离散傅里叶变换及其快速算法
第2章 离散傅里叶变换和快速算法.ppt
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
2.1.1 离散傅里叶级数
离散傅里叶级数的定义：
X~ (k )
N 1 ~x (n)e
j 2 N
kn
n0
~x (n)
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
2.2 利用DFT做连续信号的频谱分析
离散傅里叶变换可以用来分析连续时间信号的频谱，其 原理如下：
这种方法存在如下问题： 混叠，泄漏，栅栏效应，分辨率，周期效应。 根据例6（书上63页）说明上面5个问题。
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
clear;close all; f=10;a=4;T=1/(a*f);t=0:T:3; x=sin(2*pi*f*t); subplot(211);plot(t,x);xlabel('t/s');ylabel('x(t)'); N=length(t);n=0:N-1;k=n; W=exp(-j*2*pi/N*k'*n); X=W*conj(x'); subplot(212);stem(k,abs(X),'.');xlabel('k');ylabel('X(k)');
N 1 ~x1 (m) ~x2 (n rL m) RN (n)
m0
r
yL (n rL) RN (n) r
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
yL(n)和yC(n) 的关系
yC (n) yL (n rL) RN (n) r
离散傅里叶变换及其快速算法
5
傅里叶特殊贡献： • 任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦、或
余弦和的形式。 • 无论函数多复杂，只要是周期的，并满足一定条
件，都可以用正弦、或余弦的和表现。甚至曲线 有限的非周期函数。
6
• 离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于 DTFT更便于用计算机处理。
• 直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度 较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶 变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算 法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能 并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。
• 近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在 数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应 用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。
§2-1 傅里叶变换的几种形式
7
时域x(t)、x(n)与频域X(j)、X(ej)之间的变换关系 一、连续时间与连续频率的傅立叶变换
xa (t ), Xa ( j)
2
x(n)
X (e j )
T
n
2
结论：非周期的离散时间函数对应于周期性连续频率
函数。
9
三、连续时间与离散频率的傅里叶表示（变换） 即周期性信号的傅里叶表示：
xa (t) X (m)
xa (t )
X (m )e jmt
m
X (m) 1
T
T
2 T
xa (t )e jmt dt
2
xa (t)
x1(n) x2 (n)
4 共轭对称性
对于复序列 ~x n 其共轭序列 ~x *n 满足
DFS ~x * n X~ * k
证:
DFS ~x * n N1 ~x * (n)WNnk
第3章 离散傅里叶变换及其快速算法
计算中， 在DFT计算中，不论是乘法和加法，运算量均与 计算中 不论是乘法和加法， N2成正比。因此，N较大时，运算量十分可观。例 成正比。因此， 较大时 运算量十分可观。 较大时， 计算N=10点的 点的DFT，需要 次复数相乘， ，计算 点的 ，需要100次复数相乘，而 次复数相乘 N=1024点时，需要 点时， 点时 需要1048576（一百多万）次复数乘 （一百多万） 如果要求实时处理， 法，如果要求实时处理，则要求有很高的计算速 度才能完成上述计算量。 度才能完成上述计算量。 反变换IDFT与DFT的运算结构相同，只是多 与 的运算结构相同， 反变换 的运算结构相同 乘一个常数1/N，所以二者的计算量相同。 乘一个常数 ，所以二者的计算量相同。
nk X (k ) = ∑ { Re [ x( n)]Re WN − I m [ x(n)]I m [WNnk ] n =0 N −1
(
+ j Re [ x(n)]I m
(
[ ] [W ]+ I
nk N
)
nk [ x( n)]Re WN } m
[ ])
又每个复数相加包括2个实数相加，所以，每计算一个 X（ k） 要进行 次实数相乘和 次实数相乘和2N+2（ N-1） =2（ 2N-1） 次实 （ ） 要进行4N次实数相乘和 （ ） （ ） 数相加，因此，整个DFT运算需要 2实数相乘和 （2N-1） 运算需要4N 实数相乘和2N（ 数相加，因此，整个 运算需要 ） 次实数相加。 次实数相加。
