第三章matlab在力学中的应用
3-3 机械振动
物体在平衡位置附近的往返叫做振动或机械振动。振动的传播称为波，机械振动的传播称为机械波。振动和波动是涉及物理及众多领域的一种非常普遍而重要的运动形式，研究振动和波动的意义已远远超过了力学的范围。本节利用MATLAB 来处理机械振动的一些问题。
简谐振动
质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动称为简谐远动，它是最基本的
振动。下面，我们通过两个例子来讨论简谐运动的动力学和运动学特征。 （1） 弹簧振子系统的简谐运动
·题目（ex3311）
设弹簧阵子系统由质量为m 的滑块和劲度系数为k 的弹簧所组成已知t=0时，m 在A 处，即x 0=A ，并由静止开始释放。试研究滑块的运动规律。
·解题分析
以x 表示质点相对原点的位移，线性回复力f=-kx 。由牛顿第二定律以及题设条件，可写出弹簧振子的振动微分防尘及初始条件为
22t 0
0(0)(0)0
d x k
x dt m x A dx v dt =+====
滑块速度分别为
22
dx v dy d x a dt
=
= 令2,k
m
ω=
用符号法求解上述微分方程，求出运动方程、速度和加速度，并绘制
出,()x t v x a x ---相轨迹和曲线。
（2） 单摆
·题目（ex3313）
设单摆的摆长为l ，摆锤质量为，将摆锤拉开一角度θ，然后放开使其自由摆动。在不计空气阻力的情况下，分小摆角和大摆角两种情况，讨论单摆的角位移θ随时间t 的变化规律。
·解题分析
由牛顿第二定律，有
222sin sin ,d g dt l
θθωθω=-=-= 其中，g 为重力加速度。
① 小角摆动
假定角位移很小，sin θ≈θ,上式为
220d g
dt l
θθ+= ② 大角摆动
222sin sin d g dt l
θθωθ=-=-
上式是非线性方程。为了方便起见，将θ用y 来表示，上式又可以写为下列一阶
微分方程组
1221;sin()dy dy g y y dt dt l
==- 用MATLAB 编程解此方程组。取l=1m,g=s 2。初始条件取为
073
π
π
θ=
试取和，比较二者的运动规律。
简谐振动的合成
（1）同方向简谐振动的合成 ·题目（ex3321）
设一物体同时参加了再同一直线上的两个的简谐振动，其简谐振动分别表示为
11112222cos()cos()x A t x A t ωαωα=+=+
讨论不同频率、不同初位相时简谐振动的合成。 ·解题分析 由题知，合振动为
12111222cos()cos()cos()
x x x A t A t A t ωαωαωα=+=+++=+
其中，A =
讨论：
① 频率相同，初相位相同
例如，取A 1=20,A 2=10，ω1=ω2=5, α1=α2=0,可以看出，合成的振动是振幅为A=A 1+A 2的同频率简谐振动。 ② 频率相同，初相位不同
例如，取A 1=20,A 2=10，ω1=ω2=5, α1=0,α2=2π/3，或普遍写为Δα=α2-α
1
=2k π，可以看出，合成的振动是振幅为A=A 1+A 2的同频率简谐振动。若取
A 1=20,A 2=10，ω1=ω2=5, α1=0,α2=-3π ,或普遍表示为Δα=α2-α1=±（2k+1）
π ，则合振动振幅为A=A 1-A 2，是两个分振幅之差，合振动仍然为简谐振动。 ③ 拍现象
当频率差21ωω-很小时，则合振动振幅出现周期变化，此现象称为拍。合振幅每变化一次周期叫一拍，单位时间内拍出现的次数叫拍频。例如，取
12121210.05,0.04,/3,4, 1.1 4.4,A A a a πωπωωπ=======运行上面程序便可显
示出拍现象。为了图形更好看一些，时间取t=0::10,运行结果如图所示。
为了得到拍效果的声音效果，可以修改以上程序一些参数。例如，将程序写为
clear
A1=5;A2=5;w1=*pi;w2=*w1;a1=pi/3;a2=a1;
t=0:40000;
x1=A1*cos(w1*t+a1);x2=A2*cos(w2*t+a2);
