2016年华罗庚金杯赛初一初赛试题及答案
2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组A卷)
2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：（98×76﹣679×8）÷（24×6+25×25×3﹣3）=．2．（10分）从1，2，3，4，5这5个数中选出4个不同的数填入下面4个方格中□+□＞□+□，有种不同的填法使式子成立．（提示：1+5＞2+3和5+1＞2+3是不同的填法）3．（10分）将图中左边的大三角形纸板剪3刀，得到4个大小相同的小三角形纸板（第一次操作），见图中间，再将每个小三角形纸板剪3刀，得到16个大小相同的更小的三角形纸板（第二次操作），见图右边，这样继续操作下去，完成前六次操作共剪了刀．4．（10分）一个两位数与109的乘积为四位数，它能被23整除且商是一位数，这个两位数最大等于．5．（10分）图中的网格是由6个相同的小正方形构成，将其中4个小正方形涂上灰色，要求每行每列都有涂色的小正方形，经旋转后两种涂色的网格相同，则视为相同的涂法，那么有种不同的涂色方法．6．（10分）有若干个连续的自然数，任取其中4个不同的数相加，可得到385个不同的和．则这些自然数有个．7．（10分）在4×4方格网的每个小方格中都填有一个非零自然数，每行、每列及每条对角线上的4个数之积都相等，如图给出了几个所填的数，那么五角星所在的小方格中所填的数是．8．（10分）甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒，若他们同时从同一端出发跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇次（端点除外）．二、解答题（共4小题，满分20分）9．（5分）图中有一个边长为6厘米的正方形ABCD与一个斜边长为8厘米的等腰直角三角形AEF，E在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？10．（5分）有10个两两不同的自然数，其中任意5个的乘积是偶数，全部10个数的和是奇数，则这10个自然数的和最小是多少？11．（5分）在1到200这200个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的乘积等于238？12．（5分）最初，盒子中有三张卡片，分别写着数1，2，3，每次，从盒子里取出两张卡片，将上面的数之和写到另一张空白卡片上，再把一张卡片放回盒子，如此5次后，除了最后一张写数的卡片外，其他的卡片都至少取出过一次，不超过两次，问：此时盒子里面卡片上的数最大为多少？2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：（98×76﹣679×8）÷（24×6+25×25×3﹣3）=1．【分析】有括号，所以先算括号里面的，再算括号外面的，据此解答即可．【解答】解：（98×76﹣679×8）÷（24×6+25×25×3﹣3）=（7448﹣5432）÷（144+1875﹣3）=2016÷2016=1；故答案为：1．【点评】计算四则混合运算时，要按照运算顺序，先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的，如果既含有小括号又含有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的．2．（10分）从1，2，3，4，5这5个数中选出4个不同的数填入下面4个方格中□+□＞□+□，有48种不同的填法使式子成立．（提示：1+5＞2+3和5+1＞2+3是不同的填法）【分析】我们可以从首尾数字入手考虑：比1+5大的组合入手（有1种），就有3+4＞1+5比1+4大的组合入手（有2种），就有2+5＞1+4，3+5＞1+4比1+3大的组合入手（有3种），就有2+4＞1+3，2+5＞1+3，4+5＞1+3以此类推，比1+2大的组合有3种比2+3大的组合有2种比2+4大的组合有1种每种组合有4种不同的填法，依此即可求解．【解答】解：比1+5大的组合入手（有1种），就有3+4＞1+5比1+4大的组合入手（有2种），就有2+5＞1+4，3+5＞1+4比1+3大的组合入手（有3种），就有2+4＞1+3，2+5＞1+3，4+5＞1+3以此类推，比1+2大的组合有3种比2+3大的组合有2种比2+4大的组合有1种（1+2+3）×2×4=12×4=48（种）答：有48种不同的填法使式子成立．故答案为：48．【点评】考查了填符号组算式，关键是得到所有组合的情况数，另外理解每种组合有4种不同的填法．3．（10分）将图中左边的大三角形纸板剪3刀，得到4个大小相同的小三角形纸板（第一次操作），见图中间，再将每个小三角形纸板剪3刀，得到16个大小相同的更小的三角形纸板（第二次操作），见图右边，这样继续操作下去，完成前六次操作共剪了4095刀．【分析】首先分析第二块是剪3刀，变成4块，之后就是每一块上都是3刀，继续计算即可．【解答】解：依题意可知：第一次是剪3刀变成4块．第二次是每一块都被剪3刀共12刀变成16块．第三次为16×3=48（刀）；块数是16×4=64（块）；第四次为64×3=192（刀）；块数是64×4=256（块）；第五次为256×3=768（刀）；块数是256×4=1024（块）；第六次为1024×3=3072（刀）．3+12+48+192+768+3072=4095．故答案为：4095【点评】本题考察队找规律的理解和运用，关键问题是找到块数和刀数的关系．问题解决．4．（10分）一个两位数与109的乘积为四位数，它能被23整除且商是一位数，这个两位数最大等于69．【分析】按题意，此两位数是23的倍数，而使此两位数与109的乘积为四位数，则此两位数能取得数为：23、46、69，而最大的是69．【解答】解：根据分析，此两位数是23的倍数，而使此两位数与109的乘积为四位数，则此两位数能取得数为：23、46、69，综上，这个两位数最大为69，故答案是：69．【点评】本题考查了数的整除特征，突破点是：从能被23整除且商是一位数，推测出此两位数．5．（10分）图中的网格是由6个相同的小正方形构成，将其中4个小正方形涂上灰色，要求每行每列都有涂色的小正方形，经旋转后两种涂色的网格相同，则视为相同的涂法，那么有7种不同的涂色方法．【分析】首先可以根据第一列涂色的数量进行分类讨论，注意考虑旋转后相同的视为相同涂法．【解答】解：①当第一列涂了3个时，涂色情况如下：，有3种情况；②当第一列涂了2个时，涂色情况如下：，有4种情况．共计3+4=7种．故答案为：7．【点评】本题的突破口在于能正确分类，做到不重不漏，难度不大．6．（10分）有若干个连续的自然数，任取其中4个不同的数相加，可得到385个不同的和．则这些自然数有100个．【分析】假设这些连续的自然数中最小的数为a，最大的教为a+n+3，那么任取4个自然数和最小必为a+a+1+a+2+a+3=4a+6，最大的和为a+n+a+n+1+a+n+2+a+n+3=4a+6+4n．且由于连续自然数之间的所有和都能够取到．可得方程4n=385﹣1，解得n=96，依此得到最小的自然数为a．最大的自然数为a+99，共100个数，从而求解．【解答】解：设这些连续的自然数中最小的数为a，最大的教为a+n+3，那么任取4个自然数和最小必为a+a+1+a+2+a+3=4a+6，最大的和为a+n+a+n+1+a+n+2+a+n+3=4a+6+4n．依题意有4n=385﹣1，解得n=96．则最小的自然数为a，最大的自然数为a+99，共100个数．答：这些自然数有100个．故答案为：100．【点评】考查了数字问题，得到4个连续自然数最小和和最大的和是解题关键．7．（10分）在4×4方格网的每个小方格中都填有一个非零自然数，每行、每列及每条对角线上的4个数之积都相等，如图给出了几个所填的数，那么五角星所在的小方格中所填的数是1．【分析】首先分析题中的幻方规律可知可根据比较法求解，不需要求出幻和．【解答】解：依题意可知：根据幻方规律比较法可知：设方格数字如图所示：a×2×16×b=a×8×32×8，∴b=64．再根据c×4×8×128=64×c×五角星×64五角星就是1故答案为：1【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问题是根据比较法求解，问题解决．8．（10分）甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒，若他们同时从同一端出发跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇23次（端点除外）．【分析】根据题意，要明白他们的迎面相遇时，2人一共的行程是2个单程120×2=240（米），用时为240÷（3+5）=30（秒），即每30秒就相遇一次（包括端点的）．那端点的相遇用时为：2人单程用时（120÷3=40，120÷5=24）的公倍数，最小公倍数第一次在端点相遇的用时．用120÷30=4可知，他们4次相遇中就有1次为端点相遇．即15分钟内相遇的总次数为：15×60÷30=30，其中在端点相遇的次数为30÷4的整数部分，即7．所以他们在这段时间内共迎面相遇（端点除外）的次数为：30﹣7=23【解答】解：240÷（3+5）=30（秒）120÷3=40（秒）120÷5=24（秒）40与24的最小公倍数120（2人第一次在端点相遇的用时）120÷30=415×60÷30=30（次）30÷4=7 (2)30﹣7=23（次）答：他们在这段时间内共迎面相遇23次（端点除外）．【点评】此题的关键是搞明白他们每次相遇的2人行程均为240米和每次在端点相遇的用时为：2人单程用时（120÷3=40与120÷5=24）的公倍数．二、解答题（共4小题，满分20分）9．（5分）图中有一个边长为6厘米的正方形ABCD与一个斜边长为8厘米的等腰直角三角形AEF，E在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？【分析】按题意，阴影部分的面积与直角三角形的面积之和，等于正方形的面积加上三角形BGE的面积，故可以先求得三角形BGE的面积，即可求得阴影部分的面积．【解答】解：根据分析，BG=BE=AE﹣AB=8﹣6=2（厘米），故三角形BGE的面积=BG×BE×=×2×2=2（平方厘米），因为三角形AEF为等腰直角三角形，所以由AE2=AF2+FE2得出AF=4，阴影部分的面积+△AEF的面积=正方形ABCD的面积+△BGE的面积⇒阴影部分的面积=正方形ABCD的面积+△BGE的面积﹣△AEF的面积=6×6+2﹣4×4×=22（平方厘米），故答案是：22【点评】本题考查三角形的面积，突破点是：阴影部分的面积与直角三角形的面积之和，等于正方形的面积加上三角形BGE的面积，即可求得阴影部分的面积．