虽然频谱分析和DFT运算很重要 ， 但在很长 运算很重要， 虽然频谱分析和 运算很重要 一段时间里， 由于DFT运算复杂 ， 并没有得到 运算复杂， 一段时间里 ， 由于 运算复杂 真正的运用， 真正的运用 ， 而频谱分析仍大多采用模拟信号 滤波的方法解决， 直到1965年首次提出 年首次提出DFT运 滤波的方法解决 ， 直到 年首次提出 运 算的一种快速算法以后， 情况才发生了根本变 算的一种快速算法以后 ， 人们开始认识到DFT运算的一些内在规律 ， 运算的一些内在规律， 化 ， 人们开始认识到 运算的一些内在规律 从而很快地发展和完善了一套高速有效的运算 方法——快速付里变换（FFT）算法。FFT的出 快速付里变换（ 方法 快速付里变换 ）算法。 的出 现 ， 使 DFT 的 运 算 大 大 简 化 ， 运 算 时 间 缩 短 二个数量级， 一 ～ 二个数量级 ， 使 DFT的运算在实际中得到 的运算在实际中得到 广泛应用。 广泛应用。
第2章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
电信系信息技术教研室
2.1.1 离散傅里叶级数DFS
信号特性的时频域对应关系 连续 离散 周期
非周期 周期 离散
电信系信息技术教研室
2.1.1 离散傅里叶级数DFS
？如何对周期为N的周期序列进行频域分析……
如： ~(n) ~(n kN ) x x 周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都 周而复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域，所以 其DTFT亦不存在。但是，如同连续时间周期信号可用 傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表 示。
2 1 2 1
X (2) 0 X (6) 0
X (3) 1 j X (7 ) 1 j
2 1 2 1
电信系信息技术教研室
解法二：公式解
N 1 j 2 N 7 j 2 8 kn
X
k
DFS x n
mk
ki mk ~ ~ x (i ) wN wN X ( k ) i 0
N 1
电信系信息技术教研室
3）共轭对称性
x 对于复序列 ~n ，其共轭序列为
~* ~* DFS x n X k
* *
~* x n
，则：
~ ~ DFSx n X k
解：上述序列的基本周期为 N=4，因而
W4 = e-j2π /4 = -j，
~ X (k )
~ X (0) ~ X (1 ) ~ X (2) ~ X (3)
n0
3
nk ~ x ( n )W 4
3
n0
3
~ ( n )W x 4
离散傅里叶变换及其快速算法
离散傅里叶变换及其快速算法离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种将离散信号转换为频域表示的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛的应用。
而快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种能够高效计算DFT的算法，大大减少了计算量。
首先，我们来看一下DFT的原理。
给定一个有限长度的离散信号序列x(n)，DFT将其转换为频谱X(k)，其中k为频率索引，取值范围为0到N-1，N为序列的长度。
DFT的定义公式如下：X(k) = Σ x(n) * exp(-j * 2π * nk / N)其中，exp为自然指数函数，j为虚数单位。
DFT将信号分解为了N个复数的和，这些复数代表了不同频率分量在信号中的贡献。
然而，直接计算DFT的时间复杂度非常高，为O(N^2)。
为了提高计算效率，Cooley和Tukey于1965年提出了FFT算法。
FFT算法基于以下性质：若N为2的整数次幂，则DFT可以被分解为两个较小长度的DFT的线性组合。
具体来说，将N个点的DFT拆分为长度为N/2的两个DFT，然后再对这两个子序列进行DFT，最后将两个子序列的结果组合起来。
这个过程可以递归地进行，直到序列长度为1，即可得到最终的DFT结果。
FFT算法的时间复杂度为O(NlogN)，远远小于直接计算DFT的复杂度。
这使得FFT成为了处理大规模数据的首选方法之一、此外，FFT还有其他一些优点，如可并行化计算、对称性质等。
FFT算法可以采用不同的实现方式，最著名的是基于蝶形运算的Cooley-Tukey算法。
这种实现方式将FFT过程分为了两个阶段：置换阶段和蝶形运算阶段。
置换阶段通过将信号重新排序，将原始序列分为奇偶两个子序列，并计算每个子序列的DFT。
这个过程可以递归地应用于子序列，直到长度为1蝶形运算阶段是FFT算法的核心部分。
蝶形运算是指将两个频域上的复数进行运算，得到新的复数。
第二章 离散傅里叶变换及其快速算法02
8
3、循环（圆周）卷积 循环（圆周）
若 X 3 (k ) = X 1 (k ) X 2 (k )
则 x3 (n) = x1(n) x2 (n) = ∑ x1(m)x2 ((n m))N RN (n)
m=0
N 1
= ∑ x2 (m)x1((n m))N RN (n)
m=0
N 1
可以看做是两个周期序列做周期卷积后 可以看做是两个周期序列做周期卷积后，再取其主 周期卷积 值序列。 值序列。
故
因此, 具有共轭对称性， 共轭偶对称分量。 因此,Xe(k)具有共轭对称性，称为X(k)的共轭偶对称分量。
