二维麦克斯韦方程的高阶s-fdtd方法
二维麦克斯韦方程是电磁场理论中最常用的方程，用于描述电磁场的传播、感应和散射。
高阶s-fdtd方法是用于解决二维麦克斯韦方程的一种新型高效数值计算方法。
该方法基于高阶多项式格式的时域有限差分（s-fdtd）模拟技术，可以更有效地模拟电磁场的传播、感应和散射过程。
高阶s-fdtd方法的改进是通过采用高阶多项式格式的时域有限差分技术，以提高模拟精度和减少计算量。
此外，该方法还能够更有效地模拟电磁场可能存在的曲率效应，从而提高模拟精度。
另外，该方法还能够有效地抑制电磁场中的混入噪声，提高模拟精度。
高阶s-fdtd方法在电磁场模拟中的应用非常广泛，可以应用于电磁场的传播、感应和散射等多项任务，也可以应用于天线、波导及其他微波器件的模拟。
该方法的模拟精度更高，计算量更少，运行时间更短，可以更有效地应对复杂的电磁场模拟问题。
总之，高阶s-fdtd方法是一种新型高效的二维麦克斯韦方程求解方法，可以有效地模拟电磁场的传播、感应和散射，有助于更有效地解决复杂的电磁场模拟问题。
FDTD算法概述
前向差分
后向差分
中心差分
4
利用泰勒展开式
df ( x) h 2 d 2 ( x) f ( x h) f ( x ) h 2 dx 2! dx df ( x) h 2 d 2 ( x) f ( x h) f ( x ) h 2 dx 2! dx df ( x) 2h 3 d 3 ( x) f ( x h) f ( x h) 2h 3 dx 3! dx
H x t
n 1 1 i , j ,k 2 2
Hx
n
1 1 i , j ,k Fra bibliotek 21 2
Hx t
n
1 1 i , j ,k 2 2
1 2
2 O t
E y z
E z y
n
1 1 i , j ,k 2 2
n
Ey
n 1 i , j , k 1 2
2
• 基本计算步骤
① 采用一定的网格划分方式离散化场域 ② 对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分 格式，得到差分方程组 ③ 结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解
3
2.差分格式
• 差分基础知识
设函数f(x)，对其自变量x取增量 x h ，则
df f ( x) f ( x) f ( x h) f ( x) lim x 0 dx x x h f ( x ) f ( x h) h f ( x h) f ( x h) 2h
11
• 数值稳定的条件：
t 1 1 1 (x)2 (y )2 (z )2
当空间步长相等即Δx=Δy=Δz时，
时域有限差分法(FDTD)求解Maxwell方程
4
电场z分量被H分量环绕
元胞中心
Hy Ez
元胞中心
Hx
元胞中心
(i-1/2,j+1/2,k+1/2) Hx
元胞中心
Hy z (i,j,k) y
x y
5
x
直角坐标中的FDTD： 一维情形（TEM波）
H y z
Ex Ex t
H y Ex z t
6
一维电磁场分量节点取样
TM和TE波不同入射角度的反射率
金属层+隐身材料+等离子体 散射截面
2
时域有限差分法简介
• Yee（1966年）首先提出Maxwell方程的差分离 散方式，并用来处理电磁脉冲的传播和反射问 题。 • Taflove 等（1975年）用FDTD计算非均匀介质 在正弦波入射时的时谐场（稳态）电磁散射， 讨论了时谐场情况的近－远场外推，以及数值 稳定性条件。
• Berenger （1994，1996年）提出将麦克斯韦 方程扩展为场分量分裂形式，并构成完全匹配 层（PML)。
2 t CA 2 t CP 1 CQ
2t CB 2 t t
8
一维无限大真空
一维真空右侧反射
一维真空与无耗介质
一维真空与有耗介质
二维金属面计算
FDTD离散
中心差分离散
TM波不同厚度的反射率
Ex
Hy
电磁场分量 Ex 空间分量取样
z
时间轴取样
k
n
Hy
k+1/2
n+1/2
7
一维FDTD离散公式
E
n 1 x
k CA E k CB
fdtd光吸收谱
