03-第三章-离散傅立叶变换PPT课件
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离散傅里叶变换(DFT)ppt课件
幅度为
1 N
X~ (k )，其中k
0,1, , N
N
1表示其频谱分布规律
8
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
(3)周期序列的傅里叶变换表示
因为周期序列不满足条件： x(n) 。因此它的DTFT 不存在。但是，通过引入奇异函n数 δ 其DTFT可以用公式
表示。
x(n) x(n kN ),k
周期序列也可用离散的傅氏级数来表示。
(1)DFS定义
正变换：X
(k)
DFS [ x(n )]
N
1
x(n)e
j 2 N
nk
一般记：
反变换：x(n)
n0
IDFS[X (k)] 1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
j 2
WN e N
6
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)周期序列的离散傅里叶级数推导 由
为 ~x对(n于)周的期“序主列值~x区(间n)”，，定主义值其区第间一上个的周序期列n为=0主~N值-1序，
列 x(n)。
x(n)与~x(n) 的关系可描述为： ~x (n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x (n)的"主值序列"
数学表示：
x(n)
x(n mN ) x((n))N
x(n)
1
N 1
j 2 kn
X (k)e N
N k0
X (e j ) 2 X (k) ( 2 k)
N k
N
其中 :
X
(k)
N 1
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
N X ( k )
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
实际上，任何周期为N的周期序列 x ( n) 都可以看 作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)
则是
x(n) 的一个周期， 即
x ( n)
m
x (n mN )
kn 序列，但由于 WN 的周期性，使离散傅里叶变换式中的
X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m， 总有
k ( W N W Nk mN ) k，m为整数，N为自然数
所以(3.1.1)式中， X(k)满足
X (k mN )
n 0
N 1
( x (n)W Nk mN ) n
x(9) x((9))8 x(1)
所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
x(2) x((2))8 ？
2 (1) 8 6
x (2) x ((2))8 x(6)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
N：DFT变换区间长度，当N大于xn的长度时，fft
函数自动在xn后面补零。 Xk：函数返回xn的N点DFT变换结果向量。 当N小于xn的长度时，fft函数计算xn的前面N个元 素构成的N长序列的N点DFT，忽略xn后面的元素。 Ifft函数计算IDFT，其调用格式与fft函数相同。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
( 3.1.5) (3.1.6)
x ( n ) x ( n ) RN ( n )
上述关系如图3.1.2(a)和(b)所示。
x 周期序列 ~ (n) 中从n=0到N－1的第一个周期为 ~ (n)的主值区间，而主值区间上的序列称为 ~ (n)的 x x 主值序列。因此 x(n) 与 ~ (n) 的关系可叙述为： x
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
实际上，任何周期为N的周期序列 x ( n) 都可以看 作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)
则是
x(n) 的一个周期， 即
x ( n)
m
x (n mN )
kn 序列，但由于 WN 的周期性，使离散傅里叶变换式中的
X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m， 总有
k ( W N W Nk mN ) k，m为整数，N为自然数
所以(3.1.1)式中， X(k)满足
X (k mN )
n 0
N 1
( x (n)W Nk mN ) n
x(9) x((9))8 x(1)
所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
x(2) x((2))8 ？
2 (1) 8 6
x (2) x ((2))8 x(6)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
N：DFT变换区间长度，当N大于xn的长度时，fft
函数自动在xn后面补零。 Xk：函数返回xn的N点DFT变换结果向量。 当N小于xn的长度时，fft函数计算xn的前面N个元 素构成的N长序列的N点DFT，忽略xn后面的元素。 Ifft函数计算IDFT，其调用格式与fft函数相同。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