16
* 用同样的方法可得到 X o ( k ) = X o ( N k )
Xo(k)具有共轭反对称特性, 称其为X(k)的共轭奇对称分量。 具有共轭反对称特性,
对于纯实数序列x(n)，即x(n)=xr(n)，X(k)只有共轭 偶对称部分， ),表明实数序列的DFT满足 表明实数序列的DFT 偶对称部分，即X(k)=Xe(k),表明实数序列的DFT满足 共轭对称性。 共轭对称性。
，离散傅里叶变换算法实质上对频率具有选择性。 离散傅里叶变换算法实质上对频率具有选择性。
2π 例3 求余弦序列 x ( n) = cos( qn ), 0 ≤ n ≤ N 1 N
20
的
解：
2π 2π j qn qn j 2π 1 N N x ( n) = cos( qn ) = (e ) +e N 2
在涉及DFT的场合，有限长序列总是表示成 的场合， 在涉及 的场合 周期序列的一个周期。 周期序列的一个周期。
N 1
二、DFT性质 性质
1、线性 、
4
DFT[ax( n) + by( n)] = aX ( k ) + bY ( k )
离散傅里叶变换及快速算法
（5-5）
W e N
j
2 N
的性质:
正交性，周期性，
共轭对称性（偶序列），可约性。
§5．离散傅里叶变换及快速算法
1.离散傅里叶级数
1.2离散傅里叶级的计算
例5-1 求出下面周期序列的DFS
x(n) 0 ,1,2,3, 0 ,1,2,3, 0,1,2,3
n0
为改进嵌套循环计算的效率，将循环结构改为矩阵形式计算
§5．离散傅里叶变换及快速算法
0.概述
离散时间傅里叶变换(DTFT)是通过周期频谱 来描述一个离散信号序列，即DTFT是连续变 量w的连续函数。离散傅里叶变换(DFT)则是 针对有限长序列，是对DTFT采样后得到的离 散序列。 此种表示方法非常有利于数值计算以及数字信 号处理算法的DSP硬件实现。 本章将研究离散傅里叶级数，离散傅里叶变换 (DFT)，及离散傅里叶变换的快速算法FFT。
（5-3）
n0
称之为离散傅里叶级数DFS的系数。是一个基波周期为N的 周期序列。
X (k) X (k N)
§5．离散傅里叶变换及快速算法
W e 在DFS变换中引入复数 N
j
2 N
将DFS正反变换描述为
N 1
X (k) x(n)WNnk
n0
x (n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
x
1 N
WN* X
WN WNkn 0
k,n
N
1
1 1
1
WN1
1
W ( N 1) N
1
W ( N 1) N
第三章-离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
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x(n)
IDFT[ X (k)]N
1 N
N 1
X (k)WNk n ,
k 0
n 0, 1,
, N 1
也可以表示为矩阵形式:
x DN1 X
DN1称为N点IDFT矩阵，定义为
1
DN1
1 N
1 1
1
1 WN1 WN2
WN( N 1)
线性性质 DFT的隐含周期性 循环移位性质 复共轭序列的DFT DFT的共轭对称性 循环卷积定理 离散巴塞伐尔定理
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① 线性性质 设有限长序列x1(n)和x2 (n)的长度分别为N1和N2 ， x(n) ax1(n) bx2 (n) ，a和b为常数。
则
)
N M
xN (n) x((n))N X (k ) X ((k ))N
有限长序列x(n)的DFT变换X(k)，就是x(n)的周期延拓序列 ~x(n) 的DFS系数 X~(k ) 的主值序列
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DFS与FT之间的关系:
M 1
X (k) DFS[xN (n)] x(n)WNkn n0
xN (n) xN (n)RN (n)
主值区间序列 N M , xN (n) x(n)
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x8 (n) x4 (n)
返回
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周期序列DFS: N 1 X (k ) DFS[ xN (n)] xN (n)WNkn n0
M 1
x(n)WNkn
k
返回
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xN (n)
n
N
0
N
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第五章 离散傅里叶变换及其快速算法 1 离散傅里叶变换(DFT)的推导(1) 时域抽样：目的：解决信号的离散化问题。
效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。
(2) 时域截断：原因：工程上无法处理时间无限信号。
方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。
结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。
(3) 时域周期延拓：目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。
