【必考题】数学高考试题含答案
全国统一高考数学试卷(新课标)(含解析版)(1)
全国统一高考数学试卷（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．3．（5分）已知复数Z=，则|z|=（）A．B．C．1D．24．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1B．y=﹣x+1C．y=2x﹣2D．y=﹣2x+25．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa28．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}10．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（）A．B．C．D．11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD 的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为．14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（x）（i=1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．18．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：男女性别是否需要志愿者需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k）0.0500.0100.0013.841 6.63510.828附：K2=．20．（10分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E 相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．21．设函数f（x）=x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．全国统一高考数学试卷（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由题意可得A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B={0，1，2}故选：D．【点评】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属于基础试题2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】先设出的坐标，根据a=（4，3），2a+b=（3，18），求出坐标，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦【解答】解：设=（x，y），∵a=（4，3），2a+b=（3，18），∴∴cosθ==，故选：C．【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一．3．（5分）已知复数Z=，则|z|=（）A．B．C．1D．2【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得Z=，由复数的模长公式可得答案．【解答】解：化简得Z===•=•=•=，故|z|==，故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的模长，属基础题．4．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1B．y=﹣x+1C．y=2x﹣2D．y=﹣2x+2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】1：常规题型；11：计算题．【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y=x3﹣2x+1，y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先求渐近线斜率，再用c2=a2+b2求离心率．【解答】解：∵渐近线的方程是y=±x，∴2=•4，=，a=2b，c==a，e==，即它的离心率为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的几何性质．6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R满足（2R）2=6a2，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：根据题意球的半径R满足（2R）2=6a2，所以S=4πR2=6πa2．球故选：B．【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．8．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】28：操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选：D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．10．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案．【解答】解：∵α是第三象限的角∴sinα=﹣=﹣，所以sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的．11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据点坐标与向量坐标之间的关系，利用向量相等求出顶点D的坐标是解决问题的关键．结合线性规划的知识平移直线求出目标函数的取值范围．【解答】解：由已知条件得⇒D（0，﹣4），由z=2x﹣5y得y=，平移直线当直线经过点B（3，4）时，﹣最大，即z取最小为﹣14；当直线经过点D（0，﹣4）时，﹣最小，即z取最大为20，又由于点（x，y）在四边形的内部，故z∈（﹣14，20）．如图：故选B．【点评】本题考查平行四边形的顶点之间的关系，用到向量坐标与点坐标之间的关系，体现了向量的工具作用，考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为x2+y2=2．【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．【分析】可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解答】解：圆心到直线的距离：r=，所求圆的方程为x2+y2=2．故答案为：x2+y2=2【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（x）（i=1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．【考点】CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．【分析】由题意知本题是求∫01f（x）dx，而它的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，积分得到结果．【解答】解：∵∫01f（x）dx的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，∴根据几何概型易知∫01f（x）dx≈．故答案为：．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的①②③⑤（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】一个几何体的正视图为一个三角形，由三视图的正视图的作法判断选项．【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形；故答案为：①②③⑤【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD=2+．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB，AC，把已知条件代入整理，根据BC=3BD推断出CD=2BD，进而整理AC2=CD2+2﹣2CD 得AC2=4BD2+2﹣4BD把AC=AB，代入整理，最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD．【解答】用余弦定理求得AB2=BD2+AD2﹣2AD•BDcos135°AC2=CD2+AD2﹣2AD•CDcos45°即AB2=BD2+2+2BD ①AC2=CD2+2﹣2CD ②又BC=3BD所以CD=2BD所以由（2）得AC2=4BD2+2﹣4BD（3）因为AC=AB所以由（3）得2AB2=4BD2+2﹣4BD （4）（4）﹣2（1）BD2﹣4BD﹣1=0求得BD=2+故答案为：2+【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{a n}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．【解答】解：（1）由a n=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得a1+9d=﹣9，a1+2d=5解得d=﹣2，a1=9，数列{a n}的通项公式为a n=11﹣2n（2）由（1）知S n=na1+d=10n﹣n2．因为S n=﹣（n﹣5）2+25．所以n=5时，S n取得最大值．【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．18．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．【专题】11：计算题；14：证明题；35：转化思想．