10．（5分）有10个两两不同的自然数，其中任意5个的乘积是偶数，全部10个数的和是奇数，则这10个自然数的和最小是多少？【分析】按题意，任意5个的乘积是偶数，说明至多有4个奇数，又全部10个数的和是奇数，则奇数的个数为1个或3个，取奇数里的最小数1或1，3，5，其他几个数可能的情况，分别比较大小，求出最小值．【解答】解：根据分析，10个自然数中奇数的个数为1个或3个，①只有一个奇数时，则奇数最小为1，其他偶数最小的为：0，2、4、6、8、10、12、14、16、18，此时自然数和=0+1+2+4+6+8+10+12+14+16+18=91；②若有三个奇数，则奇数为1、3、5，则其他偶数最小为：0，2、4、6、8、10、12此时自然数和=0+1+3+5+2+4+6+8+10+12=51．综上，这10个自然数的和最小是51．故答案是：51．【点评】本题考查数字和问题，突破点是：求出奇数的个数，和偶数的个数，再求和．11．（5分）在1到200这200个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的乘积等于238？【分析】首先分析238的因数，使其中2个因数相乘得238的共4组，利用最不利原则求出结果．【解答】解：依题意可知：将238分解成小于200的数字积有238=17×14=7×34=2×119共有三组．的两位数相乘的因数有（17，14），（7，34），（2，119）共6个数约数分为3组．最不利原则是其他的194选择了，再从三组因数中每组挑选一个共197个，再选择一个就是组成两个因数的积是238了．共197+1=198；答：至少选出198个才能保证有连个数的乘积是238．【点评】本题是考查对抽屉原来的理解和运用，关键的问题是分组找出最倒霉的情况，问题解决．12．（5分）最初，盒子中有三张卡片，分别写着数1，2，3，每次，从盒子里取出两张卡片，将上面的数之和写到另一张空白卡片上，再把一张卡片放回盒子，如此5次后，除了最后一张写数的卡片外，其他的卡片都至少取出过一次，不超过两次，问：此时盒子里面卡片上的数最大为多少？【分析】由已知可知：最后一共得到8个数，所有得数一共加了2×5=10次，由于每张卡片至少取过1次，不超过两次，有4个数被计算了一次，第七个数只会被第8个数计算一次，因此第7个数只会被计算一次，要想卡片上的数尽可能的大，要让4，5，6个数计算两次，第1，2，3个数计算1次，可以使第8个数最大，分情况讨论即可．【解答】解：由分析可得：要想卡片上的数尽可能的大要让4，5，6个数计算两次，第1，2，3个数计算1次可以使第8个数最大①1，2，3，4，6，10，16，26②1，2，3，3，6，9，15，24③1，2，3，5，6，11，17，28答：此时盒子里面卡片上的数最大为28．【点评】本题可以应用这个方法：为了使最后得到的数字最大，那么尽量保证每次取得的都是交大的两个数相加，在整个过程中还得保证1至少用一次，1可以是任意一次取得的，利用枚举法即可．。
华杯赛决赛第13~16届（初一组）试题及答案（精心汇编）
9. 答案:20,21,22. 解答: 设最小角为 x, 最大角为 4x, 另一个角为 y. 则由题目的条件得
x y 4x 180 , x y 4x , 4x 90
①
由①的前两个式子得到: 6x x y 4x 180 9x , 解得 20 x 30 ; 又由①的第三
xy 0 . 因此, 三个相等的式子只有两种可能:
(1) x y xy x . 由后一等式得到, y 1或 y 1, 而 y 1是不可能的, 因为 y
此时由第一个等式得到 x 1 x , 矛盾. 当 y 1 时, 由第一个等式得到 x 1 x , 即 2x 1 , 所以 x 1 .
Пᰃ
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ഛ䗳ᑺᰃ↣ᇣᯊ
20
3y
10
25 y 25
2
0
第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）
第十三届“华罗庚金杯”少年数字邀请赛
决赛试题参考答案（初一组）
一、填空（每题 10 分，共 80 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 1℃ 29
8
6 2017036 0
6
4
二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）
2 (2) x y xy x . 由后一等式同样得到, y 1或 y 1, 同样, y 1是不可能
y 的, 而当 y 1时, 由第一个等式得到 2x 1, 所以 x 1 .
华杯赛初赛历年真题集(含答案)
目录2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (3)2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (5)2004年第10届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (11)2004年第1届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (13)2006年第11届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (19)2006年第11届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (23)2007年第12届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (30)2007年第12届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (32)2008年第13届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (38)2008年第13届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (40)2009年第14届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (46)2009年第14届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (48)2010年第15届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (53)2010年第15届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (55)2011年第16届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (60)2011年第16届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (63)2012年第17届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (70)2012年第17届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (72)2013年第18届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (79)2013年第18届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (81)2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷一、解答题（共12小题，满分0分）1．“华杯赛”是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授而举办的全国性大型少年数学竞赛．华罗庚教授生于1910年，现在用“华杯”代表一个两位数．已知1910与“华杯”之和等于2004，那么“华杯”代表的两位数是多少？2．长方形的各边长增加10%，那么它的周长和面积分别增加百分之几？3．如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A、B、C处填的数各是多少？4．在一列数：，，，，，，…中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于？5．“神舟五号”载人飞船载着航天英雄杨利伟于2003年10月16日清晨6时51分从太空返回地球，实现了中华民族的飞天梦．飞船绕地球共飞行14圈，其中后10圈沿离地面343千米的圆形轨道飞行．请计算飞船沿圆形轨道飞行了多少千米（地球半径为6371千米，圆周率π=3.14）．6．如图，一块圆形的纸片分成4个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形，问共有几种不同的涂法？7．在9点至10点之间的某一时刻，5分钟前分针的位置与5分钟后时针的位置相同，此时刻是9点几分？8．一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数？9．任意写一个两位数，再将它依次重复3遍成一个8位数．将此8位数除以该两位数所得到的商再除以9，问：得到的余数是多少？10．一块长方形的木板，长为90厘米，宽为40厘米，将它锯成2块，然后拼成一个正方形，你能做到吗？11．如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线上，弦AB与小圆相切，且与直径平行，弦AB长12厘米．求图中阴影部分的面积（圆周率π=3.14）．12．半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷参考答案与解析一、解答题（共12小题，满分0分）1．“华杯赛”是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授而举办的全国性大型少年数学竞赛．华罗庚教授生于1910年，现在用“华杯”代表一个两位数．已知1910与“华杯”之和等于2004，那么“华杯”代表的两位数是多少？