历届数学高考试题精选——等比数列
各地高考等比数列真题试卷(含详细答案)
等比数列练习题一、选择题1.(2009年广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = A.21B. 22C. 2D.2【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即22q=,又因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以q =故212a a q ===,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ）A 、3,9b ac ==B 、3,9b ac =-=C 、3,9b ac ==-D 、3,9b ac =-=-3、若数列}{n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a nn 则（A ）15 （B ）12 （C ）-12D ）-15答案：A4.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24答案：B 解析：20,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S5.（2008四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.()(),01,-∞+∞ C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞答案 D6.（2008福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( ) A.63B.64C.127D.128 答案 C7.（2007重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：B9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6=（A ）3 × 44（B ）3 × 44+1（C ）44（D ）44+1 答案：A 解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ．10.(2007湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．11122-答案 B11.（2006湖北）若互不相等的实数成等差数列， 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D 12.（2008浙江）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ） A.16（n--41） B.6（n--21）,,a b c ,,c a bC.332（n --41）D.332（n --21）答案 C二、填空题：三、13.（2009浙江理）设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a =．答案：15解析对于4431444134(1)1,,151(1)a q s q s a a q q a q q --==∴==--14.（2009全国卷Ⅱ文）设等比数列{n a }的前n 项和为n s 。
高二数学等比数列试题答案及解析
高二数学等比数列试题答案及解析1.已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若,,求.【答案】（Ⅰ）=2n （Ⅱ）=.【解析】（Ⅰ）将2（）=+,代入,得=8,∴+=20构造方程组，又单调递增，∴ =2>1, =2,∴=2n（Ⅱ）根据第一问，可得，需要构造数列，采取错位相减的思想求和∴①∴②∴①-②得＝.试题解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有2（）=+,代入, 得=8,∴+=20∴解之得或又单调递增，∴ ="2," =2,∴=2n（Ⅱ）,∴①∴②∴①-②得＝【考点】等差等比数列的综合.2.设公比为q（q＞0）的等比数列{an }的前n项和为Sn．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=_________．【答案】【解析】由已知可得，，两式相减得即，解得或（舍），答案为.【考点】等比数列的性质与应用3.在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由等比数列的性质得，，由于各项为正，，由等比数列的性质得，【考点】等比数列的性质的应用.4.已知三正数、2、成等比数列，则的最小值为______．【答案】【解析】由已知得，且，则，等号成立。
【考点】（1）等比中项的定义；（2）基本不等式的应用。
5.设正数数列为等比数列，，记.（1）求和；（2）证明: 对任意的，有成立.【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】（1）对照条件易得等比数列的通项公式，进而得；（2）对于与自然数有关的命题的证明可优先考虑用数学归纳法，用数学归纳法证题时，首先要掌握好数学归纳法证题的规范、完整的证题步骤，而真正的难点和重点是由假设来推导第步，这里要充分地利用假设，若是对于恒等式的证明在利用了假设以后就很容易推导出第步，但是对于不等式的证明在利用了假设以后还不能一下子就推导出第步，还需要对照目标进行适当的放缩处理才能推导出第步，放缩处理是有难度，且需要技巧的，这需要在学习中去积累.试题解析：（1）依题意可知，又，所以，从而，进而有． 4分（2）证明：①当时，左边，右边，因为，所以不等式成立． 5分②假设当时，不等式成立，即成立． 7分那么当时，则左边右边 12分所以当时，不等式也成立.由①、②可得对任意的，都有恒成立． 14分（另解：此题也可直接用放缩法证明.即用）【考点】1.等比数列知识；2.数学归纳法在证明不等式方面的应用；3.放缩法证明不等式.6.已知等比数列满足则（）A．64B．81C．128D．243【答案】Ａ【解析】由等比数列满足得公比,将q=2代入，所以，故选A．【考点】等比数列．7.在等比数列{an }中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是( )A．－B．C．±D．±3【答案】B【解析】由韦达定理得，，由题易知，。
高考数学真题 等比数列
6.3 等比数列考点一 等比数列及其前n 项和1.(2020课标Ⅱ文,6,5分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 5-a 3=12,a 6-a 4=24,则S n a n=( ) A.2n-1 B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1答案 B 设等比数列{a n }的公比为q,则a 6-a 4a 5-a 3=a 5·q -a 3·q a 5-a 3=q=2412=2,∴S n a n =a 1(1-2n )1-2a 1×2n -1=2-21-n.故选B.2.(2020课标Ⅰ文,10,5分)设{a n }是等比数列,且a 1+a 2+a 3=1,a 2+a 3+a 4=2,则a 6+a 7+a 8=( ) A.12 B.24 C.30 D.32 答案 D 设等比数列{a n }的公比为q, 故a 2+a 3+a 4=q(a 1+a 2+a 3), 又a 2+a 3+a 4=2,a 1+a 2+a 3=1,∴q=2, ∴a 6+a 7+a 8=q 5(a 1+a 2+a 3)=25=32,故选D.3.(2013课标Ⅰ文,6,5分)设首项为1,公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( ) A.S n =2a n -1 B.S n =3a n -2 C.S n =4-3a n D.S n =3-2a n答案 D 因为a 1=1,公比q=23,所以a n =(23)n -1,S n =a 1(1-q n )1-q =31-(23)n =3-2(23)n -1=3-2a n ,故选D. 4.(2013课标Ⅱ理,3,5分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ) A.13 B.-13 C.19 D.-19答案 C 由已知条件及S 3=a 1+a 2+a 3得a 3=9a 1,设数列{a n }的公比为q,则q 2=9.所以a 5=9=a 1·q 4=81a 1,得a 1=19,故选C.5.(2019课标Ⅰ文,14,5分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,S 3=34,则S 4= . 答案58解析 本题主要考查等比数列的有关概念;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算. 设公比为q(q ≠0), 则S 3=a 1+a 2+a 3=1+q+q 2=34,解得q=-12, ∴a 4=a 1q 3=-18, ∴S 4=S 3+a 4=34-18=58.6.(2019课标Ⅰ理,14,5分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5= .答案1213解析 本题主要考查等比数列基本量的计算;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.设{a n }的公比为q,由a 42=a 6,得a 42=a 4·q 2,∴a 4=q 2.又∵a 4=a 1·q 3,∴a 1·q 3=q 2,又a 1=13,∴q=3.由等比数列求和公式可知S 5=13×(1-35)1-3=1213.解题关键 由a n =a 1·q n-1=a m ·q n-m求出公比q 是关键.7.(2015课标Ⅰ文,13,5分)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 答案 6解析 由已知得{a n }为等比数列,公比q=2,由首项a 1=2,S n =126得2(1-2n)1-2=126,解得2n+1=128,∴n=6.评析 本题主要考查等比数列的定义及前n 项和公式,属容易题,注意运算要准确哦! 8.(2015湖南理,14,5分)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n = . 答案 3n-1解析 设等比数列{a n }的公比为q(q ≠0),依题意得a 2=a 1·q=q,a 3=a 1q 2=q 2,S 1=a 1=1,S 2=1+q,S 3=1+q+q 2.又3S 1,2S 2,S 3成等差数列,所以4S 2=3S 1+S 3,即4(1+q)=3+1+q+q 2,所以q=3(q=0舍去).所以a n =a 1q n-1=3n-1. 9.(2013辽宁理,14,5分)已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前n 项和.若a 1,a 3是方程x 2-5x+4=0的两个根,则S 6= . 答案 63解析 a 1,a 3是方程x 2-5x+4=0的两个根且{a n }是递增数列,故a 3=4,a 1=1,故公比q=2,S 6=a 1(1-q 6)1-q=63. 评析 本题考查了等比数列的求和公式.数列{a n }递增是解题的关键,没考虑到q>0是失分的主因. 10.(2012课标文,14,5分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q= .答案 -2解析 由S 3+3S 2=0得4a 1+4a 2+a 3=0,有4+4q+q 2=0,解得q=-2.评析 本题考查了等比数列的运算,直接利用定义求解可达到事半功倍的效果. 11.(2014课标Ⅱ理,17,12分)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1. (1)证明{a n +12}是等比数列,并求{a n }的通项公式; (2)证明1a 1+1a 2+…+1a n <32.解析 (1)由a n+1=3a n +1得a n+1+12=3(a n +12).又a 1+12=32,所以{a n +12}是首项为32,公比为3的等比数列.a n +12=3n2,因此{a n }的通项公式为a n =3n-12. (2)由(1)知1a n =23n -1.因为当n ≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以13n-1≤12×3n -1. 于是1a 1+1a 2+…+1a n≤1+13+…+13n -1=32(1-13n )<32.所以1a 1+1a 2+…+1a n <32.评析 本题考查了等比数列的定义、数列求和等问题,放缩求和是本题的难点. 12.(2011课标文,17,12分)已知等比数列{a n }中,a 1=13,公比q=13. (1)S n 为{a n }的前n 项和,证明:S n =1-a n2; (2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{b n }的通项公式.解析 (1)因为a n =13×(13)n -1=13n ,S n =13(1-13n )1-13=1-13n 2, 所以S n =1-a n2. (2)b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n =-(1+2+…+n)=-n(n+1)2. 所以{b n }的通项公式为b n =-n(n+1)2. 评析 本题考查等差数列、等比数列的基础知识,对数运算性质,要求考生有较清晰的推理思路和运算目标,但难度并不大.属中档题.13.(2016课标Ⅲ,17,12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (2)若S 5=3132,求λ. 解析 (1)由题意得a 1=S 1=1+λa 1, 故λ≠1,a 1=11-λ,a 1≠0. 由S n =1+λa n ,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n ,即a n+1(λ-1)=λa n . 