x=x1+x2;
pause,sound(x1);pause(5),sound(x2);
在命令窗口中键入上述程序后按回车键，便可听到三段声音，其中最后一段就是合成后拍的拍音。
（3） 两相互垂直简谐振动的合成 ·题目（ex3322）
设一物体同时参加了垂直方向上的两个简谐振动，其简谐振动方程分别为
()()111222cos ,cos x A t y A t ωαωα=+=+
求其合成振动的轨迹。 ·解题分析
用计算机画其运动轨迹，不需解轨道方程，只要给定时间数组，算出相应点
的x 和y 值，然后作y-x 图即可。为了能使读者看到图形的绘制过程，程序中使用了for 循环语句以获得动画效果，这对理解图形是很有帮助的。 ·程序(ex3322) 讨论：
① 频率相同情况
两振动方向垂直、频率相同的简谐振动的合振动轨迹为直线、圆或椭圆，轨迹的形状和运动方向由分振动的振幅和相位差决定。当120,,2a a ππ-=时为直线；取/4,/2,3/4,πππ等时为圆或椭圆。例如，取
12124,0,2/2,a a ωωππ====和则分别得到图3-3-8所示的直线和椭
圆。
② 频率不同情况 李萨如图形
一般来说，在相互垂直分振动频率不同的情况下，合振动的轨迹不能形成稳定的图案，当如果分振动频率比2
1/2ωω=成简单整数比，则合振动的轨
迹为稳定而闭合的曲线，曲线的花样和分振动的频率比、初相位有关，这些轨迹图形称为李萨如图。图3-3-9给出了在取
121212215,0,/4,2,4(/2)A A a a πωωωω=======即时，由上述程序运行的
结果，读者可利用该程序方便地画出李萨如图形。
当两分振动频率比21/ωω是无理数时，合成的运动将永不重复已走过的
路径，它的轨迹将逐渐密布在由振幅限定的矩形面积内。图3-3-10所示的这种非周期运动称为准周期运动。
阻尼振动
前面讨论的是不受阻力的自由简谐振动，而振动系统实际上都受阻力的
作用，若无外界能量补充，振幅将逐渐减小为零。这种振动系统因受阻力作振幅减小的运动称为阻尼振动。 ·题目(ex3331)
一弹簧阵子系统除了受到弹性力外，还受到与速度成正比的黏性阻力的作用，试比较无阻尼、阻尼系数分别为和ω三种情况的运动曲线。 ·解题分析
设质点在一条直线上，并选择质点的平衡位置为原点，弹簧振子系统中
质点受阻力 dx
f dt
γ=-阻 （γ为阻力系数）
和弹性力
f kx =-弹 （k 为劲度系数）
的作用，根据牛顿第二定律，有
22
220d x dx x dt dt
βω++= 式中，2,,2k m m
γ
ωβωβ=
=和分别为圆频率和阻尼系数。
·程序（ex3331）
运行结果如图3-3-11所示。 讨论：
对于一定的振动系统，根据阻尼因数大小的不同，由方程可解出三种可能的运动状态，即欠阻尼状态()βω<、过阻尼状态()βω>和临界状态()βω=。 在上述程序中，将频率和阻尼因数写成输入参量，便可作出三种状态的运动
图像。
·程序（ex33311）
例如，取14.0,s ωβ-=分别取为,和，运行上述程序即可得到图3-3-12。
受迫振动 共振
·题目（ex3341）
振动系统在连续周期性外力作用下进行的振动叫受迫振动。考虑质点受三种力作用，即弹性力、阻尼力和驱动力，试讨论受迫振动的运动特征和位移共振。
·解题分析
弹性力和阻尼力在前面已经介绍过了，现设驱动力为周期性外力
()0cos '.F t F t ω=由牛顿定律，受迫振动方程为
22
22cos 'd x dx x h t dt dt
βωω++= 其中20,,2F k h m m m
γωβ=
== 初始条件为00,0dx
t x dt
===时， ·程序（ex3341）
运行结构如图3-3-14所示。 讨论：
① 迫振动的运动特征
由上面的图3-3-14的下图可以看出，开始时，受迫振动的振幅较大，经过一定时间后，阻尼振动即可忽略不计，质点进行与驱动力同频率的振动，称为阻尼受迫振动的稳定状态。
② 位移共振
上面的第一幅图给出了受迫振动的振幅随频率比
1
ωω