( 3.1.5) (3.1.6)
x ( n ) x ( n ) RN ( n )
上述关系如图3.1.2(a)和(b)所示。
x 周期序列 ~ (n) 中从n=0到N－1的第一个周期为 ~ (n)的主值区间，而主值区间上的序列称为 ~ (n)的 x x 主值序列。因此 x(n) 与 ~ (n) 的关系可叙述为： x
离散傅里叶变换ppt
频域信号 周期的 离散的
*时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
§ 3-1 周期序列的DFS
一.周期序列DFS的引入 导出周期序列DFS的传统方法是从连
续的周期信号的复数傅氏级数开始的：
~x (t) X~ ( jk0 )e jk0t k
对上式进行抽样，得：
n0
x(n)
IDFT X (k)
1 N
N 1
X (k )WNn,k
k 0
0nN-1
或者： X (k) X~(k)RN (k) x(n) ~x (n)RN (n)
练习题
参考答案
TP 1/ f 0.1(s) T 1/ 2 fh 1/ 8kHz 0.125(ms) N 2 fh / f 800
证明：
DFS[WNmn~x (n)]
N
1
WNmn
~x (n)WNkn
n0
N 1 ~x (n)WN(km)n n0
X~(k m)
WNmn
j 2 mn
eN
j 2 nm
eN
(e
j
2
N
n
)
m
时域乘以虚指数(
j 2
eN
n
)的m次幂，频域搬移m,调制特性。
四.周期卷积和
1.如果 Y~(k) X~1(k)X~2(k)
所以
DFS[~x (n
m)]
N 1m~x (i)WNik
W mk N
im
W mk N
N
1
~x (i)WNik
W mk N
~x (k
数字信号处理课件--第三章4离散傅里叶变换的性质-PPT精选文档
a , b 为 任 意 常 数
则
这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度 m a x [ N , N ] 相等，均为N，且 N 1 2
课件 2
2、序列的圆周移位
( n ) x ( ( n m ) ) R ( n ) 定义： x m N N
取主 ( n m ) 延拓 序列 xn ( ( m ) ) N
n l N n l N
时域序列的调制等效于频域的圆周移位
课件 6
2 n l 1 D F T x ( n ) c o s X ( ( k l ) ) X ( ( k l ) ) R ( k ) N N N N 2
2 n l 1 D F T x ( n ) s i n X ( ( k l ) ) X ( ( k l ) ) R ( k ) N N N N 2 j
2 nl x(n) x(n)sin N
课件 7
3、共轭对称性
序列的Fourier变换的对称性质中提到：
任意序列可表示成 x e ( n ) 和 x o ( n ) 之和:
x ( n ) x ( nx ) ( n ) e o
* * x ( n ) x ( n ) 1 / 2 [ x ( n ) x ( n ) ] 其中： e e
课件
3
课件
4
X ( k ) D F T [ x ( n ) ] D F T [ x ( ( n m ) ) R ( n ) ] m m N N
m k W () N Xk
证 ： D F T [ x ( ( n m ) ) R ( n ) ][ D F T x ( n m ) R ( n ) ] N N N
则
这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度 m a x [ N , N ] 相等，均为N，且 N 1 2
课件 2
2、序列的圆周移位
( n ) x ( ( n m ) ) R ( n ) 定义： x m N N
取主 ( n m ) 延拓 序列 xn ( ( m ) ) N
n l N n l N
时域序列的调制等效于频域的圆周移位
课件 6
2 n l 1 D F T x ( n ) c o s X ( ( k l ) ) X ( ( k l ) ) R ( k ) N N N N 2
2 n l 1 D F T x ( n ) s i n X ( ( k l ) ) X ( ( k l ) ) R ( k ) N N N N 2 j
2 nl x(n) x(n)sin N
课件 7
3、共轭对称性
序列的Fourier变换的对称性质中提到：
任意序列可表示成 x e ( n ) 和 x o ( n ) 之和:
x ( n ) x ( nx ) ( n ) e o
* * x ( n ) x ( n ) 1 / 2 [ x ( n ) x ( n ) ] 其中： e e
课件
3
课件
4
X ( k ) D F T [ x ( n ) ] D F T [ x ( ( n m ) ) R ( n ) ] m m N N
m k W () N Xk
证 ： D F T [ x ( ( n m ) ) R ( n ) ][ D F T x ( n m ) R ( n ) ] N N N
信号与系统课件-第三章离散傅立叶变换DFT
拓展延伸：其他相关变换方法简介
要点一
拉普拉斯变换
要点二
Z变换
用于分析线性时不变系统的稳定性及频率响应特性。
用于分析离散时间线性时不变系统的稳定性及频率响应特 性。
THANKS
感谢观看