由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0,所以a n+1a n =λλ-1. 因此{a n }是首项为11-λ,公比为λλ-1的等比数列,于是a n =11-λ·(λλ-1)n -1. (2)由(1)得S n =1-(λλ-1)n. 由S 5=3132得1-(λλ-1)5=3132,即(λλ-1)5=132.解得λ=-1.思路分析 (1)先由题设利用a n+1=S n+1-S n 得到a n+1与a n 的关系式,要证数列是等比数列,关键是看a n+1与a n 之比是不是非零常数,其中说明a n ≠0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出λ.考点二 等比数列的性质1.(2018浙江,10,4分)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1,则( ) A.a 1<a 3,a 2<a 4 B.a 1>a 3,a 2<a 4 C.a 1<a 3,a 2>a 4 D.a 1>a 3,a 2>a 4答案 B 本题考查等比数列的概念和性质,利用导数求函数的单调性和最值,不等式的性质和分类讨论思想.设f(x)=ln x-x(x>0),则f '(x)=1x-1=1-x x, 令f '(x)>0,得0<x<1,令f '(x)<0,得x>1, ∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数, ∴f(x)≤f(1)=-1,即有ln x ≤x-1. 从而a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3)≤a 1+a 2+a 3-1, ∴a 4<0,又a 1>1,∴公比q<0.若q=-1,则a 1+a 2+a 3+a 4=0,ln(a 1+a 2+a 3)=ln a 1>0,矛盾.若q<-1,则a 1+a 2+a 3+a 4=a 1(1+q+q 2+q 3)=a 1(1+q)(1+q 2)<0,而a 2+a 3=a 2(1+q)=a 1q(1+q)>0,∴ln(a 1+a 2+a 3)>ln a 1>0,也矛盾.∴-1<q<0.从而a 3a 1=q 2<1,∵a 1>0,∴a 1>a 3.同理,∵a 4a 2=q 2<1,a 2<0,∴a 4>a 2.选B.思路分析 (1)由题中的选项可知要判断0<q 2<1,还是q 2>1.(2)由条件可知要利用不等式ln x ≤x-1(x>0),得a 4<0,进而得q<0.(3)直接求q 的取值范围较难,转化为判断q=-1和q<-1时,等式a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3)左、右两边的正负,进而得出矛盾,从而得-1<q<0.(4)注意a 1>0,而a 2<0,利用-1<q<0得结论.2.(2015课标Ⅱ理,4,5分)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84答案 B 设{a n }的公比为q,由a 1=3,a 1+a 3+a 5=21得1+q 2+q 4=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=a 1q 2+a 3q 2+a 5q 2=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.3.(2015课标Ⅱ文,9,5分)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( ) A.2 B.1 C.12 D.18答案 C 设{a n }的公比为q,由等比数列的性质可知a 3a 5=a 42,∴a 42=4(a 4-1),即(a 4-2)2=0,得a 4=2,则q 3=a 4a 1=214=8,得q=2,则a 2=a 1q=14×2=12,故选C.4.(2014大纲全国文,8,5分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3,S 4=15,则S 6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64答案 C 由等比数列的性质得(S 4-S 2)2=S 2·(S 6-S 4),即122=3×(S 6-15),解得S 6=63.故选C.5.(2012课标理,5,5分)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7答案 D 由a 5a 6=a 4a 7,得a 4a 7=-8,又a 4+a 7=2,∴a 4=4,a 7=-2或a 4=-2,a 7=4,∴q 3=-12或q 3=-2.当q 3=-12时,a 1+a 10=a 4q 3+a 4q 6=4-12+4×(-12)2=-7,当q 3=-2时,a 1+a 10=a 4q 3+a 4q 6=-2-2+(-2)·(-2)2=-7,故选D.评析 本题考查了等比数列的基本运算,运用等比数列的性质可简化计算.6.(2014江苏理,7,5分)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2=1,a 8=a 6+2a 4,则a 6的值是 . 答案 4解析 由a 8=a 6+2a 4,两边都除以a 4,得q 4=q 2+2,即q 4-q 2-2=0⇔(q 2-2)(q 2+1)=0,∴q 2=2.∵a2=1,∴a6=a2q4=1×22=4.7.(2014广东文,13,5分)等比数列{a n}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.答案 5解析由等比数列的性质知a1a5=a2a4=a32=4⇒a3=2,所以log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log2a35=5log22=5.。
高三数学等比数列试题答案及解析
高三数学等比数列试题答案及解析1.若等比数列的各项均为正数,且,则 .【答案】【解析】由等比数列的性质得，，所以.【考点】1.等比数列等而性质；2.对数的性质.2.在等比数列中，有，则的值为（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解析】由等比数列性质知，=4，3.（本小题满分12分）已知数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)证明：对任意，都有，使得成等比数列.【答案】（1）（2）详见解析.【解析】（1）由和项求通项，主要根据进行求解. 因为所以当时又时，所以（2）证明存在性问题，实质是确定要使得成等比数列，只需要，即.而此时，且所以对任意，都有，使得成等比数列.试题解析：（1）因为所以当时又时，所以（2）要使得成等比数列，只需要，即.而此时，且所以对任意，都有，使得成等比数列.【考点】由和项求通项，等比数列4. (2014·洛阳模拟)在数列{an }中,an+1=can(c为非零常数),前n项和为Sn=3n+k,则实数k为()A．-1B．0C．1D．2【答案】A【解析】依题意得,数列{an }是等比数列,a1=3+k,a2=S2-S1=6,a3=S3-S2=18,则62=18(3+k),由此解得k=-1,选A.5.已知等比数列{an }满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（）A．64B．81C．128D．243【答案】A【解析】由a2+a3=q（a1+a2）=3q=6，∴q=2∴a1（1+q）=3，∴a1=1，∴a7=26=64故选A6.已知数列{an }的各项均为正数的等比数列，且a1a2=2，a3a4=32，（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn }满足（n∈N*），求设数列{bn}的前n项和T-n.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知条件和等比数列的通项公式列出关于q和a1的方程组，解出q和a1即可.（2）把代入中得，即，整理求出，然后根据错位相减法求出数列{bn }的前n项和T-n.试题解析：（1）设等比数列的公比为，由已知得 2分又∵，，解得 3分∴； 5分（2）由题意可得，，（）两式相减得，∴，（） 7分当时，，符合上式，∴，（） 8分设，，两式相减得，∴． 1中，，顶点上的，．【考点】1.等比数列的通项公式；2.数列的求和方法.7.已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则数列的公比为( ) A．1B．2C．D．3【答案】D【解析】因为，，成等差数列，所以选Ｄ．【考点】等比数列8.设Sn 为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q等于()A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】由题设条件,得3(S3-S2)=a4-a3,即3a3=a4-a3,∴q==4.故选B.9.在等比数列{an }中,an+1<an,a2·a8=6,a4+a6=5,则等于()A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得解得或∴q2==,则===.故选D.10.若数列{an }的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.【答案】(－2)n－1【解析】当n＝1时，S1＝a1＋，∴a1＝1.当n≥2时，an ＝Sn－Sn－1＝an＋－＝ (an－an－1)，∴an ＝－2an－1，即＝－2，∴{an }是以1为首项的等比数列，其公比为－2，∴an ＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.11.在数列中，，，设．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数．【答案】（1）见解析；（2）；(3)不超过的最大的整数是．【解析】（1）注意从出发，得到 2分即，肯定数列是公比为的等比数列.（2）利用“错位相减法”求和.（3）由(1)得，从而可得到，利用“裂项相消法”求.利用，得出结论.试题解析：（1）由两边加得， 2分所以，即，数列是公比为的等比数列 3分其首项为，所以 4分（2） 5分①②①-②得所以 8分(3)由(1)得，所以10分所以不超过的最大的整数是． 12分【考点】等比数列的定义、通项公式及求和公式，“错位相减法”，“裂项相消法”.12.等比数列{an }的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )A．B．－C．D．－【答案】C【解析】设公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，∴∴解得a1＝，故选C13.已知等比数列{an }的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋a m(n－1)＋2＋…＋a m(n－1)＋m，c n＝a m(n－1)＋1·a m(n－1)＋2·…·a m(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是() A．数列{bn}为等差数列，公差为q mB．数列{bn}为等比数列，公比为q2mC．数列{cn}为等比数列，公比为qm2D．数列{cn}为等比数列，公比为qm m【答案】C【解析】等比数列{an }的通项公式an＝a1q n－1，所以cn ＝am(n－1)＋1·a m(n－1)＋2·…·a m(n－1)＋m＝a1q m(n－1)·a1q m(n－1)＋1·…·a1q m(n－1)＋m－1＝a1m q m(n－1)＋m(n－1)＋1＋…＋m(n－1)＋m－1＝a1m q＝a1m q.因为＝＝qm2，所以数列{cn}为等比数列，公比为qm2.14.设y＝f(x)是一次函数，f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝________.【答案】n(2n＋3)【解析】设f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f(0)＝1，所以b＝1，即f(x)＝kx＋1(k≠0)．由f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，得f2(4)＝f(1)·f(13)，即(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)．因为k≠0，所以k＝2，所以f(x)＝2x＋1，所以f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝5＋9＋…＋4n＋1＝＝n(2n＋3)．15.已知数列{an }和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．(1)对任意实数λ，证明：数列{an}不是等比数列；(2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有＝a 1a 3，即2＝λ⇔λ2－4λ＋9＝λ2－4λ⇔9＝0，矛盾，所以{a n }不是等比数列． (2)因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1＝－(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－b n .又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时， b n ＝0(n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由b n ＋1＝－b n . 可知b n ≠0，所以＝－(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列．16. 等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )． A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24【答案】A【解析】由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得，(3x ＋3)2＝x(6x ＋6)．