2017-2018学年九年级数学上册 二次函数 单元测试卷 含答案
九年级上册数学《二次函数》单元检测题(含答案)
【考试时间:90分钟分数:120分】
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)、
1.下列函数1个B.2个C.3个D.4个
2.已知二次函数 图象如图所示，给出以下结论:① ;② ;③ ;④ ，其中结论正确有()个．
A.2个B.3个C.4个D.5个
C.10D.无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线 自变量的取值范围问题，可得出二次函数的最值，再求和即可．
【详解】∵函数y=2(x−3)2−4的对称轴为x=3，
当x=3时，函数有最小值−4，
∵1≤x≤6，
∴当x=6时，函数的最大值为14，
∴最大值与最小值的和为−4+14=10.
故答案选C.
【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是根据抛物线与取值范围求出最值.
17.若抛物线y=2x2-px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为_________．
18.如图，利用一面墙(墙的长度不超过 )，用 长的篱笆围一个矩形场地，当 ________ 时，矩形场地的面积最大．
19.将一条长为20 cm 铁丝剪成两段并用每一段铁丝刚好围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是____________.
14.已知二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ，下列结论:① ;② ;③ ;④ ．正确的是________．
15.如图所示，有一根长 的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积 与它的一边长 之间的函数关系式________．
16.如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为______．
数学九年级上册《二次函数》单元测试题(带答案)
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征,主要利用了二次函数的增减性与对称性,根据顶点的纵坐标最小确定出抛物线开口向上是解题的关键.
8.若二次函数 的图象与 轴有两个交点,坐标分别是(x1,0),(x2,0),且 .图象上有一点 在 轴下方,则下列判断正确的是()
A. B. C. D.
【答案】D
A. –1≤x≤9B. –1≤x<9
C. –1<x≤9D.x≤–1或x≥9
7.已知两点 均在抛物线 上,点 是该抛物线 顶点,若 ,则 的取值范围是()
A. B. C. D.
8.若二次函数 的图象与 轴有两个交点,坐标分别是(x1,0),(x2,0),且 .图象上有一点 在 轴下方,则下列判断正确的是()
【解析】
【分析】
根据抛物线与x轴有两个不同的交点,根的判别式△＞0,再分a＞0和a＜0两种情况对C、D选项讨论即可得解．
【详解】A、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况,故本选项错误；
B、∵x1＜x2,
∴△=b2-4ac＞0,故本选项错误；
C、若a＞0,则x1＜x0＜x2,
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
答案与解析
一、选择题(共24分)
1.将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得图象的函数表达式是()
A.y＝(x－1)2＋2B.y＝(x＋1)2＋2C.y＝(x－1)2－2D.y＝(x＋1)2－2
20.在关于x,y的二元一次方程组 中．
(1)若a=3．求方程组的解；
(2)若S=a(3x+y),当a为何值时,S有最值．
2017-2018学年九年级数学上册《二次函数》测试题(含答案)
《二次函数》检测题（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --一、 选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卷中相应的位置上.1．由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3-=xC ．其最小值为1D ．当3<x 时，y 随x 的增大而增大2、k 为任何实数，则抛物线y ＝2(x ＋k)2－k 的顶点在（ ）上A 、直线y=x 上，B 、直线y= -xC 、x 轴D 、y 轴3、0=+q p ，抛物线q px x y ++=2必过点（ ）A 、（-1，1）B 、（1，-1）C 、（-1，-1）D 、（1，1 ） 4、已知点(3，1y ),(4，2y ), (5，3y )在函数y=2x 2+8x+7的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( )A 、y 1>y 2>y 3B 、y 2> y 1> y 3C 、y 2>y 3> y 1D 、y 3> y 2> y 15．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）A ．23(2)3y x =++B ．23(2)3y x =-+C ．23(2)3y x =+-D ．23(2)3y x =--6、抛物线234y x x =--+与坐标轴的交点个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 37、若点(2，5)，(4，5)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则它的对称轴是( )A ．a b x -=B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝3 8．二次函数c bx ax y ++=2的图象如右上图所示，则abc ，ac b 42-，b a +2，cb a ++这四个式子中，值为正数的有（ ）A ． 4个B ．3个C ．2个D ．1个 9、如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是（ ）A ． ﹣1＜x ＜5B ． x ＞5C ． x ＜﹣1且x ＞5D ． x ＜﹣1或x ＞5 10．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（ ）卷相应位置的横线上．11：抛物线422-+=x x y 的对称轴是________,顶点坐标是_________；12．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标(1, 3.2)--及部分图象（如图1所示），由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是1 1.3x =和2x =。
数学九年级上册《二次函数》单元测试卷附答案
九年级上册数学《二次函数》单元测试卷(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．下列函数关系中，可以看作二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）模型的是 A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D ．圆的周长与圆的半径之间的关系 2．抛物线y =–x 2+4x –4与坐标轴的交点个数为 A ．0B ．1C ．2D ．33．下列函数中，y 总随x 的增大而减小的是 A ．y =4xB ．y =–4xC ．y =x –4D ．y =x 24．将抛物线y =（x –1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是 A ．y =（x –1）2B ．y =（x –2）2+6C ．y =x 2D ．y =x 2+65．已知抛物线23(2)y ax x a =++-，a 是常数且0a <，下列选项中可能是它大致图象的是A ．B ．C ．D ．6．已知抛物线y =ax 2+bx +c 开口向下，顶点坐标（3，-5），那么该抛物线有 A ．最小值-5B ．最大值-5C ．最小值3D ．最大值37．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．a >0，bc >0，Δ<0B ．a <0，bc >0，Δ<0C ．a >0，bc <0，Δ<0D ．a <0，bc <0，Δ>08．已知二次函数215y x x =-+-，当自变量x 取m 时对应的值大于0，当自变量x 分别取1m -、1m +时对应的函数值为1y 、2y ，则1y 、2y 必须满足 A ．10y >、20y > B ．10y <、20y < C ．10y <、20y >D ．10y >、20y <9．用”描点法”画二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象时，列了如下表格：根据表格上的信息回答问题：一元二次方程ax 2+bx +c –5=0的解为 A ．x 1=–2，x 2=4B ．x 1=–1，x 2=3C ．x 1=3，x 2=4D ．x 1=–4，x 2=410．如图，在坐标平面上，二次函数y =–x 2+4x –k 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k >0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：3，则k 值为A ．1B ．12C ．34D ．45二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11．把二次函数y =2x 2–8x +9，化成y =a （x –h ）2+k 的形式是：__________． 12．二次函数y =12（x +2）2+3的顶点坐标是__________． 13．已知二次函数2(2)y m x =-的图象开口向下，则m 的取值范围是__________． 14．如果二次函数22my mx -=（m 为常数）的图象有最高点，那么m 的值为__________．15．把抛物线y=22x先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是__________．16．已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴为直线x=1，且经过点（-1，y1），（-2，y2），试比较y1和y2的大小：y1__________y2（填”>“，”<“或”=“）．17．已知关于x的二次函数y=ax2-4ax+a2+2a-3在-1≤x≤3的范围内有最小值5，则a的值为__________．