高频谱利用率
OFDM技术通过采用正交子载 波的方式，实现了频谱资源的 有效利用，提高了系统的频谱 利用率。
03
抗多径干扰能力强 04
由于OFDM系统采用了多载波调 制方式，每个子载波上的符号周 期相对较长，因此具有一定的抗 多径干扰能力。
适用于高速数据传 输
OFDM技术通过将高速数据流分 解成多个低速子数据流进行传输 ，降低了对单个载波的传输速率 要求从而适用于高速数据传输 场景。
共轭对称性
若x[n]为实序列，则其DFT满足 X[k]=X*[N-k]，其中*表示共轭。
周期性与非周期性信号处理方法
周期性信号处理方法
对于周期性信号，可以通过截取一个周期的信号进行DFT分析，得到该信号的频谱特性。由于DFT具有周期性， 因此可以通过对截取信号的DFT结果进行周期延拓得到整个周期信号的频谱。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
01
离散傅立叶变换（DFT）定义及性质
02
DFT是将连续时间信号在时域和频域上都进行离散化处理的一 种变换方法。
03
DFT具有线性性、时移性、频移性、共轭对称性等基本性质。
关键知识点总结回顾
直接计算法
根据DFT定义直接进行计算，但计算量大，不实用。
快速傅立叶变换（FFT）
仿真实验：不同窗函数对信号重构影响
实验目的
说明本实验的目的在于研究不同 窗函数对信号重构的影响，以便 在实际应用中选择合适的窗函数。
数字信号处理第三章离散傅里叶变换DFTppt课件
2 N
kn
n
xN (n) IDFT[ X (k)]
x(n)与xN (n)的关系？
26
离散傅里叶变换（DFT）
xN (n)
~
x(n)
~
X (k)
X (k)
~
x(n)
~
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1 ~
X (k )WNkn
k 0
1 0
1 N
N 1
[
如果序列x(n)的长度为M ,则只有当频域采样点数 N M时，才有xN (n) IDFT[ X (k)] x(n)
28
离散傅里叶变换（DFT）
[例] 已知 x(n) R8 (n) ，X (e j ) FT[x(n)] 对 X (e j )
采样得
X (k)
X (e j )
, k
2 6
k
1 N
N 1
X1(l) X 2 ((k
k 0
l))N
RN (k)
1 N
X1(k)
NX 2 (k)
1 N
N 1
X 2 (l) X1((k
k 0
l))N RN (k)
1 N
X 2 (k )
NX 1 (k )
22
离散傅里叶变换（DFT） 4.复共轭序列的DFT
X (k) DFT[x(n)]
证明： DFT[x(n)] X (N k)且X (N ) X 0
第三章 离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换的定义
主
离散傅里叶变换的基本性质
要
内
容
频率域采样
DFT的应用举例
2
傅里叶变换专题教育课件
Ω
-
2
３双边奇指数信号
et
f
(t )
e t
旳傅里叶变换为 ：
t 0 t 0
f (t) 1
0
t
F () f (t)e jt dt
-1
0 et e jt dt et e jt dt
0
1
j
2 2 2
| F() |
其幅度频谱和相位频谱为
|
F
()
|
2
2
||
2
() 2
2
0 0
2.在任何有限区间内，只有有限个最大值和最小值。
3.在任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在 每个不连续点上信号都必须取有限值，这时傅里叶 变换收敛于间断点两边函数值旳平均值。
常见非周期信号旳傅里叶变换
１矩形脉冲信号
f(t)
E
E f (t )
0
| t |
2
| t |
2
-
0
t
2
2
E：脉冲幅度，τ：脉冲宽度。其傅里叶变换为
信号可进行傅里叶变换旳条件： 一般来讲，若信号函数满足绝对可积条件，即：
f (t) dt
则信号可进行傅里叶变换。注：此式只是信号函数进行傅里叶变换 旳充分条件。在引入广义函数后，有些不满足此式旳信号函数也能够 进行傅里叶变换。
周期信号旳傅里叶变换：
设有周期性矩形脉冲信号f(t)，
E
f (t )
“非周期信号都能够用正弦信号旳 加权积分来表达”——傅里叶旳第 二个主要论点
§3 傅里叶变换
3.2信号旳傅里叶变换 傅里叶变换有下列积分定义：
： 傅里叶正变换公式
F () F [ f (t )] f (t )e jt dt
第3章--离散傅里叶变换(DFT)(用此参考课件上课)
n0
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n
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3
j 2 kn
e 16
n0
n0
n0
j 3 k
e 16
sin sin
4
k k
k=0，1，…，15
16
授课：XXX
2021/3/9
10
例3.1 的图形显示
从图3.2可见， 同一序列不同点 数的DFT是不相 同的。
比较可以发现， 对原序列尾部补 零后增加的谱线 只是有规律地插 在频谱的一个周 期内。
n 0
n 0
N1
X(ejw)F[x(n)] x(n)ejwn n0
授课：XXX
2021/3/9
12
三种变换的关系
比较三式可得
X(k)X(z)zWN kej2k/N
0≤k≤ N-1
X(k)X(ej w )w2k/N
0≤k≤ N-1