解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)．故数列的第四项为－24.17. 已知向量p ＝(a n ，2n )，q ＝(2n ＋1，－a n ＋1)，n ∈N *，p 与q 垂直，且a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2a n ＋1，求数列{a n ·b n }的前n 项和S n .【答案】（1）2n －1（2）S n ＝1＋(n －1)2n【解析】(1)∵向量p 与q 垂直，∴2n a n ＋1－2n ＋1a n ＝0，即2n a n ＋1＝2n ＋1a n ， ∴＝2，∴{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝log 2a n ＋1，∴b n ＝n ，∴a n ·b n ＝n ·2n －1， ∴S n ＝1＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n ·2n －1，① ∴2S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ，② ∴由①－②得，－S n ＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋2n －1－n ·2n ＝－n ·2n ＝(1－n )2n －1，∴S n ＝1＋(n －1)2n .18. 已知各项都为正的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得＝4a 1，则的最小值为________． 【答案】【解析】由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理有q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由＝4a 1，得a m a n ＝16，即2m ＋n －2＝16，即有m ＋n －2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么＝(m ＋n )＝≥＝，当且仅当，即n＝2m＝4时取得最小值19.已知等比数列{an }满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）an ＝·3n－1或an＝－5·(－1)n－1.（2）不存在【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，则由已知可得解得或故an ＝·3n－1或an＝－5·(－1)n－1.(2)若an＝·3n－1，则n－1，则数列是首项为，公比为的等比数列．从而<1.若an＝－5·(－1)n－1，则＝－(－1)n－1，故数列是首项为－，公比为－1的等比数列，从而＝故<1.综上，对任何正整数m，总有<1.故不存在正整数m，使得≥1成立20.设y＝f(x)是一次函数，f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝________.【答案】n(2n＋3)【解析】设f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f(0)＝1，所以b＝1，即f(x)＝kx＋1(k≠0)．由f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，得f2(4)＝f(1)·f(13)，即(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)．因为k≠0，所以k＝2，所以f(x)＝2x＋1，所以f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝5＋9＋…＋4n＋1＝＝n(2n＋3)．21.在等比数列{an }中，a5·a11＝3，a3＋a13＝4，则＝()．A．3B．C．3或D．－3或－【答案】C【解析】由a5·a11＝3，得a3·a13＝3，又a3＋a13＝4，解得或所以＝＝3或.22.设等比数列{an }的公比q＝2，前n项和为Sn，若S4＝1，则S8＝ ()．A．17B．C．5D．【答案】A【解析】由于S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1，S8＝S4＋a5＋a6＋a7＋a8＝S4＋S4·q4，又q＝2.所以S8＝1＋24＝17.故选A23.数列的首项为（），前项和为，且（）．设，（）．（1）求数列的通项公式；（2）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围；（3）当时，试求三个正数，，的一组值，使得为等比数列，且，，成等差数列．【答案】（1）；（2）；（3），，．【解析】（1）要求数列的通项公式，已知的是，这种条件的应用一般是把用代换得，然后两式相减就可把的递推关系转化为的递推关系，但要注意这个递推关系中一般不含有，必须另外说明与的关系；（2）时，，，那么不等式就是，请注意去绝对值符号的方法是两边平方，即等价于，这个二次的不等式对恒成立，变形为，然后我们分析此不等式发现，当时，不可能恒成立；时，不等式恒成立；当时，不等式变为，可分类（）分别求出的范围，最后取其交集即得；（3）考查同学们的计算能力，方法是一步步求出结论，当时，，，，最后用分组求和法求出，根据等比数列的通项公式的特征一定有，再加上三个正数，，成等差数列，可求出，，，这里考的就是计算，小心计算．试题解析：（1）因为①当时，②，①—②得，（），（2分）又由，得，（1分）所以，是首项为，公比为的等比数列，所以（）．（1分）（2）当时，，，，（1分）由，得，（*）（1分）当时，时，（*）不成立；当时，（*）等价于（**）时，（**）成立．时，有，即恒成立，所以．时，有，．时，有，．（3分）综上，的取值范围是．（1分）（3）当时，，，（1分），（2分）所以，当时，数列是等比数列，所以（2分）又因为，，成等差数列，所以，即，解得．（1分）从而，，．（1分）所以，当，，时，数列为等比数列．（1分）【考点】(1)等比数列的定义；（2）数列与不等式恒成立问题；（3）分组求和，等比数列的通项公式．24.已知等差数列中，；是与的等比中项．(I)求数列的通项公式：(II)若．求数列的前项和.【答案】(I)当时，；当时，；(II).【解析】(I)通过已知，可以设公差为，然后根据等比中项的概念列出等式解出公差或，所以当时，；当时，；(II)根据条件可以确定的通项公式，则，然后用错位相减法解出.试题解析：(I)由题意，，即，化简得，∴或∵,∴当时，；当时，.(II)∵，∴，∴,∴……①①2，得……②,①-②，得=,∴.【考点】1.等比中项的用法；2.错位相减法求数列和.25.数列中，已知对任意, ，则___________________.【答案】【解析】记数列的前项和为，则，当时，=；当时，，满足上式，故，所以数列是等比数列，且公比为3，数列也是等比数列，且公比为9，首先为4，所以.【考点】等比数列的前n项和.26.已知数列{｝的前n项和为，且，则使不等式成立的n的最大值为．【答案】4【解析】当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.【考点】1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.27.已知数列的前项和，正项等比数列中，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】法一：因为，所以，，验证可知均不符合，故答案为.法二：因为，所以，又，即，∴，．所以数列的通项公式是，所以．故选．【考点】1.等比数列的通项公式；2.对数的计算.28.已知各项都为正数的等比数列{an }中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·a n＋2>的最大正整数n的值为________．【答案】4【解析】设等比数列首项为，公比为q，则，，得，即或（舍），得，所以，则a n ·an＋1·a n＋2，即，所以，最大正整数n的值为4.【考点】等比数列通项性质.29.已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为______.【答案】54【解析】设的公比为，由，得，所以，显然，，令，则，设函数，，易知当时为减函数，当时，为增函数，所以的最小值为，故的最小值为54.【考点】等比数列、函数的最值.30.在数列和等比数列中，，，．（Ⅰ）求数列及的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）先利用数列是等比数列，结合，计算出数列的首项和公比，从而确定等比数列的通项公式，然后间接地求出数列的通项公式；解法二是先由数列是等比数列，结合定义证明数列是等差数列，然后将题设条件化为是有关数列的首项和公差的二元一次方程组，求出首项和公差的值进而求出数列的通项公式，最后确定等比数列的通项公式；（Ⅱ）先根据，即数列的每一项均为等差数列中的项乘以等比数列中的项，结合利用错位相减法即可求出数列的前项和.试题解析：解法一：（Ⅰ）依题意，， 2分设数列的公比为，由，可知， 3分由，得，又，则， 4分故， 5分又由，得． 6分（Ⅱ）依题意． 7分，①则② 9分①-②得， 11分即，故． 12分解法二：（Ⅰ）依题意为等比数列，则（常数），由，可知， 2分由，得（常数），故为等差数列， 4分设的公差为，由，，得，故． 6分（Ⅱ）同解法一．【考点】等差数列通项公式、等比数列的通项公式、错位相减法31.已知等比数列的公比，且成等差数列，则的前8项和为（）A．127B．255C．511D．1023【答案】B【解析】因为，等比数列的公比，且成等差数列，所以，，，即，故的前8项和为=255，选B.【考点】等差数列，等比数列.32.已知等比数列的公比为，则“”是“为递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】“为递减数列”有两种情况：第一是“”，第二是“”，“”即推不出“为递减数列”，“为递减数列”也推不出.故选D.【考点】等比数列的单调性.33.在正项等比数列中， ,则的值是 ( )A．10000B．1000C．100D．10【答案】C【解析】因为，同底对数相加得，用等比数列的性质得，，所以，所以.【考点】1.对数的运算；2.等比数列的性质.34.已知实数a1，a2，a3，a4满足a1a2a3，a1a42a2a4a2，且a1a2a3，则a4的取值范围是．【答案】【解析】根据题意，由于实数a1，a2，a3，a4满足a1a2a3，a1a42a2a4a2，且a1a2a 3，故可知a10，a3<0，a1a42a2a4a2，a1a42- （a1+a3）a4+ a1+a3，结合不等式的放缩性质可知，a4的取值范围是。
高三数学等比数列试题答案及解析
高三数学等比数列试题答案及解析1.设等不数列{an }的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=( )A． 31B．32C．63D． 64【答案】C【解析】由已知条件可得解得，所以，故选C. 【考点】等比数列的性质.2.公比为的等比数列的各项都是正数，且，则= （）A．B．C．D．【答案】（B）【解析】由等比数列的各项都是正数，且.所以.又公比为即.故选（B）【考点】1.等比数列的性质.2.等比数列的通项公式.3.已知等比数列{an }满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（）A．64B．81C．128D．243【答案】A【解析】由a2+a3=q（a1+a2）=3q=6，∴q=2∴a1（1+q）=3，∴a1=1，∴a7=26=64故选A4.设正项等比数列的前项积为，若，则=__________.【答案】1【解析】设等比数列的通项公式为故答案为1【考点】等比数列的通项公式；等比数列的乘积运算.5.设正项等比数列的前项积为，若，则=__________.【答案】1【解析】正项等比数列的首项为与公比，由【考点】等比数列的通项公式；等比数列的乘积运算.6.函数图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数图象上的点到原点的距离的最小值为1，最大值为3，故，即，而，因此选B.【考点】等比数列的性质.7.已知数列满足，，定义：使乘积为正整数的k叫做“简易数”.则在[3,2013]内所有“简易数”的和为 .【答案】2035【解析】∵，∴，则“简易数”为使为整数的整数，即满足，∴，则在区间内所有“简易数”的和为.【考点】1.新定义题；2.等比数列的前n项和公式.8.已知等比数列的前项和为，若，，则的值是 .【答案】－2【解析】由得，∴，∴，．【考点】等比数列的通项公式与前项和．9.已知等比数列中，＝1，＝2，则等于( ).A．2B．2C．4D．4【答案】C【解析】，，，可见，，依旧成等比数列，所以，解得.【考点】等比数列的性质10.已知正项数列，其前项和满足且是和的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2) 符号表示不超过实数的最大整数，记，求.【答案】(1) 所以；(2) .【解析】(1) 由①知②通过①②得整理得，根据得到所以为公差为的等差数列，由求得或.验证舍去.(2) 由得，利用符号表示不超过实数的最大整数知，当时，，将转化成应用“错位相减法”求和.试题解析：(1) 由①知② 1分由①②得整理得 2分∵为正项数列∴，∴ 3分所以为公差为的等差数列，由得或 4分当时，，不满足是和的等比中项.当时，，满足是和的等比中项.所以. 6分(2) 由得， 7分由符号表示不超过实数的最大整数知，当时，， 8分所以令∴① 9分② 10分①②得即. 12分【考点】等差数列的通项公式，对数运算，“错位相减法”.11.在各项均为正数的等比数列{an }中，已知a2＝2a1＋3，且3a2，a4，5a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝log3an，求数列{anbn}的前n项和Sn.