的变化曲线，可以看出，当驱动力的频率1ω接近系统固有频率时，受迫振动的振幅急剧增大，发生共振现象。当取不同的阻尼因数时，可以得到一条曲线。阻尼过大时曲线较为平缓，而减小阻尼时，曲线就变得陡直。 将前面的程序改写为 ·程序（ex33411）
分别取B 为,,和并运行该程序得图3-3-14。读者也可以改变k 值。看看受迫振动曲线有什么变化，并从物理上给以解释。
非线性振子 混沌现象
简谐振动的特征是振子所受的恢复力与位移成正比，方向总指向平衡位置。
但是，有些振动尽管也是呈现周期性变化，而恢复力与位移的关系却是非线性的，平衡位置的均值也将向某一方向偏移。这种在偏离线性关系的恢复力作用下的振动系统的振动称为非线性振动。例如，位移较大的弹簧振动、大摆角单摆、复摆运动以及扭摆等都会出现非线性振动。与线性振动的可重复性和可预知性不同，非线性振动在初始条件给定的情况下不再是可重复的和可预知的，出现了不确定性，这种现象称为混沌。 ·题目（ex3351）
设非线性振子受1122cos cos F t F t ωω和两个强迫力作用，振子的运动方程为
23
1211222cos cos d x k x k x F t F t dt
ωω-+=+ 试用MATLAB 求上述非线性方程在两个初始条件相差很小时的解，并画出x-t 图形。 ·解题分析 令12,,dx
y x y dt
==
则上述方程可化为一阶微分方程组 1
2
3211211122
cos cos dy y dt
dy k y k y F t F t
dt
ωω?=???
?=-++?? 为简单起见，可取1
212120.5,1,1,0.8F F k k ωω======。取两个相差微
小的初始条件：第一个是x 0=0,v 0=;第二个是x 0=0,v 0=。分别用这两个初始条件解上述方程，然后将结果绘制在同一幅图中，用以显示初始条件对运动的影响。 ·程序（ex3351）
运行结果如图3-3-15所示。
可以看出，随时间的演化，原来看似一致的两个运动逐渐分成两个独立的运动，显示出对初始条件的敏感。混沌行为与粒子的随机运动不同，它告诉我们牛顿定律具有内在的随机性，而不再使我们以前所为的那种确定性理论。另外，读者还可以选取不同的F 1、F 2以及圆频率值来观察振子的响应。
波动
如果在空间某处发生的扰动以一定的速度向四处传播，则称这种传播着的扰
动为波。机械扰动在介质中的传播形成机械波，电磁扰动在真空或介质中的传播形成电磁波。虽然二者的传播机制不同，但形成的波却具有共同的规律性。本节以机械波为具体内容，利用MATLAB 讨论波的运动规律。 简谐波
如果波源作简谐波，介质中个质点也 相继作同频率的简谐运动，这样形成
的波叫简谐波。现以横波为例，来讨论简谐波的运动学特征。 ·题目
编写一个能动态演示简谐波运动的程序，用以说明波是振动状态的传播。 ·解题分析
设简谐波沿x 正方向传播，则简谐波方程可写为
()cos y A t kx ω?=-+
其中，A 是波幅，ω是圆频率，k 是波数()2/,k πλ?=为位相常量。()t kx ω?-+决定位于x 处的质元在t 时刻的振动状态，称为波的位相。 ·程序（ex3411）
图3-4-1给出了运行该程序后得到的一帧画面。
波的叠加 驻波
频率相同、振动方向相同、有固定的相位差的两个波源所发出的简谐波称为
相干波。两相干波在交叠出有些地方振动加强，有些地方振动减弱的现象称为波的干涉现象。驻波是一种特殊的干涉现象，它由振幅相同、传播方向相反的两列相干波叠加而成。 ·题目（ex3421）
设一列波沿x 轴的正向传播，另一列波沿x 轴负方向传播，取共同的坐标原
点和计时起点，求两列波相遇处各质点的合位移，绘出t=0:9秒共10个时刻的运动图像。 ·解题分析
根据题意，两列波的波方程分别为
()()12cos ;cos y A t kx y A t kx ωω=-=+
两波相遇处个质元的合位移为
()()12cos cos y y y A t kx A t kx ωω=+=-++
()22cos cos 2cos cos x A kx t A t πωωλ?
?== ??
?
