北京市石景山区2018届高三下学期一模考试数学(理)试题Word版含解析

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北京市石景山区2018届高三3月统一测试数学(文)试卷

2018年石景山区高三统一测试数学（文）试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合，集合，则（）A．B．C．D．2.下列函数中既是奇函数，又在区间上是单调递减的函数为（）A．B．C．D．3.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．B．C．D．4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.5.已知平面向量满足，与的夹角为，若，则实数的值为（）A． B.C．D．6. “”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 若某多面体的三视图（单位：）如图所示，则此多面体的体积是（）A. B.C. D.8.如图，已知线段上有一动点（异于）,线段,且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.复数=___________.10.双曲线的焦距是________,渐近线方程是_____________.11.若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________________________.12.在中，，，，则的面积等于________．13.在等差数列中，如果是与的等比中项，那么_____．14.已知函数.①当时，函数的零点个数为__________；②如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围为__________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期;（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值.16．（本小题共13分）在等差数列中，，其前项和满足.（Ⅰ）求实数的值，并求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和. 17．（本小题共13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额（元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为、，E组红包金额的平均数与方差分别为、，试分别比较与、与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组所有数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率．18．（本小题共14分）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且．（Ⅰ）求三棱锥的体积；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）若为中点，在棱上，且，求证：//平面．19．（本小题共13分）已知椭圆E:的离心率，焦距为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若分别是椭圆E的左、右顶点，动点满足，连接，交椭圆E 于点．证明：为定值（为坐标原点）．20．（本小题共14分）设函数，．（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）讨论函数零点的个数；（Ⅲ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．2018年石景山区高三统一测试数学（文）试卷答案及评分参考三、解答题共6小题，共80分．15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）………………5分所以周期为. (6)分（Ⅱ）因为，所以. ………………7分所以当时，即时.当时,即时. …………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，………………2分所以，所以. ………………4分所以，所以.所以. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.所以. ………………9分所以………………13分（本小题13分）解：（Ⅰ）m=4，n=2，B；………………3分（Ⅱ）<，<；………………6分（Ⅲ）A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192任取两个数据，可能的组合为(22，22)，(22，162)，(22，192)，(22，162)，(22，192)，(162，192)，共6种结果记数据差的绝对值大于100为事件A，事件A包括4种结果所以. ……………… 13分18.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为是正三角形，且，所以．………………2分又⊥平面，………………3分故S△BCD．………………4分（Ⅱ）在底面中，取的中点，连接，因，故．因，故为的中点．又为的中点，故∥，故．……5分因平面，平面，故平面平面．是正三角形，为的中点，故，故平面．………………7分平面，故．………………8分又，故平面．………………9分（Ⅲ）当时，连，设，连．因为的中点，为中点，故为△的重心，．………………10分因，，故，所以∥．………………12分又平面，平面，所以∥平面．……14分19.（本小题13分）（Ⅰ）解：因为，所以．………………1分因为，所以．………………3分因为，所以．………………4分所以椭圆方程为．………………5分（Ⅱ）方法一：证明：C(－2，0)，D(2，0)，设，则＝，＝．………………7分直线CM：，即．………………8分代入椭圆方程，得，所以．………………10分所以．所以＝．………………12分所以·＝．即·为定值．………………13分方法二：设，由可得，即.∵点在上∴.∴.∴为定值.方法三：因为直线不在轴上，故可设.由得，∴，即．在直线中令，则，即．∴.∴为定值.20.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为，所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以当时，取得极小值．………………3分（Ⅱ），令，得．设，则．所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；所以的最大值为，又，可知：①当时，函数没有零点；②当或时，函数有且仅有1个零点；③当时，函数有2个零．……………9分（Ⅲ）原命题等价于恒成立．.设，则等价于在上单调递减．即在上恒成立，所以恒成立，所以．即的取值范围是．………………14分【注：若有其它解法，请酌情给分】。

【高三数学试题精选】2018年高三文科一模数学试题(石景山附答案)

2018年高三文科一模数学试题（石景山附答案）
5 c 北京市石景区2,+ ）
2．若复数（a－i）2在复平面内对应的点在轴负半轴上，则实数a的值是（）
A． 1 B．-1 c． D．-
3．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为n，向量 =（，n）， =（3，6），则向量与共线的概率为（）
A． B．
c． D．
4．执行右面的框图，输出的结果s的值为（）
A．-3B．2
c． D．
5．设a∈R，则“a=l”是“直线l1ax+2=0与直线l2x+（a+1）+4=0平行的（）
A．充分不必要条 B．必要不充分条
c．充分必要条 D．既不充分也不必要条
6．函数= 2sin（）（0≤x≤ ）的最大值与最小值之和为（）A．0B．2
c．-1 D．-l
7．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是（）A． B．
c．5 D．
8．若直角坐标平面内的两点p、Q满足条①p、Q都在函数=f（x）的图像上；②p、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数=f（x）的一对“友好点对”（注点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数f（x）= ，则此函数的“友好点对”有（）对．
A． 0 B． 1 c．2 D． 3。

北京市石景山区2024届高三下学期3月统一练习数学试卷(解析版)