18．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x+m）2+n的顶点在线段AB上，与x 轴交于C，D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标的最大值为__________．19．直线y=ax+m和直线y=bx+n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为__________．20．如图，抛物线y=–2x2–8x–6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=–x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是__________．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）已知函数y=（m2-4）x2+（m2-3m+2）x-m-1．（1）当m为何值时，y是x的二次函数?（2）当m为何值时，y是x的一次函数?22．（6分）关于二次函数y =mx 2+（2m +4）x +8（m 为常数，且m ≠0），（1）证明：该函数与x 轴一定有交点； （2）若该函数经过点A （–1+1m，y 1），B （–1，y 2），请比较y 1，y 2的大小关系，并说明理由．23．（8分）已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A （0，3）和B （4，3）．（1）直接写出a ，b 之间的数量关系式：__________； （2）若抛物线的顶点在x 轴上，求a 的值；（3）若M （–1，0），N （3，0），且抛物线与线段MN 只有一个公共点，求a 的取值范围．24．（8分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y =–16x 2+bx +c 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3m ，到地面OA 的距离为172m ． （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过?25．（8分）把抛物线212y x =平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A （-6，0）和原点O （0，0），它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线212y x =交于点Q ．（1）求顶点P 的坐标； （2）写出平移过程； （3）求图中阴影部分的面积．26．（10分）为发展”低碳经济”，某单位花12500元引进了一条环保型生产线生产新产品，在生产过程中，每件产品还需成本40元，物价部门规定该产品售价不得低于100元/件且不得高于150元/件，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）第一个月该单位是盈利还是亏损?求出当盈利最大或亏损最小时的产品售价；（3）在（2）的前提下，即在第一个月盈利最大或亏损最小时，第二个月公司重新确定产品售价，能否使两个月共盈利达10800元?若能，求出第二个月的产品售价；若不能，请说明理由．27．（10分）设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a=-c，b=2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的”反倍顶二次函数”．（1）请写出二次函数y=x2+x+1的一个”反倍顶二次函数”；（2）已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=nx2+x，函数y1+y2恰是y1-y2的”反倍顶二次函数”，求n．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=–43x2+bx+c过A（3，0），B（0，2）两点．点N为第一象限内抛物线上一动点，点N的横坐标为m，过点N作NM⊥x轴于M，交直线AB于点P．（1）求抛物线的解析式；（2）若PN=2PM，求此时点N的坐标；（3）连接AN，设△ANB的面积为S．求S关于m的函数关系式．参考答案1．【答案】C【解析】A、v=st，是反比例函数，错误；B、y=m（1+1%）x，不是二次函数，错误；C、S=-x2+12cx，是二次函数，正确；D、C=2πr，是正比例函数，错误，故选C．2．【答案】C【解析】当x=0时，y=–x2+4x–4=–4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，–4），当y=0时，–x2+4x–4=0，解得x1=x2=2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），所以抛物线与坐标轴有2个交点．故选C．【名师点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，分为两种情况：与x轴的交点，与y轴的交点．与x 轴的交点可以转化为解关于x的一元二次方程；与y轴的交点取x=0时即可．3．【答案】B【解析】y=4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，y=–4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，y=x–4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，y=x2中，当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意，故选B．【名师点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．4．【答案】C【解析】∵向左平移1个单位，再向下平移3个单位，∴y=（x–1+1）2+3–3．故得到的抛物线的函数关系式为：y=x2．故选C．5．【答案】B【解析】∵抛物线y=ax2+3x+（a-2），a是常数且a<0，∴图象开口向下，a-2<0，∴图象与y轴交于负半轴，∵a<0，b=3，∴抛物线对称轴在y轴右侧．故选B．6．【答案】B【解析】由抛物线的开口向下和其顶点坐标为（3，-5），根据抛物线的性质，可以知该抛物线有最大值-5．故选B．7．【答案】D【解析】∵抛物线开口向下，∴a <0，∵对称轴x =02ba-<，∴b <0，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c >0，∴bc <0，抛物线与x 轴有两个交点，∴Δ>0．故选D ． 8．【答案】B 【解析】令y =−x 2+x −15=0，解得x=510±∵当自变量x 取m 时对应的值大于0，∴510-<m<10， ∵点（m +1，0）与（m -1，0）之间的距离为2，大于二次函数与x 轴两交点之间的距离，∴m -1的最大值在左边交点之左，m +1的最小值在右边交点之右．∴点（m +1，0）与（m -1，0）均在交点之外，∴y 1<0，y 2<0．故选B ． 9．【答案】A【解析】方法一：由题意可知点（0，–3），（1，–4），（2，–3）在二次函数y =ax 2+bx +c 的图象上，则34423c a b c a b c =-++=-++=-⎧⎪⎨⎪⎩，解得123a b c ==-=-⎧⎪⎨⎪⎩，所以一元二次方程ax 2+bx +c –5=0可化为：x 2–2x –3–5=0，解得x 1=–2，x 2=4，故选A ．方法二：因为二次函数的图象具有对称性，观察表格可知当x =0和x =2时对应的y 值相等，所以二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为x =1，又由表格可知当x =4时y =5，所以当x =–2时y 的值也为5，所以ax 2+bx +c –5=0的解应该为x 1=–2，x 2=4，故选A ． 10．【答案】A【解析】二次函数y =–x 2+4x –k 顶点坐标为（2，4–k ），C （0，–k ）， ∵△ABC 与△ABD 的面积比为1：3，∴||4k k --＝13， ∵k >0，∴4kk -＝13，∴k =1；故选A ． 【名师点睛】本题考查二次函数图象及性质，三角形的面积与坐标的关系；熟练掌握二次函数顶点和与坐标轴上点的求法，将三角形面积转化为点坐标的关系是解题的关键． 11．【答案】y =2（x –2）2+1【解析】y =2x 2–8x +9=2（x 2–4x ）+9=2（x –2）2+1．所以y =2（x –2）2+1． 故答案为：y =2（x –2）2+1．【名师点睛】本题考查了二次函数的三种形式，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 12．【答案】（–2，3）【解析】二次函数y =12（x +2）2+3的图象的顶点坐标是（–2，3）．故答案为：（–2，3）． 【名师点睛】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y =a （x –h ）2+k （a ≠0）的顶点坐标为（h ，k ），注意符号问题． 13．【答案】m <2【解析】由二次函数2(2)y m x =-的图象的开口方向，知m -2<0，确定m 的取值范围m <2．故答案为：m <2． 14．【答案】–2【解析】∵二次函数y =mx m 2−2（m 为常数）的图象有最高点，则图象开口向下，∴2220m m =⎩-⎧⎨＜，解得m =–2，故答案为：–2． 【名师点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数的定义及开口方向确定m 的值，难度不大．15．【答案】y =2（x +1）2-2【解析】将抛物线y =2x 2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得新抛物线的解析式为：y = 2（x +1）2-2．故答案为：y =2（x +1）2-2． 16．【答案】<【解析】∵抛物线y =ax 2+bx +c （a >0）的对称轴为直线x =1，且经过点（-1，y 1），（-2，y 2），∴点（-1，y 1）直线x =1最近，点（-2，y 2）离直线x =1最远，∵抛物线开口向上，∴y 1<y 2．故答案为：<． 17．【答案】4或-8【解析】根据函数解析式可得函数的对称轴为直线x =2；当a >0，则当x =2时函数的最小值为5，即248235a a a a -++-=，解得：a =4或a =-2（舍去）；当a <0时，则当x =-1时函数的最小为5，即24235a a a a +++-=，解得：a =-8或x =1（舍去）．综上所述a =4或a =-8．故答案为：4或-8．18．