FDTD（有限差分时域）方法可以用来模拟和计算吸收光谱。
通过FDTD仿真能够得到非均匀网格尺寸下的光吸收和散射场监视器，进而可以获得纳米颗粒在光照条件下的吸收和
散射光谱。
FDTD方法基于麦克斯韦的电磁波理论和有限差分法，通过离散化空间并将偏微分方程转换为差分方程来模拟电磁波在介质中的传播过程。
在计算光吸收谱时，可以通过设置合适的边界条件和源来模拟入射光与介质相互作用的过程，并计算反射光和透射光的强度以及吸收光的能量。
FDTD方法具有灵活性和通用性，可以应用于各种不同的光学问题，如光吸收、散射、反射、折射等。
它还可以模拟复杂的光学系统，如光子晶体、微纳结构等。
此外，FDTD 方法还可以结合其他数值方法，如谱FDTD方法或平面波展开法，来提高计算精度和效率。
需要注意的是，FDTD方法的计算精度和稳定性与空间网格尺寸、时间步长以及边界条件的选取等因素有关。
在实际应用中，需要根据具体问题和计算资源进行合理的参数设置和误差分析。
FDTD(2M,2N)的一种实现方法
２ Ｆ Ｔ）２ ，Ｎ ） Ｄ Ｉ（Ｍ ２ 的基 本 原 理
以且 角坐 杯 杀 卜 耗 厦 甲日 尢 ｒ 习一 维 ｌ ’ 力 例 米 说 明 Ｆ ｌ ２ ， Ｎ ） 习 Ｊ 埋 ， 叮 麦 兄 斯 书 旋 度 刀 崔 Ｍ 披 Ｕ Ｄ（ Ｍ ２ 日量 尿 此
为
Ｏ ｔ Ｏ ｔ ａ ￡
上式中的对空间的导数均可作 ２ 阶差分［ 为简单见取 ２ Ｎ ， Ｎ＝２则 ，
Ｈ Ｈ 考 去毫 ＋ ） 一 （
丝ｙ ＝ ａ
ｚＦ １ ・
… ）
（２ １）
， ＋１ 一Ｅ （ ） ） ， ］ ｛Ｅ （ ［ ＋１ ＋１ 一２ （ ， ， ） Ｅ￣ ｉ ＋１ ＋Ｅ （ ） 一１ ， ＋１］ ）
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第 ２ 卷第 ４期 １
２０ ０ ６年 ８月
成
都
信
息
工
程
学
院
学
报
Ｖｏ ． ． １２１ ＮＯ ４ Ａｕ ｇ．２ ０６ ０
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＣＨＥＮＧＤＵ ＮＩ ＲＳ ＴＹ ＮＦ Ｕ ＶＥ Ｉ ＯＦ Ｉ ＯＲＭ ＡＴＩ ＯＮ ＴＥＣＩＮＯＬＯＧＹ － Ｌ
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［ ｉ ，） Ｅ （ ， ＋Ｅ （ 一１ ） ｝ Ｅ （ ＋１ 一２ ｉ ） ｉ ， ］ ［ ＋２ 一３ ） ＋１ ＋３ ） ） 一 一１ ］ ）
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此处 Ｆ） 【 ＴＤ元 胞 的取 法 和文献 ［ ］ 同 。把 （２ ～ （４ 式 代入 （ １ｘ 即得 Ｆ Ｔ ４ ２ 中 Ｈ 的迭 代公 式 。 Ｈ ４相 １） １） １） － ￣， Ｄ Ｄ（ ，）
．１ ａ Ｈｒ
ａｖ Ｏｔ ２
ＯｘＯ ｔ 。 ｙＯ 盟源自＋ ａ国 （） ９
用FDTD分析部分介质填充同轴传输线的截止频率
程 技巧 。时域有 限差 分 法 （ Ｄ Ｄ） 年来 得 到 了 ＦＴ 近 广泛 的应 用 ， 是 目前 电磁 场频 域 内最 活跃 的 数 它
值计算方法之一 Ｊ该方法把所有 问题都 当作 ，
初值 问题处 理 ， 电磁 场 的 时域 特性 能 被 直 接反 使 映 出来 ， 给复杂 的物 理 过程 提供 了清 晰 的物 理 图 像 ， 时 域 信 息 进 行 傅 立 叶 变换 获得 频 域 信 息 。 对
收稿 日期 ： ０ ７— ２ ２０ ５— ０
基 金 项 目 ： 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ０６ ０ ２ ； 南 省 自然 科 学 基 金 资 助项 目（０ ４ ０ ２ Ｍ） 国 １３ ５０ ） 云 ２０ Ａ ０ ８
作者简介 ： 王秀玲 （９ １ ， 山东省招 远市 人 ， １８ 一） 女， 硕士研究 生 ， 主要从事电磁场理论及应用研究．
截止 频率 。