【答案】（1）3n，n∈N（2）Sn＝【解析】(1)设{an}公比为q，由题意得q>0，且解得 (舍)，所以数列{an }的通项公式为an＝3·3n－1＝3n，n∈N．(2)由(1)可得bn ＝log3an＝n，所以anbn＝n·3n.所以Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，所以3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1，两式相减得，2Sn＝－3－(32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1＝－(3＋32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1＝－＋n·3n＋1＝，所以数列{an bn}的前n项和Sn＝.12.已知两个数k＋9和6－k的等比中项是2k，则k＝________．【答案】3【解析】由已知得(2k)2＝(k＋9)(6－k)，k∈N*，∴k＝3.13.已知等比数列{an }是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________．【答案】63【解析】因为等比数列{an }是递增数列，所以a1＝1，a3＝4，则q＝2，故S6＝＝63.14.已知数列{an }为等比数列,且a1a13+2=4π,则tan(a2a12)的值为()A．±B．-C．D．-【答案】C【解析】∵a1a13=,a2a12=,∴=,∴tan(a2a12)=tan=tan=,故选C.15.已知数列{an }是等差数列,a2=6,a5=12,数列{bn}的前n项和是Sn,且Sn+bn=1.(1)求数列{an}的通项公式.(2)求证:数列{bn}是等比数列.(3)记cn =,{cn}的前n项和为Tn,若Tn<对一切n∈N*都成立,求最小正整数m.【答案】(1) an=2n+2 (2)见解析 (3) 2012【解析】(1)设{an }的公差为d,则a2=a1+d,a5=a1+4d.∵a2=6,a5=12,∴解得:a1=4,d=2.∴an=4+2(n-1)=2n+2.(2)当n=1时,b1=S1,由S1+b1=1,得b1=.当n≥2时,∵Sn =1-bn,Sn-1=1-bn-1,∴Sn -Sn-1=(bn-1-bn),即bn=(bn-1-bn).∴bn =bn-1.∴{bn}是以为首项,为公比的等比数列.(3)由(2)可知:bn=·()n-1=2·()n.∴cn====-,∴Tn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-<1,由已知得≥1,∴m≥2012,∴最小正整数m=2012.16.一个由正数组成的等比数列，它的前4项和是前2项和的5倍，则此数列的公比为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设此数列的公比为q，根据题意得q>0且q≠1，由，解得q＝2.17.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．【答案】6【解析】设每天植树的棵数组成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6.18.在等比数列{an }中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则a5＋a6等于________．【答案】80【解析】q2＝＝2，a5＋a6＝(a3＋a4)q2＝40×2＝80.19.Sn 是等比数列{an}的前n项和，a1＝，9S3＝S6，设Tn＝a1a2a3…an，则使Tn取最小值的n值为________．【答案】5【解析】设等比数列的公比为q，故由9S3＝S6，得9×，解得q＝2，故＝a n ＝×2n－1，易得当n≤5时，<1，即Tn<Tn－1；当n≥6时，Tn>Tn－1，据此数列单调性可得T5为最小值．20.已知等比数列{an }是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.【答案】63【解析】∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两根，且q＞1，∴a1＝1，a3＝4，则公比q＝2，因此S6＝＝63.21.已知公比为的等比数列的前项和为，则下列结论中：（1）成等比数列；（2）；（3）正确的结论为（）A．（1）（2）．B．（1）（3）．C．（2）（3）．D．（1）（2）（3）．【答案】C【解析】根据等比数列的性质，，则，，(2)(3)是正确的，但当时，(1)不正确，故选C．【考点】等比数列的前项和与等比数列的定义．22.在等比数列{an }中，a4＝4，则a2·a6等于()A．4B．8C．16D．32【答案】C【解析】23.在等比数列{an }中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于()．A．2n＋1－2B．3n C．2n D．3n－1【答案】C【解析】∵数列{an }为等比数列，设公比为q，∴an＝2q n－1，又∵{an＋1}也是等比数列，则(an＋1＋1)2＝(a n＋1)·(a n＋2＋1)⇒＋2a n＋1＝a n a n＋2＋a n＋a n＋2⇒a n＋a n＋2＝2a n＋1⇒a n(1＋q2－2q)＝0⇒q＝1.即an ＝2，所以Sn＝2n.24.在等比数列{an }中，2a3－a2a4＝0，则a3＝________；{bn}为等差数列，且b3＝a3，则数列{bn}的前5项和等于________．【答案】210【解析】在等比数列中2a3－a2a4＝2a3－＝0，解得a3＝2.在等差数列中b3＝a3＝2，所以S5＝＝5b3＝5×2＝10.25.设等比数列{an }的公比q＝2，前n项和为Sn，若S4＝1，则S8＝ ()．A．17B．C．5D．【答案】A【解析】由于S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1，S8＝S4＋a5＋a6＋a7＋a8＝S4＋S4·q4，又q＝2.所以S8＝1＋24＝17.故选A26.已知数列为等比数列，，，，则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】①,②,③，由①②③得,,故选D.【考点】1.等比数列的定义；2.不等式求范围.27.数列{}的前n项和为，．（Ⅰ）设，证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）若，．求不超过的最大整数的值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由，令可求，时，利用可得与之间的递推关系，构造等可证等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求，利用错位相减法可求数列的和；（Ⅲ）由（Ⅰ）可求，进而可求，代入P中利用裂项求和即可求解试题解析：解:(Ⅰ) 因为，所以①当时，，则， .（1分）②当时，， .（2分）所以，即，所以，而， .（3分）所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以． .（4分）（Ⅱ）由(Ⅰ)得．所以①② .（6分）②-①得： .（7分）（8分）（Ⅲ）由(Ⅰ)知（9分）而，（11分）所以，故不超过的最大整数为．（14分） .【考点】1.递推关系；2.等比数列的概念；3.数列求和.28.正项递增等比数列{}中，，则该数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，或（舍）．【考点】等比数列的运算性质．29.若等比数列的第项是二项式展开式的常数项，则 .【答案】【解析】展开式的通项公式为，其常数项为，所以.【考点】1、二项式定理；2、等比数列.30.设Sn 为等比数列{an}的前n项和，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴.【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的前n项和公式.31.在等比数列中，若，则 .【答案】.【解析】由于数列为公比数列，所以，由于，所以.【考点】等比数列的性质32.已知，数列是首项为，公比也为的等比数列，令（Ⅰ）求数列的前项和；（Ⅱ）当数列中的每一项总小于它后面的项时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查数列的通项公式和数列求和问题，考查学生的计算能力和分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想和转化思想.第一问，利用等比数列的通项公式先写出数列的通项公式，利用对数的性质得到的通项公式，从而列出，它符合错位相减法，利用错位相减法求和；第二问，有题意得，讨论的正负，转化为恒成立问题，求出.试题解析：（Ⅰ）由题意知，.∴..以上两式相减得.∵，∴.（Ⅱ）由.由题意知，而，∴. ①（1）若，则，，故时，不等式①成立；（2）若，则，不等式①成立恒成立.综合（1）、（2）得的取值范围为.【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的前n项和公式；3.错位相减法；4.恒成立问题.33.已知等比数列前项和为()A．10B．20C．30D．40【答案】C【解析】等比数列中，依次3项和依然成等比数列，即，，，成等比数列，其值分别为2,4,8,16，故.【考点】等比数列的性质.34.设等比数列满足公比，，且{}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若，则的所有可能取值的集合为．【答案】【解析】任取数列中两项和，则也是数列中的项，又，，所以可能为，即的值可能为.【考点】等比数列的通项公式和性质.35.已知公差不为零的等差数列与公比为的等比数列有相同的首项，同时满足，，成等比，，，成等差，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】设数列的首项为，等差数列的公差为,，将，，代入得，化简得，解得，代入（1）式得.【考点】1、等差数列的通项公式；2、等比数列的性质.36.等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（2）当b=2时，记求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用的关系求解；（2）由（1）和b=2求得，进而求得,利用错位相减法可得.试题解析：∵对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上. ∴得,当时,,当时,,又∵{}为等比数列,∴, 公比为, ∴.（2）当b=2时，,则相减,得=∴【考点】1.等比数列通项公式；2.数列求和；3.数列中的关系.37.在正项等比数列中，，则的值是( )A．10000B．1000C． 100D．10【答案】A【解析】因为，所以，所以，.【考点】1.对数的性质；2.等比数列的性质.38.若等比数列满足，，则公比__________;前项_____.【答案】2，【解析】，由，解得，故.考点定位：本题考查了等比数列的通项公式、前n项公式和数列的性质.39.已知各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有.函数，数列的首项（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求证：是等比数列并求通项公式（Ⅲ）令，，求数列的前n项和.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ） ;（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由①得② 1分由②—①，得即： 2分由于数列各项均为正数，3分即数列是首项为，公差为的等差数列，数列的通项公式是 4分（Ⅱ）由知，所以， 5分有，即， 6分而，故是以为首项，公比为2的等比数列. 7分所以 8分（Ⅲ）， 9分所以数列的前n项和错位相减可得 12分【考点】等差数列、等比数列的通项公式，“错位相减法”。
高考等比数列专题及答案