【答案】8【解析】当点C 横坐标为−3时，抛物线顶点为A （1，4），对称轴为x =1，此时D 点横坐标为5，则CD =8；当抛物线顶点为B （4，4）时，抛物线对称轴为x =4，且CD =8，故C （0，0），D （8，0）；由于此时D 点横坐标最大，故点D 的横坐标最大值为8．故选D ． 19．【答案】直线x =–18【解析】如图可知，当x =2时，2a +m =2b +n ，得2a –2b =n –m ；当x =3时，y 1=3a +m ①，当x =6时，y 2=6b +n ②，且y 1=y 2； ②–①得n –m =3a –6b ， ∴2a –2b =3a –6b ，∴a =4b ．由二次函数的性质可知，其对称轴为直线x =–2b a =–18． 故答案为：直线x =–18． 【名师点睛】本题主要考查二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据一次函数图象建立方程组，求出a 、b 的等量关系式． 20．【答案】–3<m <–158【解析】令y =–2x 2–8x –6=0，即x 2+4x +3=0，解得x =–1或–3， 则点A （–1，0），B （–3，0），由于将C 1向左平移2个长度单位得C 2，则C 2解析式为y =–2（x +4）2+2（–5≤x ≤–3）， 当y =–x +m 1与C 2相切时， 令y =–x +m 1=–2（x +4）2+2， 即2x 2+15x +30+m 1=0， △=–8m 1–15=0，解得m 1=–158， 当y =–x +m 2过点B 时，即0=3+m 2，m 2=–3，当–3<m <–158时直线y =–x +m 与C 1、C 2共有3个不同的交点， 故答案为：–3<m <–158．【名师点睛】本题主要考查抛物线与x 轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．21．【解析】（1）由m2-4≠0，解得m≠±2．故当m≠±2时，y是x的二次函数．（2分）（2）由m2-4=0，解得m=±2．由m2-3m+2≠0，解得m≠1，m≠2．所以m=-2．因此，当m=-2时，y是x的一次函数．（6分）22．【解析】（1）二次函数y=mx2+（2m+4）x+8，Δ=（2m+4）2–32m=4m2–32m+16=（2m–4）2≥0，∴函数与x轴一定有交点；（3分）（2）函数的对称轴为x=–1–2m，当m>0时，–1+1m>–1>–1–2m，∴y随x的增大而增大，∴y1>y2；当m<0时，–1–2m>–1>–1+1m，∴y随x的增大而增大，∴y2>y1．（6分）【名师点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴与函数值之间的关系是解题的关键．23．【解析】（1）将A（0，3）和B（4，3）代入y=ax2+bx+c中得31643ca b c=++=⎧⎨⎩，∴4a+b=0，故答案为：4a+b=0；（2分）（2）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3）和B（4，3），∴对称轴为直线x=2，∵x=2时，y=4a+2b+c=b+3，∴顶点坐标为（2，b+3），∵抛物线的顶点在x轴上，∴b+3=0，∴b=–3，∴a=34；（4分）（3）y=ax2–4ax+3，∴其对称轴是x=2．①当抛物线开口向上时，∵抛物线与线段MN只有一个公共点，∴抛物线与x轴只有一个交点，此时，Δ=0或(3)0f∆><⎧⎨⎩，解得a=34或a>1；（6分）②当抛物线开口向下时，1()0f∆>-≤⎧⎨⎩，解得a≤–35，综上，抛物线与线段MN只有一个公共点时，a的取值范围是a≤–35或a>1或a=34．（8分）【名师点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求解，二次函数的性质，求出函数解析式是解题的关键．24．【解析】（1）根据题意得B （0，4），C （3，172）， 把B （0，4），C （3，172）代入y =–16x 2+bx +c ， 得241173362c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得24b c ==⎧⎨⎩． 所以抛物线解析式为y =–16x 2+2x +4， 则y =–16（x –6）2+10，所以D （6，10）， 所以拱顶D 到地面OA 的距离为10m ；（4分）（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA 的交点为（2，0）或（10，0），当x =2或x =10时，y =223>6， 所以这辆货车能安全通过．（8分）【名师点睛】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．25．【解析】（1）平移的抛物线解析式为1(6)2y x x =+=2132x x +=219(3)22x +-， 所以顶点P 的坐标为（-3，92-）．（3分） （2）把抛物线212y x =先向左平移3个单位，再向下平移92个单位即可得到抛物线219(3)22y x =+-．（6分） （3）图中阴影部分的面积=1273922OPQ S =⨯⨯=△．（8分）26．【解析】（1）设y =kx +b ，由图象可得：100160150110k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1260k b =-⎧⎨=⎩，故函数解析式为：y =-x +260（100≤x ≤150）．（4分）（2）设公司第一个月的盈利为w 元，由题意得，w =y （x -40）-12500=-x 2+300x -10400-12500=-（x -150）2-400，∴第一个月公司亏损了，最小亏损为400元，此时商品售价定为150元/件．（7分） （3）由题意，两个月共盈利10800元，得：-x 2+300x -10400-400=10800， 解得x 1=120，x 2=180，又∵100≤x ≤150，∴x =120，∴每件商品售价定为120元时，公司两个月可盈利10800元．（10分）27．【解析】（1）∵y =x 2+x +1，∴y =213()24x ++， ∴二次函数y =x 2+x +1的顶点坐标为（-12，34）， ∴二次函数y =x 2+x +1的一个”反倍顶二次函数”的顶点坐标为（12，32）， ∴反倍顶二次函数的解析式为y =x 2-x +74．（5分） （2）y 1+y 2=x 2+nx +nx 2+x =（n +1）x 2+（n +1）x ，y 1+y 2=（n +1）（x 2+x +14）-14n +， 顶点坐标为（-12，-14n +），（7分） y 1-y 2=x 2+nx -nx 2-x =（1-n ）x 2+（n -1）x ，y 1-y 2=（1-n ）（x 2-x +14）-14n -，顶点坐标为（12，-14n -）， 由于函数y 1+y 2恰是y 1-y 2的”反倍顶二次函数”，则-2×14n -=-14n +， 解得n =13．（10分） 28．【解析】（1）抛物线过点B （0，2），∴c =2，把点A 坐标（3，0）代入二次函数表达式得：0=–43×9+3b +2，解得：b =103， 故抛物线的表达式为：y =–43x 2+103x +2；（4分） （2）设直线AB 的表达式为：y =kx +2，将点A坐标（3，0）代入上式得：0=3k+2，解得：k=–23，则直线AB的表达式为：y=–23x+2，点N的横坐标为m，则点N坐标为（m，–43m2+103m+2）、点P坐标为（m，–23m+2）、点M坐标为（m，0），则PM=–23m+2，PN=–43m2+103m+2–（–23m+2）=–43m2+4m，由PN=2PM，解得：m=3或1（舍去m=3），故点N的坐标为（1，4）；（8分）（3）由（2）得：PN=–43m2+4m，则S=12•PN•x A=–2m2+6m（0<x<3）．（10分）。
九年级上册数学《二次函数》单元综合测试卷含答案
一、单选题
1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论：①2a+b<0;②abc>0;③4a−2b+c>0;④a+c>0,其中正确结论的个数为( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向和对称轴判断①；根据抛物线与y轴的交点和对称轴判断②；根据x=-2时，y<0判断③；根据x=±1时，y>0判断④．
（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图，在(1)的条件下，点P的坐标为(-1，1)，点Q(6，t)是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2,问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．
18.已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
19.如图，已知二次函数 的图象经过 ， 两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
C.先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D.先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
9.已知二次函数y=ax2+bx+c 图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：① =﹣1；②ac+b+1=0；③abc＞0；④a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（ ）
数学九年级上册《二次函数》单元检测题(附答案)