石景山区2024年高三统一练习数学本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}2230A x x x =--<，{}1B x x =>，则A B = （）A.()1,3- B.()3,1- C.()1,1- D.()1,3【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式解法可得()13A ,=-，再由交集运算可得结果.【详解】解不等式2230x x --<可得13x -<<，即()13A ,=-；又{}()11,B x x ∞=>=+，因此()1,3A B ⋂=.故选：D2.下列函数中，在区间()1,1-上为减函数的是（）A.()sin f x x = B.()cos f x x= C.()()ln 1f x x =+ D.()2xf x -=【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数，指数函数和对数函数的性质，即可判断选项.【详解】A ，根据正弦函数的性质可知，()ππ1,1,22⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭，所以sin y x =在()1,1-上为增函数，故A 错误；B ，()cos f x x =是偶函数，关于y 轴对称，()ππ1,1,22⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭，所以cos y x =在()1,0-上是增函数，在()0,1上是减函数，故B 错误；C ，()()ln 1f x x =+的定义域是()1,∞-+，函数()ln 1y x =+是区间()1,1-上是增函数，故C 错误；D ，根据指数函数的性质可知，()2xf x -=在区间()1,1-上是减函数，故D 正确.故选：D3.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A ，“第二次取到红球”为事件B ，则()P B A =（）A.415B.25C.35 D.45【答案】C 【解析】【分析】由条件概率公式求解即可.【详解】()()()43365456P AB P B A P A ⨯===.故选：C .4.设,,αβγ是三个不同平面，且l αγ= ，m βγ= ，则“//l m ”是“//αβ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义结合线面、面面的位置关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】由l αγ= ，m βγ= ，//l m ，则,αβ可能相交，故“//l m ”推不出“//αβ”，由l αγ= ，m βγ= ，//αβ，由面面平行的性质定理知//l m ，故“//αβ”能推出“//l m ”，故“//l m ”是“//αβ”的必要不充分条件.故选：B .5.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若236,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前5项和为（）A.15- B.3- C.5D.25【解析】【分析】首先代入等差数列的基本量，由等比数列的概念列式，最后代入求和公式，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a d =+，312a d =+，615a d =+，由题意可知，()()()212115d d d +=++，即22d d =-，解得：2d =-或0d =（舍），则数列{}n a 的前5项和51545520152S a d ⨯=+=-=-.故选：A6.直线1y kx =+与圆()22116x y ++=相交于,A B 两点，则线段AB 的长度可能为（）A.5B.7C.9D.14【答案】B 【解析】【分析】根据直线所过定点，求弦长的最小值和最大值，再结合选项，即可求解.【详解】直线1y kx =+恒过点()0,1，且点()0,1在圆()22116x y ++=内，当点()0,1是弦AB 的中点时，此时弦长最短，圆心()0,1-和点()0,1的距离为2，此时弦长AB ==，最长的弦长是直径为8，所以弦长的取值范围是⎡⎤⎣⎦，其中只有B 成立.故选：B7.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()πf -的值是（）A.B.1C.1- D.【答案】A【分析】由图可得πT =，求得2ω=，再利用图象过点π,212⎛⎫⎪⎝⎭，可得到π3ϕ=，从而得到()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即可.【详解】由图象可知π5π112122T ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得πT =，因为0ω>，所以2πTω=，解得2ω=，将π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式化简得πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π2ϕ<，则ππ62ϕ+=，得π3ϕ=，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()πππ2sin 2π2sin 33f ⎛⎫-=-+== ⎪⎝⎭.故选：A8.设0.32=a ，πsin 12b =，ln2c =，则（）A.c b a <<B.b<c<aC.a b c<< D.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】根据给定的条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助112，进行比较判断选项.【详解】0.30221a =>=，ππ1sin sin 1262b =<=，2e <<，则1ln 212<<，即112c <<，所以b c a <<.故选：B9.中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（）A.18种 B.24种C.36种D.72种【答案】C 【解析】【分析】先排宫、徽、羽三个音节，然后商、角两个音阶插空即可求解.【详解】解：先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有33A 32=，再将商、角插入4个空中的2个，有24A 12=，所以共有31236⨯=种．故选：C ．10.对于曲线22:1C x y --+=，给出下列三个命题：①关于坐标原点对称；②曲线C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2；③曲线C 与曲线3x y +=有四个交点．其中正确的命题个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】分析两个曲线的对称性，并结合函数的图象和性质，利用数形结合，即可判断①③，利用基本不等式，即可判断②.【详解】①将曲线22:1C x y --+=中的x 换成x -，将y 换成y -，方程不变，所以曲线关于原点对称，并且关于x 轴和y 轴对称，故①正确；②设曲线C 上任一点为(),P x y()222222222211224y x x y x y xy x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当2222y x x y=，即222x y ==时，等号成立，2≥，曲线C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2，故②正确；③曲线3x y +=中的x 换成x -，将y 换成y -，方程不变，所以曲线关于原点对称，并且关于x 轴和y 轴对称，并且将x 换成y ，y 换成x ，方程不变，所以曲线也关于y x =对称，曲线2211:1C x y +=中，21x ≥且21y ≥，将曲线2211:1C x y+=中的x 换成y ，y 换成x ，方程不变，所以曲线C 也关于y x =对称，当0,0x y >>时，联立22111x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得x y ==，当0,0x y >>时，y ==1x >时，函数单调递减，3<，所以点在直线3x y +=的下方，如图，在第一象限有2个交点，根据两个曲线的对称性可知，其他象限也是2个交点，则共有8个交点，故③错误；故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是③的判断，判断的关键是对称性的判断，以及将方程转化为函数，判断函数的单调性，即可判断.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数z 在复平面内对应的点为(1,2)-，则5z=___________．【答案】12i --##2i 1--【解析】【分析】由复数对应的点写出复数z ，再应用复数除法的法则求解即可.【详解】∵z 对应的点为(1,2)-，∴12i z =-+，∴555(12i)5(12i)12i 12i (12i)(12i)5z ----====---+-+--．故答案为：12i --．12.斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，则AB =______.【答案】8【解析】【分析】求出直线l 的方程，设11()A x y ，、22()B x y ，，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得12x x +，然后由焦点弦长公式可得结论．【详解】抛物线24y x =的焦点坐标为(10)F ，，直线l 方程为1y x =-，设11()A x y ，、22()B x y ，，则由抛物线焦点弦长公式得：12122AB x x p x x =++=++，又A 、B 是抛物线与直线的交点，由241y xy x ⎧=⎨=-⎩得2610x x -+=，则126x x +=，∴||8AB =.故答案为：8.【点睛】结论点睛：焦点弦的一些性质：抛物线22y px =的焦点为F ，AB 是其过焦点的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，则（1）12AB x x p =++．（2）112AF BF p +=．（3）2124p x x =，212y y p =-．13.已知向量,a b满足2b = ，a 与b 的夹角为π6，则当实数λ变化时，b a λ- 的最小值为______．【答案】1【解析】【分析】根据题意利用平面向量的几何特征，可知当()b a a λ-⊥ 时，b a λ-取得最小值.【详解】如图所示：设,OA a OB b == ，当()b a a λ-⊥ 时，b a λ-取得最小值，过点B 作BD OA ⊥于点D ，即可得b a λ-的最小值为BD ，又a与b的夹角为π6，即π6AOB ∠=，易知2OB =，所以πsin 16BD OB ==.即b a λ-的最小值为1.故答案为：114.设函数()323,13,1x ax x f x x a x ⎧+≤=⎨+>⎩，①若()f x 有两个零点，则实数a 的一个取值可以是______；②若()f x 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是______．【答案】①.1-（13a <-内的值都可以）②.01a ≤≤或2a ≥【解析】【分析】①分析函数的性质，确定零点所在的区间，通过解方程的方法，即可求解；②根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增，并根据分界点处函数值的关系不等式，即可求解.【详解】①函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，()2130f a =+>，所以函数()f x 在区间()1,+∞上无零点，则函数()33f x x ax =+在(],1-∞上有2个零点，即330x ax +=，()230x x a +=，则0x =，或x =或x =，a<0，1>，解得：13a <-，所以a 的一个值是1-；②函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，则在(],1-∞上，()33f x x ax =+也单调递增，且321331a a +≤⨯+，若函数在()33f x x ax =+在区间(],1-∞单调递增，则()2330f x x a '=+≥，即2≥-a x 在区间(],1-∞上恒成立，即()2maxa x≥-，即0a ≥，不等式321331a a +≤⨯+，解得：2a ≥或1a ≤，综上可知，01a ≤≤或2a ≥.故答案为：1-（13a <-内的值都可以）；01a ≤≤或2a ≥15.黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：[]0,1x ∈时，()()*1,,N ,0,0,10,1p p x p q q q q R x x ⎧⎛⎫=∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩为既约真分数和内的无理数．若数列*1,n n a R n n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，给出下列四个结论：①1n a n =；②21n n a a ++<；③1112n i i i a a +=<∑；④11ln 2ni i n a =+≥∑．其中所有正确结论的序号是______．【答案】②③④【解析】【分析】根据黎曼函数的定义和性质逐项分析.【详解】对于①，N ,1n n +∈∴= 时，()11001a R ==≠，故①错误；对于②，111n a n +=+，212n a n +=+，+12n n a a +∴>，故②正确；对于③，11223341111111123341ni i n n i a a a a a a a a a a n n ++==++++=⨯+⨯++⋅+∑ 11111111123341212n n n =-+-++-=-<++ ，故③正确；对于④，123111123ni n i a a a a a n==++++=+++∑ ，()2n ≥，构造函数()e 1xg x x =--，()0x >，则()e 10xg x ='->，()g x 单调递增，()(0)0g x g ∴>=，即当0x >时e 1xx >+，11132111e 1,e 1,,e 123n n>+>+>+ ，11123345111111eln 2342232nn n n n n ++++++⎛⎫>⨯⨯⨯⨯=∴+++> ⎪⎝⎭，当1n =时，110ni i a a ===∑，11ln 02+=，11ln 2ni i n a =+⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭∑，故④正确.故选：②③④.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且2sin 0b A -=．（1）求角B 的大小；（2）求cos cos A C +的取值范围．【答案】（1）π3B =（2）,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角求解即可；（2）由（1）可知π3B =，所以2π3A C +=，所以将cos cos A C +转化为同一个角的三角函数，最后求其值域即可.【小问1详解】因为2sin 0b A =，由正弦定理边化角得：2sin sin 0B A A =，所以(2sin sin 0B A =，由于在ABC 中，sin 0A ≠，所以2sin 0B =，即3sin 2B =，又π02B <<，所以π3B =.【小问2详解】由（1）可知π3B =，所以2π3A C +=，所以2π2π2πcos cos cos cos cos cos cos sin sin 333A C A A A A A⎛⎫+=+-=++⎪⎝⎭1313πcos cos cos sin 22226A A A A A A ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭由于在锐角ABC 中，2ππ032π02A A ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，所以ππ62A <<，所以ππ2π363A <+<，所以πππsin sin sin 362A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以πsin 126A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以cos cos A C +的取值范围为3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD CD ===，3BC =，PC =．（1）求证：CD ⊥平面PAD ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的大小．条件①：AB =条件②：//BC 平面PAD ．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）所选条件见解析，π4【解析】【分析】（1）连接AC ，由题目条件可推得ADC △为等腰直角三角形，且π4ACD ∠=，π2ADC ∠=，即CD AD ⊥，再PA CD ⊥，由线面垂直的判定定理即可证明；（2）选条件①或选条件②均可证明BC CD ⊥，建立以A 为原点的空间直角坐标系，求出平面PBC 与平面PAD 的法向量，由二面角求解即可.【小问1详解】如图，连接AC ，因PA ⊥平面ABCD ，,AC CD ⊂平面ABCD ，则PA AC ⊥，PA CD ⊥.又2PC PA ==，则AC =注意到2AD DC ==，则ADC △为等腰直角三角形，其中π4ACD ∠=，π2ADC ∠=.所以CD AD ⊥，又因为PA CD ⊥，,AD PA ⊂平面PAD ，AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ；【小问2详解】若选条件①，由余弦定理可得，222222cos AC BC AB ACB AC BC +-∠===⋅，结合ACB ∠为三角形内角，得π4ACB ∠=，又π4ACD ∠=，则π2BCD ∠=，即BC CD ⊥.若选条件②，因BC //平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，则BC AD ∥，又π2ADC ∠=，则π2BCD ∠=，即BC CD ⊥.故建立以A 为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系（x 轴所在直线与DC 平行）又23，PA AD CD BC ====，AB =则()()()()0,0,02,1,02,2,00,2,0A B C D -，，，，()0,0,2P ，则()0,3,0BC = ，()2,2,2CP =-- ，()2,0,0DC =.平面PAD 法向量为()2,0,0DC =，设平面PBC 法向量为(),,n x y z = ，则03022200n BC y x y z n CP ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨--+=⋅=⎩⎪⎩.令1x =，则0,1y z ==，所以()1,0,1n =，设面PBC 与平面PAD 所成角为θ，2cos cos ,2n DC n DC n DCθ⋅====⋅，根据平面角的范围可知π4θ=.18.为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据．其中两地区林下灌木层获得数据如表1，表2所示：表1：老山油松人工林林下灌木层植物名称植物类型株数酸枣灌木28荆条灌木41孩儿拳头灌木22河朔荛花灌木4臭椿乔木幼苗1黑枣乔木幼苗1构树乔木幼苗2元宝槭乔木幼苗1表2：妙峰山油松次生林林下灌木层植物名称植物类型株数黄栌乔木幼苗6朴树乔木幼苗7栾树乔木幼苗4鹅耳枥乔木幼苗7葎叶蛇葡萄木质藤本8毛樱桃灌木9三裂绣线菊灌木11胡枝子灌木10大花溲疏灌木10丁香灌木8（1）从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率；（2）以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为X，求X的分布列和数学期望；（3）从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为1P；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为2P．请直接写出1P与2P大小关系．（结论不要求证明）【答案】（1）1 495；（2）分布列见解析，期望95（3）12P P <【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式，以及组合数公式，即可求解；（2）根据二项分布概率公式，即可求解；（3）根据两个表格中的植物类型分布的数据，即可求解.【小问1详解】表1中的灌木有284122495+++=株，乔木幼苗有1+1+2+1=5株，共有100株，所以252100C 1C 495P ==，所以求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率为1495；【小问2详解】表2中的灌木有9111010848++++=株，乔木幼苗有674724+++=株，木质藤本有8株，抽取1株是灌木的概率为483482485=++，由题意可知，0,1,2,3X =,33,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭()32805125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21332361C 55125P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()22332542C 55125P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()332735125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，分布列如下，X0123P8125361255412527125()39355E X np ==⨯=；【小问3详解】表1中植物间的数量差距较大，表2中每种植物的数量差不多，所以选出来不同种类，表2的概率更大，所以12P P <.19.已知函数()()e0axf x x a =>．（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值；（3）当1a =时，求证：()ln 1f x x x ≥++．【答案】（1）y x =（2）见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程；（2）首先求函数的导数，再讨论01a <≤和1a >两种情况求函数的单调性，求函数的最值；（3）首先根据不等式构造函数()e ln 1xg x x x x =---，再利用导数求函数的最小值，即可证明.【小问1详解】()()1e ax f x ax '=+，()01f '=，()00f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =；【小问2详解】()()1e ax f x ax '=+，0a >当01a <≤时，()0f x '≥在区间[]1,1-上恒成立，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以函数()f x 的最小值为()1e axf --=-，最大值为()1e af =，当1a >时，()0f x '=，得()11,0x a=-∈-，()f x '在区间11,a ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭小于0，函数()f x 单调递减，()f x '在区间1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦大于0，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()1e ax f --=-，()1e a f =，显然()()11f f >-，所以函数()f x 的最大值为()1e a f =，综上可知，当01a <≤时，函数()f x 的最小值为()1e axf --=-，最大值为()1e af =，当1a >时，函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最大值为()1e a f =；【小问3详解】当1a =时，()e xf x x =，即证明不等式e ln 1x x x x ≥++，设()e ln 1xg x x x x =---，0x >，()()11e ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭xg x x x ，设()1e xh x x =-，0x >，()21e 0xh x x'=+>，所以()h x 在()0,∞+单调递增，并且1202h ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()1e 10h =->，所以函数()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点0x ，使()0001e 0x h x x =-=，即()00g x '=，则在区间()00,x ，()0g x '<，()g x 单调递减，在区间()0,x +∞，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 的最小值为()00000e ln 1xg x x x x =---，由()0001e 0x h x x =-=，得001x x e =，且00ln x x =-，所以()00g x =，所以()e ln 10xg x x x x =---≥，即()ln 1f x x x ≥++.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点31,2P ⎛⎫--⎪⎝⎭分别作直线12,l l ，直线1l 与椭圆相切于第三象限内的点G ，直线2l 交椭圆C 于,M N 两点．若2PG PM PN =⋅，判断直线2l 与直线OG 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）22182x y +=（2）2//l OG ，理由见解析【解析】【分析】（1）根据条件，列出关于,,a b c 得到方程，即可求解；（2）首先设出直线1l 的方程，并与椭圆方程联立，求出点G 的坐标，设出直线2l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示PM PN ，再根据2PG PM PN =⋅，求出直线2l ，即可判断直线2l 与直线OG 的位置关系.【小问1详解】由条件可知，222322c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：28a =，22b =，26c =，所以椭圆C 的方程为22182x y +=；【小问2详解】设直线13:12l x m y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，联立2248312x y x m y ⎧+=⎪⎨⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，得()()222294323704m y m m y m m ++-+--=，（*）()()22229Δ32443704m m m m m ⎛⎫=--+--= ⎪⎝⎭，整理为212280m m --=，解得：2m =-或14m =，由题意结合图形可知，0m <，所以2m =-，当2m =-时，代回（*）得2210y y ++=，即1y =-，321122x ⎛⎫=--+-=- ⎪⎝⎭，所以点G 的坐标为()2,1--，31,2P ⎛⎫--⎪⎝⎭，所以254PG =设直线23:12l x n y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，联立，()11,M x y ，()22,N x y ，2248312x y x n y ⎧+=⎪⎨⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，得()()222294323704n y n n y n n ++-+--=，（*）()()22229Δ32443704n n n n n ⎛⎫=--+--= ⎪⎝⎭，整理为212280n n --<，解得：214n -<<，2122234n n y y n -+=+，212293744n n y y n --=+，132PM y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，232PN y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()()221212123339112224PM PN n y y n y y y y ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+++=++++ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()222229373239414244n n n n n n n ⎛⎫-- ⎪-=++⨯+ ⎪++ ⎪⎝⎭()22214n n +=+，即()2221544n n +=+，解得：2n =±（2-舍去），即2n =，则直线2l 的斜率为12，而1122OG k -==-，所以2//l OG.12y y -表示两点间的距离，21.已知集合(){}{}()12,,,,0,1,1,2,,2n n i S X X x x x x i nn ==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅≥，对于()12,,,nA a a a =⋅⋅⋅，()12,,,n n B b b b S =⋅⋅⋅∈，定义A 与B 之间的距离为()1,ni i i d A B a b ==-∑．（1）已知()41,1,1,0A S =∈，写出所有的4B S ∈，使得(),1d A B =；（2）已知()1,1,,1n I S =⋅⋅⋅∈，若,n A B S ∈，并且()(),,d I A d I B p n ==≤，求(),d A B 的最大值；（3）设集合n P S ⊆，P 中有()2m m ≥个元素，若P 中任意两个元素间的距离的最小值为t ，求证：12n t m -+≤．【答案】（1）()0,1,1,0、()1,0,1,0、()1,1,0,0、()1,1,1,1；（2）()()max 2,2,2,2p p nd A B n p p n ≤⎧=⎨->⎩；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据题中定义可得B 的所有情形；（2）分2p n ≤、2p n >两种情况，利用绝对值三角不等式可求得(),d A B 的最大值；（3）表示出()()121121'{,,,|,,,,,}n t n t n P c c c c c c c P -+-+=∈ ，结合定义，可得()()121121,,,,,,n t n t a a a b b b -+-+≠ ，即P '中任意两元素不相等，可得P '中至多有12n t -+个元素，即可得证．【小问1详解】已知()41,1,1,0A S =∈，4B S ∈，且(),1d A B =，所以，B 的所有情形有：()0,1,1,0、()1,0,1,0、()1,1,0,0、()1,1,1,1；【小问2详解】设()12,,,n A a a a = ，()12,,,n B b b b = ，因为()()11,=11n niii i d I A a a p ==-=-=∑∑，则12n aa a n p +++=- ，同理可得12n b b b n p +++=- ，当2n p ≥时，()1111,11112n n n niiiiiii i i i d A B a b a b a bp =====-=-+-≤-+-=∑∑∑∑；当2n p <时，()111,22nnniiiii i i d A B a b a bn p ====-≤+=-∑∑∑.当11,1,,1,0,0,,0p A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭ 个，10,0,0,1,1,,1p B ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭个时，上式等号成立.综上所述，()()max 2,2,2,2p p nd A B n p p n ≤⎧=⎨->⎩；【小问3详解】记()()121121{,,,|,,,,,}n t n t n P c c c c c c c P -+-+='∈ ，我们证明P P '=．一方面显然有P P '≤．另一方面，,n A B S ∀∈且A B ≠，假设他们满足112211,,,n t n t a b a b a b -+-+=== ．则由定义有(),1d A B t ≤-，与P 中不同元素间距离至少为t 相矛盾．从而()()121121,,,,,,n t n t a a a b b b -+-+≠ ．这表明P '中任意两元素不相等．从而P P m '==．又P '中元素有1n t -+个分量，至多有12n t -+个元素．从而12n t m -+≤．【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质.。