式(4.3)表明，序列x(n)的N点DFT相当于是在x(n) 的z变换的单位圆上进行N点等间隔取样，同时第 一个取样点应取在z= 1处。
式(4.4)说明，X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区 间[0，2π]上的N点等间隔取样。
授课：XXX
2021/3/9
13
DFT和Z变换的关系
X(k)X(z)zWN kej2k/N
0≤k≤ N-1
N＝8时，单位圆上的8个等间隔取样点示意图。
授课：XXX
2021/3/9
14
DFT和序列的傅里叶变换的关系
k 0 k 1 ,2 ,3
授课：XXX
2021/3/9
9
（3）x(n)的8点DFT
7
3
3 j 2 kn
X2(k) x(n)W 8kn W 8knj 3k
e8
sin sin
2
k k
k=0，1，…，7
8
（4）x(n)的16点DFT
15
3
X3(k) x(n)W 1k6n W 1k6n
周期，即
~x(n)
x(nmN)
m
x(n )~ x(n )R N (n )
引入运算符((n))N，表示n对N求余数，即如果
n = MN + n1，0≤n1≤N-1，M为整数 则 ((n))N = n1
授课：XXX
2021/3/9
17
例: 序列的周期延拓
例如，N=8， ~ x(n)x(n ()8 ) ，则有
x( 1 )x(( 1 ))8x(?) =x(7)
X(km)N x(n)W N (km)N n n0
N1
x(n)WNknX(k) n0
结论：X(k)具有隐含周期性，且周期均为N。
同理可得 x(nm)N x(n) 。
授课：XXX
2021/3/9
16
周期序列与周期延拓序列
任何周期为N的周期序列 x ( n ) 都可以看作长度为N的有 限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是 x ( n ) 的一个
相反，在时域上是离散的，则该信号在频 域必然表现为周期性的频率函数。
如果时域信号离散且是周期的，由于它时 域离散，其频谱必是周期的，又由于时域 是周期的，相应的频谱必是离散的，
离散周期序列一定具有既是周期又是离散 的频谱，即时域和频域都是离散周期的。
得出一般的规律：一个域的离散就必然 造成另一个域的周期延拓。
离散傅里叶反变换(IDFT)定义
0≤k≤N -1
x(n)ID[X F (k)T ]N 1N k 0 1X(k)W N kn 0≤n ≤N -1
式中
j 2
WN e N
授课：XXX
2021/3/9
8
例：离散傅里叶变换
例3.1 ：设有限长序列为x(n)=R4(n)，求x(n) 的 傅里叶变换，以及4点、8点、16点DFT。
解（1）x(n)的傅里叶变换
X (ej)n R 4(n)e-jnn 30e-jn1 1 e e --jj4
e-j2(ej2 e-j2) e-j/2(ej/2 e-j/2)
e-j3/2 sin(2) sin(/ 2)
（2）x(n)的4点DFT
X 1 (k ) n 3 0x (n )W 4 k n n 3 0 W 4 k n 0 4 ,,
非周期离散信号的傅里叶变换:频率函数是 周期的连续函数
离散周期序列的傅里叶变换:具有既是周期 又是离散的频谱，即时域和频域都是离散 的、周期的
授课：XXX
2021/3/9
3
各种形式的傅里叶变换示意图
授课：XXX
2021/3/9
4
傅里叶变换的一般规律
如果信号频域是离散的，则该信号在时域 就表现为周期性的时间函数。
X(k)X(ej w )w2k/N
0≤k≤ N-1
物理意义：X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间 [0，2π]上的N点等间隔取样。
授课：XXX
2021/3/9
15
3.2.3 DFT的隐含周期性
DFT变换对中，
W
kn N
具有周期性：
WNk WN(kmN) 其中k，m，N均为整数
因此有
N1
授课：XXX
2021/3/9
5
离散傅里叶变换的导出
由于数字计算机只能计算有限长离散的 序列，因此有限长序列在数字信号处理 中就显得很重要。
Z变换和傅里叶变换无法直接利用计算 机进行数值计算。
针对有限长序列“时域有限”这一特点， 导出一种更有用的离散傅里叶变换DFT (Discrete Fourier Transform)。
第三章 离散傅里叶变换
本章目录
引言 离散傅里叶变换的定义 离散傅里叶变换的基本性质 频域取样 离散傅里叶变换的应用
授课：XXX
2021/3/9
2
3.1 引言
各种形式的傅里叶变换
非周期实连续时间信号的傅里叶变换: 频 谱是一个非周期的连续函数
周期性连续时间信号的傅里叶变换: 频谱 是非周期性的离散频率函数
授课：XXX
2021/3/9
11
3.2.2 DFT和Z变换、序列的傅里叶变换的关系
设序列x(n)的长度为N，其Z变换、DFT和傅里叶变换分别为
N1
X(z)Z[x(n)] x(n)zn n0
X (k) D[x F (n )T ]N 1x(n )W N k nN 1x(n )ej2 N kn 0≤k≤ N-1
授课：XXX
2021/3/9
6
3.2 离散傅里叶变换的定义
离散傅里叶变换的定义 DFT和z变换、序列的傅里叶变换的关系 DFT的隐含周期性
授课：XXX
2021/3/9
7
3.2.1 离散傅里叶变换的定义
离散傅里叶正变换(DFT)定义
x(n)长度为N，作为周期序列的一个主值区间
N1
X(k)DF [x(T n)] x(n)W N k n n0