一、等比数列选择题1．正项等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=，则28a a +=（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．82．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（ ） A ．12B ．18C ．24D ．323．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ）A ．312或112B ．312 C ．15D ．64．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2nn n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．11021B ．11022 C ．11023D ．110245．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为1122f - B ．第三个单音的频率为142f - C ．第五个单音的频率为162fD ．第八个单音的频率为1122f6．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，102103101a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ）A ．102B ．203C ．204D ．2057．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列8．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a >B ．01q <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为7T9．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（ ） A ．8B ．8±C ．8-D ．110．在数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，若513n a >，则n 的最小值是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．1211．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ） A ．16B ．16-C ．20D ．16或16-12．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4C ．12-D ．12±13．.在等比数列{}n a 中，若11a =，54a =，则3a =（ ） A ．2B ．2或2-C ．2-D14．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为 （ ） A ．6B ．7C ．8D ．915．设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（ ）A ．若对任意正整数n ，都有24nn a =成立，则{}n a 为等比数列B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=⋅成立，则{}n a 为等比数列C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m nm n a a +⋅=成立，则{}n a 为等比数列D ．若对任意正整数n ，都有31211n n n n a a a a +++=⋅⋅成立，则{}n a 为等比数列16．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ） A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定17．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n-18．正项等比数列{}n a 的公比是13，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1119．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a14a =，则14m n+的最小值为（ ） A ．53B ．32C ．43D ．11620．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（ ） A ．152B ．142C ．132D ．122二、多选题21．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（ ） A ．500n S < B ．500n S ≤C ．n S 的最小值为7003D ．n S 的最大值为40022．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（ ） ABCD23．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列B ．2nn a =C ．数列{}2na 的前n 项和为21223n +-D ．数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，则1n T <24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 是等比数列 B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+25．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，4n n b a =+，若数列{}n b 有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q 的值可以是（ ） A ．34-B ．23-C ．43-D ．32-26．设{}n a 是无穷数列，1n n n A a a +=+，()1,2,n =，则下面给出的四个判断中，正确的有（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}n A 是等差数列B ．若{}n A 是等差数列，则{}n a 是等差数列C ．若{}n a 是等比数列，则{}n A 是等比数列D ．若{}n A 是等差数列，则{}2n a 都是等差数列 27．已知集合{}*21,A x x n n N==-∈，{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25B ．26C ．27D ．2828．已知数列是{}n a是正项等比数列，且3723a a +=，则5a 的值可能是（ ） A ．2B ．4C ．85D ．8329．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）A ．1{}na B ．22log ()n aC ．1{}n n a a ++D ．12{}n n n a a a ++++30．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列D ．14nn n a a +-=31．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n S n +为等比数列B ．数列{}n a 的通项公式为121n n a -=-C ．数列{}1n a +为等比数列D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +--- 32．数列{}n a 为等比数列（ ）.A ．{}1n n a a ++为等比数列B ．{}1n n a a +为等比数列C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项）33．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4na n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<34．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1n n nb a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值. 35．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】利用等比数列的性质运算求解即可. 【详解】根据题意，等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=， 则有222288216a a a a ++=，即()22816a a +=， 又由数列{}n a 为正项等比数列，故284a a +=． 故选：C ． 2．C 【分析】将已知条件整理为()()22121328a q q q -+=，可得()22183221q q a q +=-，进而可得()4427612249633221q a a a q q q q +=+=-，分子分母同时除以4q ，利用二次函数的性质即可求出最值. 【详解】因为{}n a 是等比数列，543264328a a a a +--=，所以432111164328a q a q a q a q +--=，()()2221232328a q q q q q ⎡⎤+-+=⎣⎦，即()()22121328a q q q -+=，所以()22183221q q a q +=-，()()465424761111221248242496963323212121q a a a q a q a q q q a q q a q q q +=+=+=⨯==---， 令210t q =>，则()222421211t t t q q-=-=--+， 所以211t q==，即1q =时2421q q -最大为1，此时242421q q -最小为24， 所以7696a a +的最小值为24，故选：C 【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 3．B 【分析】由等比中项的性质可求出3a ，即可求出公比，代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+，2332a a ∴=+，解得32a =或31a =-（舍去） 又112a =， 2314a q a ∴==， 解得2q，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 4．C 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n na a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=+，所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以121n n a =-，故101011211023a ==-. 故选：C 【点睛】方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中1qx p =-）来进行求解. 5．B 【分析】根据题意得该单音构成公比为四、五、八项即可得答案. 【详解】解：根据题意得该单音构成公比为 因为第六个单音的频率为f ，141422f f -==.661122f f -==.所以第五个单音的频率为1122f =.所以第八个单音的频率为1262f f =故选：B. 6．C 【分析】由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由10210310a a ->，即1021031a a >，则有21021a q ⨯>，即0q >。
等比数列经典例题 百度文库
一、等比数列选择题1．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34B ．35C ．36D ．372．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．23．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．4或5 D ．5或6 4．设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1，a 2 + a 3 + a 4 =2，则 a 6 + a 7 + a 8 =（ ）A ．6B ．16C ．32D ．645．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2nn n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．11021B ．11022 C ．11023D ．110246．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A ．80里B ．86里C ．90里D ．96里7．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（ ） A ．45 B ．54C ．99D ．818的等比中项是（ ）A ．－1B ．1C．2D．2±9．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =（ ）. A ．710S =B ．723S =C ．7623S =D ．71273S =10．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕=大吕=太簇．据此，可得正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）A．n -B．n -C． D． 11．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ） A ．16B ．16-C ．20D ．16或16-12．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*21n n n S a a n =+∈N，且0nS>，记数列{}2nn a ⋅的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．1113．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，344a a +=，则5678a a a a +++=（ ）A ．80B ．20C ．32D ．255314．设等差数列{}n a 的公差10,4≠=d a d ，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =( ) A ．3或6 B ．3 或-1 C ．6D ．315．设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（ ）A ．若对任意正整数n ，都有24nn a =成立，则{}n a 为等比数列B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=⋅成立，则{}n a 为等比数列C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m nm n a a +⋅=成立，则{}n a 为等比数列D ．若对任意正整数n ，都有31211n n n n a a a a +++=⋅⋅成立，则{}n a 为等比数列16．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若425S S =，则等比数列{}n a 的公比为（ ） A ．2B ．1或2C ．-2或2D ．-2或1或217．若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．818．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 19．