【分析】（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBD，只需证明平面PAC内的直线AC，垂直平面PBD内的两条相交直线PH，BD即可．（Ⅱ），∠APB=∠ADB=60°，计算等腰梯形ABCD的面积，PH是棱锥的高，然后求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】解：（1）因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高．所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．所以AC⊥平面PBD．故平面PAC⊥平面PBD（6分）（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=．所以HA=HB=．因为∠APB=∠ADB=60°所以PA=PB=，HD=HC=1．可得PH=．等腰梯形ABCD的面积为S=ACxBD=2+（9分）所以四棱锥的体积为V=×（2+）×=．（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，计算能力，推理能力，是中档题．19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：男女性别是否需要志愿者需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k）0.0500.0100.0013.841 6.63510.828附：K2=．【考点】BL：独立性检验．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求K2的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为（2）K2的观测值因为9.967＞6.635，且P（K2≥6.635）=0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（10分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题．【分析】（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，再由|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，能够求出|AB|的值．（2）L的方程式为y=x+c，其中，设A（x1，y1），B（x1，y1），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小．【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得（2）L的方程式为y=x+c，其中设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．则．因为直线AB的斜率为1，所以即．则．解得．【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．21．设函数f（x）=x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（I）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax），令g（x）=e x﹣1﹣ax，分类讨论，确定g（x）的正负，即可求得a的取值范围．【解答】解：（I）a=时，f（x）=x（e x﹣1）﹣x2，=（e x﹣1）（x+1）令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax）．令g（x）=e x﹣1﹣ax，则g'（x）=e x﹣a．若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）=0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．综合得a的取值范围为（﹣∞，1]．另解：当x=0时，f（x）=0成立；当x＞0，可得e x﹣1﹣ax≥0，即有a≤的最小值，由y=e x﹣x﹣1的导数为y′=e x﹣1，当x＞0时，函数y递增；x＜0时，函数递减，可得函数y取得最小值0，即e x﹣x﹣1≥0，x＞0时，可得≥1，则a≤1．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．【专题】14：证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。
2024年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)[含答案]
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2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则 {1A =9}{|1}B x x A =+∈(A B = )A ．，2，3，B ．，2，C ．，D ．，2，{14}{13}{34}{19}2．设，则 z =(z z ⋅=)A ．B ．1C ．D ．2i-1-3．若实数，满足约束条件则的最小值为 x y 4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩ 5z x y =-()A ．5B ．C ．D ．122-72-4．等差数列的前项和为，若， {}n a n n S 91S =37(a a +=)A ．B ．C ．1D ．2-73295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ()A ．B ．C ．D ．141312236．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是 1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -C ()A ．4B ．3C ．2D 7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为 6()31f x x x =+-(0,1)-()A ．BC ．D ．16128．函数的区间，的图像大致为 2()()sin xx f x x e ex -=-+-[ 2.8- 2.8]()A ．B ．C ．D ．9．已知 cos cos sin ααα=-tan()(4πα+=)A ．B ．CD．1+1-1-10．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为 20ax y a ++-=22:410C x y y ++-=A B ||AB ()A ．2B ．3C ．4D ．611．已知、是两个平面，、是两条直线，．下列四个命题：αβm n m αβ= ①若，则或//m n //n α//n β②若，则，m n ⊥n α⊥n β⊥③若，且，则//n α//n β//m n ④若与和所成的角相等，则n αβm n ⊥其中，所有真命题的编号是 ()A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①③④12．在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则 ABC ∆A B C a b c 3B π=294b ac =sin sin (A C +=)A ．BCD32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数在，上的最大值是 ()sin f x x x =[0]π14．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的2r 1r 122()r r -123()r r -体积之比 ．V V =甲乙15．已知，，则 ．1a >8115log log 42a a -=-a =16．曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．33y x x =-2(1)y x a =--+(0,)+∞a 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等比数列的前项和为，且．{}n a n n S 1233n n S a +=-（1）求的通项公式；{}n a （2）求数列的通项公式．{}n S 18．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲、乙两车间产95%99%品的估级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率．设为升级改造后抽取的件产品的优级品率．如0.5p =p n 果，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认p p >+12.247)≈附：，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P K k 0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均A B C D E F ABCD CDEF 为等腰梯形，，，，，，，//AB CD //CD EF 2AB DE EF CF ====4CD =AD BC ==AE =为的中点．M CD （1）证明：平面；//EM BCF （2）求点到的距离．M ADE20．（12分）已知函数．()(1)1f x a x lnx =--+（1）求的单调区间；()f x （2）若时，证明：当时，恒成立．2a 1x >1()x f x e -<21．（12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴．2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 3(1,2M C MF x ⊥（1）求椭圆的方程；C （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，直线与交于，证明：(4,0)P C A B N FP NB MF Q 轴．