时域有限差分方法
时域有限差分法二维
时域有限差分法二维1. 引言时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是一种常用的数值计算方法，用于求解电磁场在时域中的传播和辐射问题。
本文将以二维情况为例，深入探讨时域有限差分法的原理和应用。
通过本文的介绍和解读，您将更全面地理解这一方法，并能够灵活应用于相关领域。
2. 时域有限差分法简介2.1 原理概述时域有限差分法是一种迭代求解偏微分方程的方法，通过将时域和空间离散化，将连续问题转化为离散问题。
在二维情况下，假设空间网格分辨率为Δx和Δy，时间步长为Δt。
根据电磁场的麦克斯韦方程组，可以利用中心差分公式进行离散化计算，得到求解方程组的更新方程。
2.2 空间离散化对于二维情况，空间离散化可以采用正交网格或非正交网格。
常见的正交网格包括方形格点、Yee网格等，而非正交网格则具有更灵活的形态。
根据需要和应用场景，选择合适的离散化方法对问题进行求解。
2.3 时间离散化时间离散化主要有显式和隐式两种方法。
显式方法将时间推进方程展开成前一时刻的电场和磁场与当前时刻的源项之间的关系，容易计算但对时间步长有限制；隐式方法则是通过迭代或矩阵计算求解当前时刻的电场和磁场。
3. 时域有限差分法的应用领域时域有限差分法广泛应用于电磁场传播和辐射问题的数值模拟中。
以下是几个典型的应用领域：3.1 辐射问题时域有限差分法可以模拟电磁波在空间中的辐射传播过程。
可以用于分析天线的辐射特性，设计无线通信系统的天线，或者分析电磁波在无线电频段的传播情况。
3.2 波导问题对于波导结构，时域有限差分法可以求解其模式、传输特性等问题。
波导结构广泛应用于光子学器件、微波器件等领域，时域有限差分法为建立数值模型和解析波导特性提供了一种有效的数值计算手段。
3.3 散射问题时域有限差分法在散射问题的数值模拟中也有重要应用。
通过模拟散射体与电磁波的相互作用过程，可以研究和分析散射体的散射特性，例如雷达散射截面的计算、微波散射问题等。
时域有限差分法(姚伟)介绍
伊犁师范学院硕士研究生————期末考核科目：电磁波有限时域差分方法姓名：***学号：*************学院：电子与信息工程学院专业：无线电物理时域有限差分法1 选题背景在多种可用的数值方法中，时域有限差分法(FDTD)是一种新近发展起来的可选方法。
1966年，K.S.Yee 首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(Finite Difference- Time Domain ，简称FDTD)。
经历了二十年的发展FDTD 法才逐渐走向成熟。
上世纪80年代后期以来FDTD 法进入了一个新的发展阶段，即由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。
FDTD 法是解决复杂问题的有效方法之一，是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法，它直接在时域将Maxwell 旋度方程用二阶精度的中心差分近似，从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的迭代求解。
是电磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。
原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题，并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。
现在FDTD 法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、瞬态电磁场研究等多个领域[1]。
2 原理分析2.1 FDTD 的Yee 元胞E,H 场分量取样节点在空间和时间上采取交替排布，利用电生磁，磁生电的原理t t ∂∂=∂∂=⨯∇E D H ε t t ∂∂-=∂∂-=⨯∇HB E μ图1 Yee 模型如图1所示，Yee 单元有以下特点[2]：1）E 与H 分量在空间交叉放置，相互垂直；每一坐标平面上的E 分量四周由H 分量环绕，H 分量的四周由E 分量环绕；场分量均与坐标轴方向一致。