九年级上册数学《二次函数》单元测试卷考试总分：120 分考试时间：120 分钟一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）1.函数（是常数）是二次函数的条件是（）A. B. C. D.2.如图，二次函数的图象经过点和，下列关于此二次函数的叙述，正确的是（）A. 当时，的值小于B. 当时，的值大于C. 当时，的值等于D. 当时，的值大于3.函数的图象大致为（）A. B. C. D.4.已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的条件下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）.A. 1或-5B. -1或5C. 1或-3D. 1或35.抛物线的顶点坐标是（）A. (3, 1)B. (-3, 1)C. (1, -3)D. (1, 3)6.二次函数的图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示则：①；②；③；④；⑤当时，．其中判断正确的有（）个．A. 2B. 3C. 4D. 57.如图所示为二次函数的图象，在下列选项中错误的是（）A.B. 时，随的增大而增大C.D. 方程的根是，8.二次函数、、是常数的大致图象如图所示，抛物线交轴于点，．则下列说法中，正确的是（）A. abc>0B. b-2a=0C. 3a+c>0D. 9a+6b+4c>09.二次函数的图象如图所示，若点，是图象上的两点，则与的大小关系是（）A. y1<y2B. y1=y2C. y1>y2D. 不能确定10.物体在地球的引力作用下做自由下落运动，它的运动规律可以表示为：．其中表示自某一高度下落的距离，表示下落的时间，是重力加速度．若某一物体从一固定高度自由下落，其运动过程中下落的距离和时间函数图象大致为（）A. B. C. D.二、填空题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）11.已知某商品销售利润（元）与该商品销售单价（个）满足，则该商品获利最多为________元．12.已知二次函数y ＝ax2＋bx＋c 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x …－4－3－2－10…y …3－2－5－6－5…则x＜－2时， y的取值范围是▲ ．13.已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当，，，时二次函数的图象，它们的顶点在一条直线上，则这条直线的解析式是________．14.将二次函数配方成的形式，则y=_________________.15.如图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写正确结论的序号）16.已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥当时，随的增大而增大．其中正确的说法有________（写出正确说法的序号）17.如图，已知点，，…，在函数位于第二象限的图象上，点，，…，在函数位于第一象限的图象上，点，，…，在轴的正半轴上，若四边形、，…，都是正方形，则正方形的边长为________．18.二次函数的部分对应值如下表：…………①抛物线的顶点坐标为；②与轴的交点坐标为；③与轴的交点坐标为和；④当时，对应的函数值为．以上结论正确的是________．19.已知点、三点都在抛物线的图象上，则、的大小关系是________．（填“、、”）20.如图，是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③的两根分别为和；④．其中正确的命题是________．（只要求填写正确命题的序号）三、解答题（共6 小题，每小题10 分，共60 分）21.某校为绿化校园，在一块长为米，宽为米的长方形空地上建造一个长方形花圃，如图设计这个花圃的一边靠墙（墙长大于米），并在不靠墙的三边留出一条宽相等的小路，设小路的宽为米，花圃面积为为平方米，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域．22.某企业是一家专门生产季节性产品的企业，经过调研预测，它一年中获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式．若利润为万元，求的值．哪一个月能够获得最大利润，最大利润是多少？当产品无利润时，企业会自动停产，企业停产是哪几个月份？23.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设的长度为米，矩形区域的面积为米．求证：；求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；为何值时，有最大值？最大值是多少？24.已知二次函数的图象与坐标轴交点的坐标分别为，，．求此函数的解析式；求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；根据图象直接写出时的取值范围．25.如图，已知二次函数的图象过点和点，对称轴为直线．求该二次函数的关系式和顶点坐标；结合图象，解答下列问题：①当时，求函数的取值范围．②当时，求的取值范围．26.在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点、的坐标分别是、，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．如抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式；在情况下，点是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的坐标；在的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当、、、构成以作为一边的平行四边形时，求点的坐标．参考答案一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）1.函数（是常数）是二次函数的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题解析：根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0，b，c可以是任意实数，故选D．2.如图，二次函数的图象经过点和，下列关于此二次函数的叙述，正确的是（）A. 当时，的值小于B. 当时，的值大于C. 当时，的值等于D. 当时，的值大于【答案】B【解析】【分析】根据抛物线与y轴的交点位置对A进行判断；根据二次函数的性质，当x=-2时，y=1，则x=-3时，y＞1，于是可对B进行判断；根据图象，当x=5时，不能确定函数值等于0，则可对C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对D进行判断．【详解】解：A、抛物线与y轴的交点在x轴下方，且在点（1，-1）上方，所以x=0时，-1＜y＜0，所以A 选项错误；B、当x=-3时，y＞1，所以B选项正确；C、当x=5时，不能确定函数值等于0，所以C选项错误；D、当x=1时，y=-1，所以D选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．3.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：本题考查二次函数的图形问题.解析：函数的二次项系数为-1，所以开口向下，抛物线与y轴的交点为（0，1）.故选B.4.已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的条件下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）.A. 1或-5B. -1或5C. 1或-3D. 1或3【答案】B【解析】分析：由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x>h时，y随x的增大而增大、当x<h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h<1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3<h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．详解：本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键.5.抛物线的顶点坐标是（）A. (3, 1)B. (-3, 1)C. (1, -3)D. (1, 3)【答案】A【解析】【分析】直接根据二次函数的顶点式可得出结论．【详解】解：∵抛物线的解析式为：y=2（x-3）2+1，∴其顶点坐标为（3，1）．故选：A．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．6.二次函数的图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示则：①；②；③；④；⑤当时，．其中判断正确的有（）个．A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b 与0的关系以及2a+b=0；当x=-1时，y=a-b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．【详解】解：①∵开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴-＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故正确；②∵对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点横坐标在2与3之间，∴另一个交点的横坐标在0与-1之间；∴当x=-1时，y=a-b+c＜0，故正确；③∵对称轴x=-=1，∴2a+b=0；故正确；④∵2a+b=0，∴b=-2a，∵当x=-1时，y=a-b+c＜0，∴a-（-2a）+c=3a+c＜0，故正确；⑤如图，当-1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误．∴正确的有4个．故选：C．【点睛】此题考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．7.如图所示为二次函数的图象，在下列选项中错误的是（）A.B. 时，随的增大而增大C.D. 方程的根是，【答案】C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点得出c的值，根据开口方向及对称轴判断二次函数的增减性，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：A、由二次函数的图象开口向上可得a＞0，由抛物线与y轴交于x轴下方可得c＜0，所以ac ＜0，正确；B、由a＞0，对称轴为x=1，可知x＞1时，y随x的增大而增大，正确；C、把x=1代入y=ax2+bx+c得，y=a+b+c，由函数图象可以看出x=1时二次函数的值为负，错误；D、由二次函数的图象与x轴交点的横坐标是-1或3，可知方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3，正确．故选：C．【点睛】由图象找出有关a，b，c的相关信息以及抛物线的交点坐标，会判断二次函数的增减性，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=a-b+c，然后根据图象判断其值．8.二次函数、、是常数的大致图象如图所示，抛物线交轴于点，．则下列说法中，正确的是（）A. abc>0B. b-2a=0C. 3a+c>0D. 9a+6b+4c>0【答案】D【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：A、∵根据图示知，抛物线开口方向向下，∴a＜0；∵抛物线交x轴于点（-1，0），（3，0），∴对称轴x==-=1，∴b=-2a＞0．