AQ y ⊥（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线xOy O x 的极坐标方程为．C cos 1ρρθ=+（1）写出的直角坐标方程；C （2）直线为参数），若与交于、两点，，求的值．:(x tl t y t a =⎧⎨=+⎩C l A B ||2AB =a [选修4-5：不等式选讲]23．实数，满足．a b 3a b + （1）证明：；2222a b a b +>+（2）证明：．22|2||2|6a b b a -+-2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则 {1A =9}{|1}B x x A =+∈(A B = )A ．，2，3，B ．，2，C ．，D ．，2，{14}{13}{34}{19}【解析】：，2，3，4，5，，，1，2，3，4，，{1A =9}{|1}{0B x x A =+∈=8}则，2，3，．故选：．{1A B = 4}A 2．设，则 z =(z z ⋅=)A ．B ．1C ．D ．2i-1-解法一：，则．故选：．z =z =()2z z ⋅=⋅=D 解法二：22z z z ⋅==3．若实数，满足约束条件则的最小值为 x y 4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩5z x y =-()A ．5B ．C ．D ．122-72-【解析】：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示：4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩将约束条件两两联立可得3个交点：，，，(0,1)C -3(,1)2A 1(3,)2B 由得，则可看作直线在轴上的截距，5z x y =-1155y x z =-15z -1155y x z =-y 经检验可知，当直线经过点，时，最小，代入目标函数可得：．3(2A 1)z 72min z =-故选：．D 4．等差数列的前项和为，若， {}n a n n S 91S =37(a a +=)A ．B ．C ．1D ．2-7329解法一：，则，解得．故选：．91S =193799()9()122a a a a S ++===3729a a +=D 解法二：利用等差数列的基本量由，根据等差数列的求和公式，，91S =9119891,93612dS a a d ⨯=+=∴+=.()37111122262893699a a a d a d a d a d +=+++=+=+=解法三：特殊值法不妨取等差数列公差，则，则.故选：D0d =9111199S a a ==⇒=371229a a a +==解法四：【构造法】：设的公差为，利用结论是首项为，公差为的等差数列，{}n a d n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1a 2d 则，，()911118428922S d a a d a d =+=+=+371112628a a a d a d a d +=+++=+则，所以.故选：D ()()9111371118428==92229S d a a d a d a a =+=+=++3729a a +=解法五：根据题意，故选：D375922299a a a S +===5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ()A ．B ．C ．D ．14131223【解析】：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有种可能，4424A =丙不在排头，且甲或乙在排尾的情况有种可能，故．故选：．1122228C C A=81243P ==B 6．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是 1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -C ()A ．4B ．3C．2D 解法一：因为双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -所以，，，12||8F F =1||6PF =2||10PF ==则双曲线的离心率．故选：．C 2822106c e a ===-C 解法二：点纵坐标相同，所以是通径的一半即1P F 、1||PF 21||6b PF a ==则即，则双曲线的离心率．故选：．2166a a -=2a =C 224c e a ===C 解法三：双曲线的离心率C 121221086F F e PF PF ===--解法四 ：根据焦点坐标可知4c =，根据焦点在y 轴上设双曲线方程为22221y xa b -=，则22221636116a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，则2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩2c e a ==7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为 6()31f x x x =+-(0,1)-()A ．BC ．D ．1612【解析】：因为，所以，曲线在处的切线斜率，6()3f x x x =+5()63f x x '=+(0,1)-3k =故曲线在处的切线方程为，即，(0,1)-13y x +=31y x =-则其与坐标轴围成的面积．故选：．1111236S =⨯⨯=A 8．函数的区间，的图像大致为 2()()sin x x f x x ee x -=-+-[ 2.8-2.8]()A ．B ．C ．D ．解法一：，2()()sin x x f x x e e x -=-+-则，故为偶函数，故错误；22()()()sin()()sin ()x x x x f x x e e x x e e x f x ---=--+--=-+-=()f x AC （1），故错误，正确．f 1111111()sin11()sin 1062242e e e e e e eπ-=-+->-+-=-->->D B 故选：．B 解法二：函数为偶函数。
数学高考考试题及答案
数学高考考试题及答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(-1)的值。
A. 4B. 5C. 6D. 7答案：A2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，求A∩B。
A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}答案：B3. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的点积。
A. -2B. 5C. 11D. 14答案：C4. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，求第5项a5。
A. 17B. 18C. 19D. 20答案：A5. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心到直线x + y - 6 = 0的距离。
A. 0B. 3C. 4D. 5答案：B二、填空题1. 已知函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求g(2)的值。
答案：52. 已知复数z = 2 + 3i，求z的共轭复数。
答案：2 - 3i3. 已知直线方程为y = 2x + 1，求该直线与x轴的交点坐标。
答案：(-1/2, 0)4. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 4，公比q = 2，求第4项b4。
答案：325. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3，b = 4，c = 5，求三角形ABC的面积。
答案：6三、解答题1. 已知函数h(x) = x^2 - 4x + 4，求该函数的最小值。
答案：02. 已知矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵A的行列式。
答案：-23. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求函数f(x)的对称轴。
答案：x = 34. 已知抛物线方程为y = -2x^2 + 4x + 1，求抛物线的顶点坐标。
答案：(1, 3)5. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 6x + 8y - 24 = 0，求圆的半径。
【必考题】高考数学试题(及答案)