在等比数列{}n a 中，12345634159,88a a a a a a a a +++++==-，则123456111111a a a a a a +++++=（ ） A ．35B ．35C ．53D ．53-20．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂. A ．55989B ．46656C ．216D ．36二、多选题21．题目文件丢失！22．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．101a <<B．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥23．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（ ）A ．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B ．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C ．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D ．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 24．设{}n a 是无穷数列，1n n n A a a +=+，()1,2,n =，则下面给出的四个判断中，正确的有（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}n A 是等差数列B ．若{}n A 是等差数列，则{}n a 是等差数列C ．若{}n a 是等比数列，则{}n A 是等比数列D ．若{}n A 是等差数列，则{}2n a 都是等差数列25．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，满足13a =，且1a ，22a -，34a 成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A ．113()2n n a -=⋅-B ．36nn S a =+C ．若数列{}n a 中存在两项p a ，s a3a =，则19p s +的最小值为83D ．若1n n t S m S ≤-≤恒成立，则m t -的最小值为11626．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A ．数列{}n a 是等比数列 B ．数列{}1n n a a +是等比数列 C ．数列{}2lg n a 是等比数列D ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列 27．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（ ） A ．13n n S -= B ．{}n S 为等比数列C ．123n n a -=⋅D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩28．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．8601a a <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T29．设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,20192020101a a -<-,下列结论正确的是（ ）A ．S 2019<S 2020B ．2019202010a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值30．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路31．已知数列{}n a 满足11a =，()*123nn na a n N a +=∈+，则下列结论正确的有（ ） A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1123n n a +=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=-- 32．数列{}n a 为等比数列（ ）. A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列 C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项）33．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<34．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ）A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<35．等比数列{}n a 中，公比为q ，其前n 项积为n T ，并且满足11a >.99100·10a a ->，99100101a a -<-，下列选项中，正确的结论有（ ） A ．01q << B ．9910110a a -< C ．100T 的值是n T 中最大的D ．使1n T >成立的最大自然数n 等于198【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．D 【分析】假设第n 轮感染人数为n a ，根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式，根据题意列出关于n 的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数. 【详解】设第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 为等比数列，其中1 3.8a =，公比为0 3.8R =，所以 3.81000nn a =>，解得 3.8333log 1000 5.17lg3.8lg3810.58n >==≈≈-， 而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为5.17736.19⨯=． 故选：D . 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算. 2．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 3．C 【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差12d =-，再由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，134,,a a a 成等比数列，2314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+，则12d =-，()()211119812244216n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+=-=--+ ⎪⎝⎭，所以当4n =或5时，n S 取得最大值. 故选：C. 4．C 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比2q ，再根据等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则234123()2a a a a a a q ++=++=，又1231a a a ++=，所以2q，所以55678123()1232a a a a a a q ++=++⋅=⨯=.故选：C ． 5．C 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n na a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=+，所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n nn a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以121n n a =-，故101011211023a ==-. 故选：C 【点睛】方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中1qx p =-）来进行求解. 6．D 【分析】由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为12，由条件和等比数列的前项和公式求出1a ，由等比数列的通项公式求出答案即可． 【详解】由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]2378112a -=-， 解得1192a =，∴此人第二天走1192962⨯=里， ∴第二天走了96里，故选：D ．7．C 【分析】利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，因为341a a q =，所以3q =，所以24352299a a q q +=+=.故选C 8．D 【分析】利用等比中项定义得解. 【详解】2311()((22-==±，的等比中项是2± 故选:D 9．D 【分析】利用等比数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和． 【详解】n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21S =，45S =，∴21410(1)11(1)51q a q qa q q ⎧⎪>⎪⎪-⎪=⎨-⎪⎪-⎪=-⎪⎩，解得113a =，2q ，771(12)1273123S -∴==-．故选：D ． 10．C 【分析】根据题意，由等比数列的通项公式，以及题中条件，即可求出结果. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以q =所以111111k k n n k a a a a a ---⎛⎫ ⎪⎛== ⎭⎝⎝1111n k k n n na a----==⋅ 故选：C. 11．A 【分析】根据等比数列的通项公式得出618a q =，10132a q=且10a >，再由819a a q ==.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则618a q =，10132a q=且10a >则81916a q a ====故选：A 12．B 【分析】由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1122n n T n +=-⋅+，即可得解.【详解】由题意，()()*21n n n S a a n N=+∈，当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+， 整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+， 当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以n a n =，所以1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()()234111212222222212212n nn n n n T n n n +++--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--，所以()1122n n T n +=-⋅+，所以876221538T =⨯+=，987223586T =⨯+=，所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用. 13．A 【分析】由条件求出公比q ，再利用前4项和和公比求5678a a a a +++的值. 【详解】根据题意，由于{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，()234124a a q a a +==+，∴24q =，0q >，2q则()()456781234161480a a a a q a a a a +++=+++=+=.故选：A 14．D 【分析】由k a 是1a 与2k a 的等比中项及14a d =建立方程可解得k . 【详解】k a 是1a 与2k a 的等比中项212k k a a a ∴=，()()2111121a k d a a k d ⎡⎤∴+-=+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()223423k d d k d ∴+=⨯+，3k ∴=.故选:D 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基础知识，属于基础题. 15．C 【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断. 【详解】对于A ，若24nna =，则2nn a =±，+1+12n n a =±，则12n na a +=±，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A 错误；对于B ，当0n a =时，满足12n n n a a a ++=⋅，但数列{}n a 不为等比数列，故B 错误； 对于C ，由2m nm n a a +⋅=可得0n a ≠，则+1+12m n m n a a +⋅=，所以1+1222n n m n m n a a +++==，故{}n a 为公比为2的等比数列，故C 正确；对于D ，由31211n n n n a a a a +++=⋅⋅可知0n a ≠，则312n n n n a a a a +++⋅=⋅，如1，2，6，12满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅，但不是等比数列，故D 错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：证明或判断等比数列的方法， （1）定义法：对于数列{}n a ，若()10,0n n na q q a a +=≠≠，则数列{}n a 为等比数列； （2）等比中项法：对于数列{}n a ，若()2210n n n n a a a a ++=≠，则数列{}n a 为等比数列；（3）通项公式法：若n n a cq =（,c q 均是不为0的常数），则数列{}n a 为等比数列； （4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意0n a =的判断. 16．