北京市石景山区2023届高三一模数学试题 (解析版)

北京市石景山区2023届高三一模数学试题一、单选题1．已知集合{}22A x x =-≤≤，{}220B x x x =+-≤，则A B ⋃=（）A ．[]22-,B ．[]2,1-C ．[]0,1D ．[]0,22．在复平面内，复数z 对应的点的坐标为()2,1--，则iz=（） A ．12i -- B ．2i -- C ．12i -+ D ．2i -3．已知双曲线()222104x y b b-=>的离心率是2，则b =（）A．12 B ．C D4．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（） A ．()sin f x x =B ．()2xf x =C ．()3f x x x =+ D ．()()1e e 2x xf x -=-5．设0x >，0y >，则“2x y +=”是“1xy ≤”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知数列{}n a 满足：对任意的,m n *∈N ，都有m n m n a a a +=，且23a =，则10a =（） A ．43B ．53C ．63D ．103【答案】B【分析】根据对任意的,m n *∈N ，有m n m n a a a +=，且23a =，求得48,a a 的值，即可得10a 的值.【详解】对任意的,m n *∈N ，都有m n m n a a a +=，且23a =，所以222249a a a a ===，则2444881a a a a ===，所以510283813a a a ==⨯=.故选：B.7．若函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ的值是（）A ．π3B ．π6C ．π4D ．π12【答案】A【分析】根据正弦型函数的对称性可得对称中心π,03⎛⎫⎪⎝⎭，即可求得最小正周期T ，从而可求ω的值，结合图象代入已知点坐标即可得ϕ的值.【详解】由图可知()2π0,3f m f m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以π,03⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，由图象可得最小正周期T 满足：1πππ2362T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2ππT ω==，又0ω>，所以2ω=，则由图象可得π2π6k ϕ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，Z k ∈，所以ππ3k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，所以π3ϕ=.故选：A.8．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：/km s ）与燃料的质量M （单位：kg ），火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是2000ln 1M v m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当燃料质量与火箭质量的比值为0t 时，火箭的最大速度可达到0/v km s ．若要使火箭的最大速度达到02/v km s ，则燃料质量与火箭质量的比值应为（） A ．202t B ．200t t +C ．02tD ．2002t t +【答案】D【分析】根据对数运算法则可求得()200022000ln 12v t t =++，由此可得结果.【详解】由题意得：()002000ln 1v t =+，9．已知直线l :220kx y k --+=被圆C :()22125x y ++=所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l 有（） A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．9条10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 为正方形ABCD 所在平面内一动点，给出下列三个命题：①若点P 总满足11PD DC ⊥，则动点P 的轨迹是一条直线；②若点P 到直线1BB 与到平面11CDD C 的距离相等，则动点P 的轨迹是抛物线； ③若点P 到直线1DD 的距离与到点C 的距离之和为2，则动点P 的轨迹是椭圆. 其中正确的命题个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据正方体中的线面垂直以及线线垂直关系，即可确定满足满足11PD DC ⊥的动点P 的轨迹，从而可判断①；利用线线关系将点线距离转化为点点距离，结合圆锥曲线的定义即可判断动点P 的轨迹，即可得判断②③，从而可得答案. 【详解】对于①，如图在正方体1111ABCD A B C D -中，连接11,BD CD ，在正方体中，因为四边形11CDD C 为正方形，所以11DC CD ⊥，又BC ⊥平面11CDD C ，1DC ⊂平面11CDD C ，所以1BC DC ⊥，又11,,CD BC C CD BC ⋂=⊂平面1BCD ，所以1DC ⊥平面1BCD ，平面1BCD ⋂平面ABCD BC =，P ∈平面ABCD ，点P 总满足11PD DC ⊥，所以P ∈平面1BCD ，所以P BC ∈，则动点P 的轨迹是一条直线，故①正确；对于②，1BB ⋂平面ABCD B =,P ∈平面ABCD ，则点P 到直线1BB 等于P 到B 的距离，又P 到平面11CDD C 的距离等于P 到DC 的距离，则P 到B 的距离等于P 到DC 的距离，由抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线，故②正确；对于③，点P 到直线1DD 的距离等于P 到D 的距离，所以P 到D 的距离与到点C 的距离之和为2，即2PD PC DC +==，则点P 的轨迹为线段DC ，故③不正确. 所以正确的命题个数是2. 故选：C.二、填空题11．向量()2sin ,cos a θθ=，()1,1b =，若//a b ，则tan θ=_________. 【答案】12##0.5【分析】根据平面向量的坐标平行运算得cos 2sin θθ=，利用同角三角函数的商数关系θ【详解】向量(2sin a θ=，()1,1b =，若//a b ，则2sin sin 2sin θθ=.12．若nx⎛⎝的展开式中含有常数项，则正整数n 的一个取值为_________.13．项数为(),2k k k *∈≥N 的有限数列{}n a 的各项均不小于1-的整数，满足123123122220k k k k k a a a a a ----⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=，其中10a ≠.给出下列四个结论：①若2k =，则22a =；②若3k =，则满足条件的数列{}n a 有4个； ③存在11a =的数列{}n a ；④所有满足条件的数列{}n a 中，首项相同. 其中所有正确结论的序号是_________.一列举得数列{}n a ，即可判断②.【详解】由于有限数列{}n a 的各项均不小于1-的整数，所以1n a ≥-，*N ,Z n n a ∈∈，又因为123123122220k k k k k a a a a a ----⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=，所以()()123231112312222222121k k k k k k k k a a a a a -------⋅=-⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+≤++++=-所以1111112k a -⎛⎫-≤≤-< ⎪⎝⎭，且10a ≠，1a 为整数，所以11a =-，故③不正确，④正确；当2k =时，得1220a a +=，所以11a =-，则22a =，故①正确；当3k =时，得123420a a a ++=，因为11a =-，所以2324a a +=，则23245a a =-≤，所以2512a -≤≤，2a 为整数，则2a 的可能取值为1,012-,,，对应的3a 的取值为6,4,2,0，故数列{}n a 可能为1,1,6--；1,0,4-；1,1,2-；1,2,0-，共4个，故②正确. 故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：项数为(),2k k k *∈≥N 的有限数列{}n a 的性质入手1n a ≥-，*N ,Z n n a ∈∈从各项1n a ≥-，结合不等式放缩，确定1a 的范围，从而得1a 的值，逐项验证即可.三、解答题14．如图，在ABC 中，42AC =，π6C =，点D 在边BC 上，1cos 3ADB ∠=.(1)求AD 的长；(2)若ABD △的面积为2AB 的长. 【答案】(1)3AD = (2)3AB =15．某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为(]7,10厘米的概率； (2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X 株的株高增量为(]7,10厘米，求X 的分布列和数学期望EX ；(3)用“1k ξ=”表示第k 组鸡冠花的株高增量为(]4,10，“0k ξ=”表示第k 组鸡冠花的株高增量为(]10,16厘米，1,2,3k =，直接写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ的大小关系.（结论不要求证明）)1125=)29100=所以21112936012310025100505EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）132D D D ξξξ<< 理由如下： ()()1129111,04040P P ξξ====，所以22112911292929291131910,10404040404040401600E D ξξ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯==-⨯+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()2220111,04022P P ξξ=====，所以22221111111140010,10222222241600E D ξξ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯==-⨯+-⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()3325531,04088P P ξξ=====，所以223353555531537510,108588888641600E D ξξ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯==-⨯+-⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以132D D D ξξξ<<.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 为等腰直角三角形，且π2PAD ∠=，点F 为棱PC 上的点，平面ADF 与棱PB 交于点E .(1)求证：//EF AD ；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD 与平面ADFE 所成锐二面角的大小.条件①：2AE条件②：平面PAD ⊥平面ABCD ；条件③：PB FD ⊥.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2)π3【分析】（1）根据条件可以证明//AD 平面PBC ，再利用线面平行的性质定理即可证明出结论；（2）选条件①②可以证明出,,AB AD AP 两两垂直，建立空间直角坐标系A xyz -，求出相应坐标，再求出两平面的法向量，进而求出结果;选条件①③或②③同样可以证明求解.【详解】（1）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ,所以//AD 平面PBC ，又因为平面ADF 与PB 交于点E .AD ⊂平面ADFE ，平面PBC ⋂平面,ADFE EF =所以//EF AD . （2）选条件①②侧面PAD 为等腰直角三角形，且π,2PAD ∠= 即2PA AD ==，PA AD ⊥平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD , 则PA ⊥平面ABCD ，又ABCD 为正方形，所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥.以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0)A P C B D 因为2AE =，所以点E 为PB 的中点，则(1,0,1)E 从而：(2,2,2),(0,2,0),(1,0,1)PC AD AE =-==，设平面ADFE 的法向量为：(,,)n x y z =，则020n AE x z n AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =，可得(1,0,1)n =-设平面PCD 的法向量为：(,,)n a b c =，则 2202220n PD b c n PC a b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1b =，可得(0,1,1)n = 所以1cos ,2PB n PB n PB n⋅== 则两平面所成的锐二面角为π3选条件①③侧面PAD 为等腰直角三角形，且,2PAD π∠=即2,PA AD PA AD ==⊥,AD AB PA AB A ⊥⋂=，且两直线在平面内，可得AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，则AD PB ⊥.，所以PAB 为等腰三角形，所以点，所以PAB 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，且AD ABCD ，，所以PAB 为等腰三角形，所以点17．已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>过点(，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,1P -且互相垂直的直线1l ,2l 分别交椭圆C 于M ,N 两点及,S T 两点.求PM PN PS PT的取值范围.18．已知函数()()e 1sin xf x m x m =--∈R .(1)当1m =时，（ⅰ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（ⅱ）求证：0,2πx ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x >.(2)若()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恰有一个极值点，求m 的取值范围.1m 时，所以)e x x m =-1m 时，f 时，(f x 'x 与y =-0f x，因此π2⎫⎪⎭上恰有一个极小值点，19．若无穷数列{}n a 满足以下两个条件，则称该数列为τ数列. ①11a =，当2n ≥时，122n n a a --=+；②若存在某一项5m a ≤-，则存在{}1,2,,1k m ∈⋅⋅⋅-，使得4k m a a =+（2m ≥且m *∈N ）. (1)若20a <，写出所有τ数列的前四项；(2)若20a >，判断τ数列是否为等差数列，请说明理由； (3)在所有的τ数列中，求满足2021m a =-的m 的最小值.【答案】(1)τ数列的前四项为：1,1,1,1--；1,1,1,5-；1,1,3,3--；1,1,3,7- (2)τ数列为首项为1公差为4的等差数列，理由见解析 (3)m 的最小值为1517【分析】（1）先根据条件①去绝对值可得1n n a a -=-或14n n a a -=+，由20a <得21a =-，再根据条件逐个列举即可；（2）由条件①知，当2n ≥时，1n n a a -=-或14n n a a -=+，由20a >得25a =，利用反证法假设τ数列中存在最小的正整数i （3i ≥），使得1i i a a -=-，根据单调性结合条件②可知假设不成立，即可得结论；（3）先根据条件②可得()431506n b n n =-+≤≤必为数列{}n a 中的项，再结合条件①可得31n n a b -=分析即可．【详解】（1）由条件①知，当2n ≥时，1n n a a -=-或14n n a a -=+，因为20a <，由条件①知21a =-，所以τ数列的前四项为：1,1,1,1--；1,1,1,5-；1,1,3,3--；1,1,3,7-. （2）若20a >，τ数列是等差数列由条件①知，当2n ≥时，1n n a a -=-或14n n a a -=+，因为20a >，所以25a =假设τ数列中存在最小的正整数i （3i ≥），使得1i i a a -=-，则1231,,,,i a a a a -单调递增，由11a =则1231,,,,i a a a a -均为正数，且125i a a -≥=.所以15i i a a -=-≤-.由条件②知，则存在 {}1,2,3,,1k i ∈-，使得41k i a a =+≤-此时与1231,,,,i a a a a -均为正数矛盾，所以不存在整数i （3i ≥），使得1i i a a -=-，即14n n a a -=+. 所以τ数列为首项为1公差为4的等差数列. （3）由2021m a =-及条件②, 可得1,5,9,,2017,2021-----必为数列{}n a 中的项，记该数列为{}n b ，有()431506n b n n =-+≤≤，不妨令n j b a =，由条件①，143j j a a n +=-=-或1447j j a a n +=+=-+均不为141n b n +=--；此时243j a n +=-+或41n +或47n -或411n -+，均不为141n b n +=-- 上述情况中，当143j a n +=-，241j a n +=+时，32141j j n a a n b +++=-=--= 结合11a =，则有31n n a b -=.由5062021b =-，得350611517m =⨯-=即为所求.四、双空题20．抛物线C ：24x y =的焦点坐标为_________，若抛物线C 上一点M 的纵坐标为2，则点M 到抛物线焦点的距离为_________.21．设函数()33,,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩，①若0a =，则()f x 的最大值为_________；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________.。