【必考题】高考数学试题(及答案)一、选择题1．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对2．()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A ．23B ．35C ．25D ．154．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30的等腰三角形5．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）A ．34B ．16 C ．1112D ．25246．已知平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),则向量b 在向量a 方向上的投影为( ) A ．1B ．-1C ．2D ．-27．函数()23x f x x+=的图象关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y x =对称8．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则下列结论错误的是（ ）x3 4 5 6 y 2.5t44.5A ．产品的生产能耗与产量呈正相关B ．回归直线一定过4.5,3.5（） C ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨 D ．t 的值是3.1510．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．3211．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．样本12310,?,?,? a a a a ⋅⋅⋅的平均数为a ，样本12310,?,?,? b b b b ⋅⋅⋅的平均数为b ，那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a b a b ⋅⋅⋅的平均数为（ ）A ．()a b +B ．2()a b +C ．1()2a b + D ．1()10a b + 二、填空题13．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 14．已知0x >，0y >，0z >，且36x y z ++=，则323x y z ++的最小值为_________．15．若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．16．已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为 ．17．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 18．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．19．计算：1726cos()sin 43ππ-+=_____． 20．已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第一象限内的点00(,)M x y 在双曲线1C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，若以2F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，则双曲线1C 的离心率为_______．三、解答题21．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2nn na b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()()211422nnn n n nn c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 22．已知曲线C ：（t 为参数）， C ：（为参数）．（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 上的点P 对应的参数为，Q 为C 上的动点，求中点到直线（t 为参数）距离的最小值．23．设()34f x x x =-+-.（Ⅰ）求函数()2()g x f x =-（Ⅱ）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.24．已知函数1(1)f x m x x =---+. （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.25．2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市简称创文”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分，内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；市民对公交站点布局的满意率不低于即可进行验收；用样本的频率代替概率．求被调查者满意或非常满意该项目的频率；若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率； 已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望．26．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11D C ，11C B 的中点，ACBD P =，11A C EF Q =.求证：（1）D B F E ，，，四点共面；（2）若1A C 交平面DBEF 于R 点，则P Q R ，，三点共线.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2252R =，再由球的表面积公式，即可求解． 【详解】设球的半径为R ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得2R =2252R =，所以球的表面积为22544502S R πππ==⨯=球. 故选：B 【点睛】本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项． 【详解】由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()22x xe ef x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22x xe ef x x x --=+-为奇函数，排除D 选项根据解析式分母不为0可知,定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项 当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项 所以选A【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．3．B解析：B 【解析】 【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解． 【详解】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B ，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,c,},{,c,}b A b B 共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，选B ． 【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．4．C解析：C 【解析】 【分析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状. 【详解】由正弦定理可知sin sin sin A B Ca b c ==，又sin cos cos A B C a b c==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==.所以45B C ==.所以180454590A =--=. 所以ABC ∆为等腰直角三角形. 故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.5．C解析：C 【解析】由算法流程图知s ＝0＋12＋14＋16＝1112.选C. 6．B解析：B 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到a (a +2b ),=0，化简得到a b =﹣2，再根据投影的定义即可求出． 【详解】∵平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ), ∴a (a +2b ),=0， 即()2·20a a b += 即a b =﹣2∴向量b 在向量a 方向上的投影为·22a b a -==﹣1， 故选B ． 【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．7．C解析：C 【解析】 【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可． 【详解】解：()f x =0x ∴≠解得0x ≠()f x ∴的定义域为()(),00,D =-∞+∞，D 关于原点对称.任取x D ∈，都有()()f x f x x-===，()f x ∴是偶函数，其图象关于y 轴对称，故选：C . 【点睛】本题主要考查函数图象的判断，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．解析：A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可. 【详解】根据祖暅原理，当12,S S 总相等时，12,V V 相等，所以充分性成立；当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.所以“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.9．D解析：D 【解析】 由题意，x =34564+++=4.5， ∵ˆy=0.7x+0.35， ∴y =0.7×4.5+0.35=3.5， ∴t=4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5=3， 故选D ．10．B解析：B 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。
数学高考真题答案及解析版
数学高考真题答案及解析版一、选择题1. 本题考查函数的性质和应用。
设函数f(x) = 2^x - 3，若f(x) = 5，则x = 2。
因为f(x)在R上是增函数，所以f(x) > 5 当 x > 2。
因此，选项A正确。
2. 根据题目，我们需要求解不等式。
首先，将不等式整理为标准形式：3x - 2 > 7。
解得x > 3，所以选项C是正确答案。
3. 题目涉及三角函数的图像和性质。
正弦函数y = sin(x)在区间[0,2π]内的最大值为1，最小值为-1。
因此，选项B描述正确。
4. 这是一个关于复数的问题。