2）每一个Yee 元胞有8个节点，12条棱边，6个面。
棱边上电场分量近似相等，用棱边的中心节点表示，平面上的磁场分量近似相等，用面的中心节点表示。
3）每一场分量自身相距一个空间步长，E 和H 相距半个空间步长 4）每一场分量自身相距一个时间步长，E 和H 相距半个时间步长，电场取n 时刻的值，磁场取n+0.5时刻的值；即：电场n 时刻的值由n-1时刻的值得到，磁场n+0.5时刻的值由n-0.5时刻的值得到；电场n 时刻的旋度对应n+0.5时刻的磁场值，磁场n+0.5时刻的旋度对应(n+0.5)+0.5时刻的电场值，逐步外推。
时域有限差分法
j 2 c 2 jk 2
(1-8)
（1-9） 可见，相速与频率无关，称为非色散。非色散意味着对于具有任意 调制的包络或脉冲形状的波传播任意距离后波形保持不变。进一步 由(1-8)可以得到群速关系 d vg c (1-10) dk 这种情况下，群速也是与频率无关。
1.2 数值色散关系(2)
(200空间格)，数值模拟传播了199.378格，相位误差为11.1960，也 减少了4倍。误差减少了4倍反映了差分算法是二阶精度的。
1.3 数值相速（2）
• 情况1：非常细网格 t 0, x 0
2 cos x 1 x 2 , 当 x 0 ，数值色散关系(1-12)变为 根据 ~ 2 2 2 t k x ct 1 1 1 1 2 2 x ~ ~ v 。 2 2 ~2 即， c k ，最后得 k k ，于是有 v p p c
定义数值相速为 （1-14） • 情况1 非常细网格 利用正弦函数的一阶Taylor展开，可得 ~ 2 2~ （1-15） c t k x c k ~ v g x0 x t t 0 所以，群速与相速一样，在细网格条件下趋近精确解。这证明了 当空间步长和时间步长趋于零时，数值解变得精确。 • 情况2 魔时间步 将魔时间步条件和波数代入(1-14)，得 2 （1-16） c t sin c ct ~ vg c v g ct sint 再次验证了魔时间步下数值解等于精确解。
时域有限差分法
第1讲 一维标量波动方程
引言（1）
• 1966年,K.S. Yee（美籍香港人）首先提出了FiniteDifference Time-Domain Method,并用于柱形金属柱 电磁散射分析。由于当时计算机技术还比较落后，这 一方法并未引起重视。
时域有限差分方法发展
时域有限差分方法发展时域有限差分方法（FDTD）是一种数值模拟方法，用于分析电磁波在电磁介质中的传播规律和行为。
FDTD 方法因其精度高、适用性强和易于实现等特点，已成为求解电磁问题的重要数值方法之一。
本文将介绍 FDTD 方法的历史、理论基础、发展和应用。
一、FDTD方法的历史FDTD 方法最早可以追溯到20世纪60年代，当时美国内战研究所的J. T. Sinko 和K. L. Wong 开始了电磁场传输问题的理论研究，他们提出了一种细分方法，也就是时域有限差分方法。
此后，人们对这种方法进行了不断的改进和优化，以增强其计算效果和范围。
1970年代后期，FDTD 方法开始被广泛应用于求解电磁波的传播和散射问题，尤其在电磁场数值模型的精细化计算和二维和三维问题的求解方面得到了广泛应用。
随着计算机硬件和软件水平的提高以及数值方法的发展，FDTD 方法不断得到优化和完善，使得其在各种应用领域中都能得到成功地应用。
二、FDTD方法的理论基础FDTD 方法是一种基于麦克斯韦方程组的数值算法，它可以用于求解完整的时间域电磁场的变化。
其核心思想是通过对空间内的电磁场进行离散化处理，将微分方程转化为差分方程，进而用数值计算方法求解出场的值。
FDTD 方法的主要思想是将物理力学中的傅里叶变换方法应用到电磁场问题中。
具体来说，FDTD 方法是否采用离散时间和空间点以在有限时间内模拟模拟区域内的电磁波。
该方法在时间内基于麦克斯韦方程组的简化形式，以离散的形式计算和分析电磁波的传播和反射。
这些离散点可以由网格、三角网格（二维情况下）或四面体、四面体网格（三维情况下）建模。
在离散化计算之后，差分方程可转化为等效的差分模型，以计算场值。
三、FDTD方法的发展在过去几十年中，FDTD 方法得到了快速的发展和广泛的应用。
目前，FDTD方法可用于众多的问题求解，如电磁波的传播问题、微波电路、微波天线设计、宽带天线、电磁兼容性、光学传输问题以及生物医学中的电磁传播问题等。
时域有限差分方法-林志立概述.