考点：竖式数字谜．专题：填运算符号、字母等的竖式与横式问题．分析：根据整数加法的计算方法进行推算即可．解答：解：解法一：个位上：0+“杯”=4，可得“杯”=4；十位上：1+“华”的末尾是0，由1+9=10，可得“华”9，向百位上进1；百位上：9+1=10，向千位上进1；千位上：1+1=2；由以上可得：；因此，“华杯”代表的两位数是94．解法二：已知1910与“华杯”之和等于2004；那么“华杯”=2004﹣1910=94；因此，“华杯”代表的两位数是94．点评：本题非常巧妙地考察了对整数的加法运算法则及数位的进位等知识要点的熟悉掌握程度．2．长方形的各边长增加10%，那么它的周长和面积分别增加百分之几？考点：百分数的实际应用；长方形的周长；长方形、正方形的面积．专题：分数百分数应用题．分析：设长方形的长为a，宽为b，因此各边长增加10%时，则长为（1+10%）a=110%a，长为（1+10%）b=110%b，因此各边长增加10%时，周长增加2（1.1a+1.1b）﹣2（a+b）=2（a+b）×10%，即周长增加10%．面积增加1.1a×1.1b﹣ab=1.21ab﹣ab=ab×21%，即面积增加21%．解答：周长增加10%，面积增加21%解：设长方形的长为a，宽为b，边长增加10%时，则长为（1+10%）a=110%a，长为（1+10%）b=110%b，周长增加：2（110%a+110%b）﹣2（a+b）=220%a+220%b﹣2a﹣2b=2（a+b）×10%；面积增加：110%a×110%b﹣ab=121%ab﹣ab=ab×21%；答：周长增加了10%，面积增加了21%．点评：在求出长宽增加后的长度基础上，根据长方形的周长与面积公式计算是完成本题的关键．3．如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A、B、C处填的数各是多少？考点：正方体的展开图．专题：立体图形的认识与计算．分析：如图，是正方体展开图的“222”结构，把它折叠成正方体后，A面与1面相对，B面与2面相对，C 面与4面相对，相使使其对面两数之和为7，A面填6，B面填5，C面填3．解答：解：如图，折成正方体后，A面与1面相对，B面与2面相对，C面与4面相对，要使其对面之各为7，则A面填6，B面填5，C面填3．点评：本题是考查正方体的展开图，关键是弄清把它折叠成正方体后，哪两个面相对．4．在一列数：，，，，，，…中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于？考点：数列中的规律．专题：探索数的规律．分析：这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，要使1﹣＜，则n＞999.5，即从n=1000开始，带入分数，即可得解．解答：解：这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，1﹣＜，n＞999.5，从n=1000开始，即从开始，满足条件．答：从开始，1与每个数之差都小于．点评：找出这列数的规律，根据已知列出等式求解．5．“神舟五号”载人飞船载着航天英雄杨利伟于2003年10月16日清晨6时51分从太空返回地球，实现了中华民族的飞天梦．飞船绕地球共飞行14圈，其中后10圈沿离地面343千米的圆形轨道飞行．请计算飞船沿圆形轨道飞行了多少千米（地球半径为6371千米，圆周率π=3.14）．考点：有关圆的应用题．专题：平面图形的认识与计算．分析：先圆形轨道的半径，再根据圆的周长公式：C=2πr求出飞船沿圆形轨道飞行1圈的长度，再乘以10即可求出飞船沿圆形轨道飞行了多少千米．解答：解：2×3.14×（6371+343）×10=2×3.14×6714×10=3.14×134280=421639.2（千米）；答：飞船沿圆形轨道飞行了421639.2千米．点评：考查了有关圆的应用题，关键是熟练掌握圆的周长公式．6．如图，一块圆形的纸片分成4个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形，问共有几种不同的涂法？考点：染色问题．专题：传统应用题专题．分析：根据四个扇形中有一个红色、两个、三个、四个分类列举即可．解答：解：按逆时针方向涂染各扇形：红红红红红红红黄红红黄黄红黄红黄红黄黄黄黄黄黄黄所以，共有6种．点评：本题考查了排列组合知识中的染色问题，还可以列式解答：4×（4﹣1）÷2=6（种）．7．在9点至10点之间的某一时刻，5分钟前分针的位置与5分钟后时针的位置相同，此时刻是9点几分？考点：时间与钟面．专题：时钟问题．分析：可设当前是9点x分，则5分钟前分针指向x﹣5的位置，而分针转动的速度是时针的12倍，分针5分钟后指向x+5的位置，时针指向9刻度后刻度处，根据题意列出方程解答即可．解答：解：设当前时刻是9点x分．则5分钟后时针的位置为45+=x﹣5540+x+5=12x﹣6011x=605x=55；答：此时刻是9点55分．点评：本题主要考查钟表问题的实际应用，熟练掌握钟表的特征是解答本题的关键．8．一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数？考点：抽屉原理．专题：传统应用题专题．分析：建立抽屉：一副扑克牌有54张，大小鬼不相同，那么（54﹣2）÷4=13，所以一共有13+2=15个抽屉；分别是：1、2、3、…K、小鬼、大鬼，由此利用抽屉原理考虑最差情况，即可进行解答．解答：解：建立抽屉：54张牌，根据点数特点可以分别看做15个抽屉，考虑最差情况：每个抽屉都摸出了1张牌，共摸出15张牌，此时再任意摸出一张，无论放到哪个抽屉，都会出现有两张牌在同一个抽屉，即两张牌点数相同，15+1=16（张），答：至少抽取16张扑克牌，方能使其中至少有两张牌有相同的点数．点评：此类问题关键是根据点数特点，建立抽屉，这里要注意考虑最差情况．9．任意写一个两位数，再将它依次重复3遍成一个8位数．将此8位数除以该两位数所得到的商再除以9，问：得到的余数是多少？考点：带余除法．专题：余数问题．分析：先设这个两位数为10a+b，则可用含a、b的代数式表示将它依次重复写3遍成的一个8位数，再将此8位数除以该两位数得到商为1010101，然后将1010101除以9即可求解．解答：解：设这个两位数为10a+b，则将它依次重复3遍成的一个8位数为：1000000（10a+b）+10000（10a+b）+100（10a+b）+10a+b=1010101（10a+b），将此8位数除以该两位数得到的商为：1010101（10a+b）÷（10a+b）=1010101，则1010101÷9=112233…4．答：得到的余数是4．点评：本题考查了带余除法的定义及应用，难度中等，用含a、b的代数式正确表示将（10a+b）这个数依次重复写3遍成的一个8位数是解题的关键．10．一块长方形的木板，长为90厘米，宽为40厘米，将它锯成2块，然后拼成一个正方形，你能做到吗？考点：图形的拆拼（切拼）．专题：平面图形的认识与计算．分析：因为这块长方形木板的面积为90×40=3600（平方厘米），又因为3600=60×60，即所求的正方形的边长为60厘米，如下图所示．解答：解：因为90×40=3600，3600=60×60，所求的正方形的边长为60厘米，可以如下图拼成：因此，能拼成一个正方形．点评：先求出总面积，看看是否能分成两个数的平方．11．如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线上，弦AB与小圆相切，且与直径平行，弦AB长12厘米．求图中阴影部分的面积（圆周率π=3.14）．考点：组合图形的面积．专题：平面图形的认识与计算．分析：将小圆缩小至0，则AB就是大圆直径，阴影部分就是大圆的一半，利用圆的面积公式即可求解．解答：解：将小圆缩小至0，则AB就是大圆直径，阴影部分就是大圆的一半，所以阴影部分的面积是：×3.14×（12÷2）2=×3.14×36=56.52（平方厘米）；答：图中阴影部分的面积是56.52平方厘米．点评：此题可以巧妙地利用“缩小法”，得出阴影部分的面积与直径为AB的圆的面积的关系，问题即可得解．12．半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？考点：有关圆的应用题．专题：平面图形的认识与计算．分析：由于小铁环的半径为25厘米，大铁环的半径为50厘米，可得小铁环的半径是大铁环半径的一半．根据周长与半径的关系可得大环周长是小环的2倍，即小环沿大环转2个周长时又回到原位，再减去公转的1圈，可得小环自身转动的圈数．解答：解：由于小铁环的半径是大铁环半径的一半，所以大环周长是小环的2倍，即小环沿大环转2个周长时又回到原位，其中有1个周长属于小环公转的，而另一个周长才是小环自身转动的，因此，小环自身转动1圈．点评：本题考查了圆与圆的位置关系，小铁环运动的圈数乘以它的周长就等于大铁环的周长．2004年第10届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷一、解答题（共12小题，满分0分）1．2005年是中国伟大航海家郑和首次下西洋600周年，西班牙伟大航海家歌伦布首次远洋航行是在1492年．问这两次远洋航行相差多少年？2．从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，2004年的冬至为12月21日，2005年的立春是2月4日．问立春之日是几九的第几天？3．如图是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形．问这个直三棱柱的体积是多少？4．爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶．若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？5．在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的4倍，游泳的距离是自行车的，长跑与游泳的距离之差为8.5千米．求三项的总距离．6．如图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形．其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：3，6，10，15，21，…问这列数中的第9个是多少？7．一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示．