此即驻波方程。 ·程序（ex3421）
运行结果如图3-4-2所示。
为了形象地说明驻波的形成过程，下面给出了制作驻波形成过程的动画程序。演示这个动画对于理解驻波的形成是有帮助的。
波包
·题目（ex3431）
考虑两个频率相近，振幅相同的简谐波的同相叠加。编写能动态显示波包形
成过程的程序。
·解题分析
根据题意两列波的方程分别为
()()111222cos ;cos y A t k x y A t k x ωω=-=+
二者的合成为
()()121122cos cos y y y A t k x A t k x ωω=+=-++
()()()()212121212cos cos 2222t k k x t k k x A ωωωω--+-????
=--????
????
()cos m A t kx ω=-
其中，()()21212cos 22m t k k x A A ωω--??
=-????
在,k k ω
ω??时，叠加后波形包络线的传播称为波包。
·程序（ex3431）
孤波
1834年，罗素首先报道了他所观察到的孤立波，它是在水面上传播的一个孤立波峰，在传播过程中其形状保持不变。孤波是在截至对大振幅波的非线性效应以及介质的色散效应共同影响下形成的一种特殊的波。在一定条件下，当色散效应和非线性效应所产生的影响相互抵消时，波峰的形状在传播中过程保持不变，便形成了孤波。
孤波的波形具有定域性和稳定性。当两个孤波相遇后又分开时，每个孤波仍
然保持其原来的形状、并按原来的速度继续各自传播，我们称这一性质为完整性。当孤波同时具有定域性、稳定性和完整性时，称这种孤波为孤子或孤立子。近年来，人们在许多领域中发现了孤子这种运动形态。例如，流动中的漩涡、超导体中的磁通量子以及神经系统信号的传递等等。
·题目（ex3441）
根据KdV 方程编写能动态显示孤立波运动特性的程序。 ·解题分析
1895年，荷兰的克尔泰沃赫和德弗希斯提出了描述孤立水波的动力学方程，即KdV 方程：
332133y y y y y t x x x ασ?
????=++??????
式中，3,3h Th T g
αρρ=
-和分别为表面张力和液体密度，α为一常数。方程的波
形解为 ()2,sec 12a y x t a h x t h ???=+??????
而波速为 12v h α?=+??
从上式可以看出，振幅越大，波速越大。
下面给出了根据KdV 方程编写的能显示孤波运动特性的动画程序。可以看出当两
个相对运动的孤波碰撞后又分开时，仍然保持各自原来的形状并按照原来的速度继续各自传播。 ·程序(ex3411)
多普勒效应
由于波源或者观察者的运动而出现观测频率和波源频率不一致的现象称为
多普勒效应，它是奥地利物理学家多普勒在1842年发现的。 ·题目（3451）
编写一个模拟多普勒效应的程序，可以通过声音指令来获得声音效果。 ·解题分析
设弹性波在介质中的传播速率为u ，并假定波源或者观测者的运动都发生在
它们之间的连线上，用v s 表示波源相对于介质的速率，以趋近观测者为正；用v 0表示观测者相对介质的速率，以趋近波源为正。在波源和观测站相对于介质静止时，测得的频率为v ，则有
1
u
v T
λ==
（1）
我们从普遍情况入手，设波源和观测者同时相对于介质运动，即00,0.
s v v ≠≠当波源以v s 相对于介质运动时，会使波长变为';s v T λλ=-而观测者以速度v 0相对介质运动，又会使波相对于观测者的波速变为u+v 0。因此，观测者所测得的频率为
00
's s
u v u v v v v T u v λ++=
=-- （2）
讨论下列情况：
① 波源静止，观测者相对介质运动
00'1u v v v v v u u +??==+ ??
? （3）
由上式可知，当观测者向着波源运动时，实际观测频率v ’高于波源频率v ，反之，则低于波源频率。
② 观测者静止，波源相对与介质运动
's
u
v v u v =
- （4） 由上式知，当声源迎着观测者过来时，观测者听到的声音不仅变大，且音调升高；反之，当声源离开观测者时，观测者听到的声音变小，且音调降低。 ③ 波源和观测者都运动
结合上述两种情况，得普遍表达式
01'1s v u v v u
+
=
- （5） ·程序（ex3451）
运行该程序，例如，取v 0=0,v s =60,即观测者静止，波源相对于介质运动。此时，读者会听到第二段声音的音调升高了；如果取v 0=0，v s =-60,则波源离开观测者，第二段声音的音调便会降低。如果观测者相对于介质的速率与时间有关，例如，设于t 成正比，则可在提示“输入观测者相对于介质的速率v 0=”后键入“t ”，读者会听到频率发生变化的声音。