第4章 离散傅里叶变换的计算
离散傅里叶变换的矩阵表示及其运算量
N/2点DFT。这样，一个N点的DFT分解为两个N/2点的DFT。
将分解继续下去，直到分解为2点的DFT为止。当N=8时，
基2频率抽选的FFT算法的整个信号流图如图4.6所示。
将图4.6与图4.4比较，可知频率抽选法的计算量与时间抽选 法相同，而且都能够同址计算。时间抽选法是输入序列按奇 偶分组，故x(n)的顺序要按倒序重排，而输出序列按前后分 半，故X(k) 的顺序不需要重排；频率抽选法则是输出序列按 奇偶分组，故X(k) 的顺序要按倒序重排，而输入序列按前后 分半，故x(n) 不需要重排。
图 4.2 N/2 点的DFT 分解为两个N/4点的DFT (N=8)
综上所述，可以得到：
X (k) G(k) WN k P(k)
X
(k
N 2
)
G(k)
WN k P(k)
k 0,1,, N 1 2
其中G(k)、P(k) 分别是x(n)的偶数点和奇数点的N/2点DFT。
这样，我们就将一个N点的DFT分解成了两个N/2点的DFT， 由于DFT的运算量与其点数的平方成正比，因此使运算量减 少了。但是，还应该将每一个N/2点的DFT再分解为两个N/4 点的DFT，如此下去，直到分解为2点的DFT为止，总共需 要进行log2N-1=log2(N/2)次分解。
4.2.2 算法特点 1. 倒序重排 这种FFT算法的每次分解都是将输入序列按照奇偶分为两组，
故要不断地将每组输入数据按奇偶重排，直到最后分解为2 点的DFT，输入数据才不再改变顺序。这样做的结果，使得 作FFT运算时，输入序列的次序要按其序号的倒序进行重新 排列。
现在将图4.4中输入序号以及重排后的序号按二进制写出如 下（注：下标“2”表示二进制数）。可以看出，将输入序 号的二进制表示（n2n1n0）位置颠倒，得到（n0n1n2），就 是相应的倒序的二进制序号。因此，输入序列按倒序重排， 实际上就是将序号为（n2n1n0）的元素与序号为（n0n1n2） 的元素的位置相互交换。
第四章 离散傅立叶变换(DFT)
x ( n )W N
kn
n0
X ( k ) DSK [ x ( n )] N 点
x ( n )W N
k=0, 1, …, N-1
n0
式中的周期序列 ~ N 是有限长序列x(n)的周期延拓 x 序列，其定义为
~ (n ) xN
m
x ( n mN )
(4.2.3)
X(N-k)=X*(k) k
0 ,1, 2 , N 2 1
共需要N2/2次复数乘法，比直接按定义计算少一半。 对一般的复序列，DFT也有共轭对称性。
4.3.5 循环卷积定理 1) 两个有限长序列的循环卷积
设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点
循环卷积定义为
1 e
8k
1 e
j
k
2
k
j
2
k
e
j
(e
k j
e e
j
2
k
)
k
16
16
k
j
16
e
j
(e
k
)
7 16
sin( sin(
2
k)
e
k=0, 1, 2, …, 15
k)
16
x(n)的幅频特性函数曲线、 8点DFT、 16点DFT和 32点DFT的模分别如图4.2.1(a)、 (b)、 (c)和(d)所示。
通常又定义周期序列的主值序列为
x N ( n ) ~N ( n ) R N ( n ) x
比较以上四种变换的计算式可得到：
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
《快速傅里叶变换(FFT) 第四章》
方法： 分解N为较小值：把序列分解为几个较短的 序列，分别计算其DFT值； 利用旋转因子WNk的周期性、对称性、可 约性进行合并、归类处理，以减少DFT的运 算次数。 k ( kn WN m WNN m WN ( nlN ) WNk lN ) n WN 周期性： N m m N m N m m m m 对称性：Wm WNm [W WN N WNN [WNNN m ]] WN WN 2 WN WN 可约性：W mN N W knmW kn / m W kn m kmn ,m 2 2
x ( r ) W x ( r )W x ( r ) W x ( r )W e (r W x r) xxr) W( r ) W (WW (r )W W e W (2 ) x x x(2 r 1)
W e
2 j 2 kr 2 kr N N /2
N 2
2 这样将N点DFT分解为两个N/2点的DFT
N X (k ) X 1 (k ) W X 2k(k ) k 0,1, 1 N X (k ) X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, N 1 2 k X (kN X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, 2 1 ) N2 k X (k N X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, 1 N ) k X (k 2 N X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, N 1 ) 2 k 2 X (k ) X (k ) W X (k ) k 0,1, 2 1