∵根据图示知，抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0．故本选项错误；B、∵对称轴x==-=1，∴b=-2a，∴b+2a=0．故本选项错误；C、根据图示知，当x=-1时，y=0，即a-b+c=a+2a+c=3a+c=0．故本选项错误；D、∵a＜0，c＞0，∴-3a＞0，4c＞0，∴-3a+4c＞0，∴9a+6b+4c=9a-12a+4c=-3a+4c＞0，即9a+6b+4c＞0．故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．9.二次函数的图象如图所示，若点，是图象上的两点，则与的大小关系是（）A. y1<y2B. y1=y2C. y1>y2D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】直接利用二次函数的性质得出其增减性，再利用A，B点横坐标得出答案．【详解】解：如图所示：x＞-3时，y随x的增大而减小，∵1＜2，∴y1＞y2．故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出二次函数增减性是解题关键．10.物体在地球的引力作用下做自由下落运动，它的运动规律可以表示为：．其中表示自某一高度下落的距离，表示下落的时间，是重力加速度．若某一物体从一固定高度自由下落，其运动过程中下落的距离和时间函数图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据函数关系式为h=gt2确定图象属于那一类函数的图象，再根据g、t的取值范围确定图象的具体形状．【详解】解：t为未知数，关系式h=gt2为二次函数，∵g为正常数∴抛物线开口方向向上，排除C、D；又∵时间t不能为负数，∴图象只有右半部分．故选：B．【点睛】根据关系式判断属于哪一类函数，关键要会判断未知数及未知数的指数的高低．二、填空题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）11.已知某商品销售利润（元）与该商品销售单价（个）满足，则该商品获利最多为________元．【答案】【解析】【分析】由题意知利润y（元）与销售的单价x（元）之间的关系式，化为顶点式求出y的最大值．【详解】解：利润y（元）与销售的单价x（元）之间的关系为y=-20x2+1400x-2000=-20（x-35）2+22500．∵-20＜0∴当x=35元时，y最大为22500元．即该商品获利最多为22500元．故答案为：22500．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数的顶点式解决实际问题．12.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x …－4－3－2－10…y…3－2－5－6－5…则x＜－2时， y的取值范围是▲．【答案】y＞－5【解析】考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．分析：根据图表知二次函数的顶点坐标是（-1，-6），可将二次函数的解析式设为顶点式，任取一点坐标代入即可求得二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质填空．解：由图表知，二次函数的顶点坐标是（-1，-6），可设二次函数的解析式为：y=a（x+1）2-6；∵二次函数经过点（0，-5），∴-5=a-6，解得，a=1，∴二次函数的解析式为：y=（x+1）2-6；∴当x＜-2时，y＞-5；故答案为：y＞-5．13.已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当，，，时二次函数的图象，它们的顶点在一条直线上，则这条直线的解析式是________．【答案】【解析】【分析】已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出x、y的关系式．【详解】解：y=x2-4ax+4a2+a-1=（x-2a）2+a-1，∴抛物线顶点坐标为：（2a，a-1），设x=2a①，y=a-1②，①-②×2，消去a得，x-2y=2，即y=x-1．故答案为：y=x-1．【点睛】此题主要考查了根据顶点式求顶点坐标的方法，消元的思想．主要利用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出是解题关键．14.将二次函数配方成的形式，则y=_________________.【答案】【解析】试题解析：利用配方法将一次项和二次项组合，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即=x2-2x+1+2=(x-1)2+2.15.如图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写正确结论的序号）【答案】①②【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①根据图象知，当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0；故①正确；②∵该函数图象的开口向下，∴a＜0；又∵对称轴-1＜x=-＜0，∴2a-b＜0，故②正确；③∵a＜0，-＜0，∴b＜0．∵抛物线交y轴与正半轴，∴c＞0．∴abc＞0，故③错误．④∵y=＞2，a＜0，∴4ac-b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④错误．综上所述，正确的结论有①②．故答案为：①②．【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，掌握相关性质是解题的关键．16.已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥当时，随的增大而增大．其中正确的说法有________（写出正确说法的序号）【答案】②④⑤【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①由二次函数的图象开口向下可得a＜0，由抛物线与y轴交于x轴上方可得c＞0，由对称轴0＜x＜1，得出b＞0，则abc＜0，故①错误；②∵对称轴0＜x＜1，-＜1，a＜0，∴-b＞2a，∴2a+b＜0，故②正确；③把x=-1时代入y=ax2+bx+c=a-b+c，结合图象可以得出y＞0，即a-b+c＞0，故③错误；④把x=-1时代入y=ax2+bx+c=a-b+c，结合图象可以得出y＞0，即a-b+c＞0，a+c＞b，∵b＞0，∴a+c＞0，故④正确；⑤∵图象与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，∴b2＞4ac，故⑤正确；⑥当x＞1时，y随x的增大而减小，故⑥错误；故答案为：②④⑤．【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，然后根据图象判断其值．17.如图，已知点，，…，在函数位于第二象限的图象上，点，，…，在函数位于第一象限的图象上，点，，…，在轴的正半轴上，若四边形、，…，都是正方形，则正方形的边长为________．【答案】【解析】【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得OB1与y轴的夹角为45°，然后表示出OB1的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B1的坐标，然后求出OB1的长，再根据正方形的性质求出OC1，表示出C1B2的解析式，与抛物线联立求出B2的坐标，然后求出C1B2的长，再求出C1C2的长，然后表示出C2B3的解析式，与抛物线联立求出B3的坐标，然后求出C2B3的长，从而根据边长的变化规律解答即可．【详解】解：∵OA1C1B1是正方形，∴OB1与y轴的夹角为45°，∴OB1的解析式为y=x联立，解得或，∴点B1（1，1），OB1==，∵OA1C1B1是正方形，∴OC1=OB1=×=2，∵C1A2C2B2是正方形，∴C1B2的解析式为y=x+2，联立，解得，或，∴点B2（2，4），C1B2==2，∵C1A2C2B2是正方形，∴C1C2=C1B2=×2=4，∴C2B3的解析式为y=x+（4+2）=x+6，联立，解得，或，∴点B3（3，9），C2B3==3，…，依此类推，正方形C2010A2011C2011B2011的边长C2010B2011=2011．故答案为：2011．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．18.二次函数的部分对应值如下表：…………①抛物线的顶点坐标为；②与轴的交点坐标为；③与轴的交点坐标为和；④当时，对应的函数值为．以上结论正确的是________．【答案】①②④【解析】【分析】由上表得与y轴的交点坐标为（0，-8）；与x轴的一个交点坐标为（-2，0）；函数图象有最低点（1，-9）；有抛物线的对称性可得出可得出与x轴的另一个交点坐标为（4，0）；当x=-1时，对应的函数值y为-5．从而可得出答案．【详解】根据上表可画出函数的图象，由图象可得，①抛物线的顶点坐标为（1，-9）；②与y轴的交点坐标为（0，-8）；③与x轴的交点坐标为（-2，0）和（4，0）；④当x=-1时，对应的函数值y为-5．故答案是：①②④．【点睛】考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，体现了数形结合的思想方法．19.已知点、三点都在抛物线的图象上，则、的大小关系是________．（填“、、”）【答案】【解析】【分析】本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系．【详解】解：∵二次函数y=x2+2的图象的对称轴是y轴，在对称轴的左面y随x的增大而减小，∵点A（-4，y1）、B（-3，y2）是二次函数y=x2+2的图象上两点，-4＜-3，∴y1＞y2．故答案为：y1＞y2．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．20.如图，是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③的两根分别为和；④．其中正确的命题是________．（只要求填写正确命题的序号）【答案】①③【解析】【分析】由图象可知过（1，0），代入得到a+b+c=0；根据-=-1，推出b=2a；根据图象关于对称轴对称，得出与X 轴的交点是（-3，0），（1，0）；由a-2b+c=a-2b-a-b=-3b＜0，根据结论判断即可．【详解】解：由图象可知：过（1，0），代入得：a+b+c=0，∴①正确；-=-1，∴b=2a，∴②错误；根据图象关于对称轴x=-1对称，与X轴的交点是（-3，0），（1，0），∴③正确；∵b=2a＞0，∴-b＜0，∵a+b+c=0，∴c=-a-b，∴a-2b+c=a-2b-a-b=-3b＜0，∴④错误．