2018年北京市石景山区高三统一测试数学(文)试卷-含答案

2018年北京市石景山区高三统一测试数学（文）试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合，集合，则（）A．B．C．D．2.下列函数中既是奇函数，又在区间上是单调递减的函数为（）A． B．C． D．3.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A． B． C．D．4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.5.已知平面向量满足，与的夹角为，若，则实数的值为（）A． B.C．D．6. “”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 若某多面体的三视图（单位：）如图所示，则此多面体的体积是（）A. B.C. D.8.如图，已知线段上有一动点（异于）,线段,且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（）A．圆的一部分 B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.复数=___________.10.双曲线的焦距是________,渐近线方程是_____________.11.若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________________________.12.在中，，，，则的面积等于________．13.在等差数列中，如果是与的等比中项，那么_____．14.已知函数.①当时，函数的零点个数为__________；②如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围为__________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期;（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值.16．（本小题共13分）在等差数列中，，其前项和满足.（Ⅰ）求实数的值，并求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和. 17．（本小题共13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额（元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为、，E组红包金额的平均数与方差分别为、，试分别比较与、与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组所有数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率．18．（本小题共14分）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且．（Ⅰ）求三棱锥的体积；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）若为中点，在棱上，且，求证：//平面．19．（本小题共13分）已知椭圆E:的离心率，焦距为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若分别是椭圆E的左、右顶点，动点满足，连接，交椭圆E于点．证明：为定值（为坐标原点）．20．（本小题共14分）设函数，．（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）讨论函数零点的个数；（Ⅲ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．参考答案三、解答题共6小题，共80分．15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）………………5分所以周期为. ………………6分（Ⅱ）因为，所以. ………………7分所以当时，即时.当时,即时. …………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，………………2分所以，所以. ………………4分所以，所以.所以. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.所以. ………………9分所以………………13分（本小题13分）解：（Ⅰ）m=4，n=2，B；………………3分（Ⅱ）<，<；………………6分（Ⅲ）A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192任取两个数据，可能的组合为(22，22)，(22，162)，(22，192)，(22，162)，(22，192)，(162，192)，共6种结果记数据差的绝对值大于100为事件A，事件A包括4种结果所以. ……………… 13分18.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为是正三角形，且，所以．………………2分又⊥平面，………………3分故S△BCD．………………4分（Ⅱ）在底面中，取的中点，连接，因，故．因，故为的中点．又为的中点，故∥，故．……5分因平面，平面，故平面平面．是正三角形，为的中点，故，故平面．………………7分平面，故．………………8分又，故平面．………………9分（Ⅲ）当时，连，设，连．因为的中点，为中点，故为△的重心，．………………10分因，，故，所以∥．………………12分又平面，平面，所以∥平面．……14分19.（本小题13分）（Ⅰ）解：因为，所以．………………1分因为，所以．………………3分因为，所以．………………4分所以椭圆方程为．………………5分（Ⅱ）方法一：证明：C(－2，0)，D(2，0)，设，则＝，＝．………………7分直线CM：，即．………………8分代入椭圆方程，得，所以．………………10分所以．所以＝．………………12分所以·＝．即·为定值．………………13分方法二：设，由可得，即.∵点在上∴.∴.∴为定值.方法三：因为直线不在轴上，故可设.由得，∴，即．在直线中令，则，即．∴.∴为定值.20.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为，所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以当时，取得极小值．………………3分（Ⅱ），令，得．设，则．所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；所以的最大值为，又，可知：①当时，函数没有零点；②当或时，函数有且仅有1个零点；③当时，函数有2个零．……………9分（Ⅲ）原命题等价于恒成立．.设，则等价于在上单调递减．即在上恒成立，所以恒成立，所以．即的取值范围是．………………14分。