方法：周期延拓中的搬移通过与)(s nT t -δ的卷积来实现。
表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。
结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。
(4)1。
图1 DFT 推导过程示意图(5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换：∑∑∞-∞=-=π--δ⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=k N n N kn j s kf f e nT h f H )()()(~010/2(i))(~f H 是离散函数，仅在离散频率点SNT k T k kf f ===00处存在冲激，强度为k a ，其余各点为0。
(ii) )(~f H 是周期函数，周期为ss T NT N T N Nf 100===，每个周期内有N 个不同的幅值。
(iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。
2 DFT 及IDFT 的定义(1) DFT 定义：设()s nT h 是连续函数)(t h 的N 个抽样值1,,1,0-=N n ，这N 个点的宽度为N 的DFT 为：[])1,...,1,0(,)()(10/2-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∆-=π-∑N k NTk H enT h nT h DFT s N n Nnk j s s N (2) IDFT 定义：设⎪⎪⎭⎫⎝⎛s NT kH 是连续频率函数)(f H 的N 个抽样值1,,1,0-=N k ， 这N 个点的宽度为N 的IDFT 为：())1,...,1,0(,110/21-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆-=π--∑N k nT h e NTkH NNT kH DFT s N k N nk j s sN (3) N nk j e /2π-称为N 点DFT 的变换核函数，N nk j e /2π称为N 点IDFT 的变换核函数。
它们互为共轭。
(4) 同样的信号，宽度不同的DFT 会有不同的结果。
DFT 正逆变换的对应关系是唯一的，或者说它们是互逆的。
(5) 引入N j N e W /2π-=(i) 用途：(a) 正逆变换的核函数分别可以表示为nk N W 和nkN W -。
(b) 核函数的正交性可以表示为：())(*10r n N W W krN N k kn N-δ=∑-= (c) DFT 可以表示为：)1,,1,0(,)(10-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑-=N k W nT h NTkH N n nk N s s(d) IDFT 可以表示为：)1,,1,0(,1)(10-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑-=-N n W NTk H NnT h N k nk N s s(ii) 性质：周期性和对称性：(a) 12==π-j NNe W (b) 12/-==π-j N Ne W (c) r N r N N N r N N W W W W ==+(d) r N r N N N r N N W W W W -=-=+2/2/(e) )(1Z m W mN ∈∀=(f) ),(/2/2Z n m W e eW nN N n j m N m n j m n m N ∈∀===π-π- 3 离散谱的性质(1) 离散谱定义：称)(Z k NT k H H S k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∆为离散序列)0)((N n nTs h <≤的DFT 离散谱，简称离散谱。
(2) 性质：(i) 周期性：序列的N 点的DFT 离散谱是周期为N 的序列。
(ii) 共扼对称性：如果)0)((N n nTs x <≤为实序列，则其N 点的DFT 关于原点和N /2都具有共轭对称性。
即*k k H H =-；*k k N H H =-；*22kNkNH H =±(iii) 幅度对称性：如果)0)((N n nTs x <≤为实序列，则其N 点的DFT 关于原点和N /2都具有幅度对称性。
即k k H H -=；k k N H H =-；kNkNH H 22=±(3) 改写： (i) 简记)(s nT h 为)(n h(ii) 简记⎪⎪⎭⎫⎝⎛s NT k H 为)(k H (iii) DFT 对简记为：)()(k H n h D FT⇔或)()(k H n h ⇔(iv) ()[])1,,1,0(,)()(1-===∑-=∆N k W n h n h DFT k H N n nkN(v)[]())1,,1,0(,1)()(101-===∑-=--∆N n W k H Nk H DFT n h N k nkN4 DFT 总结(1) DFT 的定义是针对任意的离散序列)(nTs x 中的有限个离散抽样)0(N n <≤的，它并不要求该序列具有周期性。
(2) 由DFT 求出的离散谱)()(Z k NT k H H k H S k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∆是离散的周期函数，周期为s s s f T NT N T N Nf ====1/00、离散间隔为0011f T N f NT s s ===。