若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？8．100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组．问：高、低年级学生各多少人？9．小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本．如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本．问：零售价每本多少元？10．不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈．问最多有多少名同学？11．输液100毫升，每分钟输2.5毫升．请你观察第12分钟时吊瓶图象中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？12．两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”．现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°．问：至多有多少条直线？2004年第1届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷参考答案与试题解析一、解答题（共12小题，满分0分）1．2005年是中国伟大航海家郑和首次下西洋600周年，西班牙伟大航海家歌伦布首次远洋航行是在1492年．问这两次远洋航行相差多少年？考点：日期和时间的推算．分析：先求出郑和首次下西洋的时间，再求差．解答：解：2005﹣600=1405（年），1492﹣1405=87（年）．答：这两次远洋航行相差87年．点评：本题先根据2005年求出郑和首次下西洋的时间，再用较晚的时间减去较早的时间．2．从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，2004年的冬至为12月21日，2005年的立春是2月4日．问立春之日是几九的第几天？考点：日期和时间的推算．分析：先求出2004年的12月21日到2005年的2月4日经过了多少天，再求这些天里有几个9天，还余几天，再根据余数推算是几九第几天即可．解答：解：2004年的12月21日到12月31日共有11天，1月份有31天，2月4日是2月的第四天，那么一共经过了：11+31+4=46（天），46÷9=5…1，说明已经经过了5个9天，还余1天，这一天就是六九的第一天．答：立春之日是六九的第1天．点评：本题的是9天为1个周期，先求出经过的天数（注意两头的天数都算），再求这些天里有几个9天，还余几天，再根据余数判断．3．如图是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形．问这个直三棱柱的体积是多少？考点：规则立体图形的体积．分析：根据棱柱的体积公式：底面积×高，进行计算．解答：解：因为直三棱柱的底面是直角边都为1的直角三角形，高为1，所以直三棱柱的体积=×1×1×1=．答：这个直三棱柱的体积是．故答案为：．点评：本题考查了直三棱柱及展开图的特征和直三棱柱体积计算．直三棱柱是由三个长方形的侧面和上下两个底面组成．4．爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶．若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？考点：加法原理．分析：可先把我放在第一个位置，进而考虑我的左邻的情况，我的左邻的左邻的情况，找到总情况数即可．解答：解：共有6种不同的入座方法．点评：考查用列表法解决问题；把1个人固定位置，进而考虑左邻的情况是解决本题的关键．5．在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的4倍，游泳的距离是自行车的，长跑与游泳的距离之差为8.5千米．求三项的总距离．考点：分数除法应用题．分析：把自行车的距离看成单位“1”，那么长跑的距离就是自行车的，游泳的距离是自行车的，它们的差对应的数量是8.5千米，用除法可以求出自行车的距离，根据自行车的距离求出另外两项的距离，再把三者加起来．解答：解：自行车比赛距离是长跑的4倍，那么长跑的距离就是自行车的，8.5÷（）=8.5÷，=40（千米）；40×=10（千米）；40×=1.5（千米）；40+10+1.5=51.5（千米）；答：三项的总距离是51.5千米．点评：本题关键是把倍数关系看成一个是另一个的几分之几，找出单位“1”分析出数量关系，再由基本的数量关系求解．6．如图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形．其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：3，6，10，15，21，…问这列数中的第9个是多少？考点：事物的简单搭配规律．分析：观察图形，分析数列，发现规律：从第一个数开始，后面的数依次比前一个数多3、4、5、6、7、…据此规律，推出即可．解答：解：6﹣3=3；10﹣6=4；15﹣10=5；21﹣15=6；…从第一个数开始，后面的数依次比前一个数多3、4、5、6、7、…往下写数：3，6，10，15，21，28，36，45，55，…第9个数是55．答：这列数中的第9个是55．点评：观察图形，分析数列，发现规律，然后利用规律解决问题．7．一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示．若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？考点：规则立体图形的体积．分析：根据圆锥的体积公式求出容器甲容积，根据球的体积公式求出容器乙容积，相除即可求解．解答：解：容器甲容积：V甲=×π×（）2×1=π；容器乙容积：V乙=×π×13=π，V乙÷V甲=π÷π=8．答：至少要注水8次．点评：考查了圆锥的体积和球的体积．球的体积公式是V=πr3．圆锥的体积是V=sh=πr2h．8．100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组．问：高、低年级学生各多少人？考点：鸡兔同笼．分析：可设高年级有学生x人，则低年级的学生有100﹣x人，根据等量关系：高年级组数+低年级组数=41组解答即可．解答：解：高年级有学生x人，则低年级的学生有100﹣x人，由题意得：=41，3x+2（100﹣x）=246，3x+200﹣2x=246，x=46，100﹣46=54（人），答：高年级有46人，低年级有54人．点评：此类题目中一般都有两个等量关系，抓住其中一个等量关系设出一个未知数，从而得出另一个未知数；另一个等量关系用来列方程．9．小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本．如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本．问：零售价每本多少元？考点：整数、小数复合应用题；合数与质数；质数与合数问题．分析：先将48分解质因数：48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，因数全写出来，再找出里面相差分别是2和4的，那么这两个算式就分别为零售价和批发价．解答：解：48=48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，找出里面相差分别是2和4的，那么这两个算式就分别为零售价和批发价；只有4×12和6×8，12比8多4，4比6少2，则零售价为6元，批发价为4元；答：零售价为6元．点评：解答此题应结合合数和质数的含义进行分析，通过分解质因数，找出符合题意的答案即可．10．不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈．问最多有多少名同学？考点：最大与最小．分析：设两种组合外圈的组数为a、b，那么第一种的人数是5+8a人，第二种的人数是8+5b人，因为总人数一定相等，求出a与b的关系，根据a和b关系讨论取值．解答：解：设两种组合外圈的组数为a、b，那么第一种的人数是5+8a，第二种的人数是8+5b，则5+8a=8+5b即；8a=5b+3，当b=1时，a=1，总人数为5+8×1=13（人）；当b=9时，a=6，总人数为5+8×6=53（人）；当b=17时，a=11，总人数为5+8×11=93（人）．数字再大就超过100了，所以最多有93人．答：最多有93名同学．点评：本题先找出两种组数之间的关系，然后根据组数是自然数和它们之间的关系讨论取值，找出100以内最大的即可．11．输液100毫升，每分钟输2.5毫升．请你观察第12分钟时吊瓶图象中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？考点：整数、小数复合应用题．分析：水平面的刻度是80毫升，说明空的部分是80毫升；根据每分钟的输液量和输液时间求出已经输出的体积，用100毫升减去已经输出的体积就是瓶内剩下的体积；整个吊瓶的容积就是空的部分加剩下的这部分体积．解答：解：100﹣2.5×12=70（毫升），80+70=150（毫升），答：整个吊瓶的容积是150毫升．点评：本题第12分时瓶子上方没有溶液的容积的等量关系是解决本题的关键．12．两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”．现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°．问：至多有多少条直线？考点：乘法原理．分析：根据题意，“夹角”只能是30°，60°或90°，都是30°的倍数，根据这个倍数，通过旋转的方法，进一步解答即可．解答：解：因为夹角只能是30°、60°或者90°，其均为30°的倍数，所以每画一条直线后，逆时针旋转30°画下一条直线，这样就能够保证两两直线夹角为30°的倍数，即为30°、60°或者90°（因为如果每次旋转度数其他角度，例如15°，则必然会出现两条直线的夹角为15°或15°的其它倍数，如45°这与题目不符）；因为该平面上的直线两两相交，也就是说不会出现平行的情况，在画出6条直线时，直线旋转过5次，5×30°=150°，如果再画出第7条直线，则旋转6次，6×30°=180°，这样第七条直线就与第一条直线平行了．如图：所以最多能画出六条．答：至多有6条直线．