设复数z = a + bi，其中a和b是实数。
根据题目条件，z的模长为5，即√(a^2 + b^2) = 5。
又因为z的实部为3，即a = 3。
代入模长公式，解得b = 4。
所以，复数z = 3 +4i，选项D正确。
5. 本题要求我们利用概率的基本原理计算事件的概率。
根据古典概型，事件A的概率P(A) = 事件A的基本事件数 / 总的基本事件数。
这里，事件A是抽取到红色球，有3个红色球和5个蓝色球，总共8个球。
所以，P(A) = 3/8。
选项B是正确答案。
二、填空题1. 题目要求求解几何级数的和。
根据等比数列求和公式，S = a(1 -r^n) / (1 - r)，其中a是首项，r是公比，n是项数。
将题目中的数值代入公式，得到S = 1(1 - 2^5) / (1 - 2) = 31/(-1) = -31。
2. 本题考查圆的方程和直线与圆的位置关系。
设圆心为O(0,0)，半径r = 3。
直线方程为y = x + 1。
圆心到直线的距离d = |0 - 0 + 1|/ √2 = 1/√2。
因为 d < r，所以直线与圆相交。
根据相交弦的性质，弦长l = 2√(r^2 - d^2) = 2√(9 - 1/2) = √34。
三、解答题1. 首先，我们需要证明函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在区间[0,3]上是单调递增的。
【必考题】数学高考试题(带答案)
【必考题】数学高考试题(带答案)一、选择题1．在复平面内，O 为原点，向量OA 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB 对应的复数为( ) A ．2i -+ B ．2i -- C ．12i +D ．12i -+2．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27B ．11C ．109D ．363．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④4．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,32⎡⎢⎣⎦C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦5．设i 为虚数单位，复数z 满足21ii z=-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-iB ．-1-iC ．1+iD ．-1+i6．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A ．2B ．2C D ．27．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（ ）A BC D ．48．设R λ∈，则“3λ=-”是“直线2(1)1x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ）A ．14B ．12C ．2D10．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1011．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．12．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2C 3D 2二、填空题13．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 14．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，3a =b=1,则c =_____________15．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．16．函数()23s 34f x in x cosx =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 17．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．18．已知点()0,1A ，抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:3FM MN =，则实数a 的值为__________．19．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 20．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.三、解答题21．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.22．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，连接BD ，其中DA DP =，BA BP =.（1）求证：PA BD ⊥；（2）若DA DP ⊥，060ABP ∠=，2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.23．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.24．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ； （2）平面//EFG 平面11BDD B . 25．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy ，已知曲线3:sin x a C y a⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），在以O 原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2cos()124πρθ+=-． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 的距离之积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】首先根据向量OA 对应的复数为12i -+，得到点A 的坐标，结合点A 与点B 关于直线y x =-对称得到点B 的坐标，从而求得向量OB 对应的复数，得到结果.【详解】复数12i -+对应的点为(1,2)A -， 点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -，所以向量OB 对应的复数为2i -+． 故选A ． 【点睛】该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由秦九韶算法可得()())((())532231? 02311,f x x x x x x x x x x =++++=+++++ 0ν1∴=1ν=1303⨯+= 2ν33211=⨯+= 3ν113336=⨯+=故答案选D3．C解析：C 【解析】试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时22x y>不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.4．C解析：C 【解析】 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝1[,1)3c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围。
【必考题】高考数学试卷附答案
【必考题】高考数学试卷附答案一、选择题1．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a b a b αβ⊂⊂，，，则αβ∥D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥2．已知集合{}{}x -1<x 1Q=x 0x 2P =<<<，，那么P Q=⋃A ．（-1,2）B ．（0，1）C ．（-1,0）D ．（1,2） 3．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）A ．A 与BB ．B 与C C ．A 与D D ．C 与D 4．若满足sin cos cos A B C a b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30的等腰三角形 5．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A ．13B ．12C ．23D ．56 6．在二项式n 的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ）A ．16B ．14C ．512D ．137．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）A ．34B ．16 C ．1112 D ．2524 8．函数()23x f x x +=的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称 D ．直线y x =对称 9．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m α，m n ⊥，则n α⊥；②若m α⊥，n α，则m n ⊥；③若,m n 是异面直线，m α⊂，m β，n β⊂，n α，则αβ∥；④若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面.其中为真命题的是（ ）A ．②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②④ 10．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ）A ．32B ．0.2C ．40D ．0.2511．将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( )A ．