的问题之一。求解本征值的数学方法很多 ， 应用 较 多 的主 要 是 有 限元 法 和 有 限差 分 法 儿 。但
这些 方法 通常需 要较 大的计算 机 资源和 良好 的编
１ ２ Ｄ—Ｆ Ｔ Ｄ Ｄ法 的 基 本 原 理及 差分 公 式
ＦＴ Ｄ Ｄ方法 是 由微 分形 式 的麦 克 斯 韦方 程 出 发进 行差分 离散从 而得 到一组 时域递推 公式 。在 研究 波导和 传输 线本 征 值 问题 时 ， 设 波导 结 构 假
填充 波 导 的分 析 。本 文 主要 用 ２ Ｄ—Ｆ Ｔ Ｄ Ｄ方 法计算 了内十字 形外矩 形截 面的方形 同轴 电缆线
的物理 量均 与 坐标无 关 ， ＯＯ ＝０ 即 ／ ｚ 。下 面给 出 和 ： 差分 公 式 Ｊ其 它 场分 量可 按 类 似 的 的 ，
时域有限差分方法发展
时域有限差分方法发展时域有限差分方法（FDTD）是一种数值模拟方法，用于分析电磁波在电磁介质中的传播规律和行为。
FDTD 方法因其精度高、适用性强和易于实现等特点，已成为求解电磁问题的重要数值方法之一。
本文将介绍 FDTD 方法的历史、理论基础、发展和应用。
一、FDTD方法的历史FDTD 方法最早可以追溯到20世纪60年代，当时美国内战研究所的J. T. Sinko 和K. L. Wong 开始了电磁场传输问题的理论研究，他们提出了一种细分方法，也就是时域有限差分方法。
此后，人们对这种方法进行了不断的改进和优化，以增强其计算效果和范围。
1970年代后期，FDTD 方法开始被广泛应用于求解电磁波的传播和散射问题，尤其在电磁场数值模型的精细化计算和二维和三维问题的求解方面得到了广泛应用。
随着计算机硬件和软件水平的提高以及数值方法的发展，FDTD 方法不断得到优化和完善，使得其在各种应用领域中都能得到成功地应用。
二、FDTD方法的理论基础FDTD 方法是一种基于麦克斯韦方程组的数值算法，它可以用于求解完整的时间域电磁场的变化。
其核心思想是通过对空间内的电磁场进行离散化处理，将微分方程转化为差分方程，进而用数值计算方法求解出场的值。
FDTD 方法的主要思想是将物理力学中的傅里叶变换方法应用到电磁场问题中。
具体来说，FDTD 方法是否采用离散时间和空间点以在有限时间内模拟模拟区域内的电磁波。
该方法在时间内基于麦克斯韦方程组的简化形式，以离散的形式计算和分析电磁波的传播和反射。
这些离散点可以由网格、三角网格（二维情况下）或四面体、四面体网格（三维情况下）建模。
在离散化计算之后，差分方程可转化为等效的差分模型，以计算场值。
三、FDTD方法的发展在过去几十年中，FDTD 方法得到了快速的发展和广泛的应用。
目前，FDTD方法可用于众多的问题求解，如电磁波的传播问题、微波电路、微波天线设计、宽带天线、电磁兼容性、光学传输问题以及生物医学中的电磁传播问题等。
FDTD方法
σ κ的
的
吸收边界条件
FDTD计算区域中 σ 和κ 的特殊取值，如图所示：
吸收边界条件
直角坐标系中旋度的表达式：
∂f y ∂f x ∂f x ∂f z ∂f z ∂f y − ∇ ×f = ( − )i + ( − )j + ( )k ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x
基 本 公 式
远场计算
利用时域电磁流直接在时域进行远场外推，得到远场点的时 域值，这对于计算目标的宽频带远场特性比较有效，但显然这种 方法需存储多个时间步的远场时域值，随着场点数目增多，所需 内存也越来越大。
先将时域电磁流在FDTD方法的迭代过程中利用离散傅立叶 变换(DFT）转化为频域电磁流，然后再在频域进行远场外推， 这样可以避免存储时域远场值。但这仅适合在较少的工作频率 点上求远场，否则频域电磁流的存储量也会很大。
与这两种场量对应的时域电、磁流分别为： 1 n− n− 1 ) ) J z 2 (i, j , k ) = x × y H y 2 (i, j , k ) ) ) n M yn (i, j , k ) = − x × z E y (i, j , k )
(7.4 - 3) (7.4 - 4)
对于典型的二端口网络电路。其四个S参数为：