点评：根据题意，由题目给出的条件，通过旋转的方法进一步解答即可．2006年第11届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）1．（6分）如图所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，得到小正方形ABCD．取AB 的中点M和BC 的中点N，剪掉AMBN得五边形AMNCD．则将折叠的五边形AMNCD纸片展开铺平后的图形是（）A．B．C．D．2．（6分）2008006共有（）个质因数．A．4B．5C．6D．73．（6分）（2007•北塘区）奶奶告诉小明：“2006年共有53个星期日”．聪敏的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是（）A．星期一B．星期二C．星期六D．星期日4．（6分）如图，长方形ABCD小AB：BC=5：4．位于A点的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A的方向，位于C点的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行．如果两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在（）边上．A．A B B．B C C．C D D．D A5．（6分）如图，ABCD是个直角梯形（∠DAB=∠ABC=90°）．以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米，连接BE交AD于P，再连接PC．则图中阴影部分的面积是（）平方厘米．A．6.36 B．3.18 C．2.12 D．1.596．（6分）五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝见、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目，如果贝贝和妮妮不相邻，共有（）种不同的排法．A．48 B．72 C．96 D．120二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）7．（3分）在算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6.7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于_________•8．（3分）全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有_________人．9．（3分）如图是﹣个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯内．当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米．则这个玻璃杯的容积为_________立方厘米．（取π=3.14）（提示：直角三角形中“勾6、股8、弦10）10．（3分）有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色的和相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色的和相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉，如果从图5（1）的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有_________个．11．（3分）李大爷用一批化肥给承包的麦田施肥．若每亩施6千克，则缺少化肥300千克；若每亩施5千克，则余下化肥200千克．那么李大爷共承包了麦田_________亩，这批化肥有_________千克．12．（3分）将从1开始的到103的连续奇数依次写成﹣个多位数：a=13579111315171921…9799101103．则数a共有_________位，数a除以9的余数是_________．13．（3分）自制的一副玩具牌共计52张（含4种牌：红桃，红方、黑桃、黑梅．每种牌都有1点、2点，…、13点牌各一张）．洗好后背面朝上放好．一次至少抽取_________张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同．如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取_________张牌．。
2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷(小高组A卷)
2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组A卷）一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．（10分）算式×的结果中含有（）个数字0．A．2017B．2016C．2015D．2014 2．（10分）已知A，B两地相距300米．甲、乙两人同时分别从A，B两地出发，相向而行，在距A地140米处相遇；如果乙每秒多行1米，则两人相遇处距B地180米．那么乙原来的速度是每秒（）米．A．2B．2C．3D．33．（10分）在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三位数，则这个七位数最大是（）A．9981733B．9884737C．9978137D．9871773 4．（10分）将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数排成一行，使得8的两边各数之和相等，那么共有（）种不同的排法．A．1152B．864C．576D．2885．（10分）在等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB=6，CD=14，∠AEC是直角，CE=CB，则AE2等于（）A．84B．80C．75D．646．（10分）从自然数1，2，3，…，2015，2016中，任意取n个不同的数，要求总能在这n个不同的数中找到5个数，它们的数字和相等．那么n的最小值等于（）A．109B．110C．111D．112二、填空题（每小题10分，共40分）7．（10分）两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有对．8．（10分）如图，O，P，M是线段AB上的三个点，AO=AB，BP=AB，M是AB的中点，且OM=2，那么PM 长为．9．（10分）设P是一个平方数．如果q﹣2和q+2都是质数，就称q为P型平方数．例如：9就是一个P型平方数．那么小于1000的最大P型平方数是．10．（10分）有一个等腰梯形的纸片，上底长度为2015，下底长度为2016，用该纸片剪出一些等腰梯形，要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角，则最多可以剪出个同样的等腰梯形．2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．（10分）算式×的结果中含有（）个数字0．A．2017B．2016C．2015D．2014【分析】把变形为﹣1，然后根据乘法的分配律拆分，再进一步解答即可．【解答】解：×=（﹣1）×=×﹣=﹣个位0减9不够减，需要连续退位，个位数得1，所以数字0的个数是：2016﹣1=2015（个）故选：C．【点评】本题考查了数字问题，难点是把算式变形出含数字“0”的形式；本题也可以从最简单的算式入手，找规律，然后根据规律再回到问题中解答．2．（10分）已知A，B两地相距300米．甲、乙两人同时分别从A，B两地出发，相向而行，在距A地140米处相遇；如果乙每秒多行1米，则两人相遇处距B地180米．那么乙原来的速度是每秒（）米．A．2B．2C．3D．3【分析】本题是典型的利用正反比例解行程问题．首先根据不变量判断正反比．两次相遇过程中两人的时间相同路程比等于速度比．两次过程中甲的速度没变．通分比较乙的．即可解决问题．【解答】解：第一次相遇过程中甲乙两人的路程之比为140：（300﹣140）=7：8，时间相同路程比就是速度比．第二次相遇过程中的路程比是（300﹣180）：180=2：3，速度比也是2：3．在两次相遇问题中甲的速度是保持不变的，通分得，第一次速度比：7：8=14：16．第二次速度比2：3=14：21．速度从16份增加到21份速度增加每秒1米，即1÷（21﹣16）=．乙原来的速度是16×=3.2米/秒．故选：D．【点评】本题的关键是找到在两次相遇过程中的不变量，甲的速度是不变的时间，判断是正比，再将速度通分到甲的份数相同，乙的前后进行比较即可求解问题解决．3．（10分）在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三位数，则这个七位数最大是（）A．9981733B．9884737C．9978137D．9871773【分析】首先根据最大的3位数是11或是13的倍数开始．然后每次向后边推一位数字找出最大的倍数即可．【解答】解：在7位数中，首先分析前三位数字，最大的11的倍数是990，最大13的倍数是988，因为0不能做首位．所以7位数中不能含有数字0，11倍数的第二大数字是979小于988．所以前三位数字是988．第4位根据如果是11的倍数数字就是880．如果是13的倍数就是884．最大是884．第5位根据如果是11的倍数数字就是847，如果是13的倍数就是845．最大是847．第6位根据如果是11的倍数数字就是473，如果是13的倍数在470﹣479没有13的倍数．所以是473第7位根据如果是11的倍数是737，如果是13的倍数没有符合的数字．所以这个7位数是9884737．故选：B．【点评】本题考察是整除特性的理解，突破口是开始的三位数字988，然后根据整除找到最大的满足条件的数字即可．4．（10分）将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数排成一行，使得8的两边各数之和相等，那么共有（）种不同的排法．A．1152B．864C．576D．