以减小数值色散。
k sin ( ) c2 sin ( ) 2 0 2 数值色散方程： t 2 2 x, y,z ( ) ( ) 2 2
t
2
理想色散方程：
2
要求： k 0 2
2 c0
2 2 (k x ky k z2 )
(1)电场在时间上取整数倍的 Δt; t=n *Δt;
(2)磁场在时间上取(整数＋ 1/2)倍的Δt; t=(n +1/2)*Δt;
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麦克斯韦方程的离散化近似
以Hz为例：
H z 1 E E ( x y) t z y x
H zn1/ 2 ( i, j ) H zn1/ 2 ( i, j ) t
Hz为Ex和Ey所环绕。
各电磁场分量在元胞中的位置
K.S. Yee, “Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equations in isotropic media,”IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 14, 1966, pp. 302-307.
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FDTD空间偏微分的近似
以Hz为例：
H z 1 Ex E y ( ) t z y x
E x E x ( i, j 1) E x ( i, j ) y y 2( ) 2 E y E y ( i 1, j ) E y (i, j ) x x 2( ) 2
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计算电磁学中的
时域有限差分方法
FDTD介绍解析
FDTD介绍解析FDTD（Finite-Difference Time-Domain）是一种时域有限差分方法，用于求解电磁波在介质中传播的问题。
它是一种直接的数值求解方法，通过离散化时空域，将电磁波的偏微分方程转化为差分方程，利用时间步进的方式进行数值计算，从而得到电磁波在空间中的传播情况。
FDTD方法最早由美国伊利诺伊大学的Kane S. Yee于1966年提出，是时域有限差分方法中最为广泛应用的一种。
它的优点是简单易实现，计算效率高，适用于各种不规则场景和介质。
因此，在电磁学、光学、天线、无线通信等领域中得到了广泛应用。
FDTD方法的基本思想是将时空域离散化，将电磁场的偏微分方程转换为差分方程。
在FDTD方法中，空间域被划分为一个有限的网格，时间域被划分为离散的时间步长。
通过迭代计算，根据已知的初值条件和边界条件，在每个时间步长内更新场量的数值。
FDTD方法主要包括以下几个关键步骤：1.空间网格的划分：将求解区域按照一定精度进行离散，通常采用矩形网格，也可以根据具体问题选择其他形式的网格。
2. 时间步长的确定：根据Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)条件，确定时间步长，保证波的传播速度不超过网格尺寸的倒数。
较小的时间步长可以提高求解的精度，但会增加计算量。
3.电场和磁场的更新：通过差分方程更新电场和磁场的数值。
根据麦克斯韦方程组，可以得到电场和磁场的更新公式。
其中，电场的更新公式涉及磁场的数值，磁场的更新公式涉及电场的数值。
4.边界条件的处理：为了模拟无限大的介质，需要对边界进行特殊处理。
常见的边界条件有吸收边界条件和周期性边界条件等。
吸收边界条件可以避免反射和波的传播超出边界，周期性边界条件可以模拟波的周期性传播。
5.辅助量的计算：在求解过程中，可以根据需要计算一些辅助量，如场强、功率流密度等。
这些辅助量可以用于分析电磁波传播的特性和效果。
FDTD方法的应用非常广泛。
在电磁学中，可以用于计算二维或三维空间中的电磁场分布、辐射特性、散射特性等。
电磁波时域有限差分方法
电磁波时域有限差分方法
电磁波时域有限差分法（Finite-Difference Time-Domain Method, FDTD）是一种求解电磁学问题的常用数值方法。
它由Yee在1966年首次提出，可用于求解复杂三维电磁场交互作用的问题，如，电磁波、磁致传导、微波加热、能量传输、电磁辐射等。
相比其它数值方法，FDTD方法求解算例更为精确，具有以下特点：