4.1 离散傅里叶变换的高效计算思路 DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。但直接 计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比， 当N较大时，计算量太大，直接用DFT算法进行谱分 析和信号的实时处理是不切实际的。
信号与系统(第四章)-离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
第4章离散傅里叶变换
分离性质的主要优点是可借助一系列一维傅里叶变换分两步 求得F(u,v)。第1步，沿着f(x,y)的每一行取变换，将其结果 乘以1/N,取得二维函数F(x,v);第2步，沿着F(x,v)的每一列 取变换，再将结果乘以1/N,就得到了F(u,v)。这种方法是先 行后列。如果采用先列后行的顺序，其结果相同。
谱图像就是把|F(u,v)|作为亮度显示在屏幕上。但在 傅里叶变换中F(u,v)随u,v的衰减太快，其高频项只看到 一两个峰，其余皆不清楚。
由于人的视觉可分辨灰度有限，为了得到清晰的显示 效果，即为了显示这个频谱，可用下式处理，设显示信号 为D(u,v),
D(u,v) log(1 | F(u,v) | )
2
2
1 j 2
2023/12/30
12
4.1.2 离散傅里叶变换
2.二维离散傅里叶变换
一幅静止的数字图像可看做是二维数据阵列。因此， 数字图像处理主要是二维数据处理。
如果一幅二维离散图像f(x,y)的大小为M*N，则二 维傅里叶变换可用下面二式表示。
M 1 N1
j 2 ( ux vy )
1
1 j 2
j 1 j 1 1 j
2
2
j
1
j
2
W 0
W1
W2
W3
W4
W5
W6
W
7
1
j
1
j
1 j 1
j
W 0
W
W
0
W 0
W2 W3 W4
W4 W6 W0
W6 W1 W4
W0 W4 W0
W2 W7 W4
W4 W2 W0
W6
W W
5 4
1
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅⾥叶变换（DFT） 对于第⼀幅图来说，它侧重展⽰傅⾥叶变换的本质之⼀：叠加性，每个圆代表⼀个谐波分量。
第⼆幅图直观的表⽰了⼀个周期信号在时域与频域的分解。
周期信号的三⾓函数表⽰ 周期信号是每隔⼀定时间间隔，按相同规律⽆始⽆终重复变化的信号。
任何周期函数在满⾜狄利克雷条件下（连续或只有有限个间断点，且都是第⼀类间断点；只有有限个极值点），都可以展开成⼀组正交函数的⽆穷级数之和。
使⽤三⾓函数集的周期函数展开就是傅⾥叶级数。
对于周期为T 的信号f(t)，可以⽤三⾓函数集的线性组合来表⽰，即f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty }(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n \omega t) 式中\omega=\frac{2\pi}{T}是周期信号的⾓频率，也成基波频率，n\omega称为n次谐波频率；a_0为信号的直流分量，a_n和b_n分别是余弦分量和正弦分量幅度。
根据级数理论，傅⾥叶系数a_0、a_n、b_n的计算公式为：\left\{\begin{matrix}a_0=\frac{1}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt \\ a_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos{n\omegat}dt,n=1,2,3,... \\ b_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin{n\omega t}dt,n=1,2,3,... \end{matrix}\right. 若将式⼦中同频率的正弦项和余弦项合并，得到另⼀种形式的周期信号的傅⾥叶级数，即f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(n\omega t+\varphi_n) 其中，A_0为信号的直流分量；A_1\cos(\omega t+\varphi_1)为信号的基频分量，简称基波；A_n\cos(n\omega t+\varphi_n)为信号的n次谐波，n ⽐较⼤的谐波，称为⾼次谐波。
电子教案《数字信号处理》(陈树新) 第4章 离散傅里叶变换
N 1
xn x2mx1n mN RN n x2n x1n x1n x2n m0
计算循环卷积过程也分为以下几步：
x1n, x1m
1
x2 n, x2 m
1
x2 m8 R8m x2 8 m8 R8m
1
0 1 2 3 4 5 6 7 n,m (a)
x2 1 m8 R8 m
1
0 1 2 3 4 5 67 m (d)
X k WNkn
X k X~k RN k
2020/7/1
7
4.2 离散傅里叶变换的性质
离散傅里叶变换除了具有线性和周期性这两种基 本特性以外，根据离散傅里叶变换的特点，它还具有 以下特性和定理。
4.2.1 循环移位性质
1、序列的循环移位
设x(n)为有限长序列，其长度为N，则序列x(n) 的循环移位可以定义为
基于上述分析，DFT的变换区间长度N不相同， 表示对X(ejω)在区间[0，2π]上采样间隔和点数不同， 所以DFT得到的变换结果就不同。
X e j
X k N=8
X k N = 16
0 2 (a)
2020/7/1
...