288【分析】首先求出1，2，3，4，5，6，7的和是28，判断出8的两边各数之和都是14；然后分4种情况：（1）8的一边是1，6，7，另一边是2，3，4，5时；（2）8的一边是2，5，7，另一边是1，3，4，6时；（3）8的一边是3，4，7，另一边是1，2，5，6时；（4）8的一边是1，2，4，7，另一边是3，5，6时；求出每种情况下各有多少种不同的排法，即可求出共有多少种不同的排法．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7=288的两边各数之和是：28÷2=14（1）8的一边是1，6，7，另一边是2，3，4，5时，不同的排法一共有：（3×2×1）×（4×3×2×1）×2=6×24×2=288（种）（2）8的一边是2，5，7，另一边是1，3，4，6时，不同的排法一共有288种．（3）8的一边是3，4，7，另一边是1，2，5，6时，不同的排法一共有288种．（4）8的一边是1，2，4，7，另一边是3，5，6时，不同的排法一共有288种．因为288×4=1152（种），所以共有1152种不同的排法．答：共有1152种不同的排法．故选：A．【点评】此题主要考查了排列组合问题，考查了乘法原理的应用，要熟练掌握，注意不能多数、漏数．5．（10分）在等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB=6，CD=14，∠AEC是直角，CE=CB，则AE2等于（）A．84B．80C．75D．64【分析】如图，连接AC，过点A作AF⊥CD于点F，过点B作BG⊥CD于点G，构建直角△AFC和直角△BGC，结合勾股定理求得AE2的值．【解答】解：如图，连接AC，过点A作AF⊥CD于点F，过点B作BG⊥CD于点G，则AF=BG，AB=FG=6，DF=CG=4．在直角△AFC中，AC2=AF2+FC2=AF2+102=AF2+100，在直角△BGC中，BC2=BG2+GC2=AF2+42=AF2+16，又∵CE=CB，∠AEC=90°，∴AE2=AC2﹣EC2=AF2+100﹣（AF2+16）=84，即AE2=84．故选：A．【点评】本题考查了等腰梯形的性质，勾股定理的应用．解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理来求AE2的值．6．（10分）从自然数1，2，3，…，2015，2016中，任意取n个不同的数，要求总能在这n个不同的数中找到5个数，它们的数字和相等．那么n的最小值等于（）A．109B．110C．111D．112【分析】首先确定题中要求的是每一个数字中的数字和120的数字和就是3，那么找到最大的就是1999的是28，最小的是1的情况共有几个数字满足情况．都至多选出4个．再选一个就是满足条件的．【解答】解：依题意可知：1﹣2019中最大的数字和是1999数字和为28．数字和最小的为1共有1，10，100，1000共四个．数字和为27的有999，1899，1998，1989共四个．数字和为2﹣26的都超过5个数．那么只要2﹣26的数字和中挑出4个数字，在把数字和为1，27，28的都算上，再来一个就是5个数字了满足情况了．27×4+1+1=110．故选：B．【点评】本题考查是最倒霉的情况，想要找出5个满足条件的，那么就都给最多4个满足条件，再给一个就是满足条件的共最小是110个数字问题解决．二、填空题填空题（每小题10分，共40分）7．（10分）两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有12对．【分析】假设大正方形的边长为x，小正方形的为y，x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=2016，x+y与x﹣y奇偶性相同，乘积2016是偶数，所以必是偶数，据此分解质因数2016=25×32×7，然后解答即可．【解答】解：假设大正方形的边长为x，小正方形的为y，有题意可得：x2﹣y2=2016，因式分解：（x+y）（x﹣y）=2016，x+y与x﹣y奇偶性相同，乘积2016是偶数，所以必是偶数，2016=25×32×7，2016因数的个数：（1+5）×（2+1）×（1+1）=36（个），共有因数36÷2=18对因数，其中奇因数有：（2+1）×2=6对，所以偶数有：18﹣6=12对，即，满足上述条件的所有正方形共有12对．故答案为：12．【点评】本题考查了约数个数的定理和奇偶性问题，关键是得到2016的约数的个数，难点是去掉几个奇因数；本题还可以根据x+y与x﹣y都是偶数，它们的积至少含有4这个偶数，所以2016÷4=504，然后确定504的约数是24个，即12对即可．8．（10分）如图，O，P，M是线段AB上的三个点，AO=AB，BP=AB，M是AB的中点，且OM=2，那么PM 长为．【分析】如果想求出PM那么必须找到和OM的关系，在这些线段中都和AB进行的比较，可以转换为OM，PM和AB的关系即可求解．【解答】解：依题意可知：PM=AM﹣AP=AB﹣（AB﹣BP）=AB﹣AB=AB．OM=MB﹣OB=AB﹣（AB﹣AO）=AB﹣AB=AB=2∴AB=PM=故答案为：【点评】本题的关键是找到如果想求出PM需要转换成求线段AB，再用OM求出AB，都转换成和AB的关系那么问题解决．9．（10分）设P是一个平方数．如果q﹣2和q+2都是质数，就称q为P型平方数．例如：9就是一个P型平方数．那么小于1000的最大P型平方数是225．【分析】小于1000的最大P型平方数，33的平方数是1089，这个数需要小于33的平方的平方数．q﹣2和q+2的差是4．只要找到数字相差4的不超过33的质数组合即可．【解答】解：小于33的质数有31，29，23，19，17，13，11，7，5，3，2等数字差是4的两个质数有19和23最大．21﹣2=19，21+2=23.21×21=441．故答案为：441．【点评】本题关键在于找到q﹣2和q+2的差是4的质数，而且小于33的质数．要注意找到的是这两个质数，题中要找的是一个平方数441，不是21．10．（10分）有一个等腰梯形的纸片，上底长度为2015，下底长度为2016，用该纸片剪出一些等腰梯形，要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角，则最多可以剪出4029个同样的等腰梯形．【分析】由于等腰梯形的纸片，上底长度为2015，下底长度为2016，它们上下底的长度相差1，要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角，则剪出的梯形的下底长度约大于2016﹣2015=1，依此即可求解．【解答】解：（2015﹣1）×2+1=2014×2+1=4028+1=4029（个）答：最多可以剪出4029个同样的等腰梯形．故答案为：4029．【点评】考查了图形划分，本题理解剪出的梯形的下底长度约大于2016﹣2015=1是解题的关键．。
2016年第22届“华杯赛”决赛初一组试题(pdf版)
内
的个位数字是 4.
, 其中 m 是正整数.
已知 x . 设 x 表示不大于 x 的最大整数, 定义 x x x . 如果 x x 是整数, 则满足条件的所有 x 的和等于 . 组.
封
线
5.
设 x, y, z 是自然数, 则满足 x y z xy 的 x, y, z 有
三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）
13. 直线 a 平行于直线 b, a 上有 个点 A , A , , A , b 上有 个点 B , B , ,
B , 用线段连接 Ai 和 B j ( i= , , , j= , , ), 所得到的图形中一条边
在 a 上或者在 b 上的三角形有多少个？
14. 已知关于 x, y 的方程 x y k 有且只有六组正整数解, 且 x y , 求 k 的最大值.
-2-
2. 如右图, △ABC, △AEF 和△BDF 均为正三 角形, 且△ABC, △AEF 的边长分别为 和 , 则线段 DF 长度的最大值等于 ．
．
学校____________ 姓名_________ 参赛证号
勿
答
3.
请
如下的代数和
() m m ( m )
p q , 都是正整数, 则 p q 的最大值等于 q p
密
6.
设 p, q,
.
7.
右图是 A, B, C, D, E 五个防区和连接这些防区的 条公路的示意图. 已知每一个防区驻有一支部队. 现在这五支部队都要换防, 且换防时, 每一支部队 只能经过一条公路, 换防后每一个防区仍然只驻有 一支部队, 则共有 种不同的换防方式．
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题解答(初一组)
第十一届全国“华罗庚金杯〞少年数学邀请赛决赛试题解答〔初一组〕一. 填空1 计算：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---342)2(5833225.01631=( ).答：47解：原式(){}235130254388.⎡⎤⎛⎫⎡⎤=---⨯÷⨯-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦()144187⎛⎫=-÷-= ⎪⎝⎭.2 当2m π=时，多项式31am bm ++的值是0，那么多项式31452a b ππ++＝〔 〕.答：5.解：根据 38210a b ππ++=，即()3311458215522a b a b ππππ++=+++=，故原式的值为5.3 将假设干本书籍分给几名小朋友，如果每人分4本书，就还余下20本书，如果每人分8本书，就有1名小朋友虽然分到了一些书，但是缺乏8本, 那么共有〔 〕名小朋友. 答：6.解：设共有x 名小朋友，由题意，04208(1)8x x <+--<，02848x <-<推出75<<x ，得6=x .4 图16中的长方形ABCD 是由四个等腰直角三角形和一个正方形EFGH 拼成. 长方形ABCD 的面积是120平方厘米，那么正方形EFGH 的面积等于〔 〕平方厘米. 答：10.图16解法1：如图16a ，延长BF 交DC 于N 点，延长EH 交BC 于M 点，由条件可知1122CE CM CN CB ===，DA DE CB CN ===，所以 CM=MB ＝CE=EN =ND . 将长方形ABCD 的长边3等分，短边2等分，如图1a 所示，连接对应的等分点，分成网格图形， 数一数，长方形ABCD 恰好等于12个正方形EFGH 的面积，由于长方形ABCD 的面积为120平方厘米，所以正方EFGH 的面积等于10平方厘米.解法 2：设正方形EFGH 的边长为x ，根据题意，图1中的四个三角形为等腰直角三角形，那么三角形EHC 的直角边长为x ，三角形CGB 的直角边长为x 2， 三角形ABF 的直角边长为x 3，三角形ADE 的斜边长为x 4.