里叶变换将离散序列分解为一系列正弦和余弦函数的和，每个正弦和余弦函数都对应着一个频率成分。
通过计算这些正弦和余弦函数的振幅和相位，我们可以得到信号在不同频率下的幅度和相位信息。
离散傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用。
例如，在音频处理中，我们可以使用离散傅里叶变换来对音频信号进行频谱分析，以便分析音频信号的频率成分。
在图像处理中，我们可以使用离散傅里叶变换来对图像进行频域滤波，以便去除图像中的噪声或增强图像的某些频率成分。
除了离散傅里叶变换，还有一种更高效的算法，称为快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）。
快速傅里叶变换是一种基于分治法的算法，能够在O(NlogN)的时间复杂度下计算离散傅里叶变换。
这使得离散傅里叶变换在实际应用中更加高效和可行。
尽管离散傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用，但它也有一些限制。
首先，离散傅里叶变换要求信号是周期性的，即信号在采样窗口内是重复的。
数字信号处理之离散傅里叶变换
共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称 性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算， 即X = W * x，其中X是DFT的输 出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具 有特殊的结构，可以通过快速傅 里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时 傅里叶变换、Wigner-Ville分 布等，可根据具体应用场景选 择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域 中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频 域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识 别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和 处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分 ，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信 号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可 以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。
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第3章 离散傅里叶变换在第二章讨论了利用序列的傅里叶变换和z 变换来表示序列和线性时不变系统的方法，公式分别为：∑∞-∞=-=n nzn x z X )()(和∑∞-∞=-=n jwnjwen x e X )()(。
对于有限长序列，也可以用序列的傅里叶变换和z 变换来分析和表示，但还有一种方法更能反映序列的有限长这个特点，即离散傅叶里变换。
这就是我们这一章要讨论的问题。
离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。
这一章讨论的问题有：1、 傅里叶变换的几种可能形式：至今学过很多种傅里叶变换形式，到底之间有什么不 同，需要分析一下；2、 周期序列的离散傅里叶级数(DFS)：通常的周期信号都可以表示成傅里叶级数，然后根据傅里叶级数可以得到傅里叶变换；也就是说傅里叶级数与傅里叶变换之间有一定的关系；3、 有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)：这是我们的重点，我们会对其性质等作分析讨论；4、 DFT 的应用：学习了这种傅里叶变换，怎么用？计划作一个实验。
3.1 傅里叶变换的几种形式傅里叶变换就是建立以时间为自变量的"信号"与以频率为自变量的"频率函数"之间的某种变换关系。
都是指在分析如何综合一个信号时，各种不同频率的信号在合成信号时所占的比重。
如连续时间周期信号)()(mT t f t f +=，可以用指数形式的傅里叶级数来表示，可以分解成不同次谐波的叠加，每个谐波都有一个幅值，表示该谐波分量所占的比重。
傅里叶表示形式为：∑∞-∞=Ω=n t jn n e F t f )(⎰-Ω-=⇔22)(1T T tjn n dt et f TF （Fn 离散、衰减、非周期）。
例如周期性矩形脉冲，其频谱为 ,1,0,/)/sin(±==n Tn T n T F n πτπττ。
画出图形。
对于非周期信号，如门函数，存在这样的关系式：⎰⎰∞∞--∞∞-=⇔=dt e t f jw F dw ejw F t f jwt jwt)()()(21)(π，时域非周期连续，频率连续非周期。
画出图形。
例如序列的傅里叶变换，变换关系为：∑∞-∞=-=n jwnjwen x e X )()(，⎰-=πππdw e e X n x jwn jw )(21)(，时域为非周期离散序列，频域为周期为2π的连续周期函数。
以上三种傅里叶变换都是符合傅里叶变换所谓的是建立以时间为自变量的"信号"与以频率为自变量的"频率函数"之间的某种变换关系。
不同形式是因为时间域的变量和频域的变量是连续的还是离散而出现的。
这三种傅里叶变换因为总有一个域里是连续函数，而不适合利用计算机来计算。
那么如果时间域里是离散的，而频域也是离散的，就会适合在计算机上应用了，那么傅里叶变换会是什么形式？见书上90页图形，可见时域和频域都对应为序列的形式。
3.2 周期序列的离散傅里叶级数（DFS ）回顾一下，对于周期信号，通常都可以用傅里叶级数来描述，如连续时间周期信号)()(mT t f t f +=，用指数形式的傅里叶级数来表示为∑∞-∞=Ω=n tjn neF t f )(，可以看成信号被分解成不同次谐波的叠加，每个谐波都有一个幅值，表示该谐波分量所占的比重。
其中tj eΩ为基波，基频为Ω=2π/T （T 为周期）。
设)(~n x 是周期为N 的一个周期序列，即)(~n x =)(~rN n x +，r 为任意整数，用指数形式的傅里叶级数表示应该为)(~n x =∑∞-∞=k njkw k e X 0~，其中ω0=2π/N 是基频，基频序列为n jw e 0。