U 式中， i ,inc (t ) 和 U i ,ref (t )(i = 1,2)是指每个端门的入射电压和反射电压； 是 U i ,trans (t )(i = 1,2) 指相对于其他入射波端口 i 的传输电压端口的传 输电压。各个端门的时域电压值由参考面上的时域电场积分可以 获得。
逆时针积分
周向电流源激励，如图所示：
其缺点： 由于电流源馈电模型中线天线馈电点处被定义为理想导 体以符合电流存在的物理条件，因此它无法像电压源激励方 式那样可以直接地计算出馈电点处的输入电压，从而导致这 种馈电方式无法直接获得天线的输入阻抗参数。
无条件稳定时域有限差分法综述
无条件稳定时域有限差分法综述
林智参
【期刊名称】《数字技术与应用》
【年(卷),期】2018(036)007
【摘要】时域有限差分法(FDTD)是解决复杂电磁问题的有效方法之一,可以对电磁问题进行直观的描述,且容易编程分析,已经发展成为一种成熟的数值计算方法.然而,传统FDTD算法的时间步长收到了稳定性条件的限制,这使得FDTD方法的计算效率和应用范围受到了限制,因此无条件稳定算法应运而生,人们提出了多种形式的无条件稳定FDTD算法.本文介绍并分析了几种无条件稳定的时域有限差分法,给出了具有一定参考价值的结论.
【总页数】2页(P228,230)
【作者】林智参
【作者单位】广州民航职业技术学院,广东广州 510403
【正文语种】中文
【中图分类】O441.4
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1.二维无条件稳定时域有限差分方法 [J], 黄斌科;蒋延生;汪文秉
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3.二维麦克斯韦方程改进的无条件稳定的时域有限差分方法 [J], 高理平;李琳
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5.无条件稳定时域有限差分法综述 [J], 林智参
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FDTD理论模型
参考书籍:<天线理论与技术> 卢万铮,<Electromagnetic Metamaterials>, caloz< Negative Refraction Metamaterials>, Eleftheriades-Balmain《博士论文集》山大，中科院一、FDTD 理论模型：广义的Maxwell 方程可表示为0B E M tD H J tD B ρ∂∇⨯=--∂∂∇⨯=+∂∇•=∇•= 其中：,m e M H J E σσ==，m σ，e σ分别为导磁率和电导率，分别对应介质的磁损耗和电损耗。
对各向同性，均匀，无耗介质有本构关系：00,,r r D E B Hεμεεεμμμ====（在无电荷源和电流源的无源介质空间，应用麦克斯韦方程组和简单的矢量运算就可以推导出电磁波的波动方程：22222200E E t H H t μεμε∂∇-=∂∂∇-=∂ ））根据以上方程组和本构关系，可得两个旋度方程的分量形式：111111y x z e x y x z e y y x z e z y x z m x y x z m y y x z m z H E H E t y z E H H E t z x H H E E t x y E H E H t z y H E E H t x z E E H H t y x σεσεσεσμσμσμ∂⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂∂⎝⎭∂∂∂⎛⎫=-- ⎪∂∂∂⎝⎭∂⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂∂⎝⎭∂⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂∂⎝⎭∂∂∂⎛⎫=-- ⎪∂∂∂⎝⎭∂⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂∂⎝⎭以上六个微分方程就构成电磁波与三维物体结构相互作用数值算法基础对于二维问题，假设所有问题与z 