C 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的前n 项和公式运算即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 当1q =时，4121422S a S a ==，不合题意； 当1q ≠时，()()41424222111115111a q S q q q S qa q q---===+=---，解得2q =±. 故选：C. 17．C 【分析】根据等比数列的性质，由题中条件，求出72a =，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，由17138a a a =，得378a =，所以72a =，因此231174a a a ==.故选：C. 18．D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =， 所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 19．D【分析】利用等比数列下标和相等的性质有162534a a a a a a ==，而目标式可化为162534162534a a a a a a a a a a a a +++++结合已知条件即可求值. 【详解】162534123456162534111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++， ∵等比数列{}n a 中3498a a =-，而162534a a a a a a ==， ∴123456111111a a a a a a +++++=12345685()93a a a a a a -+++++=-， 故选：D 20．B 【分析】第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，则数列{}n a 成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量． 【详解】设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得 数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q = 所以{}n a 的通项公式：1666n n n a -=⨯=到第6天，所有的蜜蜂都归巢后， 蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂． 故选：B ．二、多选题 21．无22．ABC 【分析】利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，所以11222a a a <+=，即11a <，又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，所以21122b b b <=，即1b < 又22234b b b <=，即2122b b =<， 所以11b >，即11b <<，故B 正确；{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++= 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==，因为12n n n b b +⋅=，则1122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n nb b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n>-=-，当n =1时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时假设当n=k时，21)2k k ->21)k k ->， 则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=->2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 23．ABC 【分析】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，可得123n n a -=⨯，即可判断四个选项的正误.【详解】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，由()121n n a S +=+可得()121n n a S -=+，两式相减得：12n n n a a a +=-，所以13n n a a +=，所以每分钟内新感染的病毒构成以12a =为首项，3为公比的等比数列，所以123n n a -=⨯，在第3分钟内，该计算机新感染了3132318a -=⨯=个文件，故选项A 正确；经过5分钟，该计算机共有()551234521311324313a a a a a ⨯-+++++=+==-个病毒文件，故选项B 正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为()101051210213111310132a a a ⨯-++++=+=>⨯-，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C 正确； 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D 不正确； 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +与 前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S 之间的递推关系为()121n n a S +=+，从而求得n a .24．AD 【分析】利用等差数列的通项公式以及定义可判断A 、B 、D ；利用等比数列的通项公式可判断B. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，设公差为d ，则()1111122n n n a n d a nd A a a a nd d +=+=+-++=+-， 则()()111222212n n A A a nd d a n d d d --=+--+--=⎡⎤⎣⎦， 所以{}n A 是等差数列，故A 正确； 对于B ，若{}n A 是等差数列，设公差为d ，()11111n n n n n n n n A a a a a a a A d +-+--=-=-+-=+，即数列{}n a 的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故B 不正确，D 正确. 对于C ，若{}n a 是等比数列，设公比为q ，当1q ≠-时， 则11111n n n n n n n n n na q a A a a a qq a A a a --+--+=+++==， 当1q =-时，则10n n n A a a ++==，故{}n A 不是等比数列，故C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及定义、等比数列的通项公式以及定义，属于基础题. 25．ABD 【分析】根据等差中项列式求出12q =-，进而求出等比数列的通项和前n 项和，可知A ，B 正确；3a =求出15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或51p s =⎧⎨=⎩，可知19p s +的最小值为114，C 不正确；利用1nn y S S =-关于n S 单调递增，求出1n n S S -的最大、最小值可得结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由13a =，21344a a a -=+得243343q q -⨯=+⨯，解得12q =-，所以113()2n n a -=⋅-，13(1())1221()121()2n n n S --⎛⎫==-- ⎪⎝⎭--；1111361()66()63()63222n n n n n S a -⎛⎫=--=--=+⋅-=+ ⎪⎝⎭；所以A ，B 正确；3a =，则23p s a a a ⋅=，1122111()p s p s a a a q a q a q --⋅==，所以114p s q qq --=，所以6p s +=，则15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或51p s =⎧⎨=⎩，此时19145p s +=或114或194或465；C 不正确，122,2121()2122,2nn n nn S n ⎧⎛⎫+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=--=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数， 当n 为奇数时，(2,3]n S ∈，当n 为偶数时，3[,2)2n S ∈，又1n n y S S =-关于n S 单调递增，所以当n 为奇数时，138(,]23nn S S -∈，当n 为偶数时，153[,)62n n S S -∈，所以83m ≥，56t ≤，所以8511366m t -≥-=，D 正确， 故选：ABD . 【点睛】本题考查了等差中项的应用，考查了等比数列通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了数列不等式恒成立问题，属于中档题. 26．ABD 【分析】分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断. 【详解】根据题意，数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则1n na q a +=， 对于A ，对于数列{}n a ，则有1||n na q a ，{}n a 为等比数列，A 正确； 对于B ，对于数列{}1n n a a +，有211n n n na a q a a +-=，{}1n n a a +为等比数列，B 正确； 对于C ，对于数列{}2lg n a ，若1n a =，数列{}n a 是等比数列，但数列{}2lg n a 不是等比数列，C 错误；对于D ，对于数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，有11111n n n n a a a q a --==，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，D 正确. 故选：ABD . 【点睛】本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题. 27．ABD 【分析】根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-， 可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥，又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =， 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式，以及等比数列的证明和判断，属综合基础题. 28．ABD 【分析】先分析公比取值范围，即可判断A ，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D. 【详解】若0q <，则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾； 若1q ≥，则11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与67101a a -<-矛盾； 因此01q <<，所以A 正确；667710101a a a a -<∴>>>-，因此2768(,1)0a a a =∈，即B 正确； 因为0n a >，所以n S 单调递增，即n S 的最大值不为7S ，C 错误；因为当7n ≥时，(0,1)n a ∈，当16n ≤≤时，(1,)n a ∈+∞，所以n T 的最大值为6T ，即D 正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题. 29．AB 【分析】由已知确定0q <和1q ≥均不符合题意，只有01q <<，数列{}n a 递减，从而确定20191a >,202001a <<，从可判断各选项．【详解】当0q <时，22019202020190a a a q =<，不成立；当1q ≥时，201920201,1a a >>，20192020101a a -<-不成立；故01q <<，且20191a >,202001a <<，故20202019S S >，A 正确；2201920212020110a a a -=-<，故B 正确；因为20191a >,202001a <<，所以2019T 是数列{}n T 中的最大值，C ，D 错误； 故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的单调性，解题关键是确定20191a >,202001a <<． 30．ACD 【分析】若设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，由6378S =求得首项，然后分析4个选项可得答案.