1. TDTD方法是在时域上，而非在频域中，因此可以方便地处理暂态和复杂变化的电磁场。
2. FDTD方法可以通过改变差分格式和计算网格或计算量来获得更加精确的结果。
3. FDTD方法可以数值模拟出任何电磁场的行为，并且可以得到高质量的结果，而且不受物理规律的限制。
4. 可以自动识别模型中的隐藏材料特性，并增强模型的实用性。
5. FDTD方法可以结合有限体积法（FVM）和有限元法（FEM），提高模型的精度，并减少工作量。
6. 较少的内存要求，使FDTD方法更适用于工程应用。
FDTD方法在处理复杂电磁场时，有时会导致计算窗口大小，以及时间分辨率的降低，因此，要想获得较为准确的结果，就要采取足够的计算网格，以及足够高的时间分辨率。
matlab模拟的电磁学时域有限差分法
matlab模拟的电磁学时域有限差分法时域有限差分法（FDTD）是一种计算电磁波传播及散射的数值模拟方法。
它是基于麦克斯韦方程组进行仿真的一种方法，而且从计算电磁波传播的实质上来看，FDTD方法是一种求解时域麦克斯韦方程的有限差分方法。
在FDTD方法中，我们将区域空间离散化，并定义电场、磁场等量的格点值。
然后，根据麦克斯韦方程组的时域形式，在各个时刻进行场量的更新。
FDTD方法在实践应用中具有计算时间和空间复杂度低，且适用于复杂的结构和非线性介质等特点，所以在电磁学数值仿真中应用广泛。
我们可以用MATLAB来进行FDTD的电磁学仿真，下面详细介绍MATLAB的使用步骤：1. 建立空间离散化格点在仿真开始前，需要先根据空间大小和仿真目的来建立离散化格点。
对于一个一维的结构，我们可以用以下代码来建立：x = linspace(0,1,N); %建立离散化空间格点Ex = zeros(1,N); %电场，长度为N的全0数组Hy = zeros(1,N); %磁场，长度为N的全0数组其中N为获取离散化格点数量的参数，x为离散化空间格点，Ex和Hy为电场和磁场。
2. 定义电场和磁场边界条件在进行仿真时，需要了解仿真的边界情况并将其定义成特殊的边界条件。
例如，仿真空间内可能存在各种元件、环境等，这些都会对电场和磁场的性质产生影响。
所以，我们需要用特殊边界条件来约束仿真空间内电场和磁场的行为。
在FDTD中，通常采用数值反射边界条件（DNG Boundary）来进行仿真。
例如，在这个边界条件下，在仿真空间内部设置经典的电场边界条件：场强等于零；并在仿真空间外部添加一层基质，该基质的介电常数和磁导率均为负值，并且在该基质中场的强度和方向均反向。
相当于在仿真空间外设置一个虚拟折射界面，能够将场边界反射。
我们设定如下代码：M = 20; % 反射界面层数Ex_low_M1 = 0; %反射界面边界条件Ex_high_M1 = 0; %反射界面边界条件for i = 1:MEx_low_M2(i) = Ex_high_M2(i-1); %反转反射界面内的电场贡献Ex_high_M2(i) = Ex_low_M2(i-1); %反转反射界面内的电场贡献end3. 计算电场的场值FDTD仿真中最核心的内容就是判断时刻要计算的电场场值。
FDTD时域有限差分法
对时间离散:
(2)
FDTD基本原理(续)
9
为了满足(1)式空间精度的要求，并满足(2)式，Yee 把空间任一网格上的E和H的六个分量，如下图放置:
Yee把E 和H 在时间长相差半个步长计算(为了满足精度的要求)。
FDTD基本原理(续)
10
根据这一原则可以写出六个差分方程:
每个网格点上的各场分量的新值依赖于该点在前一时间步长时刻 的值，即该点周围的邻近点上另一场量在早半个时间步长时的值。 因此任一时刻可一次算出一个点，并行算法可计算出多个点。通 过这些运算可以交替算出电场磁场在各个时间步的值。
C：为光速，自由空间中： c
数值色散
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• 产生原因
–FDTD网格中，会导致数字波模在网格中发生改变，这种改 变是由于计算网格本身引起的，而非物理因素，所以必须 考虑
• 适当选取时间步长，空间步长，传播方向，可以得到 理想情况
–3-D方形网格：取波沿对角线传播 (数值稳定的极限状态),可得理想色散关系。 –2-D方形网格:也是沿对角线传播， （也是数值稳定的极限状态） –1-D网格 (数值稳定的极限状态)
参考文献