下面来分析一下第（K+rN ）次谐波nw rN k j e 0)(+和第（k ）次谐波njkw e0之间的关系。
因为ω0=2π/N ，代入表达式中，得到nw rN k j e0)(+=njkw e0，r 为任意整数。
这说明第（K+rN ）次谐波能够被第（k ）次谐波代表，也就是说，在所有的谐波成分中，只有N 个是独立的，用N 个谐波就可完全的表示出)(~n x 。
K 的取值从0到N-1。
这样)(~n x =N1∑-=10~N k njkw ke X ，N 1是为了计算的方便而加入的。
下面来看看k X ~如何根据)(~n x 来求解。
先来证明复指数的正交性：⎩⎨⎧=-=∑-=-其它为整数,0,,11))(2(m mN r k eN n n r k Nj π，注意该表达式是对n 求和，而表达式的结果取决于（k-r ）的值。
在)(~n x =N1∑-=10~N k n jkw k e X 两边都乘以rn N j e )/2(π-，并且从n=0到n=N-1求和，得到 ∑∑∑-=-=--=-=1010))(/2(10)/2(~1)(~N n N k n r k N j kN n rn N j e XNen x ππ交换求和顺序，再根据前面证明的正交性结论可以得出：)(~)(~10)/2(r X e n x N n rn N j =∑-=-π，换一个变量，有)(~k X =∑-=-102)(~N n kn N j e n x π，从)(~k X 的表达式可以看出)(~k X 也是周期为N 的周期序列，即)(~k X =)(~N k X +。
)(~n x =N1∑-=10~N kjkw k e X )(~k X =∑-=-12)(~N n Nj en x π在上面的傅里叶级数对中，n 和k 的范围是从-∞到∞。
为了表示的方便，引入变量)/2(N j N e W π-=，N 表示周期。
重新写上面的级数对。
讨论如下内容：1）)/2(N j N e W π-=，以N 为周期。
1=Nk N W ，2/2N N W W =；2）求和只对序列的一个周期的值进行，但求出的)(~k X 或)(~n x 却是无限长的； 3）由)(~n x 以N 为周期推导出)(~k X 以N 为周期；4）对于周期序列)(~n x =)(~rN n x +，因为z 变换不收敛，所以不能用z 变换，但若取)(~n x 的一个周期，则z 变换是收敛的。
∑∞-∞=-=n n z n x z X )(~)(，当取k N j e z )/2(π=时，)(~)(k X z X =，而jw e z jw z X e X ==|)()(，当k N w )/2(π=时，)(jw e X =)(~k X ，这相当于在ω=0到ω=2π的范围内，以2π/N 的频率间隔在N 个等间隔的频率上对傅里叶变换进行采样。
5）引入主值序列的概念，即序列在0~N-1区间的序列称为主值序列。
举例：例1 求)(~n x 的DFS 系数。
设)(~n x 为周期冲激串)(~n x =∑∞-∞=+r rN n )(δ，对于0≤n ≤N-1，)(~n x =)(n δ，可以求出)(~k X =∑-=1)(N n kn N W n δ=1，即对于所有的k 值，)(~k X 均相同。
)(~n x 表示成级数形式为)(~n x =∑∞-∞=+r rN n )(δ=∑∑-=-=-=10)/2(111N k knN j N k kn Ne NWN π=⎩⎨⎧=其它,0,1rN n 。
例2 设)(~n x 的周期为N=10，在主值区间内，0≤n ≤4时，)(~n x =1，在5≤n ≤9时，)(~n x =0。
画出)(~n x 的图形，则)(~k X =∑∑=-==4)10/2(410n kn j n kn e Wπ=)10/sin()2/sin()10/4(k k e k j πππ-，画出)(~k X 的幅值图。
X ~(0)=5，X ~(±1)=3.23，X ~(±2)=0，X ~(±3)=1.24，X ~(±4)=0，X ~(±5)=1，X ~(±6)=0，X ~(±7)=1.24，X ~(±8)=0，X ~(±9)=3.23，这是一个周期内的值。
设n 取5~14，即不是取主值周期，随便取一个周期，计算傅里叶级数)(~2k X ，得到的结果和在主值周期中的结果)(~k X 一样。
下面计算有限长序列)(n x =⎩⎨⎧≤≤≤≤95,040,1n n 的傅里叶变换。
∑∞-∞=-=n jwnjwen x e X )()(=∑=-4n jwne=jww j e e ----115 =)2/sin()2/5sin()2/1()2/5(w e w e w j w j --，如果将ω=2πk/10代入上式，则结果和)(~k X 一样。
)(jw e X 的幅度一个周期图如下所示：可以看出)(~k X 相当于在ω=0到ω=2π的范围内，以2π/10的频率间隔在10个等间隔的频率上对傅里叶变换进行采样。
例3 例题中得到这样一个结论，对于以N 为周期的周期序列)(~n x ，任取一个周期求得的傅里叶系数)(~2k X 与)(~n x 在主值区间（n=0~N-1）中求得的傅里叶系数)(~1k X 相同。
现在已知)(~n x 的周期为N ，)(~1k X =∑-=-102)(~N n kn N j e n x π，)(~2k X =∑=21m m n )(~n x kn N j e π2-，m1=rN+n1，m2=rN+n1+N-1，0≤n1≤N-1，证明)(~1k X =)(~2k X 。
证明：)(~2k X =∑-+++=111N n rN n rN n )(~n x kn Njeπ2-（令n-m=rN 或m=n-rN ）=∑+-+)()2()(~rN m k Nj e rN m x π=∑∑∑-+=-=-+=-+=11111112()())(~N n N m N n m N n n m mk Njem x π（后一个分量作变量m-N=n ）=∑-=++110)()(~n n k N n N W N n x =∑-=110)(~n n nkN W n x=∑-=1)(~N on nk NW n x =)(~1k X 例4（留作作业）)(~n x 的周期为N ，其DFS 系数为)(~k X 。
)(~k X 也是周期为N 的周期序列，试利用)(~n x 求)(~k X 的DFS 系数。
解：)(~k X =∑-=1)(~N on nkN W n x)(~r X =∑-=1)(~N k krN W k X =krN N k N n kn N W W n x ∑∑-=-=101])(~[=∑∑-=-=+101)()(~N n N k r n k N W n x ，⎩⎨⎧=+=∑-=+其余,0,10)(lN r n N W N k r n k N，所以)(~r X =)(~)(~r x N lN r x N -=+-。