2
0
2
4
6
(b)
...
k
0 4 8 12 16 k
(c)
4
4.1.3 DFT的线性和周期性
的N点离散傅里叶变换（DFT）为
N 1
X k DFT xn xnWNkn , 0 k N 1 n0
与上式相对应，X(k)的离散傅里叶逆变换为
xn
IDFT X k
1 N
N 1
X k WNkn ,
k 0
0 n N 1
式中WN
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29
作业
• 109.tif
▫ 4-3
30
• 重叠相加法
26
第十一节 利用FFT计算相关
• 用FFT计算循环相关
• 已知：
27
第十一节 利用FFT计算相关
• 用循环相关计算线性相关
28
第十二节 FFT应用
• FFT是数字信号处理计算的核心 • FFT以卷积运算、相关运算、系统函数等为具体处理依据 • 常见应用 1、计算系统函数
2、测量相关函数
现代数字信号处理
第四章 离散傅里叶变换的计算
福州大学物理与信息工程学院 魏宏安、赵宜升 2017年9月
本章知识点
• • • • • • • • 提高DFT运算速度的主要方法 时间抽选奇偶分解FFT算法 时间抽选法的一般规则 频率抽选奇偶分解FFT算法 频率抽选法的一般规则 快速傅里叶逆变换（IFFT） 利用FFT计算线性卷积 利用FFT计算相关
2
快速傅里叶变换
• 计算离散傅里叶变化的快速算法（简称FFT）使DFT运算 大大简化，运算时间可以缩短一、二个数量级 • 时间抽选奇偶分解FFT算法 • 频率抽选奇偶分解FFT算法
3
第一节 提高DFT运算速度的主要方法
4
第一节 提高DFT运算速度的主要方法
（1）降维法 把长为N的DFT，逐次分解成长度较短的DFT来计算
18
例子（续）
19
例子2
• 设有限长序列N=8，将其用频率抽选法展开
20
第六节 频率FFT）
• 比较
22
第九节 快速傅里叶逆变换（IFFT）
•
•
23
例子
• 设有限长序列N=4，
24
第十节 利用FFT计算线性卷积
•
25
第十节 利用FFT计算线性卷积
例子2（续）
12
例子3
• 设有限长序列N=8，将其用时间抽选法展开
13
第二节 时间抽选奇偶分解FFT算法
• 算法复杂度
14
第三节 时间抽选法的一般规则
15
第五节 频率抽选奇偶分解FFT算法
• DFT：
16
第五节 频率抽选奇偶分解FFT算法
•
17
例子
• 设有限长序列N=4，将其用频率抽选法展开
5
第一节 提高DFT运算速度的主要方法
（2）利用共轭对称性
6
第二节 时间抽选奇偶分解FFT算法
• DFT：
7
第二节 时间抽选奇偶分解FFT算法
•
8
第二节 时间抽选奇偶分解FFT算法
•
9
例子
• 设有限长序列N=2，将其用时间抽选法展开
10
例子2
• 设有限长序列N=4，将其用时间抽选法展开
11