并且，正方形EFGH 的面积＝2x ，三角形EHC 的面积＝22x ，三角形CGB 的面积＝2222)2(x x =，三角形ABF 的面积＝292)3(22x x =， 三角形ADE 的面积＝2⨯三角形CGB 的面积＝24x .因此120=2222221242922x x x x x x =+++， 故102=x ，即正方形EFGH 的面积等于10平方厘米.5 满足方程2006182006|x |--+=的所有x 的和为〔 〕. 答： 4012.解：根据绝对值的性质，逐步去除等式2006182006|x |--+=绝对值符号，得到2006120068x --=-，2006120068x -=+-，()2006120068x =++-，或()2006120068x =-+-由表达式可以看到，x 有2个不同的解，它们的和是：图2图16a()2006120068++-＋()20061200684012-+-=.6 一个存有一些水的水池，有一个进水口和假设干个口径相同的出水口, 进水口每分钟进水3立方米.假设同时翻开进水口和三个出水口, 池中水16分钟放完; 假设同时翻开进水口与五个出水口, 池中水9分钟放完. 池中原有水〔 〕立方米. 答: 288.解: 设每个出水口每分钟放出水x 立方米, 池中原有水y 立方米， 那么3163165939x yx y⨯⨯=⨯+⎧⎨⨯⨯=⨯+⎩， 解上面二元一次方程组，()4845482721x -=-=，7x =〔立方米〕，316748288y =⨯⨯-=〔立方米〕. 7 20062005122006220052)1(164834221-++-++-+-=+ k k k S ，小于S 的最大的整数是〔 〕. 解答：因为，2005200620052006123420052006248162212342005200602481622S =-+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2005200620042005200620052006123420052006248162212345200420052006248163222211320032006 1.283222S =-+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<-----< 因此小于S 的最大的整数是0.8 如图17，数轴上标有21n +个点，它们对应的整数是:(),1,,2,1,0,1,2,,1,n n n n ------.为了确保从这些点中可以取出2006个，其中任何两个点之间的距离都不等于4，那么n 的最小值是〔 〕.答： 2005.解：① 将数轴上的21n +个点，自左端开始，连续8个点为一组，每组仅取右边4个点，这样就可以确保所取出的点，其中任意两点之间的距离不等于 4. 从多少组中才能取出2006个点？既然，200645012=⨯+，即从501组可以取出2004个点，另外，再从第502组中取出2个点，就得到2006个点. 所以，850124010⨯+=.即数轴上至少有4010个点，就能够确保从这4010个点中取出2006个，其中任意两点之间的距离不等于4.214010n +≥，2005n ≥.当n =2005时，可以取 -2005，-2004，-2003，-2002，-1997，-1996，-1995，-1994，，-2005+8k ，-2004+8k ，-2003+8k ，-2002+8k ，，1995，1996，1997，1998，2003，2004,共2006个，其中任何两个数所代表的两个点之间的距离都不等于4.② 当2004=n 时，数轴上连续点的个数是214009n +=. 此时，将距离是4的2个点配对，共有2004对，另外还有单独的一个点，从每个配对中只取一个点，否那么一定有2个点的距离是4, 连同单独的一个点，一共可以取出2005个点，但是要求取出2006个点，不得不将某个配对的两个点都取出，它们的距离是4. 所以，当2004=n 时，任取2006个点，一定有2个点，距离是4. 当2004<n 时，补足至4009个点，就可以说明n 的最小值是2005.二. 解答以下各题〔要求写出简要过程〕9 图18中，ABCD 是矩形，6BC cm =，10AB cm =，AC 和BDCD 为轴旋转一周，那么阴影局部扫过的立体的体积是多少立方厘米？〔π 取3.14〕图18图17解: 〔见小学组决赛第11题解答〕 10 将21个整数：109832101238910,,,,,,,,,,,,,------分为个数不相等的六组数，分别计算各组的平均值，那么这六个平均值的和最大是多少？ 解: 将21个整数分为个数不相等的6组，各组的个数分别为1、2、3、4、5、6个. 既然是求六组个平均值的和的最大值，应当将数值大的分在整数个数少的组中. 所以，可以如下分组：10第一组第二组98第三组765第四组4321第五组－1－2－3－4第六组－5－6－7－8－9－10计算上述六组整数的平均值的和：1098765432101567891012345611110862272221172.+--=＋＋＋＋＋＋－－2－3－4－－－－－－＋＋＋＋＋＝＋＋ 答：最大的和是1172.评注和说明：下面说明理由.六组数分别为{}{}{}{}{}{}112123123412345123456,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b b c c c d d d d e e e e e f f f f f f ，那么各组数平均数的和为()()()()()12123126111212312341234512345623660302015121060b bc c c f f f a a b b c c cd d d de e e e ef f f f f f ++++++++++++++++++++++++++++++=我们要使得这个分数最大，只要使得分子最大. 先考虑让那一个字母取10，显然是1a ，这样能使总和最大；同理，让12,b b 取8，9对总和的奉献是最大的……以此类推，{}{}{}{}{}{}10,8,9,5,6,7,1,2,3,4,4,3,2,1,0,10,9,8,7,6,5----------是我们得到的分组结果.这一过程无非就是把我们的解题过程用代数式翻译了一遍.为了同学们能多体会字母代表数的抽象性，这里再介绍一种更为一般一些的方法.()()()()()()()()61121231234123451234561091019100;S a b b c c c d d d d e e e e e f f f f f f =++++++++++++++++++++=+++++-++-+-=()()()()()()51121231234123451093445S a b b c c c d d d d e e e e e =++++++++++++++≤+++-+-=；()()()411212312341092155S a b b c c c d d d d =+++++++++≤++++=；()()3112123109640S a b b c c c =+++++≤+++=；()2112109827S a b b =++≤++=； 1110S a =≤因而有()()()()()1212312611121231234123451234561234562366030201512106030105321060b bc c c f f f a a b b c c cd d d de e e e ef f f f f f S S S S S S ++++++++++++++++++++++++++++++=+++++=()11240102251659060300270225165906035,2a b b +++++≤++++≤= 该不等式在{}{}{}{}{}{}112123123412345123456,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b b c c c d d d d e e e e e f f f f f f 分别取{}{}{}{}{}{}10,8,9,5,6,7,1,2,3,4,4,3,2,1,0,10,9,8,7,6,5----------时恰好能取到等号，因此最大值为352. 11 当5431013231241000m ,,,,,,,,,=----时，从等式()()2123150m x m y m ++-+-=可以得到10个关于x 和y 的二元一次方程，问这10个方程有没有公共解？如果有，求出这些公共解？解：分别取0m =和1m =，我们得到两个方程：210340x y x y ++=⎧⎨--=⎩ 先求两个方程的公共解，把它们看作二元一次方程组，解得：1,1-==y x .把1,1-==y x 代入()()212315m x m y m ++-+-，值恒为0. 此即意味着：当5431013231241000m ,,,,,,,,,=----时，()()212315m x m y m ++-+-＝0成立.所以，1,1-==y x 是对应的10个方程的的公共解.答：这些方程的公共解是 1,1-==y x .12 平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36度. 说明理由.解：在平面上任取一点O ，过O 点作的5条直线的平行线12345,,,,l l l l l . 将以O 为中心的周角分为10个彼此依次相邻的小的角，记为12910,,,,θθθθ.每个小角iθ〔1,2,,9,10i =〕都等于这5条直线相交的一个交角.这10个小角的和恰等于360，即.12910360θθθθ++++=，根据抽屉原理，至少有一个小角不超过36.三. 解答以下各题〔要求写出详细过程〕13 如图19，A 、B 和C 是圆周的三等分点，甲、乙、丙三只蚂蚁分别从A 、B 、C 三个点同时出发，甲和乙沿圆周逆时针爬行，丙顺时针爬行. 甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8:6:5，求出三只蚂蚁所有的会合地点. 