轴无关，即0z∂=∂，Maxwell 方程组转化为独立的两组方程，分别对应TM 和TE 偏振的电磁波：对TM ：只包含Ex, Ey, Hz111x z m x y z m y y x z e z H E H t y H E H t x H H E E t x y σμσμσε⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫=- ⎪∂∂⎝⎭∂⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂∂⎝⎭对TE 波：Hx, Hy, Ez 111x z e x y z e y y x z m z E H E t y E H E t x E E H H t y x σεσεσμ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫=-- ⎪∂∂⎝⎭∂⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂∂⎝⎭为了将上面微分方程转化为差分方程，必须将电磁场在空间和时间进行离散化，采用Yee 氏离散方法********负折射材料中的时域有限差分法为了避免在迭代过程中出现不稳定的情况，需要对负折射材料的介电常数和磁导率进行间接的设置，因为负折射材料中必然存在色散和吸收，所以要在FDTD 模拟中加入负折射材料，就必须引入某种色散模型，在此引入最基本的色散模型DRUDE 模型：在该模型中，负折射材料的介电常数和磁导率可以分别写为：()()202011pe e pm m i i ωεεωωγωμμωωγ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭其中，0ε为介质绝对介电常数，pe ω为电场等离子体频率，e γ为电场的碰撞频率即色散 同样，0μ为介质绝对磁导率，pm ω为磁场等离子体频率，m γ为磁场的碰撞频率即色散。
FDTD法计算地闪回击时地下水平电场
·1·文章编号：2095－6835（2021）08－0001－04FDTD 法计算地闪回击时地下水平电场徐黄飞1，林靖2，黄欣怡2（1.广东省气象探测数据中心，广东广州510080；2.河源市气象局，广东河源517000）摘要：闪电放电过程中产生的电磁脉冲会危害地下通信、监控、电力、计算机等现代化系统，不利于地下空间活动的开展，甚至会威胁到人们的生命安全。
主要研究了地闪发生时的地下水平电场。
在MTLL 闪电回击模型基础上，建立地下水平电场的二维柱坐标时域有限差分计算模型，对比分析距离闪电通道水平距离、深度、土壤电导率大小及其分布、回击电流等对地下水平电场特征的影响。
关键词：地下水平电场；闪电回击；FDTD ；分层土壤中图分类号：TM863文献标志码：ADOI ：10.15913/ki.kjycx.2021.08.001随着人类社会的进步，地下空间的发展已经体现在各个方面，如交通设施、大型地下综合体、民防与综合防灾设施、市政管线及其他基础设施的地下化与集约化等。
地下空间的发展与电力联系密切，且对供电的可靠性要求也越来越高。
闪电回击产生的地下电磁场已成为迫切需要研究的课题。
关于闪电电磁场的研究，前人已经做了很多工作，但其研究空间主要位于地表以上[1-3]，对闪电在地下产生的电磁场的研究甚少。
本文主要研究地闪回击时地下电磁场，利用二维时域有限差分法[4]计算地闪发生时距离闪电通道不同水平距离处、不同深度处以及土壤电导率不同时的电场水平分量大小。
通过对地闪发生时地下水平电场基本特征的研究，找出减少雷电对地下电力设施干扰的方法。
1计算方法和电流模型介绍1.1时域有限差分法时域有限差分法（Finite Difference Time Domain ，FDTD ）在1966年由YEE 首次提出，MIMOUNII 等将FDTD 法应用于闪电地下电磁场的计算[5]。
FDTD 方法是求解麦克斯韦方程的时域方法。