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查对二次函数与X轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定系数的正负是解此题的关键．三、解答题（共6 小题，每小题10 分，共60 分）21.某校为绿化校园，在一块长为米，宽为米的长方形空地上建造一个长方形花圃，如图设计这个花圃的一边靠墙（墙长大于米），并在不靠墙的三边留出一条宽相等的小路，设小路的宽为米，花圃面积为为平方米，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域．【答案】【解析】【分析】设小路的宽为x米，那么长方形花圃的长为（15-2x），宽为（10-x），花圃面积为y平方米，根据长方形面积公式即可列出方程，进而求出函数的定义域．【详解】解：设小路的宽为米，那么长方形花圃的长为，宽为，根据题意得，由，解得．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是设出小路的宽，表示出长方形花圃的长和宽，根据面积这个等量关系可列出方程．22.某企业是一家专门生产季节性产品的企业，经过调研预测，它一年中获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式．若利润为万元，求的值．哪一个月能够获得最大利润，最大利润是多少？当产品无利润时，企业会自动停产，企业停产是哪几个月份？【答案】(1)或；(2)月能够获得最大利润，最大利润是万；(3) 该企业一年中应停产的月份是月、月、月【解析】【分析】（1）把y=21代入，求出n的值即可；（2）根据解析式，利用配方法求出二次函数的最值即可；（3）根据解析式，求出函数值y等于0时对应的月份，依据开口方向以及增减性，再求出y小于0时的月份即可解答．【详解】解：由题意得：，解得：或；，∵，∴开口向下，有最大值，即时，取最大值，故月能够获得最大利润，最大利润是万；）∵，当时，或者．又∵图象开口向下，∴当时，，当时，，当时，，则该企业一年中应停产的月份是月、月、月．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是熟练运用配方法求二次函数的最大值，借助二次函数解决实际问题．23.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设的长度为米，矩形区域的面积为米．求证：；求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；为何值时，有最大值？最大值是多少？【答案】(1)见解析；（2）y=；（3）当时，有最大值，最大值为平方米【解析】【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE；（2）设BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；（3）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．【详解】解：∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形面积是矩形面积的倍，又∵是公共边，∴；设，则，∴，∴，，∴，∵，∴，∴∵，且二次项系数为，∴当时，有最大值，最大值为平方米．【点睛】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．24.已知二次函数的图象与坐标轴交点的坐标分别为，，．求此函数的解析式；求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；根据图象直接写出时的取值范围．【答案】（1）函数的解析式即；（2）抛物线的开口向上，对称轴为直线=1, 顶点坐标；（3）当时，．【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x-x1）（x-x2），再把A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）代入即可得出此函数的解析式；（2）根据a的符号判断抛物线的开口方向、由顶点公式得出对称轴及顶点坐标；（3）由题意把函数转化为不等式，得x2-2x-3＞0，从而求出x的取值范围．【详解】解：设抛物线的解析式为，把，，代入得，解得，∴此函数的解析式即；∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，，顶点坐标；∵，即图象在轴的下方，∴由图象可知：当时，．【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及用待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线的顶点坐标的方法，是中考的常见题型．25.如图，已知二次函数的图象过点和点，对称轴为直线．求该二次函数的关系式和顶点坐标；结合图象，解答下列问题：①当时，求函数的取值范围．②当时，求的取值范围．【答案】(1)抛物线的顶点坐标为；(2)①当时，；②当时，或．【解析】【分析】（1）把A点和C点坐标代入y=ax2+bx+c得到两个方程，再加上对称轴方程即可得到三元方程组，然后解方程组求出a、b、c即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式即可得到顶点坐标；（2）①先分别计算出x为-1和2时的函数值，然后根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围；②先计算出函数值为3所对应的自变量的值，然后根据二次函数的性质写出y＜3时，x的取值范围．【详解】解：根据题意得，解得，所以二次函数关系式为，因为，所以抛物线的顶点坐标为；①当时，；时，；而抛物线的顶点坐标为，且开口向下，所以当时，；②当时，，解得或，所以当时，或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．26.在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点、的坐标分别是、，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．如抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式；在情况下，点是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的坐标；在的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当、、、构成以作为一边的平行四边形时，求点的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为：；(2) 当时，的面积最大，最大值，的坐标为：；(3) 点的坐标为：，，，【解析】【分析】（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：（x，-x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案；（3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．【详解】解：∵平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形，且点的坐标是，∴点的坐标为：，。
【单元测试】2017-2018学年 九年级数学上册 二次函数 单元检测题(含答案)
2017-2018学年九年级数学上册二次函数单元检测题一、选择题：1、抛物线y=-(x-2)2+3的顶点坐标是( ）A.(-2，-3）B.(-2,3）C.(2，-3）D.(2,3）2、抛物线y=(x+1）2+2的对称轴为( )A.直线x=1B.直线y=1C.直线y=﹣1D.直线x=﹣13、下列说法错误的是( )A.二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大B.二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0C.a越大图象开口越小，a越小图象开口越大D.不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0）的顶点一定是坐标原点4、将抛物线y=x2-2x+3平移得到抛物线y=x2，则这个平移过程正确的是( )A.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位5、若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为( ）A.x1=0，x2=4B.x1=1，x2=5C.x1=1，x2=﹣5D.x1=﹣1，x2=56、已知抛物线y=x2－8x＋c的顶点在x轴上，则c的值是( )A.16B.－4C.4D.87、二次函数y=kx2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是( )A.k＜1B.k＜1且k≠0C.k≤1D.k≤1且k≠08、生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )A.5月B.6月C.7月D.8月9、向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c(a≠0）.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( ）A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒10、已知二次函数y=﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示，点A(x1，y1），B(x2，y2）在函数的图象上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系正确的是( ）A.y1＞y2B.y1≤y2C.y1＜y2D.y1≥y211、已知二次函数y=x2－2x－3，点P在该函数的图象上，点P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2.设d=d1+d2,下列结论中：①d没有最大值；②d没有最小值；③；－1＜x＜3时， d随x的增大而增大；④满足d=5的点P有四个.其中正确结论的个数有( ）A.1个B.2个C.3个D.4个12、如图是二次函数y=ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为x=－1，且过点(－3，0).下列说法：①abc＜0；②2a－b=0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－5，y1)，(2.5，y2)是抛物线上两点，则y1＞y2.