2018年高三最新北京市石景山区2018年高三统一测试数

北京市石景山区2018年高三统一测试数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，第10页为草稿纸，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．1. 设全集{,,,}U a b c d =，集合{,,}A a c d =，{,}B b d =，则（UA ）∩B =（）(A) {}b (B) {}d (C) {,}a c (D) {,}b d 2. 已知函数2()1log f x x =+，则其反函数为（）(A) 11()2()x f x x R -+=∈ (B) 11()2()x f x x R --=∈(C) 1()21()x f x x R -=+∈(D) 1()21()x f x x R -=-∈3. 某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现用分层抽样的方法从该校所有高中生中抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）(A) 15，5，25 (B) 15，15，15(C) 10，5，30 (D) 15，10，204．条件1|:|>x p ，条件2:-<x q ，则p ⌝是q ⌝的（）(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C) 充要条件(D)既不充分也不必要条件5．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为（）(A) 1 (B)2 (C) 22 (D) 2 6．设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：（1）//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭；（2）//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭；（3）//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭；（4）////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭，其中，假命题．．．是（） (A)（1）（2） (B) （2）（3） (C)（1）（3） (D)（2）（4）7．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，∠A=60º，1=b ，△ABC 的面积ABC S ∆=3，则Aasin 的值等于（） (A) 338 (B) 3326 (C) 3932 (D) 32 8. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且102=S ，364=S ，则过点),(n a n P 和))(,2(2*+∈+N n a n Q n 的直线的一个方向向量的坐标可以是（）(A) (1-，1-) (B) )2,21(-- (C) )1,21(-- (D) )21,2(第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．在53)2(xx +的展开式中，5x 的系数是；各项系数的和是．（用数字作答）10．正方体的全面积是24cm 2，它的顶点都在一个球面上，这个球的半径是 cm ；这个球的表面积是 cm 2．11．某校4名学生分别参加高中“数学”、“物理”、“化学”竞赛，要求每科至少有1人参加，且每人只参加1科竞赛，则不同的参赛方案的种数是 .（用数字作答） 12．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2:1:36=S S ，则=39:S S ．13．已知x 、y 满足约束条件y x z x y x y x 3,1,02,012+=⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-则的最小值为．14．设函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>m ，使x m x f ≤)(对一切实数x 均成立，则称)(x f 为F 函数.给出下列函数：①0)(=x f ；②2)(x x f =；③)cos (sin 2)(x x x f +=；④1)(2++=x x xx f ；⑤)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数1x 、2x 均有21212)()(x x x f x f -≤-.其中是F 函数的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数x x x x x f cos sin 3)2sin()cos()(++-=ππ．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求当]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值及最小值；（Ⅲ）求)(x f 的单调递增区间．16.（本小题满分13分）袋中装有大小、质地相同的8个小球，其中红色小球4个，蓝色和白色小球各2个．某学生从袋中每次随机地摸出一个小球，记下颜色后放回．规定每次摸出红色小球记2分，摸出蓝色小球记1分，摸出白色小球记0分．（Ⅰ）分别求出该生每次摸出红色小球、蓝色小球、白色小球的概率；（Ⅱ）求该生在4次摸球中恰有3次摸出红色小球的概率；（Ⅲ）求该生两次摸球后恰好得2分的概率．17.（本小题满分12分）已知函数5)(23+++=bx ax x x f ，在函数)(x f 图像上一点))1(,1(f P 处切线的斜率为3，且)(x f y =在2-=x 时有极值．（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）求函数)(x f y =在区间3[-，]1上的最大值．18.（本小题满分14分）如图，三棱锥ABC P -中，AB PA ⊥，AC PA ⊥，AC AB ⊥，AB AC PA 2==．(Ⅰ) 求证：⊥AB 平面PAC ；(Ⅱ) 若M 为PC 的中点，求证：平面⊥PCB 平面MAB ； (Ⅲ) 求二面角A PB C --的大小．19.（本小题满分14分）如图所示，已知圆8)1(:22=++y x C ，定点)0,1(A ，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足2=，0=⋅，点N 的轨迹为曲线E ．(Ⅰ) 求曲线E 的方程；(Ⅱ) 若点),(),,1(),,(33322111y x B y B y x B -在曲线E 上，且A B A B A B 321,,成等差数列，求31x x +的值；（Ⅲ）若过定点F (0，2)的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围．20.（本小题满分14分）已知函数)(x f y =对于任意2πθk ≠（Z k ∈），都有式子1cot )tan (-=-θθa f 成立（其中a 为常数）．（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）利用函数)(x f y =构造一个数列，方法如下：对于给定的定义域中的1x ，令)(12x f x =，)(23x f x =，…，)(1-=n n x f x ，… 在上述构造过程中，如果i x （i =1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果i x 不在定义域中，那么构造数列的过程就停止.（ⅰ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a 的取值范围；（ⅱ）是否存在一个实数a ，使得取定义域中的任一值作为1x ，都可用上述方法构造出一个无穷数列}{n x ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（ⅲ）当1=a 时，若11-=x ，求数列}{n x 的通项公式．以下为草稿纸2018年石景山区高三统一测试数学试题（文科）参考答案与评分标准一、选择题：每小题5分，满分40分．1．A 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．C 8．B二、填空题：每小题5分，满分30分．（对有两空的小题，第一空3分，第二空2分）9．40；24310．3；π12 11．3612．3:4 13．5- 14．①④⑤ 三、解答题：本大题满分80分． 15．（本小题满分13分）解：x x x f 2sin 23cos )(2+-= =x x 2sin 232cos 2121+--=21)62sin(--πx ． …………………………………5分（Ⅰ）T=22π=π． ………………………………7分（Ⅱ）∵ ≤≤x 02π， ∴ 65626πππ≤-≤-x ．∴ 当x =0，即662ππ-=-x 时，)(x f 有最小值1-， …………………9分当x =3π，即262ππ=-x 时，)(x f 有最大值21． …………………11分（Ⅲ）∵πππππk x k 226222+≤-≤+-，k ∈Z ∴ ππππk x k 232223+≤≤+-， ∴ ππππk x k +≤≤+-36，k ∈Z ． ∴)(x f 的单调递增区间是]3,6[ππππk k ++- （k ∈Z ）． …………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）“摸出红色小球”，“摸出蓝色小球”，“摸出白色小球”分别记为事件A ，B ，C ．………………1分由题意得：2184)(==A P ，4182)()(===C P B P ． ………………4分（Ⅱ）因每次摸球为相互独立事件，故4次摸球中恰有3次摸出红色小球的概率为：41)211()21()3(3344=-=C P ． ………………………………………8分（Ⅲ）该生两次摸球后恰好得2分的概率165)()()()(12=+=B P B P C P A P C P ． ………………13分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由5)(23+++=bx ax x x f 求导数得b ax x x f ++='23)(2， ………1分由在函数)(x f 图像上一点))1(,1(f P 处切线的斜率为3知3)1(='f ，即323=++b a ，化简得02=+b a ． ① ………………3分因为)(x f y =在2-=x 时有极值，所以0)2(=-'f ，即0412=+-b a ． ② ………………5分由①②联立解得4,2-==b a ．∴542)(23+-+=x x x x f ． ………………6分（Ⅱ）)2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f ．令0)(='x f ，得2-=x ，2． ………………7分………………10分135)2(4)2(2)2()2()(23=+---+-=-=f x f 极大．从上表可知，最大值为13．∴ )(x f 在区间3[-，]1上的最大值为13． ……………………………12分18．(本小题满分14分) 方法一：(Ⅰ) AB PA ⊥，AC AB ⊥，又 A AC PA =⋂，∴ ⊥AB 平面PAC ． ……………………3分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知⊥AB 平面PAC ，⊂PC 平面APC ，∴ AB PC ⊥． ……………4分在等腰CAP ∆中， M 为PC 中点， ∴ AM PC ⊥． ……………5分又A AM BA =⋂ ，∴ ⊥PC 平面MAB ． ……………6分 ∵ ⊂PC 平面PBC ，∴ 平面⊥PCB 平面MAB ． ……………8分（Ⅲ）过A 作MB AF ⊥于F ，由(Ⅱ)知平面⊥PCB 平面MAB∴ ⊥AF 平面PBC ． ……………………9分作PB FE ⊥于E ，连结AE ，由三垂线定理可知，PB AE ⊥．……………10分 ∴ AEF ∠为二面角A PB C --的平面角． ……………………11分设a AB =,则a AP AC 2==．在PAC Rt ∆中，a AM 2=．由(Ⅰ)知⊥AB 平面PAC ，⊂AM 平面APC ，∴ AM AB ⊥．在BAM Rt ∆中，a BM 3=．由面积公式得AM AB AF BM ⋅=⋅,a AF 32=, ……………12分同理，在BAP Rt ∆中，a BP 5=，由面积公式得a AE 52=．………………13分在AFE Rt ∆中，630sin ==∠AE AF AEF ．所以二面角A PB C --的大小为630arcsin． ……………………14分方法二：(Ⅰ)同方法一． …………………3分 (Ⅱ)如图，以A 为坐标原点，AP AB AC ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设2=AP ，则)0,1,0(),0,0,2(),0,0,0(),2,0,0(B C A P ,)1,0,1(M ． …………………4分)2,0,2(-=，)1,0,1(=AM ,)1,1,1(--=MB ． 01)2(0012=⨯-+⨯+⨯=⋅,∴ AM PC ⊥，即AM PC ⊥． ………………5分0)1()2(10)1(2=-⨯-+⨯+-⨯=⋅MB PC ，∴ ⊥，即BM PC ⊥． ………………6分又M BM AM =⋂ ，∴ ⊥PC 平面AMB ． ……………7分又⊂PC 平面PCB ，平面⊥PCB 平面MAB ． ……………8分（Ⅲ）可证⊥CA 平面BAP ，则平面BAP 法向量为)0,0,2(1=n ， ……………9分下面求平面PBC 的法向量．设平面PBC 的法向量为),,(2z y x n =．)2,0,2(-=,)0,1,2(-=CB ， ⎩⎨⎧=++-=-+0020202y x z x ),2,(2z z z n =⇒，令1=z ，则)1,2,1(2=n ， ……………………12分66622,cos 212121=⨯=>=<n n ．所以二面角A PB C --的大小为66arccos ． ……………………14分 19．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由题意知，圆C 的圆心为)0,1(-，半径22=r ．∵ 0,2=⋅=．∴ NP 为线段AM 的垂直平分线，∴ ||||NM NA =．又∵ 22||||==+r NM CN ，∴ 222>=+AN CN ．∴ 动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点且长轴长为22的椭圆． ……………………2分 ∴ 1,1,2===b c a ．∴ 曲线E 的方程为1222=+y x ． ……………………4分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知，曲线E 的轨迹为椭圆，A 为右焦点，其右准线方程为2:1=x l ．设1B 到直线1l 的距离为d ．根据椭圆的定义知211==e dA B ,得111222)2(2222x x d A B -=-==．同理可得：2232=A B ，33222x A B -=． ……………………7分 ∵ A B A B A B 321,,成等差数列，∴ A B A B A B 2312=+，代入得231-=+x x ． ……………………9分（Ⅲ）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2+=kx y ，代入椭圆1222=+y x ，得034)21(22=+++kx x k ．由0>∆得232>k ． ……………………10分设),(),,(5544y x H y x G ，则 254214k kx x +-=+， ①254213k x x += ． ② 又∵ λ=，即)2,()2,(5544-=-y x y x λ． ∴ 54x x λ=． ③由①②③联立得λλ5425254)1(x x x x x ==++，即λλ222223)1()24(k k k +=++-，整理得 λλ22)1()121(316+=+k． ………………12分∵ 232>k ，∴ 3163231642<+<k ， ∴ 316)1(42<+<λλ，解得331<<λ且1≠λ．又∵ 10<<λ， ∴ 131<<λ． ……………………13分当直线GH 斜率不存在时，直线GH 方程为0=x ，此时31=，即31=λ．∴ 131<≤λ，即所求λ的取值范围是)1,31[ ……………………14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）令θtan -=a x （2πθk ≠），则x a -=θtan ，而xa -==1tan 1cot θθ，故)(x f =11--xa ， ∴ )(x f y ==xa ax --+1（a x ≠）． ………………………………3分（Ⅱ）（ⅰ）根据题意，只需当a x ≠时，方程x x f =)(有解， ……………4分亦即方程 01)1(2=-+-+a x a x 有不等于a 的解．将a x =代入方程左边，左边为1，与右边不相等．故方程不可能有解a x =．……………5分由 △=0)1(4)1(2≥---a a ，得 3-≤a 或1≥a ，即实数a 的取值范围是(,3][1,)-∞-+∞． …………………………7分（ⅱ）假设存在一个实数a ，使得取定义域中的任一值作为x 1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列}{n x ，那么根据题意可知，xa ax --+1=a 在R 中无解，……………8分亦即当a x ≠时，方程1)1(2-+=+a a x a 无实数解．由于a x =不是方程1)1(2-+=+a a x a 的解，所以对于任意x ∈R ，方程1)1(2-+=+a a x a 无实数解，因此⎩⎨⎧≠-+=+.01,012a a a 解得1-=a ．∴ 1-=a 即为所求a 的值． ……………………………………11分（ⅲ）当1=a 时，x xx f -=1)(，所以，nn n x x x -=+11．两边取倒数，得11111-=-=+nn n n x x x x ，即1111-=-+n n x x ．所以数列{nx 1}是首项为111-=x ，公差1-=d 的等差数列．故n n x n-=-⋅-+-=)1()1(11，所以，n x n 1-=，即数列}{n x 的通项公式为nx n 1-=． …………………………………14分若有其它解法，请酌情给分．。