解：① 设圆周的周长为3L ，甲的速度为v 8，乙的速度为v 6，丙的速度为v 5；甲第一次追上乙时，爬行的时间和爬行的路程分别是：甲爬行的时间＝862L L v v v =-, 甲爬行的路程＝842Lv L v=， ABAC A图19因为圆周的周长为3L ，即甲在Ｂk+1(k 是整数)次追上乙时，甲爬行的时间＝322L kLv v+， 甲爬行的路程＝3822L kL v v v ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭()412314L kL L k L +=+⨯+因为()314k L ⨯+是圆周周长的整数倍，所以，甲在B 点追上乙. ② 在时刻322L kLv v+，( 丙爬行的路程＝3315362222L kL k v L kL L v v ⎛⎫⎛⎫+⨯=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当k ＝1时，上式是35922L kL v L L v v ⎛⎫+⨯=+ ⎪⎝⎭因为丙是从C 出发顺时针爬行，所以，丙爬行至B 处，意味着甲、乙、丙能够在B 点会合.答；甲、乙、丙仅仅在B 处集合. 14 m, n 都是正整数，并且),11)(11()311)(311)(211)(211(m m A +-+-+-=),11)(11()311)(311)(211)(211(nn B +-+-+-=① 证明：A =m m 21+, n n B 21+=； ② 假设,261=-B A 求 m 和n 的值. 解：①111111(1-)(1+)(1-)(1+)(1-)(1+)2233111111(1-)(1-)(1-)(1+)(1+)(1+)23231213411 ;23232A m m m m m m m m m m==-++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=同样，nn B 21+=②由题设，11111222226m n A B m n m n ++-=-=-=，11113m n -=111131313nm n n+=+=， 所以，1313nm ,n=+ ()13131313131313131313n n m ,n n n+-⨯===-+++ 即13+n 是1313⨯的因数，1313⨯只有3个因数：1，13，132. 所以，13+n=132，n =132 –13=156, m =12.〕评注和说明：另一方法可以求出正整数m,n ，使11113m n -=. 设()1m Ka,n Kb,a,b ===，代入上式，11113b a Ka Kb Kab --==. ()b a -和a,b 都互质，一定整除K .记Kd b a=-是正整数，b a >那么有 1113dab =. 由上式和b a >，1311b ,a ,d ===. 所以，K ＝12，m 和n 有唯一解，12156m ,n ==.。
第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题及参考答案(初一组)
第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案 （初一组）第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（初一组）一、 填空题（每题10分，如果一道题中有两个答案，则每个5分）二、 解答下列各题，要求写出简要过程（每题１０分）７、解答：.13922=+n m①解方程⎩⎨⎧-=+-=+965543y x y x 得到ｘ=－３，ｙ=１；②代入原方程中后两个方程，得到⎩⎨⎧=+=-3568n m n m 再解上面关于ｍ和ｎ的方程，得到.,136139-==n m ③计算.13916911722==+n m８、解答：李家养牛300头，王家养牛221头。
算术方法：（见小学解答） 代数解法：① 李家的牛群中有67%是母牛，67是质数，可以设李家养牛头数为100x ，王家的牛群中仅有131是母牛，13是质数，可以设王家养牛数是13y ，列出方程100x+13y=521。
…………………………（*）② x 和y 是整数，分别取x=1，2，3，4，5。
可以得到x=3，y=13。
或者解同余方程（*）。
（*）式两边除13，)13(14Mod x ≡-…………………………（**）x=3是（**）式的解，得到y=17。
9、解答：71=∆∆的面积的面积ABC G H I ① 如图(A)，连接BG ，用Ｓ记△ABC 的面积，X 和Y 分别记第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案 （初一组）△DCG 和△BGF 的面积。
② 由已知条件：,331S Y X =+ （1） S Y X 3232=+ 解方程组（１），得到.,214211S Y S X ==同样方法可以得到△EAH 的面积＝△FBI 的面积=.211S③ 从△ADC 的面积＝△BEA ＝,31S ，得到， 四边形GCEH 的面积＝四边形HAFI 的面积＝（.)521S S =-所以，我们得到 △GHI 的面积＝,)(71211211032S S =-- 即71=∆∆的面积的面积ABC GHI10、解答：12⨯[34⨯5－6÷（7－８）－９]＝12⨯167=2004和12⨯[34×5－6⨯（7－８）－９]＝12⨯167=200411、解答：42圈。
2016年第21届“华罗庚杯赛”决赛初一组试题及答案
x 2 n ⎪第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（初一组） （时间: 2016 年 3 月 12 日 10:00～11:30）一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）1. 已知 n 个数 x 1, x 2 , , x n , 每个数只能取 0, 1, -1中的一个. 若x 1 + x 2 + + x n = 2016 , 则 2015 1 + x 2015 + + x 2015 的值为 .2. 某停车场白天和夜间两个不同时段的停车费用的单价不同．张明 2 月份白天 的停车时间比夜间要多 40% , 3 月份白天的停车时间比夜间要少 40% . 若 3 月 份的总停车时间比 2 月份多 20% , 但停车费用却少了 20% , 那么该停车场白 天时段与夜间时段停车费用的单价之比是 .3. 在 9⨯ 9 的格子纸上, 1⨯1 小方格的顶点叫做格点. 如右图, 三角形 ABC 的三个顶点都是格点. 若一个格点 P 使得三角 形 PAB 与三角形 PAC 的面积相等, 就称 P 点为“好点”. 那 么在这张格子纸上共有 个“好点”.4. 设正整数 x , y 满足 xy - 9x - 9y = 20, 则 x 2 + y 2 = .5. 甲、乙两队修建一条水渠．甲先完成工程的三分之一, 乙后完成工程的三分 之二, 两队所用的天数为 A ; 甲先完成工程的三分之二, 乙后完成工程的三分 之一, 两队所用天数为 B ; 甲、乙两队同时工作完成的天数为 C . 已知 A 比 B 多 5, A 是 C 的 2 倍多 4. 那么甲单独完成此项工程需要 天.6. 已知 x + y + z = 5 , 1 + 1 + 1 = 5 , xyz = 1, 则 x 2 + y 2 + z 2 = . x y z7. 关于 x , y 的方程组⎧ 1 x + y = a ⎨ 2 ⎪⎩| x | - y = 1只有唯一的一组解, 那么 a 的取值为 .总分 密封线内请勿答题学校____________姓名_________参赛证号8.右图是一个骰子的展开图, 每个面是一个单位正方形. 用 四个骰子粘成一个 2⨯ 2⨯1的长方体放到桌面上, 要求每 两个粘在一起的面上的“点数”相同．长方体放到桌面上 的六个面分别记为上、下、左、右、前、后六个面, 两个 长方体不同是指对应六个面的“点”的拼图不同. 不考虑长方体的旋转, 共 可以粘出 种不同的长方体二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9. 在恰有三条边相等的四边形中, 有两条等长的边所夹的内角为直角. 若从 该直角顶点引出的对角线恰好把这个四边形分成两个等腰三角形, 求该直 角所对的角的度数.10. 围着一张可以转动的圆桌, 均匀地放着 8 把椅子, 在桌子上对着椅子放有 8个人的名片. 这 8 个人入座后, 将圆桌顺时针转动, 第一次转 45︒ , 从第二 次开始, 每次转动比上一次多转 45︒ . 每转动一次, 当某人对着自己的名片 时, 取走自己的名片. 如果入座时谁都没有对着自己的名片, 那么桌子至少 转多少度才能保证所有入座可能的情况下 8 个人都拿到了自己的名片?11. 两张 8 ⨯12 的长方形纸片重叠地放置, 有一个顶点重合, 尺寸如右图所示. 问图中阴影部分的面积是多少？12. 证明: 对任何非零自然数 n , 1212323-++n n n ，都是整数, 并用 3 除余 2。
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1.代数和的个位数字是().
(A)7 (B)8 (C)9 (D)0
2.已知则下列不等式成立的是().
3.在数轴上, 点A和点B分别表示数a和b, 且在原点O的两侧.若AO=2OB, 则a+b=().
4.如右图所示, 三角形ABC是直角三角形,∠ABC=60度.若在直线AC或BC上取一点P, 使得三角形PAB为等腰三角形,那么这样的点P的个数为().
(A)4(B)5(C)6(D)7
5.如右图, 乙是主河流甲的支流, 水流流向如箭头所示. 主流和支流的水流速度相等, 船在主流和支流中的静水速度也相等. 已知AC=CD, 船从A处经C开往B处需用6小时, 从B经C到D需用8小时, 从D经C到B需用5小时. 则船从B经C到A, 再从A经C到D需用()小时.
6.甲、乙、丙、丁四种商品的单价分别为2元, 3元, 5元和7元. 现从中选购了6件共花费了36元. 如果至少选购了3种商品, 则买了()件丁商品.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
二、填空题(每小题10 分, 共40分)
7.如右图, 在平行四边形ABCD中,AB=2AB.点O为平行四边形内一点, 它到直线AB, BC, CD的距离分别为a, b, c, 且它到AD和CD的距离相等,则2a-b+c=.
8.如右图所示, 韩梅家的左右两侧各摆了3盆花.韩梅每次按照以下规则往家中搬一盆花:先选择左侧还
是右侧, 然后搬该侧离家最近的. 要把所有的花搬到家里, 共有种不同的搬花顺序.
9.如右图,在等腰梯形ABCD中, AB//CD, AB=6, CD=14, ∠AEC=90度, CE=CB, 则
10.已知四位数x是完全平方数, 将其4个数字各加1后得到的四位数仍然是完全
平方数, 则x=.。