离散谱关于变元k 的周期为N 。
(3) 如果称离散谱经过IDFT 所得到的序列为重建信号，))(('Z n nTs x ∈，则重建信号是离散的周期函数，周期为001f T NT s ==(对应离散谱的离散间隔的倒数)、离散间隔为001/Nf N T N NT T s s ===(对应离散谱周期的倒数)。
(4) 经IDFT 重建信号的基频就是频域的离散间隔，或时域周期的倒数，为SNT T f 1100==。
(5) 实序列的离散谱关于原点和2N(如果N 是偶数)是共轭对称和幅度对称的。
因此，真正有用的频谱信息可以从0~12-N范围获得，从低频到高频。
(6) 在时域和频域N ~0范围内的N 点分别是各自的主值区间或主值周期。
5 DFT 性质(1) 线性性：对任意常数m a (M m ≤≤1)，有[]∑∑==⇔⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡M m m m M m m m n x DFT a n x a DFT 11)()((2) 奇偶虚实性：(i) DFT 的反褶、平移：先把有限长序列周期延拓，再作相应反褶或平移，最后取主值区间的序列作为最终结果。
(ii) DFT 有如下的奇偶虚实特性：奇⇔奇；偶⇔偶；实偶⇔实偶；实奇⇔虚奇；实 ⇔(实偶) + j(实奇)；实 ⇔(实偶)·EXP(实奇)。
(3) 反褶和共轭性：(4) 对偶性：)()(k Nx n X -⇔(i) 把离散谱序列当成时域序列进行DFT ，结果是原时域序列反褶的N 倍； (ii) 如果原序列具有偶对称性，则DFT 结果是原时域序列的N 倍。
(5) 时移性：kmN W k X m n x )()(⇔-。
序列的时移不影响DFT 离散谱的幅度。
(6) 频移性：)()(l k X W n x nl N -⇔-(7) 时域离散圆卷积定理：)()()()(k Y k X n y n x ⇔⊗(i) 圆卷积：周期均为N 的序列)(n x 与)(n y 之间的圆卷积为∑-=-=⊗1)()()()(N i i n y i x n y n x)()(n y n x ⊗仍是n 的序列，周期为N 。
(ii) 非周期序列之间只可能存在线卷积，不存在圆卷积；周期序列之间存在圆卷积，但不存在线卷积。
(8) 频域离散圆卷积定理：)()(1)()(k Y k X Nn y n x ⊗⇔(9) 时域离散圆相关定理：)()()(*)(k Y k X n R P xy⇔ 周期为N 的序列)(n x 和)(n y 的圆相关：()∑-=∆-==10*)()()()()()(),(N i P xy P n i y i x n R n y n x R是n 的序列，周期为N 。
(10) []{}**)(1)(k H DFT Nn h k =。
其中[]⋅kDFT 表示按k 进行DFT 运算。
(11) 帕斯瓦尔定理： ∑∑-=-==102102)(1)(N k N n k X Nn x6 快速傅里叶变换FFT(1) FFT 不是一种新的变换，而是DFT 的快速算法。
(2) 直接DFT 计算的复杂度：)(2N O计算DFT 需要：2*N N N =次复数乘法；2*N N N =次复数加法。
(3) FFT 算法推导：(i) 第L 次迭代中对偶结点值的计算公式为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->>===-⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-----))((22)()()()()()(1111L r K BR P N K K W K x K x K x W K x K x K x L r LL L r L L P N L L L L LL P N L L L L L L LL，L K 是循环控制变量。
(ii) 对偶结点的关系如图2所示：图2 FFT 中对偶结点关系图 (iii) 旋转因子：kN W 被称为旋转因子，可预先算好并保存。
(iv) 整序：经过r 次迭代后，得到结果()()b r r k k k x 110- ，实际结果应是()()b r k k k X 011 -，所以流程的最后一步是按下标的正常二进制顺序对结果进行整序。
(4) FFT 算法特点：(rN 2=) (i) 共需r 次迭代；(ii) 第)1(r L L ≤≤次迭代对偶结点的偶距为L L r L L N K K 2/2==--，因此一组结点覆盖的序号个数是12)(2-=-L L L N K K 。
(iii) 第)1(r L L ≤≤次迭代结点的组数为[]12)(2/-=-L L L K K N 。
(iv) LP N W 可以预先计算好，而且L P 的变化范围是12~0-N。
(5) FFT 算法流程：(r N 2=)(i) 初始化：10),()(0-≤≤←N n n x n x ； (ii) 第)1(r L L ≤≤次迭代：(a) 下标控制变量初始化0=L K ； (b) “结点对”的个数初始化0=num ;(c) DO Nnum WHILE L)2(<按对偶结点对的计算公式进行置位运算，得到)(L L K x 和)(L L K x 的值； 1+←L L K K ；1+←num num ；跳过已经计算过的结点(即上面L K 所对应的那些结点)：L L N K 2/=+； 如果N K L <，转到b)继续计算下一组结点；否则结束本次迭代。