北京市石景山区2018届高考一模考试数学(文)试题有答案(扫描版)AlUPMP

2018年石景山区高三统一测试数学（文）试卷考生须知1．本试卷共5页，共三道大题，20道小题，满分150分．考试时间120分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合，集合，则（）A．B ．C．D ．2.下列函数中既是奇函数，又在区间上是单调递减的函数为（）A．B．C．D．3.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．B．C．D．4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.5.已知平面向量满足，与的夹角为，若，则实数的值为（）A． B.C．D．6. “”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 若某多面体的三视图（单位：）如图所示，则此多面体的体积是（）A. B.C. D.8.如图，已知线段上有一动点（异于）,线段,且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.复数=___________.10.双曲线的焦距是________,渐近线方程是_____________.11.若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________________________.12.在中，，，，则的面积等于________．13.在等差数列中，如果是与的等比中项，那么_____．14.已知函数.①当时，函数的零点个数为__________；②如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围为__________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期;（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值.16．（本小题共13分）在等差数列中，，其前项和满足.（Ⅰ）求实数的值，并求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和.17．（本小题共13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额（元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：组别红包金额分组频数A 0≤x＜40 2B 40≤x＜80 9C 80≤x＜120 mD 120≤x＜160 3E 160≤x＜200 n（Ⅰ）写出m，n（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为、，E组红包金额的平均数与方差分别为、，试分别比较与、与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组所有数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率．18．（本小题共14分）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且．（Ⅰ）求三棱锥的体积；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）若为中点，在棱上，且，求证：//平面．19．（本小题共13分）已知椭圆E:的离心率，焦距为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若分别是椭圆E的左、右顶点，动点满足，连接，交椭圆E于点．证明：为定值（为坐标原点）．20．（本小题共14分）设函数，．（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）讨论函数零点的个数；（Ⅲ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．2018年石景山区高三统一测试数学（文）试卷答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B B C D A A B题号9 10 11 12 13 14答案三、解答题共6小题，共80分．15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）………………5分所以周期为. ………………6分（Ⅱ）因为，所以. ………………7分所以当时，即时.当时,即时. …………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，………………2分所以，所以. ………………4分所以，所以.所以. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.所以. ………………9分所以………………13分（本小题13分）解：（Ⅰ）m=4，n=2，B；………………3分（Ⅱ）<，<；………………6分（Ⅲ）A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192任取两个数据，可能的组合为(22，22)，(22，162)，(22，192)，(22，162)，(22，192)，(162，192)，共6种结果记数据差的绝对值大于100为事件A，事件A包括4种结果所以. ……………… 13分18.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为是正三角形，且，又⊥平面，………………3分故S△BCD．………………4分（Ⅱ）在底面中，取的中点，连接，因，故．因，故为的中点．又为的中点，故∥，故．……5分因平面，平面，故平面平面．是正三角形，为的中点，故，故平面．………………7分平面，故．………………8分又，故平面．………………9分（Ⅲ）当时，连，设，连．因为的中点，为中点，故为△的重心，．………………10分因，，故，所以∥．………………12分又平面，平面，所以∥平面．……14分19.（本小题13分）（Ⅰ）解：因为，所以．………………1分因为，所以．………………4分所以椭圆方程为．………………5分（Ⅱ）方法一：证明：C(－2，0)，D(2，0)，设，则＝，＝．………………7分直线CM：，即．………………8分代入椭圆方程，得，所以．………………10分所以．所以＝．………………12分所以·＝．即·为定值．………………13分方法二：设，由可得，即.∵点在上∴.∴.∴为定值.方法三：因为直线不在轴上，故可设.由得，∴，即．在直线中令，则，即．∴.∴为定值.20.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为，所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以当时，取得极小值．………………3分（Ⅱ），令，得．设，则．所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；所以的最大值为，又，可知：①当时，函数没有零点；②当或时，函数有且仅有1个零点；③当时，函数有2个零．……………9分（Ⅲ）原命题等价于恒成立．.设，则等价于在上单调递减．即在上恒成立，所以恒成立，所以．即的取值范围是．………………14分【注：若有其它解法，请酌情给分】。

2022年北京市石景山区高考数学一模试卷+答案解析(附后)

2022年北京市石景山区高考数学一模试卷1.设全集，集合，则( )A. B. C. D.2.复数z满足，则( )A. B. i C. D. 13.从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是( )A. B. C. D.4.设l是直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则5.已知圆C：，过点的直线l与圆C交于A，B两点，则弦AB长度的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 46.函数的图象大致为( )A. B.C. D.7.在等差数列中，，设数列的前n项和为，则( )A. 12B. 99C. 132D. 1988.在中，，若，则的大小是( )A. B. C. D.9.“”是“在上恒成立”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.设A，B为抛物线C：上两个不同的点，且直线AB过抛物线C的焦点F，分别以A，B为切点作抛物线C的切线，两条切线交于点则下列结论：①点P一定在抛物线C的准线上；②；③的面积有最大值无最小值．其中，正确结论的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 311.函数的定义域是______.12.在的展开式中，的系数是______用数字填写答案13.正项数列满足，若，，则的值为______.14.设点，分别为椭圆C：的左，右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数m的一个取值可以为__________.15.已知非空集合A，B满足：，，函数对于下列结论：①不存在非空集合对，使得为偶函数；②存在唯一非空集合对，使得为奇函数；③存在无穷多非空集合对，使得方程无解．其中正确结论的序号为__________.16.已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为2；②函数的图象可由的图象平移得到；③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式；在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，，求面积的最大值．17.某学校高中三个年级共有300名学生，为调査他们的课后学习时间情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的课后学习时间，数据如表单位：小时：高一年级789高二年级78910111213高三年级671117试估计该校高三年级的学生人数；从高一年级和高二年级抽出的学生中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级选出的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率：再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是8，9，单位：小时，这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小．结论不要求证明18.如图1，在平面四边形PDCB 中，，，，将沿BA 翻折到的位置，使得平面平面ABCD ，如图2所示．设平面SDC 与平面SAB 的交线为l ，求证：；在线段SC 上是否存在一点点Q 不与端点重合，使得二面角的余弦值为，请说明理由．19.设函数若，①求曲线在点处的切线方程；②当时，求证：若函数在区间上存在唯一零点，求实数m 的取值范围．20.已知椭圆C：的短轴长等于，离心率求椭圆C的标准方程；过右焦点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，判断是否为定值，请说明理由．21.若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由；已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；已知数列为单调递增的等差数列，且，，求证为“等比源数列”．答案和解析1.【答案】A【解析】解：全集，集合，则故选：求出集合A，利用补集定义能求出本题考集合的运算，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：，故选：根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：设事件为第i次抽到偶数，，2，则，，在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率为：故选：设事件为第i次抽到偶数，，2，利用条件概率计算公式能求出在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率．本题考查在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：设l是直线，，是两个不同的平面，对于A，若，，则与相交或平行，故A错误；对于B，若，，则由面面垂直的判定定理得，故B正确；对于C，若，，则l与平行或，故C错误；对于D，若，，则l与相交、平行或，故D正确．故选：对于A，与相交或平行；对于B，由面面垂直的判定定理得；对于C，l与平行或；对于D，l与相交、平行或本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．5.【答案】B【解析】解：设点为D点，圆C：，圆心，半径，当直线DC垂直于直线l时，弦AB最短，故选：根据已知条件，结合垂径定理，以及两点之间的距离公式，即可求解．本题主要考查垂径定理，以及两点之间的距离公式，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：函数的定义域为，当时，；当时，则在单调递减；在单调递增，故选：求得的定义域，讨论，时，的单调性，结合图象可得结论．本题考查函数的图象的判断，注意运用单调性判断，考查分类讨论思想和数形结合思想，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：，，解得，故选：根据已知条件，结合等差中项的定义，以及等差数列的前n项和公式，即可求解．本题主要考查等差中项的定义，以及等差数列的前n项和公式，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：在中，，，，，，即，，故选：利用三角形的内角和定理及诱导公式得到，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，把A的度数代入已知等式求出的值，代入计算求出的值，再利用两角和与差的余弦函数公式求出的值，进而得到，即可求出的度数．此题考查了正弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．9.【答案】B【解析】解：“在上恒成立”，则在上恒成立，又在上为增函数，则，即，又“”是“”的必要不充分条件，即”是“在上恒成立”的必要不充分条件，故选：先由不等式恒成立问题求出m的范围，再结合充分必要条件判断即可．本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了充分必要条件，属基础题．10.【答案】C【解析】解：由抛物线知焦点，可设直线AB的方程为，，，联立直线与抛物线方程得，有，，，，切线AP的方程为，化简得，同理切线BP的方程为，联立解得，故①正确；，，故②正确；，当时，有最小值，无最大值，故③错误．故选：由直线与抛物线的有关知识，结结论依次判断．本题考查抛物线的几何性质，判断直线与直线的位置关系，以及三角形的面积的最值问题，属中档题．11.【答案】【解析】解：根据题意，由，得，所以函数的定义域为，故答案为：，由题意可得，从而求出不等式组的解集即可．本题考查求函数定义域的应用问题，解题关键是列出使解析式有意义的不等式组，属于基础题．12.【答案】35【解析】解：的展开式中的通项公式为，令，解得，即的系数是，故答案为：先求展开式的通项公式，再求展开式的项系数即可．本题考查了二项式定理，重点考查了展开式的项系数的求法，属基础题．13.【答案】【解析】解：，，是等比数列，设公比为q，且，由，得，，故答案为：根据可知该数列为等比数列，根据，求出其公比和首项即可求本题考查了数列的递推式，属于基础题．14.【答案】答案不唯一【解析】【分析】本题考查了点与椭圆的位置关系，属于中档题．当时，说明椭圆上存在4点满足条件．【解答】解：当时，，则，由椭圆方程可知，，，，因为，所以以为直径的圆与椭圆有4个交点，使得成立的点恰好有4个，所以实数m的一个取值可以为故答案为：答案不唯一15.【答案】①③【解析】【分析】本题主要考查集合间的基本关系与函数的奇偶性，属于难题．通过求解可以得到在集合A，B含有何种元素的时候会取到相同的函数值，因为存在能取到相同函数值的不同元素，所以即使当x与都属于一个集合内时，另一个集合也不会产生空集的情况，之后再根据偶函数的定义判断①是否正确，根据奇函数的定义判断②是否正确，解方程判断③是否正确．【解答】解：①若，，则，，，若，，则，，，若，，则，，，若，，则，，，综上不存在非空集合对，使得为偶函数，故①正确；②若，则或，当，时，，满足当时，所以可统一为，此时为奇函数，当，时，，满足当时，所以可统一为，此时为奇函数，所以存在非空集合对，使得为奇函数，且不唯一，故②错误；③解的，解的，当非空集合对满足且，则方程无解，又因为，，所以存在无穷多非空集合对，使得方程无解，故③正确。

北京市石景山区高三数学一模试题文(石景山一模,含解析)