【详解】解：设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列， 因为6378S =，所以1661(1)2=378112a S -=-，解得1192a =，对于A ，由于21192962a =⨯=，所以此人第二天走了九十六里路，所以A 正确； 对于B ，由于 3148119248,43788a =⨯=>，所以B 不正确； 对于C ，由于378192186,1921866-=-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C 正确；对于D ，由于4561111924281632a a a ⎛⎫++=⨯++= ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD 【点睛】此题考查等比数的性质，等比数数的前项n 的和，属于基础题. 31．ABD 【分析】 由()*123nn na a n N a +=∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案. 【详解】因为112323n nn n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11340a +=≠， 所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2位公比的等比数列，11342n n a -+=⨯即1123n n a +=-，故选项A 、B 正确. 由{}n a 的通项公式为1123n n a +=-知，{}n a 为递减数列，选项C 不正确.因为1231n na +=-，所以 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-++-=+++-22(12)2312234n n n n +-⨯-=⨯-=--.选项D 正确，故选：ABD 【点睛】本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n 项和，分组求和法，属于中档题. 32．BCD 【分析】举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】解：设{}n a 的公比为q ，A. 设()1nn a =-，则10n n a a ++=，显然{}1n n a a ++不是等比数列.B.2211n n n n a a q a a +++=，所以{}1n n a a +为等比数列. C. ()()24222221222211n n n n n n a q q a a q a a a q +++++==++，所以{}221n n a a ++为等比数列. D. 当1q =时，n S np =，{}n S 显然不是等比数列； 当1q ≠时，若{}n S 为等比数列，则()222112n n n S S n S -+=≥，即()()()211111111111n n n a q a q a q q q q-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1q =，与1q ≠矛盾，综上，{}n S 不是等比数列. 故选：BCD. 【点睛】考查等比数列的辨析，基础题.33．BCD【分析】根据间隔递增数列的定义求解.【详解】A. ()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故错误； B. ()()244441++n k n n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；C. ()()()()()()21212111n k n n k n k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦，当n 为奇数时，()2110k k --+>，存在1k 成立，当n 为偶数时，()2110kk +-->，存在2k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *∈N 成立，则()220k t k +->，对于3k ≥成立，且()220k t k +-≤，对于k 2≤成立 即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立 所以23t -<，且22t -≥解得45t ≤<，故正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.34．ABD【分析】由条件可得32242q q q =+，解出q ，然后依次计算验证每个选项即可. 【详解】由题意32242q q q =+，得220q q --=，解得2q （负值舍去），选项A 正确； 1222n n n a -=⨯=，选项B 正确；()12212221n n n S +⨯-==--，所以102046S =，选项C 错误；13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．故选：ABD【点睛】本题考查等比数列的有关计算，考查的是学生对基础知识的掌握情况，属于基础题. 35．ABD【分析】由已知9910010a a ->，得0q >，再由99100101a a -<-得到1q <说明A 正确；再由等比数列的性质结合1001a <说明B 正确；由10099100·T T a =，而10001a <<，求得10099T T <，说明C 错误；分别求得1981T >，1991T <说明D 正确.【详解】对于A ，9910010a a ->，21971·1a q ∴>，()2981··1a q q ∴>. 11a >，0q ∴>. 又99100101a a -<-，991a ∴>，且1001a <. 01q ∴<<，故A 正确；对于B ，299101100100·01a a a a ⎧=⎨<<⎩，991010?1a a ∴<<，即99101·10a a -<，故B 正确； 对于C ，由于10099100·T T a =，而10001a <<，故有10099T T <，故C 错误； 对于D ，()()()()19812198119821979910099100·····991T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=⨯>， ()()()199121991199219899101100·····1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<，故D 正确.∴不正确的是C .故选：ABD .【点睛】本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。
高中等比数列(含解析)
(5)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则 =q.
(6){an},{bn}是等比数列,则{λan}, ,{anbn}, 也是等比数列(λ≠0,n∈N*).xk-*/w
(7)通项公式an=a1qn-1= ·qn.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.
典
例
等比数列 的前 项和为 ， 则 ______为 ，则 也成等比数列，
而 所以 成等比数列，故 ，
所以 .
反
思
本题根据等比数列的前 项和的性质可知 也成等比数列，再利用 即求得 ，即得结果.本题的解题关键在于熟知等比数列的“等距片段和”也成等比数列，进而突破难点.
(8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.
(9)三个数成等比数列,通常设为 ,x,xq;四个数成等比数列,通常设为 , ,xq,xq3.
解
读
对于等比数列中的这些结论要做到熟悉，有的需要记忆，有的需要了解推导过程。当用到这些结论时要会根据等差数列前n项和公式、通项公式推导。例如第（1）中的
【详解】依题意得等比数列{an}的通项 ，所以 ，因为 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，因为 ，所以 ，所以数列 的前n项和为 .
5．已知数列 是等比数列， 为其前 项和，若 ，则 （）
A．50B．60C．70D．80
【答案】B
【详解】 数列 是等比数列， ， ， ， 也成等比数列，即 ， ， ， 也成等比数列，易知公比 ， ， ，
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历届高考中的“等比数列”试题精选
一、选择题：（每小题5分，计50分）
1.(2008福建理)设｛a n｝是公比为正数的等比数列,若,a5=16, 则数列｛a n｝前7项的和为（）
A.63
B.64
C.127
D.128
2.（2007福建文)等比数列{a n}中，a4=4,则a2·a6等于（）
A.4
B.8
C.16
D.32
3.（2007重庆文）在等比数列{a n}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为（）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）8
4.(2005江苏)在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则=（）
A．84 B．72 C．33 D．189
5. (2008海南、宁夏文、理)设等比数列的公比，前n项和为，则（）
A. 2
B. 4
C.
D.
6.（2004全国Ⅲ卷文）等比数列中，，则的前4项和为（）
A．81 B．120 C．168 D．192
7.(2004春招安徽文、理)已知数列满足，
（），则当时，＝（）
（A）2n（B）（C）（D）
8.(2006辽宁理)在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于( )
(A)(B) (C) (D)
9.(2006湖北理)若互不相等的实数成等差数列,成等比数列,且,则( )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
10.(2007海南、宁夏文)已知成等比数列，且曲线
的顶点是，则等于（）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．
二、填空题：（每小题5分，计20分）
11.（2006湖南文）若数列满足：，2，3….则
.
12.(2004全国Ⅰ卷文)已知等比数列{则该数列的通
项= .
13．（2005湖北理）设等比数列的公比为q，前n项和为S n，若S n+1,S n，S n+2成等差数列，则q的值为.
14.（2002北京文、理）等差数列中，a1=2，公差不为零，且a1，
a3，a11 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于_____________.
三、解答题：（15、16题各12分，其余题目各14分）
15.（2006全国Ⅰ卷文）已知为等比数列，，求
的通项式。
16.（2007全国Ⅱ文）设等比数列{a n}的公比q<1,前n项和为S n.已知a3=2,S4=5S2,求{a n}的通项公式.
17.（2004全国Ⅳ卷文）已知数列{}为等比数列，
（Ⅰ）求数列{}的通项公式；
（Ⅱ）设是数列{}的前项和，证明
18.(2002广东、河南、江苏)设{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，a1＝
b1 ＝1, a2+a4 ＝b3，
b2b4＝a3.分别求出{a n}及{b n}的前10项的和S10及T10.
19.（2000广东）设为等比数列，，已
知，。
（Ⅰ）求数列的首项和通项公式；（Ⅱ）求数列的通项公式。
20．.(2008陕西文)已知数列的首项，，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）数列的前项和．
历届高考中的“等比数列”试题精选
参考答案
一、选择题：（每小题5分，计50分）
题号12345678910答案
C
C
A
A
C
B
D
C
D
B
二、填空题：（每小题5分，计20分） 11．； 12．； 13．； 14．4
三、解答题：（15、16题各12分，其余题目各14分）
15．解: 设等比数列{a n }的公比为q, 则q ≠0, a 2=a3q = 2
q , a 4=a 3q=2q
所以 2q + 2q=203 , 解得q 1=1
3 , q 2= 3,
当q=13时, a 1=18.所以 a n =18×(13)n －1=183n －1
= 2×33－n .
当q=3时, a 1= 29 , 所以a n =2
9 ×3n －1=2×3n －3.
16．解：由题设知，
则
②
由②得，，
，
因为，解得或．
当时，代入①得，通项公式； 当
时，代入①得
，通项公式
．
17.解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2=a 1q, a 5=a 1q 4. 依题意，
得方程组
解此方程组，得a 1=2, q=3. 故数列{a n }的通项公式为a n =2·3n －1. （II ）
18．解：∵ {a n }为等差数列，{b n }为等比数列，∴ a 2＋a 4＝2a 3,b 3b 4＝
b 32,
而已知a 2＋a 4＝b 3,b 3b 4＝a 3, ∴ b 3＝2a 3,a 3＝b 32.
∵ b 3≠0,∴ b 3＝12,a 3＝1
4
由 a 1＝1,a 3＝ 14 知{a n }的公差d ＝－3
8
∴ S 10＝10a 1＋10×92d ＝－55
8
由b 1＝1,b 3＝ 12 知{b n }的公比为q ＝22或q ＝－2
2
当q ＝22时，T 10＝b1(1－q10)1－q ＝31
32(2＋2)
当q ＝－22时，T 10＝b1(1－q10)1－q ＝31
32
(2－2)
19．（Ⅰ）解：设等比数列以比为，则。
………2分
∵， ∴。
……
……5分
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，故, 因此，，
解法二：设。
由（Ⅰ）知。
∴ …………8分
∴
20.解：（Ⅰ），，
，又，，
数列是以为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．设…，①
则…，②
由①②得…，
．又…．
数列的前项和．。