其中正确的是( )A.①②B.②③C.①②④D.②③④二、填空题:13、如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A(3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 .14、若点A(3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，则n的值为 .15、已知抛物线y=ax2+bx+c过(﹣1，1）和(5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线 .16、把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为.17、如果二次函数y=x2﹣mx+m+1的图象经过原点，那么m的值是 .18、用一根长为8米的木条，做一个矩形的窗框.如果这个矩形窗框宽为x米，那么这个窗户的面积y(米2）与x(米）之间的函数关系式为(不写定义域）.三、解答题:19、已知二次函数的顶点坐标为(2，﹣2），且其图象经过点(3，1），求此二次函数的解析式，并求出该函数图象与y轴的交点坐标.20、已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣1，0），B(3，0），C(2，﹣1.5）.(1）求此抛物线的解析式；(2）当y＜0时，x的取值范围是______(直接写出结果）21、已知二次函数y=﹣x2+2x+3.(1）在如图所示的坐标系中，画出该函数的图象;(2）根据图象回答，x取何值时，y＞0？(3）根据图象回答，x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？22、如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆.设矩形的宽为x米，面积为y平方米.(1）求y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围；(2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由23、某商店现在的销售价格为每件35元，每天可卖出50件，市场调查发现，如果调整价格，每降价1元你，每天可多卖出2件，设每件商品降价x元，每天的销售额为y元.(1）求y与x的函数关系式；(2）当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大.最大销售额是多少？24、已知：抛物线y=x2+bx+c经过点(2，﹣3）和(4，5）.(1）求抛物线的表达式及顶点坐标；(2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的表达式；(3）在(2）的条件下，当﹣2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，求m的值或取值范围.参考答案1、D2、D3、C4、A.5、D6、A7、B8、C9、B10、C11、B12、C13、答案为：-1<x<3.14、答案为：12.15、答案为：x=2.16、答案为：y=-(x+1)2+3.17、答案为：﹣1.18、答案为：y=﹣x2+4x19、二次函数的解析式为y=3(x﹣2）2﹣2，当x=0时，y=3×4﹣2=10，函数图象与y轴的交点坐标(0，10）.20、解：(1）把A(﹣1，0），B(3，0），C(2，﹣1.5）代入抛物线解析式，得解得∴该函数的解析式为：y=x2﹣x﹣.(2）由抛物线开口向上,交点为A(﹣1,0），B(3,0）可知,当y＜0时,x的取值范围是﹣1<x<3；21、解：(1）列表：描点、连线可得如图所示抛物线.(2）当﹣1＜x＜3时，y＞0；(3）当x＜1时，y随x的增大而增大.当x＞1时，y随x的增大而减小.22、(）、，方程无解，不能23、解：(1）根据题意得：y=(35﹣x）(50+2x）；(2）∵每天的销售额y=(35﹣x）(50+2x），(0＜x＜35）配方得y=﹣2(x﹣5）2+1800，∵a＜0，∴当x=5时，y取得最大值1800.答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元24、解：(1）根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为(1，﹣4）.(2）根据题意，﹣y=x2﹣2x﹣3，所以y=﹣x2+2x+3.(3）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为(1，﹣4），当x=﹣2时，y=5，抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点(1，4），当x=﹣2时，y=﹣5.∴当﹣2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，则4＜m＜5或﹣5＜m＜﹣4.。
二次函数测试题
2017-2018学年 九年级数学上册 二次函数 单元检测题一、选择题：1、二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（ ）A.x=4B.x=﹣4C.x=2D.x=﹣22、对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）A.开口向下B.对称轴是x=﹣1C.顶点坐标是（1，2）D.与x轴有两个交点3、将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式时（ ）A.y=(x-1)2+2B.y=(x+1)2+2C.y=(x-1)2-2D.y=(x+1)2-24、在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x﹣h)2（a≠0）的图象可能是（ ）5、已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（ ）A.x≥1B.x≥0C.x≥﹣1D.x≥﹣26、如图，在平面直角坐标系中，抛物线2经过平移得到抛物线2－2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )A.2B.4C.8D.167、如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（ ）π D.条件不足，无法求8、某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是( ) A.y=20（1﹣x）2 B.y=20+2x C.y=20（1+x）2 D.y=20+20x2+20x 9、如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE=DF.四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为（ ）A.y=5﹣xB.y=5﹣x2C.y=25﹣xD.y=25﹣x210、已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|b﹣a﹣2c|+|3a+b|=（ ）A.2a+2bB.﹣2a﹣2bC.﹣4a﹣2bD.4a11、如图，已知顶点为（-3，-6）的抛物线y= ax2+bx+c经过点（-1，-4），则下列结论中错误的是（ ）A.b2>4acB.ax2+bx+c≥-6C.若点（-2，m），（-5，n）在抛物线上，则m>n.D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-112、如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y=ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是( )二、填空题:13、如果二次函数y=（m﹣2）x2+3x+m2﹣4的图象经过原点，那么m= .14、二次函数y=x2+6x+5图象的顶点坐标为 .15、将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 .16、抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是 .17、将函数y=x2的图象向右平移2个单位得到函数y1的图象，将y与y1合起来构成新图象，直线y=m被新图像一次截得三段的长相等，则m= .18、如图，一段抛物线:y=﹣x(x﹣2)（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O,A1;将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6,若点P（11,m）在第6段抛物线C6上,则m=_____.三、解答题:19、根据条件求二次函数的解析式（1）二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为﹣2，且过（0，1）点.（2）抛物线过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣5）三点.20、已知抛物线2+（m﹣2）x+2m﹣6的对称轴为直线x=1，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1）求m的值；（2）直线l经过B、C两点，求直线l的解析式.21、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点.（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.22、某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元.设矩形一边长为x，面积为S平方米.（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）设计费能达到24000元吗？为什么？（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？23、如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O 点6米的B处发现球在自己头部的正上方达到最高点M，距地面4米高，球落地为C点.（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式；（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？24、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点.