北京市石景山区2013届高三统一测试数学（文）试题本试卷共150分，考试时长120分钟，请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合2{|4}M x x =≤,2{|log 1}N x x =≥，则N M 等于（） A ． [-2，2] B ．{2}C ．[2，+∞）D ． [-2,+∞）【答案】B【解析】{22}M x x =-≤≤,{2}N x x =≥,所以{2}{2}M N x x ===,选B.2．若复数2(-)a i 在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是（）A ． 1B ．-1C D ．【答案】A【解析】22()12a i a ai -=--,对应点的坐标为2(1,2)a a --，由题意知210,20a a -=-<，解得1a =，选A.3．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p =（m ，n ），q =（3，6），则向量p 与q 共线的概率为（） A ．13B ．14C ．16D ．112【答案】D【解析】由题意可得,基本事件（m ，n ）（m ，n=1，2，…，6）的个数=6×6=36．若,p q 共线，则630m n -=，得到2n m =．满足此条件的共有（1，2），（2，4），（3，6）三个基本事件．因此向量,p q 共线的概率313612P ==,选D. 4．执行右面的框图，输出的结果s 的值为（）A ．-3B ．2C ．12-D ．13【答案】A【解析】第1次循环，1,3i S ==-；第2次循环，12,2i S ==-；第3次循环，13,3i S ==；第4次循环，4,2i S ==；第5次循环，5,3i S ==-, …框图的作用是求周期为4的数列，输出S 的值，不满足2014≤2013，退出循环，循环次数是2013次，201350341=⨯+,所以即输出的结果为﹣3，故选A ．5．设a ∈R ，则“1a =”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2：x+（a+1）y+4=0平行的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线1l 的斜率为2a -，直线2l 的斜率为11a -+，所以如两直线平行则有112aa -=-+，解得1a =或2a =-。

(优辅资源)北京市石景山区高三一模考试数学(文)试题 Word版含解析

2017年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x＜}D．{x|0≤x＜}2．以（﹣1，1）为圆心且与直线x﹣y=0相切的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x+1）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y+1）2=1 D．（x﹣1）2+（y+1）2=43．下列函数中，偶函数是（）A．y=2x﹣B．y=xsinx C．y=e x cosx D．y=x2+sinx4．设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命项式a n x n+a n﹣1名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+46．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．57．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．28．21个人按照以下规则表演节目：他们围坐一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数，那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（）A．19 B．38 C．51 D．57二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．若复数是纯虚数，则实数a的值为．10．已知实数x，y满足，那么z=y﹣x的最大值是．11．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p=．12．已知函数f（x）=，若f（a）＞f（2﹣a），则a的取值范围是．13．若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则ω=．14．在环境保护部公布的2016年74城市PM2.5月均浓度排名情况中，某14座城市在74城的排名情况如图所示，甲、乙、丙为某三座城市．从排名情况看：①在甲、乙两城中，2月份名次比1月份名次靠前的城市是；②在第1季度的三个月中，丙城市的名次最靠前的月份是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（13分）数列{a n}中，a1=2，a n=a n+c•2n（c是常数，n=1，2，3…），且+1a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．16．（13分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．17．（13分）“累积净化量（CCM）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801﹣2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累积净化量（CCM）有如下等级划分：为了了解一批空气净化器（共2000台）的质量，随机抽取n台机器作为样本进行估计，已知这n台机器的累积净化量都分布在区间（4，14]中，按照（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，均匀分组，其中累积净化量在（4，6]的所有数据有：4.5，4.6，5.2，5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图．（Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中的x值；（Ⅱ）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台？（Ⅲ）从累积净化量在（4，6]的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率．18．（14分）如图，在△ABC中，∠C为直角，AC=BC=4．沿△ABC的中位线DE，将平面ADE折起，使得∠ADC=90°，得到四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积；（Ⅲ）M是棱CD的中点，过M作平面α与平面ABC平行，设平面α截四棱锥A﹣BCDE所得截面面积为S，试求S的值．19．（13分）已知函数f（x）=e x．（Ⅰ）过原点作曲线y=f（x）的切线，求切线的方程；（Ⅱ）当x＞0时，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．20．（14分）已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=+m与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．2017年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x＜}D．{x|0≤x＜}【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A，B，由此利用交集性质能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2x﹣1＜0}={x|x＜}，B={x|0≤x≤1}，∴A∩B={0}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．以（﹣1，1）为圆心且与直线x﹣y=0相切的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x+1）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y+1）2=1 D．（x﹣1）2+（y+1）2=4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】以（﹣1，1）为圆心且与直线x﹣y=0相切的圆的半径为圆心到直线的距离，由此能求出圆的方程．【解答】解：以（﹣1，1）为圆心且与直线x﹣y=0相切的圆的半径为圆心到直线的距离，即r=d==，∴以（﹣1，1）为圆心且与直线x﹣y=0相切的圆的方程是：（x+1）2+（y﹣1）2=2．故选：A．【点评】本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．3．下列函数中，偶函数是（）A．y=2x﹣B．y=xsinx C．y=e x cosx D．y=x2+sinx【考点】函数奇偶性的判断．【分析】利用奇偶函数的定义，进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，是奇函数，对于B，f（﹣x）=（﹣x）sin（﹣x）=xsinx，是偶函数；对于C，f（﹣x）=e﹣x cos（﹣x）=e﹣x cosx，非奇非偶函数；对于D，f（﹣x）=x2﹣sinx，非奇非偶函数，故选B．【点评】本题考查奇偶函数的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．【解答】解：若sinθ=cosθ，则θ=kπ+，（k∈z），故2θ=2kπ+，故cos2θ=0，是充分条件，若cos2θ=0，则2θ=kπ+，θ=+，（k∈z），不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命项式a n x n+a n﹣1名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+4【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的k，S的值，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=0，S=1，k=1，S=x+1，满足条件k＜4，执行循环体，k=2，S=（x+1）x+2=x2+x+2满足条件k＜4，执行循环体，k=3，S=（x2+x+2）x+3=x3+x2+2x+3满足条件k＜4，执行循环体，k=4，S=（x3+x2+2x+3）x+4=x4+x3+2x2+3x+4不满足条件k＜4，退出循环，输出能求得多项式x4+x3+2x2+3x+4的值．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图应用问题，是基础题目．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE==2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．∴S△ABCS△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．7．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x=1；∴F（1，2），；∴．故选C．【点评】考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算．8．21个人按照以下规则表演节目：他们围坐一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数，那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（）A．19 B．38 C．51 D．57【考点】排列、组合的实际应用．【分析】首先求出每轮报数完毕后剩下的人数，以及报数的次数各是多少；然后把每轮报数的次数求和，求出仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数多少次即可【解答】解：根据题意，在第一轮报数中，有=7人表演节目，则第一轮报完数后剩下14人，一共报数21次；在第二轮报数中，14=3×4+2，有4人表演节目，则这一轮报完数后剩下10人，一共报数14次；在第三轮报数中，10=3×3+1，有3人表演节目，则这一轮报完数后剩下7人，一共报数10次；在第四轮报数中，7=3×2+1，有2人表演节目，则这一轮报完数后剩下5人，一共报数7次；在第五轮报数中，5=3×1+2，有1人表演节目，则这一轮报完数后剩下4人，一共报数5次；此时仅剩两个人没有表演过节目，一共报数：21+14+10+7+5=57次；故选：D．【点评】此题考查合情推理的运用，关键是求出每轮报数完毕后剩下的人数，以及报数的次数各是多少．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．若复数是纯虚数，则实数a的值为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z的值，再根据它是纯虚数，求得实数a的值．【解答】解：∵复数==为纯虚数，故有a﹣1=0，且a+1≠0，解得a=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．10．已知实数x，y满足，那么z=y﹣x的最大值是3．【考点】简单线性规划．【分析】画出可行域，将目标函数变形画出相应的直线，将直线平移至A（﹣3，0）时纵截距最大，z最大．【解答】解：画出的可行域如图：将z=y﹣x变形为y=x+z作直线y=x将其平移至A（﹣3，0）时，直线的纵截距最大，最大为：3．故答案为：3．【点评】利用线性规划求函数的最值时，关键是将目标函数赋予几何意义．11．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p=4．【考点】抛物线的标准方程．【分析】确定双曲线﹣y2=1的右顶点坐标，从而可得抛物线y2=2px的焦点坐标，由此可得结论．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右顶点坐标为（2，0），∵抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，∴=2，∴p=4．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线、抛物线的几何性质，确定双曲线的右焦点坐标是关键．12．已知函数f（x）=，若f（a）＞f（2﹣a），则a的取值范围是a＞1．【考点】函数单调性的性质．【分析】函数f（x）=在R上单调递增，利用f（a）＞f（2﹣a），可得a＞2﹣a，即可求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=在R上单调递增，∵f（a）＞f（2﹣a），∴a＞2﹣a，∴a＞1，故答案为a＞1【点评】本题考查函数的单调性，考查学生解不等式的能力，属于中档题．13．若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则ω=3．【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数y=sin（ωx+φ）的部分图象求出周期T，从而求出ω的值．【解答】解：由函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象知，=（x0+）﹣x0=，∴T=，即=，解得ω=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了y=Asin（ωx+∅）的图象与性质的应用问题，是基础题．14．在环境保护部公布的2016年74城市PM2.5月均浓度排名情况中，某14座城市在74城的排名情况如图所示，甲、乙、丙为某三座城市．从排名情况看：①在甲、乙两城中，2月份名次比1月份名次靠前的城市是乙；②在第1季度的三个月中，丙城市的名次最靠前的月份是二月份．【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】由题意，乙的横坐标定义纵坐标，故在甲、乙两城中，2月份名次比1月份名次靠前的城市是乙；由第2个图可得在第1季度的三个月中，丙城市的名次最靠前的月份是二月份．【解答】解：由题意，乙的横坐标大于纵坐标，故在甲、乙两城中，2月份名次比1月份名次靠前的城市是乙；由第2个图可得在第1季度的三个月中，丙城市的名次最靠前的月份是二月份．故答案为乙、二月份．【点评】本题考查分布图，考查数形结合的数学思想，比较基础．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．=a n+c•2n（c是常数，15．（13分）（2017•石景山区一模）数列{a n}中，a1=2，a n+1n=1，2，3…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由递推式表示出a2，a3，由a1，a2，a3成等比数列可得关于c的方程，解出即得c值，注意检验；（Ⅱ）利用累加法可求得a n，注意检验n=1时是否满足a n；【解答】解：（Ⅰ）a1=2，a2=2+2c，a3=2+6c，∵a1，a2，a3成等比数列，∴（2+2c）2=2（2+6c），解得c=0或c=1．当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=1．=a n+2n，（2）∵a n+1∴a2=a1+21，a3=a2+22，a4=a3+23，…，a n=a n+2n﹣1，﹣1累加可得a n=a1+2+21+22+…+2n﹣1=2+=2n，当n=1时，也满足，故{a n}的通项公式a n=2n，（n∈N*）【点评】本题考查等比数列的通项公式、用递推式、累加法求通项公式等知识，属中档题．16．（13分）（2017•石景山区一模）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理直接求解角C的大小．（Ⅱ）根据三角形内角和定理消去B，转化为三角函数的问题求解最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）c2=a2+b2﹣ab．即ab=a2+b2﹣c2由余弦定理：cosC==，∵0＜C＜π，∴C=．（Ⅱ）∵A+B+C=π，C=．∴B=，且A∈（0，）．那么：cosA+cosB=cosA+cos（）=sin（），∵A∈（0，）．∴，故得当=时，cosA+cosB取得最大值为1．【点评】本题主要考查了余弦定理的运用和三角函数的有界限求解最值问题．属于基础题．17．（13分）（2017•石景山区一模）“累积净化量（CCM）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801﹣2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累积净化量（CCM）有如下等级划分：为了了解一批空气净化器（共2000台）的质量，随机抽取n台机器作为样本进行估计，已知这n台机器的累积净化量都分布在区间（4，14]中，按照（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，均匀分组，其中累积净化量在（4，6]的所有数据有：4.5，4.6，5.2，5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图．（Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中的x值；（Ⅱ）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台？（Ⅲ）从累积净化量在（4，6]的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）先求出在（4，6]之间的数据一共有6个，再由频布直方图得：落在（4，6]之间的频率为0.03×2=0.06，由此能求出n的值及频率分布直方图中的x值．（Ⅱ）由频率分布直方图可知：落在（6，8]之间共24台，在（5，6]之间共4台，从而落在（5，8]之间共28台，由此能估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台．（Ⅲ）设“恰好有1台等级为P2”为事件B，依题意落在（4，6]之间共6台，属于国标P2级的有4台，则从（4，6]中随机抽取2台，基本事件总数n=，事件B包含的基本事件个数m==8，由此能求出恰好有1台等级为P2的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵在（4，6]之间的数据一共有6个，再由频布直方图得：落在（4，6]之间的频率为0.03×2=0.06，∴n==100，由频率分布直方图的性质得：（0.03+x+0.12+0.14+0.15）×2=1，解得x=0.06．（Ⅱ）由频率分布直方图可知：落在（6，8]之间共：0.12×2×100=24台，又∵在（5，6]之间共4台，∴落在（5，8]之间共28台，∴估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有560台．（Ⅲ）设“恰好有1台等级为P2”为事件B，依题意落在（4，6]之间共6台，属于国标P2级的有4台，则从（4，6]中随机抽取2台，基本事件总数n=，事件B包含的基本事件个数m==8，∴恰好有1台等级为P2的概率P（B）=．【点评】本题考查频率分布直方图的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．18．（14分）（2017•石景山区一模）如图，在△ABC中，∠C为直角，AC=BC=4．沿△ABC的中位线DE，将平面ADE折起，使得∠ADC=90°，得到四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积；（Ⅲ）M是棱CD的中点，过M作平面α与平面ABC平行，设平面α截四棱锥A﹣BCDE所得截面面积为S，试求S的值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由DE∥BC，∠C=90°，得DE⊥AD，同时DE⊥DC，又AD∩DC=D，可得DE⊥平面ACD，又DE∥BC，可证得BC⊥平面ACD；（Ⅱ）由BC⊥平面ACD，又AD⊂平面ADC，得AD⊥BC，又∠ADC=90°，可得AD⊥DC，又BC∩DC=C，可证得AD⊥平面BCDE，利用等积法即可求出三棱锥E﹣ABC的体积；（Ⅲ）分别取AD，EA，AB的中点N，P，Q，并连接MN，NP，PQ，QM，由平面α∥平面ACD，得平面α与平面ACD的交线平行于AC，由M是中点，可得平面α与平面ACD的交线是△ACD的中位线MN，同理可证，四边形MNPQ 是平面α截四棱锥A﹣BCDE的截面，即S=S MNPQ，由（Ⅰ）可知，BC⊥平面ACD，可得BC⊥AC，又QM∥AC，MN∥BC，可得QM⊥MN，即可得到四边形MNPQ是直角梯形，在Rt△ADC中，AD=CD，求出AC，进一步求出MN，NP，MQ，则S的值可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵DE∥BC，∠C=90°，∴DE⊥AD，同时DE⊥DC，又AD∩DC=D，∴DE⊥平面ACD．又∵DE∥BC，∴BC⊥平面ACD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，BC⊥平面ACD，又AD⊂平面ADC，∴AD⊥BC．又∵∠ADC=90°，∴AD⊥DC．又∵BC∩DC=C，∴AD⊥平面BCDE．∴=；（Ⅲ）解：分别取AD，EA，AB的中点N，P，Q，并连接MN，NP，PQ，QM，∵平面α∥平面ACD，∴平面α与平面ACD的交线平行于AC，∵M是中点，∴平面α与平面ACD的交线是△ACD的中位线MN，同理可证，四边形MNPQ是平面α截四棱锥A﹣BCDE的截面，即S=S MNPQ．由（Ⅰ）可知，BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，又∵QM∥AC，MN∥BC，∴QM⊥MN．∴四边形MNPQ是直角梯形．在Rt△ADC中，AD=CD=2，∴AC=．MN=AC=2，NP=，MQ=．∴S=（1+3）×．【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查利用等积法求体积，考查平面α截四棱锥A﹣BCDE所得截面面积的求法，考查空间想象能力及思维能力，是难题．19．（13分）（2017•石景山区一模）已知函数f（x）=e x．（Ⅰ）过原点作曲线y=f（x）的切线，求切线的方程；（Ⅱ）当x＞0时，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．【分析】（I）先求出其导数，利用导数得出切线的斜率即可；（II）由f（x）=mx2，令h（x）=（x＞0），利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设切线方程为y=kx，切点为（x0，y0），则，∴x0=1，k=e，∴函数y=f（x）的图象过原点的切线方程为y=ex；（Ⅱ）当x＞0，m＞0时，令f（x）=mx2，化为m=，令h（x）=（x＞0），则h′（x）=，则x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．∴当x=2时，h（x）取得极小值即最小值，h（2）=．∴当m∈（0，）时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为0；当m=时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为1；当m＞时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点个数为2．【点评】本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程的根的个数等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．20．（14分）（2017•石景山区一模）已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=+m与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可知b=1，e===，即可求得a的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨AC丨及丨MN丨，丨BN丨2=丨AC丨2+丨MN丨2=，即可求得B，N两点间距离是否为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，过点（0，1），则b=1，由椭圆的离心率e===，则a=2，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段中点M（x0，y0），则，整理得：x2+2mx+2m2﹣2=0，由△=（2m）2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，解得：﹣＜m＜，则x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2，则M（﹣m，m），丨AC丨=•=•=由l与x轴的交点N（﹣2m，0），则丨MN丨==，∴丨BN丨2=丨BM丨2+丨MN丨2=丨AC丨2+丨MN丨2=，∴B，N两点间距离是否为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．。