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• 电磁波时域有限差分方法（第二版），葛德彪， 闫玉波，西安电子科技大学出版社 • 工程电磁场数值计算，倪光正
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练习要求：
时域有限差分方法
时域有限差分方法
《时域有限差分方法》
嘿，你知道吗，有一种超厉害的方法叫时域有限差分方法！这可真是个神奇的玩意儿。
想象一下，我们要研究那些看不见摸不着的电磁波啊之类的东西。
以前可麻烦了，但有了时域有限差分方法，就好像打开了一扇新的大门。
它是怎么工作的呢？简单来说，就是把我们要研究的区域划分成很多很多小格子，就像一个大拼图一样。
然后呢，通过计算这些小格子之间的变化，来了解整个区域的情况。
这个方法的好处可多啦！它能处理各种复杂的情况，不管是奇形怪状的物体，还是变化多端的环境。
而且，它很直观，让我们能清楚地看到电磁波是怎么传播、怎么变化的。
在实际应用中，时域有限差分方法可太有用了。
比如在通信领域，它能帮助我们设计更好的天线，让信号传输得更远更稳定。
在雷达系统中，它能让我们更准确地探测目标。
我觉得时域有限差分方法真的是一项非常了不起的技术，给我们探索和理解各种物理现象带来了巨大的帮助。
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时域有限差分方法
时域有限差分方法（Finite Difference Method in Time Domain，简称FDTD）是一种常用的求解偏微分方程的数值方法，适用于时间和空间均匀离散的情况。
FDTD方法通过将偏微分方程转化为差分方程，将时间和空间离散化为网格点，利用差分算子对网格点进行逼近，从而得到离散形式的方程，最终通过迭代求解差分方程从而得到数值解。
在FDTD方法中，时间和空间的离散化是方法的关键。
对于时间，通常将其分割为若干个时间步长，假设每个时间步长为Δt。
对于空间，通常将其分割为若干个网格点，假设每个网格点之间的距离为Δx。
在这里，需要注意时间步长和网格点之间的距离需要满足一定的稳定性条件，以保证数值解的稳定性。
常见的稳定性条件是CFL（Courant-Friedrich-Levy）条件，即Δt/Δx小于等于某一常数。
在时间和空间离散化后，对偏微分方程中的导数部分进行差分逼近。
例如，对于一维波动方程∂²u/∂t²= c²∂²u/∂x²，其中u表示波函数，c表示波速。
可以通过近似表示为差分方程：
u(i,n+1) = 2(1 - r²)u(i,n) - u(i,n-1) + r²(u(i+1,n) + u(i-1,n))
其中n表示时间步数，i表示空间网格点，u(i,n)表示波函数在网格点(i,n)处的值，r = cΔt/Δx表示稳定性条件，常称为Courant系数。
这里的差分方程即为FDTD 方法的核心方程之一。
通过迭代使用这个差分方程，可以求解出波函数在任意时
间和空间位置的数值解。
FDTD方法在电磁场、声学、地震学等领域有广泛的应用。
例如，在电磁场模拟中，可以利用FDTD方法求解关于电场和磁场的Maxwell方程组，通过数值模拟电磁波在空间中的传播、反射、折射等现象。
在声学领域，FDTD方法可以用于模拟声波在空间中的传播、散射、吸收等现象，对于模拟声学器件的性能具有重要意义。
在地震学中，FDTD方法可以用于模拟地震波在地下介质中的传播，从而研究地震波的波形和幅度。
FDTD方法的优点是简单、易于实现，并且适用于各种复杂的几何形状和边界条件。
由于其使用的是显式迭代格式，因此计算效率较高。
此外，FDTD方法还可以很方便地与其他数值方法相结合，如有限元法、边界元法等。
然而，FDTD方法也存在一些限制。
首先，由于其需要将时间和空间不断划分成网格点，因此对于复杂的几何形状和非均匀介质的模拟会带来较大的计算量。
其次，FDTD方法在高频段的计算中会出现数值色散和数值耗散问题，即数值解的频率和波长与真实物理现象的频率和波长存在偏差。
这些问题可以通过引入吸收边界条件、采用更高阶的差分格式等方法进行改进。
总之，时域有限差分方法是一种常见、有效的求解偏微分方程的数值方法，具有简单易实现、适用于各种复杂问题的优点。
虽然存在一些限制，但通过适当的改
进和优化，FDTD方法在各个学科领域的数值模拟中仍有重要应用价值。