B ．C ．0D ．4π- 12．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12B ．122±C ．1102±D ．3222± 二、填空题13．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2xπ的值介于1[0,]2的概率为 ． 14．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.15．()sin 5013tan10+=________________.16．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅=______．17．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则b a 的取值范围是__________． 18．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.19．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ .20．若函数2()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是__________．三、解答题21．已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1-（1）求m 的值；（2）若,,a b c ∈R ，且11123m a b c++=，求证239a b c ++≥ 22．△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.23．在ABC △中，BC a =，AC b =，已知a ，b 是方程22320x x -+=的两个根，且2cos()1A B +=．（1）求角C 的大小；（2）求AB 的长．24．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy ，已知曲线3:sin x a C y a⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），在以O 原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()124πρθ+=-． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 的距离之积．25．已知(3cos ,cos )a x x =，(sin ,cos )b x x =，函数()f x a b =⋅.（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当(,]x ππ∈-时，求()f x 单调递增区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误；B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误；C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误；故选D.2．A解析：A【解析】利用数轴，取,P Q 所有元素，得PQ =(1,2)-． 【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 3．C解析：C【解析】分析：利用互斥事件、对立事件的概念直接求解判断即可.详解：在A 中，A 与B 是对立事件，故不正确；在B 中，B 与C 能同时发生，不是互斥事件，所以不正确；在C 中，A 与D 两个事件不能同时发生，但能同时不发生，所以是互斥事件，但不是对立事件，所以是正确的；在D 中，C 与D 能同时发生，不是互斥事件，所以是错误的.综上所述，故选C.点睛：本题主要考查了命题的真假判定，属于基础题，解答时要认真审题，注意互斥事件与对立事件的定义的合理运用，同时牢记互斥事件和对立事件的基本概念是解答的基础.4．C解析：C【解析】【分析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状.【详解】 由正弦定理可知sin sin sin A B C a b c ==，又sin cos cos A B C a b c==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==. 所以45B C ==.所以180454590A =--=.所以ABC ∆为等腰直角三角形.故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.5．C解析：C【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C. 【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举. 6．C解析：C【解析】【分析】先根据前三项的系数成等差数列求n ，再根据古典概型概率公式求结果【详解】因为n 前三项的系数为1212111(1)1,,112448n n n n n n C C C C n -⋅⋅∴=+⋅∴-=163418118,0,1,2,82r rr r n n T C x r -+>∴=∴=⋅=，当0,4,8r =时，为有理项，从而概率为636799512A A A =,选C. 【点睛】本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.7．C解析：C【解析】由算法流程图知s ＝0＋12＋14＋16＝1112.选C. 8．C 解析：C【解析】【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可．【详解】解：()f x x= 0x ∴≠解得0x ≠()f x ∴的定义域为()(),00,D =-∞+∞，D 关于原点对称. 任取x D ∈，都有()()f x f x x-===， ()f x ∴是偶函数，其图象关于y 轴对称，故选：C .【点睛】本题主要考查函数图象的判断，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．9．A解析：A【解析】【分析】根据空间中点、线、面位置关系，逐项判断即可.【详解】①若m α，m n ⊥，则n 与α位置关系不确定；②若n α，则α存在直线l 与n 平行，因为m α⊥，所以m l ⊥，则m n ⊥；③当m α⊂，m β，n β⊂，n α时，平面α，β平行；④逆否命题为：若m 与n 垂直于同一平面，则,m n 平行，为真命题.综上，为真命题的是②③④.故选A【点睛】本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记线面关系、面面关系，即可求解，属于常考题型.10．A解析：A【解析】试题分析：据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．解：设间一个长方形的面积S 则其他十个小长方形面积的和为4S ，所以频率分布直方图的总面积为5S 所以中间一组的频率为所以中间一组的频数为160×0.2=32故选A点评：本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．注意频率分布直方图的纵坐标是．11．B解析：B【解析】 得到的偶函数解析式为sin 2sin 284y x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，显然.4πϕ= 【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦选择合适的ϕ值通过诱导公式把sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦转化为余弦函数是考查的最终目的.12．A解析：A【解析】【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项.【详解】∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅ ()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅ ()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=. 故选：A.二、填空题13．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率 解析：13【解析】 试题分析：由题意得1220cos,[1,1]112232222333xx x x x x πππππππ≤≤∈-⇒≤≤-≤≤-⇒≤≤-≤≤-或或，因此所求概率为22(1)13.1(1)3-=--考点：几何概型概率 14．【解析】【分析】结合图形可以发现利用三角形中位线定理将线段长度用坐标表示成圆的方程与椭圆方程联立可进一步求解利用焦半径及三角形中位线定理则更为简洁【详解】方法1：由题意可知由中位线定理可得设可得联立【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y -+=， 联立方程22195x y += 可解得321,22x x =-=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PF k ==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=- 求得3152P ⎛-⎝⎭，所以1521512PF k == 【点睛】 本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.15．【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出然后利用辅助角二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值在计算时要结合角之间的关系选择 解析：1【解析】【分析】 利用弦化切的运算技巧得出()cos103sin10sin 50cos 0sin 5013t 1an10++=⋅，然后利用辅助角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果.