（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围.1、D.2、C.3、A4、D5、A.6、B7、B8、C9、D.10、D11、C12、A13、答案为：﹣2.14、答案为：（﹣3，﹣4）.15、答案为：y=（x﹣4）2+4；16、答案为：x＞3或x＜﹣1.17、答案为：m=4或1/418、答案为：﹣1.19、解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2﹣2，把（0，1）代入得9a﹣2=1，解得a= ，所以抛物线解析式为y= （x﹣3）2﹣2；（2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把（1，﹣5）代入得a•2•（﹣2）=﹣5，解得a=﹣ ，所以抛物线解析式为y=﹣ （x+1）（x﹣3），即y=﹣ x2+ x+ .20、解：（1）∵抛物线y= x2+（m﹣2）x+2m﹣6的对称轴为直线x=1，解得：m=1；（2）∵m=1，∴抛物线的解析式为y= x2﹣x﹣4，当y=0时， x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣2或x=4，∴A（﹣2，0），B（4，0），当x=0时，y=﹣4，∴C（0，﹣4），设直线l的解析式为y=k x+b，根据题意得：4k+b=0,b=-4,解得：k=1,b=-4.∴直线l的解析式为y=﹣x﹣4.21、解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，∴4a+2b+c=0,c=-1,16a+4b+c=5，∴a= ，b=﹣ ，c=﹣1，∴二次函数的解析式为y= x2﹣ x﹣1；（2）当y=0时，得 x2﹣ x﹣1=0；解得x1=2，x2=﹣1，∴点D坐标为（﹣1，0）；（3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4.22、解：（1）∵矩形的一边为x米，周长为16米，∴另一边长为（8﹣x）米，∴S=x（8﹣x）=﹣x2+8x，其中0＜x＜8；（2）能，∵设计费能达到24000元，∴当设计费为24000元时，面积为24000÷200=12（平方米），即﹣x2+8x=12，解得：x=2或x=6，∴设计费能达到24000元.（3）∵S=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，∴当x=4时，S最大值=16，∴当x=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元.23、解：（1）以O为原点，直线OA为y轴，直线OB为x轴建直角坐标系.由于抛物线的顶点是（6，4），所以设抛物线的表达式为y=a（x﹣6）2+4，当x=0，y=1时，1=a（0﹣6）2+4，所以a=﹣ ，所以抛物线解析式为：y=﹣ x2+x+1；（2）令y=0，则﹣ x2+x+1=0，解得：x1=6﹣4 （舍去），x2=6+4 =12.8（米），所以，足球落地点C距守门员约12.8米.24、解：（1）由题意4a-2b+2=6,4a+2b+2=2解得a=0.5,b=-1.∴抛物线解析式为y= x2﹣x+2.（2）∵y= x2﹣x+2= （x﹣1）2+ .∴顶点坐标（1， ），∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3），∴S△BDC=S△BD H+S△D H C=3.（3）由y=-0.5x+b,y=0.5x2-2x+2,消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，∴b= .当直线y=﹣ x+b经过点C时，b=3，当直线y=﹣ x+b经过点B时，b=5，∵直线y=﹣ x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，∴ ＜b≤3.。
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二次函数单元测试卷
（满分：100分时间：60分钟）
一、选择题（每题3分，共21分）
1．由二次函数y＝－x2＋2x，可知( )
A．图象的开口向上B．图象的对称轴为直线x＝1
C．最大值为－1 D．图象的顶点坐标为（－1，1）2．已知函数y＝x2－x－4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是( ) A．x<1 B．x>1 C．x>－2 D．－2<x<4
3．把二次函数y＝1
2
x2＋3x＋
5
2
的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得
函数图象的顶点坐标是( )
A．（－5，1) B．（1，－5) C．（－1，1) D．（－1，3)
4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)过A（－2，0）、O(0，0)、B（－3，y1）、C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1>y2B．y1＝y2C．y1<y2D．不能确定
5．二次函数y＝a(x＋k)2＋k，当k取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是( ) A．y＝x B．x轴C．y＝－x D．y轴
6．已知二次函数y＝a(x－1)2＋b有最小值－1，则a与b之间的大小关系是( ) A．a<b B．a＝b C．a>b D．不能确定
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论
错误的是( )
A．ab<0
B．a c<0
C．当x<2时，函数值随x的增大而增大；当x>2时，函数值随x的
增大而减小
D．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根二、填空题（每题3分，共21分）
8．二次函数y＝(x－1)2－2的图象的对称轴是直线______．
9．若抛物线y＝x2－2x－2的顶点为A，与y轴的交点为B，则过A、B两点的直线所对应的函数关系式为______________．
10．将抛物线y＝－1
2
x2向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线所对
应的函数关系式为_______．
11．若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与抛物线y＝x2－4x＋3的图象关于y轴对称，则抛物线y＝ax2＋bx＋c所对应的函数关系式为______________．
12．若抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A，与x轴正半轴交于B、C两点，且BC＝2，S△ABC＝3，则b＝_______．
13．二次函数y＝x2－6x＋c图象的顶点与原点的距离为5，则c＝______．
14．某厂2015年创利320万元，若以后每年以相同的增长率x递增，2016年和2017年两
年共创利y万元，则y关于x的函数关系式是______（用y＝ax2＋bx＋c的形式表示）．三、解答题（共58分）
15．（8分）已知二次函数图象的顶点坐标为（3，－2），且与y轴交于点（0，5
2）．
(1)求函数的关系式，并画出它的图象．
(2)当x为何值时，y随x的增大而增大？
16．（8分）用长度为20 m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m，当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．
17．（10分）已知抛物线y＝－x2＋2x＋2．
(1)该抛物线的对称轴是_______，顶点坐标是_______；
(2)选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点画出该抛物线；
(3)若该抛物线上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)的横坐标满足x1>x2>1，试比较y1与y2的大
小．
18．（10分）已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5）．
(1)求该函数的关系式；
(2)求该函数图象与两坐标轴的交点坐标；
(3)将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A'、B'，
求△OA'B'的面积．
19．（10分）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不
得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范
围；
(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x之间的函数关系式；
(3)一天订住多少个房间时，宾馆每天的利润最大？最大利润是多少元？
20．（12分）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C(1，1)，且过原点O．过抛
物线上一点P(x，y)向直线y＝5
4
作垂线，垂足为M．
(1)求a、b、c的值；
(2)在直线x＝1上有一点F(1，3
4
)，连接FM，求以PM为底边的等腰△PFM上点P
的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
(3)对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N(1，t)，使PM＝PN恒成立，若存在，
请求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、1．B 2．A 3．C 4．A 5．C 6．C 7．B
二、8．x ＝1 9．y ＝－x －2 10．y ＝－
12x 2＋x ＋32 11．y ＝x 2＋4x ＋3 12．－4 13．5或13 14．y ＝320x 2＋960x ＋640
三、15．(1)y ＝12
(x －3)2－2 图略 (2)当x ≥3时，y 随x 的增大而增大
16．一边长（60－m ，相邻边长为10)m ，最大面积为(300－2
17． (1)直线x ＝1 (1，3) (2)如图 (3)y 1<y 2
18．(1) y ＝－x 2－2x ＋3 (2)(0，3)，（－3，0），(1，0) (3)15 19．(1)y ＝50－
110x (0≤x ≤160，且x 为10的正整数倍） (2)w ＝－110
x 2＋34x ＋8 000 (3)一天订住34个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润是10880元
20．(1)a ＝－1，b ＝2，c ＝0 (2)P 的纵坐标为
14，横坐标为1＋12(3)存在N （1，
34）使PM ＝PN 恒成立。