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1 2018年石景山区高三统一测试数学（理）试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设集合，集合，则

（）

A. B. C. D. 【答案】A

【解析】，选A. 考点：集合的基本运算. 2. 下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的函数为（）

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得，对于函数和函数都是非奇非偶函数，排除A、C．又函数在区间上单调递减，在区间单调递增，排除D，故选A． 3. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（） 2

A. B. C. D. 【答案】C

【解析】当时，满足进行循环的条件，执行循环体后，，；当时，满足进行循环的条件，执行循环体后，，；当时，满足进行循环的条件，执行循环体后，，；不满足进行循环的条件，故输出结果为4，故选C. 4. 在中，，，，则的面积为（）

A. B. C. D. 【答案】C

【解析】∵中，，，，由正弦定理得：，∴，

解得，∴，，∴的面积，故选C. 5. 若某多面体的三视图（单位：）如图所示，则此多面体的体积是（）

A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体为上部是一个平放的五棱柱，其高为，侧视图为其底面， 3

底面多边形可看作是边长为的正方形截去一个直角边为的等腰直角三角形而得到，其面积为，所以几何体的体积为，故选A．点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．

6. 现有种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种

颜色，则不同的涂色方法共有（）

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

【答案】D

【解析】分两种情况：一种情况是用三种颜色有；二种情况是用四种颜色有.所以不同的着色方法共有48人 7. 设，则“”是“”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】C 4

【解析】试题分析：当时，，当一正一负时，，当时，，所以，故选C．考点：充分必要条件．

8. 如图，已知线段上有一动点（异于）,线段,且满足（是

大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分

C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分

【答案】B

【解析】以线段所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设是运动轨迹上任一点，且，则，所以，，

所以，即，即且，所以点的运动轨迹为椭圆的一部分，故选B．点睛：本题考查轨迹方程的求解问题，对于求轨迹方程的常用方法有：(1)直接法：直接利用条件建立之间的关系；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．(4)代入(相关点)法：动点依赖于另一动点的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 双曲线的焦距是________,渐近线方程是________.

【答案】 (1). (2). 【解析】由题意得：，，，∴焦距为，

渐近线方程为. 5

考点：双曲线的标准方程及其性质 10. 若变量满足则的最大值是____________. 【答案】10 【解析】由约束条件作出可行域如图，

∵，，∴，联立，解得，

∵，∴的最大值是10，故答案为10. 点睛：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题；由约束条件作出可行域，然后结合的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得的最大值.

【答案】【解析】圆的参数方程化为平面直角坐标方程为，直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为，如右图所示，圆心到直线的距离， 6

故圆截直线所得的弦长为 12. 已知函数，若关于的方程有两个不同零点，则的取值范围是

_____________．【答案】

【解析】作出的函数图象如图所示：

方程有两个不同零点，即和的图象有两个交点，由图可得的取值范围是，故答案为.

13. 如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，

如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________． 7

【答案】【解析】由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到个正方形，则有，∴，∴最小正方形的边长为，故答案为. 14. 设是由一平面内的个向量组成的集合．若，且的模不小于中除外的所

有向量和的模．则称是的极大向量.有下列命题： ①若中每个向量的方向都相同，则中必存在一个极大向量；

②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得

中的每个元素都是极大向量； ③若中的每个元素都是极大向量，且中无公共元素，则中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是_______________．【答案】②③

【解析】①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由于

成立，故围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；（3）3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为，故、中的中的每个元素都是极大向量时，中的每一个元素也都是极大向量，故正确，故答案为②③. 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 已知函数

（1）求函数的最小正周期;

（2）求函数在区间上的最小值和最大值.

【答案】（1）；（2）， 8

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据三角函数的恒等变换，化简得，即可求解函数的最小正周期；（Ⅱ）由，得，利用正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的最大值与最小值．试题解析：（1）

所以周期为. （2）因为，所以. 所以当时，即时. 当时,即时. 16. 抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内

20名同学今年春节期间抢到红包金额（元）如下（四舍五入取整数）： 102 52 41 121 72 162 50 22 158 46 43 136 95 192 59 99 22 68 98 79 对这20个数据进行分组，各组的频数如下：组别红包金额分组频数 A 0≤x＜40 2 B 40≤x＜80 9 C 80≤x＜120 m D 120≤x＜160 3 E 160≤x＜200 n 9

（1）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；

（2）记C组红包金额的平均数与方差分别为、，E组红包金额的平均数与方差分别为、，试分别比较与、与的大小；（只需写出结论）（3）从A，E两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为，求的分布列

和数学期望．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设数据表，即可求解得知，作出判断；（Ⅱ）根据平均数和方程的公式，分别计算的值，即作出比较；（Ⅲ）由题意组两个数据为，组两个数据为，列出基本事件的总数，找到满足条件的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．试题解析：（1）m=4，n=2，B；（2）<，<；（3）A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192任取两个数据，可能的组合为

(22，22)，(22，162)，(22，192)，(22，162)，(22，192)，(162，192)，共6种结果记数据差

的绝对值大于100为事件A，事件A包括4种结果所以. 17. 如图，四边形是正方形，平面，//，，，为

的中点．

（1）求证：；（2）求证：//平面；