【详解】原式()2sin 1030sin50cos103sin102sin 40cos 40sin50cos10cos10cos10++=⋅==()sin 9010sin80cos101cos10cos10cos10-====. 故答案为：1.【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值，在计算时要结合角之间的关系选择合适的公式化简计算，考查计算能力，属于中等题.16．2【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于D可得Rt△ACD中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C作CD⊥AB于D则D为AB的中点Rt△ACD中可得cosA==2故答解析：2【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于D，可得1 ADAB12==，Rt△ACD中利用三角函数的定义算出1cos AAC=，再由向量数量积的公式加以计算，可得AB AC⋅的值．【详解】过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点．Rt△ACD中，1AD AB12==，可得cosA=11,cosAADAB AC AB AC AB AC ABAC AC AC=∴⋅=⋅=⋅⋅==2．故答案为2【点睛】本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．17．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以解析：2,3)【解析】【分析】【详解】因为ABC∆为锐角三角形，所以0222B AA Bπππ⎧<=<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，所以463AAπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，所以(,)64Aππ∈，所以sin2cossinb BAa A==，所以(2,3)ba∈.18．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H 点则底面三角形的外接圆半径 解析：334或93 【解析】【分析】做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况.【详解】正三棱锥P ABC -的外接球的表面积为16π，根据公式得到21642,r r ππ=⇒= 根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P 点在底面的投影为H 点，则2,2,2OP r OA r OH h =====-，底面三角形的外接圆半径为AH ，根据正弦定理得到0323sin 60= 3. 在三角形OAH 中根据勾股定理得到()223413h h -+=⇒=或 三棱锥的体积为：13ABC h S⨯⨯ 代入数据得到1313313332⨯⨯⨯=或者1319333 3.324⨯⨯⨯= 3393 【点睛】这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.19．【解析】【分析】【详解】∵平面向量与的夹角为∴∴故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)常用来求向量的模解析：【解析】【分析】【详解】∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b ==，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=.∴2222(2)4(2)444a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2) a a a =⋅ 常用来求向量的模．20．【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的解析：18【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到22a x x ≥-在()0,∞+上恒成立，利用二次函数的性质求得22x x -的最大值，进而得到结果.【详解】函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增 ()210a f x x x '∴=-+≥在()0,∞+上恒成立 22a x x ∴≥-在()0,∞+上恒成立 令()22g x x x =-，0x >根据二次函数的性质可知：当14x =时， ()max 18g x = 18a ∴≥，故实数a 的最小值是18本题正确结果：18 【点睛】本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.三、解答题21．（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）由条件可得()2f x m x +=-，故有0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]-，，进而可得结果；（2）根据()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭利用基本不等式即可得结果.【详解】 （1）函数()2f x m x =--，m R ∈，故()2f x m x +=-，由题意可得0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]-，，故1m =． （2）由a ，b ，R c ∈，且111 123m a b c ++==， ∴()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭23321112233b c a c a b a a b b c c =++++++++ 233233692233b c a c a b a a b b c c=++++++≥+=， 当且仅当2332 12233b c a c a b a a b b c c======时，等号成立． 所以239a b c ++≥. 【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题． 22．（Ⅰ）B=4π（Ⅱ）21+ 【解析】【分析】【详解】(1)∵a=bcosC+csinB∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ①在三角形ABC 中，A=－(B+C)∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ②由①和②得sinBsinC=cosBsinC而C ∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB又B(0，)，∴B=(2) S △ABC 12=ac sin B 24=ac ， 由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos4π≥2ac ﹣2ac 22⨯， 整理得：ac 22≤-，当且仅当a ＝c 时，等号成立， 则△ABC 面积的最大值为121222222⨯=-（22+2=1． 23．120o C =,10c =【解析】 试题分析：解：（1）()()1cos cos cos 2C A B A B π⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦，所以120C = （2）由题意得23{2a b ab +==∴222222cos 2cos120AB AC BC AC BC C a b ab =+-⋅⋅=+-=()(22223210a b ab a b ab ++=+-=-= ∴10AB考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题24．（1）曲线C ：2213x y +=，直线l 的直角坐标方程20x y -+=；（2）1. 【解析】试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线C 化为普通方程，再根据cos ,sin x y ρθρθ== 将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线1l 参数方程，代入C 方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点M 到A ，B 的距离之积试题解析：（1）曲线C 化为普通方程为：2213x y +=， 由2cos 124πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得cos sin 2ρθρθ-=-， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．（2）直线1l 的参数方程为212x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2213x y +=化简得：2220t -=， 设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则121t t =-，121MA MB t t ∴⋅==．25．(1) T π= ；26k x ππ=+（k Z ∈）. (2) 5(,]6ππ--，[,]36ππ-和2[,]3ππ 【解析】【分析】（1）化简得()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再求函数的周期和对称轴方程；（2）先求出函数在R 上的增区间为[,36k k ππππ-+] （k Z ∈），再给k 赋值与定义域求交集得解.【详解】解：（1）()23sin cos cos f x a b xx x =⋅=+ 111cos2sin 22262x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 所以()f x 的周期22T ππ==, 令262x k πππ+=+（k Z ∈），即26k x ππ=+（k Z ∈） 所以()f x 的对称轴方程为26k x ππ=+（k Z ∈）. （2）令222262k x k πππππ-≤+≤+ （k Z ∈） 解得36k x k ππππ-≤≤+ （k Z ∈），由于(],x ππ∈- 所以当1,0k =-或1时， 得函数()f x 的单调递增区间为5,6ππ⎛⎤--⎥⎝⎦，,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期的求法和对称轴的求法，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
高考真题数学试卷及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^2 - 3D. x^2 + 3答案：A2. 下列各数中，不是无理数的是（）A. √2B. πC. 0.1010010001...D. √(9/16)答案：D3. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，2，3，则该数列的公差d = （）A. 1B. 2C. 3D. 0答案：B4. 已知复数z = 1 + 2i，则|z| = （）A. 1B. 2C. √5D. 3答案：C5. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则S3 = a1 + a2 + a3 = （）A. a1q^2B. a1(1 + q + q^2)C. a1(1 - q^3) / (1 - q)D. a1(1 - q^2)答案：B6. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^4答案：C7. 若直角三角形ABC中，∠C = 90°，a = 3，b = 4，则斜边c的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A8. 已知圆C：x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则圆心C的坐标为（）A. (2, 3)B. (2, -3)C. (-2, 3)D. (-2, -3)答案：A9. 若直线l的斜率为k，且直线l与x轴的交点为(1, 0)，则直线l的方程为（）A. y = kx + kB. y = kx - kC. y = -kx + kD. y = -kx - k答案：A10. 已知函数f(x) = e^x - x，则f'(x) = （）A. e^x - 1B. e^x + 1C. e^x - xD. e^x + x答案：A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
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本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
由a=14，b=18，a＜b，
则b变为18﹣14=4，
由a＞b，则a变为14﹣4=10，
由a＞b，则a变为10﹣4=6，
由a＞b，则a变为6﹣4=求 的值；
（2）若 ，且 ，求证
25．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.
26．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，线 的极坐标方程是 .
【必考题】数学高考试题含答案
一、选择题
1．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
A． B． C． D．
2．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）
A．由两个圆锥组合成的B．由两个圆柱组合成的
C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
3．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入 分别为14,18，则输出的 （）
【详解】
解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f（b）＜0A、B中不存在f（x）＜0，D中函数不连续．
故选C．
【点睛】
本题考查了二分法的定义，学生的识图能力，是基础题．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案.
【详解】
根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D.
18．如图，圆C（圆心为C）的一条弦AB的长为2，则 =______．
19．高三某班一学习小组的 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，① 不在散步，也不在打篮球；② 不在跳舞，也不在散步；③“ 在散步”是“ 在跳舞”的充分条件；④ 不在打篮球，也不在散步；⑤ 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么 在_________.
7．对于不等式 <n+1(n∈N*),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:
(1)当n=1时, <1+1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即 <k+1.
那么当n=k+1时, =(k+1)+1,
所以当n=k+1时,不等式也成立.
根据(1)和(2),可知对于任何n∈N*,不等式均成立.
14．设 ,且 ,则 ______.
15．若过点 且斜率为 的直线与抛物线 的准线 相交于点 ，与 的一个交点为 ，若 ，则 ____．
16．双曲线 ( ， )的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2，则a=_______________.
17． 的展开式中 的系数是.（用数字填写答案）
通过 ，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A．
【详解】
，可得f(0)=1,排除选项C,D;
由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B，
故选A
【点睛】
图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：利用辅助角公式化简函数为 ,令 ,则 ,所以此时函数即为 .令 有 ,根据题意可知 在 上有两个解,根据 在 函数图像可知,
由a＜b，则b变为4﹣2=2，
由a=b=2，
则输出的a=2．
故选B．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
.
考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像.
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k时的不等式，正确的证明过程如下：
在（2）中假设 时有 成立，即 成立，即 时成立，故选D．
A．0B．2C．4D．14
4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
A．4种B．10种C．18种D．20种
5．函数 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数 上有两个零点，则m的取值范围是
A．（1,2）B．[1,2）C．（1,2]D．[l,2]
（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）己知直线 与曲线 交于 、 两点，且 ，求实数 的值.
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据函数图象理解二分法的定义，函数f（x）在区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f（b）＜0．即函数图象连续并且穿过x轴．
则上述证法（ ）
A．过程全部正确B．n=1验得不正确
C．归纳假设不正确D．从n=k到n=k+1的证明过程不正确
8． 的展开式中 的系数为
A．10B．20C．40D．80
9．已知 ，则 ， 不可能满足的关系是（）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是
A． B．
C． D．
11．在 中， 为锐角， ，则 为（）
20．函数 的定义域是________．
三、解答题
21．在△ABC中，a=7，b=8，cosB= – ．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
22．已知 且 ，求函数 的最大值和最小值．
23．已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若动点 为椭圆外一点，且点 到椭圆 的两条切线相互垂直，求点 的轨迹方程.
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
12．设 为两条直线， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若 与 所成的角相等，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则
二、填空题
13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为 ，则m=_________．